Lista 1 de Exercícios de Geometria Analítica

Lista 1 de Exercícios de Geometria Analítica

(Parte 1 de 2)

Geometria anal tica, Lista 1 - 2012/1

Durante a elabora c~ao de respostas tenha cuidado (1) com palavras e/ou frases estranhas a Matem atica, (2) o desenvolvimento de explica c~ao (demonstra c~ao, justi cativa) e/ou c alculo num erico devem ser feitos com clareza de racioc nio e com etapas indicadas corretamente, (3) os desenhos (quando necess arios) n~ao podem ter qualquer rasura. Estas regras ser~ao aplicadas nas provas futuras e a n~ao observancia implicar a em perda de pontos importantes.

Grande parte dos resultados em Matem atica toma a forma de uma a rma c~ao condicional (declara c~ao condicional), que consiste de uma a rma c~ao formada de duas partes, a primeira come cando com ’se’ ou ’quando’ ou outra palavra equivalente, e a segunda come cando com ’ent~ao’ ou ap os uma v rgula.

Exemplo. Se P e um ponto do gr a co de uma fun c~ao f, ent~ao P = (x;f(x)), para algum ponto x no dom nio de f.

A parte ’se P e um ponto do gr a co de uma fun c~ao f’ se chama hip otese da a rma c~ao, e uma frase suposta verdadeira ou que j a foi demonstrada ser verdadeira, a parte ’ent~ao P = (x;f(x)), para algum ponto x no dom nio de f’ se chama tese da a rma c~ao e corresponde a uma frase que deve ser demonstrada atrav es do uso da hip otese e de resultados anteriormente demonstrados juntos com a l ogica dedutiva. Uma a rma c~ao condicional ’se a, ent~ao b’ e simbolicamente representada por ’a ⇒ b’.

A rec proca de uma a rma c~ao condicional e formada pela troca de posi c~ao entre a hip otese e a tese, sendo que a rec proca de a ) b e b ) a. Importante observar que a rec proca de uma a rma c~ao verdadeira pode ser falsa.

E claramente verdadeira e tem rec proca ’se xz > yz, ent~ao x > y e z > 0 ou x < y e z < 0’ tamb em verdadeira.

Exemplo. Seja f : X ! Y uma aplica c~ao biun voca de um conjunto X para outro conjunto Y. Se X e in nito, ent~ao Y e in nito.

A aplica c~ao f associa, para cada um dos in nitos pontos x de X, um unico ponto f(x) (leia ’f de x’) em Y, de tal modo que f(x) 6= f(y) implica x 6= y. Logo, Y tamb em deve ser in nito e a a rma c~ao ’se X e in nito, ent~ao Y e in nito’ e verdadeira. Mas a rec proca ’se Y e in nito, ent~ao X e in nito’ e falsa, como se ve chamando a aplica c~ao f : f1;2;3;::::;ng ! N; f(x) = x.

Quando a ) b e b ) a s~ao ambos verdadeiros, escreve-se a , b e le-se ’a se, e somente se, b’. Nesse caso, a e uma condi c~ao su ciente de b, ou seja, a validade de a implica na de b; tamb em, b e uma condi c~ao necess aria de a, ou seja, b ser a verdadeiro sempre que a for.

A rec proca negativa e formada pela troca de posi c~ao entre hip otese e tese, negando-se ambas. O chamado Princ pio da n~ao contradi c~ao estabelece que uma a rma c~ao n~ao pode ser simultaneamente verdadeira e falsa, ou seja, a negativa de uma a rma c~ao a e falsa se a for verdadeira, a negativa e verdadeira se a for falsa. De modo mais expl cito, vale

Proposi c~ao 1. (a ) b) se, e somente se, (n~ao b ) n~ao a).

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Prova. Considere a validade de (a ⇒ b) e suponha tamb em que n~ao b e verdadeira. Claro que se n~ao a for falsa, a deve ser verdadeira. Mas ent~ao, pela hip otese (a ) b), temos que b e verdade, uma contradi c~ao com rela c~ao a suposi c~ao de que n~ao b e verdadeira, em vista do princ pio da n~ao contradi c~ao.

Reciprocamente, considere que (n~ao b ) n~ao a) e a s~ao v alidos. Se b e falsa, ent~ao n~ao b e verdadeira e ent~ao, por hip otese, n~ao a tamb em e verdadeira. Isto deve implicar que a e falsa, uma contradi c~ao.

Quando uma palavra tem mais de um signi cado, pode ocorrer da palavra ser interpretada de mais de uma maneira, dependendo de como se apresenta no contexto e da experiencia de cada pessoa. Em Matem atica, uma palavra (uma id eia) a e sua de ni c~ao a ) b s~ao consideradas tendo o mesmo signi cado. Uma conseq uencia disso e que a sua rec proca sempre e verdadeira, a raz~ao disto e que a palavra sendo de nida e b tem o mesmo signi cado, logo a e b s~ao intercambi aveis e ent~ao qualquer de ni c~ao pode ser escrita na forma a ) b ou b ) a ou a , b. Por exemplo,

De ni c~ao. C rculo S1(P;r) e o conjunto de todos os pontos em um plano que est~ao a uma mesma distancia r de um determinado ponto P 2 .

Por se tratar de uma id eia consistente, n~ao amb gua, pode ser reescrita de outras formas.

De ni c~ao. Se um ponto A est a em (pertence a) S1(P;r), ent~ao a distancia de A at e P e igual a r.

De ni c~ao. Se um ponto A est a a uma distancia r de um ponto P, ent~ao A est a em S1(P;r). De ni c~ao. Um ponto A est a em S1(P;r) se, e somente se, a distancia de A at e P e igual a r.

A prova indireta (redu c~ao ao absurdo) e um instrumento muito utilizado no pensamento l ogico para demonstra c~ao de resultados e e assim aplicado: considerando que a ) b deve ser demonstrado, primeiro e feita uma suposi c~ao contr aria ao que se deseja provar, isto e, nega-se a tese. Depois, fatos consagrados e id eias aceit aveis s~ao usados, juntamente com a suposi c~ao ’b e falsa’, a m de se obter uma conclus~ao que indica que a hip otese e falsa. Pelo princ pio da n~ao contradi c~ao, a suposi c~ao deve ser falsa e assim a tese e verdadeira.

Exemplo. Dada uma reta r e um ponto P 62 r, ambos supostos em um mesmo plano, existe uma unica reta l que passa por P e e perpendicular a r.

Aqui a tese a ser veri cada e ’existe uma unica reta l que passa por P e e perpendicular a r’ e come camos a demonstra c~ao por prova indireta, por negar a tese. Suponha que n~ao existe uma unica reta como na hip otese, ent~ao existem duas retas l e m, ambas contendo P e ambas perpendiculares a r. Sendo l\r = fAg e m\r = fBg, tem-se o triangulo ABP com angulos retos A = bB. Isto n~ao pode, pois e sabido que os angulos internos de qualquer triangulo somam 180o. Portanto, a suposi c~ao de que existem duas retas perpendiculares e falsa e somente pode haver uma unica.

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Suponha, por absurdo, que existe um tal n umero. Como n;x ∈ N, ent~ao x = n + y para algum y 2 N, logo n + y < n + 1 e ent~ao y < 1. Ocorre que n~ao existe inteiro positivo inferior a 1 (2o axioma de Peano), essa contradi c~ao s o teve espa co devido a suposi c~ao ’existe x 2 N tal que n < x < n + 1’. Portanto, a suposi c~ao e falsa e a a rma c~ao ’n~ao existe x 2 N tal que n < x < n + 1’ e verdadeira.

Outras vezes, e preciso desenvolver algum fato auxiliar para, somente depois, usar o recurso da contradi c~ao.

Exemplo. Existem in nitos n umeros primos.

Demonstra c~ao vista nos Elementos de Euclides, por volta de 300 a.C. Primeiro observamos

Vamos agora supor que existe uma quantidade nita de n umeros primos, digamos x1 = 2;x2 = 3;x3 = 5;:::;xn. Ent~ao, pn como de nido acima n~ao e primo e possui um fator primo xr, com r n, logo xr divide pn e tamb em divide 2:3:5:::xn, logo xr deve dividir 1, o que e absurdo porque xr > 1. Esta contradi c~ao leva ao descarte da suposi c~ao de que existe um n umero nito de n umeros primos.

Exerc cio 1. Um homem diz ’eu estou mentindo!’. Analise essa a rma c~ao sobre o ponto de vista de ser verdadeira e de ser falsa, determinando qual e a conclus~ao poss vel.

Exerc cio 2. Reescreva as seguintes frases na forma ’se..., ent~ao...’. 1) O jogo ser a adiado se chover. 2) N umeros maiores do que 10 s~ao maiores do que 5. 3) Um n umero inteiro positivo e par se n~ao e mpar. 4) Amanh~a e sexta-feira porque hoje e quinta-feira.

Exerc cio 3. Considere a;x;y como n umeros reais quaisquer. Escreva a declara c~ao rec proca e a rec proca negativa de cada uma das seguintes frases. 1) Se a + y = a + x, ent~ao y = x. 2) Se um n umero e par, ent~ao ele e m ultiplo de 4. 3) Se x < 5, ent~ao x < 9.

Exerc cio 5. Analise cada declara c~ao (a rma c~ao, frase) como verdadeira ou falsa. 1) Se o Rio de Janeiro e uma cidade pequena, ent~ao 2 3 = 6. 2) Se o Rio de Janeiro e uma cidade grande, ent~ao p2 2 Q. 3) Se est a frio, ent~ao poucas pessoas tomam banho de mar. Hoje muitas pessoas est~ao tomando banho de mar, logo n~ao est a frio. 4) Considere a seguinte a rma c~ao: se voce est a em X, ent~ao voce n~ao est a em Y. Ent~ao, e verdade que voce n~ao est a em X, conseq uentemente, voce est a em Y? 5) Considere a seguinte de ni c~ao: em um plano, um conjunto X e aberto (no plano) quando, para qualquer ponto a 2 X, existe um pequeno

Geometria anal tica, Lista 1 - 2012/1 c rculo Sa, de centro em a, totalmente contido em X. Analise as seguintes a rma c~oes (como verdadeira ou falsa) relacionadas a essa id eia:

i) X e aberto ⇒ 8a 2 X, existe um c rculo Sa X; i) X n~ao e aberto ) existe um ponto a 2 X que n~ao e centro de nenhum c rculo contido em X; i) Para todo ponto a 2 X, existe um c rculo Sa (su cientemente pequeno), de centro em a, totalmente contido em X ) X e aberto; iv) H a um ponto a 2 X para o qual n~ao existe c rculo Sa contindo inteiramente em X ) X n~ao e aberto.

Exerc cio 6. Estude cada uma das a rma c~oes abaixo e diga qual e verdadeira e qual e falsa. 1) Dois pontos determinam uma reta. 2) Dois pontos determinam um plano. 3) Tres pontos s~ao sempre coplanares. 4) Tres pontos determinam um plano. 5) Quatro pontos s~ao sempre coplanares.

X Y signi ca ’X e subconjunto pr oprio de Y’ e indica haver, pelo menos, um elemento x 2 Y tal que x 62 X.

Exerc cio 8. Desenhe um quadril atero ABCD. Prove que e subconjunto pr oprio de um unico plano.

Exerc cio 9. Na gura abaixo r e s s~ao retas perpendiculares. Trace um segmento AR, com R 2 r, outro BS, com S 2 s, e RS, formando a poligonal AR[RS [SB. De todas as in nitas poligonais deste tipo que s~ao pass veis de constru c~ao, qual e a de menor comprimento?

Matem atica, para resolver esse problema e preciso conhecer uma situa c~ao pr evia mais simples: suponha somente r e A;B 62 r todos sobre um mesmo plano. A id eia e ligar A com B por meio de um R 2 r, de tal sorte que AR [ BR e m nimo (tem comprimento m nimo). Analise as duas poss veis situa c~oes: A e B de um mesmo lado de r (como no desenho), A e B em lados opostos. Depois de provar a situa c~ao mais simples, ataque a situa c~ao do exerc cio.

Exerc cio 1. DE e, por de ni c~ao, um segmento m edio de ABC, pois D e ponto m edio de AC e E e ponto m edio de BC. A Geometria plana estabelece o seguinte resultado (Teorema

A id eia da demonstra c~ao deste teorema e bem simples: primeiro, marque F 2 ! DE tal que

1Vamos denotar a distancia entre pontos X e Y pelo s mbolo d(X;Y )

O que podemos concluir sobre (D;A) e (F;B)? O que podemos concluir sobre DCE e

\EBF? Ent~ao, o que podemos concluir sobre CDE e BEF? Qual e a conclus~ao seguinte a respeito de (D;E) e (E;F)?

Exerc cio 14. Qualquer que seja !v , mostre que:

(1) an alise de segmentos orientados e por (2) opera c~oes aritm eticas de vetores.

Exerc cio 20. De quanto e necess ario multiplicar ! AB+ ! CB+2 ! BA para que este seja igual a

Exerc cio 21. Pense na utiliza c~ao de um triangulo equil atero e em segmentos orientados para provar que 1+cos120o +cos240o = 0 e sen120o +sen240o = 0 (n~ao valem calculadora ou tabela trigonom etrica).

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Exerc cio 29. Seja a a norma de !a e b a norma de ! b . Quais s~ao os limites inferior e superior para a norma da resultante (soma de vetores)? Caso a = 2b, quais deveriam ser os limites inferior e superior para a norma da resultante?

Exerc cio 30. Mostre que se todos os componentes de um vetor est~ao em sentido contr ario aos componentes de outro vetor, ent~ao o pr oprio vetor tamb em est a em sentido contr ario.

sentido.

Exerc cio 32. Na navega c~ao mar tima e a erea, as dire c~oes s~ao dadas tomando-se as medidas a partir do Norte em sentido hor ario. Diz-se que a dire c~ao de um ve culo (navio, aeronave) e 37o se o deslocamento e representado por um segmento orientado que forma angulo de 37o com a dire c~ao Sul-Norte.

Geometria anal tica, Lista 1 - 2012/1 x yNorte

Sul

LesteOeste

37” deslocamento na direçªo 37”

Suponha que uma aeronave esteja voando a 600 km/h na dire c~ao 60o, e que o vento sopre na dire c~ao 110o com velocidade de 40 km/h. Naturalmente, uma vez que a m aquina n~ao est a apoiada em um meio s olido, o componente de vento ir a desviar (derivar) a aeronave para fora de sua trajet oria aparente (60o Nordeste) e a real dire c~ao ser a outra. Tamb em, uma vez que o vento tem componente contr aria ao deslocamento da aeronave, essa ter a sua velocidade indicada no solo diferente daquela indicada no ar (existem sempre dois veloc metros, um indica a velocidade da aeronave dentro da massa de ar, outro indica a velocidade com a rela c~ao aos xos na superf cie do planeta). Determine a velocidade da aeronave com rela c~ao ao solo e a sua trajet oria real.

Sugest~ao: monte um paralelogramo com os vetores −!a (aeronave), !v (vento) e escreva-os em termos de suas proje c~oes sobre o eixo x (Leste-Oeste) e eixo y (Norte-Sul). A trajet oria (dire c~ao de voo) e dada por !a + !v e a velocidade e simplesmente j !a + !v j.

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Ex. 1. Se o que diz o homem e verdade, ent~ao ele est a mentindo. Por em, se ele mente ao dizer que est a mentindo, ent~ao est a falando a verdade.

Ex. 2. 1) Se chover, ent~ao o jogo ser a adiado. 2) Se um n umero e maior do que 10, ent~ao e maior do que 5. 3) Se um n umero inteiro positivo e par, ent~ao n~ao e mpar. 4) Se hoje e quinta-feira, ent~ao amanh~a ser a sexta-feira.

Ex. 4. S~ao a rma c~oes falsas (3) e (5). Ex. 5. No sistema de pensamento l ogico, a veracidade (V) ou falsidade (F) da hip otese (a), da tese (b) e sua implica c~ao a ) b s~ao mostrados como no quadro.

a b a b V V V

’Se o Rio de Janeiro e uma cidade pequena, ent~ao 2 3 = 6’ e uma declara c~ao verdadeira, porque hip otese falsa e tese verdadeira formam uma declara c~ao verdadeira. ’Se o Rio de Janeiro e uma cidade grande, ent~ao p2 2 Q’ e falso, porque hip otese verdadeira e tese falsa n~ao formam uma declara c~ao verdadeira.

A frase ’hoje muitas pessoas est~ao tomando banho de mar, logo n~ao est a frio’ e a rec proca negativa, toda rec proca negativa e uma a rma c~ao verdadeira.

A condi c~ao (A 2 X ) A 62 Y) leva a intuir que X e Y s~ao conjuntos (ambientes) disjuntos

(X\Y = ?). Existem duas op c~oes: (1a) X e Y s~ao subconjuntos de um conjunto E n~ao vazio, ou (2a) X[Y n~ao e subconjunto de qualquer outro conjunto. Na primeira situa c~ao e poss vel A 62 X e A 62 Y, na segunda n~ao.

No que se refere a uma de ni c~ao matem atica, e sempre uma a rma c~ao bicondicional a , b (leia ’a se, e somente se, b’) e, portanto, vale a ) b, b ) a, n~ao a ) n~ao b, n~ao b ) n~ao a. Portanto, (i), (i), (ii) e (iv) s~ao todas a rma c~oes verdadeiras.

Ex. 6. (1) sim, e verdade pela pr opria de ni c~ao de reta; (2) falso, dois pontos determinam uma unica reta e essa est a contida em uma in nidade de planos; (3) se os pontos s~ao colineares, s~ao coplanares e e verdade; e se os pontos n~ao s~ao colineares, ent~ao s~ao coplanares e e verdade; (4) dois pontos, digamos A e B, est~ao em uma reta r, e A e C est~ao em outra reta s; as duas retas est~ao cont das em um unico plano; mas se os pontos s~ao colineares, n~ao h a um unico plano associado; (5) falso, pense uma piramide de base triangular, de v ertices A;B;C;D em que A;B e C est~ao em um plano, mas D n~ao pertence a este.

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