Lista 2 de Exercícios de Geometria Analítica

Lista 2 de Exercícios de Geometria Analítica

Geometria anal tica, Lista 2 - 2012/1

Durante a elabora c~ao de respostas tenha cuidado (1) com palavras e/ou frases estranhas a Matem atica, (2) o desenvolvimento de explica c~ao (demonstra c~ao, justi cativa) e/ou c alculo num erico devem ser feitos com clareza de racioc nio e com etapas indicadas corretamente, (3) os desenhos (quando necess arios) n~ao podem ter qualquer rasura. Estas regras ser~ao aplicadas nas provas futuras e a n~ao observancia implicar a em perda de pontos importantes.

formam um triangulo retangulo.

Exerc cio 8. Converta a seguinte equa c~ao vetorial em um sistema de equa c~oes lineares e resolva.

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Exerc cio 17. Determine a distancia entre os seguintes vetores:

escalar de !u de modo que o produto escalar dele por 12 !v seja 1?

Por que n~ao e necess ario analisar se proj−!v !u tem mesmo sentido de !v ou sentido contr ario?

Exerc cio 24. Prove, via proje c~ao de vetor sobre vetor, que

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vetores da orienta c~ao de R3 e (2) a norma de cada uma das proje c~oes de !v sobre cada um dos !ej.

vetores perpendiculares?

s~ao perpendiculares. Calcule tamb em a inclina c~ao de !a ! b com a horizontal.

Exerc cio 37. O objetivo e de nir um vetor unit ario perpendicular ao plano paralelo a !a =

depois, somente produto vetorial.

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uma base. Esta concorda ou discorda da orienta c~ao em R3?

Para responder a essa pergunta, use: 1| A regra da m~ao direita. 2| Determinante da matriz de mudan ca de bases calculado atrav es de produto misto.

Por m, h a um instrumento curioso que permite ’corrigir’ a posi c~ao dos vetores de uma base, deixando-os ortogonais; trata-se do processo de ortonormaliza c~ao de Gram-Schmidt.

! f2; ! f3g, cujos vetores s~ao n~ao-ortogonais dois a dois (algo

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e e

ang( !u ; !v )), ve-se que !u e !v s~ao L.I. e, ent~ao, n~ao existe um vetor que seja paralelo a esses dois.

Nota: e uma maneira diferente, mas equivalente, de se somar vetores, os quais s~ao encarados como matrizes coluna.

Exer.8. A equa c~ao matricial 0 @ 1 6

1 A e equivalente ao sistema de

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Denotando a primeira equa c~ao por (a), a segunda por (b) e a terceira por (c), a opera c~ao

z = x+711 . Para cada valor de x, obt em-se um unico valor para y e para z, portanto, existem in nitas solu c~oes para o sistema de equa c~oes em estudo.

Exer.9. Como det @

1 A = 0, os vetores em quest~ao s~ao L.D.

, os vetores s~ao L.D.

Exer.10. 1) S~ao L.D., pois det0 @

Exer.1. Por meio de m ultiplo escalar, uma op c~ao e investigar a existencia de a 2 R tal que

S~ao L.D.

Via determinante, det0@

Exer.13. -3. Exer.14. Como se ve na ilustra c~ao, a distancia entre !u e !v e a extens~ao da diagonal ligando as extremidades dos segmentos orientados, no caso B e C.

u v

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3) Para essa propriedade, e preciso estar em dia com a leitura da teoria e perceber a

Exer.2. 19. Exer.23. A illustra c~ao diz tudo.

proj u v

A proje c~ao faz com que jproj !v saber se proj !v !u e !v s~ao de mesmo sentido ou de sentido contr ario.

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Exer.3. det0 @ base.

1 A. A m de de nir M’", e necess ario relacinar as coordenadas antigas

Denote as tres ultimas equa c~oes por (a), (b) e (c); a opera c~ao 5(a)+(b) conduz a y2 =

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Nota: pode-se proceder o c alculo de !u !v e veri car diretamente os fatos indicados.

primeira coordenada de ! f2 tem sentido geral contr ario aode ! f3, portanto, a base e discordante com a orienta c~ao estabelecida.

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