Apostila-de-transformação e coordenadas

Apostila-de-transformação e coordenadas

Um dos objetivos da Geometria Analítica é a determinação das propriedades de várias curvas e configurações geométricas, mas à medida que as estudamos, verificamos que as curvas e suas equações se tornam mais complicadas e mais difíceis de serem analisadas; em conseqüência, torna-se necessário, em várias ocasiões, estudar novos recursos a fim de facilitar o estudo destas curvas.Assim, é conveniente introduzir a noção de transformação de coordenadas, recurso que nos possibilita simplificar as equações de muitas curvas

Uma transformação é uma operação por meio da qual uma relação, expressão ou figura é mudada de acordo com uma dada lei. Analiticamente a lei dada é expressa por uma ou mais equações denominadas equações de transformação.

A solução é simples, basta exprimirmos os valores das coordenadas de um ponto genérico no sistema particular, em função das coordenadas do mesmo ponto no novo sistema.

Sejam XOY o sistema particular e X'O'Y' o novo sistema

Na translação de eixos coordenados mudamos a origem e conservamos as direções e os sentidos destes eixos.

YY'
P(x.y) ou P(x',y')
yΧ

O novo sistema X'O'Y', percebemos facilmente, que é definido, em relação ao primeiro, pelas coordenadas h e k da origem O' e pela condição O'X' e O'Y' serem, respectivamente, paralelos e do mesmo sentido que OX e OY.

O'(h ,k)X'
Oh x X

k Mara de Carvalho Página 1 25/06/2014 então

A fórmula de mudança do sistema XOY para X'O' Y' é: += k'y h'x

A fórmula de mudança do sistema X'O'Y' para o XOY é: −= ky'y hx'x

EXEMPLOS: 1) Transforme a equação 7xy–14x–21y–13=0 em outra equação sem os termos do 1o grau, usando a translação de eixos coordenados.

O'(3,2) ⇒ 7x'y' – 7.3.2 –14.3–21.2=0 ⇒ 7x'y' – 5=0.

2) Transforme a equação x2 +y2–6x +2y -6=0 em relação a um novo sistema de coordenadas, de eixos paralelos aos primeiros e origem conveniente para que na nova equação não figurem os termos em 1o grau. 1a maneira: quando não se conhece a equação geral da curva.

x= x' +h e y= y'+ k ,⇒ ( x' + h)2 +( y'+ k)2 – 6(x'+ h) + 2( y′ +k) –6=0 ⇒
⇒ O'( 3,–1) , substituindo na equação ⇒ x'2 + y'2 = 16

2a maneira : quando se conhece a equação geral da curva, neste caso é um círculo, de equação geral é (x–h)2 + (y–k)2 = R2

O'(3,−1) e a equação se transforma em x'2 + y'2 = 16.

Mara de Carvalho Página 2 25/06/2014

Na rotação, mudamos a direção dos eixos sem mudarmos a origem. Seja o sistema XOY, através de uma rotação dos eixos de um ângulo θ , mantendo a mesma origem, obtém - se um novo sistema X ‘O Y ’ .

X'
θy'
DC
x'
OA B

Mudança do sistema XOY para o sistema X’O Y ‘ : dos triângulos OBC e PDC, podemos dizer que

DPADAPy

ABOBOAx , e que.

OB = x’ cos θ, AB = DC = y’ senθ , AD = BC =x’ sen θ , DP = y’ cos θ

Mara de Carvalho Página 3 25/06/2014

Substituindo, tem-se:

cosysenxy senycosxx

Mudança do sistema X ‘ O Y ‘ para o sistema XOY:procedendo do mesmo modo obtém-se cosysenxy senycosxx

EXEMPLO 1)Por uma rotação de eixos coordenados, transformar a equação 9x2-24xy+16y2-40x-30y=0, em outra equação desprovida do termo x=y=,

Solução: substituindo cosysenxy senycosxx ,na equação teremos,

Que após o desenvolvimento e redução se termos semelhantes, assume a forma (9cos2θ −24cosθsenθ+16sen2θ)x=2 +(14senθcomθ+24sen2θ−24cos2θ)x=y= +

Visto que a equação transformada deve ser desprovida do termo x=y=,igualamos a zero o coeficiente de x=y= e obtemos:

Ora, sen2θ=2senθcosθ e cos2θ=cos2θ −sen2θ.Logo a última relação pode ser escrita

7sen2θ − 24 cos2θ Onde

senθ=0,6 e cosθ=0,8 Se esses valores de semθ e cosθ são substituídos na equação, temos:

25y=2 − 50x==0 ⇒ y=2 − x= =0 O lugar geométrico é uma parábola como está mostrando a figura abaixo

A principal aplicação de mudança dos eixos coordenados é a simplificação das equações, pela escolha conveniente dos novos eixos.

Ax2 + B y 2 + C xy + D x + E y + F = 0(1)

A fim de mostrar a possibilidade dessa simplificação, demonstraremos o seguinte teorema: Teorema: É sempre possível eliminar o termo xy da equação do segundo grau com duas variáveis:

Mediante uma rotação dos eixos coordenados. Com efeito, as fórmulas de rotação dos eixos são:

cosysenxy senycosxx , sendo θ o ângulo de rotação.

Substituindo em (1) e ordenando desenvolvendo e reduzindo a termos semelhantes temos: (Acos2θ +Bsenθcosθ+Csen2θ)x2 + [Bcos2θ − (A−C)sen2θ]xy + (Asen2θ − Bsenθcosθ+Ccos2θ)y2 +(Dcosθ

Para ser eliminado o termo xy, devemos ter: Bcos2θ − (A−C)sen2θ=0

Donde

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B -A C = 2 tgθ

Como o valor de θ é real, quaisquer que sejam os valores de A,B e C,conclui-se que é sempre possível eliminar o termo xy da equação (1), como queríamos demonstrar. Observação: pela rotação dos eixos coordenados o termo F da equação não se altera.

Elimine, usando rotação de eixos , o termo xy da equação x2 +4xy+y2=4

Sabe-se que : A =1 , B =1 e C =4 ⇒ tg 2θ =

⇒ 2θ=900⇒ θ= 450 ⇒

⇒ Substituindo na equação ⇒

1y’2 = 4⇒ 3x’2 – y’2 = 4

É quando os eixos coordenados são submetidos a uma translação e uma rotação , tomados em qualquer ordem. As coordenadas de qualquer ponto P, referido aos conjuntos de eixos original e final são Mara de Carvalho Página 6 25/06/2014

(x,y) e (x",y"), respectivamente, então, as equações de transformações das antigas para as novas coordenadas finais são dadas por.

kcosysenyy hsenycosxx

originais

onde θ é o ângulo de rotação e (h,k) são as coordenadas da nova origem referida aos eixos coordenados Obs.: 1) Pode-se efetuar , indiferente da ordem . a translação e a rotação, separadamente. 2) O grau de uma equação não é modificado por transformação de coordenadas.

Para eliminar os termos em 1o grau , façamos:x=x'+h e y = y'+k

Exemplo: Por meio de uma translação e rotação dos eixos coordenados reduzir a equação 5x2+ 6xy + 5y2 –4x + 4y –4= 0 5(x'+h)2 +6(x'+h)(y'+k) +5(y'+k)2 – 4(x'+h) +4(y'+k) – 4 = 0 Desenvolvendo e agrupando convenientemente os termos, temos:

resolvendo o sistema: 10h +6k –4 =0 ⇒ h=1 e k= –1 , logo O'( 1,–1), substituindo na equação acima, 10k +6h+4 =0

temos:5x'2 + 6x'y'+5y'2 = 8

Para determinar θ utilizaremos a expressão: B -A

⇒m substituindo na equação, obtida após a translação ⇒

′+′=8⇒ 4x"2 + y"2 = 4

elipse , de eixo maior vertical e vértice na nova origem.

YY'

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Até agora temos determinado a posição de um ponto do plano utilizando unicamente as coordenadas cartesianas. Entre os vários sistemas existentes, o de uso mais freqüente é o sistema de coordenadas polares.

Seja um ponto fixo O, ao qual chamamos de pólo (origem do sistema), e uma semi - reta e de origem em O, chamada e eixo polar. Um ponto P de um plano será determinado quando se conhece a distância OP, chamada raio polar, e o ângulo determinado pelo eixo polar e o raio polar, medido positivamente no sentido trigonométrico.

ρ
Oe
e ⇒ eixo polarθ ⇒ ângulo polar  OP  = ρ ⇒ raio polar

Um ponto no sistema polar fica determinado pelo par ordenado ( ρ , θ ).

O número ρ pode tomar qualquer valor real e θ qualquer valor de ângulo, da seguinte forma: o ângulo será considerado positivo, quando marcado no sentido trigonométrico e negativo caso contrário. O raio polar ρ será considerado positivo quando medido sobre o lado terminal do ângulo θ e negativo quando medido sobre a semi - reta oposta ao lado terminal do mesmo ângulo.θ

P(2,300)P(3,1200) P(–2,–300)
3001200

Mara de Carvalho Página 8 25/06/2014 e O e O –300 e

22502250
Oe O e O e
P(3,2250)P(2,–300)

Das convenções estabelecidas resultam, então, que dado um par ordenado de coordenadas polares, deve-se decidir, um valor de ρ e de θ, tal que o ponto P (ρ , θ) fique perfeitamente determinado, mas em contrapartida, dado um ponto P, há infinitos pares de coordenadas que podem corresponder a esse ponto.

Em geral, um ponto P(ρ,θ), pode corresponder a qual quer dos pares ordenados (ρ , θ ± 2k pi ), ou ( - ρ , θ ± k pi ), onde k é um número inteiro.

Relações entre as coordenadas polares e as coordenadas cartesianas

Seja o ponto P referido a um sistema cartesiano XOY e ao sistema polar, de modo que o pólo esteja coincidente com a origem dos eixos cartesianos e o eixo polar coincida com o semi - eixo positivo das abscissas (OX).

No sistema cartesiano o ponto P tem coordenadas x e y e no sistema polar θ e r

Y
P(x,y) ou P(ρ,θ)

Das relações métricas do triângulo retângulo sabe-se que:

OX ou e
θρ=θρsenye cos = x , 22yx

θ x = cos+ θ ,22yx ysen +

ytg arc=θ,
y tg=θ;

Distância entre dois pontos

Sejam os pontos A(ρ1,θ1) e B(ρ2,y2) referidos a um sistema polar ( figura abaixo)

d

B Mara de Carvalho Página 9 25/06/2014

θ2–θ1
θ2
θ1
Oe

ρ2 A ρ1

Para determinarmos a distância d do ponto a ao ponto B, apliquemos a Lei dos co-senos ao triângulo OAB.

Equações Polares da Reta

Seja r uma reta que não passa pelo pólo cuja equação geral é Ax +By + C = 0

E passando para coordenadas polares, obtemos:

Aρcosθ + B ρ sen θ + C = 0ou (A cos θ+ B sem θ)ρ + C = 0

que é a equação geral da reta em coordenadas polares.

Equação polar do círculo

Seja ao círculo de centro C(ρ0,θ0 ) e de raio R, e P( ρ, θ) um ponto qualquer do círculo. O triângulo OPC nos dá:

ρ2 +ρ02 − 2 ρ0ρ cos (θ − θ0) = R2 que é a equação polar do círculo

Casos Particulares 1)Se o centro do círculo está no eixo polar, à direita do pólo, e o círculo passa pelo pólo, temos:

ρ0= R e θ0= 0então ρ= 2R cos θ

Se o centro do círculo estiver à esquerda do pólo, temos:

θ=pientão ρ=− 2P cos θ

2)Se o centro do círculo está no eixo OY, acima do pólo e o círculo passa pelo pólo,

entãoρ=2Rsen θ

Se o centro do círculo estiver abaixo do pólo, temos:

entãoρ= −2R senθ

3pi 3) Se o centro está no poço ρ0=0 e a equação do círculo é simplesmente ρ=∀ R

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Observe-se que qualquer das duas equações ρ=R e ρ=−R representa a mesmo círculo. As equações que representam o mesmo lugar o mesmo lugar geométrico denominam-se equivalentes e ocorrem em virtude de convenção de sinal das coordenadas polares, constituindo, pois, uma peculiaridade das equações em coordenadas polares.

EXEMPLOS 1)Transformar as seguintes equações cartesianas em equações polares:

ρcosθ - 3ρsenθ=0 ⇒ cosθ=3senθ ⇒ sen = θ ⇒ tgθ =

θ=arctg

sencos2 cos

⇒ ρ2=sec2θ +2tgθ⇒ ρ2=1+tg2θ+2tgθ ⇒ ρ2=(1+tgθ)2 ⇒ ρ=1+tgθ

2)Transformar as seguintes equações polares em equações cartesianas: Mara de Carvalho Página 1 25/06/2014

ambos os lados da equação ⇒ x2 + y2 = 36 – 12x +x2 ⇒y2 + 12x – 36 = 0
⇒ 22yx+(x2+ y2)=x2+ y2+ 4xy ⇒(x2+ y2) (x2+ y2)2 = (x2+ y2+ 4xy)2 ⇒

Consideremos três eixos OX , OY, OZ , perpendiculares 2 a 2 e uma esfera de centro O. Os planos

XOY , XOZ , YOZ determinados pelos pares destes eixos seccionam a esfera segundo círculos máximos. Todos os círculos máximos desta esfera obtidos por planos que contenham o eixos OZ são denominados meridianos, sendo o plano XOZ a origem dos meridianos. A intersecção do plano XOY com a esfera é o equador, e o eixo dos z é a linha dos pólos.

Mara de CarvalhoPágina 12 25/06/2014

x Q y B

Um ponto qualquer P é determinado pela medida algébrica ρ do segmento OP , pelo ângulo γ que o segmento OP forma com o eixo OZ e pelo ângulo diedro ϕ formado pelo meridiano que passa por P com o meridiano de origem.

ρ → raio vetor; ρ ≥ 0 ϕ → longitude , sendo contado sobre o equador variando de 0 a 2pi radianos no sentido anti - horário ; 0 ≤ ϕ ≤ 2pi γ → colatitude , variando de 0 a pi / 2 , é o complemento do ângulo ( OQ , OP ); As coordenadas esféricas de P são : P( ρ , ϕ , γ ); r ≥ 0 ; 0 ≤ γ ≤ pi

Do triângulo OQP ⇒ z = ρ cos γe OQ = ρ sen γ ( 1)

Relações entre as coordenadas cartesianas e as esféricas Do triângulo retângulo OAQ ⇒ x = OQ cos ϕ e y = OQ sen ϕ comparando com ( 1) , resulta

x = ρ cos ϕ sen γ,y = ρ sen ϕ sen γ e z = ρ cos γ
zarccos; x
yarctg; zyxr
=γ=ϕ++=

OBS.:1)Nos exercícios de coordenadas esféricas procede-se da mesma maneira que nos de coordenadas polares.

2) Diferentes autores utilizam diferentes nomenclaturas para as coordenadas do ponto. Mara de Carvalho Página 13 25/06/2014

Seja a um ponto P(x,y,z) qualquer ponto sobre a superfície cilíndrica circular reta de raio r cujo eixo é o eixo OZ .A equação de uma superfície cilíndrica é x2+ y2= r2 (1).

Na figura abaixo está representada uma porção da superfície no primeiro octante. Pelo ponto P e pelo eixo OZ passamos um plano que intercepta a superfície numa geratriz que fura o plano XY no ponto P’ Seja

OP’ =r e seja θ o ângulo entre OP’ e o eixo OX positivo. Temos então a relações:

zP(x,y,z)
Oy Y
xθ r
x = rcosθ , y = rsenθ, z =z ( 2 )

a partir das quais, evidentemente é possível localizar qualquer ponto sobre a superfície cilíndrica (1) quando são dados os valores de r, θ e z. Por está razão essas quantidades são denominadas coordenadas cilíndricas do ponto P e são escritas (r,θ,z). Mais geralmente, se um ponto fixo (a origem O),uma reta fixa ( o eixo OX) e um dado plano ( o plano XY) são tomados como elementos de referência, então, juntamente com as coordenadas cilíndricas (r,θ,z),é possível localizar qualquer ponto no espaço; temos assim o sistema de coordenadas cilíndricas.

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P( r,θ,z) , onder ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2pi e z ∈ ℜ

O ângulo θ pode ser medido como na trigonometria com o eixo OX positivo como lado origem. A fim de que as coordenadas cilíndrica (r,θ,z) representem inequivocamente um ponto no espaço restringiremos os valores de r e θ aos intervalos

Eliminando-se θ e z a partir das relações (2) obtemos a equação (1). Logo as equações (2) são as equações paramétricas da superfície cilíndrica circular reta (1), sendo as variáveis θ e r os parâmetros.

As relações (2) podem ser usadas como equações de transformação entre os sistemas de coordenadas retangulares e cilíndricas. A partir da primeira destas relações obtemos, como no sistema de coordenadas polares, as relações:

xcose
ysen, x
yarctg, yxr +
=θ=θ+=

que também, podem ser usadas como equações de transformação entre os dois sistemas. OBS.: Obviamente o sistema de coordenadas cilíndricas é uma extensão para o espaço do sistema de coordenadas polares.

1)GEOMETRIA ANALÍTICA, CHARLES H. LEHMANN, EDITORA GLOBO. 2)GEOMETRIA ANALÍTICA, ZÓZIMO MENNA GONÇALVES, LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS. 3)GEOMETRIA ANALÍTICA, SMITH GALE-NEELY, AO LIVRO TÉCNICO. 4)GEOMETRIA ANALÍTICA, COLEÇÃO SCHAUM, JOSEPH H. KINDLE, AO LIVRO TÉCNICO. 5)VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA, ARMANDO RIGHETTO, IBLC.

6)GEOMETRIA ANALÍTICA (UM TRATAMENTO VETORIAL), PAULOE BOULOS E IVAN CAMARGO E OLIVEIRA, MAKRON BOOKS EDITORA.

Mara de Carvalho Página 15 25/06/2014

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