Resumo superficies quádricas

Resumo superficies quádricas

Superfícies Quádricas (Resumo)

Seja a equação de 2º grau a três variáveis

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0, onde A, B, C, D, E, F, G, H, I e J são constantes reais tais que A, B, C, D, E, ou F é diferente de zero, e x, y, z são variáveis reais.

As superfícies quádricas (ou simplesmente quádricas) são superfícies dadas pelas equações de 2º grau a três variáveis acima, onde cada quádrica tem sua equação padrão dada pela tabela seguinte:

Superficie Equação Padrão

Esfera x2 + y2 + z2 = r2 Elipsóide

Hiperbolóide de uma folha

Hiperbolóide de duas folhas

Parabolóide elíptico

Parabolóide Hiperbólico

Cone 2

Cilindro Reto Base circular Equação do círculo

Base elíptica Equação da elipse Base Parabólica Equação da Parábola Base Hiperbólica Equação da Hipérbole

Obs: A equação x2 + y2 = 1 em , por exemplo, representa uma circunferência centrada na origem de raio unitário. Entretanto, esta mesma equação em representa um cilindro circular reto de base

na circunferência cuja equação em é x2 + y2 = 1 (Ver figura abaixo). Desse modo, o cilindro cuja base é uma elipse será chamado de cilindro elíptico.

=−− czbya xHiperbolóide de Duas folhas: Parabolóide Elíptico: zbya

Cilindro de Base Parabólica Cilindro de Base Hiperbólica

Exercícios: 1) Seja S uma superfície de equação x2 + y2 + z2 + 3x -7y + 4z – 3 = 0. erifique se abaixo dad superfíci R(0, 2, 1) .2) Identifique a superfície S e faça um esboço da mesma.

2) Discutir e construir o elipsóide cujaequ

O(0, 0, 0) P(1, 5, 2)Q(1, 1, 1)

1.1) V cada pontoo está sobre ae S. 1 ação é dada:

3) Discutir e construir o hiperbolóide uja a) c equação é dada:

e cobo a) xy2 = 4z b) x2 – y2 = z c) x2 + y2 – 4x – 6y – 18z + 13 = 0 d) x2 – y2 = 4z

(x, yão dada a seguir: 100y2 – 4z2 – 50x – 24z = 1 ) (x – 4)2 + 4(y + 3)2 – 16 = 0

4) Discutir nstruir o paralóide cuja equação é dada: 2 + 2

5) Identifique o conjunto dos pontos, z) que satisfazem a cada equaç a) 25x2 – b c) x2 + y

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