04 Arti...Antigos - 026 - artigo enviado ap?s revis?o para o simmec2006

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(Parte 1 de 2)

Rogério Fernandes Brito rogbrito@iem.efei.br

Paulo Mohallem Guimarães paulomgui@uol.com.br

Genésio José Menon genesio@iem.efei.br Departamento de Engenharia Mecânica. Escola Federal de Engenharia de ItajubÆ. EFEI. 37500-176. ItajubÆ. MG. Brasil

Aristeu Silveira Neto aristeus@mecanica.ufu.br aristeus@mecanica.ufu.br Departamento de Engenharia Mecânica. Universidade Federal de Uberlândia. UFU. 38400-206 Uberlândia. MG. Brasil.

Neste trabalho são apresentadas simulações numéricas do escoamento e da transferência de calor de um escoamento turbulento, incompressível, num canal bidimensional com paredes senoidais paralelas, com aplicação ao estudo de trocadores de calor. Na análise numérica foi utilizado o método de elementos finitos (MEF). As equações de conservação são implementadas utilizando-se o esquema de Galerkin. A implementação do modelo de turbulência foi feita por simulação de grandes escalas (SGE) com modelagem sub-malha função estrutura de velocidade de ordem 2. As características do escoamento e da transferência de calor são descritas em termos das distribuições de temperatura, da função corrente e dos números de Nusselt. Devido ao fato do código ser bidimensional, tem-se certa limitação nas aplicações de escoamentos turbulentos encontrados nos processos industriais e bioquímicos. Apesar disto, a geometria estudada no presente trabalho pode ser útil na melhora da taxa de transporte de calor e massa, podendo ser adotado como um passo inicial no projeto de trocadores de calor.

Palavras-chave: Convecção Forçada, Simulação de Grandes Escalas, Elementos Finitos, Turbulência, Trocadores de Calor

Anais do VII Simpósio de Mecânica Computacional Araxá – MG, 31 de maio a 02 de junho de 2006

1. INTRODUÇÃO

Os resultados experimentais, numØricos e analíticos para escoamento com transferŒncia de calor em geometrias com dutos complexos tŒm uma grande importância no projeto e na aplicaçªo de trocadores de calor compactos. A geometria de maior interesse Ø o trocador de calor de placas planas, sendo muito utilizado nos processos químicos, farmacŒuticos e nas indœstrias alimentares. Dependendo da ondulaçªo da superfície da placa, tem-se um ganho maior na taxa de transferŒncia de calor, beneficiando o processo de resfriamento ou aquecimento da geometria em questªo.

Dependendo da aplicaçªo dos trocadores de calor, pode-se ter escoamentos laminar, transicional ou turbulento. Com o objetivo de se analisar o processo de transferŒncia de calor em trocadores de calor, envolvendo a geometria do presente trabalho, a modelagem de escoamentos nªo isotØrmicos e turbulentos por SGE Ø de grande interesse. Dentre as características mais importantes dos escoamentos turbulentos destaca-se a multiplicidade de escalas, que compreende desde as menores estruturas (altas freqüŒncias) as quais sªo controladas pela viscosidade do fluido, atØ as maiores estruturas (baixas freqüŒncias) controladas pela geometria que as geram. Sabe-se que as Simulaçıes NumØricas Diretas (SND) sªo limitadas, pois este tipo de simulaçªo exige a soluçªo de todos os graus de liberdade que caracterizam o escoamento e devido à limitaçªo dos computadores disponíveis atualmente, a SND fica limitada a escoamentos a baixos nœmeros de Reynolds. A SGE tem sido usada, juntamente com os modelos de turbulŒncia apropriados, para prever o campo de escoamentos.

A seguir apresenta-se uma revisªo da literatura, de trabalhos representativos, relacionados aos assuntos estudados.

Choi e Anand (1995) estudaram numericamente a transferŒncia de calor em canais de serpentinas formadas por vÆrios ângulos retos. O escoamento foi considerado turbulento e bidimensional. Na discretizaçªo das equaçıes governantes, foi utilizado o mØtodo de volumes finitos. O modelo de turbulŒncia usado foi o modelo κ - ε padrªo. Na validaçªo do modelo numØrico, os resultados obtidos dos nœmeros de Nusselt mØdios foram comparados com os dados obtidos experimentalmente pela tØcnica de sublimaçªo do naftaleno. A comparaçªo dos resultados numØricos obtidos com os experimentais foi considerada boa com um desvio mÆximo de 17,4.

Nonino e Comini (1998) utilizaram o MEF, com um esquema de Bubnov-Galerkin, para estudar o escoamento laminar num canal de placas paralelas e corrugadas. Nas paredes do canal, foram impostas condiçıes de temperatura simØtricas e assimØtricas, permitindo assim obter diferentes condiçıes de contorno tØrmicas. Na validaçªo do modelo numØrico, os resultados numØricos obtidos foram comparados com os resultados obtidos das soluçıes analíticas disponíveis, para as distribuiçıes de temperatura e velocidade completamente desenvolvidos, para o caso de um canal de placas paralelas. AlØm disso, o mØtodo foi aplicado, com bons resultados, na anÆlise do escoamento e da transferŒncia de calor em canais corrugados e num canal de placas paralelas com aletas deslocadas.

Bagshaw et al. (1999) montaram um banco de ensaio para estudar o escoamento de ar num canal corrugado, do tipo dentes de serra . Para comparaçªo dos resultados, o modelo bidimensional CFD foi utilizado para escoamentos no regime laminar e turbulento, usando o modelo κ - ε. Na modelagem CFD, o software Fluent foi usado na geraçªo do escoamento desenvolvido atravØs de um canal ondulado, no formato de dentes de serra . No modelo numØrico, a malha de diferenças finitas foi gerada com a ajuda do software Ansys. Uma malha com 900 elementos foi escolhida para discretizar a regiªo de escoamento.

Correa e GuzmÆn (2000) realizaram simulaçıes numØricas do escoamento e da transferŒncia de calor de um fluido newtoniano num canal bidimensional com paredes

Anais do VII Simpósio de Mecânica Computacional Araxá – MG, 31 de maio a 02 de junho de 2006 senoidais paralelas. Foi utilizado na discretizaçªo espacial o mØtodo de elementos espectrais e na discretizaçªo temporal, o esquema de Adams-Bashfort juntamente com os procedimentos de Euler-backward e Crank-Nicholson. Considerou-se o escoamento laminar, desenvolvido, transiente e incompressível com propriedades tØrmicas constantes. Os resultados do escoamento sªo descritos em termos da dinâmica de vórtices, espectros de freqüŒncias e linhas de corrente. A transferŒncia de calor Ø analisada atravØs dos resultados dos nœmeros de Nusselt. Os resultados numØricos obtidos mostraram que a partir de um valor crítico de

Reynolds (Re ≅ 149), apareceram oscilaçıes que evoluem para um estado de periodicidade. Concluiu-se que o aumento das taxas de transporte de calor e massa foi fortemente influenciado pela apariçªo destas oscilaçıes presentes no escoamento.

Metwally e Manglik (2000) estudaram o escoamento laminar com convecçªo forçada em canais de placas corrugadas senoidais. Considerou-se o escoamento desenvolvido, periódico, com propriedades físicas constantes e com condiçªo de temperatura uniforme nas paredes. Os resultados numØricos foram obtidos utilizando-se o mØtodo de volumes finitos e o software

Fluent para uma grande faixa de razªo de aspecto de ondulaçªo do canal (0 ≤ γ ≤ 1), com diferentes nœmeros de Reynolds (10 ≤ Re ≤ 2000) e para vÆrios líquidos viscosos (Pr = 5, 35 e 150).

Neste trabalho Ø estudado o escoamento turbulento no regime nªo permanente e a transferŒncia de calor por convecçªo forçada num canal de placas paralelas senoidais, o qual tem aplicaçªo em trocadores de calor. Na discretizaçªo das equaçıes de conservaçªo utilizouse o MEF com o esquema de Galerkin. A simulaçªo do escoamento turbulento Ø feita atravØs da SGE com modelagem sub-malha de funçªo estrutura de ordem 2. Os resultados numØricos obtidos no presente trabalho foram apresentados para nœmero de Reynolds Re = 64000 e 90

0, com a geometria do canal γ = 1,0 e nœmero de Prandtl Pr = 0,7. Considerou-se escoamento uniforme na entrada do canal.

2. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

Estuda-se o escoamento entre placas no formato senoidal com o objetivo de se determinar o nœmero de Nusselt global NuG na superfície superior S3. A figura 1 apresenta a geometria estudada. No trabalho de Brito et al. (2001) foi feito um estudo da malha computacional levando em conta a precisªo dos resultados e o tempo computacional.

B2 B3 B4 B5

B6 B7 B8 B9 B10 B11

B12 B13 B14 B15

B16 H

S3 S2 S1 x y

Figura 1 Geometria de placas corrugadas no formato senoidal. S4

Ω g

1” Período 2” Período 3” Período 4” Período

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Após vÆrios testes, adotou-se uma malha formada por elementos triangulares lineares, estruturada e uniforme com 7414 pontos nodais e 14112 elementos.

A malha adotada Ø mostrada na figura 2. Utilizou-se o modelo de turbulŒncia SGE, com modelagem sub-malha funçªo estrutura de velocidade (F2). Para a geometria, adotou-se uma razªo de aspecto de ondulaçªo γ = 1,0. A geometria Ø formada por 16 blocos, ou NB = 16, sendo que cada período da geometria, tem-se 4 blocos, resultando em 4 períodos adotados para a sua formaçªo. Na geraçªo da malha, foi utilizada a funçªo trigonomØtrica senoidal.

Figura 2 Malha computacional utilizada. As equaçıes governantes para o problema sªo descritas pelas equaçıes (1) a (3).

ijj2 j xxx1

∂ ji t

j i i ji i u x ux Puuu , (2) jj2 j xxxt ∂

TuTT t j j , (3) sendo iu e ju as componentes de velocidades, P a pressªo modificada, T a temperatura, t o tempo, ρ a massa específica, ν a viscosidade cinemÆtica, νt a viscosidade cinemÆtica turbulenta, α a difusividade tØrmica e αt a difusividade tØrmica turbulenta. No item 3 serÆ mostrado que a viscosidade turbulenta νt varia no espaço e no tempo, sendo ainda dependente do tamanho da malha computacional. As condiçıes iniciais e de contorno sªo:

Para a placa inferior, dada pela superfície S4, tem-se que y = sen(πx/λ), onde:

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onde Um = 1,0, sendo o perfil de velocidade uniforme imposto na fronteira aberta S1. Para S1:

Para a fronteira aberta S2 de saída, vem:

A definiçªo do nœmero de Reynolds Ø dada por:

O nœmero de Nusselt local Nu pode ser calculado por:

() mw w

TTK qH2K onde h Ø o coeficiente de transferŒncia de calor local, K Ø a condutividade tØrmica do fluido e wq′′ Ø o fluxo de calor local na parede. A temperatura mØdia Tm na seçªo transversal Ø dada pela equaçªo:

m dyudyuTT 0

(1)

O comprimento de onda s do canal onde se troca calor com o meio externo Ø dado por:

onde o valor do limite superior da integral dada pela equaçªo (12) vai depender do nœmero de blocos formados pela geometria. Com o objetivo de se calcular o nœmero de Nusselt global

NuG, faz-se um balanço de energia sobre o comprimento da geometria envolvida, resultando em:

onde wGq′′ Ø a taxa de calor global calculada na parede; m! Ø a taxa de escoamento de massa; cp Ø o coeficiente de calor específico, Tmo e Tmi sªo as temperaturas mØdias nas seçıes, respectivamente, de saída e entrada dentro de um período, da funçªo seno, da geometria. O

Anais do VII Simpósio de Mecânica Computacional Araxá – MG, 31 de maio a 02 de junho de 2006 nœmero de Nusselt global no período NuG Ø obtido da equaçªo da taxa de transferŒncia de calor baseada na variaçªo da temperatura mØdia logaritmica ∆Tℓm, sendo:

G TAK H2qNu

mow miw mowmiw m

TTn T "

", (15) e AC Ø a Ærea de contato da parede. Trabalhando com as equaçıes (12), (14) e (15), obtemos para o Nusselt global no período NuG a seguinte expressªo:

mow miw

TTn s2 PrReHNu", (16) onde s Ø o comprimento de linha da parede num período da geometria, dado pela equaçªo (12). A seguir sªo apresentados os parâmetros tØrmicos e geomØtricos utilizados. NP Ø a relaçªo dada por NB sobre quatro, onde NP Ø o nœmero de períodos gerados. Assim tem-se:

4 NBNP=. (17)

A razªo de aspecto de ondulaçªo γ Ø dada pela relaçªo da dimensªo H, da fronteira aberta S1, pelo comprimento de onda da ondulaçªo, λ, sendo:

As equaçıes de conservaçªo sªo desenvolvidas utilizando-se a SGE com modelagem submalha e funçªo estrutura de velocidades de ordem 2. Na SGE com modelagem sub-malha, as equaçıes de conservaçªo sªo modificadas atravØs de um processo de decomposiçªo das variÆveis associadas ao escoamento. As variÆveis do escoamento F sªo decompostas na soma de uma parcela dita de grandes escalas f e outra dita sub-malha f′, ou seja, ffF′+=. A parte filtrada f Ø obtida utilizando-se um filtro G a qual pode ser definido de diversas formas. Uma vez realizado o processo de decomposiçªo das variÆveis, aparecem termos de transporte convectivo que nªo podem ser calculados diretamente, sendo necessÆrio decompô- los usando a expressªo ffF′+=. Isto dÆ origem ao tensor de Reynolds sub-malha e ao

Anais do VII Simpósio de Mecânica Computacional Araxá – MG, 31 de maio a 02 de junho de 2006 fluxo turbulento de energia tØrmica (Silveira-Neto, 1998). No presente trabalho, estes termos sªo modelados usando a modelagem sub-malha Função Estrutura de Velocidade de Ordem 2. Após isto, obtØm-se as equaçıes de conservaçªo de (1) a (3) para escoamento turbulento.

As equaçıes de conservaçªo filtradas que descrevem o escoamento em estudo consideram as seguintes hipóteses: regime nªo permanente, escoamento bidimensional e turbulento, escoamento incompressível, a funçªo dissipaçªo viscosa foi desprezada na equaçªo da energia, as propriedades do fluido sªo constantes, sem geraçªo interna de calor, os efeitos de compressibilidade sªo desprezados.

Existem vÆrios modelos de turbulŒncia, mas a maioria deles traz resultados mØdios. A

SGE com o modelagem sub-malha funçªo estrutura de velocidades de ordem 2, Ø um modelo que traz resultados nªo mØdios que carregam todas as instabilidades físicas e com freqüŒncias tanto maiores quanto mais refinadas forem as malhas. No caso do MEF com o elemento linear, a funçªo estrutura de velocidades de ordem 2 Ø suficiente para a precisªo dos resultados obtidos.

A SGE se baseia no conceito da viscosidade turbulenta νt(x#, ∆, t), a qual Ø uma propriedade do escoamento, varia no espaço e no tempo. No MEF, a viscosidade cinemÆtica ν

Ø uma propriedade do fluido imposta no elemento e nªo no ponto nodal. A viscosidade turbulenta νt, que Ø uma propriedade do escoamento, Ø calculada para cada elemento. A obtençªo da difusividade tØrmica turbulenta αt(x#, ∆, t) Ø feita dividindo-se νt(x#, ∆, t) por 0,7, isto Ø, αt(x#, ∆, t) = νt(x#, ∆, t) / 0,7. No presente trabalho a viscosidade turbulenta para o elemento Ø calculada no centróide do elemento levando em conta as velocidades nos centróides dos elementos vizinhos. Por se tratar de uma simulaçªo numØrica bidimensional, faz-se uma adaptaçªo no cÆlculo da funçªo estrutura de velocidades F2, utilizado no cÆlculo da viscosidade turbulenta νt. No modelo 3D, as velocidades dos elementos vizinhos sªo calculadas dentro de uma esfera de um raio R prØ- calculado. JÆ no modelo 2D, essas mesmas velocidades sªo calculadas dentro de um círculo de raio R. Cada elemento vizinho tem o centróide posicionado numa distância menor ou igual ao valor do raio R de uma circunferŒncia que envolve esses elementos vizinhos do elemento em questªo. O valor deste raio R Ø dado por R = δ (a + b + c)/3, onde a, b e c sªo as distâncias do centróide atØ os vØrtices do elemento e δ Ø um fator, cujo valor adotado Ø 1,9.

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