Cálculo numérico-Unidade II

Cálculo numérico-Unidade II

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UERJ – CTC – IME – Departamento de Informática e Ciência da Computação

Cálculo Numérico – Professora Mariluci Ferreira Portes

Unidade II - Séries de Potências

II.1 - Introdução

As linguagens de programação de computadores fornecem certas funções tais como seno, cosseno, logaritmo, exponencial, etc.

No entanto, muitas vezes não temos a função pré-definida e recorremos ao desenvolvimento em série de potências para fazer nossos cálculos.

II.2 - Série de Taylor e MacLaurin

Definição 1 : Uma série da forma , onde “a” e ci (0  i < ) são constantes, é classificada de série de potências em (x - a).

Se a = 0, temos uma série de potências em x.

Obs: Toda série de potências em (x - a) é convergente, pelo menos para x = a.

Ex.:

II.2.1 - Descrição do método de calcular funções por série de potências:

Seja y = f(x) uma função contínua e que todas as suas derivadas existam no domínio que nos interessa.

Suponha que se conheça tudo da função no ponto x = 0, ou seja:

f (0)  valor da f (x) em x = 0

f ’(0)  inclinação da curva f (x) em x = 0

f ”(0)  curvatura da f (x) em x = 0

f n(0)  n-ésima derivada da f (x) em x = 0

y

0 x1 x2 x3 x

  • Se x1 está bem próximo de x0, podemos fazer: f (x1)  f(x0) ; e o erro será bem pequeno.

  • Para x2 um pouco afastado da origem, a melhor aproximação será dada pela tangente à curva f (x) . A inclinação da tangente é dada por f ’(0).

A equação da reta é y = mx + b  f (x) = f ’(0)∙ x + b

Para x = 0, tem-se b = f(0)

Logo, se x  [0 , x2]  f (x)  f(0) + f ’(0) ∙ x

  • Para x3 bem afastado da origem, uma melhor aproximação será dada pela parábola:

f (x)  a0 + a1x + a2 x2 ; de tal forma que a0 = f(0) a1 = f ’(0)

Precisamos determinar a2 .

f ’(x) = a1 + 2 a2 x

f ”(x) = 2 a2

Então:

De um modo geral, para x afastado da origem o valor exato da f (x) será dado por um polinômio de grau infinito, ou seja:

Para se determinar , apliquemos a derivação sucessiva de f (x) em x = 0:

Dai, vem que:

Então:

, que é o desenvolvimento da f (x) em série de MacLaurin.

Como muitas vezes é inconveniente, ou mesmo impossível, desenvolver uma função em torno de x = 0 (caso do log. neperiano), então temos a generalização da série de MacLaurin que é chamada Série de Taylor.

Consideremos f (x) satisfazendo a condição de continuidade e possuindo derivadas de todas as ordens em um certo domínio de nosso interesse.

Suponha que se conheça o valor desta função e de suas derivadas no ponto x = a.

Formemos a seguinte série de potências:

f (x) =

Diferenciando f (x) e calculando x = a , determinamos .

Dai, vem:

; que é o desenvolvimento da f (x) em Série de Taylor.

Exemplo 1 : Desenvolver f (x) = sen x , em Série de MacLaurin.

Exemplo 2: Desenvolver f (x) = ln x , em torno de x = 1.

Pergunta: para que valores de x este desenvolvimento do ln x é bom?

Caso 1  x = 0

não converge, ou melhor, tende a -  .

Caso 2 x = 1

ln 1 = 0

Caso 3  x = 2

A convergência é garantida pelo Teorema de Leibnitz, quecujo enunciado é:

“Se um série alternada satisfaz as condições:

  1. Cada termo é, em módulo, menor que o anterior.

  2. O limite dos termos é zero.

Então a série possui uma soma finita e, além disso, o erro que se comete ao tomarmos n termos está entre zero e o termo de ordem (n + 1) não nulo .”

De acordo com o Teorema, a série converge:

O erro,

se aproximarmos = 0,78333 , está entre zero e .

0,617 < ln 2 < 0,78333

ln 2 = 0,6931

Caso 4 x = 3

não converge, pois cada termo, em módulo, é maior que o anterior.

Obs:

  1. Para x = 0 , o ln não existe e esse ponto é chamado de ponto singular.

  2. O desenvolvimento em Série de Taylor só é válido para uma região conhecida como região de convergência.

  3. A região de converg6encia estende-se em todas as direções com um raio igual a distância ao mais próximo ponto singular.

  4. No desenvolvimento acima, o raio de convergência é igual a 1.

II.3 - Raio de Convergência:

Teorema: Seja uma série de potências em (x - a). Se , então R é raio de convergência da série de potências.

No desenvolvimento da Série de Taylor,

Aplicação: (no cálculo de ln x )

II.4 - Erro de truncamento no desenvolvimento em série.

Considere a função f (x) desenvolvida em Série de Taylor em torno de x = a, ou seja:

Sejam Rn os termos da série após o termo que envolve a n-ésima derivada. Queremos uma expressão para Rn.

Se f (x) é contínua e suas derivadas existem em [a , x] , então:

Comparando com o desenvolvimento em Série de Taylor, vem:

Integremos R0 por partes:

u = f ’(t) du = f ”(t) dt

dv = dt v = t - x

Logo:

f (x) = f (a) + R0

f (x) = f (a) +

R1 =

Integrando R1 por partes:

u = f ”(t) du = f ’”(t) dt

dv = (x - t) dt v =

Logo:

R2 =

Dai concluímos que:

Vamos transformar Rn na forma Lagrangiana.

Para t  [a , x], f n + 1(t) possuí distintos valores. Seja m o menor desses valores e M o maior deles.

Existe 1  [a , x] tal que o resto sob a Forma Lagrangiana é

OBS: Na prática, trabalhamos com uma cota superior para f n + 1 (t).,ou seja

, onde M = máx | f n + 1 (t)| em [a , x]

Exemplo: Determine o valor da constante exponencial , com erro inferior a 10-6.

A. Desenvolver f (x) = ex em série de MacLaurin

Para x = 1 , temos:

B. Raio de Convergência

 Para x  Reais temos a convergência garantida.

C. Erro de Truncamento

Então:

Obs: Pela calculadora o valor e = 2,718281828

Lista de exercícios sobre a Unidade II

1) Desenvolva as funções abaixo em Série de MacLaurin:

a) f(x) = sen x

b) f(x) = cos x

c) f(x) = ex

2)

a) Desenvolva f(x) = ln x em Série de Taylor em torno de a = 1 .

b) Calcule o raio de convergência da Série acima.

c) Calcule ln 1,2 com 2 decimais exatas.

3) Calcule o raio de convergência do desenvolvimento em série das funções do exercício 1.

4)

a) Desenvolva f(x) = 1/ ex em serie de Taylor em torno do ponto a = 1.

b) Calcule o raio de convergência.

c) Calcule 1/ e1,3 com 3 decimais exatas.

5) Desenvolva f(x) = sen x em torno de a = /2 , e determine o seno de 93o (graus) com 3 decimais exatas.

6) Desenvolva f(x) = em torno de a = 1 e determine o valor e com 3 decimais exatas.

Trabalho Computacional: Desenvolver a função f (x) = sen (x) em Série de Taylor em torno do ponto a = 1, e calcular f (1) com 30 termos, 60 termos e 100 termos que aparecem no desenvolvimento. Compare os resultados obtidos com o valor obtido quando utilizamos a função “ sen (x) ” pré-definida.

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