Baixe Introdução a Mecânica dos Fluidos 5ªed. - Fox McDonald - capitulo2 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Química, somente na Docsity! CAPÍTULO 2 Problema 2.1 Dados: Campos de velocidade listados a seguir. (a e b são constantes) Determine: (a) Dimensões de cada campo de velocidade. (b) Se o campo é permanente ou transiente. Solução: As dimensões de cada campo de velocidade serão determinadas em relação a um sistema de coordenadas xyz. CAMPO DIMENSÕES PERMANENTE OU TRANSIENTE? (1) r V ae ibx [ ] ˆ unidimensional permanente r r V V x ( ) r r V V t≠ ( ) (2) r V ax i bxj 2ˆ ˆ unidimensional permanente r r V V x ( ) r r V V t≠ ( ) (3) r V ax r ibt [ ] ˆ2 unidimensional transiente r r V V x ( ) r r V V t ( ) (4) r V axi byj ˆ ˆ bidimensional permanente r r V V x y ( , ) r r V V t≠ ( ) (5) r V ax t i by j ( ) ˆ ˆ2 bidimensional transiente r r V V x y ( , ) r r V V t ( ) (6) r V ax i bxzj 2ˆ ˆ bidimencional permanente r r V V x z ( , ) r r V V t≠ ( ) (7) r V a x y z ( ) ( / )/2 2 1 2 31 tridimensional permanente r r V V x y z ( , , ) r r V V t≠ ( ) (8) r V axyi byzt j ˆ ˆ tridimensional transiente r r V V x y z ( , , ) r r V V t ( ) CAP002 11/8/02, 9:17 AM1 Problema 2.2 Dados: Líquido viscoso cisalhado entre discos paralelos. O disco superior gira, o inferior é fixo. O campo de velocidade é r V e rwz h ˆ / . Determine: (a) As dimensões do campo de velocidade. (b) As condições físicas de contorno a serem satisfeitas. Solução: Para determinar as dimensões, compare com a forma r r V V x y z ( , , ). O campo de velocidade dado é r r V V r z ( , ).Duas coordenadas espaciais estão incluídas, logo o campo é 2-D. 2−←  D O escoamento deve satisfazer a condição de não deslizamento: (1) No disco inferior estacionário, r V 0. z 0, logo Entra r V e rw h ˆ ( ) /0 0∴ satisfeita z 0←  (2) No disco superior, r V e rw ˆ ,pois ele gira como um corpo sólido. z h, logo r V e rw h h e rw ˆ ( ) / ˆ ∴ satisfeita z h←  Problema 2.6 Dados: Campo de velocidade, r V ax i bxyj 2ˆ ˆ a 2 m1s1, b 4 m1s1; coordenadas em metros. Determine: (a) As dimensões do campo de escoamento. Por quê? (b) As componentes da velocidade em (x, y, z) (2, 1/2, 0) (c) A equação da linha de corrente passando pelo ponto (2, 1/2, 0). Plote: Várias linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (2, 1/2, 0). Solução: (a) As dimensões são determinadas pelo número de coordenadas espaciais necessárias para especificar o campo de velocidade. r r V V x y , ,( ) logo o campo é 2-D (e permanente) ( )a←  (b) Em (x, y, z) (2, 1/2, 0) u ax m s m m s v bxy m s m m m s w b 2 2 22 2 8 4 2 1 2 4 0 ( ) ←  / / ; ( ) (c) Como r r V V ( )z e w 0, o escoamento é o mesmo em qualquer plano xy. As linhas de corrente são paralelas a r V, logo dy dx v u bxy ax b a y x e dy y b a dx xlinha de corrente   2 CAP002 11/8/02, 9:17 AM2 Solução: A linha de emissão para t 3 s conecta partículas que passaram pelo ponto (x0, y0) em tempos anteriores τ 0, 1, 2 e 3 s. Para uma partícula, u dx dt v dy dt / /e Então u ax l bt dx dt e dx x a l bt dt x x a t b t a t b t x x e x x t t a t b t ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 ∫ ∫           Também v dy dt cy dy y c dt y y c t y y e y y r t c t , , ln ( ), ( ) 0 0 0∫ ∫ Substituindo para a, b, c, x0 e y0, resulta x e y e Linha de emissão x y t t t [( )] , ( ) (, , 0 1 2 2 ) ( )←  A linha de emissão pode ser traçada substituindo valores para na faixa de 0 3 s como mostrado a seguir. A linha de corrente é obtida (para um dado t) a partir de dy / dx v u )linha de corrente . Deste modo dy dx cy ax bt e dy y c a bt dx x y y c a bt x x ou y y x x y y x x c a bt / ( ) ( ) ln ( ) ln / ( ) 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 ∫ ∫       Substituindo valores para a, b, c, x0 e y0, obtemos y x ou x y Linha de corrente t t 1 1 0 2 1 0 2/( , ) ( , ) ←  Para t x y t s x y t s x y 0 1 2 1 2 1 4 , , , , , CAP002 11/8/02, 9:18 AM5 Problema 2.19 Dados: Bolhas de hidrogênio geradas na localização (0, 0) em um campo de escoamento transiente dado por u m s v m s t s u v m s t s 1 1 0 2 0 1 5 2 4 / / , / Determine: (a) Trajetórias das bolhas deixando a origem em t 0, 1, 2, 3 e 4 s. (b) Localização das bolhas em t 4 s. (c) Posição da linha de emissão em t 4 s (mostre em pontilhado). Solução: As coordenadas da partícula no tempo t são dadas por x u dt y v dt t t 0 0∫ ∫, Prepare uma tabela para localizar as partículas em tempos sucessivos. Localização (x, y) em metros no tempo Bolha N.º t 0 t 1 s t 2 s t 3 s t 4 s A 0, 0 1, 1 2, 2 2, 3,5 2, 5,0 B 0, 0 1, 1 1, 2,5 1, 4,0 C 0, 0 0, 1,5 0, 3,0 D 0, 0 0, 1,5 E 0, 0 Problema 2.26 Dados: Variação da viscosidade dinâmica do ar com a temperatura (absoluta) dada por bT s T 1 2 1 / / onde b 1,458 106 kg/(msK1/2), S 110,4 K. Determine: Equação para calcular a viscosidade cinemática do ar (em unidades SI) como uma função da temperatura. Admita comportamento de gás ideal. Verifique o resultado usando dados do Apêndice A. Solução: Para um gás ideal, P RT. Da Tabela A.6, R 286,9 Nm/(kgK). A viscosidade cinemática, ≡ / ∴ RT P RT P bT s T Rb P T s T b T s T 1 2 3 2 3 2 1 1 1 / / / / / / CAP002 11/8/02, 9:18 AM6 onde b Rb p N m kg k kg m s k m N b m s k b T s T 286 9 1 458 10 101 3 10 4 129 10 1 6 1 2 2 3 9 2 3 2 3 2 , , , , / / / / / ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∴ ←  onde b 4,129 109 m2/(sK3/2); S 110,4 K; unidades de T são (K); é em m2/s. Avalie para T 20°C 293,2 K 4 129 10 293 2 1 110 4 293 2 1 506 10 9 3 2 5 2, ( , ) , / , , / / m s Da Tabela A.10 (Apêndice A) para T 20°C 1,51 105 m2/s Confere. Problema 2.28 Dados: Escoamento laminar entre placas paralelas. u u y hmáx 1 2 2    T 15°C, umáx 0,05 m/s, h 5 mm, água. Determine: A força sobre a seção da placa inferior com A 0,3 m2. Solução: Aplique as definições de fluido newtoniano e de tensão de cisalhamento Equações básicas: F A du dy yx, Consideração: (1) Fluido newtoniano Para o perfil dado, u u y h o du dy u y h h u y h máx máx máx 1 2 2 2 2 82 2                  , log ( ) Na superfície inferior, y h/2 yx y máx máxerior du dy h u h h u h (inf ) / ( / )      2 8 2 4 2 xy 0 e a superfície é positiva, logo para a direita. F A u A h yx máx 4 Do Apêndice A, Tabela A.8, 1,14 103 Ns/m para 15°C, logo F N s m m s m mm mm m 4 1 14 10 0 05 0 3 1 5 103 2 2 3, , , ⋅ F 0,0137 N (para a direita) F←  CAP002 11/8/02, 9:18 AM7 Determine: Viscosidade dinâmica do líquido na folga entre os cilindros. Solução: O torque imposto deve balancear o torque resistente da força de cisalhamento. A força de cisalhamento é dada por F A onde A 2 Rih Para um fluido newtoniano du dy . Como o perfil de velocidade foi suposto linear, V h , onde V é a velocidade tangencial do cilindro interno, V Ri . Dessa forma, F A V d R h R wh d i i 2 2 2 e o torque T R F R wh d i i 2 3 Resolvendo para , Td R wh N m mm mm mm rev rad s mm m N s m i2 0 021 0 02 1 2 1 31 5 100 1 150 2 60 1000 8 07 10 3 3 3 3 3 3 4 2 , , ( , ) min . min ( ) , / ⋅ ⋅ ←  Problema 2.44 Dados: Acoplamento, fabricado de cilindros concêntricos como mostrado, deve transmitir potência 5 W. A folga mínima, 0,5 mm, deve ser preenchida com um fluido de viscosidade . Outras dimensões e propriedades estão indicadas. Determine: A viscosidade do fluido. Solução: Equações básicas: r du dr • força de cisalhamento, F A • torque, T FR • potência, T Considerações: (1) Fluido newtoniano. (2) Perfil linear de velocidade na folga. CAP002 11/8/02, 9:18 AM10 Modelo do escoamento na folga r r du dr V r R R R R [ ( )] ( ) { } 1 2 1 2 Para a potência transmitida T FR w rA R w R RL h R L 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 ( ) ( ) Resolvendo para a viscosidade, 2 5 5 10 2 9000 1000 1 0 01 1 0 02 2 3600 0 202 2 1 2 3 4 3 3 2 2 2 2 2 2 ( ) min min ( , ) , ( ) min , / R L w m rev rev m m N m s w rev rad s N s m ⋅ ⋅ ←  {Essa viscosidade corresponde à do óleo SAE 30 a 30°C} Problema 2.46 Dados: Viscosímetro de cone e placa mostrado; o ápice do cone apenas toca a placa; o ângulo é muito pequeno. Entra Fig. 2.46A Determine: (a) Deduza uma expressão para a taxa de cisalhamento no líquido que preenche a folga. (b) Avalie o torque sobre o cone rotativo em termos da tensão de cisalhamento e da geometria do sistema. CAP002 11/8/02, 9:18 AM11 Solução: Como o ângulo é muito pequeno, a largura média da folga é também muito pequena. É razoável supor um perfil linear de velocidade através da folga e desprezar os efeitos de extremidades. A taxa de cisalhamento (ou de deformação) é dada por ̇ du dy u y Para qualquer raio, r, a velocidade V r e a largura da folga h r tan ∴ ˙ tan tan r r Dado que θ é muito pequeno, tan e ˙ ˙ ←  Nota: A taxa de cisalhamento é independente de r. A amostra inteira está sujeita à mesma taxa de cisalhamento. O torque sobre o cone rotativo é dado por T r dF onde dF dAyx ∫ ⋅ Visto que ̇ é constante (para um dado ), então yx constante e T rdF r dA r r dr A yx yx R ∫ ∫ ∫ 0 T R Tyx 2 3 3 ←  Problema 2.49 Dados: Viscosímetro de cilindro concêntrico mostrado; líquido semelhante a água. O objetivo é obter 1% de acurácia no valor da viscosidade dinâmica. Especifique: Configuração e dimensões para alcançar 1% de acurácia na medida e parâmetros a serem medidos para calcular a viscosidade. CAP002 11/8/02, 9:18 AM12 Tabulando os resultados de cálculos similares resulta: função torque somatório (grau) (N/m2) ( ) (N·m) (N·m) 0,5 10,2 0,15 4,13E-06 4,13E-06 1,5 29,3 1,30 3,55E-05 3,96E-05 2,5 45,0 3,33 9,07E-05 1,30E-04 3,5 56,2 5,81 1,58E-04 2,89E-04 4,5 63,2 8,39 2,29E-04 5,17E-04 5,5 66,8 10,82 2,95E-04 8,12E-04 6,5 67,9 12,96 3,53E-04 1,17E-03 7,5 67,3 14,80 4,03E-04 1,57E-03 8,5 65,8 16,32 4,45E-04 2,01E-03 9,5 63,6 17,58 4,79E-04 2,49E-03 10,5 61,1 18,60 5,07E-04 3,00E-03 11,5 58,5 19,42 5,29E-04 3,53E-03 12,5 56,0 20,08 5,47E-04 4,08E-03 13,5 53,5 20,60 5,61E-04 4,64E-03 14,5 51,0 21,01 5,72E-04 5,21E-03 15,5 48,8 21,32 5,81E-04 5,79E-03 Na tabela, “função” é sen a R 2 1 cos cos ( ) e 1 grau 0,0175 rad para a integração numérica. máx sen R R sen1 0 1 20 75 15 5   °, Torque integrado 5,5 103 Nm T←  Problema 2.53 Dados: Pequenas bolhas de gás formadas quando um refrigerante é aberto; D 0,1 mm. Determine: Estime a diferença de pressão de dentro para fora de tais bolhas. Solução: Considere um diagrama de corpo livre de metade de uma bolha. Duas forças agem: Pressão: F p D p 2 4 Tensão superficial: F D Somando as forças para o equilíbrio ∑ F F F p D Dx p 2 4 0 CAP002 11/8/02, 9:19 AM15 Logo pD ou p D4 0 4 Admitindo que a interface refrigerante-gás é semelhante à da água-ar, tem-se 72,8 mN/m, e p N m m N m kPa p4 12 8 10 1 0 1 10 2 91 10 2 913 3 3 2 , , , , ←  Problema 2.57 Dados: Água, com módulo de compressibilidade considerado constante. Determine: (a) Variação percentual na massa específica a 100 atm. (b) Gráfico da variação percentual da massa específica versus pressão (em atm) até 50.000 psi. (c) Comente sobre a consideração de massa específica constante. Solução: Por definição, E dp v d . Considerando Ev constante, resulta d dp Ev Integrando de 0 a , obtemos ln , log / 0 0 0 p p Ev p Ev o e p Ev A variação relativa na massa específica é 0 0 0 0 1 1 p p p p p e p Ev/ Da Tabela A.2, Ev 2,24 GPa para água a 20°C. Para p 100 atm (manométrica), p 100 atm, logo 0 9 3100 1 2 24 10 101 325 10 1 0 00453 0 453exp ( , , ) , , , %atm Pa Pa atm ou Para p 50.000 psi, 0 9 3 50 000 1 2 24 10 101 325 10 14 696 1 0 166 16 6exp ( . , , , ) , , %psi Pa Pa psi ou Dessa forma, a consideração de massa específica constante não é razoável para um jato cortante operando a 50.000 psi. Massa específica constante (variação de 5%) seria razoável até p 16.000 psi 1.100 atm. CAP002 11/8/02, 9:19 AM16 Problema 2.58 Dados: Escoamento viscoso, incompressível, laminar, sobre uma placa plana semi-infinita, esquematizado abaixo. Determine: (a) Esboço de yx como uma função de y nas localizações x1 e x2. (b) Esboço de yx ao longo da superfície da placa (y 0) como uma função de x. Solução: Supondo que o fluido seja newtoniano, yx du dy . Considere a tensão sobre uma superfície de y positivo. Dado que o gradiente de velocidade é positivo, yx 0 e a tensão age no sentido de x positivo. Na borda camada limite, du/dy 0 e, portanto yx 0. CAP002 11/8/02, 9:19 AM17