Baixe Introdução a Mecânica dos Fluidos 5ªed. - Fox McDonald - captulo8 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Química, somente na Docsity! CAPÍTULO 8 Problema 8.5 Dados: Um tubo liso com D 12,7 mm. Determine: (a) A vazão em volume máxima para escoamento laminar de água. (b) A velocidade média máxima para escoamento laminar de ar. (c) Os comprimentos de entrada correspondentes. Solução: Equações de cálculo: Re ; , Re VD VD Le D v 0 06 Dados (Tabela A.10): Ar v 1,46 105 m2/s (15°C) (Tabela A.8): Água v 1,00 106m2/s (20°C) Para escoamento laminar, Re 2300, portanto, o valor de Reynolds máximo é 2300. Q VA V D A D m m v Re ( , ) , 2 2 2 4 2 4 4 0 0127 1 27 10 Para a água V m s m m s Q m s m m s Água Q Q m s L m s L 1 10 2300 1 0 0127 0 181 0 181 1 27 10 2 29 10 2 29 10 1000 60 1 38 6 2 4 2 5 3 5 3 3 , , / , , , / , min , /min ←  Para o ar V m s m m s Ar V 1 46 10 2300 1 0 0127 2 645 2 , , , / ←  O comprimento de entrada depende somente do número de Reynolds, portanto, é o mesmo para ambos os casos: Le 0,06 Re D 0,06 2300 0,0127 m 1,75 m Le←  CAP008/1 11/5/02, 8:04 AM1 Problema 8.7 Dados: Escoamento laminar na seção de entrada de um tubo mostrado esquematicamente na Fig. 8.1. Determine: Esboce a velocidade na linha de centro, a pressão estática e a tensão de cisalhamento de parede, como funções da distância ao longo do tubo. Explique os aspectos significativos dos gráficos, comparando-os com o escoamento comple- tamente desenvolvido. A equação de Bernoulli pode ser aplicada em alguma parte do campo de escoamento? Se afirmativo, onde? Explique brevemente. Discussão: A velocidade na linha de centro, a pressão estática e as variações na tensão de cisalhamento de parede estão esboçadas adiante. Cada variação esboçada está alinhada verticalmente com as seções correspondentes do escoamento em desenvolvimento no tubo na Fig. 8.1. Camadas limites crescem sobre a parede do tubo, reduzindo a velocidade perto da parede. A redução na velocidade torna- se mais pronunciada escoamento abaixo. Conseqüentemente a velocidade na linha de centro deve crescer na direção da corrente para transportar a mesma vazão mássica através de cada seção do tubo. (Quando o escoamento laminar torna-se completamente desenvolvido, a velocidade na linha de centro torna-se o dobro da velocidade média em qualquer seção transversal.) Efeitos de atrito estão concentrados nas camadas limites. As camadas limites não se juntam na linha de centro por uma certa distância ao longo do tubo. Neste caso, na região central do tubo fora das camadas limites, o escoamento pode ainda ser considerado como se fosse invíscido. O escoamento fora das camadas limites é permanente, sem atrito, incompressível e ao longo de uma linha de corrente. Estas são as restrições requeridas para a aplicação da equação de Bernoulli. Então, a equação de Bernoulli pode ser aplicada como um modelo razoável para o escoamento real fora das camadas limites. A equação de Bernoulli prediz que a pressão decresce quando a velocidade do escoamento cresce. Após as camadas limites atingirem a linha de centro do canal, o escoamento inteiro é afetado pelo atrito. Então, não é mais possível aplicar a equação de Bernoulli. Quando o escoamento torna-se completamente desenvolvido, a taxa de variação de pressão com a distância torna-se constante. Na região de entrada, a pressão cai mais rapidamente; o gradiente de pressão crescente é causado pelo aumento da tensão de cisalhamento de parede (maior que para o escoamento completamente desenvolvido) e pelo perfil de velocidade em desenvolvimento, o qual faz aumentar o fluxo de quantidade de movimento. No escoamento completamente desenvolvido, a curva de pressão torna-se linear; o gradiente de pressão é constante ao longo do tubo. A curva de distribuição de pressão no final do comprimento de entrada torna-se assintótica em relação à variação linear para o escoamento completamente desenvolvido. A tensão de cisalhamento de parede é inicialmente grande, porque as camadas limites são delgadas. A tensão de cisalha- mento decresce à medida que as camadas limites tornam-se mais espessas. No final do comprimento de entrada, a tensão de cisalhamento aproxima-se assintoticamente do valor constante para o escoamento completamente desenvolvido. Fig. 8.1 Escoamento na região de entrada de um tubo. Perfil de velocidade completamente desenvolvido Comprimento de entrada CAP008/1 11/5/02, 8:04 AM2 Para o óleo SAE 10W a 100°F (37,8°C), µ 3,8 102 N s/m2 (Fig. A.2) 0 038 4 448 0 305 7 95 10 2 2 2 2 4 2, , ( , ) , / N s m lbf N m ft lbf s ft Para essa configuração, l D,, visto que a D. Então, Q a p L a pD L in lbf in in ft lbf s l in in ft Q in s Q 3 3 4 3 3 2 2 4 2 2 4 3 12 12 12 10 100 000 0 25 7 95 10 2 144 5 93 10 ( ) . . . , . , . , . / ←  Verifique o número de Reynolds para assegurar que o escoamento é laminar V Q A Q Da in s in in in s SG Tabela A SG Va SG Va slug ft in s in ft lbf s bf s H O H O 1 5 93 10 1 0 25 1 0 0001 7 55 0 88 2 0 88 1 94 7 55 10 7 95 10 1 4 3 3 4 2 4 2 2 , , , , / , ( . ); Re , ( , ) , , 2 2 2144slug ft ft in Re 0,0113 2300, portanto, o escoamento é, definitivamente, laminar. Problema 8.17 Dados: Um conjunto pistão-cilindro, conforme mostrado. D 6 mm, L 25 mm. O líquido é óleo SAE 30 a 20°C. CAP008/1 11/5/02, 8:04 AM5 Determine: (a) M para produzir p 1,5 MPa (manométrica). (b) A taxa de vazamento em função de a. (c) O valor máximo de a para produzir movimento menor que 1 mm/min. Solução: A massa pode ser determinada a partir de um balanço de forças sobre o pistão. F D p patm Mg então M D g p M m N m s m kg m N s kg M y manométrica 2 2 2 2 6 2 2 2 4 0 4 4 0 006 1 5 10 9 81 4 32 ( ) ( , ) , , , ←  A taxa de vazamento pode ser avaliada, para um escoamento entre placas paralelas, a partir da Eq. 8.6c, desprezando o movimento do pistão, Q a p L ou posto que D Q a pD L a Q 3 3 3 12 12 , , ←  O pistão, movendo-se para baixo com velocidade υ, desloca líquido à taxa Q D m m s m s Então com N s m C Fig A a QL D p N s m m s m 2 2 2 10 3 2 1 3 2 10 3 4 4 0 006 0 001 60 4 71 10 0 42 20 2 12 12 0 42 4 71 10 0 025 υ ( , ) , min min , / . , , / ( , . . ), , , , / °       1 0 006 1 5 10 1 28 10 12 8 2 6 1 3 5 , , , ( , ) / m m N a m m a       ←  Verifique as considerações: V Q A Q Da m s m m mm s Assim V mm s mm s 1 4 71 10 1 0 006 1 1 28 10 1 95 1 1 95 60 0 00855 0 01 10 3 5 , , , , min , min , , υ Portanto, o movimento do pistão é desprezível. Também: Re ; . . ( ), , , ( , ) , / Re , , , , . Va SG Da Tabela A Apêndice A SG N s m m kg kg m N s m s m s m s m H Ov v v 2 2 0 92 0 42 0 92 1000 4 57 10 1 95 10 1 28 10 4 57 10 5 46 10 1 2 3 2 4 2 3 5 4 2 5 <<< Portanto, o escoamento é, seguramente, laminar. CAP008/1 11/5/02, 8:04 AM6 Problema 8.18 Dados: Escoamento viscoso em uma fresta estreita entre discos paralelos, conforme mostrado. A vazão é Q; as acelerações são pequenas. O perfil de velocidade é o mesmo do escoamento completamente desenvolvido. Pede-se: (a)Uma expressão para r V( )r . (b) dp/dr na fresta. (c)Uma expressão para p(r). (d)Mostre que a força líquida requerida para sustentar a placa superior é F QR h R R 3 1 2 3 2µ           o . Solução: A partir da definição de velocidade média, Q V rh por to V Q rh V r 2 2 tan ( )←  A variação da pressão com o raio pode ser determinada por analogia com a Eq. 8.6b Q p x h com r por to Q r p r h Assim dp dr Q h r dp dr 1 12 2 2 1 12 6 3 3 3         ←  tan , , Integrando para determinar p(r), p p atm r R r R atm o o o atm dp p p Q h r dr Q h lnr Q h r R Assim p r p Q h r R R r R p p r R p r ∫ ∫ ] ←  6 6 6 6 3 3 3 3 ln ( / ) , ( ) ln ( / ) ( ); ( ) A força sobre a placa superior é dFz (p(r) patm) 2rdr suprimento de óleo r CAP008/1 11/5/02, 8:04 AM7 A força é F A wl e o torque é T FR wlR. A taxa de dissipação de potência é P wlR n m m m m rev rad rev s w s N m P w P 2 02 10 0 01 0 01 0 150 3600 2 60 11 4 3 2 , , , , min min , ←  Problema 8.29 Dados: Um escoamento completamente desenvolvido entre placas paralelas com a placa superior movendo-se (Fig. 8.5). U 2 m/s; a 2,5 mm. Determine: (a) Q/l para ∂ ∂ p x 0. (b) yx em y 0 para ∂ ∂ p x 0. (c) Plote yx como função de y para ∂ ∂ p x 0. (d) Q aumentará ou diminuirá, se ∂ ∂ p x 0 ? (e) ∂ ∂ p x 0 para yx 0 em y 0,25a, se o fluido for o ar. (f) Plote yx como função de y para este caso. Solução: O perfil de velocidade é dado pela Eq. 8.8: u Uy a a p x y a y a 2 2 2                   (a) Para ∂ ∂   ←  ∫∫ ° p x u Uy a Q udy Uy a dy U a y Ua Q m s m m s m Q o a o a a 0 2 2 1 2 2 0 0025 0 00250 2 3 , ; , , / / / ( ) ; , . , , / , , , / b yx yx du dy para p x U a Para ar a C N s m N s m m s m N m yx ∂ ∂ ° ←  0 15 1 79 10 1 79 10 2 1 0 0025 0 0143 5 2 5 2 2 (c) A tensão de cisalhamento é constante para ∂ ∂ p x 0. ; veja o gráfico a seguir. (d) Q diminuirá, se ∂ ∂ p x 0; Q aumentará, se ∂ ∂ ← p x Q 0. CAP008/1 11/5/02, 8:05 AM10 A tensão de cisalhamento é dada pela Eq. 8.9a: yx U a a p x y a ∂ ∂         1 2 (e) Para 0 0 25 0 1 4 1 2 4 4 1 79 10 2 1 0 0025 22 9 2 5 2 2 2 2 em y a U a a p x ou p x U a p x N s m m s m N m m p x , , , , , / /         ( ) ←  (f) Para plotar, calcule yx em y a: yx U U a a p x a a z p x N m m N m N m x ∂ ∂         ∂ ∂     1 1 2 0 0143 1 2 0 0025 22 9 0 0429 2 3 2 , , , , Plotando: Problema 8.31 Dados: Uma correia movendo-se em regime permanente através de um banho químico, conforme mostrado. Banho: , Admita como zero a tensão de cisalhamento entre as superfícies filme/ar; não existem forças de pressão. CAP008/1 11/5/02, 8:05 AM11 Determine: (a) As condições de contorno para a velocidade em y 0, y h. (b) O perfil de velocidade. Solução: Escolha o VC dxdydz conforme mostrado. Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento. Equação básica: 0 2 0 3( ) ( ) ; .F F t u d u v dA du dy Sx Bx VC SC ∂ ∂ ∀∫ ∫ r r yx Considerações: (1) FSx é devida somente às forças de cisalhamento. (2) Regime permanente. (3) Escoamento completamente desenvolvido. Então, F F F F F d dy dy dxdz d dy dy dxdz gdxdydz ou d dy g Integrando gy c du dy ou du dy gy c Integrando novamente u gy c y c Sx Bx Bx 2 2 0 2 1 1 2 1 2         . , . , Para avaliar as constantes c1 e c2, aplique as condições de contorno: Para y u U por to c U Para y h por to du dy e c gh cc o o 0 0 0 2 1 , , tan , , , tan , ←  Substituindo, u gy ghy U g y hy U uo o 2 2 2     ←  {Note que em y h, u g h Uo 2 2 0   Dessa forma, a solução é determinada somente quando U0 e h são conhecidos.} CAP008/1 11/5/02, 8:05 AM12 Considerações: (1) Fresta estreita, a D. (2) Espaço anular “desenrolado” de modo que l D. (3) Escoamento permanente. (4) Escoamento laminar completamente desenvolvido. Sob essas considerações, o campo de escoamento na fresta é aquele entre placas paralelas com uma das placas em movimento. campo de escoamento←  Defina coordenadas para a massa em movimento: Então, a vazão volumétrica (Eq. 8.9b) é: Q Q D Ua p x a 2 1 12 3    Porém, ∂ ∂ p p L v x , onde pv é a queda de pressão devida ao escoamento viscoso, logo, Q Ua L a Ua a L v v 2 1 12 2 12 3 3     (2) A variação de pressão na massa em movimento é p gL pv (3) Somando as forças sobre a massa em movimento dá 0 3 4 2 ( ) F p D mg F m dU dt x v CAP008/1 11/5/02, 8:05 AM15 Mas, mg D L e F DLm v S , 2 4 Da Eq. 8.9a, S v m v m v U a a p x U a a p L Substituindo p D D Lg U a a p L DL o ou p gL U a a p L L D 2 2 4 4 2 2 4 2 2             , (4) Combinando as Eqs. 1 e 2 resulta, UD Ua p a L Por to D p L a UD Ua ULD a p v v 4 2 12 12 4 2 3 3 3 3 tan ,     ←  v (5) Combinando as Eqs. 3 e 4 resulta p gL p mgL U a a p L L D v v 2 4    Usando a Eq. 5, P gL ULD a gL U a L D a ULD La L D 3 4 2 3 4 3 3 ln Simplificando e rearranjando, ( ) m gL ULD a UL aD UL a ULD a 3 4 6 3 3 2 3 ≈ Finalmente usando SG U SG SG ga D U H O m H O , , ( ) 2 2 3 3 ←  O intervalo de tempo para a massa deslocar-se de uma distância H é t H U D SG SG ga tm H O 3 2 3 ( ) ←  (6) A Eq. 6 mostra que o intervalo de tempo para a massa cair uma distância H é proporcional à viscosidade do líquido, µ, e inversamente proporcional ao cubo da largura, a, da fresta. Uma variação de temperatura afetaria o diâmetro do tubo de medição e o diâmetro da massa caindo. Uma variação de temperatura afetaria também a viscosidade do líquido no tubo. A velocidade da massa caindo é proporcional ao cubo da largura da fresta. Se o coeficiente de expansão térmica da massa caindo fosse maior que o do tubo de medição de vidro (o que parece apropriado), então a largura da fresta anular decresceria com o aumento da temperatura. Isto tenderia a diminuir a velocidade da massa caindo. O valor total da expansão térmica CAP008/1 11/5/02, 8:05 AM16 depende dos diâmetros da massa e do tubo. O efeito sobre a fresta seria tanto maior quanto maior fosse o diâmetro do tubo comparado com a largura inicial da fresta. É possível igualar o coeficiente de expansão térmica do tubo, pelo uso de um material adequado, àquele da massa que cai. Neste caso, não haveria um diferencial de expansão térmica entre o tubo e a massa, e as variações de temperatura não afetariam a largura da fresta. A velocidade da massa caindo é inversamente proporcional à viscosidade do líquido. A viscosidade do líquido diminui acentuadamente conforme a temperatura aumenta (a viscosidade do óleo SAE 30 diminui mais de 10% quando sua tempera- tura aumenta de 20°C para 25°C, veja Fig. A.2). Isto tenderia a aumentar a velocidade da massa caindo. O conjunto inteiro deveria ser mantido a temperatura constante. Problema 8.41 Dados: Escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo, com u R p x r R 2 2 4 1           Determine: A distância radial a partir do eixo do tubo na qual a velocidade local, u, iguala-se à velocidade média, V. Solução: Inicialmente, determine V. V Q A R uda R R p x r R rdr R p x r R r R d r R R p x r R R A 1 1 4 1 2 3 1 3 1 2 2 2 2 2 0 2 2 0 1 2 ∂ ∂                   ∂ ∂                   ∂ ∂     ∫∫ ∫ / 2 4 0 1 2 1 4 8 R R V R p x           ∂ ∂ Portanto, u V quando u R p x r R V R p x ou r R ou r R r R R r 2 2 2 2 2 4 1 8 1 1 2 1 2 2 0 707                   ← , CAP008/1 11/5/02, 8:05 AM17 Equações básicas: 0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( ) ;F F t u d upV dA du dr Sx Bx VC SC ∀∫ ∫ r r rx Considerações: (1) FBx 0. (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento completamente desenvolvido. Então, F F F d dr dr r dr dx d dr dr r dr dxSx 2 2 2 2 2 2 0               Despreze os produtos de diferenciais, reduzindo essa equação a r d dr o ou d dr r o Assim r c ou c r r Mas du dr por to du dr c r e u c nr c u r ( ) ←  ←  , ( ) , tan , ( ) 1 1 1 1 2 Para avaliar as constantes c1 e c2, use as condições de contorno. Para r r u V por consegu e V c r c Para r r u por consegu e c r c e c c r Por to subtraindo V c r r ou c V r r c por consegu e c i o o i o o o o i o o i o , , int , ln , , int , ln ln tan , , ln ln( / ) , int , 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0     V r r r o o i o ln ln( / ) Finalmente, u V r r r r V r r r r u r o i o i o o i o ln( / ) (ln ln ) ln( / ) ln( / ) ( )←  CAP008/1 11/5/02, 8:05 AM20 Problema 8.54 Dados: Um canal horizontal retangular com escoamento completamente desenvolvido de água. p p1 p2 1,78 kPa Determine: A tensão média de cisalhamento de parede, w. Solução: Aplique a equação da quantidade de movimento na direção x ao VC limitado pela superfície do duto. Equação básica: 0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( ) F F t u d u V dASx Bx VC sc ∀∫ ∫ r r Considerações: (1) Canal horizontal (dado). (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento completamente desenvolvido. Então, F p WH W H L p WH ou p p WH W H L p H H W L Sx w 1 2 2 12 0 2 2 1 ( ) ( ) ( )     ou w kPa m m Pa N m w 1 78 2 0 03 1 1 30 240 1 3 7 91 7 91 2 , , ( / ) , ( , / ) ←  Como w 0, a tensão de cisalhamento age para a esquerda sobre o fluido, e para a direita sobre a parede do canal. Problema 8.56 Dados: Um líquido com viscosidade e massa específica da água em um escoamento laminar em um tubo capilar liso. D 0,25 mm, L 50 mm. Escoamento VC ∞ x CAP008/2 11/5/02, 8:07 AM21 Determine: (a) A máxima vazão volumétrica. (b) A queda de pressão requerida para fornecer a vazão máxima. (c) A correspondente tensão de cisalhamento de parede. Solução: O escoamento será laminar para Re 2300. Re VD VD Q A D Q D D Q D 4 4 2300 2 Portanto, (para T 20°C) Q D m s m m s Q 2300 4 2300 4 1 0 10 0 00025 4 52 106 2 7 3 , , , / ←  (Esta vazão corresponde a 27,1 mL/min.) Um balanço de forças sobre o elemento fluido mostra que: F p D DL ou p L D x w w 2 4 0 4 Da Eq. 8.14, para escoamento laminar em tubos, u u r R máx 1 2           Assim, w y o r R máx r R máx máx w u y u r u r R u R Mas u V por to V D V D V D             2 2 2 2 2 2 8 8 2 , tan , / Também V Q A Q D m s m m s 4 4 4 52 10 1 0 00025 9 21 2 7 3 2 2 , ( , ) , / Portanto, w kg m m s m s m N s kg m N m Pa w 8 999 1 0 10 9 21 1 0 00025 294 294 3 6 2 2 2, , , / ( ) ←  e p m m N m kPa p4 0 05 1 0 00025 294 235 2 , , ←  CAP008/2 11/5/02, 8:07 AM22 Verifique o número de Reynolds: Re , , Re , Va u a m s m s m máx2 3 2 3 6 0 0002 1 00 10 800 800 1500 6 2 << portanto, o escoamento é laminar. Problema 8.68 Dados: Escoamento de água através de um tubo com as condições mostradas. V 1 5, / .m s Determine: A perda de carga entre a entrada e a saída do tubo. Solução: Aplique a equação de energia para o regime permanente, incompressível. Equação básica: ( ) ( ) ( )1 0 0 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 p V gz p V gz h T Considerações: (1) Escoamento completamente desenvolvido, por conseguinte, 1 2. (2) p2 0 psig. Então, h p gz N m m kg m s m N s kg m h J kg h T T T 1 2 5 2 3 2 2 5 90 10 999 9 81 25 345 , , / ←  Escoamento (manométrica) CAP008/2 11/5/02, 8:07 AM25 Problema 8.78 Dados: Água bombeada através do sistema de escoamento mostrado. Q 2 ft3/s. Determine: (a) A altura de carga suprida pela bomba. (b) A perda de carga entre a saída da bomba e a descarga livre. Solução: Aplique a equação de energia ao VC em torno da bomba para regime permanente. Equação de cálculo: ˙ ˙W m p V gz p V gzent 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2                 Considerações: (1) Escoamento incompressível. (2) 2 2 2 3 3 2 4 4 2V V V . (3) z2 z3. A carga é energia por unidade de massa (ou por unidade de peso). Sobre uma base de unidade de massa, h w m p p lbf in ft slug in ft ft lbf slug h bomba ent bomba ˙ ˙ ( ) ( ) , 1 50 5 1 94 144 33403 2 2 3 2 2 ←  Aplique a equação da energia para escoamento permanente, incompressível, entre e . Equação de cálculo: p V gz p V gz h T 3 3 3 2 3 4 4 4 2 4 2 2         (8.29) Considerações: (4) p4 patm. (5) 3 3 2 4 4 2V V Então, h p gz lbf in ft slug in ft ft s ft lbf s slug ft h ft lbf slug h T T T 3 4 2 3 2 2 2 2 50 1 94 144 32 2 90 813 , , / ←  D 6 in. (Os cotovelos são flangeados) Descarga livre z4 90 ft CAP008/2 11/5/02, 8:07 AM26 Sobre uma base de unidade de peso, H w mg p p g lbf in ft lbf in ft ft e H h g ft lbf slug s ft slug ft lbf s t ent T T ˙ ˙ ( ) , , , 3 2 3 3 2 2 2 2 50 5 62 4 144 104 813 32 2 25 2 f Problema 8.80 Dados: Água escoando em um tubo liso, horizontal, de 3 in de diâmetro, com vazão mássica de 0,006 slug/s. A queda de pressão observada é 0,065 lbf/ft2 por 100 ft de tubo. De acordo com o diagrama de Moody, o fator de atrito pode ser 0,021 ou 0,042. A temperatura é 150°F. Determine: O valor correto para o fator de atrito f. Solução: Aplique a equação de energia para escoamento permanente, incompressível, uniforme em cada seção e a definição de hT. Equações básicas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 0 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 p V gz p V gz h h h L D V T T m r f Considerações: (1) Escoamento completamente desenvolvido com área constante, portanto, V V h1 3 0 e m . (2) z1 z2. Então, p p p L D V ou p p L D V D p p L V 1 2 2 1 2 2 1 2 22 2 2 f f ( ) Com as considerações citadas, a equação da continuidade torna-se ̇m A V , então, V m A slug s ft slug ft ft s ˙ , , ( , ) , 0 006 1 94 4 1 0 25 0 0630 2 2 CAP008/2 11/5/02, 8:07 AM27 Determine: O aumento de vazão em volume que resulta da mudança do contorno da borda de entrada do duto. Solução: Aplique a equação de energia para um escoamento permanente e incompressível em um tubo. Equações de cálculo: 0 1 2 2 0 4 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ; ;, p V gz p V gz h h h h h K V p g h T T m ent H O Considerações: (1) V1 0 . (2) Despreze as mudanças de elevação. (3) Escoamento uniforme na saída. (4) Despreze as perdas por atrito. Então, p p p V K V V K g h ent ent H O 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2( ) ou V p p K g h Kent H O ent 2 1 22 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) Da Tabela 8.2, Kent 0,5 para entrada de borda viva, Kent 0,04 para entrada de borda arredondada. V kg m m s m m kg m s V ificado kg m m s m m kg m s 2 3 2 3 2 3 2 2 2 1 50 999 9 81 0 0025 1 23 5 15 2 1 04 999 9 81 0 0025 1 23 6 19 , , , , , / (mod ) , , , , , / Como Q VA , tem-se Q V V A m s m m s Qm( ) ( , , ) ( , ) , /2 2 2 2 36 19 5 15 4 0 150 0 0184 ←  O aumento percentual na vazão em volume é Q Q V V V m% , , , , %. 100 100 6 19 5 15 5 15 100 20 22 2 2         CAP008/2 11/5/02, 8:07 AM30 Problema 8.92 Dados: Água a 45°C entra em um chuveiro através de um tubo circular com 15,8 mm de diâmetro interno. A água sai em 24 filetes, cada um com 1,05 mm de diâmetro. A vazão volumétrica é de 5,67 l/min. Determine: (a) Estime a pressão mínima de água necessária na entrada do chuveiro. (b) A força necessária para manter o chuveiro fixo na extremidade do tubo circular, indicando claramente se é uma tensão de tração ou de compressão. Solução: Aplique a equação de energia para escoamento permanente e incompressível em um tubo, e a componente x da quantidade de movimento, usando o volume de controle mostrado. Considerações: (1) Escoamento permanente. (2) Escoamento incompressível. (3) Despreze as variações em z. (4) Escoamento uniforme, 1 2 1. (5) Use pressões manométricas. Então, 0 2 2 0 24 4 2 08 10 4 1 96 10 5 67 1 1 96 10 1000 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 1 1 4 2 1 1 4 2 3 ( ) , , , min , manométrica p V gz p V gz h h h A D m A D m V Q A L m m L T m     min , / , , , , / 60 0 487 0 487 1 96 10 2 08 10 4 592 1 1 2 4 2 5 2 s m s V V A A m s m m m s Use K 0,5 para um orifício de bordas vivas, 999 kg/m3 (Tabela A.8). Dessa forma, p V K V V K V V p kg m m s N s kg m kPa manométrica p 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 990 1 0 5 4 59 0 487 15 5 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( ) [ ] [ ] ←  Use a quantidade de movimento para achar a força. 24 correntes Linha de corrente Acoplamento CAP008/2 11/5/02, 8:08 AM31 Equação básica: 0 6 0 1( ) ( ) F F t u d u V dASx Bx VC SC ∫ ∫ r r Considere: (6) FBx 0. Então R p A u Q u Q V Q V Q Q V V Note que u V e u V R p A Q V V N m m kg m L x g x g 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 3 2 4 2 3 15 5 10 1 96 10 990 5 67 0 { } { } { } ( ) { } ( ) . ( ) , , , min ( , , ) min , ( , . ., ) 487 4 59 1000 60 2 65 3 m s m L s R N no sentido mostrado i e Rx xtração ←  Problema 8.99 Dados: Um sistema para medir a perda de pressão em água escoando em um tubo liso. O sistema é alimentado por um tanque elevado de nível constante. O sistema consiste em: • Uma entrada de borda viva. • Dois cotovelos-padrão de 45°. • Dois cotovelos-padrão de 90°. • Uma válvula gaveta totalmente aberta. • Tubo de comprimento L 9,8 m e diâmetro D 15,9 mm. Determine: A elevação, acima do tubo de descarga, da superfície da água no tanque de suprimento necessária para alcançar o número de Reynolds desejado. Solução: Re . , , / ( . ). Re , Re , , , / DV DV Admita T C m s Tabela A Para V D m s m m s v v v 20 1 00 10 8 10 10 1 0 10 1 15 9 10 6 29 6 2 5 5 6 2 3 ° CAP008/2 11/5/02, 8:08 AM32 perda localizada perda total K K f L D K K h h Para plotar z versus Q V Q D Q m s z V g K K f L D V g f onde ent saída ent saída ent saída m T 1 5 135 1 5 0 011 1 1 4 509 2 2 1 5 5000 2 3 2 , , , , % ( / ) , / ←      [ ] f f e D h h K K K K f L D f m T ent saída ent saída (Re, / , ) , , 0 003 1 5 1 5 5000 A razão h hm T / aumenta com o aumento de Re porque f decresce conforme Re cresce. Problema 8.104 Dados: Escoamento de ar padrão a 35 m3/min, em dutos lisos de área A 0,1 m2. Determine: Compare a queda de pressão por unidade de comprimento para um duto de seção circular com aquela para dutos retangulares de razão de aspecto 1, 2 e 3. Solução: Aplique a equação de energia para escoamento permanente, incompressível e uniforme em cada seção. Use o diâmetro hidráulico. Equação básica: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ; 1 2 1 2 0 3 2 2 2 41 1 2 22 2 p V gz p V gz f L D V h D A Ph hm Vazão volumétrica, Q (m3/s) CAP008/2 11/5/02, 8:08 AM35 Mas, V Q A m m s m s m s Tabela A VD m s D m s m D m V N mh h h 35 1 0 1 60 5 83 1 46 10 10 5 83 1 48 10 3 99 10 2 20 9 3 2 5 2 3 2 5 2 2 min , min , / ; , / . ( . ) Re , ( ) , , ( ); , / Para um duto circular, D D A m mh 4 4 0 1 0 357 1 2 1 2 2         , , Para um duto retangular, D A P bh b h h ar ar onde ar b h Mas h b ar o h bh ar A ar ou h A ar e D ar ar A h h 4 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) , log , , / / Para tubos lisos, use Fig. 8.13 (ou a correlação de Blasius, f 0 316 1 4 , Re / para determinar f. Resultados tabulados: Considerações: (1) V V1 2 . (2) z1 z2. (3) h m 0. Então, p p p f L D V ou p L f D V h n 1 2 2 2 2 CAP008/2 11/5/02, 8:08 AM36 Seção Dh Re f p/L Aumento do Duto (m) Configuração (—) (—) (N/m2) Percentual Redondo 0,357 1,43 105 0,0162 0,948 — Quadrado (ar 1) 0,316 1,26 105 0,0167 1,11 14,6 ar 2 0,298 1,19 105 0,0170 1,19 20,3 ar 3 0,274 1,09 105 0,0173 1,32 28,2 {Note que f varia somente cerca de 7%. A grande variação em p/L é devida essencialmente ao fator f/Dh.} Problema 8.107 Dados: Escoamento de água, Q 0,11 ft3/s, através de uma seção de ferro galvanizado corroído com diâmetro interno de 10 in, com leituras de pressão conforme mostrado. Determine: (a) Estime a rugosidade relativa do tubo. (b) A porcentagem de economia de potência de bombeamento que resultaria se o tubo fosse restaurado ao seu estado de novo, limpo. Solução: Aplique a equação de energia para escoamento permanente, incompressível em um tubo. Equação de cálculo: p V gz p V gz h h h h f L D V K V T T m 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 4 2 2         ( ) (1) (2) CAP008/2 11/5/02, 8:08 AM37 Problema 8.114 Dados: Dois tubulões abertos conforme mostrado. A água escoa por gravidade. Determine: Estime a taxa de variação do nível no tubulão esquerdo. Solução: Aplique a equação de energia para um escoamento quase-permanente e incompressível em tubo. Equação de cálculo: 0 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 p p V gz p V gz h h h h f L D d K K V Da continuidade A V A V T T m ent saída t             ( ) , . Considerações: (1) Despreze os efeitos não-permanentes. (2) Escoamento incompressível. (3) p1 p2 patm. (4) V V1 2 , posto que os diâmetros são iguais. Então, g h h f L D d K K V T ent saída ( )    2 2 A vazão mássica (e, portanto, a velocidade) é desconhecida, por isso, suponha que o escoamento está na região completa- mente rugosa. e/D 0,3/75 0,004, por conseguinte, f 0,028 do diagrama de Moody (Fig. 8.13). CAP008/2 11/5/02, 8:08 AM40 Da Tabela 8.2, Kent 0,5; da Fig. 8.15, Ksaída 1,0. Então, V g h f L D d K K m s m m s Verifique e Para água a C m s Tabela A ent saída 2 2 9 81 2 5 0 028 4 0 75 0 075 0 5 1 0 4 25 20 1 00 10 1 2 1 2 2 6 2 ( ) , , , ( , ) , , , , / , , / ( .                       °Re f. 8 4 25 0 075 1 00 10 3 19 10 6 2 5 ) , , , ,Re Vd m s m s m Do diagrama de Moody, f 0,029, portanto, a concordância é satisfatória. V A A V d D Vp m s m s para baixot1 1 2 20 075 0 75 4 25 0 0425        , , , , / ( ) O nível de água no tanque da esquerda cai cerca de 42,5 mm/s. ←  Problema 8.119 Dados: O sifão mostrado é fabricado com alumínio trefilado com 2 in de diâmetro interno. O líquido é água a 60°F. Determine: (a) Calcule a vazão volumétrica. (b) Estime pmin dentro do tubo. Solução: Aplique a equação de energia para escoamento permanente, incompressível e uniforme em cada seção. Equações básicas: ( ) ( ) ( ) ; 1 2 1 0 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 p V gz p V gz h h f L D V h h K V f L D V T T m m ent e curva     Considerações: (1) p1 p2 patm. (2) V1 0. (3) Escoamento uniforme na seção , 2 1,0. (4) Entrada reentrante. CAP008/3 11/6/02, 12:23 PM41 Então, gz V f L D V K V K V f L D V gz V K f L D L D ent ent e curva ent e curva 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1                     Uma solução iterativa para V é requerida. Da Tabela 8.2 para entrada reentrante Kent 0,78. Para a curva R/d 1,5 ft/0,167 ft 9 Da Fig. 8.17, Le/D 28 para uma curva de 90°. Como uma primeira aproximação, considere Le/D 56 para a curva de 180°. Para o tubo reto, L 10 ft, L/D 60. Então, 2 32 2 8 1 0 78 56 60 1 78 116 2 2 2 2 2 , , , ft s ft V f V f{ }[ ] [ ] Para um tubo de alumínio trefilado com diâmetro de 2 in, e 5 106 ft (Tabela 8.1), e/D 0,00003. Admita Re , int , , , / . tan , Re , / ( , ) , . Re , , , / . tan , Re , 5 10 0 0138 12 3 6 12 3 1 2 10 1 71 10 1 71 10 0 016 11 9 6 11 9 5 2 5 2 5 5 2 por consegu e f e V ft s Por to DV ft ft s s ft Com f e V ft s Por to DV ft ft s s v v 1 2 10 1 65 10 0 016 4 4 1 6 11 9 0 260 5 2 5 2 2 2 3 , , , . , , / ft f Q AV D V ft ft s ft s Q ⇒ ∴    ←  A pressão mínima ocorre no ponto no tubo; V V3 2 . ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 3 3 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 3 2 p V gz p V gz K V f L D V f L D V p g z z V K f L D L D ent e curva ent e curva tubo                                   ←  1 94 32 2 1 5 11 9 2 1 0 78 0 016 28 12 2 96 3 2 2 2 2 3 , , ( , ) ( , ) ( , , { }) , slug ft ft s ft ft s p psig pmín CAP008/3 11/6/02, 12:24 PM42 Problema 8.124 Dados: Uma prensa hidráulica acionada por uma bomba remota de alta pressão. Determine: O mínimo diâmetro do tubo de aço trefilado que pode ser utilizado para o óleo SAE 10W a 40°C. Solução: Aplique a equação de energia para escoamento permanente e incompressível em tubo. Equação de cálculo: 0 3 0 3 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ; p V gz p V gz h h f L D L D K V T T e         Considerações: (1) Escoamento completamente desenvolvido, 1 1 2 2 2 2V V . (2) z1 z2. (3) Despreze as perdas localizadas. Então, p f L D V 2 2 D não é conhecido, então, não podemos calcular V e Re para determinar f. Q é pequeno, portanto, tente escoamento laminar. Para escoamento laminar completamente desenvolvido, da Eq. 8.13c, p QL D por to D QL p 128 4 128 1 4 tan       Para o óleo SAE 10W a 40°C, µ 3,3 102 Ns/m2 (Fig. A.2) D N s m m m m N s m 128 3 3 10 0 032 50 1 10 60 0 01382 2 3 2 6 1 4 , , min ( ) min ,       Verifique Re para garantir que o escoamento é laminar: V Q A Q D m m s m s VD VD 4 4 0 032 1 0 0138 60 3 57 2 3 2 2 , min ( , ) min , / Re Para o óleo SAE 10W, SG 0,92 (Tabela A.2), logo Re ( , ) , , , 0 92 1000 3 57 0 0138 3 3 10 1370 3 2 2 2kg m m s m m N s N s kg m Bomba (manométrica) Prensa (manométrica) CAP008/3 11/6/02, 12:24 PM45 Portanto, o escoamento é laminar posto que Re 2300. O diâmetro mínimo permitido para o tubo é D 13,8 mm. D←  O tubo comercial com diâmetro igual ou imediatamente acima deve ser escolhido. Problema 8.127 Dados: Uma nova instalação industrial requer suprimento de 5,7 m3/min de água. A pressão manométrica na tubulação principal de água, a 50 m da fábrica, é 800 kPa. A tubulação de suprimento terá 4 cotovelos num comprimento total de 65 m. A pressão manométrica na fábrica deve ser, no mínimo, de 500 kPa. Determine: A bitola do tubo de ferro galvanizado a ser instalado. Solução: Aplique a equação de energia para escoamento permanente, incompressível e uniforme em cada seção ( 1). Equação básica: ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2p V gz p V gz f L D V h m Considerações: (1) 300 kPa p1 p2 p. (2) Escoamento completamente desenvolvido num tubo de área constante, V V V1 2 . (3) z1 z2. (4) h Le D V V Le D da Tabela m ovelo 4 2 120 2 30 8 5 2 2        cot , . Então, p f L D V ou p f L D V 120 2 120 2 2 2        Como D é desconhecido, um processo iterativo é necessário. As equações de cálculo são: V Q A Q D m D m s D m s VD Q D m s m D m s D T C 4 4 5 7 1 60 0 121 4 4 5 7 1 14 10 1 60 1 06 10 15 2 3 2 2 2 3 6 2 5 , min min , ( / ) Re , min , min , ( )° e 0,15 mm (Tabela 8.1), f da Fig. 8.13. L 65 m. D da Tabela 8.5. D D V Re e/d f L/D Dp (nom) (m) (m/s) () () () () (kPa) 3 0,0779 19,9 1,36 106 0,0079 0,024 834 4530 5 0,128 7,39 8,29 105 0,0012 0,021 508 360 6 0,154 5,10 6,89 105 0,001 0,020 422 141 CAP008/3 11/6/02, 12:24 PM46 Os cálculos de atrito no tubo têm incerteza de 10%. A resistência ao escoamento (e conseqüentemente a perda de carga) aumentará com o passar do tempo. Recomenda-se a instalação de uma tubulação com diâmetro (nominal) de 6 in. D←  Problema 8.129 Dados: Um experimento de atrito utiliza um tubo de latão liso, D 63,5 mm, L 1,52 m. Para uma condição de escoamento de óleo Meriam vermelho, p 12,3 mm e velocidade na linha de centro U 23,1 m/s. Determine: (a) Rev . (b) O fator de atrito f; compare com o valor obtido da Fig. 8.13. Solução: Aplique a equação de energia para escoamento permanente e incompressível ao longo do tubo. Equação básica: p V gz p V gz h h f L D V T 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2         (8.29) Equação de cálculo: V U n n n 2 1 2 1 2 ( ) ( ) (8.24) Considerações: (1) Perfil de lei de potência, n 7. (2) 1 2, z1 z2. (3) O ar está a T 15°C, 1,46 105 m2/s (Tabela A.10). Da Eq. 8.24 com n 7, V U DV m m s s mV V 2 7 8 15 0 817 0 0635 0 817 23 1 1 45 10 8 26 10 2 5 2 4 ( ) ( ) ( ) , Re , , , , , Re v ←  A partir da Eq. 8.29 obtemos, p f L D V / 2 2 CAP008/3 11/6/02, 12:25 PM47 Para um escoamento completamente desenvolvido em um tubo r p x2 ∂ ∂ (8.15) Na linha de centro do tubo 0 ←  Para determinar a potência de acionamento, aplique a equação de energia através da bomba. Admitindo eficiência de 100%, ˙ ˙ ˙ ( ) ˙ ) , W W W bomba sucção bomba F c F c bomba m p V gz p V gz p p AV p p Q N m L s m L N m s 2 2 3 2 3 3 5 2 2 705 197 10 1310 10 6 65 10             descarga (8.47) A potência real de acionamento da bomba é ˙ ˙ / ˙ , / ˙ ) ) ) W W W W bomba real bomba ideal bomba real N m s kW real 8 32 10 8325 ←  Da Eq. 8.15, W R p x2 Ao longo do tubo, de F para G, p f L D V p x p L f D V kg m m m s N s kg m p x N m m R p x m N m N mw W 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 999 0 017 0 508 1 2 6 46 698 2 0 254 2 698 88 6 ∴ ∴ ←  , , ( , ) / / , , / Problema 8.131 Enunciado: Você é chamado para comparar os comportamentos de escoamentos laminar e turbulento completamente desen- volvidos em um tubo horizontal sob diferentes condições. Para a mesma vazão, qual escoamento terá maior velocidade na linha de centro? Por quê? Se o tubo descarrega para a atmosfera, qual seria o aspecto esperado da trajetória da corrente de descarga (para a mesma vazão)? Por quê? Faça um esboço da corrente de descarga para cada caso. Para a mesma vazão, qual escoamento daria a maior tensão de cisalhamento de parede? Por quê? Esboce a distribuição de tensão de cisalhamento /w como uma função do raio para cada escoamento. Para o mesmo número de Reynolds, qual escoamento teria a maior queda de pressão por unidade de comprimento? Por quê? Para uma dada pressão diferencial imposta, qual escoamento teria maior vazão? CAP008/3 11/6/02, 12:25 PM50 Discussão: Os escoamentos laminar e turbulento completamente desenvolvidos em um tubo são comparados a seguir: (a) Para a mesma vazão, o escoamento laminar terá a maior velocidade máxima, porque o perfil de velocidade turbulento é mais achatado. (b) A trajetória da corrente de descarga abre-se para o escoamento laminar por causa da grande variação de velocidade através do tubo de saída. Para o escoamento turbulento, o perfil de saída é mais próximo do perfil uniforme (exceto para a região adjacente à parede) e, portanto, a trajetória é mais uniforme. Visto que a velocidade da linha de centro é maior para o escoamento laminar, o líquido neste escoamento percorre a maior distância horizontal. As trajetórias para os dois casos são mostradas a seguir: (c) Para a mesma vazão (mesma velocidade média), o escoamento turbulento tem a maior tensão de cisalhamento de parede por causa do maior gradiente de velocidade na parede do tubo. Para o escoamento completamente desenvolvido, a força de pressão dirigindo o escoamento é balanceada pela força de cisalhamento de parede. (d) A tensão de cisalhamento varia linearmente com o raio para ambos os casos, a partir de seu valor máximo na parede até zero na linha de centro do tubo. (e) Para o mesmo número de Reynolds, o escoamento turbulento tem uma maior queda de pressão por unidade de compri- mento porque o fator de atrito é maior. (f) Para uma dada queda de pressão (por unidade de comprimento), o escoamento laminar tem a maior vazão (maior veloci- dade média), porque possui menor tensão de parede. Esses dois casos são comparados no filme da NCFMF Turbulence no qual R. W. Stewart usa uma interessante montagem para contrastar os dois regimes de escoamento para vazões constantes em função da viscosidade do líquido. As trajetórias das correntes de líquido deixando o final do tubo estão particularmente bem detalhadas. Problema 8.139 Dados: Um sistema de suprimento de água de resfriamento. Q 600 gpm bomba 0,7 (i) Escoamento laminar (ii) Escoamento turbulento Tubo, D 4 in (alumínio) Comprimento total: L 700 ft Conexões: 15, cada uma com Kconexão 1 Bomba Válvula gaveta, aberta CAP008/3 11/6/02, 12:25 PM51 Determine: (a) A mínima pressão necessária na descarga da bomba. (b) A potência requerida. Solução: Equações de cálculo: p V gz p V gz h h h h h h f L D V h V k f L D bomba e T T m m 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                 , , (8.48) Considerações:(1) V1 0 . (2) 2 3 1. (3) p1 p2 patm. Então, h gz V f L D V V K f L D f L D k V Q A Q D gal ft gal s ft ft s DV ft bomba ent e e j2 2 2 2 2 90 45 2 3 2 2 2 2 2 15 4 4 600 1 7 48 60 0 333 15 3 1 3               ° °cot . cot . ... min , min ( , ) , / Re v 15 3 1 1 24 10 4 11 10 60 7 5 2 5, , , , . ft s s ft para T F Tabela Av °{ } (1) Tabela e s ft tubo trefilado e D Da Fig f Da Tabela K Da Tabela L D L D L D ent e v g e e 8 1 10 1 5 10 8 13 0 0135 8 1 0 78 8 4 8 30 16 6 5 90 45 . , ( ) / , . . , , . , , . , / ) , / ) , / ). . cot . cot . ° ° Então, da Eq. (1), h ft s ft ft s ft s ft s h ft s bomba bomba 32 2 400 1 2 120 0 0135 700 0 333 1 2 15 3 1 2 15 3 0 78 0 0135 30 2 0 0135 16 15 1 2 53 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 , ( ) , , ( , ) ( , ) , , ( ) , ( ) ( ) , / [ ] A potência teórica da bomba é ̇ ˙w m hbomba bomba . Da definição de eficiência ˙ / ˙ ,w wteórica real segue que ˙ ˙ ˙ , , min , min , ˙ w m h Q h w slug ft gal ft gal s ft s lbt s ft slug hp s ft lbf hp w real bomba bomba real real 1 94 0 7 600 7 48 60 2 53 10 550 170 3 3 4 2 2 2 ←  CAP008/3 11/6/02, 12:26 PM52 O ponto de operação está na interseção da: • curva de vazão versus altura de carga do ventilador, com a • curva do sistema (vazão versus queda de pressão no duto). Isto é mostrado no gráfico a seguir. Note que o fator de atrito f é determinado da equação de Colebrook (8.37a), usando a Eq. 8.37b para a estimativa inicial de f. Problema* 8.147 Dados: Um sistema de filtragem de fluxo parcial. Os tubos têm diâmetro nominal de 3/4 in em PVC (plástico liso) com D 0,824 in. A bomba libera 30 gpm a 75°F. A queda de pressão através do filtro é igual a p(psi) 0,6[Q(gpm)]2. Q Re H (ventilador) fo f H (duto) (ft3/min) () (inH2O) () () (inH2O) 0 30 0 5.000 5,15E 05 27,5 0,0130 0,0131 5,9 7.500 7,73E 05 24,4 0,0121 0,0122 12,4 10.000 1,03E 06 20,0 0,0115 0,0116 21,0 12.500 1,29E 06 14,4 0,0111 0,0112 31,6 15.000 1,55E 06 7,5 0,0108 0,0108 44,1 Da piscina Comprimento total Filtro Comprimento total: 40 ft Ventilador Duto Ponto de operação: Q 10.000 ft3/min, H 20 in H2O CAP008/3 11/6/02, 12:26 PM55 Determine: (a) A pressão na descarga da bomba. (b) A vazão através de cada ramal do sistema. Solução: Aplique a equação de energia para escoamento permanente e incompressível em um tubo. Equações de cálculo: p V gz p V gz h h f L D L D K V T T e1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ;         Considerações: (1) 1V V1 2 2 . (2) z1 z2. (3) h m 0 para 1→2. (4) Ignore o “Tê” em . A vazão volumétrica é Q12 30 gpm (0,0668 ft3/s), por conseguinte, V Q A ft s / , / .18 0 Então, Re , , , , , tan , , , , , ( , ) , VD ft s ft s ft por to f p f L D V ft in slug ft ft s lb f s slug ft ft in psi 18 0 0 824 12 1 0 10 1 24 10 0 017 2 0 017 10 0 824 1 2 1 94 18 0 12 5 40 5 2 5 12 2 3 2 2 2     As vazões nos ramais são desconhecidas, mas a divisão do escoamento deve produzir a mesma perda de carga em cada ramal. Resolva por iteração para obter Q gpm V ft s e f p f L D L D V Q p slug ft ft s lbf s slug ft ft e 23 23 4 23 2 2 23 3 2 2 2 2 2 5 2 3 12 2 15 10 0 025 2 2 0 6 0 025 240 0 824 2 30 1 2 1 94 3 12 144 , ; , / ; Re , , , . , , , ( ) / , ( , )         in lbf in psi Q gpm V ft s e f p f L D L D V slug ft ft s lbf s slug e 2 2 2 24 24 5 24 2 3 2 2 2 2 0 6 5 2 16 8 24 8 14 9 1 03 10 0 018 2 0 018 480 0 824 30 1 2 1 94 14 9 , ( , ) , , ; , ; Re , , , , , , ( , )       ft ft in psi 2 2144 16 5, A pressão na descarga da bomba é p p p psi psi pbomba 12 23 5 4 16 8 22 2( , , ) , ←  As vazões nos ramais são Q gpm Q Q gpm Q 23 24 5 2 24 8 23 24 , , ←  ←  CAP008/3 11/6/02, 12:26 PM56 Problema 8.148 Enunciado: Por que a temperatura da água do chuveiro muda quando a descarga do vaso sanitário é acionada? Esboce as curvas de pressão para os sistemas de suprimento de água quente e de água fria para explicar o que acontece. Discussão: Admita que a pressão no duto principal de água que serve os dois sistemas permaneça constante. As vazões de água quente e fria são controladas por válvula(s) no chuveiro. Considerando uma temperatura da água quente de 140°F, a água fria com uma temperatura de 60°F e uma temperatura da água de banho de 100°F, as vazões de água quente e fria devem ser iguais. As duas correntes de água misturam-se antes de chegar no chuveiro e depois espalham-se no seu interior a 100°F. Curvas do suprimento de água e do sistema para a água quente e para a água fria são mostradas a seguir. O diagrama a é para o sistema de água fria e o diagrama b é para o sistema de água quente. Os valores numéricos são representativos de um sistema real. Em geral, as curvas de suprimento para as correntes quente e fria não são as mesmas. A diferença é causada pelos diferen- tes comprimentos de tubos e acessórios de cada sistema. Cada corrente opera na vazão de interseção das curvas do suprimento e do sistema. A equalização dos fluxos é obtida pela mudança das resistências ao escoamento com o ajuste das válvulas do chuveiro. Uma descarga temporária no vaso sanitário aumenta a vazão de água fria para o banheiro. Isto reduz a pressão de supri- mento da água fria chegando no chuveiro. As curvas dos sistemas não mudam porque os ajustes das válvulas continuam os mesmos. Desta forma, a vazão de água fria deve diminuir para de novo igualar as condições de operação do sistema e do suprimento (diagrama c). Quando a vazão da água fria diminui, a temperatura da água do chuveiro aumenta, como comprovado pela experiência! (a) Sistema de água fria: Curva do Curva do Sistema Suprimento Q (gpm) p (psig) p (psig) 0 0,00 50,0 0,2 0,53 49,6 0,4 2,13 48,6 0,6 4,80 46,8 0,8 8,53 44,3 1,0 13,3 41,1 1,2 19,2 37,2 1,4 26,1 32,6 1,6 34,1 27,2 1,7 38,5 24,3 1,8 21,2 Pressão da água no duto principal P re ss ão , p ( ps ig ) (a) Curvas para o sistema de água fria Vazão, Q (gpm) Curva do sistema Ponto de operação Curva do suprimento CAP008/3 11/6/02, 12:26 PM57 Resolvendo para At, A K p K g h A kg s m kg m kg s m m m A D D A mm D t H O t t t t t t ˙ ˙ , , , , , , ; , m m 2 2 0 0984 1 0 97 1 2 1 23 999 9 81 1 0 25 1 31 10 4 4 40 8 2 3 3 2 1 2 3 2 2       ←  O erro permitido é 2% ou 0,02. Conforme discutido no Apêndice E, a relação de raiz quadrada divide a incerteza expe- rimental por dois. Portanto, e quando e h mm mm m h h kg s mm mm kg s h 0 02 0 04 0 5 0 04 12 5 0 0984 12 5 250 0 0220 , , ; , , , ˙ ˙ min , , , / ˙ min min minm m ←  A vazão de ar pode ser medida com incerteza de 2% em rotações inferiores a cerca de 6000 0 0220 0 0984 1340rpm rpm com esse sistema de medição , , . Problema 8.156 Dados: Escoamento de querosene a 40°C através de uma linha de 0,3 m de diâmetro numa refinaria. Espera-se que a vazão mássica não ultrapasse 120 kg/s. Um manômetro com faixa de 1 metro de coluna d’água está disponível para uso com um medidor de orifício. Determine: (a) O diâmetro adequado do orifício. (b) A mínima vazão que pode ser medida com incerteza de 10%, se a leitura mínima do manômetro é 1 mm. Solução: Considere que as tomadas de pressão estão localizadas de forma tal que os dados da Fig. 8.21 possam ser aplicados. Equação de cálculo: ˙ ( ) ( . ) Re , ( . . ) m KA p p K K D D Fig t D t 2 8 54 8 21 1 2 1 1     O problema é determinar At. Primeiramente, determine o número de Reynolds: Re m D VD D kg s m s kg m1 1 1 3 54 4 120 1 1 10 1 0 3 4 63 10 ˙ , , , CAP008/3 11/6/02, 12:27 PM60 Esse valor é suficientemente grande para que K K(Dt/D1) K(), mas não é conhecido. É necessário um processo iterativo. Resolvendo para p, p KA K A A K Para K e p kg s m kg m t 1 2 1 2 2 1 0 75 0 723 1 2 120 0 82 1000 4 0 3 1 0 723 0 75 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 ˙ ˙ ˙ , , , ( ) ( , ) ( , ) , ( , m m m                ) , , tan , , , , 2 2 2 3 2 3 2 2 10 6 10 6 10 999 9 81 1 08 2       N s kg m p kPa por to h p N m m kg s m kg m N s m H O Esse valor ultrapassa a faixa de medição do manômetro, então devemos aumentar . Tabulando e plotando, Estimativa de K h(m) 0,75 0,723 1,08 0,80 0,765 0,748 0,76 0,730 1,01 Do gráfico, a queda de pressão é 1 m quando 0,762. Portanto, D D m mm Dt t 0 762 0 762 0 3 2291, , , . ←  A incerteza nas medidas é, aproximadamente, 1/2 da leitura mínima. Portanto, 10% ocorre quando h 5 mm. Como ̇m h ˙ ˙ / / / , / ˙ / minm mmín máx mm m kg s kg s m 5 120 1 200 8 49 1 2[ ] ←  Iteração 1 Iteração 3 CAP008/3 11/6/02, 12:27 PM61 Problema 8.161 Dados: A vazão volumétrica em um duto de seção circular deve ser obtida usando um “pitot transverso”, ou seja, pela medida da velocidade em vários segmentos de área através do duto, seguida do somatório das vazões nos segmentos. Determine: Comente sobre a maneira como o “pitot transverso” deve ser instalado. Quantifique e trace um gráfico do erro esperado nas medidas da vazão como uma função do número de posições radiais usadas no transverso. Solução: Primeiramente, divida a seção transversal do duto em segmentos de áreas iguais. Em seguida, meça a velocidade sobre a mediana da área de cada segmento. Considere que o escoamento é turbulento e que o perfil de velocidade é bem representado pelo perfil de potência 1/7. Da Eq. 8.24, a razão entre a velocidade média do escoamento e a velocidade na linha de centro é 0,817. Faça distinção de dois casos, para as condições da velocidade ser ou não medida na linha de centro do duto. Caso 1: Medidas de velocidade na linha de centro do duto e em mais outras (k 1) posições. Para k 1, a única medida é aquela na linha de centro do duto. Deste modo, a velocidade U medida na linha de centro é igual a 1/0,817 1,22 vez a velocidade média do escoamento. Portanto, a vazão volumétrica estimada por essa medição de ponto único é 22% maior que o valor real. Para k 2, o tubo é dividido em dois segmentos de áreas iguais. A velocidade medida na linha de centro é admitida como velocidade média na metade da área do duto envolvendo a linha de centro. O segundo ponto de medida está localizado sobre a mediana da área remanescente. Este ponto está localizado, portanto, em um raio que engloba 3/4 da área do duto, ou em r2/ R (3/4)1/2 0,866, como mostrado na planilha de cálculo. A razão de velocidades no segundo ponto é u U/ , . 0 92 Tirando a média das vazões nos segmentos obtém-se (1,22 0,92)/2 1,07. Portanto, a vazão volumétrica estimada por essa medição de dois pontos é 7% maior que o valor real. Para k 3, o tubo é dividido em três regiões de áreas iguais. A velocidade medida na linha de centro é admitida como velocidade média em 1/3 da área do duto envolvendo a linha de centro. O segundo ponto de medida está localizado sobre a mediana do segundo 1/3 de área do duto. Este ponto está localizado em um raio que engloba metade da área do tubo, ou em r2/R (1/2)1/2 0,707. O terceiro ponto de medida está localizado sobre a mediana do terceiro 1/3 de área do duto. Este ponto está localizado em um raio que engloba 5/6 da área do duto, ou em r3/R (5/6)1/2 0,913. Resultados de cálculos para k 4 e 5 são também apresentados na planilha. Caso 2: Medidas de velocidade em k posições não incluindo a linha de centro. Para k 1, o raio é escolhido na metade da área do duto. Assim, r1/R (1/2)1/2 0,707, u U/ , 0 839 0,839 e u V/ , , 1 03 conforme mostrado na planilha. A vazão estimada com esse procedimento é cerca de 3% maior que a vazão real. Para k 2, o duto é dividido em duas áreas iguais. A primeira medida é feita sobre a mediana da área interior, onde o raio engloba um quarto da área total. A segunda medida é feita sobre a mediana da área externa, onde o raio inclui três quartos da área total do duto. Os resultados são mostrados na planilha; a vazão estimada é em torno de 1,4% maior que a vazão real. Para k 3, o tubo é dividido em três áreas iguais. A primeira medida é feita sobre a mediana do 1/3 interior da área do duto, onde o raio engloba 1/6 da área total. A segunda medida é feita sobre a mediana do segundo 1/3 da área do duto, onde o raio engloba 1/2 da área total do duto. A terceira medida é feita sobre a mediana do terceiro 1/3 de área do duto, onde o raio engloba 5/6 da área total do duto. Os resultados são mostrados na planilha; a vazão estimada é 0,9% maior que a vazão real. Resultados de cálculos para k 4 e 5 também estão apresentados na planilha. Notavelmente, o Caso 2 fornece erros menores que 2% para qualquer número de posições de medida. CAP008/3 11/6/02, 12:27 PM62