Curso de concreto armado vol 3

Curso de concreto armado vol 3

(Parte 1 de 7)

J. M. de Araújo

ia CD

Professor Titular - Escola de Engenharia da FURG Doutor em Engenharia

Editora DUNAS e Copyright Editora DUNAS

Este Curso de Concreto Armado é dirigido aos estudantes de graduação em Engenharia Civil e aos profissionais ligados à área de projeto estrutural. Para uma melhor apresentação, a obra foi dividida em quatro volumes, com uma sequência que nos parece apropriada do ponto de vista didático.

Não é nossa intenção abordar todos os aspectos relativos ao tema, o que seria impraticável em virtude de sua abrangência. Nosso único objetivo é apresentar um curso completo e atualizado sobre os métodos de cálculo das estruturas usuais de concreto armado. Em particular, o Curso é dedicado ao projeto das estruturas dos edificios.

N esta terceira edição de Curso de Concreto Armado, fizemos diversas alterações, além da inclusão de novos conteúdos e exemplos numéricos. O leitor irá constatar que novos procedimentos de projeto foram adotados, em relação à edição anterior. No volume 1, por exemplo, foram alterados os limites para o dimensionamento à flexão simples com armadura dupla, para garantir que as vigas tenham uma maior ductilidade no estado limite último. Diversas inovações sobre o cálculo de lajes maciças, lajes nervuradas e lajes cogumelo foram introduzidas nos volumes 2 e 4. No volume 3, incluímos novos conteúdos sobre o contraventamento dos edifícios e o

dimensionamento dos pilares. No volume 4, acrescentamos um capítulo sobre o projeto estrutural em situação de incêndio. Além disso, foram incorporados ao texto os mais recentes resultados de nossas pesquisas relacionadas ao projeto das estruturas de concreto armado. Enfim, esta edição sofreu uma completa reestruturação, tanto em termos de conteúdo; quanto em termos de procedimentos de projeto.

A663c Araújo, José Milton de Curso de concreto armado / José Milton de Araújo. - Rio Grande: Dunas, 2010. v.3, 3.ed.

Bibliografia 1. Concreto armado. 1. Título

Editora DUNAS Rua Tiradentes, 105 - Cidade Nova w.editoradunas.com.br e-mail: contato@editoradunas.com.br

Rio Grande, Setembro de 2010.

\ ~ Volume 1: Propriedades dos materiais para concreto armado. Fun- damentos de segurança. Flexão normal simples: dimensionamento e verificação de seções retangulares e seções T. Esforço cortante.

Ancoragem e emendas das annaduras.{ I

Volume 2: Cálculo de lajes maciças. Cálculo de vigas. Estados limites de utilização.

Volume 3: Flexo-compressão normal e oblíqua: dimensionamento e verificação de seções. Cálculo de pilares curtos e moderadamente esbeltos. Pilares-parede. Pilares esbeltos. Ações horizontais nas estruturas de contraventamento.

Volume 4: Dimensionamento à torção. Flexo-tração. Escadas. Vigas-parede e consolos. Reservatórios. Lajes nervuradas. Lajes cogumelo. Fundações. Projeto em situação de incêndio. (

1. CONSIDERAÇÕES SOBRE A ESTABILIDADE DOS PILARES 1

1.1 - A equação diferencial de equilíbrio dos pilares 1 1.2 - Condições de contorno 5 1.3 - Solução da equação diferencial.. 6

1.4 - Estabilidade dos pilares de concreto armado 10 1.5 - Hipóteses básicas do dimensionamento 12

2. DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL 15

2.1 - Apresentação do problema 15 2.2 - Seção retangular com armadura distribuída 18 2.3 - Cálculo das tensões nas armaduras 21 2.4 - Cálculo da resultante de compressão no concreto 26 2.5 - Equações de equilíbrio 27 2.6 - Cálculo da posição da linha neutra 31 2.7 - Elaboração do programa computacional.. 3

2.9 - Exemplos de dimensionamento•........... 36

2.8 - Tabelas para dimensionamento 35

3. DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO NA FLEXOCOMPRESSÃO NORMAL .41

3.1 - O emprego de diagramas de interação .41 3.2 - Obtenção dos diagramas de interação .42 3.3 - Armadura teoricamente desnecessária 4 3.4 - Fórmulas aproximadas de dimensionamento .45 3.5 - Escolha da disposição das barras .48

4. ANÁLISE DA FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA 51

4.1 - Apresentação do problema 51 4.2 - Equações de equilíbrio 52 4.3 - Rotação do sistema de eixos 5

4.4 - Cálculo das tensões nas barras da armadura 58 4.5 - Determinação da parte da seção comprimida com o diagrama retangular 59 4.6 - Verificação da capacidade resistente 62

5. DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA 69

6. CONSIDERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES DE CONCRETO ARMADO 83

6.1 - Introdução 83 6.2 - Estruturas indeslocáveis ou de nós fixos 85 6.3 - Determinação do índice de esbeltez 95 6.4 - Classificação dos pilares quanto à esbeltez 9

6.5 - Processos simplificados para a consideração dos efeitos de segunda ordem 104 6.6 - Consideração da fluência do concreto 115 6.7 - Efeito de segunda ordem nos pilares-parede 119 6.8 - Flambagem local das lâminas dos pilares-parede 121 6.9 - Dimensionamento de pilares-parede incluindo os efeitos da flambagem local 131 6.10- Imperfeições geométricas localizadas em pilares-parede 137

7. CÁLCULO DOS PILARES CONTRA VENTADOS 143

7.5 - Simplificações para os pilares contraventados dos edifícios 178

8.8 - Desenho de armação dos pilares 202

9.5 - O método dos elementos finitos 212 9.6 - Implementàção computacional do método dos elementos finitos 218 (

( 10. ANÁLISE DAS ESTRUTURAS DE

CONTRA VENT AMENTO 223 ! forças horizontais 224 10.3 - Imperfeições geométricas globais dos edifícios 234

10.4 - Análise de pórticos através do modelo contínuo 237 10.5 - Interação entre painéis de contfÍlVentamento com comportamentos distintos 242 10.6 - Processo rigoroso para repartição das forças horizontais 248

10.7 - Análise de uma subestrutura de contraventamento 258

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 267 APÊNDICE 1: Tabelas para dimensionamento à flexo-compressão normal 271 APÊNDICE 2: Tabelas para dimensionamento à flexo-compressão oblíqua 305

Considere-se o pilar indicado na figo 1.1.1, submetido a uma força normal P e a uma carga transversal q oPor hipótese, a força de compressão P é constante ao longo do eixo do pilar e a flexão ocorre no plano de simetria x - z o

J li'

xt Figo 1,1.1 - Carregamento do pilar

Com a aplicação do carregamento, a barra se deforma de modo que a flecha em uma seção transversal genérica é W = W(x) oNessa seção atuam a força de compressão P, o momento fletor M e a

2 Curso de Concreto Armado

força transversal Q. Em uma seção vizinha, afastada de uma distância infinitesimal dx , o momento fletor e a força transversal sofrem variações infinitesimais. A flecha da barra também sofre um incremento infinitesimal. Porém, a força P permanece inalterada,

z,w ~

prM+~M x

Fig. 1.1.2 - Forças em um elemento infinitesimal

As variações dos esforços e da flecha, indicadas na figo 1.1.2, são dadas por

Fazendo o equilíbrio das forças na direção z , tem-se

Considerações sobre a estabilidade dospilares 3

Fazendo o equilíbrio de momentos fletores em tomo do ponto O e empregando as relações dadas em (1.1.1), tem-se

~., I~ Observa-se que o equilíbrio é garantido na configuração deformada do eixo da barra. Por isso, a força de compressão P introduz um momento fletor adicional na equação (LIA). O termo onde aparece (dx)2 pode ser desprezado, por ser um infinitésimo de ordem superior. Eliminando os termos comuns, a equação (1.104) pode ser escrita como

Diferenciando (1.1.5) em relação a x , obtém-se ( já que a carga P é constante. Substituindo (1.1.3) na eq uação (1. I.6), chega-se a r

dx2 dx2 que é a equação diferencial de equilíbrio do pilar.

Essa equação é válida para qualquer material, elástico Oll não, já que não. foi feita nenhuma hipótese sobre a relação entre o momento fletor e a curvatura das seções transversais da barra.

ir i(

Curso de Concreto Armado

Se o material é elástico linear, a relação entre o momento fletor M e a curvatura X = _d2W / dx2 é dada por

M=_E1 d2W

rv I.

onde E1é a rigidez à flexão das seções da barra, sendo E o módulo dx2 dx2 dx2 que é a equação diferencial de equilíbrio dos pilares constituídos por um material elástico linear. Se a rigidez à flexão E1for constante ao longo do eixo da barra, essa equação toma a forma d4W d2W E1--+P--=q dx4 dx2

Essa equação pode ser escrita como(I,2)

onde (

Considerações sobre a estabilidade dos pilares 5 onde Wp (x) é uma solução particular que depende da forma como a carga transversal q está distribuída ao longo do eixo da barra.

As constantes A,B,C,D são obtidas introduzindo-se as condições de contorno do problema.

Em cada extremidade da barra, aplicam-se duas condições de contorno. As condições de contorno podem ser geométricas, mecânicas ou mistas.

1) Extremidade engastada

Em uma extremidade engastada, têm-se duas condições de contorno geométricas: a flecha e a rotação são nulas. Essas condições de contorno são escritas como~ ~!

2) Extremidade simplesmente apoiada

Em um extremo onde há um apoio simples, a flecha é nula e o momento fletor é igual ao momento externo Mo aplicado nesse extremo. Neste caso, tem-se uma condição de contorno mista. Essas condições são escritas da seguinte forma:

Se não existe momento aplicado nessa extremidade, a condição de contorno mecânica é dada por

6 Curso de Concreto Armado 3) Extremo em bordo livre

Se no bordo livre forem aplicados um momento fletor Mo e uma força transversal Qo' as duas condições de contorno serão

mecânicas. A primeira condição de contorno é a mesma já indicada na equação (1.2.3). Para determinar a segunda condição de contorno, é necessário expressar as forças transversais Q em função das derivadas da flecha da barra. Da equação (1.1.5), tem-se que

onde se observa que a força transversal Q é diferente do esforço cortante V = dM/dx.

Isto ocorre porque o equilíbrio é garantido na configuração deformada da barra, ao contrário da teoria de vigas, onde o equilíbrio é estabelecido na configuração indeformada.

Considerando a equação (1.1.8) para o caso em que EI é constante, obtém-se

Substituindo Q pela carga Qo aplicada no bordo livre, obtém-se a segunda condição de contorno.

1.3 - Solução da equação diferencial

Considere-se o pilar indicado na figo 1.3.1, submetido à força de compressão P e à carga uniformemente distribuída q. O pilar é birrotulado e possui rigidez à flexão constante.

1__ Considerações sobre a estabilidade dos pilares

Fig. 1.3.] - Pilar com carga transversal uniforme

Uma solução particular da equação diferencial, para essa carga transversal uniformemente distribuída, é dada por ( (

Wp(x) = qx 2 como se pode verificar com sua substituição na equação (1.1.1). Assim, a solução da equação diferencial de equilíbrio é (

As condições de contorno do problema são as seguintes: w = O em x =O e em x = I ;

Curso de Concreto Armado

Essas quatro condições de contorno permitem a obtenção dos quatro coeficientes A,B,C,D e, portanto, da deformada W(x).

Encontrados os coeficientes, pode-se escrever (

( W(x) =q[+(COSkx+tg kl senkx-1)+_1_~2 _lx)l k P 2 2P J

Observa-se, pela equação (1.3.3), que a flecha varia de forma linear com a carga transversal q. Porém, existe uma não linearidade em relação à força normal P (que está presente no coeficiente k). Essa não linearidade é uma consequência das deformações do eixo

do pilar e é denominada "não linearidade geométrica". A relação P - W é não linear porque o equilíbrio é garantido na configuração deformada do eixo do pilar. Essa teoria é denom inada "teoria de segunda ordem". Diferenciando a expressão de W(x) e empregando a equação

(1.1.8), pode-se determinar o momento tletor em cada seção transversal do pilar. O momento máximo, M rnax : ocorre na seção central e vale

onde

J:( o momento máximo de uma viga biapoiada com carga uniforme é M} = ql2 /8. Esse momento é determinado na configuração indeformada da viga e é denominado de momento de primeira ordem. A teoria de tlexão de vigas, na qual o equilíbrio é garantido na configuração indefonnada da barra, é denominada de

"teoria de primeira ordem". Da equação (1.3.4), observa-se que o momento tletor máximo no pilar é igual ao momento de primeira ordem multiplicado pelo

Considerações sobre a estabilidade dospilares 9 fator de amplificação fJ. Esse fator de amplificação é consequência da não linearidade geométrica.

Analogamente, pode-se mostrar que a flecha máxima é igual à flecha máxima de uma viga biapoiada com carga uniforme, multiplicada por um fator de amplificação. Esse efeito da força normal nos deslocamentos e nos esforços solicitantes do pilar é conhecido como "efeito de segunda ordem". Se o equilíbrio do pilar fosse garantido na configuração indeformada, os deslocamentos transversais W (x) seriam independentes da força normal P. Nessa teoria de primeira ordem, todas as relações entre as cargas, os deslocamentos e os esforços solicitantes são lineares. Essa linearidade é denominada de "linearidade geométrica".

Wo w

Fig. 1.3.2 - Relação força normal-deslocamento (teoria de segunda ordem)

Observa-se pela figura que, quando P = O, o deslocamento transversal é Wo. Esse deslocamento é devido apenas à carga transversal e pode ser obtido analisando-se uma viga biapoiada com uma carga uniformemente distribuída.

10 Curso de Concreto Armado

I' Os deslocamentos crescem com o aumento da força normal até que, quando a força é igual a Pe' o equilíbrio toma-se instável. Isto pode ser constatado pelo crescimento acentuado dos deslocamentos. A força Pe é a carga crítica que, para este caso de pilar birrotulado, é dada por 1[2EI

Quando o pilar é submetido apenas à força normal (sem carga transversal nem momentos externos), o fenômeno da instabilidade do equilíbrio recebe a denominação de "flambagem". A carga de flambagem é exatamente igual à carga crítica dada na equação

(1.3.6), que é a conhecida carga de flambagem de Euler. Conforme é indicado no capítulo 7, essa situação nunca ocorre nos pilares de concreto armado, já que sempre existem momentos aplicados nos seus extremos (nem que seja pela imposição de uma excentricidade acidental). Dessa forma, o termo flambagem toma-se inadequado aos pilares de concreto armado. Entretanto, essa expressão já está consagrada na bibliografia e será mantida neste livro. Do exposto, conclui-se que os momentos fletores solicitantes

ficam ampliados em relação aos obtidos na teoria de primeira ordem. Consequentemente, um pilar deve ser analisado de acordo com a teoria de segunda ordem, onde são levados em conta os efeitos das

deformações nos esforços solicitantes.

1.4 - Estabilidade dos pilares de concreto armado

Na seção anterior, foi apresentada a equação diferencial de equilíbrio para um pilar com um comportamento mecânico elástico linear. Se a barra for constituída por um material não linear, a equação diferencial permanece válida, desde que a rigidez à flexão seja corretamente avaliada. O concreto armado é um material nessas condições, ou seja, não existe linearidade entre as tensões e as deformações. Isto decorre do comportamento mecânico não linear do concreto e do aço (este último, após o escoamento). A esse tipo de não linearidade,

\, Considerações sobre a estabilidade dos pilares 1 relacionada com as características mecânicas dos materiais, é dado o nome de "não linearidade física".

No caso do concreto armado, a grande dificuldade para se obter a solução da equação diferencial consiste na determinação da rigidez à flexão das seções transversais do pilar. Isto ocorre porque a relação entre o momento fletor e a curvatura, para um dado valor do esforço normal, é não linear e só pode ser obtida por pontos, através de um processo numérico. Assim, rigorosamente falando, a análise de um pilar de concreto armado exige o emprego de técnicas numéricas apropriadas. Diversos métodos numéricos têm sido desenvolvidos para esse fim, estando os principais apresentados na referência [3].

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