Baixe Curso de concreto armado vol 3 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! v;... '"ce zee !~'"o- ." o. J. M. de Araújo ==-c: ia CD w ESTAR ELE RCE Cu em 1981 pela Universidade Er RS ECA REL E CEL Lud OLA A ter [En CLE END ERES RE ETERCECA RL ie | PERETu UE UU SEA EEE CA CEPIC FE ERES ESC iA CURSO DE TE CUCA OLE a OCS ATER CORTE ED Eee ee RA EO Cc ONC RETO ARM ADO onde atua desde 1983. Suas pesquisas têm se concentrado ERR ut FER ceu PER Lc DUO reto A ET CER UEL Pi LC CU ea Volume 3 PELO EI estrangeiros, além do livro ETA SL [op PEDE ut PLANO DA OBRA ( II, \ ~ Volume 1: Propriedades dos materiais para concreto armado. Fun- damentos de segurança. Flexão normal simples: dimensionamento e verificação de seções retangulares e seções T. Esforço cortante. Ancoragem e emendas das annaduras. { I ;r i '( Volume 2: Cálculo de lajes maciças. Cálculo de vigas. Estados limites de utilização. ,( Volume 3: Flexo-compressão normal e oblíqua: dimensionamento e verificação de seções. Cálculo de pilares curtos e moderadamente esbeltos. Pilares-parede. Pilares esbeltos. Ações horizontais nas estruturas de contraventamento. J, ( Volume 4: Dimensionamento à torção. Flexo-tração. Escadas. Vigas-parede e consolos. Reservatórios. Lajes nervuradas. Lajes cogumelo. Fundações. Projeto em situação de incêndio. ( ( ( , I: SUMÁRIO 1. CONSIDERAÇÕES SOBRE A ESTABILIDADE DOS PILARES 1 1.1 - A equação diferencial de equilíbrio dos pilares 1 1.2 - Condições de contorno 5 1.3 - Solução da equação diferencial.. 6 1.4 - Estabilidade dos pilares de concreto armado 10 1.5 - Hipóteses básicas do dimensionamento 12 2. DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL 15 2.1 - Apresentação do problema 15 2.2 - Seção retangular com armadura distribuída 18 2.3 - Cálculo das tensões nas armaduras 21 2.4 - Cálculo da resultante de compressão no concreto 26 2.5 - Equações de equilíbrio 27 2.6 - Cálculo da posição da linha neutra 31 2.7 - Elaboração do programa computacional.. 33 2.8 - Tabelas para dimensionamento 35 2.9 - Exemplos de dimensionamento ..................................•........... 36 3. DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO NA FLEXO- COMPRESSÃO NORMAL .41 3.1 - O emprego de diagramas de interação .41 3.2 - Obtenção dos diagramas de interação .42 3.3 - Armadura teoricamente desnecessária 44 3.4 - Fórmulas aproximadas de dimensionamento .45 3.5 - Escolha da disposição das barras .48 4. ANÁLISE DA FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA 51 4.1 - Apresentação do problema 51 4.2 - Equações de equilíbrio 52 4.3 - Rotação do sistema de eixos 55 4.4 - Cálculo das tensões nas barras da armadura 58 4.5 - Determinação da parte da seção comprimida com o diagrama retangular 59 4.6 - Verificação da capacidade resistente 62 5. DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA 69 5.1 - O problema do dimensionamento 69 5.2 - Determinação da inclinação da linha neutra 71 5.3 - Cálculo da área de aço : 75 5.4 - Exemplos ilustrativos 76 5.5 - Tabelas para dimensionamento de seções retangulares 79 5.6 - Processos simplificados de dimensionamento 81 6. CONSIDERAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DOS PILARES DE CONCRETO ARMADO 83 6.1 - Introdução 83 6.2 - Estruturas indeslocáveis ou de nós fixos 85 6.3 - Determinação do índice de esbeltez 95 6.4 - Classificação dos pilares quanto à esbeltez 99 6.5 - Processos simplificados para a consideração dos efeitos de segunda ordem 104 6.6 - Consideração da fluência do concreto 115 6.7 - Efeito de segunda ordem nos pilares-parede 119 6.8 - Flambagem local das lâminas dos pilares-parede 121 6.9 - Dimensionamento de pilares-parede incluindo os efeitos da flambagem local 131 6.10- Imperfeições geométricas localizadas em pilares-parede 137 7. CÁLCULO DOS PILARES CONTRA VENTADOS 143 7.1 - Introdução .143 7.2 - Situações de projeto dos pilares 143 7.3 - Situações de cálculo dos pilares 148 7.4 - Exemplos de dimensionamento : 159 7.5 - Simplificações para os pilares contraventados dos edifícios 178 8. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 187 8.1 - Considerações gerais 187 8.2 - Dimensões mínimas das seções dos pilares 187 8.3 - Armadura longitudinal.. 188 8.4 - Armadura transversal.. 189 8.5 - Cobrimento da armadura 194 8.6 - Proteção contra a flambagem das barras 195 8.7 - Emendas das barras 197 8.8 - Desenho de armação dos pilares 202 9. PILARES ESBELTOS 205 9.1 - Introdução 205 9.2 - Deslocamentos em barras esbeltas 207 9.3 - Relação deformação-deslocamentos 209 9.4 - O princípio dos trabalhos virtuais 210 9.5 - O método dos elementos finitos 212 9.6 - Implementàção computacional do método dos elementos finitos 218 ( ( 10. ANÁLISE DAS ESTRUTURAS DE CONTRA VENT AMENTO 223 ! 10.1 - Introdução 223 10.2 - Processo simplificado para repartição das forças horizontais 224 10.3 - Imperfeições geométricas globais dos edifícios 234 10.4 - Análise de pórticos através do modelo contínuo 237 10.5 - Interação entre painéis de contfÍlVentamento com comportamentos distintos 242 10.6 - Processo rigoroso para repartição das forças horizontais 248 10.7 - Análise de uma subestrutura de contraventamento 258 ( ( REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 267 APÊNDICE 1: Tabelas para dimensionamento à flexo-compressão normal 271 APÊNDICE 2: Tabelas para dimensionamento à flexo-compressão oblíqua 305 i ( ~ Capítulo 1 ( ( ( ( CONSIDERAÇÕES SOBRE A ESTABILIDADE DOS PILARES ,( ( ,( i ~,. 1.1 - A equação diferencial de equilíbrio dos pilares Considere-se o pilar indicado na figo 1.1.1, submetido a uma força normal P e a uma carga transversal q oPor hipótese, a força de compressão P é constante ao longo do eixo do pilar e a flexão ocorre no plano de simetria x - z o ( ( ( 1'(I( I ( J li' \i ( ( ( ( ( ( I( ]r i( ( '( r t.: ~ z ~: \' t ~ I I' I I~, \q tp xt Figo 1,1.1 - Carregamento do pilar Com a aplicação do carregamento, a barra se deforma de modo que a flecha em uma seção transversal genérica é W = W(x) oNessa seção atuam a força de compressão P, o momento fletor M e a 6 Curso de Concreto Armado 3) Extremo em bordo livre li \'!! Se no bordo livre forem aplicados um momento fletor Mo e uma força transversal Qo' as duas condições de contorno serão mecânicas. A primeira condição de contorno é a mesma já indicada na equação (1.2.3). Para determinar a segunda condição de contorno, é necessário expressar as forças transversais Q em função das derivadas da flecha da barra. Da equação (1.1.5), tem-se que Q=dM ..»: dx dx (1.2.5) onde se observa que a força transversal Q é diferente do esforço cortante V = dM/dx. Isto ocorre porque o equilíbrio é garantido na configuração deformada da barra, ao contrário da teoria de vigas, onde o equilíbrio é estabelecido na configuração indeformada. Considerando a equação (1.1.8) para o caso em que EI é constante, obtém-se d3WQ=_EI __ pdW dx3 dx (1.2.6) Substituindo Q pela carga Qo aplicada no bordo livre, obtém-se a segunda condição de contorno. 1.3 - Solução da equação diferencial Considere-se o pilar indicado na figo 1.3.1, submetido à força de compressão P e à carga uniformemente distribuída q. O pilar é birrotulado e possui rigidez à flexão constante. 1__ Considerações sobre a estabilidade dos pilares tp x~~!r. 7 l q ( ( Fig. 1.3.] - Pilar com carga transversal uniforme Uma solução particular da equação diferencial, para essa carga transversal uniformemente distribuída, é dada por ( ( Wp(x) = qx 2 2P (1.3.1 ) ( como se pode verificar com sua substituição na equação (1.1.11). Assim, a solução da equação diferencial de equilíbrio é ( 2 W(x) = Acoskx+Bsenkx+Cx+D+ qx 2P ( (1.3.2) As condições de contorno do problema são as seguintes: w = O em x = O e em x = I ; d2W --2- = O em x = O e em x = I.dx f,; 8 ~! 2'li Curso de Concreto Armado '~ Essas quatro condições de contorno permitem a obtenção dos quatro coeficientes A,B,C,D e, portanto, da deformada W(x). Encontrados os coeficientes, pode-se escrever ( ( ( W(x) =q[+(COSkx+tg kl senkx-1)+_1_~2 _lx)l k P 2 2P J (1.3.3) ( ( ( ( ( Observa-se, pela equação (1.3.3), que a flecha varia de forma linear com a carga transversal q. Porém, existe uma não linearidade em relação à força normal P (que está presente no coeficiente k). Essa não linearidade é uma consequência das deformações do eixo do pilar e é denominada "não linearidade geométrica". A relação P - W é não linear porque o equilíbrio é garantido na configuração deformada do eixo do pilar. Essa teoria é denom inada "teoria de segunda ordem". Diferenciando a expressão de W(x) e empregando a equação (1.1.8), pode-se determinar o momento tletor em cada seção transversal do pilar. O momento máximo, M rnax : ocorre na seção central e vale ( ( ( ( i( I J J I Mmax = fi M} (1.3.4) onde 8 ( kl )fJ = (klf sec2-1 (1.3.5)( ( M} = ql2 /8 I( J :( o momento máximo de uma viga biapoiada com carga uniforme é M} = ql2 /8. Esse momento é determinado na configuração indeformada da viga e é denominado de momento de primeira ordem. A teoria de tlexão de vigas, na qual o equilíbrio é garantido na configuração indefonnada da barra, é denominada de "teoria de primeira ordem". Da equação (1.3.4), observa-se que o momento tletor máximo no pilar é igual ao momento de primeira ordem multiplicado pelo ( Considerações sobre a estabilidade dos pilares 9 fator de amplificação fJ. Esse fator de amplificação é consequência da não linearidade geométrica. Analogamente, pode-se mostrar que a flecha máxima é igual à flecha máxima de uma viga biapoiada com carga uniforme, multiplicada por um fator de amplificação. Esse efeito da força normal nos deslocamentos e nos esforços solicitantes do pilar é conhecido como "efeito de segunda ordem". Se o equilíbrio do pilar fosse garantido na configuração indeformada, os deslocamentos transversais W (x) seriam independentes da força normal P. Nessa teoria de primeira ordem, todas as relações entre as cargas, os deslocamentos e os esforços solicitantes são lineares. Essa linearidade é denominada de "linearidade geométrica". Na figo 1.3.2, apresenta-se a relação P - W de acordo com a equação (1.3.3). p I limite do equilíbriop - --------------------_.e Wo w Fig. 1.3.2 - Relação força normal-deslocamento (teoria de segunda ordem) Observa-se pela figura que, quando P = O, o deslocamento transversal é Wo. Esse deslocamento é devido apenas à carga transversal e pode ser obtido analisando-se uma viga biapoiada com uma carga uniformemente distribuída. 10 Curso de Concreto Armado I' i:1 Os deslocamentos crescem com o aumento da força normal até que, quando a força é igual a Pe' o equilíbrio toma-se instável. Isto pode ser constatado pelo crescimento acentuado dos deslocamentos. A força Pe é a carga crítica que, para este caso de pilar birrotulado, é dada por 1[2EI Pe =--- 12 (I.3.6) Quando o pilar é submetido apenas à força normal (sem carga transversal nem momentos externos), o fenômeno da instabilidade do equilíbrio recebe a denominação de "flambagem". A carga de flambagem é exatamente igual à carga crítica dada na equação (1.3.6), que é a conhecida carga de flambagem de Euler. Conforme é indicado no capítulo 7, essa situação nunca ocorre nos pilares de concreto armado, já que sempre existem momentos aplicados nos seus extremos (nem que seja pela imposição de uma excentricidade acidental). Dessa forma, o termo flambagem toma-se inadequado aos pilares de concreto armado. Entretanto, essa expressão já está consagrada na bibliografia e será mantida neste livro. Do exposto, conclui-se que os momentos fletores solicitantes ficam ampliados em relação aos obtidos na teoria de primeira ordem. Consequentemente, um pilar deve ser analisado de acordo com a teoria de segunda ordem, onde são levados em conta os efeitos das deformações nos esforços solicitantes. 1.4 - Estabilidade dos pilares de concreto armado Na seção anterior, foi apresentada a equação diferencial de equilíbrio para um pilar com um comportamento mecânico elástico linear. Se a barra for constituída por um material não linear, a equação diferencial permanece válida, desde que a rigidez à flexão seja corretamente avaliada. O concreto armado é um material nessas condições, ou seja, não existe linearidade entre as tensões e as deformações. Isto decorre do comportamento mecânico não linear do concreto e do aço (este último, após o escoamento). A esse tipo de não linearidade, \, Considerações sobre a estabilidade dos pilares 11 relacionada com as características mecânicas dos materiais, é dado o nome de "não linearidade física". No caso do concreto armado, a grande dificuldade para se obter a solução da equação diferencial consiste na determinação da rigidez à flexão das seções transversais do pilar. Isto ocorre porque a relação entre o momento fletor e a curvatura, para um dado valor do esforço normal, é não linear e só pode ser obtida por pontos, através de um processo numérico. Assim, rigorosamente falando, a análise de um pilar de concreto armado exige o emprego de técnicas numéricas apropriadas. Diversos métodos numéricos têm sido desenvolvidos para esse fim, estando os principais apresentados na referência [3]. Entretanto, do ponto de vista prático, é possível introduzir algumas simplificações que permitam resolver o problema de maneira aproximada. Dois tipos de processos simplificados podem ser empregados. Nos primeiros, resolve-se a equação diferencial de maneira exata, arbitrando-se um valor convencional para a rigidez à flexão do pilar. Com isso, obtém-se o momento fletor solicitante máximo, que é igual ao momento de primeira ordem multiplicado por um fator de amplificação, como na equação (1.3.4). Em geral, o fator de amplificação f3 pode ser aproximado por ( ( ( ( ( ( 1 P=-p 1--r, (1.4.1 ) I I, ( onde Pe é a carga de flambagem do pilar, avaliada com uma rigidez aproximada EI . Com o momento máximo M max e com o esforço normal P, dimensiona-se a seção transversal em flexo-cornpressão. Esse é o processo simplificado do ACI(4), também incluído na NBR-6118(5l. ' Em uma segunda classe de processos simplificados, arbitra-se uma função W(x) para a deformada do eixo do pilar, bem como a curvatura de ruína das seções de concreto armado. Com isso, é possível calcular o deslocamento máximo, Wrnax > em função da curvatura de ruína. O momento de segunda ordem é dado por t, 16 Curso de Concreto Armado N d > atua em um eixo de simetria da seção e está aplicada em um ponto situado a uma distância e do centroide. A solicitação representada pela força N d e pela excentricidade e pode ser substituída pelo par de esforços (Nd,Md)' onde Nd é o esforço normal de cálculo e Md = Nde é o momento fletor de cálculo. Uma vez que a orientação da linha neutra é conhecida, resta determinar sua profundidade x, medida em relação à borda comprimida pela aplicação exclusiva do momento fletor, para sua completa caracterização. Por isso, x é uma das incógnitas que deverão ser encontradas na solução deste problema. Na figo 2.1.2, são indicados alguns tipos de seções retangulares de concreto armado, usualmente empregadas nos pilares dos edifícios. ( '( , I ( ( ( ( ( ( :r \li d i' I • •• • • • • • • hl I • •• • • • I· •• ·1 I. • • 1 I • • I~ b ~I ,( ( Fig. 2.1.2 - Seções transversais típicas dos pilares dos edifícios '( ir I( I ( Todas as seções transversais indicadas na figo 2.1.2 possuem a mesma armadura total, com uma área de aço igual a As' Entretanto, a disposição das barras difere de lima seção para outra. Por isto, a capacidade resistente de cada uma delas será diferente. O dimensionamento de uma seção transversal de concreto armado, submetida à flexo-compressão normal, consiste na resolução do seguinte problema: f( l _ dados os esforços solicitantes de cálculo N d e M d;_ escolhida uma forma para a seção transversal de concreto e uma determinada disposição das barras da armadura; Dimensionamento àjlexo-compressão normal 17 - considerando as resistências de cálculo dos materiais (Icd e fyd ) e respeitando os domínios de dimensionamento; - encontrar as dimensões da seção de concreto e a área total da armadura que satisfazem as equações de equilíbrio. Observa-se, então, que o equilíbrio é garantido no estado limite último. A segurança global é dada pela combinação do coeficiente parcial rJ> introduzido no cálculo de Nd e de M d > e dos coeficientes rc e Ys que são usados para a determinação de fcd e de fyd' respectivamente. Na realidade, ao enfrentar esse problema procura-se, de início, fazer um pré-dimensionamento da seção de concreto. Assim, conhecidas as dimensões da seção, o que se faz é o cálculo da área total da armadura que deve ser adicionada ao concreto para garantir o equilíbrio. Dessa maneira, o dimensionamento propriamente dito resume-se ao cálculo das armaduras, conforme foi feito para a flexão simples. De um modo geral, esse problema não apresenta uma solução analítica, de forma que o cálculo das armaduras deve ser feito iterativamente. Em virtude do grande número de operações envolvidas, toma-se necessário o emprego de um programa computacional. As iterações são necessárias para encontrar a profundidade x da linha neutra que, no caso geral, pode se situar no intervalo [0,(0). O número de iterações requeridas dependerá do tamanho do intervalo utilizado no processo de procura. Quanto maior for esse intervalo, maior será o número de iterações realizadas até a convergência. Para reduzir o intervalo solução, é usual dividir o problema em zonas de dimensionamento'Y''". Assim, antes de iniciar o processo iterativo, deve-se identificar em qual zona o problema recai. Uma vez localizada a zona de dimensionamento, iniciam-se as iterações dentro do intervalo correspondente. Esse procedimento, apesar de ser conveniente do ponto de vista computacional, pode gerar alguma confusão porque um maior número de equações deve ser manipulado (equações adicionais devem ser empregadas para delimitar as fronteiras entre as zonas). Além disso, perde-se algum tempo em testes para a localização da zona correspondente ao problema dado. I I I iií' ~ ••~ t: ~ ~. 18 Curso de Concreto Armado I I' I I Com os computadores atualmente disponíveis no mercado, esse problema tomou-se muito simples para exigir tanta preocupação com o tempo de processamento. De fato, a solução pode ser encontrada facilmente em uma fração de segundos, mesmo se for adotado o intervalo completo [0,00). Por isso, no desenvolvimento apresentado a seguir não é feita a divisão em zonas de dimensionamento. A formulação é apresentada para o problema como um todo, resultando um número reduzido de equações. O desenvolvimento é limitado às seções retangulares, que são as de maior interesse prático. Entretanto, a generalização para outras formas de seção é evidente. 2.2 - Seção retangular com armadura distribuída Na figo 2.2.1, representa-se uma seção retangular de concreto armado com armadura distribuída em todo o seu perímetro. A seção possui várias camadas de armadura, espaçadas uniformemente ao . longo de sua altura h. As camadas são numeradas de baixo para CIma. • d'.,~ d. hl sI!: • ~I I d, • • ..- d' I. b ~I Fig. 2.2.1 - Seção transversal de concreto armado Para a caracterização da geometria da seção, é introduzida a seguinte notação: b = largura da seção transversal; h = altura da seção transversal; f r Dimensionamento àflexo-compressão normal 19 di = distância do centro da camada i à borda comprimida pela aplicação exclusiva do momento fletor; S = espaçamento entre as camadas; ni = número de barras da camada i; n = número total de barras na seção; n' = número total de camadas; d' = distância do centro das camadas 1 e n' até as bordas da seção. Observando a figo 2.2.1, é fácil constatar que o espaçamento S entre as camadas é dado por s= h-2d' n'-l (2.2.1) Definindo o parâmetro geométrico c5= d'] h, a expressão (2.2.1) pode ser escrita na forma S=(1~26)h n -1 (2.2.2) É fácil verificar, também, que a distância di é dada por di = d' + (n' - i)s (2.2.3) Introduzindo a expressão de S, dada em (2.2.2), e lembrando que d' = 6h, a equação (2.2.3) é escrita na forma di = fJih (2.2.4) onde fJi = 6 + (n' - iXl- 26) (n' -1) (2.2.5) >,JI;.r fil í\ I} j) 20 Curso de Concreto Armado A expressão (2.2.4) permite calcular a distância de uma camada genérica até a borda superior da seção, dependendo unicamente dos parâmetros geométricos fornecidos previamente. É interessante definir a taxa mecânica de armadura total na seção, OJ, na forma ( I( A Iyds _ úJ = bh {Ycd (2.2.6) ( ( ( ( ( onde As = área total de armadura na seção transversal; Iyd = tensão de escoamento de cálculo do aço; {Y cd = 0,85Icd' sendo Í cd a resistência à compressão de cálculo do concreto. De forma análoga, pode-se definir a taxa de armadura úJi, correspondente à camada i, como sendo A.lydSI _ to, = bh {Ycd (2.2.7)( onde Asi é a área da armadura da camada i . Se todas as barras possuem o mesmo diâmetro, é fácil verificar que / n·Asi=_l As n (2.2.8) ( ( Introduzindo a expressão (2.2.8) em (2.2.7) e considerando a definição de OJ dada na equação (2.2.6), chega-se à relação n· OJ i = _, ca (2.2.9) n que permite obter a taxa mecânica de armadura da camada 1 em função da taxa mecânica de armadura total. Deve-se observar que os coeficientes adimensionais são referidos à altura total h da seção, em vez da altura útil (como foi Dimensionamento à flexo-compressão normal 21 feito no Volume 1). Da mesma forma, a taxa de armadura, ai , corresponde à armadura total distribuída na seção de concreto. 2.3 - Cálculo das tensões nas armaduras o próximo passo no desenvolvimento da formulação consiste no cálculo das tensões nas diversas camadas da armadura. Para isto, é necessário conhecer a deformação em cada camada de aço, o que é feito através da análise dos domínios de dimensionamento apresentados no capítulo 1. Observando os domínios, verifica-se que: - no domínio 2, a deformação nas armaduras da camada 1 é igual a 1°%0; - nos domínios 3, 4 e 4a, a deformação na borda superior da seção é igual a 3,5 %0 ; - no domínio 5, a deformação na fibra situada a 3h/7 da borda superior é igual a 2 %0. Dessa forma, existirão três expressões para as deformações das camadas da armadura, dependendo da profundidade da linha neutra. Assim, toma-se necessário definir os limites entre esses domínios em termos da profundidade x da linha neutra. Isto é feito de acordo com a figo 2.3.1, onde são indicadas as três situações distintas (domínio 2; domínios 3, 4 e 4a; domínio 5). ~, f r r l~ f !í ~ Limites do domínio 2: Conforme se observa na figo 2.3.1, no domínio 2 a profundidade x da linha neutra varia entre °(na borda superior da seção) e x A (no limite entre os domínios 2 e 3). Por semelhança de triângulos, verifica-se que XA _ 3,5'%0 d1 -xA - 10'%0 (2.3.1 ) de onde se obtém o,L 26 Curso de Concreto Armado &si x-di 20/ = 3 /00 x--h 7 (2.3.12) I·'i' I: ' i ~: I i Introduzindo os adimensionais, resulta &si =14(;-PiJo/7; -3 /00 (2.3.13) As expressões (2.3.9), (2.3.11) e (2.3.13) permitem calcular as deformações nas várias camadas da armadura em função da variável ç. Conhecidas as deformações, basta entrar no diagrama tensão- deformação do aço e obter a tensão correspondente. Em um programa computacional, isto é feito com o emprego de uma rotina específica. I 2.4 - Cálculo da resultante de compressão no concreto 'I Na figo 2.4.1, indica-se a seção transversal de concreto e a parte da mesma que está comprimida com a tensão constante Ued = 0,85 fed' Em virtude da utilização do diagrama retangular simplificado para o concreto, a resultante das tensões de compressão, Ree' está aplicada no centroide da área comprimida. ccdw..}.8X LNh I~ b ~I Fig. 2.4.1 - Tensões de compressão no concreto ~; Dimensionamento àjlexo-compressão normal 27 Conforme se observa na figura, a resultante de compressão é dada por ( Ree = 0,8bxo-ed (2.4.1) ( ~ Introduzindo a relação x = ; h, a expressão (2.4.1) é escrita na forma Rce = rebhued (2.4.2) onde rc = 0,8; . A distância de' da resultante até a borda superior da seção, é igual a 0,4x . Substituindo x por çh, resulta ( de = Peh (2.4.3) ( onde Pc = 0,4; . O maior valor da resultante de compressão ocorrerá quando toda a seção estiver comprimida pelo diagrama retangular. Esse valor máximo é igual a bhued' Entretanto, observando a equação (2.4.2), verifica-se que se ç> 1,25 o valor da resultante será superior ao máximo possível. Nestes casos, basta adotar ç= 1,25 para corrigir os resultados. Assim, os coeficientes adimensionais re e Pc são calculados através das seguintes expressões: ( ( ( ( ( r = {0,8; se ; < 1,25 c 1,0 se ç ~ 1,25 (2.4.4) _ {0,4; se ; < 1,25 Pc - 0,5 se ; ~ 1,25 (2.4.5) 2.5 - Equações de equilíbrio Tendo definido as variáveis do problema, podem-se escrever as equações de equilíbrio. 28 Curso de Concreto Armado Na figo 2.5.1, são representados os esforços solicitantes, Nd e M d > a resultante de compressão no concreto, Ree' e a resultante das tensões em uma camada genérica da armadura, Rsi' r - Md~ h/2 ..", ~ N ~- d R. ~ ~e Ree di Fig. 2.5.1 - Resultantes das tensões e esforços solicitantes A resultante Rsi é dada por RSi = AsiO"sdi (2.5.1) onde Asi é a área da armadura da camada i e O"sdi é a tensão de cálculo na camada, obtida da forma apresentada na seção 2.3. Combinando as equações (2.2.6) e (2.2.8), pode-se expressar Asi em termos da taxa mecânica de armadura total OJ. Substituindo esse resultado na equação (2.5.1), obtém-se ». O"sdibh<Jed= (jJ ---s; n fycl (2.5.2) Equilíbrio de forças: Lembrando que na seção transversal existem n' camadas de armadura, esta equação de equilíbrio é escrita na forma n' Nd -Rec - LRsi =0 i=1 (2.5.3) r I Dimensionamento àflexo-compressão normal 29 Definindo o esforço normal reduzido Ndv= -- bhO"ed (2.5.4) introduzindo as expressões de Rec (equação (2.4.2») e de Rsi (equação (2.5.2» e eliminando o termo comum bhO"ed' resulta n' v-r - ai Lc --nf. d niO"sdi = O y i=! (2.5.5) que é a equação de equilíbrio das forças em termos adimensionais. Equilíbrio de momentos: A equação de equilíbrio de momentos é dada por (ver figo 2.5.1) h n' Md -Nd-+Rccde + L RSidj =0 2 i=! (2.5.6) o momento fletor reduzido é definido como Md }l = bh20"cd (2.5.7) Substituindo todas as variáveis envolvidas na equação (2.5.6) pelos adimensionais correspondentes e eliminando o termo comum 2bh O"ed , resulta . (jJ n' f-l-0,5v + refJe +--LnJJiO"Sdi = O nfyd j=1 (2.5.8) que é a equação de equilíbrio de momentos em termos adimensionais. 30 Curso de Concreto Armado Da equação (2.5.5), obtém-se uma expressão para a taxa de armadura na forma \. nfyd(v-re) 0)=--"--- n' LniO"sdi i=1 (2.5.9) I I, ., ,i Analogamente, da equação (2.5.8) obtém-se nfyd (0,5v- Ji-repJ 0)-- n' LniPp'sdi i=1 (2.5.10) I1 1 Em princípio, tanto a equação (2.5.9), quanto a (2.5.10), podem ser empregadas para o cálculo da taxa mecânica de armadura. Entretanto, o problema ainda não está resolvido, já que a posição da linha neutra não é conhecida. De fato, a incógnita C;, que caracteriza essa posição, está presente nos coeficientes re e fie (ver equações (2.4.4) e (2.4.5)). Além disso, as tensões O'sdi dependem de ç, já que elas são obtidas a partir das deformações Esi(ver seção 2.3). Para encontrar C;, pode-se subtrair a equação (2.5.9) da equação (2.5.10) e igualar o resultado a zero. Feito isto, resulta n n' (I-l - 0,5v + rePe)L njO'sdi + (v - rJL niPiO'sdi = ° (2.5.11) i=1 i=1 Observa-se que a equação (2.5.11) possui como única incógnita a variável C;. Esta equação é da forma f(c;) = O, ou seja, o problema estará resolvido após o conhecimento da raiz da função f(c;). A solução procurada deve se situar no intervalo [0,00), que abrange todos os domínios da flexo-compressão. Conforme foi salientado no início deste capítulo, pode-se reduzir o tamanho do intervalo dividindo-se o problema em zonas. Dimensionamento à flexo-compressão normal 31 Entretanto, esse procedimento não será adotado pelos motivos que já foram expostos. Infelizmente, o valor de C; que satisfaz a equação (2.5.11) não pode ser encontrado de maneira explícita, a não ser em casos muito particulares. De um modo geral, a solução deste problema só pode ser encontrada iterativamente. Na seção seguinte, apresenta-se o algoritmo utilizado para este fim. Depois de encontrada a posição da linha neutra que satisfaz a equação (2.5.11), pode-se calcular a taxa mecânica de annadura com o emprego das expressões (2.5.9) ou (2.5.10). Entretanto, dependendo da situação, pode resultar uma divisão por zero (ou por um número muito próximo de zero) em uma dessas expressões. Assim, antes de empregar a expressão (2.5.9), por exemplo, deve-se avaliar o seu denominador. Se for constatado que ele é próximo de zero, deve-se empregar a equação (2.5.10) para o cálculo de ()J. Se resultar um valor negativo para ()J, significa que a seção de concreto sozinha é capaz de absorver os esforços solicitantes. Neste caso, a armadura é teoricamente desnecessária e deve-se fazer to = O. No capítulo seguinte é demonstrada a existência da zona onde a armadura é teoricamente desnecessária. Após a obtenção de ()J, calcula-se o valor da área total da armadura, As, que deve ser adicionada à seção transversal. De acordo com a equação (2.2.6), essa área é dada por ( ( ( ( ( As = cabb O" cdr; (2.5.12) ( t ~t i 2.6 - Cálculo da posição da linha neutra Conforme foi exposto, a posição da linha neutra, representada pelo adimensional C;, é obtida resolvendo-se a equação (2.5. 11). Assim, deve-se encontrar a raiz da função f(ç:) definida por i ( n' n' f(ç)= (fl- O,5v+ repJ:LniO'sdi + (v - rJ:LniPiO'sdi (2.6.1) i=1 i=\ 36 Curso de Concreto Armado 2.9 - Exemplos de dimensionamento Exemplo 1: Dimensionar a seção transversal da figo 2.9.1, submetida a um esforço normal de serviço Nk com uma excentricidade e. Nk • e 40 c~---- 4 •• 4 • 14 20~m .I Fig. 2.9.1 - Seção transversal com duas camadas de armadura São dados do problema: N =410kN· e=25 em: r =20 MPa·k ' , J ck ' Aço CA-50: fyk = 500 MPa. Solução: Nd =1,4Nk =1,4x410=>Nd = 574kN Md = Nde = 574x25=>Md = 14350kNcm r fck 20 2 J cd = - = - ~ 14 MPa => fcd = 1,4 kN/cm 1,4 1,4 I Dimensionamento àflexo-compressão normal 37 C5cd =0,85fcd =12MPa => CYcd=I,2kN/cm2 fyk _ 50 = 43,48 kN/cm2 fyd = 115 - 1,15, Nd v:= bh a cd = 574 20x40xI,2 =>V ~ 0,60 Md J1:= bh2(Jcd = 14350 20x402 xI,2 =>Jl = 0,37 d' 4t5:=- = -=>8 = O10 h 40 ' As tabelas A 1.1 a A 1.4 correspondem a esse tipo de seção transversal (seção com duas camadas de armadura). Como 0= 0,1°, deve-se utilizar a tabela A 1.2. Entrando na tabela A1.2 com v = 0,60 e f-l = 0,37 e interpolando linearmente, obtém-se OJ = 0,71 . A área de aço é dada por As = cobh CYcd= O,71x20x40x~ => As = 15,70 em' fyd 43,48 Empregando a tabela A3.2 (Apêndice 3 do Volume 2), verifica-se que essa seção de aço é obtida adotando-se 4 barras de 16 mm em cada camada, ficando-se com uma área total igual a 16,08 em", A solução é apresentada na figo 2.9.2. 38 Exemplo 2: Curso de Concreto Armado 40 4~16"--'-- 4~16,-- 14 20cm ~I Fig. 2.9.2 - Solução possível - Exemplo 1 Dimensionar a seção transversal da figo 2.9.3. 401 4~I:ru I C ---- • •~. • I~20cm ~I Fig. 2.9.3 - Seção transversal com quatro camadas de armadura Os demais dados são os mesmos do exemplo 1, ou seja, N =410 kN' e=2Scm' .{" =20 MPa'k ' , J ck ' Aço CA-50: fyk = SOO MPa. I'L Dimensionamento à flexo-compressão normal 39 Solução: Como as dimensões da seção transversal são as mesmas do exemplo anterior, tem-se ( ( v = 0,60; J1 = 0,37; 6"= 0,10 Para esse tipo de seção (com quatro camadas de armadura) e para 6" = 0,10 , deve-se empregar a tabela A 1.1O. Entrando na tabela e fazendo as interpolações, obtém-se OJ = 1,13 . A área de aço é dada por ( ( As =cobh (}cd = 1,13x20x40x~ => As = 24,9Scm2 fyd 43,48 Empregando a tabela A3.2 (Apêndice 3 do Volume 2), verifica-se que essa área de aço é obtida adotando-se 4 barras de 20 mm em cada face lateral da seção, ficando-se com uma área total igual a 25,13 cm'. A solução é apresentada na figo 2.9.4. ( ( ( ( 40 ( 14 20cm J Fig. 2.9.4 - Solução possível - Exemplo 2 Exemplo 3: Resolver os exemplos anteriores para diversos valores de fck' Os resultados são apresentados na tabela 2.9.1. 40 Curso de Concreto Armado Tabela 2.9.1 - Área da armadura para diversos valores de !ck Exemplo 1: Fie. 2.9.1 !ck(MPa) 20 25 30 40 50 As (em") 15,70 12,41 10,63 9,00 8,03 Exemplo 2: Fíz. 2.9.3 fCk(MPa) 20 25 30 40 50 As (em") 24,95 21,31 18,53 13,86 10,93 Conforme se observa, consegue-se uma redução significativa no consumo de armadura com o aumento da resistência à compressão do concreto, ao contrário do que foi verificado em flexão simples (ver capítulo 3 do Volume 1): Pode-se concluir que é vantajoso empregar um concreto de maior resistência nos pilares. Esse valor mais elevado de fck permitirá reduzir o consumo de armadura e/ou reduzir as dimensões da seção transversal do pilar. 1 Capítulo 3 DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO NA FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL 3.1- O emprego de diagramas de interação No capítulo anterior, foi apresentada a formulação para o dimensionamento à flexo-cornpressão normal de seções retangulares com armadura distribuída simetricamente ao longo do seu contorno. Apesar de as equações terem sido particularizadas para as seções retangulares, sua generalização para outras formas de seções é um trabalho relativamente simples. Isto feito, pode-se facilmente ampliar o programa computacional. Admitindo-se como sendo válidas as hipóteses introduzidas na formulação, o desenvolvimento apresentado é matematicamente correto e leva à solução exata do problema. Evidentemente, essa solução só pode ser obtida iterativamente e, para isto, necessita-se de um programa de computador. A solução do problema também pode ser obtida quando se dispõe de tabelas para o dimensionarnento imediato, como as tabelas apresentadas no Apêndice I. Deve ser salientado que o único erro que, eventualmente, pode ser cometido ao se utilizar essas tabelas é o decorrente das interpolações que são feitas para o cálculo da armadura, Alternativamente, o dimensionamento pode ser feito com o emprego de diagramas de interação. Neste caso, o único erro cometido é o decorrente da leitura efetuada no diagrama. A opção por uma tabela de dimensionamento ou por um diagrama de interação é simplesmente uma questão de preferência. Um diagrama de interação é um conjunto de curvas representadas no sistema de eixos dos esforços reduzidos (v - f-1 ). Cada curva, correspondendo a uma dada taxa mecânica de armadura ai, representa o lugar geométrico dos pares de esforços (u, v) que levam a seção ao estado limite último. 46 Curso de Concreto Armado se observa, essas fórmulas aproximadas dão excelentes resultados. Porém, elas são válidas apenas para seções com duas camadas de armadura. 0.6 ~ 05~ 00=1,0 ~ IAço CA-50 Io "O ·N 0.4 -V /::-0 »: "- d'/h=O,10:::J"OQ)•...•... o 0.3.•... Q) ii= o.•... 0.2c Q) E o ~ 0.1 O O -f \ , " \, ,' J'. I I I I j I I I I I 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 Esforço normal reduzido v Fig. 3.4.1 - Verificação das fórmulas (3.4.1) e (3.4.2) Outra simplificação que pode ser adotada no dimensionamento consiste em substituir a flexo-compressão normal por uma compressão centrada equivalente. Esse procedimento é permitido pela NBR-61 18 para os casos em que v ~ 0,8. Assim, em vez do dimensionamento à flexo-compressão normal, realiza-se um dimensionamento à compressão centrada com um esforço normal Nde dado por N de = Nd ( 1+ k : ) (3.4.5) onde e é a excentricidade de N d > h é a altura da seção transversal e k é um coeficiente que depende da disposição das barras na seção e do parâmetro 8= d'[h . "ic Diagramas de interação na flexo-compressão normal 47 Para a seção retangular com duas camadas de armadura e t5 = 0,10, tem-se k = 2,7. Dimensionando a seção em compressão centrada, obtém-se a área da armadura com o emprego da equação / A = N de -bhCYcd s CYsd201100 (3.4.6) ( onde CYsd20/ é a tensão no aço para uma deformação igual a 0,002. /00 Lembrando que Md = Nde, a equação (3.4.5) pode ser escrita na forma ( Nde =Nd+kMd h (3.4.7) ( ( Introduzindo (3.4.7) em (3.4.6) e fazendo as substituições pelos adimensionais, resulta ( ( 1 (CYSd2% JJ.L=- ca 00 +l-v ~O k fyd (3.4.8) ( Na figo 3.4.2, são apresentados os diagramas de interação exatos, em comparação com os diagramas fornecidos pela equação (3.4.8). Nessa figura, as linhas retas correspondem à equação (3.4.8). A seção transversal é a mesma da figo 2.9.l. Observando a figo 3.4.2, verifica-se que a equação (3.4.8) subestima o momento resistente, o que leva a uma solução a favor da segurança. Entretanto, em muitos casos o erro pode ser inaceitável, o que inviabiliza o emprego dessa equação. ( 48 0.6 0.5:i O "O 'N 0.4::J "O Q) L.. L.. 0.3O+-'Q) ti= O+-' 0.2cQ) E O ~ 0.1 0.0 Curso de Concreto Armado m=1,0 I Aço CA-50 I d'/h=O,10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 Esforço normal reduzido v Fig. 3.4.2 - Verificação da compressão centrada equivalente 3.5 - Escolha da disposição das barras o projeto de uma estrutura de concreto armado deve ser feito levando-se em conta a segurança, a durabilidade, o comportamento em serviço e a economia. Em relação ao último item, deve ser salientado que o custo da estrutura depende de uma série de fatores envolvendo o consumo dos materiais e de mão-de-obra. O gasto com os materiais pode ser determinado avaliando-se a área das formas e os volumes de concreto e de aço obtidos no projeto. Conhecendo-se os preços unitários de cada material, podem ser feitas várias simulações para encontrar o custo mínimo. A determinação da solução ideal é bastante complexa e exige um trabalho de cálculo muito árduo. Do ponto de vista prático, o que se pode fazer é procurar a disposição das armaduras que leva a um menor consumo de aço, dadas as dimensões das seções de concreto. , lJ·i. Diagramas de interação naflexo-compressão normal 49 Para uma seção submetida à flexo-compressão normal, sabe-se que a solução ideal consiste em uma disposição assimétrica das armaduras. Entretanto, a disposição assimétrica só é recomendável quando se tem certeza absoluta quanto ao sentido do momento fletor e, em geral, este não é o caso. A adoção de armaduras as simétricas nos pilares, além de dificultar a execução, exige um cuidado especial para evitar a inversão da disposição das barras. Por isso, usualmente, os pilares de concreto armado são projetados com armaduras simétricas, como as que foram consideradas até aqui. Assim, cabe analisar, dentre as disposições simétricas das barras, qual é aquela que exige uma menor taxa de armadura. Para isto, foi elaborada a figo 3.5.1. Nessa figura, são apresentados os diagramas de interação para várias seções com a mesma taxa de armadura OJ = 0,5. Todas as seções possuem duas barras por camada, sendo que o número de camadas é que varia de uma seção para outra. 0.40 i:i n'=2 I Aço CA-50 Io - "O 0.30'N I / n'=~ <, d'/h=O,10::J "O Q) L.. L.. o 0.20+-'Q) ti= O.•.... C Q) E 0.10 O ~ 0.00 , 0.00 oAo 0.80 1.20 1.60 Esforço normal reduzido v Fig. 3.5.1 - Influência do número de camadas de armadura na capacidade resistente I !I~'tu, I I':' ,I: I,I II 11, I I1 : I ' 'I..I : I 1I 'I 50 Curso de Concreto Armado Conforme se observa na figo 3.5.1, a seção com apenas duas . camadas de armadura (n' = 2) é a que fornece o maior momento resistente. Quanto maior for o número de camadas, menor será a capacidade resistente e, portanto, maior será a armadura necessária. Logo, a seção mais econômica é aquela que possui apenas duas camadas de armadura. Em vista desta conclusão, pode-se perguntar qual é a necessidade de se dimensionar uma seção com várias camadas de armadura, já que a solução ideal consiste em apenas duas camadas. Conforme é mostrado no capítulo 7, o projeto de um pilar exige a verificação em duas direções. Assim, na direção crítica procura-se adotar uma disposição com apenas duas camadas de armadura. Entretanto, na outra direção surgirá uma disposição com várias camadas de barras. Por isto, será necessário fazer o dimensionamento de uma seção com várias camadas de armadura. Capítulo 4 ANÁLISE DA FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA ( ( 4.1 - Apresentação do problema A flexo-compressão oblíqua é a solicitação composta por um esforço normal de compressão agindo fora dos eixos de simetria da seção transversal. Quando o esforço normal atua em um eixo de simetria da seção de concreto, mas o arranjo das barras não é simétrico em relação a esse eixo, a flexão também é oblíqua. Por último, a flexão será sempre oblíqua quando a própria seção não possuir um eixo de simetria. Nesses casos, ao contrário da flexo-cornpressão normal, tanto a profundidade da linha neutra, quanto a sua orientação, são desconhecidas. Em geral, a linha neutra não é perpendicular ao plano de ação do momento fletor. Assim, surge uma nova incógnita no problema, o que toma sua solução bastante complexa. Na figo 4.1.1, apresenta-se uma seção retangular de concreto armado submetida à flexo-compressão oblíqua. ( ( ( ( ( ( ( r ( r ( ( x •• Fig. 4.1.1 - Seção transversal sob flexo-cornpressão oblíqua 56 Curso de Concreto Armado y ( ( ( I ( ( ( í ( Fig. 4.3.1 - Identificação dos sistemas de eixos x As coordenadas de um ponto podem ser transformadas de um sistema para o outro através das seguintes relações Empregando as equações (4.3.1) e (4.3.2), podem-se obter as coordenadas dos vértices da seção de concreto e das barras da armaduraem relação ao sistema x' - y'. Na figo 4.3.2, indicam-se a seção transversal e sua altura h medida no sistema de eixos x' - y' . Conforme está indicado na figo 4.3.2, a altura da seção é dada x' = xcos a + ysen a ( y' = +xsen a + ycos a ( Também vale a relação inversa ( ( x = x'cosa - y'sena (-- ( y = x'sen a + y'cos a (" i' ( ( ( ( por h' ,= Ymax - Ymin (4.3.1) (4.3.2) (4.3.3) (4.3.4) (4.3.5) Análise dajlexo-compressão obliqua 57 onde y~ax e y:nin representam o maior e o menor valor da coordenada y', analisados todos os vértices da seção. Fig. 4.3.2 - Determinação da altura da seção transversal Uma vez que o eixo x' é paralelo à linha neutra, o vértice com y' = y~ax é o mais comprimido. Analogamente, o vértice com y' = y~in é o menos comprimido ou o mais tracionado. A distância di de uma barra genérica ao vértice mais comprimido é dada por , , di = Ymax - Ysi (4.3.6) onde Y~i é a coordenada da barra no sistema x' - y' . Logo, a altura útil da seção, d, é o maior valor de di' analisadas todas as barras da armadura. Tendo calculado h, d e as distâncias di para todas as barras, pode-se entrar nos domínios de dimensionamento e obter as deformações nas armaduras. I li I: ;Ij' 11 ., 11; I : I I r ! 58 Curso de Concreto Armado 4.4 - Cálculo das tensões nas barras da armadura As tensões nas barras de aço são calculadas a partir do conhecimento das suas deformações, conforme foi feito no capítulo 2. Os limites dos domínios e as expressões das deformações são os mesmos apresentados na seção 2.3, bastando substituir x por Xo (profundidade da linha neutra) e dI por d (altura útil). Essas expressões são resumidas a seguir. Domínio 2: Neste domínio, a profundidade Xo da linha neutra fica limitada ao intervalo O 3,5~x ~-d o 135, (4.4.1) A deformação &si em uma barra genérica da armadura é dada por csi = lO(XO -di Jo/ d-x /00 o (4.4.2) Domínios 3, 4 e 4a: Nesses domínios valem as expressões 3,5 d ~ Xo ~ h 13,5 (4.4.3) ( Xo -di J 0/ csi = 3,5 X o /00 (4.4.4) Domínio 5: As expressões para o domínio 5 são as seguintes: 1 Análise da flexo-compressão oblíqua 59 h~xo <C() (4.4.5) " &si =14( Xo -di Jo/ 7xo -3h /00 (4.4.6) ( Assim, dada a profundidade Xo da linha neutra, para um determinado valor do ângulo a, pode-se localizar o domínio e calcular a deformação em cada barra de aço. Entrando no diagrama tensão-deformação do aço, obtêm-se as tensões (Jsdi em cada barra. Dessa forma, podem ser calculados os somatórios que aparecem nas equações (4.2.5) a (4.2.7). ( 4.5 - Determinação da parte da seção comprimida com o diagrama retangular ( ( Para completar o cálculo das equações (4.2.5) a (4.2.7), é necessário identificar a parte da seção transversal de concreto que é comprimida com a tensão constante (Jcd : Isto é feito em conformidade com a figo 4.5.1. 5 4... ( ( ( 6 ( ( 3 ( ;]?10 1iI~- 1=7=12 2 ( Fig. 4.5.1 - Numeração dos vértices da seção transversal Como se observa na figo 4.5.1, os vértices da seção são numerados no sentido anti-horário, para o contorno externo. Se a 60 Curso de Concreto Armado seção for vazada, o contorno interno é numerado no sentido contrário. O último vértice deve ser coincidente com o primeiro para o fechamento da poligonal. Assim, para a seção da figo 4.5.1, seriam fornecidas as coordenadas dos 11 primeiros vértices e o programa atribui ao vértice 12 as mesmas coordenadas do vértice 1. Deve ser salientado que as coordenadas dos vértices e das barras da armadura podem ser fomecidas em relação a um sistema de eixos arbitrários. Entretanto, antes de iniciar os cálculos, o programa fará uma modificação dessas coordenadas, transladando a origem dos eixos para o centroide da seção de concreto. Na figo 4.5.2, representa-se a parte da seção transversal que é comprimida com a tensão O'cd. Nesta etapa do processamento, todas as coordenadas dos vértices da seção já estão referidas ao sistema de eixos x' - y', mediante a rotação dos eixos apresentada anteriormente. j+1 Fig. 4.5.2 - Palie comprimida da seção Inicialmente, é necessário identificar os pontos de interseção da reta y~ = y:nax - O,8xo com os lados da poligonal. Um lado genérico, que vai do vértice j ao vértice j + 1 , tem a equação Análise da flexo-compressão oblíqua 61 y' = yj + (x' - x'.)~y' ) &' (4.5.1) de Av' , , A •• " ,on e tiy = Yj+I - Yj e LlÁ = Xj+l -Xj. Igualando y' a y~, resulta &' xí = xj + (y~ - yj )~y' (4.5.2) que fornece a coordenada xÍ do ponto de interseção. Se ~y' = O, significa que o lado é paralelo à reta y' =Y~, não havendo interseção. Se ~Y' ~ 0, emprega-se a equação (4.5.2) para calcular xí· Haverá interseção, se xÍ se situar entre xj e xj+l. Encontradas as coordenadas (xI ,y~) de um ponto de interseção, devem-se adicioná-Ias aos vetores de coordenadas dos vértices da seção transversal. Isto é feito com o algoritmo descrito a seguir. Sejam X' e Y' os vetares de coordenadas dos vértices e X' e Y' dois vetares auxiliares. O número de vértices da seção é igual a nv. Então, são feitas as seguintes operações: Xk =XÍc ' ri =Y!c com k = I a j. X.í+1 = xÍ , ,Yj+1 =Yc· XÍc+l =XÍc ri+, =Y!c , com k=j+l a nv O número de vértices da seção passou para nv + 1 pela inclusão do ponto de interseção. Feita a atualização da variável nv, devem-se redefinir os vetores X' e Y", isto é, deve-se fazer Xk =XÍc Yi. = ri , com k = I a nv . 66 Curso de Concreto Armado As fyd »cÓ» d d OJ =----- = taxa mecamca e arma ura; Ac a-cd d' d' g= ~ =~ = parâmetro geométrico. hx hy Na figo 4.6.4, representa-se um diagrama de interação para a seção retangular. Apenas um quadrante do diagrama foi representado, pois, como a seção possui dois eixos de simetria, a solução será a mesma em qualquer quadrante. Esse diagrama é válido para v = 1,0, Ô = 0,10 e para o aço CA-50. Análise daflexo-compressão oblíqua 67 ( ( ( ( ( ( 0.40 (' ( ~h~ I v=l,O I:i 00=1,00.30 ~ (0=0,8 I Aço CA-50 I ::l 1:1 ~ 0.20 r--.-... rodl ""<, -, 0=0,10 .9-. I ~ --1"'# Q)',~ ",~,,' c;::1'fi1l: ,; .9c: ~ 0.10 o E I~ hx ~I Fig. 4.6.3 - Seção transversal retangular Em princípio, as equações (4.2.5) a (4.2.7) podem ser adimensionalizadas introduzindo essa notação. Entretanto, é mais simples trabalhar com as equações originais e ao final dos cálculos transformar os esforços resistentes obtidos em adimensionais. Para isto, podem-se escolher os valores para as dimensões hx e hy e entrar com uma área de aço igual a A _ a- s -mA ~ c fyd (4.6.2) A taxa mecânica de armadura será variada, mantendo-se fixos o parâmetro g, o esforço normal reduzido v e a disposição das barras. 0.10 0.20 0.30 momento fletor reduzido Jlx Fig. 4.6.4 - Diagrama de interação na tlexo-compressão oblíqua (seção retangular) Entrando no diagrama com os momentos fletores reduzidos de cálculo J-Lx e J-Ly' obtém-se a taxa mecânica de armadura co e calcula-se a área total de aço com o emprego da equação (4.6.2). ( ( ( 000 I I I I I I . I I I I I I I I 0.00 ( ( r ( ( ( ( 0.40 ( ( ( " ( ( ( Capítulo 5 DIMENSIONAMENTO À FLEXO-COMPRESSÃO OBLÍQUA 5.1 - O problema do dimensionamento Conforme foi salientado no capítulo 4, na flexo-cornpressão oblíqua não se conhece a priori a orientação da linha neutra. Somente em casos particulares, o ângulo a de inclinação da linha neutra é conhecido de imediato (casos de flexo-compressão normal). Dessa forma, para caracterizar a linha neutra é necessário conhecer sua profundidade Xo e sua inclinação a em relação ao eixo x. No dimensionamento da seção, são fornecidos os esforços solicitantes de cálculo Nd > Mxd e M yd e as incógnitas envolvidas nas três equações de equilíbrio são xo' a e As. Este problema só pode ser resolvido por tentativas. De fato, o que se pode fazer é uma sequência de verificações com diversos valores da área de aço As. Para cada valor de As, determina-se o temo de esforços resistentes (Nd > M xdr ,M ydr ), conforme foi apresentado no capítulo anterior. A armadura procurada é aquela que atende as igualdades M xdr = Mxd e M ydr = M yd . Na verdade, o processo é repetido até que as diferenças entre os momentos fletores resistentes e os momentos de cálculo sejam menores do que uma tolerância preestabelecida. A sistematização do dimensionamento pode ser feita da seguinte maneira: a) Escolhe-se um valor inicial para a área de aço As. Com esse valor de As, devem-se encontrar a e xo. I:I, , 70 Curso de Concreto Armado b) Escolhe-se um valor para o ângulo a e resolve-se iterativamente a equação de equilíbrio de forças (equação (4.2.5», para encontrar a profundidade da linha neutra xo' c) Com a e xo' calculam-se os momentos resistentes M xdr e M ydr empregando-se as equações (4.2.6) e (4.2.7). O valor escolhido para a será satisfatório, se o vetor momento resistente tiver a mesma direção do vetor momento solicitante, ou seja, se Mxdr =cMxd e Mydr = cMyd , onde c é um fator de proporcionalidade. Em caso contrário, deve-se redefinir a variável a e repetir o processo até que as direções dos dois vetores sejam aproximadamente iguais. . d) Uma vez atendida a condição anterior, deve-se verificar se os momentos resistentes são aproximadamente iguais aos momentos solicitantes. Se isto não se verificar, deve-se variar a área de aço e repetir todo o processo desde o início. Observa-se, assim, que existem três ciclos iterativos no processo: um para variar a área de aço, um para variar a inclinação da linha neutra e mais um para encontrar sua profundidade. A grande dificuldade do dimensionamento consiste na elaboração de um algoritmo eficiente para resolver os ciclos iterativos. A rigor, o problema crítico consiste em encontrar o ângulo a de inclinação da linha neutra para uma seção transversal arbitrária. Dependendo da forma da seção, a direção do vetor momento resistente pode variar muito com uma pequena variação de a. Isto pode ocasionar uma forte instabilidade numérica. Entretanto, existem situações para as quais é relativamente simples desenvolver um algoritmo estável que permita encontrar as incógnitas a, Xo e As' Isto ocorre quando a seção transversal possui dois eixos 'de simetria e quando as barras da armadura são distribuídas simetricamente em relação a esses eixos. Alguns exemplos de seções com dupla simetria são mostrados na figo 5.1.1. Para as seções com dois eixos de simetria, o problema pode ser limitado a um dos quadrantes, já que o sinal dos momentos solicitantes é indiferente. Assim, pode-se trabalhar com momentos positivos e limitar a solução ao primeiro quadrante. Dessa forma, o ângulo a estará contido no intervalo [- ;r/2 ,O] e é relativamente simples encontrar a solução. Dimensionamento àjlexo-compressão oblíqua 71 ( y- • • ,. X • • v ( ( • • X • • y' I: • • :1 ..,. X I: • • :1 y ." •• • •• • ,. X • ••• •• ( ( r Fig. 5.1.1 - Seções com dois eixos de simetria ( ( (Neste capítulo, será desenvolvido um algoritmo para o dimensionamento à flexo-cornpressão oblíqua de seções com dois eixos de simetria, como as seções indicadas na figo 5.1.1. Essas formas duplamente simétricas são encontradas com muita frequência em pilares de pontes e de edifícios de concreto armado. Assim, o algoritmo será capaz de resolver os principais problemas de interesse prático. De qualquer maneira, para outras formas de seção, pode-se fazer a verificação da capacidade resistente, conforme foi indicado no capítulo anterior. ( ( 5.2 - Determinação da inclinação da linha neutra '11 '/ Considere-se uma seção transversal com dois eixos de simetria e com uma dada área de aço. Em virtude da dupla simetria, pode-se limitar a análise ao primeiro quadrante, de forma que os momentos solicitantes Mxd e Myd serão sempre positivos. Na figo 5.2.1, IJ,Pi r=; I~r ~;( il {l S!( IIt' '( ( ( , :( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ! ( ( ( ( 76 Curso de Concreto Armado o outro extremo do intervalo solução pode ser obtido especificando-se um valor para Asu maior do que Asa' Calcula-se o desequilíbrio If'u correspondente e, se If'u < O, deve-se continuar incrementando a armadura. Quando resultar If'u > O, tem-se definido o valor de Asu' Sabe-se, portanto, que a solução se encontra no intervalo [Asa, Asu]. A armadura procurada é aquela que anula o desequilíbrio If/ entre os momentos resistentes e os momentos solicitantes. Esse . problema é análogo ao da determinação da profundidade da linha neutra. Logo, pode-se empregar o processo da bissecante seguindo os . mesmos passos apresentados na seção 2.6 do capítulo 2. Após a . convergência deste ciclo iterativo, tem-se concluído o dimensionamento. 5.4 - Exemplos i1ustrativos Os exemplos apresentados a seguir têm por objetivo mostrar algumas formas de seções que podem ser dimensionadas com o algoritmo desenvolvido. Em todos os exemplos, são adotados os seguintes materiais: concreto: fck = 20 MPa; aço: CA-50 (fyk = 500 MPa). Exemplo 1: Dimensionar a seção retangular da figo 504.1. 40 Yf ~ • ~:I:4 • • ~• -, ,.x I. 20em .1 Fig. 5.4. I - Seção do exemplo I Dimensionamento à flexo-compressão oblfqua 77 gxemplo 2: A seção é a indicada na figo 5.4.2. • • ·/I4 4- I. 20 .1. 60 em ~I.20 J • • • ~ 15 15 Fig. 5.4.2 - Seção do exemplo 2 Exemplo 3: Dimensionar a seção da figo 5.4.3 4 -.! • •• ~+4,. .. ., 12 y. x •• • •• • I. 19 .~. 19 ~ •• 12 46em Fig. 5.4.3 - Seção do exemplo 3 J I"e!:'r:1t~! I' liirl li I :! 78 Curso de Concreto Armado Exemplo 4: Dimensionar a seção da figo 5.4.4 4 • • • • =il~ -+-12• .,I • I ~ : j26 • 12 • • • • ·I~ 14 12 114 26 114 12 11 Fig. 5.4.4 - Seção do exemplo 4 Nas tabelas seguintes, apresentam-se os resultados obtidos para várias combinações dos esforços solicitantes. Tabel- --- - -- - . -. - - ----.------ ,-------r-- -/ Nk(kN) Mxk (kNcm) Myk(kNcrn) As (em") 500 O O O 800 O O 5,14 800 2.000 O 14,08 800 O 4.000 13,69 800 2.000 2.000 15,90 800 2.000 4.000 20,48 Tabela 5.4.2 - Resultados ( 102), Nk(kN) Mxk (kNcm) Myk(kNcm) As (em") 2.500 O O O 4.000 O O 28,57 4.000 20.000 O 43,55 4.000 O 20.000 65,26 4.000 20.000 10.000 51,41 I"~ Dimensionamento àflexo-compressão oblíqua 79 - .- - - --- - .- ----- ----~-- ------- -- - Nk(kN) Mxk(kNcm) Myk(kNcm) As (crrr') 1.000 O O O 2.000 O O 19,94 2.000 8.000 O 34,41 2.000 O 8.000 27,52 2.000 8.000 8.000 37,23 ( ( ( ( ( ---------.- --------.-- - --- --- -- Nk(kN) Mxk (kNcm) Myk(kNcin) As (em") 1.000 O O O 2.000 O O 17,89 2.000 16.000 O 42,76 2.000 8.000 12.000 39,92 2.000 16.000 16.000 58,14 ( ( ( ( 5.S - Tabelas para dimensionamento de seções retangulares r\ Com o algoritmo desenvolvido, foram preparadas as tabelas de dimensionamento constantes no Apêndice 2. Essas tabelas destinam- se ao dimensionamento de seções retangulares sob flexo-compressão oblíqua. Para entrar nas tabelas, devem ser calculados os esforços reduzidos de cálculo ( ( ( Nd Mxd V = , /-Lx = AcCTcd AchxCT cd Myd J-Ly = AchyCTcd (5.5.1) ( r ( ( ( ( (onde Ac = hxhy é a área da seção transversal e CTcd = O,80fcd' As tabelas fornecem a taxa mecânica de armadura, OJ, com a qual se calcula a área de aço aJAcO"cd A = f s yd (5.5.2) -Ili l'~'I 80 Curso de Concreto Armado li if ( Exemplo: Dimensionar a seção da figo 5.4.1, submetida ao esforço normal de serviço Nk = 800 kN e aos momentos fletores de serviço M xk = 2000 kNcm e M yk = 4000 kNcm. O concreto possui fck = 20 MPa e o aço é oCA-50 (fyk = 50 kl-I/crrr'). ( ( A solução "exata" para este problema, dada na tabela 504.1, é As = 20,48 em",i r Para realizar o dimensionamento empregando-se as tabelas do Apêndice 2, são necessários os seguintes cálculos:( ( ( ( ( ( ( fcd = fck == 14 MPa; CYcd = 0,80 fcd = 11,2 MPa; 1,4 Logo, CYcd = 1,12 kN/cm2• f fyk 2yd = - = 43,48 kN/cm ; hx = 20 em; hy = 40 em; 1,15( ( Ac = hxhy = 20x40::::::>Ac = 800 em" ( ( Nd = 1,4Nk = 1,4x800::::::>Nd = 1120 kN Mxd =1,4Mxk =1,4x2000::::::>Mxd = 2800kNcm r ( Myd = 1,4Myk = 1,4x4000::::::>Myd = 5600kNcm / Ndv = ---- AcCYcd = 1120 800xl,12::::::>v = 1,25( ( Mxd fi x = A h CYcdc x = 2800 800x20x1,12::::::> flx == 015 Dimensionamento àflexo-compressão obliqua 81 /I = Myd _ 5600ry - ::::::>- AchyCYcd 800x40x1,12 fly = 0,15 Para a seção da figo 5.4.1 deve-se empregar a tabela A2.2, interpolando linearmente entre os valores correspondentes a v = 1,2 e a V = 1,4 para a obtenção da taxa de armadura relativa a v = 1,25. Analogamente, é necessário fazer uma interpolação linear para obter a solução correspondente aos momentos Jix = 0,15 e fly = 0,15 . Feitas as interpolações relativas aos momentos fletores, obtêm- se os seguintes resultados: para v = 1,2: ca = 0,85 para v = 1,4: OJ= 1,02 Interpolando novamente para v = 1,25, chega-se a (j) = 0,89 . A área de aço é dada por _ OJAcCYcd = 0,89x800xl,12::::::>A s = 18,34cm2• As - f 4348yd , Comparando esse resultado com a solução exata, verifica-se que há um pequeno erro decorrente de arredondamentos e das interpolações feitas. Além disso, nas tabelas do Apêndice 2, foram fixadas as relações d~/ hx = d~ / hy = 0,10, enquanto que para a seção da figo 5.4.1 têm-se d.~/hx =0,20 e d;,/hy = 0,10. Nas apl icações práticas, essas diferenças de resultados são de menor importância. 5.6 - Processos simplificados de dimensionamento Diversos processos simplificados de dimensionamento à flexo- compressão oblíqua podem ser encontrados na bibliografia (ver, por exemplo, a referência [9]). Todos os processos simplificados procuram substituir a flexo-cornpressão oblíqua por uma flexo- compressão normal equivalente. 86 Curso de Concreto Armado ~ ~ ~ elemento rígido \ ~ (a) (b) Fig. 6.2.1 - Efeito da deslocabilidade horizontal De acordo com o CEB178(6), podem ser consideradas indeslocáveis as estruturas para as quais as seguintes desigualdades são atendidas: a=htot~ Fv ';0,2+0,ln, se n,;3 (6.2.1) Ecs1c a= htot~ Fv ,; 0,6, se n <: 4 Ecs1c (6.2.2) onde: a= parârnetro de instabilidade; n = número de andares; h/o/ = altura total da edificação, medida do topo da fundação ou de um nível indeformável; Ecs1c = soma dos valores de rigidez à flexão das seções dos elementos verticais na direção considerada; Fv = soma de todas as cargas verticais de serviço. Segundo a NBR-6118(5), o limite 0,6 deve ser usado quando o contraventamento é formado pela associação de pórticos e pilares- parede. Ele pode ser aumentado para 0,7 quando o contraventamento for constituído exclusivamente por pilares-parede. Por outro lado, Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 87 esse limite deve ser reduzido para 0,5 quando o contraventamento for constituído apenas por pórticos. As equações (6.2.1) e (6.2.2) limitam os efeitos globais de segunda ordem a um máximo em tomo de 10% dos respectivos efeitos de primeira ordem na estrutura. Dessas equações verifica-se . que, quanto mais alto for o edifício e quanto maiores forem as cargas verticais, maior rigidez de contraventamento será necessária para garantir a indeslocabilidade. Para o cálculo do momento de inércia Ic , adotam-se apenas as seções transversais de concreto sem a inclusão das armaduras. O módulo de deformação longitudinal secante, Ecs, pode ser obtido empregando-se a relação ( ( ( ( ( ( ( ( ( f, + 8)1/3e; = O,85x21500 c~O ,MPa ( ( ( ( ( ( ( ( (6.2.3) como sugerido pelo CEB/90(7) (cap.l, Volume 1). Quando a rigidez do pilar de contraventamento varia ao longo do seu eixo, é necessário determinar uma rigidez equivalente. O mesmo deve ser feito quando o contraventamento é constituído por pórticos. Usualmente, considera-se que a rigidez equivalente é a rigidez de um pilar de seção constante, engastado na base e livre no topo, da mesma altura que a estrutura real, que, submetido ao carregamento horizontal da estrutura, apresenta o mesmo deslocamento horizontal no topo. O valor da rigidez equivalente, determinado desta maneira, depende do tipo de carregamento usado na análise. Para calcular a rigidez equivalente de um pórtico ou de um pilar de seção variável, pode-se aplicar uma força horizontal FH no topo do pilar ou do pórtico, como sugerido pelo CEB( 15). Se U representa o deslocamento obtido na direção da força, a rigidez equivalente, E1eq' é dada por EI = FHht~t eq 3U ( ( ( (6.2.4) onde htot é a altura do pórtico ou do pilar de seção variável. 88 Curso de Concreto Armado ;( ( ( ( ( ( ( Alternativamente, o pórtico pode ser carregado com uma carga :i horizontal p, uniformemente distribuída ao longo de sua altura. t~' Para a análise do pórtico, essa carga uniforme é substituída por um , ~ conjunto de forças horizontais concentradas nos níveis das lajes. Se U representa o deslocamento horizontal no topo do pórtico, a: rigidez equivalente é dada por ( 4 phtot E1eq =v: (6.2.5) ( ( Os valores da rigidez equivalente obtidos com as equações (6.2.4) e (6.2.5) são diferentes. Em geral, a equação (62.5) fornece uma rigidez equivalente menor.( ( ( ( ( Procedimento recomendado A NBR-6118 também apresenta um segundo critério para a verificação da indeslocabilidade horizontal dos edifícios, o qual é baseado na avaliação de um coeficiente de amplificação de momentos, denominado de coeficiente Yz. Por esse critério, a estrutura pode ser considerada indeslocável (ou de nós fixos, segundo a nomenclatura utilizada na norma) se resultar yz :s; 1,10. Exemplo numérico de utilização desse critério pode ser encontrado na rei. [16]. Em um estudo apresentado na rei. [17], o Autor demonstrou que o parâmetro de instabilidade a pode ser derivado do coeficiente y z > o que indica que os dois critérios de verificação da indeslocabilidade são equivalentes, Entretanto, a verificação através do parâmetro de instabilidade é mais simples. Nesse estudo, foi mostrado que os valores limites para o parâmetro a devem ser alterados para levar em conta a fissuração do concreto e o número de andares do edificio. Os efeitos da fissuração são considerados especificando-se valores nominais para a rigidez à flexão EI das vigas, pilares e paredes estruturais (ou pilares-parede) da subestrutura de contraventamento, O procedimento sugerido em [17] é apresentado a seguir, em função do tipo de subestrutura de contraventamento. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Iti Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 89 A) Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito por paredes estruturais e/ou pilares-parede Se o contraventamento é constituído exclusivamente por paredes estruturais e/ou pilares-parede, a estrutura é considerada indeslocável quando Jfrv :s; alima = htot E Ics c (62.6) onde Ecs é o módulo secante do concreto, dado na equação (6.2.3), Ic é o momento de inércia da seção de concreto simples e alim é função do número de andares n do edificio e do estado de fissuração do elemento de contraventamento. As expressões de alim são as seguintes, conforme o caso: • para elementos não fissurados: alim = 0,67~1- 0,:0 (6.2.7) • ara elementos fissurados: ~,60 p - O47 1- , alim - , n (6.2.8) Observa-se que o valor de alim depende do estado de fissuração da parede ou do pilar-parede de contraventamento. As tensões de tração no concreto, para as cargas horizontais e as cargas verticais de cálculo que atuam no elemento estrutural, podem ser determinadas como para um material elástico linear submetido à flexo-compressão. Comparando a tensão de tração máxima em cada andar com a resistência à tração característica inferior do concreto, !ctk,inf' determina-se o estado de fissuração do elemento estrutural. A princípio, pode-se fazer uma interpolação linear entre os valores 90 Curso de Concreto Armado dados nas equações (6.2.7) e (6.2.8), com base no tamanho do trecho' . do pilar-parede que se encontra fissurado. B) Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito por pórticos Se o contraventamento é feito exclusivamente por pórticos, é necessário determinar sua rigidez equivalente EI eq : Neste caso, recomenda-se o emprego da equação (6.2.5). Na análise dos pórticos para cálculo do deslocamento horizontal U, considera-se a rigidez EI = 0,70EcJc' para os pilares, e EI = 0,35EcJc' para as vigas, conforme obtido na ref. [17]. A estrutura é considerada indeslocável se ~ Fv <;alima = htot E1eq (6.2.9) onde alim = 0,66~1- 0,:9 :S; 0,62 (6.2.l0) C) Parâmetros de instabilidade para contraventamento feito pela associação de pórticos com paredes e/ou pilares-parede A rigidez equivalente da associação é obtida como para os pórticos. A princípio, considera-se EI = 0,70E csI c para uma parede ou pilar-parede. Porém, se ficar comprovado que esse elemento está fissurado para as cargas de cálculo, deve-se repetir a análise do conjunto considerando EI = 0,35 Ecs1c para o mesmo. Uma vez determinada a rigidez equivalente, emprega-se a equação (6.2.9) para comprovar a indeslocabilidade. Neste caso, a expressão de alim é dada por tit o:r;' ~..;. Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 91 ( alim = 0,74~1- 0~3 :S;0,72 (6.2.11) Na tabela 6.2.1, indicam-se os valores de alim calculados com as expressões anteriores em função do número n de andares do edificio. ( Tabela 6.2.1 - Valores limites para o parâmetro de instabilidade (alim) Parede e pilar-parede * Pórtico e não fissurada Pórtico parede fissurada ** ** n 1 0,42 0,30 0,52 0,51 2 0,56 0,39 0,59 0,63 3 0,60 0,42 0,62 0,67 4 0,62 0,43 0,62 0,69 5 0,63 0,44 0,62 0,70 10 0,65 0,46 0,62 0,72 20 0,66 0,46 0,62 0,72 amax 0,67 0,47 0,62 0,72 Jfr ** a-h ~ Fv <a* _ __v_ < ..a- htot - ahm , - tot - limEcs1c E1eq ( ( ( ( ( ( ( ( ( Não deve ser esquecido que as alvenarias de vedação, as quais não são incluídas no cálculo, dão uma contribuição muito importante para a rigidez da estrutura. Dessa forma, resultará uma margem adicional de segurança em relação à indeslocabilidade horizontal da estrutura. ( ( ( Exemplo 1: Verificar se o pilar-parede da figo 6.2.2 é suficiente para garantir a indeslocabilidade de um edifício de 8 andares, cuja altura 96 Curso de Concreto Armado pilar ~ I le=min(I,lo +h) I ( ( ( ( ( .( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Fig. 6.3.1 - Comprimento de flambagem segundo a NBR-6118 Segundo a NBR-6118, os pilares devem ter índice de esbeltez À, S 200. Apenas nos casos de postes com força normal menor que O,lAc/cd, pode-se ter À, > 200. Na realidade, o comprimento de flambagem de um pilar depende da rigidez dos nós entre os quais ele se situa. A rigidez do nó é uma função da rigidez das vigas e dos pilares que para ele concorrem. Para levar em conta a fissuração, a rigidez das vigas pode ser calculada no estádio II puro. Para estruturas de nós indeslocáveis, o comprimento de flambagem, Ie' de um pilar é sempre inferior ao seu comprimento real, I, e depende do grau de engastamento. O comprimento de flambagem pode ser determinado, admitindo-se que o pilar é engastado elasticamente nos nós. A constante de mola, G, representando o momento que deve ser aplicado ao nó para produzir uma rotação unitária, define o grau de engastamento elástico. A constante G é obtida considerando apenas as vigas que concorrem ao nó. Por exemplo, para °pilar da figo 6.3.2, tem-se que ( ( ( ( ( ( G =4 Kvl +4 Kv2 Iv! lv2 (6.3.3) ( \ onde Kvl e Kv2 são as rigidezes no estádio II das vigas VI e V2, respectivamente. Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 97 --- -. V1 --- -- V2 _.- --, ,, ,, ,, ,, pilar em estudo I ~ , V1 V2 ,, , , ,, ,, --- . --I L__ II v1 I v2 I~ .~ . Fig. 6.3.2 - Determinação do grau de engastamento do pilar A rigidez da mola pode ser relacionada à rigidez do pilar no estado não fissurado, E csI c ' por meio da equação G = /30 Ecs1c (6.3.4) I onde /30 é um adimensional. Na figo 6.3.3, indica-se o modelo de cálculo do pilar engastado elasticamente nos nós. Fig. 6.3.3 - Pilar com engastamento elástico 98 Curso de Concreto Armado Para o caso de engastamento elástico simétrico indicado na figo 6.3.3, o comprimento de flambagem é obtido resolvendo-se a equação'!' ,8otg( ~) +kl = O (6.3.5) onde Jlik- -- EcJc (6.3.6) Empregando o método de Newton-Raphson, pode-se obter a raiz k da equação (6.3.5). A carga de flambagem.R,., é dada por Pcr = k2 EcJc (6.3.7) A carga de flambagem pode ser escrita na forma alternativa 2 P = J[ Ecs1c cr [2 e onde le =TC/k é o comprimento de flambagem do pilar com engastamento elástico. Para o caso em que o pilar é birrotulado, G = O e resulta que le = I. Se o pilar for biengastado, G -700 e resulta le = 0,5/. Logo, o comprimento de flambagem de um pilar pertencente a uma estrutura indeslocável varia de 0,51 até. I, dependendo do grau de engastamento nos nós da estrutura. No caso de pilar engastado na base e livre no topo, o comprimento de flambagem é le = 2/. Excelentes resultados podem ser obtidos empregando-se a fórmula simplificada' 14) (6.3.8) 1 =(1+0,205,80)1 e 1+0,410,80 (6.3.9) que é válida para pilares com engastamento elástico simétrico. Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 99 Para evitar a adoção de valores muito baixos para o comprimento de flambagem, o CEB/78 impõe a restrição le ~ 0,85/. Deve ser salientado que, em estruturas de nós deslocáveis, o comprimento de flambagem é maior do que o comprimento real do pilar. Nesses casos, o índice de esbeltez pode ser obtido em função dos deslocamentos horizontais relativos dos vários andares da estrutura, quando a mesma é submetida a uma força horizontal no topO(15). ( ( ( ( ( ( ( 6.4 - Classificação dos pilares quanto à esbeltez ( Em função da importância dos efeitos de segunda ordem, os pilares podem ser classificados da seguinte maneira: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( a) pilares curtos: para esses pilares, os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados. b) pilares moderadamente esbeltos: os efeitos de segunda ordem têm que ser considerados, mas permite-se o emprego de um processo simplificado. c) pilares esbeltos: nesses casos, os efeitos de segunda ordem têm que ser considerados através de algum processá que leve em conta as não linearidades física e geométrica de forma rigorosa. Os limites entre essas três classes de pilares dependem de vários fatores, os quais devem ser analisados em conjunto. Por exemplo, para definir o limite entre pilares curtos e pilares moderadamente esbeltos, deve-se analisar o Índice de esbeltez, a excentricidade relativa de primeira ordem e a forma do diagrama de momentos de primeira ordem. O CEB/78, por exemplo, permite desprezar os efeitos de segunda ordem nos pilares com índice de esbeltez ..:t não superiores a 25. Esse valor limite para o índice de esbeltez é igual a 20, segundo a DIN 1045(14), e igual a 22, de acordo com o ACI(4). No CEB/90(7), esse limite chega a ser igual a 12. ( ( ( ~ I( 100 Curso de Concreto Armado ( ( ( ( Por outro lado, os efeitos de segunda ordem não podem ser desprezados unicamente em função do índice de esbeltez Â,. Além desse parâmetro, deve-se levar em consideração o valor da excentricidade relativa de primeira ordem da força normal, el / h, onde el é a excentricidade de primeira ordem e h é a dimensão da seção do pilar na direção considerada. Em um pilar com um índice de esbeltez pequeno, mas com uma relação el / h também pequena, os efeitos de segunda ordem são importantes, não podendo ser desprezados. Por outro lado, os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados em pilares de maior índice de esbeltez, desde que el / h seja grande. ( ( ( ( ( ( ( Na figo 6.4.1, indica-se a classificação da DIN 1045 em função dos parâmetros Â, e el / h . ( ( ( ( e/h <o~'\~ /.~, ~ 0" pilar curto ( ( ( ( ( o t ::J U / --s=..- I I eu .õ.. 3,5 I I I pilar esbelto I I o 70 Â, I 20 Fig. 6.4.1 - Classificação de acordo com a DIN 1045( ( ( A forma do diagrama de momentos fletores de primeira ordem é outro aspecto que deve ser levado em consideração. Um pilar com momentos iguais nos extremos é muito mais sensível aos efeitos de segunda ordem do que outro, em que os momentos têm sentidos opostos. Na figo 6.4.2, são apresentadas três situações distintas que podem ocorrer nos pilares. (' I ( .',,@~,':': ,. Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 101 a ~p a ~pa ~p (b)(a) btpb tp tp b Fig. 6.4.2 - Influência da forma do diagrama de momentos de primeira ordem Observando a figo 6.4.2, constata-se que o caso a corresponde à pior situação. Para esse caso, o maior deslocamento transversal do eixo ocorre na seção central, onde também se dá a ruína. Para o pilar do caso b, o deslocamento máximo ocorre em uma seção mais próxima do extremo a. No caso c, o deslocamento na seção central é nulo e, provavelmente, a ruína ocorrerá na seção de extremidade, sendo desprezível o efeito de segunda ordem. O CEB/90 permite desconsiderar os efeitos de segunda ordem nos pilares contraventados, desde que Â, ~ 12(2 - elb J ela (6.4.1) onde ela e elb são as excentricidades de primeira ordem nas extremidades do pilar, com ela ~ elb . Conclui-se que, antes de desprezar os efeitos de segunda ordem, devem ser analisados os parâmetros Â e el / h , bem como o sinal das excentricidades nos extremos do pilar. A NBR-6118 também apresenta um critério para a dispensa da consideração dos efeitos de segunda ordem, levando em conta os fatores mencionados. Entretanto, esse critério pode levar a soluções contrárias à segurança, conforme é mostrado na referência [16]. j'11 I I j; ! i· 106 Curso de Concreto Armado Jr2 Xu =ye2 (6.5.4) Dessa equação, pode-se obter a excentricidade de segunda ordem, e2, em função da curvatura última. Considerando Jr2 == 10, chega-se a [2 e2=lüXu (6.5.5) . Assim, o momento fletor de segunda ordem, M 2d ' é dado por M2d =Fde2 (6.5.6) e o momento total é M d = Mld + M 2d . Com o esforço normal Nd = Fd e com o momento fletor M d ' dimensiona-se a seção transversal em flexo-cornpressão. A seguir, são apresentadas as expressões para a curvatura última forneci das pela NBR-6118 e pelo CEB. a) Expressão da NBR-6118 De acordo com a NBR-6118, a curvatura última é dada por o,OOS (6.5.7) XU=(vo+O,S)h onde Fd lIo = Acfcd (6.5.8) sendo Ac a área da seção de concreto e h a sua altura na direção considerada. Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 107 Para o emprego da expressão (6.5.7), quando Vo < O,S , deve- se adotar o valor Vo = O,S . ( ( b) Expressão do CEB De acordo com o CEB( 15) , a curvatura última é dada por 3,5%0+fyd/Es se vo~0,425 Xu = h ' (6.5.9) 3,5%0 + fyd / s, ,se V o > 0,425X u = ~(v:"":::o-=:-/O=-,4~2~5)\;-h - (6.5.10) ( Na figo 6.5.2, apresentam-se as variações da curvatura última em função do esforço normal reduzido vo' de acordo com essas duas normas. Para o emprego da formulação do CEB, admite-se que o aço é oCA-50. Observa-se pela figura que a expressão da NBR-6118 fornece um maior valor para a curvatura última, desde que Vo ~ 0,5. Uma vez que o momento de segunda ordem é diretamente proporcional à curvatura, conclui-se que o processo da NBR-6118 fornece mais armadura que o processo do CEB, para Vo ~ 0,5. Se Vo < O,S , obtém-se maior armadura com o processo do CEB. Resta comparar essas armaduras com aquela teoricamente exata. A armadura exata é obtida empregando-se algum algoritmo que leva em conta, de forma rigorosa, as não linearidades física e geométrica'v'", ( ( ( ( 108 6 5 ..-... s:oo O 4.•....e- m L- :::J 3roc: :::J U ( 2 Curso de Concreto Armado NBR-6118 / ( 1 I I I I I I I I I I I 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 esforço normal reduzido Vo Fig. 6.5.2 - Variações da curvatura última( ( De acordo com os critérios da NBR-6118, as armaduras devem ser calculadas empregando-se os coeficientes parciais de segurança Ye = 1,4, Ys = 1,15 e Yf = 1,4. De acordo com o CEB, as resistências de cálculo dos materiais são dadas por ( -r - fek .f _ fyk Jed---' yd---r.r. r.r, (6.5.11) onde Yc =1,5, Ys =1,15 e Yn = 1,2. Observa-se que, para o emprego do processo simplificado do CEB, o fator de minoração da resistência à compressão do concreto passa para 1,8 e o fator de minoração da tensão de escoamento do aço é igual a 1,38. Isto fará com que a armadura calculada por esse processo seja bem superior àquela que é considerada exata dentro dos padrões de segurança da NBR-6118. A comprovação desses resultados pode ser encontrada nas referências [3,8]. Assim, para evitar a adoção de padrões de segurança diferentes em cada processo simplificado, os mesmos são Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 109 comparados adotando-se sempre Yc = 1,4, Ys = 1,15 e Yf = 1,4 (com Yn = 1 na equação (6.5.11)). Nas tabelas 6.5.1 e 6.5.2, comparam-se as taxas mecânicas de armadura obtidas através dos processos aproximados com as taxas exatas(8).Nessas tabelas, 01 representa a taxa exata enquanto 011 e (J)2 são os valores encontrados empregando-se o processo da NBR- 6118 e o processo do CEB, respectivamente. O pilar é birrotulado e possui a seção transversal indicada na figo 6.5.3. Nd h • I •• ::I:d' e1 c d'/h=O,13 CA-50 I • • l::I:d' 14 b .1 Fig. 6.5.3 - Seção transversal e situação de projeto dos pilares Analisando as tabelas conclui-se que, em geral, os dois processos fornecem uma solução satisfatória. Para pequenos valores da excentricidade relativa de primeira ordem, ambos os processos fornecem uma solução a favor da segurança. Para valores altos da excentricidade de primeira ordem, os dois processos ficam contrários à segurança. Porém, o erro é pequeno e essa não é uma situação muito frequente nos pilares dos edifícios. A NBR-6118 apresenta, também, um segundo processo simplificado para a consideração dos efeitos de segunda ordem'Í", o qual é derivado do "método do momento majorado" do ACL Nesse segundo processo, denominado na NBR-6118 de "método do pilar- padrão com rigidez K aproximada", o momento total é obtido a partir de uma amplificação do momento de primeira ordem (ver equação (1.3.4) no capítulo 1). ~ irl: l'r!i l ,LriIr: . Nl. ffi r,f . ílIl 11: :1 ~t li r l I ri II ) ~u, t'!../ ! I 110 Curso de Concreto Armado Tabela 6.5.1 - Comparação dos processos aproximados com a solução "exata" - 2 = 45 v = 0,43 v =0,87 v = 1,30 ~ áJ1 áJ2 ~ ~ áJ2 ~ áJI áJ2 h úJ úJ h úJ ai h to {J) 0,09 1,73 1,39 0,06 1,10 1,03 0,35 1,10 1,13 0,17 1,19 1,08 0,12 1,04 0,98 0,52 0,98 1,00 0,26 1,04 0,98 0,17 1,01 0,96 0,70 0,95 0,96 0,35 0,99 0,95 0,23 0,98 0,94 0,87 0,96 0,97 0,44 0,99 0,96 0,29 0,96 0,93 1,04 0,96 0,97 0,52 0,97 0,95 0,35 0,97 0,94 1,22 0,97 0,97 0,61 0,98 0,96 0,41 0,96 0,94 1,39 0,97 0,98 0,70 0,98 0,96 0,46 0,96 0,93 1,57 0,97 0,98 0,78 0,98 0,96 0,52 0,96 0,93 1,74 0,96 0,97 0,87 0,98 0,97 0,58 0,97 0,95 Tabela 6.5.2 - Comparação dos processos aproximados com a solução "exata" 2 = 75 v=0,43 v = 0,87 v = 1,30 ~ úJI (iJ2 ~ ~ úJ2 ~ ~ (iJ2 h ca to h úJ úJ h úJ oi 0,09 1,93 1,55 0,06 1,22 1,04 0,35 0,99 1,05 0,17 1,18 1,03 0,12 1,07 0,94 0,52 0,95 0,99 0,26 1,02 0,93 0,17 0,99 0,88 0,70 0,93 0,97 0,35 0,98 0,91 0,23 0,95 0,86 0,87 0,94 0,97 0,44 0,95 0,89 0,29 0,93 0,85 1,04 0,93 0,96 0,52 0,95 0,90 0,35 0,92 0,85 1,22 0,94 0,96 0,61 0,94 0,90 0,41 0,90 0,84 1,39 0,93 0,95 0,70 0,94 0,90 0,46 0,91 0,86 1,57 0,95 0,97 0,78 0,94 0,91 0,52 0,91 0,86 1,74 0,94 0,96 0,87 0,95 0,92 0,58 0,90 0,86 A precisão dos dois processos adotados pela NBR-6ll8 é equivalente, como é mostrado nas referências [16,18]. Entretanto, o processo apresentado anteriormente é mais simples e já tem o seu uso consagrado no meio técnico. Além disso, o denominado "método do pilar-padrão com rigidez K aproximada" só é permitido para Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 111 seções retangulares. Por isso, no restante deste livro será empregado o processo da NBR-6118, definido pelas equações (6.5.5) a (6.5.8), para pilares com índice de esbeltez 2 S; 90. Exemplo de dimensionamento: Dimensionar um pilar com seção retangular possuindo duas camadas de armadura. A situação de projeto é a mesma indicada na fig.6.5.3. Os dados do problema são os seguintes: Seção transversal: b = 20 em; h = 40 em; d' = 4 em. Concreto: fck = 20 MPa. Aço CA-50: fyk = 50 kNlcm2• Módulo de elasticidade do aço: Es = 20000 kN/cm2• Comprimento de flambagem: le = 800 em (2 = 69) Força normal de serviço: Fk = 800 kN. Excentricidade de primeira ordem: el = 4 em. ( Solução: - Resistência de cálculo do concreto: j, 2{" = ~ = -~ {" = 1 4 kN/cm2 J cd 14 14 J cd ,, , ( ( O"cd = 0,85fcd ::::::>O"cd = 1,2kN/cm2 - Tensão de escoamento de cálculo do aço: [yk 50 2 [yd =-=-::::::>[yd = 43,48kN/crn 1,15 1,15 - Força normal de cálculo: Fd = 1,4Ff, = 1,4x800~Fd = 1120kN - Esforço normal reduzido Vo : 116 Curso de Concreto Armado :Jr2Er; = cs1c 12e (6.6.2) onde Ecs é o módulo de deformação longitudinal secante do concreto, 1c é o momento de inércia das seções do pilar, sem a inclusão das armaduras, ele é O comprimento de flambagem. A expressão (6.6.1) é adotada pelo CEBI78, sendo mantidano CEB/90. Essa expressão também foi incluída na NBR-6118. Entretanto, a NBR-6118 só exige a consideração da fluência nos casos em que Â > 90, sendo omissa quanto aos critérios para sua dispensa. Não se deve, por isso, considerar que a fluência possa ser desprezada se Â < 90 , como é mostrado na referência [16]. De acordo com o CEBI78, pode-se dispensar a consideração da fluência no dimensionamento dos pilares em qualquer um dos seguintes casos: a) índice de esbeltez pequeno: Â ~ 50; b) excentricidade relativa de primeira ordem alta: ~;:::: 2 ; h c) carga predominante de curta duração: Fg ~ 0,2Fk . Em qualquer outra situação, é obrigatória a consideração da fluência. Nos pilares dos edifícios, em geral, a força normal de longa duração, Fg, é muito próxima da força total de serviço, Fk' Nessas condições, o item c nunca será atendido. Além disso, nas situações correntes, a excentricidade relativa de primeira ordem, el / h , é bem inferior a 2, o que indica que o item b não deve ocorrer nos pilares dos edifícios. Dessa forma, pode-se simplificar o critério e desprezar a fluência somente quando Â ~ 50. Como outra simplificação a favor da segurança, pode-se admitir que Fg = Fk ' o que é coerente com as condições usuais de carregamento dos edifícios. Essas simplificações são empregadas ao longo deste livro. Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 117 o valor final do coeficiente de fluência, qJoo, pode ser obtido com o emprego da formulação apresentada no capítulo 1 do Volume 1. Exemplo: Dimensionar o pilar do exemplo anterior, incluindo a fluência. Os dados do problema são os seguintes: Seção transversal: b = 20 cm; h = 40 em; d' = 4 em (seção retangular com duas camadas de armadura). Concreto: fck = 20 MPa. Aço CA-50: fyk = 50 kN/cm2• Comprimento de flambagem: le =800 em (Â = 69 ). Força normal de serviço: Fk = 800 kN. Excentricidade de primeira ordem: e} = 4 em. Excentricidade de segunda ordem: e2 = 5,33 em (calculada no exemplo da seção 6.5). Umidade relativa do ambiente = 70%. Idade do carregamento: to =28 dias. Solução: - Determinação do coeficiente de fluência (ver capo 1, Volume 1): 2Ac _ 2x20x40 = 13,3 em =>ho = 133 mm h., = -Z-t - 2(20 + 40) 1- RH/I 00 1-70/100 ({JRH = 1+ 0,46(ho/l00)I/3 = 1+ 0,46(133/100)1/3 lfJRH = 1,59 m = 8 2 ({JRH 159 't'oo , / = 8 2 --;=='~v/ck +8 ' -J20+8 => ({Joo = 2,5 I' :!"~' f 1· I 118 Curso de Concreto Armado - Módulo de deformação longitudinal do concreto: X Ecs =0,85X21500(fc~0+8) 3 =25760 MPa Ecs = 2576 kN/cm2 - Momento de inércia: bh 3 20x40 3 = 106.667 em" Ic=U= 12 - Carga de Euler: Jr2EPe = cs1c p e Jr2x2576x106.667 :::::4237kN 8002 - Excentricidade de fluência: r rp~Fk ] [2 5x800 ] e, = eleP.-F. -I = 4 e4';7-800 -I = 3,16crn - Excentricidade total: e=el +e2 +ec =4+5,33+3,16 =:> e=12,49cm - Esforços para o dimensionamento: Nd = 1,4x800 = 1120 kN Md =Nde=1120x12,49 = 13989kNcm Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 119 Entrando na tabela A1.2 do Apêndice 1, obtém-se a área total da armadura As = 24,75 cnr', Ao ser desprezada a fluência (exemplo da seção 6.5), obteve- se uma área de aço igual a 19,21 em". Logo, a consideração da fluência causou um acréscimo de 29% na armadura, o que mostra a sua importância no dimensionamento. Observa-se que Â = 69 < 90 , o que demonstra que não se pode admitir um critério simplista de dispensa da consideração da fluência sempre que Â < 90 . ( (, 6.7 - Efeito de segunda ordem nos pilares-parede ( Os pilares de seção transversal composta por retângulos de pequena espessura são, usualmente, denominados de pilares-parede. As faces laterais do pilar são constituídas por placas, dispostas na vertical. Trata-se, portanto, de um pilar com seção de parede fina, que pode ser aberta ou fechada, conforme indicado na figo 6.7.1. ( b~tb DD (( (a) Seções abertas b) Seção fechada Fig. 6.7.1 - Seções típicas dos pilares-parede ( Normalmente, os pilares-parede são encontrados nas caixas das escadas e dos elevadores dos edifícios altos e possuem uma seção transversal aberta. Esses elementos, quando existentes, fazem parte da subestrutura de contraventamento do edifício. Os pilares-parede de .seção fechada, do tipo caixão, são encontrados nas pontes, podendo possuir uma ou mais células. Em virtude da pequena espessura das paredes, em relação às dimensões totais da seção transversal, consegue-se obter um elemento estrutural de grande rigidez com um peso próprio pequeno, quando comparado com a solução em seção maciça. Essa redução no peso próprio, devido à redução no consumo de concreto, repercute também nas fundações, que ficam submetidas a uma carga vertical menor. Por outro lado, os pilares-parede exigem um maior consumo Jf 1,1 ~~ fi 120 Curso de Concreto Armado J de armadura e de formas. Desse modo, o emprego de pilares-parede só apresentará vantagens em edifícios altos e em pilares de pontes com altura mínima da ordem de vinte metros. O dimensionamento dos pilares-parede segue o procedimento padrão apresentado para os demais pilares. Em uma análise global, onde se considera a geometria da seção transversal como um todo, incluem-se os efeitos de segunda ordem, as imperfeições geométricas do eixo do pilar e os efeitos da fluência do concreto, da maneira que foi apresentada anteriormente. Entretanto, como o pilar-parede está submetido à flexo-torção, os efeitos de segunda ordem podem ser bem maiores do que nos pilares de seção maciça. Esse assunto encontra-se bem desenvolvido nas referências [1,20,21]. Os efeitos de segunda ordem nos pilares-parede crescem com o aumento de suas rotações de torção. Assim, é sempre conveniente que esses pilares fiquem submetidos a momentos torçores de pequena intensidade, o que se consegue fazendo sua associação com pórticos de contraventamento, conforme apresentado no capítulo 10. Por outro lado, nos pilares-parede há problemas localizados nas diversas lâminas que o compõem, os quais podem ser determinantes para o dimensionamento. Desse modo, além da análise global do pilar, é necessário verificar a possibilidade de flambagem local das lâminas que compõem o pilar-parede. . De um modo geral, as normas de projeto, como a NBR-6118, passam a classificar os pilares como pilares-parede unicamente em função da relação entre os lados da seção transversal. Segundo a NBR-6118, os pilares da figo 6.7.1 são classificados como pilares- parede quando b > 5 t. Essa é uma classificação puramente geométrica, que não leva em conta a importância dos efeitos localizados descritos acima. Deve-se observar que, para um pilar de seção retangular simples (um único retângulo), os efeitos localizados se confundem com os efeitos globais. As imperfeições geométricas e os efeitos de segunda ordem são considerados quando da análise do pilar como um todo. Além disso, a influência da torção sobre os efeitos de segunda ordem pode ser desprezada. Neste caso, quando b > 5 t , o mais indicado é denominar o elemento de parede estrutural. ( ,r Y' ( \ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( \ ( ( Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 121 6.8 - Flambagem local das lâminas dos pilares-parede O problema da flambagem local nos pilares com seção de parede [ma tem sido bastante estudado para os pilares de aço. Entretanto, poucos estudos teóricos e experimentais têm sido feitos com o objetivo de analisar a ocorrência de flambagem local nos pilares de concreto armado. De fato, esse problema não deveria ocorrer com a maioria dos pilares-parede que foram projetados no passado, quando se empregava concretos de resistência relativamente baixa. Em vista dessa baixa resistência do concreto, as paredes tinham uma espessura razoável, resultando um pequeno índice de esbeltez para as lâminas do pilar. A carga de flambagem de cada lâmina isoladamente era bem superior à carga máxima que nela atuava, não havendo possibilidade de flambagem local. Entretanto, com o advento dos concretos de alta resistência, tem sido possível projetar e executar pilares de grande altura, com paredes de pequena espessura. A partir de então, a flambagem local se tomou crítica no projeto de diversos pilares de ponte de seção vazada. No caso dos edifícios, o problema da flambagem local pode ser importante, principalmente para as lâminas que possuem um bordo livre, nos pilares-parede de seção aberta. Para analisar a flambagem local em um pilar-parede, considera-se uma lâmina típica do pilar, como indicado na figo 6.8.1. A seção transversal da lâmina possui uma espessura t e tem n camadas de armadura, cada uma com uma área de aço Asi' A distância de uma camada genérica até o centro da lâmina é Zj. A n área total de aço na seção é As = LAsi . i=l Na figo 6.8.1, representa-se o caso usual com duas camadas de armadura. A lâmina tem uma largura b e uma altura real I. Os lados 1-2 e 3-4, situados no topo e na base da lâmina, respectivamente, são considerados simplesmente apoiados. No caso dos edificios, esses lados correspondem às lajes de piso, sendo I a distância de piso a pISO. 126 Curso de Concreto Armado Concreto O's AçoO'c fYd -O'cd êo êu êc e êsyd Fig. 6.8.4 - Diagramas tensão-deformação para os materiais Para o concreto, emprega-se o diagrama parábola-retângulo. A tensão O"c ' para uma deformação éc ~ éo ' é dada por ( 2J2éc e;O"C = O"cd ---;: - é; i'I onde (}cd =0,85fcd e éo =0,002. Derivando a expressão (6.8.7), obtém-se o módulo tangente ( 1 e, JE = 20"cd -;;- - é2d Co o Considerando a seção transversal indicada na figo 6.8.1, obtém-se a rigidez tangente da placa de concreto armado, b 3 nEct tE"" A Z2 D = ( 2 ) + s c: si i l21-v i=l Observa-se que, quando éc > e.: o módulo tangente Ect se anula e a rigidez é dada apenas pela contribuição das armaduras. Entretanto, como a deformação de escoamento eyd do aço é muito (6.8.7)" . (6.8.8) (6.8.9) Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 127 próxima de êo, essa fase não tem interesse prático. Considerando, - por exemplo, o aço CA-50, tem-se éyd = 0,00217, valor apenas 8% superior a éo' Logo, pode-se restringir a análise ao trecho : ascendente da parábola, ou seja, para e; =:;; e; . O esforço normal N que solicita a lâmina é dado por N = bt a; + As(}s (6.8.10) onde As é a área total de aço na seção transversal e ac é a tensão no concreto, dada em (6.8.7). A tensão no aço é dada por O"s= Esês (6.8.11) ( onde és = e; pela condição de compatibilidade. Desse modo, dada a deformação és = éc' pode-se empregar a equação (6.8.10) para obter o esforço normal solicitante N. Substituindo (6.8.9) em (6.8.5), obtém-se a carga crítica da placa, Pc,.. Se N < Pc,. , significa que não OCOITeflambagem da lâmina. Aumentando o valor da deformação, aumenta o valor do esforço normal N e diminui o valor da carga crítica Pcr . Interessa saber se existe algum valor de deformação éc < êo ' tal que N = Pcr' Para isto, basta fazer N - Pcr = O e substituir as expressões anteriores, ficando-se com a equação ( ( ( ( 2[Eb3 n ]J[ ct t 2 bt a; + AsO"s --2- ( 2)+ s,L AsiZi = O (6.8.12) te 121-v i=l Substituindo as expressões de O"c' Ect e as' dadas nas equações (6.8.7), (6.8.8) e (6.8.11), resulta a equação do segundo grau 'Í ( ( ( ( ( 128 Curso de Concreto Armado lO~,- (A +2lOo + Bp)Ea +[ AlOo + 6AB(1-V2 ~PiP? ] ~ O (6.8.13) onde ( ( ( ( ( A = 2,,2 Â?(1-V2) B= Esc~ . O'ed ' As P= bt Asi Pi =Tt f3 z. , i=-It . ( A equação (6.8.13) pode ser resolvida para obter a deformação crítica cer. Se resultar e.; < co' significa que a ruína da lâmina ocorre por flambagem e não por ruptura do concreto. Se resultar cer > Co ,a ruína ocorre por ruptura, não havendo flambagem. O índice de esbeltez crítico, Âu, é aquele para o qual resulta cer = co. Assim, se Â < Âer' a ruína ocorre por ruptura, sem flambagem. Se Â > Âer' a ruína ocorre por flambagem, sem ruptura do concreto. Fazendo cer = Co na equação (6.8.13), obtém-se a expressão do índice de esbeltez crítico ( ( ( ( ( ( ( ( 2 ."" 2 12" O'sd2~pJ3i co (PO' sd2 + O'ed ) (6.8.14) í Âer = ( ( ( onde O'sd2 = EsEo é a tensão no aço para uma deformação igual a e.: ( Particularizando para a seção transversal da figo 6.8.1, com armadura simétrica em duas camadas, e substituindo Co = 0,002, chega-se a ';"l.., Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 129 Âer = 243(0,5 - 8).,/ PO'sd2 PO'sd2 + O'ed (6.8.15) onde 8= d'[t . Conforme se observa, o índice de esbeltez Âer diminui com o aumento da resistência do concreto. Logo, pode-se concluir que os problemas de flambagem local serão mais importantes nos pilares- parede executados com concreto de alta resistência. Nas figuras 6.8.5 e 6.8.6, apresentam-se as curvas cer - Â para duas classes de resistência do concreto. Na elaboração dessas figuras, considerou-se uma lâmina com duas camadas de armadura, como na figo 6.8.1, e os seguintes dados: Es = 200 GPa; V = 0,2; 8= 0,20. Admitindo que P = 1% , resulta Â-er = 36 , para tek = 20MPa, e Âer = 27, para tek = 40 MPa. Logo, o pilar- parede da figo 6.8.2 apresenta problema de flambagem local nas lâminas de número 2. 2.5 Concreto: fck=20 MPa Ruptura sem flambagem / ~ 2.0 ;;-8 wt3 ~ 1.5 u o !(ti ál" 1.0 E.E Q)o 0.5 Àcr=36 para p=1 % 0.0 I i I I I( I I I i I I I ~"i o 20 40 60 80 100 índice de esbeltez À Fig. 6.8.5 - Deformação crítica de flambagem (fck=20MPa) ~..•.."" nit ~~( :f 1,/' ~! :1 'I 130 Curso de Concreto Armado 2.5 Concreto: fck=40 MPa Ruptura sem flambagem I;J 2.0 ,,}J ~ 1.5 2 U o .ctl o-§ 1.0 .E Q) Cl I I : p=1% I I I I I I I I I I I I : /..cr=27 para p=1% I 0.5 0.0 I • • ". • i i i i • i 20 40 60 80 indice de esbeltez Â Fig. 6.8.6 - Deformação crítica de flambagem (fck=40MPa) o 100 No caso dos pilares de seção caixão, utilizados nas pontes, o comprimento de flambagem das lâminas do pilar é obtido com o emprego das equações (6.8.1) e (6.8.2). Considerando o caso usual em que l > b , tem-se 'e = b/2 e o índice de esbeltez é dado por À = 'em = bm t 2t (6.8.16) Considerando Àcr = 27 (limite válido para fek = 40 MPa e p = 1%) e impondo a condição Â.:S;; Â.er, resulta bj t :s;; 15. Essa relação, b/t::;; 15, concorda perfeitamente com os resultados experimentais realizados em pilares de seção caixão(22l. Por isso, no projeto desse tipo de pilar é prática corrente desconsiderar a flambagem local sempre que b/t::;; 15. O mesmo procedimento pode ser usado para determinar a esbeltez máxima das lâminas com um bordo livre, bastando empregar a expressão (6.8.3) para o comprimento de flambagem. Os - Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 131 resultados são apresentados na figo 6.8.7, onde foi considerado o índice de esbeltez crítico é Àcr = 27 . 30.0 ~ 20.0 os <1l ã.i a:: 15.0 Sem flambagem local ~o, rDI! ( I. b ,I Ocorre flambagem local Esbeltez limite 10.0 5.0 I i I i I i I i I i I i I 0.0 ( 1.0 2.0 3,0 4.0 Relação IIb Fig. 6.8.7 - Esbeltez máxima das lâminas com um bordo livre para ser desconsiderada a flambagem local 5.0 6.0 ( ( 6.9 - Dimensionamento de pilares-parede incluindo os efeitos da flambagem local Uma vez identificado o problema da flambagem local, quando Â. > Â.er para uma determinada lâmina do pilar-parede, é necessário incluir esse efeito nos procedimentos de projeto. Há diversas maneiras de se considerar esse fenômeno, mas, em geral, desconsidera-se a interação entre as diversas lâminas do pilar. Desse modo, considera-se o menor valor da deformação crítica de flambagem local Eer, obtido para todas as lâminas do pilar-parede. Numa primeira opção de projeto, podem-se limitar as deformações na seção transversal do pilar, de modo que E::;; Elim em todos os pontos da seção. A deformação limite ê]im é dada por ( ! '",-, o ! I, ' I' ( li q( tj ij i( 'irI I( 136 Curso de Concreto Armado • • l·.:!• •• • I •• O N I·· <5 • N I•• I ' • • II· • • • • • Armadura: 56 <1> 20 o N.a- o N i( I( '/ I :1 ( ( ( ( Fig. 6.9.3 - Seção transversal do pilar-parede com consideração da flambagem local ( ( ( ( r ( ( ( ( ( ( Para um pilar-parede com uma dada taxa de armadura p , pode-se definir o fator de redução de capacidade FI' como a razão entre a carga de ruptura, considerando a flambagem local, e a carga de ruptura sem considerar a flambagem local. Das equações (6.9.8) e (6.9.9), pode-se escrever (5cde + pfydeF =----- r (5cd + pfyd (6.9.11) onde (5cde e fyde são calculados como anteriormente. ( o fator de redução de capacidade, dado na equação (6.9.11), é comparado com os resultados experimentais realizados em pilares- parede de seção caixão, apresentados na referência [22]. Os resultados são mostrados na figo 6.9.4, onde a linha cheia é obtida com a equação (6.9.11) e os pontos correspondem aos resultados experimentais. Quando os resultados experimentais indicaram um valor de FI' maior do que I, foi considerado FI' = 1, pois nestes casos não houve influência da flambagem local. '-, " Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 137 1.2 Q) -O co 1.1-O ·5 coo.. co 1.0 Jo ..- •Q) •-O • O 0.9lCOo- :::J -O I 1.(l)•... 0.8 (l) O.7~ •-O ••...O 2+-'rn 1, 2 e 3: pilares fora do padrão usualLL de concretagem I 0.6 o 10 20 30 40 Relação de esbeltez b/t Fig. 6.9.4 - Comparação com resultados experimentais Conforme se observa, há uma boa concordância do modelo teórico com os resultados experimentais. Para pilares com b/ t ~ 15 , não há nenhuma evidência de redução de capacidade, como já foi discutido anteriormente. Por outro lado, se b/t > 15, há uma nítida redução da capacidade de carga do pilar com o crescimento da esbeltez, como uma consequência da flambagem local. 6.10 - Imperfeições geométricas localizadas em pilares-parede De acordo com a NBR-6118, as imperfeições geométricas dos pilares dos edificios podem ser classificadas em imperfeições globais e imperfeições locais. As imperfeições globais decorrem do desaprumo do edifício como um todo e devem ser consideradas no projeto dos pilares de contraventamento, como é apresentado na 1, ' . seção 10.3 (capitulo 10). As imperfeições locais ocorrem entre dois . andares sucessivos e são consideradas no projeto dos pilares ,;.;,,;\ 138 Curso de Concreto Armado contraventados, através de uma excentricidade acidental, como é apresentado na seção 7.3 (capítulo 7). Nesses dois casos, a imperfeição geométrica se refere ao eixo do pilar. No caso dos pilares-parede, ainda pode ser· necessário considerar as imperfeições geométricas localizadas em uma ou mais ( lâminas que o compõem. Neste caso, considera-se a imperfeição geométrica de uma lâmina entre dois pisos sucessivos. Essas três situações são representadas na figo 6.10.1. ~,iI t>l 1[' 'i";;:í jlUi'[LI'~fli ii~( :,!F' f!"yr. lI;'r,:1::, " • !: r· f~ ) i!f.: "V., 1 Imperfeição global Imperfeições locais Fig. 6.10.1 - Imperfeições geométricas dos pilares o efeito das imperfeições localizadas pode ser analisado pela teoria de placas, conforme apresentado no capítulo 2 do Volume 2. Entretanto, como as lâminas do pilar-parede estão comprimidas, devem-se considerar os efeitos de segunda ordem. Na figo 6.10.2, apresenta-se uma placa simplesmente apoiada nos quatro lados, submetida a um esforço normal Nx por unidade de comprimento. Admite-se que a placa possui uma imperfeição inicial representada pelos deslocamentos transversais !~: ;~ :rcx :rcy Wo = e] sen-sen--a b (6.10.1) onde e] é o valor máximo da imperfeição, que ocorre no centro da placa. Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 139 xt 1"~ ( ( II , ( ( a=1 I I ~ ( { ( )i y Fig. 6.10.2 - Paca imperfeita simplesmente apoiada no contorno Devido ao esforço normal Nx' as deflexões da placa sofrerão um acréscimo W = W(x,y) que pode ser escrito na forma ( ( J'CX :rcy W = e2 sen-sen-- a b ( (6.10.2) Conforme é demonstrado na referência [23], o acréscimo e2 da flecha no centro da placa é dado por ( ( e]Nx - J2e2 - 2:Jr2D[1+~ -N x2 b2a (6.10.3) ( onde D é a rigidez à flexão da placa. Desprezando as armaduras e considerando a fluência do concreto, pode-se escrever ( s., J t3D = - ( 2) (6.10.4)l+qJ 121-v 140 Curso de Concreto Armado onde t é a espessura da placa, Ecs > rp e V são o módulo secante, o coeficiente de fluência e o coeficiente de Poisson do concreto, respectivamente. Uma vez determinada a expressão de W(x, y), podem-se calcular os momentos fletores, empregando-se as relações apresentadas no capítulo 2 do Volume 2. O momento fletor na direção vertical é de menor interesse, pois o seu efeito é distribuído por toda a seção transversal. Em outras palavras, a seção transversal do pilar como um todo deverá resistir a esse momento adicional, decorrente da imperfeição localizada em uma lâmina. Em geral, esse efeito é pequeno, não havendo necessidade de sua consideração. Por outro lado, as lâminas devem ser dimensionadas para o momento fletor horizontal decorrente da imperfeição localizada. O valor máximo do momento horizontal ocorre no centro da placa e vale 2 (1 v J«. =Dn e2 b2 +~ (6.10.5) Admitindo que na lâmina do pilar atue o esforço normal de cálculo Nd max dado na equação (6.9.8), o esforço normal Nx por, unidade de comprimento é dado por N x = (acd + P fyd)1 (6.10.6) onde os termos são os mesmos definidos anteriormente. Assim, as armaduras horizontais do pilar-parede podem ser dimensionadas com base no seguinte procedimento: - adotar um valor máximo para a imperfeição geométrica e[ ; - calcular Nx com o emprego da equação (6.10.6) em função da espessura t e da taxa de armadura longitudinal p na lâmina; - calcular a flecha máxima e2 com o emprego da equação (6.10.3); - calcular o momento horizontal My dado em (6.10.5); - dimensionar a placa para esse momento e obter a taxa p, da armadura transversal. Considerações sobre o cálculo de pilares de concreto armado 141 Para a imperfeição geométrica ej pode-se adotar e} 2 {a/400 b/400 (6.10.7) Na figo 6.10.3, mostram-se as variações de p, em função de p e da relação blt , obtidas com esse procedimento. Na elaboração dessa figura, adotou-se rp = 2,5, v = 0,2 e O = 0,20. O concreto possui fck = 20 MPa eo aço é o CA-50. No dimensionamento não foi verificada a armadura mínima de flexão. 6. (]) 0.1 o ~ L- oo, 0.08 eu +"'c o .~ 0.06 o.c eu L- ::l004-o . eu E L- eu (]) 0.02 -o eu x ~ 0.001 ' I I I I I I I I I I I 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 Taxa de armadura longitudinal total p % Fig. 6.10.3 - Taxa de armadura horizontal para considerar imperfeições localizadas cf2. 0.12 A a/b=2v ~ a/b=1 b/t=5 ~ ~_B~~'~~ j j ,.-- ~ íi j b/t=2 • j j j j íI íI íI íI íI O O O i' i" ,, ~ j;\ ' 146 Curso de Concreto Armado pilar de extremidade ~ q nól I I Meng Fig. 7.2.3 - Momentos iniciais nos pilares de extremidade Para os pilares de canto a situação de projeto é de flexo- compressão oblíqua, já que devem ser considerados os momentos transmitidos por ambas as vigas que nele terminam. As expressões (7.2.1) e (7.2.2) podem ser empregadas para as duas direções. Exemplo: Determinar os momentos fletores que a viga VX transmite ao pilar PY da figo 7.2.4. A viga é solicitada por uma carga uniformemente distribuída igual a 8 kN/m. PY-20x60 400 408 J , : ·, o ·'<t K-tI 12 300 : ·· ~ dimensões em em corte A-A Fig. 7.2.4 - Determinação dos momentos iniciais no pilar PY Cálculo dos pilares contraventados 147 Solução: a) Momento de engastamento perfeito: ( pl;ig _ 8x4,08 2 = 11,10 kNm Meng =--u- - 12 ( onde lvig = 4,08m é o vão de cálculo da viga (ver figo 7.2.4). b) Coeficiente de rigidez da viga: 3 412x40 = 64000 em Ivig = 12 . ( ( 4Ivig _ 4x64000 = 627 em" rvig = 1-. - 408 Vlg ( c) Coeficiente de rigidez dos pilares: ( ( ( Admitindo que não ocorra variação na seção transversal do pilar, tem-se que rinf = rsup = r p . 03 460x2 = 40000 cmIp = 12 ( 61p _ 6x40000 = 800 cnr' rp "T?" 300 p ( d) Momentos iniciais no pilar: rp 800 Mp=Meng =11,10~---- 2rp + rvig 2x800 +627 Mp =3,99kNm ( 148 Curso de Concreto Armado o diagrama de momentos é indicado na figo 7.2.5. 3,99 --- 3, 99kNfTl 3,99 Fig. 7.2.5 - Diagrama de momentos iniciais no pilar PY 7.3 - Situações de cálculo dos pilares a) Pilares intermediários Conforme foi visto anteriormente, a situação de projeto dos pilares intermediários é de compressão centrada, já que os momentos transmitidos pelas vigas podem ser desprezados. Dessa forma, admite-se que a força normal de cálculo Fd atua no centroide das seções transversais de concreto. Entretanto, a NBR-6118, assim como as demais normas de projeto, exige a consideração de uma excentricidade acidental em todos os casos. Essa excentricidade tem por objetivo levar em conta possíveis imperfeições do eixo do pilar, com o consequente desvio desse eixo em relação à posição vertical. De acordo com o CEB/90, a excentricidade acidental a ser considerada para os pilares contraventados é dada por aaIe ea = 2 (7.3.1) onde 1 1a = <- a lOOJi - 200 (7.3.2) Cálculo dos pilares contraventados 149 Nessas expressões, 1 é o comprimento real do pilar em metros, I é o seu comprimento de flambagem e aa é a inclinação do eixo e do pilar em relação à vertical. Adotando o máximo valor para a inclinação, aa = 1/200, resulta uma excentricidade acidental le ea = 400 (7.3.3) A NBR-6118 adota a mesma formulação do CEB/90 para a consideração das imperfeições geométricas. Porém, ela exige a consideração de uma excentricidade de primeira ordem mínima, e[,min' dada por e[,min = 1,5+ O,03h , em (7.3.4) onde h é a altura da seção transversal do pilar na direção considerada, em centímetros. A expressão (7.3.4) foi extraída do código de projeto do ACI(4). Assim, mesmo estando em uma situação de projeto de compressão centrada, os pilares intermediários devem ser dimensionados à flexo-compressão, Na figo 7.3.1-a, indica-se a situação de projeto dos pilares intermediários, onde x e y são as duas direções principais para as quais o pilar deve ser dimensionado. Os pilares intermediários devem ser dimensionados considerando-se a força normal aplicada no eixo x e no eixo y, com as excentricidades ex e ey, conforme é indicado na figo 7.3.1 (casos b e c). A armadura a ser adotada é a maior obtida nos dois dimensionamentos, ou seja, não é feita a superposição das armaduras. A excentricidade ex é dada por ex =elx +e2x +ecx (7.3.5) ri, ''''''.>, 150 Curso de Concreto Armado onde elx"" excentricidade de primeira ordem, e2x"" excentricidad de segunda ordem e ecx = excentricidade de fluência na direção x. y. yYj F d I I ey Fd I * •~ Xe~ X (c) (b) Fdhy ~ X I~ hx ~ (a) Fig. 7.3.1 - Situação de projeto e situações de cálculo dos pilares intermediários A excentricidade acidental eax é obtida da relação I,·iH1,(,:~,:I r lex eax = 400 onde lex é o comprimento de flambagem do pilar na direção x. A excentricidade de primeira ordem mínima é dada por elx,min = 1,5 + O,03hx' Logo, na equação (7.3.5) deve-se adotar para elx o maior valor entre eax e elx,min (elx = eax ~ elx,min)' A excentricidade de segunda ordem, e2x' é dada por J ",. i! ':-1 ";: ir~i;1, 1~~. H ~i, i~· I~}i;.!_!;'!"~C~l~:~. ~L Z2 0,005ex _ e2x =10(v o + 0,5)hx conforme o processo simplificado da NBR-6118, apresentado na seção 6.5. (7.3.6) (7.3.7) Cálculo dos pilares contraventados 151 o parâmetro Vo é dado por ( Fd ~ 0,5 Vo = Acfcd (7.3.8) ( onde Ac = hxhy é a área da seção transversal e fcd é a resistência à compressão de cálculo do concreto. A excentricidade de fluência, ecx' é dada por / [ qJooFg ecx = elx e Pex -Fg -1] ( (7.3.9) 2 1[ Ecs1cx onde Pex = 2 é a carga de Euler na direção x . lex Como uma simplificação a favor da segurança, pode-se adotar Fg =Fk' N a expressão (7.3.9), adota-se elx = eax> sem necessidade de respeitar a excentricidade mínima. Com o esforço normal de cálculo N d = Fd e com o momento fletor de cálculo M d = Fd ex > dimensiona-se a seção em flexo- compressão normal na direção x. Para a direção y considera-se a excentricidade ( ( ( ( ( ( ey = ely +e2y +ecy (7.3.10) onde ely' e2y e ecy são obtidas de forma análoga. Em ambos os casos, pode-se desprezar a excentricidade de fluência quando o índice de esbeltez for menor ou igual a 50. 156 Curso de Concreto Armado Observa-se que todas as seções transversais do pilar estão submetidas à flexo-cornpressão oblíqua, como uma condição inicial. Neste caso, os dimensionamentos devem ser feitos sempre à flexo- compressão oblíqua. De um modo geral, devem ser adotadas seis situações de cálculo: duas para a seção do topo, duas para a seção da base e duas para uma seção intermediária do pilar. 1) Situações de cálculo na seção de topo do pilar A situação de projeto na seção de topo do pilar é apresentada na figo 7.3.5-a, onde eix,t e eiy,t são as excentricidades iniciais nas duas direções. As duas situações de cálculo para essa seção correspondem aos casos b e c da figura. Y Yf yteix,t ~2• Fd ex I ley.1 Fd ieiy,t I y • X X (b) (c) i( i( i( I i( hy r I V I( ( I. hx ~I (a) Fig. 7.3.5 - Situação de projeto e situações de cálculo para a seção de topo do pilar de canto '( '( ( ( ( Situação de cálculo 1: ex = elx ey = eiy,t (7.3.15) ( onde elx = eix,1 + ea:x 2: elx,min (7.3.16) . kL~i~ Cálculo dos pilares contraventados 157 ,S,ituação de cálculo 2: ex = eix,t , ey = ely (7.3.17) onde ely = eiy,t + eay 2: e}y,min (7.3.18) 2) Situações de cálculo na seção da base do pilar A situação de projeto na seção da base do pilar é apresentada na figo 7.3 .6-a, onde eix,b e eiyb são as excentricidades iniciais nas duas direções, consideradas em valor absoluto, pois se admite que a seção do pilar possui dupla simetria. Para uma seção transversal genérica, é necessário considerar o sinal negativo das excentricidades. As duas situações de cálculo para essa seção correspondem aos casos b e c da figura . y X yf Yfeix,b .4 Fdex I Iey--.j3 Fd· feiY,b I y •X X (b) (c) hy \,J I~ hx ~ (a) Fig. 7.3.6 - Situação de projeto e situações de cálculo para a seção da base do pilar de canto Situação de cálculo 3: ex = elx , ey = eiy,b (7.3.19) onde elx = eix,b + eax 2: elx,min (7.3.20) 158 Curso de Concreto Armado Situação de cálculo 4: ex = eix,b onde ey = ely ely = eiy,b + eay ~ ely,min 3) Situações de cálculo na seção intermediária do pilar A situação de projeto na seção intermediária do pilar é apresentada na figo 7.3.7-a, onde eix e eiy são as excentricidades iniciais nas duas direções. As duas situações de cálculo para essa seção correspondem aos casos b e c da figura. I i I, 1 hy I~ hx ~I (a) Yj yteix-.16 •Fd ex I ley.5 r, i eiy I ••• •x x (b) (c) Fig. 7.3.7 - Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária do pilar de canto por As excentricidades iniciais na seção intermediária são dadas j~[ . > {0,6e ixt + 0,4e ix.b e/x - ° 4, e ix,t ,;·r -:-...: { 0,6eiy,t + 0,4eiy,b (7.3.23) eiy ~ O,4eiy,t Cálculo dos pilares contraventados 159 onde se admite que as maiores excentricidades, em valor absoluto, ocorrem na seção do topo. Como se trata da seção intermediária, devem-se considerar as excentricidades de segunda ordem e de fluência. , futuação de cálculo 5: onde ex =elx +e2x +ecx , ey = eiy elx = eix + eax ~ elx,min Situação de cálculo 6: ex = eix onde ey = ely +e2y +ecy ely = eiy + eay ~ ely,min Observa-se que, em uma situação geral, devem-se realizar seis dimensionamentos à flexo-cornpressão oblíqua para saber qual é a situação de cálculo crítica. Quando esses dimensionamentos são feitos com o emprego de algum software, obtém-se a solução final com relativa facilidade. Entretanto, o projeto dos pilares de canto pode ficar extremamente trabalhoso, quando o dimensionamento é feito por meio de tabelas. Nesses casos, é conveniente analisar a ordem de grandeza das excentricidades antes da real ização do dimensionamento, para eliminar aquelas situações de cálculo visivelmente irrelevantes. Isto é feito no exemplo 3, apresentado a seguir. 7.4 - Exemplos de dimensionamento ( ( ( (7.3.24) ( (7.3.25) ( ( (7.3.26) ( (7.3.27) ( ( ( ( Em todos os exemplos apresentados a seguir, são fixados os seguintes dados: fck = 20 MPa; rpoo = 2,5; Aço CA-50 (fyk = 50 kN/cm2); le = 4 m nas duas direções; 160 Curso de Concreto Armado Yf = 1,4; Y c = 1,4; Y s = 1,15 ; Fk = 857kN ==:> Fd = 1,4Fk = 1200kN. Cálculos preliminares: + 2 2 50 2 J cd = - ~ 1,4 kN/cm ; fyd = - = 43,48 kN/cm ; 1,4 1,15 y; . Ecs =0,85X21500(fc~;8) . =25760MPa Ecs = 2576 kN/cm2 . le 400 1 ( . id d ·d .eax = eay = -- = -- = cm excentrici a es aCI entais)400 400 Exemplo 1: Pilar intermediário Dimensionar o pilar intermediário da figo 704.1. y x ir 50 !( r ( ( ( I 200m I~ ~ Fig. 704.1 - Seção transversal do pilar intermediário Solução: Iniciar pela direção de maior esbeltez Cálculo dos pilares contraventados 161 . 1) Dimensionamento segundo a direção x a) índice de esbeltez I .JU 400.JU~ 69 - lex = ex = 20 Âx - ..J Icx/ Ac hx b) Excentricidade de segunda ordem Como Âx S 90, o pilar é moderadamente esbelto, podendo-se empregar o processo simplificado da NBR-61 18. v = Fd = 1200 =086 o Acfcd 20x50x1,4 ' Como Vo > 0,5, adota-se o valor calculado Vo = 0,86 . l;x 0,005 e2 = x 10 (vo + 0,5)hx 4002e2x =._ 0,005 10 (0,86 + 0,5 )20 ==:> e2x = 2,94 em c) Excentricidade de fluência (Âx > 50) hyh; _ 50x20 3 = 33.333 em"t.; =12- 12 712EPex = cs1cx l;x 7l 2x2576x33.333 = 5297 kN 4002 Na tabela 7.4.1, apresentam-se as opções de armação desse' mesmo pilar para diferentes valores de fck' Conforme se observa, ,-- haverá uma redução significativa da armadura do pilar com o uso de . um concreto de maior resistência. 166 Curso de Concreto Armado I, f~ f I ~t lir~. 11 il I' I I ilar intermediárioTabela 7.4.1 - O fck =40MPafck =20MPa • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 8<1>20 Ase=25, 13 cm2 6<1>20 Ase=18,84 crrr' 8<1>12,5 Ase=9,82 em" Exemplo 2: Pilar de extremidade Dimensionar o pilar de extremidade da figo 7.4.5. O diagrama de momentos iniciais de serviço no pilar é indicado na figura. y. 20kNm 50 direção x•.. ~...,. x .... 15kNm ;! i ~~ ?t I~20cm ~I Fig. 7.4.5 - Seção transversal do pilar de extremidade e momentos iniciais de serviço ", li~· ". Cálculo dos pilares contraventados 167 fu>lução: 1) Dimensionamento segundo a direção x ( ( (a) Índice de esbeltez: Ax = 69 (ver exemplo 1). b) Excentricidades iniciais Para obter as excentricidades iniciais, basta dividir os momentos iniciais de serviço pela força normal de serviço. ( 2000 1500 eia =--=2,33cm; eib =---=-1,75cm. 857 857 ( ( (c) Excentricidade mínima eLx,min = 1,5 + 0,03x20 ~ elx,min = 2,1 em Seção de extremidade: ( ( ( ( > {eia + eax = 2,33 + 1 = 3,33 ex - elx,min = 2,1 ~ ex = 3,33cm d) Excentricidade inicial na seção intermediária { 0,6eia + 0,4eib = 0,6x2,33 + 0,4(-1,75) = 0,70cmeix ~ 0,4eia = 0,4x2,33 = 0,93cm Logo, eix = 0,93 em . e) Excentricidade de segunda ordem e2x = 2,94 em (ver exemplo 1). ~- l~~r i!( r' 'r-r' i 168 Curso de Concreto Armado f) Excentricidade de fluência L ( Pex = 5297 kN (ver exemplo 1). J {jJooFk 1 e", = (e" +e=1eP~-F, -1( ( ( ( ( ( { 2,5x857 ] e = (O93 +1 e 5297-857 -1 = 1 20 emcx , , . Seção intermediária:( ( ( e > {eiX + eax = 0,93 + 1 = 1 93 Ix - ' elx,min = 2,1 => e)x = 2,1 em r l( i( \'rI i/ il Ir ex = elx + e2x + ecx = 2,1 + 2,94 + 1,20 => ex = 6,24 em Logo, deve-se dimensionar a seção intermediária com uma excentricidade ex = 6,24 cm. A situação de cálculo é análoga à situação da figo 7.4.2, adotando-se apenas duas camadas de armadura. Os esforços de cálculo são os seguintes: i; ir (- r Nd =1200kN; Md = 1200x6,24 = 7488kNcm. Empregando-se a tabela A 1.4 do Apêndice 1, obtém-se a área de aço As ~ 29,00 em", Adotando 10çb20, tem-se uma área de aço igual a 31,42cm2, como se verifica através da tabela A3.2 (Apêndice 3, Volume 2). A disposição das barras é indicada na figo 7.4.6. Cálculo dos pilares contraventados 169 4 KJ! 5<1>20 50 I~20cm ~I A =31 42 em- 5 ' Fig. 7.4.6 - Solução pelo dimensionamento segundo a direção X • 2) Dimensionamento segundo a direção y eay = 1em; e)y,min = 3 em => ely = 3 em e2y = 1,18 em ; ecy = O (pois ly = 28 < 50 ). Excentricidade total: e y = 3+ 1,18 = 4,18 em. !'1" A situação de cálculo é indicada na figo 7.4.7. Logo, deve-se dimensionar uma seção retangular com 5 camadas de armadura. Os esforços de cálculo são Nd =1200kN; Md =1200x4,18=5016 kNcm. Empregando a tabela A 1.14 do Apêndice 1, obtém-se a área de aço As = 6,07 em". Como a seção já possui uma área de aço igual a 31,42cm2, exigida pelo dimensionamento segundo a direção x, conclui-se que a solução é a indicada na figo 7.4.6. t·- 170 1 j' h=50 Curso de Concreto Armado y ~ Fd • • • • ey • - ,.X • • • • Id'=4 ~ b=20cm .1 Fig. 7.4.7 - Segunda situação de cálculo Exemplo 3: Pilar de canto Na fig. 7.4.8, indica-se a seção do pilar de canto e os momentos iniciais de serviço nas duas direções. 50 ~ y. 20kNm . _... 20kNmI. 25cm ~I Fig. 7.4.8 - Seção transversal do pilar de canto e momentos iniciais de serviço "7 X __ L_ 15kNm Cálculo dos pilares contraventados 171 a) Excentricidades iniciais 2000 = 2,33 crn; eu,t = 857 ( 4000 = 4,66 em eiy,t = 857 ( ( ( -1500 - 2000 eixb = =-1,75cm; eiyb = =-2,33cm , 857 ' 857 Na seção intermediária: { 0,6X2,33 - 0,4xl,75 = 0,70 eu ~ 0,4x2,33 = 0,93 { 0,6X4,66 - 0,4x2,33 = 1,86 eiy ~ _0,4x4,66 - 1,86 b) Excentricidades mínimas ( => eix = 0,93 em ( ( ( ( ( ( ( ( => eiy = 1,86 em elx,min = 1,5 + 0,03x25 = 2,25 em ely,min = 1,5 + 0,03x50 = 3,00 em c) Situação de cálculo 1 (no topo) ( ( > {eix,t + eax = 2,33 + 1,00 = 3,33 elx - . elx,min = 2,25 => elx = 3,33 em Logo, o dimensionamento à flexo-cornpressão deve ser feito com as excentricidades ~ ex = 3,33 cm; ey = 4,66cm J;I 176 Curso de Concreto Armado Para uma seção quadrada, com o mesmo número de barras em todas as faces, o diagrama de interação terá uma forma semelhante àquela representada pela curva a, já que a seção possui a mesma capacidade resistente em ambas as direções. Para uma seção retangular, com hy > hx e com as barras distribuídas ao longo do lado maior, o diagrama de interação adimensional será das formas b e c. Assim, observando a figo 7.4.9, pode-se concluir que a situação de cálculo 5 é aquela que irá resultar em uma maior armadura. Neste caso, não há necessidade de realizar o dimensionamento para as demais situações de cálculo. Entretanto, havendo dúvida, é necessário realizar o dimensionamento para outras situações de cálculo e adotar a maior armadura. i) Dimensionamento das armaduras para a situação de cálculo crítica Considerando as excentricidades da situação de cálculo número 5, obtêm-se os esforços para o dimensionamento: Nd =1200kN; M xd = N dex = 1200x5,43 = 6516 kNcm; M yd = N dey = 1200xl,86 = 2232 kNcm. { o dimensionamento à flexo-compressão oblíqua pode ser realizado empregando-se as tabelas do Apêndice 2. Para isto, devem ser feitos os seguintes cálculos: Ucd = 0,80fcd = 0,80xl,4=>ucd = 1,12 kN/cm2 Ac = hxhy = 25x50=>Ac = 1250 cm ' Ndv= --- Acucd 1200 1250xl,12 =>v = 0,86 lJ I Cálculo dos pilares contraventados 177 f-lx= Mxd = 6516Achxucd 1250x25xl,12 =>f-lx = 0,19 Mf-l = yd _ 2232 y A h - :-:---=---c yUcd 1250x50xl,12 => f-ly = 0,03 Entrando na tabela A2.3 do Apêndice 2 e fazendo as devidas interpolações, obtém-se a taxa de armadura ca = 0,44 . A área de aço é dada por mAcu cd _ 0,44xI250xl,12 => As = 14,17 crrr' As = f - 43,48yd Consultando a tabela A3.2 (Apêndice 3, Volume 2), verifica- se que é possível adotar uma solução com 8 barras de 16 mm, que corresponde a uma área de aço igual a 16,08 em". A solução é representada na figo 7.4.10. 50 14 25cm J A =16 08 crrr's , Fig. 7.4.10 - Solução para o pilar de canto Observação: Na segunda edição deste livro, esse mesmo exemplo foi resolvido, chegando-se a uma seção com 8 barras de 20 mm. Isto ocorreu devido às simplificações introduzidas naquela oportunidade, objetivando considerar apenas duas situações de cálculo para os ti :11!:1 :;1f: 178 Curso de Concreto Armado pilares de canto. Como foi salientado, as simplificações sugeri das ficam a favor da segurança. Essas simplificações foram eliminadas nesta edição, passando-se a considerar as seis situações de cálculo para os pilares de canto. Com isso, consegue-se uma economia nas armaduras, como ocorreu nesse exemplo. i'l II,'i: :1 I 'III1 1'11 : l' 7.5 - Simplificações para os pilares contraventados dos edificios De um modo geral, o projeto dos pilares contraventados dos edifícios pode ser bastante simplificado, em virtude dos pequenos valores dos momentos iniciais. Além disso, quase sempre o índice de esbeltez Â, é menor do que 50, podendo-se desprezar a consideração da fluência do concreto. Os momentos iniciais nos pilares, decorrentes do carregamento vertical atuante nas vigas, pode ser obtido através do modelo representado na figo 7.2.2. Ao longo dos andares tipo, os pilares possuem alturas iguais lsup = linf = I. Admitindo que a seção transversal do pilar permaneça constante no trecho considerado, tem- se rsup = rinf = rp : Consequentemente, os momentos transmitidos ao pilar inferior, Minf, e ao pilar superior, Msup' são iguais. Na figo 7.5.1 apresentam-se o modelo de cálculo e o diagrama de momentos f1etores iniciais correspondente. Pk IVi9 ,~ 1 !r'! 't:j :11 ::-J.: ! E I 1 1\11 j,l: ~ Fig. 7.5.1 - Modelo de cálculo e momentos iniciais nos pilares de extremidade Cálculo dos pilares contraventados 179 Empregando as equações (7.2.1) e (7.2.2), obtém-se o momento fletor inicial Mi nas extremidades dos pilares, ( Mi ~ M 'ng ( 2rp : rvi• J (7.5.1) onde M eng é o momento de engastamento perfeito, rp é o . coeficiente de rigidez dos pilares e rvig é o coeficiente de rigidez da viga. o momento fletor na viga é dado por ( 2rp ) Mvig = Meng 2rp + rvig (7.5.2) ( ( r Comparando as equações (7.5.1) e (7.5.2), verifica-se que ( M M· i=~ 2 c ( (7.5.3) ( ( A equação (7.5.3) mostra que o momento que é transmitido aos pilares é igual à metade do momento fletor na extremidade da viga, independentemente da rigidez desses elementos. Portanto, os momentos iniciais no pilar dependem basicamente da capacidade resistente da viga junto ao apoio de extremidade. Na figo 7.5.2, apresentam-se dois exemplos típicos de ligação da viga com os pilares de extremidade dos edifícios. A armadura superior é determinada com base no critério indicado na figo 5.4.4 do Volume 2. O maior momento f1etor de serviço M vig que pode atuar na extremidade da viga, no estado limite último, é o momento fletor de ruína característico Muk da sua seção transversal. Esse momento de ruína é determinado conforme o capítulo 5 do Volume 1, observando-se que a arrnadura disposta na face superior está tracionada e a armadura da face inferior está comprimida. ( ( flt,: li'; 180 Curso de Concreto Armado J í i'! r ) Mvig ( ) Mvig { , I ( ( í0_;4h=40 • • ~ 4b=20 ::õf ~ As=1 ,01cm2 A's=2,45cm2 ~4 ::õf As=1,57cm2- - h=60 ~ ~ 4 A's=4,02cm2 b=20 ::õf k---./ ( Fig. 7.5.2 - Armaduras usuais na ligação de viga com pilar de extremidade contraventado Na tabela 7.5.1, apresentam-se os momentos de ruína das duas seções típicas consideradas. ( ( r ( ( i !~ ir Tabela 7.5.1 - Momento fletor de ruína para as seções das vigas Muk (valores de serviço em kNm) Seção da viga I fck = 20 MPa I fek = 30 MPa 20 x 40 I 11,2 I 11,5 i ;( ir' 20x60 I 26,6 I 27,1 Quando o momento na viga atinge o momento de ru ína, ocorre o escoamento da armadura situada na face superior, formando-se uma rótula plástica na extremidade da viga. A partir desse estágio, mesmo que o carregamento na viga seja aumentado, a seção de extremidade não é capaz de suportar nenhum acréscimo de momento fletor. A viga passa a funcionar como rotulada no pilar de I I Cálculo dos pilares contraventados 181 extremidade, para os acréscimos de carga. Desse modo, nenhum momento fletor adicional poderá ser transferido para os pilares. Entretanto, enquanto a viga estiver no estádio I, sua seção transversal é capaz de suportar um momento fletor que pode ser maior do que Muk, pois o concreto tracionado colabora para a resistência da seção. O momento de fissuração M'; = bh2fet!6 é o maior momento fletor que pode ocorrer no estádio I. Na tabela 7.5.2, apresentam-se os momentos de fissuração das duas seções típicas consideradas. Esses valores foram calculados com a resistência média à tração do concreto, isto é, fet = fetm. Tabela 7.5.2 - Momento de fissuração para as seções das vigas M r (valores de serviço em kNm) Seção da viga fck = 20 MPa fek = 30 MPa 20 x40 11,9 15,5 20x60 26,7 34,9 Comparando as tabelas 7.5.2 e 7.5.1, verifica-se que Mr > M uk para as duas seções indicadas na figo 7.5.2, pois as armaduras dispostas na face superior não respeitam as armaduras mínimas (ver figo 5.4.4 do Volume 2). Conclui-se que os momentos iniciais nos pilares diminuem após a fissuração da viga. A pior situação para os pilares irá ocorrer se a viga permanecer no estádio I até a carga de cálculo 1,4P k . No limite, o momento de cálculo 1,4Mvig será igual ao momento de fissuração Mr. Assim, considerando apenas o maior valor de M'; da tabela 7.5.2, chega-se ao valor máximo para o momento de serviço na viga Mvig = 34,9/1,4 == 25 kNm. Substituindo esse valor na equação (7.5.3), resulta o momento inicial no pilar Mi = 12,5 kNm. Esse valor pode ser considerado como um valor máximo, que só irá ocorrer se a viga permanecer no estádio I até a carga de cálculo 1,4Pk. As excentricidades iniciais nas extremidades do pilar são dadas por