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CIN EMÁTICA|
|
|
|, Bases da Cinemática escalar |
Movimento uniforme
. Movimento uniformemente ul
Movimentos circulares |
Vetores e Cinemática vetorial
— Galileu Galilei
(1564-1642)
RO
Bases da ig ic
scalar
tah
1. Referencial
Certamente, você já percebeu a importância de sa-
ber em que lugar estão os objetos da sua casa, como
suas roupas e seu material escolar, por exemplo.
Para ser possível descrever o movimento de um
corpo, também é necessário saber dizer onde ele está,
ou seja, conhecer sua posição, que sempre é dada em
relação a algum outro corpo denominado referencial
Referencial é um corpo (ou um conjunto de cor-
pos) em relação ao qual são definidas as posições de
outros corpos.
A definição dessas posições pode ser feita por
meio de um sistema de eixos cartesianos ortogonais
A posição de um corpo fica dada pelas coordenadas
lidas nesses eixos, sendo expressas em unidades de
comprimento.
O céu com duas luas?
Considere, por exemplo, uma mosca pousada em
um quadro suspenso em uma parede, conforme a figura
o 1 x (em)
Eixo das abscissas.
Tomando o próprio quadro como referencial, po-
demos dar a posição da mosca dizendo que ela está à
10-cm do lado esquerdo e a 20 em do lado inferior. Se,
porém, associarmos ao quadro um sistema de
cartesianos Oxy, a posição da mosca em relação ao
quadro ficará definida pela abscissa x = 10 em e pela
ordenada y = 20 cm.
xos
É claro que não! O obturador
de uma máquina fotográfica
fixada em um tripé foi aberto
em determinado horário,
registrando uma imagem da
Lua, Minutos depois foi aberto
novamente, e outra imagem
da Lua ficou registrada no
mesmo fotograma do filme.
Tomando os prédios como
referenciais, percebemos que:
no movimento apare
ela mudou de pos
teda Lua,
(OTA TT TITE
Tópico 1 - Bases da Cinemática escalar 23
Ao se alimentarem dessas plantas e algas,
os animais também passam a ter C-14 em seus
tecidos.
Embora núcleos de C-14 estejam se de-
sintegrando e, com isso, deixando de ser
C-14, há uma reposição natural, pois, na at-
mosfera, eles sempre são produzidos. Con-
segientemente, o percentual desse isótopo,
tanto na atmosfera como nos seres vivos, é
praticamente constante: dez átomos de C-14
em cada bilhão de átomos de carbono (acre-|
dita-se que essa constância seja verdadeira
de 70000 anos atrás até hoje).
Entretanto, quando um ser vivo morre, o percentual de C-14 existente nele passa a diminuir com o tempo, já que
deixa de haver reposição. O conhecimento desse percentual permite determinar a idade de fósseis, múmias e papéis
antigos, dentre outros materiais orgânicos.
No Brasil, o Laboratório de Geocronologia da USP e o Laboratório do Instituto de Fisica da UFBA fazem datação
pelo 14.
Vamos, agora, nos preparar para um cálcu-
lo de idade.
A meia-vida do C-14, isto é, o tempo para
que certa quantidade de núcleos desse isótopo
se reduza à metade, por desintegração radiati-
va, é de 5730 anos. Vamos representar por ny
a quantidade de núcleos de C-14 existente em
um ser vivo ao morrer e porn a quantidade des-
ses núcleos tanos após a morte. Vale a seguinte
expressão:
Folha de uma planta
pe ( (n) ) 06Bt 068t
no) melavida 5730"
emque En é o símbolo de uma função matemá-
tica denominada logaritmo neperiano. Fotografia de crânios de primatas que viveram há 10000-12.000 anos,
Para se determinar o logaritmo neperiano encontrados na Toca da Boa Vista (caverna localizada em Campo Formoso,
de um número, precisamos de uma calculadora BA). Essa datação foi possível devido ao método do C-14
científica.
Suponhamos, por exemplo, que foi encontrado o esqueleto de um mamute numa escavação, com o percentual de
14 reduzido a 15% em relação a um ser vivo, ou seja, n=0,15 myou E ,15. Então:
o
tn015=-0683t
5730
Usando a calculadora, obtemos: tn 0,15=- 1,897
Logo:
| -1897=-0 o É
| Portanto a idade do esqueleto encontrado é de aproximadamente 15700 anos. |
O C-14 é adequado para a datação de material orgânico com idade entre 500 e 50000 anos. Há, entretanto, outros
| elementos radiativos adequados a outras faixas de idade e aptos não só para a datação de material orgânico, mas tam:
bém para rochas e até mesmo para vinhos.
Para a datação de rochas, são úteis o K-40 (isótopo radiativo do potássio, com m:
eo U-238 (isótopo radiativo do urânio, com meia-vida igual a 4,5 bilhões de anos). Para a da!
lisótopo radiativo do hidrogênio, com meia-vida iguala 12,5 anos)
== 15700 anos
ual a 1,3 bilhão de anos)
io
a-vida
ção do vinho, é út
24 PARTE I-CINEMANCA
3. Movimento e repouso
Dizemos que uma partícula se encontra em mo-
vimento quando ela muda de posição com o passar
do tempo; caso contrário, encontra-se em repouso. Os
conceitos de movimento e de repouso são apresenta-
dos a partir do conceito de posição. Como a posição é
estabelecida em relação a um referencial, concluímos
que movimento e repouso também são conceitos rela-
tivos a um referencial
Vamos considerar novamente o exemplo do qua-
dro suspenso em uma parede, apresentado no início
desse tópico. Associemos a ele um sistema de eixos
cartesianos ortogonais Oxy, com os eixos graduados
em centimetros.
30 x(cm)
Suponha que uma mosca esteja pousada no
ponto P, cuja posição é dada por x = 10 em e por
y = 20 em. Se, durante certo intervalo de tempo, a
mosca permanece em P, ou seja, se ela não muda de
posição, dizemos que ela está em repouso em rela-
ção ao quadro. Observe que, nesse caso, nenhuma
das coordenadas de posição da mosca variou, nem
x nem y.
Entretanto, se em certo intervalo de tempo a mos-
ca muda, por exemplo, de P para Q ou de P para R ou,
ainda, de P para S, dizemos que ela está em movimen-
to em relação ao quadro durante esse intervalo. Note
que mudar de posição pode significar variar somente
x ou somente y ou x e y simultaneamente,
Destacamos que:
Um ponto material está em movimento em relação
a um referencial quando sua posição varia com o tem-
po em relação a esse referencial.
Um ponto material está em repouso em relação à
Um referencial quando sua posição não varia com o
tempo em relação a esse referencial,
Um mesmo corpo pode estar em movimento em
relação a um referencial e em repouso em relação a
outro. Nossas casas, por exemplo, estão em repouso
ficie da Terra, pois não mudam
em relação à sup.
de posição em relação ao solo. Em relação ao Sol,
entretanto, elas estão em movimento, pois, junta-
mente com a Terra, mudam de posição em relação
ao Sol.
Na fotografia, o avião situado na parte inferior está sendo
abastecido pelo outro em pleno vôo. Em relação à Terra, os dois.
aviões estão em movimento, mas, entre si, estão em repouso para
que o abastecimento seja realizado.
Simetria dos conceitos de repouso
e movimento
Se um corpo A está em movimento (ou em re-
pouso) em relação a um corpo B, então B também
está em movimento (ou em repouso) em relação a A.
Isso equivale a dizer que os conceitos de movimento e
repouso são simétricos
Considere, por exemplo, um automóvel dirigindo-
se frontalmente a um muro. Tomando o muro como
referencial e associando a ele um sistema cartesiano
Oxy, observamos que a posição do automóvel varia
com o tempo, pois sua abscissa x está variando. Por-
tanto, 0 automóvel está em movimento em relação
ao muro.
Nos instantes t, ty é, as abscissas do automóvel valem x,,x, e
*y respectivamente
CRCLLLRLRLO RD DD DDD DDD DATA
)
lr
Tópico 1 - Bases da Cinemática escalar 25
Tomando, agora, o automóvel como referencial e
associando a ele um sistema cartesiano O'x'y', obser-
vamos que a posição do muro também varia, pois sua
abscissa x” está variando. Portanto, o muro está em
movimento em relação ao automóvel.
es y
o
é E Tomando como referencial a arquibancada ou a pista e as paisagens
: ao seu redor, esse carro está em movimento em um sentido.
Tomando o carro como referencial, a arquibancada, a psta e as
paisagens também estão em movimento, porém, em sentido oposto.
Ga) oO
Por que é que...
Quando você está sentado, distraído, no seu carro parado, e o carro ao lado começa a andar, você nunca sabe se é o seu
ou o outro e você mete assustado o pé no freio?
Nos instantes t, e t,, as abscissas do muro valem x,
xo respectivamente.
Veja, 7 jun. 1995.
[sso acontece porque os conceitos de repouso e movimento, além de serem relativos a um referencial, também
são simétricos. Vamos supor, por exemplo, um automóvel dirigindo-se frontalmente a um muro, e que seu velocímetro,
esteja marcando 120 km/h, Tomando o muro como referencial, é o automóvel que se move a 120 km/h. Porém, se to-
'marmos o automóvel como referencial, o muro é que se moverá de encontro a ele, a 120 km/h. Muitas vezes, as pessoas
estranham isso porque estão habituadas a usar sempre o solo como referencial. Porém, quando se distraem, passam a
aceitar com maior naturalidade o caráter relativo e simétrico dos conceitos de movimento e repouso.
Voltemos à questão proposta. Em relação ao solo, meu carro está em repouso. Se o carro ao lado do meu está se
movimentando em relação ao solo, ele também está se movimentando em relação ao meu carro. Assim, por simetria,
'meu carro também se move em relação a ele. Embora meu carro esteja em repouso em relação ao solo, ao olhar para o
carro ao lado estou em movimento, porque ele passa a ser meu referencial e isso me dá a sensação de também estar
em movimento em relação ao solo. Por isso, piso no freio.
Calendário permanente
7 Calendário permanente (1901-2092)
A (anos) B (meses)
1901 — 2000 2001-202 31 FMAMIJSASONOD
5 3.8 eis ADD mo TETO]
2 54 82 RUE RARE (Sr AO cn lceaed qai6 mo ARO dn Renlinção |
2 SE Aa en 6 2 25 0 FSMMGRI DS lp |
2 56 84 o =» 0 a aj 371 anoite sato |
o 29 57 8 18 Ape Npão IA gba RO gro nie 110
02 30 58 86 da AOS 7O (3 on RENDAS Oz RT 6
3 3 59 87 1 em 4 CO es SE a co ia
28 PARTEI=CINEMÁTICA
Uma comemoração iniciou-se às 22 h 45 min do dia 31 de de-
zembro, terminando às 2h 20 min do dia 1º de janeiro do ano seguinte
Quanto tempo durou essa comemoração?
Uma partida de basquetebol iniciou-se às 23 h 2 min 30, termi-
nando à 0h 51 min 165. Calcule a duração total dessa partida.
No sistema esquematizado na figura, o recipiente À é mantido
sempre cheio de água, Isso garante que a quantidade de água que en-
tra no recipiente cilíndrica B através do cano €, em cada segundo, seja
sempre a mesma.
No recipiente B, inicialmente vazio, o nível da água vai subindo e sua
altura pode ser lida em uma régua cujo zero coincide com o fundo.
Sabe-se que a altura de B é 30 cm e que ele fica completamente cheio
em 60 min.
a O sistema descrito pode funcionar como cronômetro (aliás, o “re-
lógio” que Galileu usava em seus experimentos era desse tipo)
Suponha que um juiz de futebol resolva usáio para cronometrar
uma partida. Em t, = O (início do jogo), começa a entrar água em 8,
O primeiro tempo deverá ser encerrado (t= 45 min) quando o nível
da água estiver a que altura?
bj A quantos minutos do primeiro tempo foi marcado o primeiro gol,
sabendo-se que nesse momento a altura do nível da água era de
10cm?
Considere três veiculos À B e € Se À está em movimento
em relação a B, e B está em movimento em relação aC:
a) é possível que À esteja em movimento em relação aC?
) podemos garantir que A está em movimento em relação a C?
Resolução:
a) É possível Confmémos isso por meio do seguinte exemplo
Os veiculos A, B e C movem-se no mesmo sentido sobre retas
paralelas, com À a 30 km/h, Ba 20 km/he Ca 5
aS0kmih.
es
E A 30kmh
|
20 kmih
50 kmfh
“ss
—
O veículo A corre mais que o veículo B. Então, A está em movi-
mento em relação a 8
O veículo B corre menos que o veículo €, Então, B também está
emmovimento em relação aC.
O veiculo A corre menos que o C. Então, À também está em mo-
vimento em relaçãoa C.
Não podemos. E isso pode ser constatado por meio do exemplo
a seguir, em que consideramos novamente três veículos A, B e
C movendo-se no mesmo sentido sobre retas paralelas, com A a
30 km/h, Ba 20 kmíhe Ca 30km/h
O veículo À corre mais que o B Então, A está em movimento
em relaçõoa B,
O veículo B corre menos que o €. Então, B está em movimento
emrelaçãoaC.
Entretanto, À corre tanto quanto €, e, por isso, À está em repou-
so em relação a €
EEB se o veículo A está em repouso em relação ao veículo B, e B
está em repouso em relação a outro veículo C, podemos afirmar com
certeza que A está em repouso em relação a C7
BEER A respeito dos conceitos de movimento e repouso, indique a
alternativa falsa:
a) O Sol está em movimento em relação à Terra.
bj É possível que um móvel esteja em movimento em relação a um
referencial e em repouso em relação a outro.
€) Se um móvel está em movimento em relação a um sistema de re-
ferência, então ele estará em movimento em relação a qualquer
outro referencial.
d) Seumcorpo À está em repouso em relação a outro B entãoo corpo
B estará também em repouso em relação a À.
) É possível um corpo À estar em movimento em relação a dois ou
tros corpos Be €, e B estar em repouso em relação a €.
Tópico 1 - Bases da Cinemática escalar 29
4. Trajetória
Quando um ponto material se movimenta em rela-
ção à certo referencial, ele ocupa diferentes pontos à
medida que o tempo passa, descrevendo, assim, uma
linha, que pode ser reta ou curva.
Trajetória de um ponto material em movimento é
a linha que ele descreve em relação a um referencial
Caso o ponto material encontre-se em repouso, sua
trajetória reduz-se a um ponto.
Imagine, por exemplo, que três formig A Bec
«e mantiveram em uma mesma parede durante certo
intervalo de tempo, de t, à t;. A figura a seguir mos-
tra os lugares onde elas estiveram nesse intervalo de
tempo.
As trajetórias dos veículos que percorrem esse trecho da rodovia são
curvilineas
1
d
K
Rio Amazonas
IN
Concluímos que a trajetória descrita em relação à
parede foi retilínea para a formiga A, curvilínea para a
formiga B e reduziu-se a um ponto para a formiga C,
que não se moveu em relação à parede.
Adaptado de: sola, Leda 8 Clin, Vera as Geográfico Saia São Paulo: Sra,
zoa,
Nesse fragmento de um mapa do Brasil, vemos linhas
os prodios na revelam às foras dB ars ds li representando alguns rios. Essas linhas indicam as sinuosas
a e ad na de trajetórias descritas pela água, ou seja, os lugares por onde
de: odermos perceber que são praticamente eine dentro. pasa a escoar ão longo dos is.
dos limites da fotografia
30 PARTE I-CINEMÁTICA
líneo é horizontal e um ponto P, situado em uma das
extremidades da hélice, À trajetória desse ponto P, em
relação ao avião, é uma circunferência.
Movimento
A
Y
A trajetória de P em relação ao avião é uma circunferência.
Em relação a um referencial solidário à Terra, en-
tretanto, a trajetória desse mesmo ponto P é uma hé-
lice cilíndrica,
Movimento
)
Uma câmara fotográfica montada sobre um tripé ficou, durante A trajetória de P em relação à superfície da Terra é uma
várias horas da noite, voltada para o céu com o obturador aberto. hélice cilíndrica.
Em virtude do movimento de rotação da Terra, os diversos astros se
moveram em relação à ela, descrevendo as trajetórias observadas Ahé E dos
paca a élice cilíndrica descrita é o resultado da com-
na fotografia. Se a câmara estivesse fixa em relação às estrelas, ca descrita é o resulta E
entretanto, as trajetória seriam completamente diferentes,
reduzindo-se praticamente a pontos.
posição de dois movimentos: um movimento circular
e um movimento retilíneo horizontal, perpendicular
ao plano do primeiro.
O conceito de trajetória também é relativo, isto é,
está vinculado à apreciação de um referencial. Assim, V |
a trajetória descrita por uma partícula, durante certo Et] |
intervalo de tempo, pode variar de um referencial para ] |
outro. Considere, por exemplo, um avião em vôo reti- As AAA
A ciclóide |
A figura a seguir representa um vagão em movimento em relação ao solo, seguindo trilhos retilíneos e horizon- |
tais, de modo que suas rodas rolam sem deslizar. Observe o ponto P indicado na periferia de uma delas
Sentido do movimento do vagão
a
É preciso considerar dois casos:
pe caso: A partícula desloca-se sempre num mesmo
sentido
Nesse caso, a distância percorrida é igual ao mó-
dulo da variação do espaço.
Na primeira figura, As é positivo. Na segunda, As
é negativo. Entretanto, nas duas figuras, temos:
Distância percorrid
2 caso: A partícula inverte o sentido de seu movi-
mento
Nesse caso, a distância percorrida é calculada so-
'imando-se os módulos da variação de espaço em cada
sentido, isto é, o As na ida com o As na volta, ambos
tomados em módulo:
Distância percorrida = [As ;| + As,
7. Função horária do espaço
Chama-se função horária do espaço toda expres-
são que permite obter o valor do espaço num instante
qualquer do movimento, Se, por exemplo, é dado que
os espaços de uma partícula variam com o tempo con-
forme a expressão:
s=2+10
válida no Sistema Internacional de Unidades (SI).
podemos calcular o espaço em qualquer instante do
movimento. Por exemplo:
* parat=0="s=2(0) + 10=8=10m;
«parai=s=s=A1)+10>5=2m;
*parat=2s5s=22)+1055s=1I4m
Tópico 1 - Bases da Cinemática escalar 33
Essa expressão é a função horária do espaço para
o movimento da partícula.
Observe que essa função nos permite determinar
também em que instante o espaço assume um deter-
minado valor. Se quisermos saber, por exemplo, o ins-
tante em que o espaço vale 60 m, faremos:
s=60m=> 60=2t+10=1=25s.
8. Velocidade escalar média
Observe as figuras:
De acordo com as figuras, um automóvel partiu às
6 horas da manhã de uma cidade situada no km 10 de
uma rodovia. Seguindo por essa rodovia, esse automó-
vel chegou às 10 horas da mesma manhã ao seu desti-
no, que era outra cidade situada no km 250. Analisan-
do esses dados, concluímos que a variação de espaço
do automóvel foi de 240 km (As = 250 km — 10 km =
240 km) num intervalo de tempo de 4 horas
(At= 10h 6h=4 h). Assim, podemos afirmar que,
em média, a variação de espaço foi de 60 km por hora.
Essa grandeza é denominada velocidade escalar mé-
dia e simbolizada por v,
34 PARTEI=CINENM
Velocidade escalar média entre dois instantes é a
variação de espaço ocorrida, em média, por unidade
de tempo:
60 km,
Isso não significa que o automóvel percorreu necessa-
No exemplo anterior, obtivemos v,.
riamente 60 km em cada hora. Pode ser, por exemplo.
que na primeira hora de viagem ele tenha percorrido
80 km, na segunda hora, SO km, na terceira, 40 km e
na quarta, 70 km. Por isso, dizemos que, em média,
ele percorreu 60 km em cada hora
Com relação às unidades de medida de veloci-
dade, note que clas correspondem sempre a um quo-
ciente de uma unidade de espaço por uma de tempo.
Assim, no SI, temos:
unid(s) m
unid (v) = ESET
Concluímos, então, que a unidade de velocidade,
no SI, é o metro por segundo (m/s)
Frequentemente, usamos também a unidade qui-
lômetro por hora (km/h) e vale a seguinte relação:
3,6 km/h = my
36km 3,6-10'm
h 36005
De fato:
=Im/s
Quando o movimento se dá no sentido da trajetó-
Ba, a velocidade escalar médi
se caso, também é positiva a variação de espaço As
Diz-se, então, que o movimento é progressivo. pois
s espaços crescem com o tempo.
é positiva, pois,
k
i
Um carinho de brinquedo em movimento progressivo ao
fado de uma fita métrica.
Já quando o movimento sé dá em sentido oposto
soda sativa.
poi gativo. Diz-se. então. que
ajetória, à velocidade escalar média é ney
pra Às também é n
O movimento é retrógrado, uma vez que os espaço:
decrescem com o tempo.
Um carinho de brinquedo em movimento retrágrado ao
lado de uma fita métrica,
9. Velocidade escalar instantânea
Na apresentação do item anterior, um automóvel
sofreu uma variação de espaço de 240 km durante um
intervalo de tempo de 4 h, o que determinou uma ve-
locidade escalar média de 60 km/h.
Observe que esse resultado não nos permite saber
como foi o movimento em diferentes instantes daque
le intervalo de 4 horas. De fato, dependendo das con-
dições de tráfego e do comportamento do motorista, o
automóvel pode ter corrido mais em certos instantes e
menos em outros, mas nada sabemos. Isso quer dizer
que o velocímetro do automóvel, isto é, o seu medi-
dor de velocidade, certamente indicou valores dife-
rentes em diferentes instantes. O valor indicado pelo
velocimetro em certo instante é o valor absoluto da
velocidade escalar instantânea do automóvel nesse
instante. É essa velocidade que nos faz conhecer de
fato o movimento no decorrer do tempo.
No Apêndice deste Tópico, você encontra a ex-
pressão matemática que define a velocidade escalar
instan
ânea.
Esta fotografia fai tirada num instante em que o velocimetro do
automóvel indicava 60 kh. Portanto, nesse instante, a velocidade
escalar instantânea tinha módulo igual a 60 km/h. Não é possível
conhecer, entretanto, o sinal dessa velocidade, porque não sabemos
se o automóvel está se movendo no sentido dos espaços crescentes
em sentido contrár
TATA
CATIA TATA TATA
Tópico 1 - Bases da Cinemática escalar 35
Emo)
Grandes velocidades
4-7
«7 Rotação
Terra.
Ilustração com distâncias e tamanhos fora de escala.
Que velocidade!
OTGY (train à grande vitessa ati
515,3 km em maio de 1990.
No movimento de translação, a Terra desloca-se
em torno do Sol com uma velocidade escalar média
de 108.000 km/h. Uma pessoa P, situada no equa-
dor do planeta, gira em torno de seu eixo a quase
1700 kmih.
A luz que o Sol nos envia viaja no vácuo a
300000 km/s, que é, pelos conhecimentos atuais da
Física, o limite de velocidade no Universo.
Os sons e os ruídos produzidos na superfície da
Terra propagam-se no ar com velocidades próximas
de 340 mis.
=
O guepardo (ou chita) o mais veloz dos mamiferos, consegue atingir
cerca de 10 kmíh de velocidade (quase 31 mf), enquanto um
atieta olímpico, nos 100 metros rasas, core, em mésia, a 10 mis.
SEE NERD
ES uma maçã desprende-se do galho da maciera e cai ao chão,
num dia sem vento, Qual é a trajetória descrita pela maçã em reação
ao chão considerando-se a maçã como um ponto material?
KER consideremos um retógio de parede que tem ponteiro de se-
gundos. Uma formiguinha parte do eixo do ponteiro e dirige-se para a
outra extremidade, sempre com a mesma rapidez. Esboce a trajetória
da formiguinha em relação ao mostrador do relógio,
Na figura, temos uma trajetória orientada, onde O é a ri-
| gem dos espaços. Uma partícula entra em movimento no instante t,
e avança no sentido da trajetória até o instante ty quando pára. Em
seguida, passa a mover-se em sentido contrário ao da trajetória, pas-
sando pelo ponta de partida no instante t, pela origem dos espaços
noinstante, e parando na instante,
Para essa partícula, quanto valem Os espaços Sy Sy Sy Sy Sy 55 € 55
respectivamente nos instantes & E taty tuts 8?
Resolução:
Observando que o espaço informa a posição da partícula em relação
à origem dos espaços e não necessariamente quanto ela percorreu,
temos:
Nota:
» Não Importa quanto a partícula percorreu, nem o sentido em que ela se
moveo espaço informa onde ela está
38 PARTEI-CINEMÁTICA
CHER ASS
EEE em certo instante, o velocimetro de um automóvel indica
80 km/h. Determine sua velocidade escalar instantânea nesse instante,
supondo que:
à) o automóvel se movimenta no sentido em que as indicações dos
marcos quilométricos da estrada são crescentes (movimento pro
gressivo));
by o movimento se dá no sentido em que as citadas indicações são
decrescentes (movimento retrógrado)
FER (urccê)Afiguraabaixo mostraomapade umacidadeemqueas
ruas retlneas se cruzam perpendicularmente e cada quarteirão mede
100 m. Você caminha pelas ruas a partir de sua casa, na esquina A, até
à casa de sua avó, na esquina B, Dali segue até sua escola, situada na
esquina €. À menor distância que você caminha e a distância em linha
reta entre sua casa e a escola são, respectivamente:
a) 1800me 1400m.
b) 1600me 1200m. q
€) 1400me 1000m.
dj 1200me 800m.
e) 1000me 600m.
from
A
EEB ques A figura abaixo representa quatro percursos ligando as
cidades A eB. É
Analise à figura e indique a altemnativa correta
à) Ocaminho lé menor queo Il
b) O caminho Il é menor que o Ill.
€) Ocaminho ll é menor que o IV.
d) O caminho Il é menor que o IV.
e) Oscaminhos Il ll e IV são de igual tamanho.
KEES um avião percorre 1920 km em 1 hora e 20 minutos. Considere
avelocidade do som no arigual 3 340 m/s Calcule a velocidade escalar
média do avião nesse percurso, êm m/s, e verifique se ele é ou não
supersônico,
BEER (Uerj Uma estrada recém asfaltada entre duas cidades é percor-
rida de carro, durante uma hora e mei, sem parada
A extensão do percurso entre as cidades é de, aproximadamente:
a) 10 m. bj 10m. c) 16 m. dj 16ém,
BEBÊ Numa pista de corrida de 6 km de extensão, um caro desenvol-
ve velocidades de até 250 km/h nas retas e de cerca de 180 km/h nas
curvas. Sabendo que ele gasta 3,6 minutos para dar duas voltas com-
pletas responda qual a velocidade escalar média nessas luas voltas
emkma?
EEE (urccE) Um motorista lançou, no gráfico mostrado abaixo,
distância por ele percorrida (medida em k função do consumo
de combustível (medido em tros) de seu veiculo So mpe
nho médio do veículo (definido pela r3zão distância percoridaliro
consumido) podemos afirmar:
foimelhor nos primeiros 600 km percorridos;
ê entre 600 km e 1.090 km percorridos, foi de 7 kmlir;
04, foisuperiora 9 km/ltra no percurso representado pelos 1090 km
mostrados no gráfico;
08. no percurso total é a média aritmética dos desempenhos médios
mencionados acima, nositens 1 e 2
Dê como resposta a soma dos números associados às proposições
corretas
Distância (km)
+
g) so 120
Consumo (litros)
EEE (ursr-MG) Um ônibus, partindo da cidade de Juiz de Fora, per
corre uma distância de 550 km numa viagem até a cidade de São Pau-
lo. Durante essa viagem, o ônibus faz uma parada de 45 minutos na
cidade de Rezende, que dista 217 km da cidade de Juiz de Fora. No
primeiro trecho, antes da parada, a viagem durou 3 horas e 30 minutos.
No segundo trecho, depois da parada, a viagem durou 3 horas. Os
valores aproximados das velocidades escalares médias do ônibus no
primeiro trecho, no segundo trecho e na viagem completa são, res-
pectivamente:
a) 1 km/h, 62 km/h, 76 kmvh.
b) 62 kmih, 111 km/h, 85 kmvh.
d) 117 kmv,62 km/h, 85 kmvh
e) 171 km/h, 62 km/h, 90 km.
+c) 62 km/h, 111 kmVh, 76 km/h,
FEB (ure-a)) Inaugurada em 1974, a Ponte Presidente Costa e Silva,
mais conhecida como Ponte Rio-Niterói, foi projetada para receber
pouco mais de 50 mi veículos por dia, Hoje, recebe cerca de 120 mil
de modo que na hora de maior movimenta sempre ocorre grande con-
gestionamento.
Considere que um estudante do Rio, vindo para à UFF, percorra os
primeiros 7 km da ponte com uma velocidade escalar constante de
70 kml e gaste 20 minutos para atravessar 0s 6 km restantes
Supondo-se que na volta ele gaste 10 minutos para atravessar toda a
ponte, é correto afirmar que a velocidade escalar média na vinda e à
velocidade escalar média na volta têm módulos, em km/h, respectiva
| 308730, e
d) 446 130.
CORCEL TATA
Sobre uma reta orientada, são dados ordenadamente os
pontos A Be taisque AB=BC=d
A a c
+
d j d :
| ES
| um ponto material move-se nessa reta com velocidade escalar média
v,9E À a Be com velocidade escalar média v, de B aC. Determine a
sslcidade escalar média desse ponto mateil de Aa €
ão:
DeAaB temos
As,
std
So ap di
DeBaC temos:
d
sd sn
Sc My
No percurso total de A a C, temos:
Emi 0,
Mete 0,0
10. Aceleração escalar média
e instantânea
Considere um automóvel movendo-se numa rodo-
Wiz, sempre no sentido dos espaços crescentes, isto é,
mo sentido da orientação da trajetória.
Suponha que às 12 horas e 45 minutos seu velo-
eimetro indique 20 km/h (velocidade escalar instant:
mea) e que às 12 horas e 50 minutos indique 100 km/h
[velocidade escalar instantânea). O primeiro fato a ser
motado é que a velocidade escalar instantânea do au-
tomóvel variou entre as duas leituras do velocímetro.
Entre a primeira leitura e a segunda, temos um inter-
valo de tempo de 5 minutos, Durante esses 5 minutos,
a velocidade escalar instantânea variou de 20 km/h
para 100 km/h, ou seja, variou 80 km/h. Então, temos
uma variação de velocidade instantânea de 80 km/h
em 5 minutos. Isso significa que, em média. a velo-
cidade escalar instantânea variou 16 km/h em cada
minuto. E: andeza é a aceleração escalar média.
que simbolizamos por (1, (lê-se alfa m). Assim
Aceleração escalar média entre dois instantes é a
variação de velocidade escalar instantânea ocorrida,
em média, por unidade de tempo
Av
At
Tópico 1 - Bases da Cinemática escalar 39
Assim, obtemos:
Et
Vit
Nota:
* Na situação estudada neste exercício, a velocidade escalar média não
ViRv,
é como se poderia supor. Além disso, ela não depende das
distâncias,
FEZ (uecct) Um automóvel é dirigido ao longo de uma estrada ca-
racteizada por zonasaltermadas de velocidades permitidas de 40 km/h
e 60 kamlh. Se o motorista mantém rigorosamente essas velocidades
nas respectivas zonas, e se todas as zonas têm o mesmo comprimento,
qual à velocidade média, em km/h, em um trecho correspondente a
um número par de zonas?
FER (rca) Um professor, so aplicar uma prova a seus 40 alunos,
passou umalista de presença. A distância média entre cada dois alunos.
é de 1,2 me a lista gastou cerca de 13 minutos para ser assinada por
todos. Qual fia velocidade média dessa lista de presença?
Neste ponto, podemos fazer observações pareci
as com aquelas feitas no estudo da velocidade esca
lar. Quando dizemos, por exemplo, que a aceleração
escalar média do automóvel citado é de 16 km/h por
minuto, isso não significa que a velocidade escalar
instantânea tenha, necessariamente, variado 16 km/h
em cada minuto. Pode ser que, em algum minuto, a
variação tenha sido maior que 16 km/h e, em outro,
tenha sido menor. O que sabemos é que, em média, à
variação foi de 16 km/h, em cada minuto.
A medida da taxa de variação da velocidade esca-
lar com o tempo, feita num instante, é a aceleração
escalar instantânea, que simbolizamos por 0.
No Apêndice deste Tópico. você encontra a ex-
pressão matemática que define a aceleração escalar
instantânea.
É importante salientar que o conceito de acelera-
ção escalar diz respeito não apenas aos casos em que o
corpo “ganha” velocidade, mas também aos casos em
que ele “perde” velocidade.
Com relação às unidades de medida de acelera-
ção, note que elas são sempre quocientes de uma uni-
dade de velocidade por uma de tempo. No SI, temos
m
dq) = Us A
unid (00) = m/s
unid (t) s
Concluímos, então, que a unidade de aceleração
no SI é o metro por segundo ao quadrado (m/s?)
MO PARTE I-CINEMÁTICA
11. Movimento acelerado,
movimento retardado e
movimento uniforme
O movimento de uma partícula é dito variado
quando sua velocidade escalar instantânea varia
no decorrer do tempo. Se, em certo intervalo de
tempo, a partícula mover-se cada vez mais rapi-
damente, isto é, se o módulo de sua velocidade
escalar instantânea for sempre crescente, seu mo-
4 vimento variado será do tipo acelerado. Assim,
Quando parte de uma estação, à velocidade escala de um trem q movimento de um automóvel, cujo velocímetro
de metrô cresce cerca de 2 mis em cada segundo, durante certo à : :
intervalo de tempo. Então, nesse intervalo, sua aceleração escalaré fornece as indicações ilustradas na figura a seguir,
aproximadamente igual a 2 m/s? é acelerado,
Um movimento é acelerado quando o módulo da velocidade escalar instantânea é sempre crescente com o
passar do tempo.
Já se uma partícula se mover cada vez mais lentamente durante certo intervalo de tempo, isto é, se o módulo
de sua velocidade escalar instantânea for sempre decrescente, seu movimento variado será do tipo retardado. É
o caso do movimento de um automóvel cujo velocímetro fornece os valores presentes na figura a seguir.
ea me
CN a»
(o far) 4, 1207
+
160 o 1607
Nim > ed
Um movimento será retardado quando o módulo da velocidade escalar instantânea for sempre decrescente
com o passar do tempo.
Se considerarmos, no entanto, o movimento em que a indicação do velocímetro é sempre a mesma durante
certo intervalo de tempo, não teremos um movimento variado, mas uniforme. É o caso do movimento de um
automóvel cujo velocímetro fornece, a todo instante, um valor constante, como o indicado na figura a segui.
Tópico 1 - Bases da Cinemática escalar 43
popa Lo Rr
1. Em quanto é estimada a idade da Terra?
2. Em quanto é estimada a idade do Universo?
3. Como podem ser efetuados esses cálculos?
BE um corpo desloca-se numa trajetória orientada, sempre num
mesmo sentido. Durante certo intervalo de tempo, o corpo vai de um
ponto M até um ponto N com velocidade escalar média v, Durante um
novo intervalo de tempo, igual ao anterior, ele vai do ponto N até um
ponto Q com velocidade escalar média v,
a) Determine, em função dev, ev, à velocidade escalar média do cor
po no percurso de M a Q
bj Sendo MQ o deslocamento escalar no percurso total, determine,
em função de v,, v, & MQ, o deslocamento escalar MN, de Ma N.
KER (rA-sp) Um motorista deseja perfazer à distância de 20 km com
velocidade escalar média de 80 km/h. Se viajar durante os primeiros
15 minutos com velocidade de 40 km/h é possível concluir o percurso
como se pretendia?
RES uma partícula desloca-se do ponto A até o ponto 8.
A B
Ne pimeira terça parte do percurso, sua velocidade escalar média vale
“ne segunda terça parte vale v, e na terceira, v, Determine aveloci-
ide escalar média no percurso nal de A té
REA para multar motoristas com velocidade superior a 90 km/h, um
aguarda rodoviário aciona seu cronômetro quando avista o autom;
vel passando pelo marco A e faz a leitura no cronômetro quando vê
o veiculo passar pela marco B, situado à 1500 m de A. Um motorista
passa por À a 144 kmlh e mantém essa velocidade durante 10 segun
dos, quando percebe a presença do guarda, Que velocidade média ele
cleverá manter em seguida para não ser multado?
RE (ravestsP) Diamte de uma agência do INPS, há uma a de apro
ximadamente 100 m de comprimento, ao longo da qual se distribuem
de maneira uniforme 200 pessoas. Aberta a porta, as pessoas entram,
durante 30 5, com uma velocidade média de 1 m/s. Avalie
PARA. - RACI
INAR
BEGR jim dia chuvoso, um vaso
cilíndrico, inicialmente vazio, ficou.
exposto à chuva o dia todo. Cesa- |
da a chuva, verificou-se que o nf |
vel da água dentro do vaso estava
a 150 mm de altura em relação ao
fundo, conforme mostra a figura.
que ocorreu uma
NÍVEL 3
999
a) o número de pessoas que entraram na agência;
b) o comprimento da fila que restou do lado de fora.
ER (unicamp-se) A figura a seguir mostra o esquema simplificado
le um dispositivo colocado em uma nua para controle de velocidade
de automóveis (dispositivo popularmente chamado de radar
[Empstade -» Cera
dE
—
ani
o o
d=2m
Ossensoress, é S, ea câmera estão ligados à um computador, Os sen-
sores enviam um sinal ao computador sempre que são pressionados
pelas rodas de um veiculo. Se a velocidade do veiculo está acima da
permitida, o computador envia um sinal para que a câmera fotografe
sua placa traseira no momento em que esta estiver sobre a linha trace-
Jada. Para certo veiculo, os sinais dos sensores foram os seguintes
|
Eee
0 01 2 03 +69)
a) Determine a velocidade do veiculo em km/h
b) Caleule a distância entre os eixos do veículo.
chuva de 150 mm, Essa altura seria diferente se o vaso cilindrico fosse
mais largo, ou seja, e o diâmetro de sua embocadura fosse maior?
Um avião decola de Fernando de Noronha às 8 horas da ma:
nhã e chega a Rio Branco, no Acre, às 8 horas da mesma manhã! Sa-
bendo que a distância entre essas localidades é de aproximadamente
ue o Brasil tem quatro fusos horários, calcule a velocidade.
44 PARTE I-CINEMÁTICA
Velocidade escalar instantânea
Para entender a expressão matemática da definição
da velocidade escalar instantânea, considere o seguin-
te exemplo: uma partícula move-se em obediência à
função horária s =”, válida no SI, e queremos deter-
minar sua velocidade escalar instantânea no instante
1 s. Para isso, vamos calcular a velocidade escalar
média entre t = | se, por exemplo, U =
e)
2s=>s'=4m
As=3m
At=Is
Logo:
Mantendo t= 1 s, calculemos v,
fazendo U = 1,55:
t=is
>s=Im
225m
t=1s >s=Im
t=Lls5s=12lm
As=02!m
At=0,s
Logo:
=2,I m/s
L0Ls:
im
1,0201m
Agora, comt= se
tels os
t=101s5s
M=001s
As=0,0201 P)
Logo:
f
[ =2,01 mis |
Mais uma vez com t= 1 s, porém s
=Im
1,0020
As = 0,002001 m
At=0,001 5
Logo
001 m/s
Observe que começamos os cále
igual a 2 s e depois fomos consideram
de t” cada vez mais próximos de t. Poder
aros cálculos usando valores de tº ainda n 5
de t. Em linguagem matemática, dizem: tamos
fazendo º tender a t ou At tender à ze" ado fit
zemos isso, sº tende a s e As tende a 7 n-
to, o quociente As/At tende a 2 m/s, como indicam os
cálculos feitos. Assim, lembrando que o
intervalo de tempo menor é a variação q
pode softer, concluímos que esse va:
ponde à velocidade escalar no instante t ig
Em linguagem matemática, temos
Velocidade escalar instantânea v em certo 1
teté o limite para o qual tende o quaci
culado entrete t”, quando t' tende a t, ou seja, puan
At'tende a zero.
Simbolicamente:
As
v=lim dé
4:50
Aceleração escalar instar
Repetindo o tratamento mat
locidade escalar instantânea, che
definição,
Aceleração escalar instantânea em cer
te té o limite para o qual tende
calculado entre te t', quando fazemos t nt
seja, quando At tende a zero.
Simbolicamente
e=lim
Tópico 1 - Bases da Cinemática escalar 45
EXERCÍCIOS
A função horária do espaço para o movimento de um
ponto materalé:s=2€ = 1 (5)
| Determine:
a) a função horáriada velocidade escalar instantânea;
bj avelocidade escalar no instante 2.
a) Num instante genérico, temos:s=
Num instante t (maior que t) temos:s' = 2t?
| A velocidade escalar média entre tet' é
| Resolução:
| Fazendo t tender a t, obtemos a velocidade escalar y num ins
| tantetqualquer
v=t+1) [5]
L
[EER os espaçoss de uma partícula variam com o tempo t, deacordo
coma função
s=48-2(5)
Determine:
a) a função horária da velocidade escalar instantânea
b) avelocidade escalar no instantes
FEZHEES A função horária do espaço referente ao movimento de
uma partícula é s = SE - 6, válida no SL Determine:
a) a função horária da velocidade escalar instantânea;
| b) avelocidade escalar no instante 25;
c) afunção horária da aceleração escalar instantánea;
|) aeceeração escalar instantes
Resolução:
à) Nos instantes genéricos te t, com t maior que t temos os espa-
çosses, respectivamente:
=6t
s=5U-6t es
Então:
Fazendo t tender at obtemos:
v=5+tt+8]-6 =
) Nosinstantes genéricos te t, com t' maior que t, temos as velo
cidades escalares ve v, respectivamente:
v=15-6ev=15t2-6
(152-6-(158-6)
Fazendo t tender a t, obtemos:
a=15(t+ 5)
d) Pant=25:
0=30:2 =
Nota:
* A obtenção das funções horárias da velocidade e da aceleração escala
resinstantâneas, a partir da função horária do espaço, seria muito mais
simples se fosse conhecida uma operação matemática denominada
derivada. Por isso, para esse caso particular, vamos apresentá-a sem,
entretanto, demonstrar o resultado
Seja fuma função do tempo t. O limite: des, quando At tende a zero,
chama-se derivada de f em relação ao tempo e é simbolizado por E
| Assim, temos:
Se ffor função do tipo ft) =a t”, com a e n constantes, a derivada de f
em relação a t será
| A canto!
| a
| Lembrando as definiçé da velocidade escalar instantânea e da acel
| pele o qu
| dt dt
| Vamosresolver novame ositens a e cdo exercício 75 de modo mui-
to mais prático, por meio da derivada:
e.
qua
Você pode fazer o mesmo com relação a
Avelocida a de um móvel varia com
po, conforme à função v=5tº + 4, válida no SI, Determine: