... - projeto completo - relat?rio final - com capa e sum?rio - reduzido

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(Parte 4 de 5)

Este projeto compreende a totalidade das atividades desenvolvidas pelo discente Lucas

Guedes de Oliveira, graduando em Engenharia de Produção, pela UNIFEI - Campus Avançado de Itabira, em continuidade aos projetos desenvolvidos pelo pesquisador Prof. Dr. Rogério Fernandes Brito na linha de pesquisa de Simulação Numérica com Transferência de Calor, durante os doze meses de trabalho (no período de 01/03/2012 à 28/02/2013), contemplando desde as revisões de literatura realizadas (apresentadas no Tópico 4), o aprendizado da metodologia empregada (com os treinamentos para uso dos softwares) e a validação da metodologia numérica, até as simulações numéricas com a obtenção dos resultados, a publicação de artigo nos Anais do XIX CREEM e a participação em eventos científicos da UNIFEI. Associado isso, então, são também apresentados os resultados desenvolvidos, voltados para a análise de ferramenta de corte isolada, a fim de se consolidar os estudos envolvendo técnicas de problema inverso na estimativa do fluxo de calor gerado em processo de usinagem.

O orientador Prof. Dr. Rogério Fernandes Brito vem atuando nessa linha de pesquisa como pesquisador desde o início do seu mestrado em março de 1996, na UNIFEI – Campus de Itajubá. O desenvolvimento deste projeto é realizado em cooperação entre os Laboratórios de Transferência de Calor (LabTC) e de Automação da Manufatura (LAM), ambos lotados no Instituto de Engenharia Mecânica (IEM) da UNIFEI - Campus de Itajubá, juntamente com o Campus Avançado de Itabira. A Tabela 2 apresenta os pesquisadores envolvidos no projeto.

Tabela 2 - Pesquisadores vinculados ao projeto proposto.

LABORATÓRIO/UNIFEI PESQUISADORES ESPECIALIDADES ou

CURSO de GRADUAÇÃO

Campus Avançado de Itabira Discente bolsista da FAPEMIG

Lucas Guedes de Oliveira Engª de Produção

Campus Avançado de Itabira Aluno ex-bolsista do CNPq

Gabriel Faria de Oliveira Engª Mecânica

Campus de Itajubá (LabTC)

Aluno de Pós-graduacão Eng. Msc. Carlos Adriano Corrêa Ribeiro

Métodos Experimentais e

Numéricos em Transferência de Calor

Tabela 2 - Pesquisadores vinculados ao projeto proposto. (Continuação)

LABORATÓRIO/UNIFEI PESQUISADORES ESPECIALIDADES ou

CURSO de GRADUAÇÃO

Campus de Itajubá (LabTC) Aluno de Pós-graduacão Eng.

Msc. Cristiano Pedro da Silva

Métodos Experimentais e

Numéricos em Transferência de Calor

Campus Avançado de Itabira*

Campus de Itajubá** (LabTC)

Prof. Dr. Rogério Fernandes

Brito*

Prof. Dr. Sandro Metrevelle M. de Lima e Silva**

Métodos Experimentais** e Numéricos em Transferência de Calor* **

Campus de Itajubá (LAM)Prof. Dr. João Roberto FerreiraUsinagem

8. Modelagem Matemática e Método Numérico 8.1. Equações Governantes

Visto que o presente estudo considera o fenômeno térmico durante operações de usinagem, é viável tratar o problema como transiente e que se desenvolve segundo dimensões conhecidas. Assim, utiliza-se, para a formulação geral, a equação governante da conservação de energia, dependente, portanto, do tempo e na forma dimensional:

= k ∇ 2 ( T ) + µ Φ ,(em i, para t > 0), (Eq. 1)
pi D t i i

onde µ é a viscosidade dinâmica (N s m-2), D/Dt é a derivada substancial, ∇2 é o operador Laplace e Φ é o termo de dissipação viscosa [Huang e Chen, 2000].

Dessa maneira, também consideraram-se algumas simplificações para o modelo, à saber: ausência de modelos de radiação; propriedades térmicas tais como a massa específica r, a condutividade térmica k e o calor específico Cp independentes da temperatura e uniformes para cada elemento sólido; contato térmico perfeito e nenhuma resistência térmica de contato

" entre os elementos sólidos; condição de contorno de fluxo de calor q(t) uniforme e variável

ambiente Tconstantes e também conhecidas [Incropera, 2008]; e nenhuma geração de

no tempo; condições de contorno do coeficiente de transferência de calor h e da temperatura energia interna nos sólidos envolvidos. Assim, descreve-se a Equação (1) sob a forma de derivadas parciais, dada pela equação da difusão de calor, tridimensional e transiente:

= k ∇ 2 ( T ) ,(em i, para t > 0), (Eq. 2)
pi ∂ t i

sendo i = 1, 3, com i = 1 para a ferramenta de corte; i = 2 para o calço da ferramenta e i = 3 para o suporte do conjunto, uma vez que este é constituído pelos três elementos sólidos.

8.2. Condições Iniciais e de Contorno

A simulação numérica da transferência de calor por condução no conjunto, em um dado processo de usinagem, é realizada na temperatura ambiente, assumindo conhecidas as temperaturas iniciais de cada elemento sólido. Assim, o presente modelo térmico é sujeito às seguintes condições iniciais e de contorno:

i) Condições iniciais de Cauchy, descrevendo os estados térmicos dos sólidos:

Tt =0 = Ti = T∞ = 24,1 (º C ) ,(em i, com i = 1, 3, para t = 0), (Eq. 3)
sendo Ti a temperatura inicial (ºC) e Ta temperatura do meio externo (ºC). No modelo

proposto, três tipos de condições de contorno são aplicadas: condição de Neumann ou condição de contorno de segundo tipo, sendo − q0 = − k ( T/ η), onde η é a normal externa ao contorno e q0 é o fluxo de calor (W m-2); condição de Fourier ou condição de contorno de terceiro tipo, sendo − k ( T/ η) = h (T – T ); condição de quarto tipo quando os domínios Ωi de cada elemento sólido, com diferentes condutividades térmicas, estão em contato (superfície em comum), isto é, k 1(∂T 1 ∂η1)

= k

i) Condições de contorno:

− k ∂T

=∂ηq(t),(na região de desgaste, para t > 0), (Eq. 4)

onde q(t) é o fluxo de calor uniforme e variável (W m-2), gerado devido ao contato com a ferramenta de corte e o cavaco, sendo que esse é de valor conhecido a partir de um experimento realizado por Carvalho (2005) e Carvalho et. al. (2006).

) ,(em i, exceto na área de desgaste, para t > 0), (Eq. 5)
∂η

onde ∂T/∂η é a derivada ao longo da direção normal da superfície de cada elemento sólido, em contato com o meio ambiente. Na interface de cada elemento sólido aplica-se a condição de fluxo conservativo, como sendo:

∂k T = ... = k
T, (em C, para t > 0), (Eq. 6)
∂η∂η

8.3. Método Numérico

8.3.1. Método Numérico referente ao CFX

Para a solução das equações de conservação de massa, quantidade de movimento e energia em regime não-permanente aplica-se o Cálculo da Dinâmica de Fluidos pelo Método de Volumes Finitos (MVF). Dessa forma, usa-se o esquema de Euler para discretização espacial e temporal do domínio físico, com um número finito de volumes de controle [Versteeg e Malalasekra, 2007; Löhner, 2008]. Por este método, assim, os elementos de volume de controle seguem o esquema Euleriano com malha do tipo não-estruturada [Barth e Ohlberger, 2004]. Através deste esquema, as equações de transporte podem ser integradas aplicando-se o Teorema da Divergência de Gauss, onde a aproximação da integral de superfície é realizada com dois níveis de aproximação: primeiro, as variáveis físicas são integradas em um ou mais pontos nas faces dos volumes de controle; segundo, o valor do integrando no centróide das faces é aproximado em termos dos valores nodais. &%

A aproximação, pelo valor nodal no centróide nas faces do volume de controle, representa a média da grandeza física em todo o volume de controle com precisão de 2ª ordem [Shaw,

1992]. Por outro lado, a aproximação da integral de volume é feita em termos do valor da variável física integrada no centro do volume de controle vezes o respectivo volume (sem necessidade de interpolação) [Shaw, 1992]. Esta aproximação possui boa precisão se a variável física for do tipo linear ou constante no volume de controle; caso contrário, o erro pode ser de 2ª ordem. A Figura 5 apresenta as variantes sobre o volume de controle utilizado pelo MVF: face centrada e volume centrado. Uma vez integradas as equações de transporte, estas podem constituir equações no formato matricial cuja solução pode ser encontrada usando o Método dos Resíduos de Gauss-Seidel, onde o resíduo e/ou erro é comparado a um erro referencial, também denominado “Erro Alvo”, para garantir a convergência.

Sob esse aspecto, então, foi utilizado o pacote comercial ANSYS CFX® que trabalha com os referidos cálculos a fim de se realizar a simulação numérica da transferência de calor por condução em ferramentas de corte.

Figura 5 - Variantes de volume de controle utilizadas pelo MVF.

Local de cálculo

(a) Face centrada(b) Volume centrado

Volume de controle Fonte: Barth e Ohlberger, 2004.

8.3.2. Método Numérico da Técnica Inversa (método da função especificada)

A Técnica da Função Especificada é uma técnica inversa que já possui incorporada um processo de minimização da função objetivo dentro de seu algoritmo. Esta técnica surgiu como uma melhoria para a técnica de Stolz (Stolz, 1960) quando Beck et. al. (1985) propuseram uma modificação para minimizar os efeitos de ruídos nos sinais de temperatura. Tal modificação foi introduzir o conceito de tempos futuros, que visa calcular a temperatura para instantes de tempo além do atual.

O ponto de partida para o método da Função Especificada é a Equação 7. Esta equação indica a temperatura no ponto (x, y, z) no instante tm, segundo o Método de Stolz. Esta temperatura no ponto T(x, y, z), no instante tm, é igual à temperatura T0 deste mesmo ponto (x, y, z) no instante inicial, t0, somada à variação de temperatura devido ao fluxo de calor.

A partir desta equação, a Equação 8 é expandida para calcular a temperatura em instantes futuros.

em que r é o valor de tempos futuros, ou seja, quanto o instante de tempo escolhido está no futuro em relação ao instante de tempo atual. Contudo, a Equação 8 pode ser reescrita de forma mais compacta, assumindo a forma dada pela Equação 9:

Esta equação mostra que a temperatura, em uma certa posição (x, y, z), em um instante de tempo t, é dada pela temperatura no instante de tempo anterior somada ao ganho de temperatura devido ao fluxo de calor aplicado. Ainda nesta equação, m, é o índice geral de tempo, n é o contador de tempos futuros, q′′ é o fluxo de calor estimado e ∆φ é o coeficiente de sensibilidade no ponto, no instante de tempo atual. O coeficiente de sensibilidade é definido como a primeira derivada da temperatura em relação ao parâmetro a ser analisado, neste caso, o fluxo de calor. A Técnica da Função Especificada é utilizada para calcular o fluxo de calor no instante t e os fluxos de calor para os tempos futuros escolhidos. Contudo, estes ainda são desconhecidos, pois não foram calculados. Para contornar este problema, a técnica tem duas opções. A primeira consiste em adotar os valores futuros do fluxo de calor, sendo iguais ao fluxo de calor do instante atual, tal como representado pela Equação 10.

A outra maneira de contornar este problema é uma função para obter as intensidades dos fluxos de calor dos instantes futuros, e essas funções podem ser linear, quadrática, ou outra forma qualquer. Neste trabalho foi utilizada somente a primeira opção para estimar os valores de fluxo para os instantes futuros. Mudando a notação para o coeficiente de sensibilidade, empregado anteriormente na Equação 9, para a forma dada pela Equação 1, tem-se:

Com isso, e tendo que os fluxos de calor futuros são dados pela Equação 10, e empregando a Equação 1, a Equação 9 pode ser rearranjada da seguinte forma:

Em situações em que há comparações entre medidas experimentais e numéricas, sempre há pequenas diferenças de valores, ou desvios. Para avaliar, nesta técnica, os erros entre as temperaturas experimental e numéricas, define-se o funcional Func. Este funcional mensura os erros entre as temperaturas experimental e numérica não só para o instante de tempo atual como também para os tempos futuros. A equação que define esse funcional é dada por.

Substituindo a Equação 12 na Equação 13, chega-se a: (Eq. 14)

Os melhores resultados para o fluxo de calor são aqueles que fazem a Equação 14 atingir os menores resultados de temperatura. Conseqüentemente, para encontrar o valor de fluxo de calor que dê o menor valor para Equação 14, é preciso encontrar o mínimo desta função. Assim, basta derivar a Equação 14 em relação à q′′ e igualar a zero:

(Eq. 15) Depois de algum algebrismo, a Equação 15 assume a seguinte forma:

Isolando o termo q′′, encontra-se a Equação 17, que representa o valor do fluxo estimado pela Técnica da Função Especificada:

Esta técnica não apresenta problemas quanto à ruídos no sinal e pequenos incrementos de tempo, presentes no Método de Stolz. Ainda assim, Beck et. al. (1985) apresentaram outra melhoria ao propor que o fluxo de calor estimado q′′seja calculado usando múltiplos sinais de temperatura. Isso aumenta a robustez do método e com isso, o fluxo de calor estimado qm′′ assume um valor médio para a área abrangida pelos sensores. Logo, a Equação 17, para múltiplos sensores transforma-se em:

sendo ns o número de sensores de temperatura experimental e p seu respectivo contador.

A Função Especificada exige o cálculo do coeficiente de sensibilidade para estimar o fluxo de calor. Em muitos casos o cálculo do coeficiente de sensibilidade tem solução analítica. Todavia, devido a complexidade de sua obtenção, a solução analítica só foi usada para o modelo unidimensional. Para este caso, o coeficiente de sensibilidade foi calculado analiticamente usando funções de Green (Beck et. al. 1992) como dado pela Equação 19.

Para o caso tridimensional, o coeficiente de sensibilidade foi calculado numericamente fazendo no problema direto o fluxo de calor igual a 1W/m 2 e a temperatura inicial igual a 0ºC.

Mais detalhes da validação deste procedimento, podem ser obtidos no trabalho de Silva (2011).

9. Validação da Metodologia Numérica do Presente Trabalho 9.1. Validação Numérica para o caso do Problema Direto

A Figura 6 apresenta um estudo da influência do refinamento da malha sobre os resultados de temperatura calculada no presente trabalho pelo pacte comercial ANSYS CFX®. A análise de convergência da malha numérica foi realizada usando as seguintes propriedades térmicas da ferramenta de corte K10 de dimensões 12,7 (m) x 12,7 (m) x 4,7 (m) (Figura 8a): k =

43,1 (W m-1 K-1), Cp = 332,94 (J kg-1 K-1) e ρ = 14.900 (kg m-3). O teste de convergência analisou diferentes dimensões das malhas e verificou-se a influência destas nas temperaturas calculadas pelo modelo numérico. A temperatura foi calculada para o ponto x = 6,35 (m), y

= 6,35 (m) e z = 4,7 (m) na ferramenta de corte apresentada na Figura 8(a). Na Tabela 3, apresentam-se as dimensões das formas hexaédricas de cada elemento e o número de pondas nodais NP e o número de elementos NE utilizados em cada teste de convergência. Em todos os testes de malha foram utilizados os seguintes parâmetros: intervalo de tempo de t = 0,2 (s), temperaturas inicial Ti e ambiente T∞ iguais a 29,5 (ºC), coeficiente de transferência de calor constante h e igual a 20 (W m-2 K-1), tempo total de t = 110 (s) e área sujeita ao fluxo de calor de A = 108,16 (mm2).

Figura 6 - Comparação entre as temperaturas calculadas para as diferentes malhas apresentadas na Tabela 3.

40Teste 2 com a malha 2

Teste 1 com a malha 1

Teste 3 com a malha 3 Teste 4 com a malha 4

30Teste 5 com a malha 5
0 2040 60 80 100

Tabela 3 - Números de pontos nodais e de elementos para cada teste de malha estudado.

De acordo com este estudo (Figura 6), percebe-se que houve pouca diferença quanto ao valor das temperaturas calculadas. Além disso, o resíduo de temperatura entre as malhas é praticamente desprezível, com um desvio entre elas de menos de 1 % para toda a faixa de tempo simulada. Concluiu-se que a malha do Teste 3 já é suficiente para a obtenção dos resultados com uma boa precisão com um baixo custo de tempo computacional. Para uma malha desenvolvida com um número maior de elementos do número de elementos utilizados no Teste 5, o valor da temperatura praticamente não varia com o refinamento da malha.

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