LISTA DE EXERCÍCIOS - PROBABILIDADE

LISTA DE EXERCÍCIOS - PROBABILIDADE

Nome: Vanessa Souza dos Santos Disciplina: Probabilidade

Exercıcios (Magalhaes, Secao 3.4)

Inicialmente, vamos demonstrar que

Concluımos que min(X,Y ) e a intersecao de X e Y estao na mesma =. Logo min(X,Y ) e variavel aleatoria.

Demonstracao:

Demonstracao

Se IAi e uma variavel aleatoria em (Ω,=) e se w ∈ Ai, entao IAi = 1, implica que P(IAi

i=1 IAi

Supondo que IA1,IA2,...,IAn sao variaveis aleatoria independentes, entao

Questao 3 Seja X Poisson(2). Defina Y pelo truncamento de X que impede valores superiores a 2. Assim, Y tem o valor 2 sempre que X ≥ 2. Obtenha a funcao distribuicao de Y .

Solucao Seja X ∼ Poisson(2) e Y o trucamento de X < 2. Entao a variavel aleatoria Y e definida por

onde a funcao de probabilidade de X e da forma p(x) = 2xe−2 x! . Dessa forma, a funcao de probabilidade de Y fica

Portanto, a Funcao distribuicao sera

Questao 4 Para X e Y independentes com distribuicao Binomial de parametros (n1,p) e (n2,p), respectivamente, verifique que:

a. A soma X + Y tambem segue o modelo binomial.

b. A distribuicao condicional de X, dada a soma X +Y , e Hipergeometrica com parametros que nao dependem de p.

Verificacao: a. A soma X + Y tambem segue o modelo binomial.

z). Portanto, por definicao, a funcao de distribuicao de X + Y fica da forma

em que fizemos a substituicao y = z − x. Como X e Y sao independentes entao

Sabendo que

entao

tomando o resultado: ∑n1 x

b. A distribuicao condicional de X, dada a soma X +Y , e Hipergeometrica com parametros que nao dependem de p.

Verificacao Por definicao, a condicional de X dado X + Y fica

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