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02 - Fundamentosda Matematica II 2ed, Manuais, Projetos, Pesquisas de Economia de Empresas

Livro Bom de Matemática

Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas

2014

Compartilhado em 02/10/2014

francisco-anastacio-10
francisco-anastacio-10 🇧🇷

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Baixe 02 - Fundamentosda Matematica II 2ed e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Economia de Empresas, somente na Docsity! 3ª edição FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA II FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA II Fundamentos da Matemática II Função Logarítmica 36 2.8 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.9 Logaritmos: Definição e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.9.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.10 Equações Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.11 A Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.12 Gráfico da Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.13 Inequações Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.14 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Funções Trigonométricas e Outras Elementares 43 Funções Trigonométricas 44 Trigonometria 44 3.1 Relações Trigonométricas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Arcos Côngruos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Funções Trigonométricas 48 3.3 As Funções Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4 Outras Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Outras Funções Elementares 53 Outras Funções Elementares 53 4.1 Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 Função Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3 Funções Definidas por mais de uma Sentença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.4 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.5 Função Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.6 Função Recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.7 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Atividade Orientada 60 5.1 Etapa 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2 Etapa 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3 Etapa 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4 Apresentação de Disciplina Caro aluno, Damos-lhe boas vindas ao curso de Fundamentos de Matemática II. Ao colocarmos este material à disposição de educadores e de alunos que se preparam para o magistério, é nossa intenção destacar alguns dos temas usualmente vistos no ensino médio, a exemplo das funções elementares: afim, quadrática, exponencial e logarítmica. Buscamos, tanto quanto possível, ilustrá-los mediante exemplos e interessantes apli- cações que, sem dúvida alguma, tornarão mais instigantes e agradáveis de estudá-los. Conforme verá, adotamos uma abordagem bem simples e elementar. Evitamos o emprego de fórmulas, mesmo nas demon- strações, preferindo, ao invés disso, um constante apelo ao raciocínio lógico-dedutivo na obtenção de nossos resultados. Ao longo do texto, inserimos questões para reflexão. Sugerimos que pare, ao encontrá-las em sua leitura, e as considere com bastante atenção. Incluímos, também, exercícios resolvidos e atividades comple- mentares, bem como, no final deste trabalho, um bloco de atividades orientadas como parte de sua de avaliação individual. E, é claro, registramos nossa gratidão, ainda que previamente, por quaisquer observações ou comentários sobre o trabalho, para que pos- samos aprimorá-lo continuamente. Uma boa leitura, portanto, e boa sorte na carreira que escolheu. Prof. Rui Santos 5 Fundamentos da Matemática II Funções Afim, Quadráticas, Exponenciais e Logarítmicas Funções Afins e Quadráticas Definições Elementares Na disciplina Fundamentos de Matemática I, a definição de uma função real a uma variável foi apresen- tada da seguinte forma: Uma função real é um objeto matemático que, a cada número x de um subconjunto A dos números reais, associa um único número f (x) de um subconjunto B dos números reais. Em outras palavras: f : A → B é função ⇔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B; y = f (x). O conjunto A é chamado de domínio da função f ; o conjunto dos números reais contido em B que estão associados por f é chamado o conjunto imagem (ou simplesmente, a imagem) de f ; e o conjunto B é chamado de contradomínio da função. As seguintes notações foram estabelecidas: 1. f : A → B para dizer que se trata da função real cujo domínio é o conjunto A. 2. x 7→ f (x) para dizermos que f associa o número f (x) ∈ B ao número x ∈ A. 3. Dom(f ) representa o domínio de f , e CD(f ) o contra-domínio. 4. Im(f ) representa a imagem de A, e se C ⊂ A, indicaremos por f (C ) o conjunto dos números f (x), com x ∈ C , que é chamado de imagem de C . Neste primeiro tema, detalharemos duas funções especiais, a saber: a Função Afim e a Função Quadrática. Antes disto, vejamos as seguintes definições: 6 x y y = f(x) Esta expressão afirma que cada elemento y da imagem da função f provém de um único elemento x do seu domínio. Uma maneira visual de interpretar este fato é pelo chamado teste da linha horizontal. Se a linha interceptar o gráfico da função em mais de um ponto, então existem pontos distintos no domínio tal que suas imagens são iguais. 1.7 Função Bijetora Uma função é bijetora se é, simultaneamente, injetora e sobrejetora. Deixamos a representação sim- bólica deste conceito como exercício. 1.8 Função Inversa Este é um conceito aplicável somente às funções bijetoras. Seja f : A → B uma função bijetora, ou seja, para cada y ∈ B, existe exatamente um valor x ∈ A tal que y = f (x). Assim, podemos definir uma função g : B → A tal que x = g(y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f , a qual denotaremos por f −1. Em outras palavras: f −1 : B → A y 7→ x = f −1(y) y xa1 a2 b1 b2 A B f : A → B a 7→ b = f (a) y x a1 a2 y=x b1 b2B A f −1 : B → A b 7→ a = f −1(b) 1.9 Função Periódica Dizemos que uma função f é periódica se existe um número real p 6= 0 tal que f (x + p) = f (x) para todo x ∈ Dom(f ). O menor número p que satisfaz f (x + p) = f (x) é chmado de período da função f . O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento |p|. 9 Fundamentos da Matemática II Na disciplina Fundamentros da Matemática III, veremos que as funções f (x) = sen(x) e g(x) = cos(x) são funções periódicas de período 2π. A figura ao lado ilustra o gráfico de uma função periódica de período 4. 2 y x6-2-6 6 1.10 Exercícios Propostos 1.1. Para que valor de x , f (x) = √ x + 2 é igual a 6? e 0? 1.2. Verifique que a correspondência entre os valores x e y = f (x), dados pelos conjuntos abaixo, não definem uma função. (a) R1 = {(x , y) ∈ Z × Z; x2 + y2 = 4} (b) R2 = {(x , y) ∈ N × Z; x − y2 = 0} (c) R3 =  (x , y) ∈ Z × Z; x 2 9 + y2 4 = 1  (d) R4 = {(x , y) ∈ N × Z; x2 − y2 = 0} 1.3. Exiba os domínios das seguintes funções: (a) f (x) = x 3 + 1 (b) f (x) = 1 x (c) f (x) = √ 1 − x 2 (d) f (x) = 2√ 1 − x (e) f (x) = 2x − 1 x2 − 4 (f) f (x) = √ x − √ x2 − 25 x 1.4. Decida se cada função é par, ímpar ou nem par e nem ímpar. (a) f (x) = x5 (b) f (x) = 1 x2 (c) f (x) = x3 − x (d) f (x) = 5 − x2 1.5. Mostre que as funções abaixo não são nem pares e nem ímpares, e expresse-as como uma soma de uma função par com uma função ímpar. (a) g(x) = x2 − x (b) h(x) = x2 + 1 x 1.6. Dada uma função qualquer f : [−a, a] → R, mostre que: (a) a função g definida por g(x) = f (x) + f (−x) é uma função par; (b) função h definida por h(x) = f (x) − f (−x) é uma função ímpar. 1.7. Suponha f e g duas funções dadas. Então, definem-se as seguintes funções: (f ± g)(x) = f (x) ± g(x), (f · g)(x) = f (x) · g(x) e  f g ‹ (x) = f (x) g(x) (g(x) 6= 0). Considere agora, que f (x) = √ x − 2 e g(x) = √ 16 − x2. Determine: (i) (a) (f + g)(x); (b) (f · g)(x); (c)  f g ‹ (x) (ii) os domínios das funções do item (i) 10 1.8. Ao analisar a função real f definida por f (x) = x2 + 4x − 12, podemos afirmar que f é injetora? Justifique a resposta. Gabarito Questão. 1.1. 34 e −2 Questão. 1.3. (a) R . (b) R−{0}. (c) {x ∈ R; x ≤ 1} . (d) {x ∈ R; x < 1}. (e) R−{±2}. (f) {x ∈ R; x ≥ 5}. Questão. 1.4. (a) Par. (b) Par. (c) Ímpar. (d) Par. Questão. 1.7. (i.a) √ x − 2+ p 16 − x2 . (i.b) p (x − 2) · (16 − x2). (i.c) q x − 2 16 − x2 . (ii.a) {x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 4}. (ii.b) {x ∈ R; x ≤ −4 ou 2 ≤ x ≤ 4}. (ii.c) {x ∈ R; x < −4 ou 2 ≤ x < 4}. Questão. 1.8. Não, pois f (2) = f (−6) = 0. A Função Afim Chama-se função afim a toda função f : R → R definida por f (x) = ax + b, em que a e b são números reais. Lembra-se de algo além deste conceito? Talvez se recorde que os coeficientes "a"e "b"são co- mumente, e nesta ordem, chamados coeficientes angular e linear. E das condições de crescimento e decrescimento desta função, sua inversa e condições de existência, e outras propriedades e aplicações? Revisitaremos este e outros temas aqui - em parte porque vale a pena preencher possíveis lacunas ou, eventualmente, corrigir uma ou outra imperfeição que assimilamos ao longo de nosso percurso; além disso, este, afinal é o objeto de seu trabalho como educador. Começaremos com uma situação bem típica, como escolher uma operadora de telefonia. Suponha - e isto não é mais que uma suposição - que as operadoras Telemar e Embratel lançaram ao mercado os seguintes produtos: TELEMAR Aparelho Assinatura mensal R$ 430, 00 R$ 70, 00 EMBRATEL Aparelho Assinatura mensal R$ 690, 00 R$ 50, 00 Qual destas opções é mais vantajosa? Como resposta, experimente descrever cada um desses planos em termos de uma expressão que forneça o montante pago em função do tempo de assinatura. Você sabia? A este trabalho, que busca uma expressão conveniente para a descrição de uma determinada situação, chamamos modelagem matemática. E isto, em campos tão diversos quanto a Medic- ina, a Engenharia de Tráfego, otimização, etc., tem sido um campo bem fértil para pesquisas. Você deve ter obtido expressões do tipo: f (t) = 70t+430 e g(t) = 50t+690, respectivamente. É possível que não se sinta seguro quanto a como se obtiveram estas expressões; neste caso, queira consultar o Apêndice 1, “Modelagem matemática”. Apresentamos ali, um passo a passo com explicações um pouco mais detalhadas sobre esse exemplo específico. Aliás, incluiremos, sempre que necessário, uma seção, ou apêndice, com pormenores adicionais sobre certos cálculos, conceitos, etc. Sinta-se à vontade para consultá-los. 11 Fundamentos da Matemática II que segundo o resultado acima, todos estes, não importa quais deles tomemos, estarão sobre a mesma reta. Uma dica Lembre-se do que já dissemos sobre o coeficiente linear b: ele indica o valor da função f (x) avaliado em x = 0. Isto equivale a dizer que o gráfico de f (x) = ax +b passa pelo ponto (0, b). x y y = ax + b ( )0,b ( ),b a - - 0 Queremos, agora, chamar a atenção para o inverso deste processo; isto é, dado um gráfico - neste caso, uma reta no plano - o nosso trabalho será obter a função afim correspondente. Isto tem numerosas e interessantes aplicações. O exemplo seguinte ilustra este fato. Sabe-se, com base em observações, que o peso de uma criança, na faixa de zero a seis meses, varia linearmente, isto é, o gráfico da função peso P(t) é uma reta. Suponha que aos dois e aos cinco meses a criança apresenta o quadro ao lado: Mês Peso 2◦ 4.450 g 5◦ 6.700 g 4.450 6.700 31 5 t (meses) P (peso em gramas) P2 P1 Note que isto corresponde a dois pontos no plano, a saber, P1(2, 4.450) e P2(5, 6.700). Se uma reta é bem determinada por dois de seus pon- tos, obviamente, deve ser possível, com os dados que temos, P1 e P2, obter a expressão f (t) = at + b, que representa a função. Observe como podemos fazê-lo. Da seguinte identificação y = f (t) = at + b, escrevemos:¨ 4.450 = a · 2 + b 6.700 = a · 5 + b resultando no seguinte sistema de equações:¨ 2a + b = 4.450 5a + b = 6.700 Observe que os valores a determinar, desta vez, são os coeficientes angular e linear da função. Ao resolvê- lo, você terá obtido a expressão que fornece o peso ideal duma criança, em função de sua idade t e seu peso ao nascer, que é: f (t) = 750t + 2.950. Há, de fato, inúmeras outras situações que podem ser modeladas em termos de funções afins. Al- iás, todo e qualquer evento que apresente variação uniforme em função do tempo ou de qualquer outro 14 parâmetro x pode ser expresso mediante uma expressão do tipo f (x) = ax + b. Veremos mais outras aplicações oportunamente. Até agora recapitulamos a definição de função afim. Vimos as implicações de seus coeficientes angu- lar e linear sobre o valor inicial da função, bem como seu crescimento e decrescimento. Consideramos algumas situações que envolvem modelagem matemática em termos destas funções e, por fim, relem- bramos interessantes aspectos sobre como representá-la graficamente e, reciprocamente, como obter sua expressão a partir de seu gráfico. Naturalmente, não esgotamos todo este tópico. Mas esta introdução ao assunto deve servir como um bom ponto de partida para aplicações e conceitos adicionais. 1.12 Sinal de uma Função Afim Nos parágrafos anteriores, examinamos o gráfico de uma função afim. Deste exame, obtemos infor- mações importantes sobre o seu sinal, isto é, quanto aos intervalos em que a função é positiva, negativa ou nula. Em primeiro lugar, vimos que a raiz de uma função do primeiro grau f (x) = ax + b, que corresponde ao valor de x que anula a função, é dado pela solução da equação ax + b = 0, e corresponde a: x = −b a . Para qualquer x diferente deste valor, temos que a função ou é positiva ou é negativa, conforme o crescimento ou decrescimento da função. Considere o exemplo a seguir, em que temos uma função crescente. Seja f (x) = 2x − 6 uma função cuja raiz é, evidentemente, x = 3. Seu gráfico exibimos ao lado. Note como, para valores maiores do que x = 3, o gráfico da função se encontra acima do eixo-x , portanto, a função é positiva. Reciprocamente, para valores menores que 3, a função é negativa. 3 x y -6 3 -6 x y O gráfico ao lado representa desta vez, uma função decrescente: f (x) = −2x+6; note como isto afeta a distribuição de sinais da função. Temos que, para valores maiores do que 3 a função é, desta vez, negativa. Isto naturalmente decorre de esta ser uma função decres- cente. 15 Fundamentos da Matemática II O estudo do sinal de uma função afim de modo algum exige sua representação gráfica. O conhecimento da raiz da função, e do efeito do sinal do coeficiente angular sobre seu crescimento ou decrescimento é o bastante. A V A Applet JAVA Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de uma função afim. 1.13 A Inversa da Função Afim No Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) de Fundamentos de Matemática I, no capítulo sobre funções, vimos um fato fundamental sobre funções bijetoras: elas, e apenas elas, possuem inversa. Con- forme deve lembrar, funções bijetoras são aquelas que estabelecem uma correspondência biunívoca entre seu domínio e seu contra-domínio. Observe como é este o caso de uma função afim, desde que, naturalmente, não seja constante. O modo como obtemos a inversa de uma função afim y = f (x) pode ser descrito como a seguir. Seja y = ax + b. Desejamos, em primeiro lugar, escrever x em função de y . Isto corresponde a isolar a variável x no primeiro membro, e pode ser feito assim: ax + b = y ax = y − b x = y − b a = y a − b a . Obtivemos, aqui, uma nova função x(y) dada pela expressão: x(y) = 1 a · y − b a . Não é comum escrever x como função de y . É meramente uma questão de costume entre nós. Portanto, uma vez obtida a inversa de uma função, intercambiamos as variáveis x e y , de modo a termos y como função de x , como se costuma escrever. Assim, escrevemos a inversa em sua forma final: y(x) = 1 a · x − b a . Evidentemente, não convém decorar esta expressão. Ao contrário, em cada caso, basta que se façam as manipulações algébricas necessárias, como ilustramos abaixo: Seja a função f (x) = 2x + 4. Para obter sua inversa, isolamos a variável x , no primeiro membro, assim: 2x + 4 = y ⇔ 2x = y − 4 ⇔ x = y 2 − 4 2 . donde x = y 2 − 2. 16 (a) ¨ x + y = 5 x − y = 1 (b) ¨ 3x − 2y = −14 2x + 3y = 4 (c) ¨ 2x − 5y = 9 7x + 4y = 10 (d) ¨ 4x + 5y = 2 6x + 7y = 4 (e) ¨ x + 2y = 1 2x + 4y = 3 (f) ¨ 2x + 5y = 0 3x − 2y = 0 1.13. Obter a equação da reta que passa pelos pontos (a) (1, 2) e (3,−2) (b) (2, 3) e (3, 5) (c) (1,−1) e (−1, 2) (d) (3,−2) e (2,−3) 1.14. Obter a equação da reta que passa pelo ponto: (a) (−2, 4) e tem coeficiente angular igual a −3; (b) (−3, 1) e tem coeficiente angular igual a −1 2 ; (c) (−2, 1) e tem coeficiente linear igual a 4; (d) (1, 3) e tem coeficiente angular igual a 2. 1.15. Especificar, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em R. (a) y = 1 + 5x (b) y = x + 2 (c) y = −3x − 2 1.16. Das alternativas abaixo, está correta apenas: (a) Uma função constante é ao mesmo tempo crescente e decrescente; (b) Se uma função afim não é crescente, então ela é decrescente. (c) Se uma função afim não é decrescente, então ela é crescente. (d) Se o conjunto das raízes de uma função constante não é vazio, então é infinito. 1.17. Estudar os sinais das funções, ou seja, para que valores de x a função é positiva, negativa ou nula: (a) y = 2x + 3 (b) y = −3x + 2 (c) y = 4 − x (d) y = 5 + x 1.18. Dada a função f (x) = −2x − 5, é correto dizer que: (a) f não tem raiz, pois o coeficiente de x é negativo; (b) Seu gráfico intersecta o eixo 0x no ponto (−2, 0); (c) Esta função é decrescente; (d) Sua inversa é f −1(x) = − 1 2x − 1 5 . 1.19. Para que valores de x ∈ R a função f (x) = 2 3 − x 3 é negativa? 1.20. Determine m de modo que o gráfico da função f (x) = −2x + 4m + 5, intercepte o eixo-x no ponto de abscissa 3. 1.21. A unidade de um certo produto fabricado por uma indústria tem custo unitário de R$ 11, 00 e sua produção tem um custo fixo de R$ 300, 00, devido a taxas de transporte. Qual o custo de 100 unidades desse produto? 1.22. Construa o gráfico da função: f (x) = ( 3x + 1 , se x ≥ 1 1 , se x < 1 1.23. Paulo resolveu montar uma fábrica de bolsas. Calculou que teria uma despesa de R$ 4.000, 00 com aluguel, manutenção, máquinas, etc., e que o preço de custo de cada bolsa seria R$ 200, 00. Resolveu, então, fixar o preço em R$ 250, 00, para a venda de cada bolsa. Determine: (a) O menor número de bolsas que Paulo deve fabricar para não ter prejuízo 19 Fundamentos da Matemática II (b) A quantidade de bolsas que Paulo deverá fabricar para ter um lucro de R$ 110.000, 00 1.24. Sejam as funções f (x) = 2x + 3, g(x) = 2− 3x e h(x) = 4x − 1 2 definidas em R. Para que valores de x ∈ R, tem-se: (a) f (x) ≥ g(x)? (b) g(x) < h(x)? (c) f (x) ≥ h(x)? (d) Ilustre cada item acima graficamente. Gabarito Questão. 1.12. (a) (3, 2). (b) € − 34 13 , 40 13 Š . (c) (2,−1). (d) (3, 2). (e) ∅. (f) (0, 0). Questão. 1.13. (a) y = −2x + 4. (b) y = 2x − 1. (c) y = − 3 2 + 1 2 . (d) y = x − 5. Questão. 1.14. (a) y = −3x − 2. (b) y = −1 2 x − 1 2 . (c) y = 4x + 9. (d) y = 2x + 1. Questão. 1.15. (a) crescente. (b) crescente. (c) decrescente. Questão. 1.16. d. Questão. 1.17. (a) 8><>: y = 0 ⇒ x = −32y > 0 ⇒ x > − 32 y < 0 ⇒ x < − 3 2 . (b) 8><>: y = 0 ⇒ x = 23y > 0 ⇒ x < 23 y < 0 ⇒ x > 2 3 . (c) ( y = 0 ⇒ x = 4 y > 0 ⇒ x < 4 y < 0 ⇒ x > 4 . (d) ( y = 0 ⇒ x = −5 y > 0 ⇒ x > −5 y < 0 ⇒ x < −5 . Questão. 1.18. c. Questão. 1.19. x > 2. Questão. 1.20. m = 1 4 . Questão. 1.21. R$ 1.400, 00. Questão. 1.23. (a) 80. (b) 2.280 Questão. 1.24. (a) x ≥ − 1 5 . (b) x > 1 2 . (c) ∀ x. A Função Quadrática O aparelho ao lado chama-se osciloscópio. Ele permite visualizar grafi- camente sinais elétricos tais como voltagem e corrente elétrica. a b t I Suponha que ele forneça, num ponto em determinado circuito, o seguinte sinal representado graficamente ao lado. Este é um sinal conhecido como ‘dente de serra’ e tem diversas apli- cações em televisão e outras formas de tratamento de imagens. Observe atentamente o seu gráfico. Localmente, isto é, tomando-se um intervalo adequado - digamos [a, b] - ele representa uma função afim, cujo estudo fizemos no capítulo precedente. Técnicos e engenheiros, em laboratório, ao lidarem com sinais alternados, isto é, variáveis como este, buscam, freqüentemente, um sinal constante - contínuo - que forneça a mesma potência do sinal original. Isto corresponde a obter uma equação quadrática conveniente, do tipo que já examinamos, no ensino médio, há alguns anos. Oportunamente, em seus estudos de cálculo diferencial e integral, você aprenderá como tratar este exemplo específico. Por ora, relembraremos alguns conceitos básicos sobre essa função e veremos algumas de suas aplicações mais comuns. 20 1.17 A Função Quadrática Chamamos função quadrática à relação definida por f (x) = ax2 + bx + c sendo a, b e c , constantes reais, com a 6= 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Embora se possa provar este fato, não o faremos aqui. Apresentamos, porém, uma interessante propriedade que lhe serve de definição: F d P P ∈ Parábola ⇔ di st(P , d) = di st(P , F ) Considere, no plano, uma reta d e um ponto F fora dela. Uma parábola é precisamente o conjunto dos pontos no plano que são eqüidistantes do ponto F e da reta d . O ponto F e a reta d são, respectiva- mente, o foco e a diretriz da parábola. A reta perpen- dicular à diretriz, que passa pelo foco, chamamos de Eixo da parábola. Como fizemos no capítulo precedente, vejamos como os coeficientes a, b, c , numa função quadrática, determinam o seu comportamento. Diferentemente dos coeficientes angular e linear duma função afim, as constantes a, b e c não possuem, na teoria de funções quadráticas, uma designação especial. Elas são comumente chamadas coeficiente de x2, coeficiente de x e termo independente, respectivamente. A interpretação geométrica do termo independente é de to- das, a mais evidente e, portanto, é a que trataremos agora. Tomemos uma função f (x) qualquer, por exemplo f (x) = x2 + 2x + 1. Observe que ao avaliarmos o valor da função em x = 0, obte- mos: f (x) = (0)2 + 2(0) + 1 = 1. -3 -1-2 x y 1 2 1 4 y x1 1 -1 2-2 3 5 7 Tomando uma segunda função f (x) = 2x2 + 3x + 7, e avaliando em x = 0, temos: f (0) = 2 · 02 + 3 · 0 + 7 = 7. Podemos, portanto, verificar que se f (x) = ax2 + bx + c , então, f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c . 21 Fundamentos da Matemática II Considere a função f (x) = x2 − 4 cujo gráfico está exibido ao lado. Note, em primeiro lugar, que sua concavidade é voltada para cima e, portanto, para valores de x situados entre as duas raízes, o valor da função é negativo, sendo positivo nos demais intervalos. Esta breve observação é a base da resolução de inequações do 2◦ grau, conforme veremos abaixo: x y 1 1 -1 2-2 3 2 4 -4 -2 -3 -1 Seja a inequação −x2 + 6x − 5 ≤ 0. O gráfico da função f (x) = −x2 + 6x − 5 pode ser visto a seguir. x y 1 2 4 -2 3 5 + -- x 1 5 + -- Note as raízes desta função, bem como os intervalos onde ela assume valor negativo. Isto nos fornece o seguinte conjunto solução para a inequação: S = {x ∈ R ; x ≤ 1 ∨ x ≥ 5} 1.21 Aplicações Há muitos problemas que podem ser formulados em termos de equações e funções quadráticas. Con- sidere os seguintes: Exemplo 1.1. Um garoto chuta uma bola obliquamente. Sabendo-se que a trajetória da bola é dada pela função f (x) = −x2 + 9x − 8, determine a altura máxima atingida pela bola. Solução: Apenas como ilustração, esboçamos o gráfico da função ao lado, embora não seja isso um requisito inicial para a resolução da questão. O que se requer, nesse caso, é apenas determi- nar o valor máximo da função, que pode ser obtido por se determinar f (xv ). x y 1 2 4 5 -1 -1 8 4 6 8 10 12 Como vimos, f (xv ) = f −b 2a ‹ = f −9 −2 ‹ = f (4, 5) = 12, 25. Exemplo 1.2. Duas torneiras juntas enchem um tanque em 12 horas. Uma delas, sozinha, levaria 10 horas a mais que a outra para enchê-lo. Quantas horas leva cada torneira para encher esse tanque? 24 Solução: Convencionemos que uma das torneiras leva x horas para encher o tanque, e que a outra o faz em x + 10 horas. Assim, em uma hora, cada torneira contribui, respectivamente, com 1 x e 1 x + 10 do volume total do tanque. Como, juntas, elas enchem o tanque em 12 horas, temos que, em uma hora, elas enchem 1 12 do seu volume. Segue que, podemos escrever: 1 x + 1 x + 10 = 1 12 Isto resulta na equação do 2◦ grau: x2 − 14x − 120 = 0, cujas soluções são 20 e −6. Uma vez que não há sentido em x = −6 temos que uma das torneiras enche o tanque em 20 horas, enchendo-o a outra em 20 + 10 + 30 horas. Propriedade Refletora da Parábola Há uma interessante propriedade, conhecida já há muitos séculos como “propriedade refle- tora da parábola”, e que explicaremos aqui da seguinte maneira: Os raios que incidem na parábola, paralelamente ao seu eixo, são refletidos para seu foco F ; e inversamente, os raios, partindo do foco F que são incididos na parábola, são refletidos paralelamente ao seu eixo. F d Eixo F d Eixo Esta propriedade faz com que a parábola tenha várias aplicações práticas. Como exemplo, citamos as conhecidas antenas parabólicas, que concentram num aparelho receptor os débeis sinais vindos de um satélite de televisão. Encontramos uma outra aplicação nos faróis dos automóveis e motocicletas, que são espelhados por dentro. Colocando-se a lâmpada no foco, seus raios são refletidos em feixes paralelos e bem regulares. 1.22 Exercícios Propostos 1.25. Determinar os zeros reais, quando existir, das funções: 25 Fundamentos da Matemática II (a) f (x) = x2 − 3x + 2 (b) f (x) = −x2 + 7x − 12 (c) f (x) = 3x2 − 7x + 22 (d) f (x) = x2 − 2x + 2 (e) f (x) = x2 + 4x + 4 (f) f (x) = −x2 + 3 2 x + 1 (g) f (x) = x2 − 2x − 1 (h) f (x) = −x2 + 3x − 4 (i) f (x) = x2 − √ 2x + 3 2 (j) f (x) = x2 + (1 − √ 3)x − √ 3 (k) f (x) = 2x2 − 4x (l) f (x) = −3x2 + 2 (m) f (x) = 4x2 + 3 (n) f (x) = −5x2 (o) f (x) = x4 − 5x2 + 4 (p) f (x) = −x4 + 5x2 + 36 (q) f (x) = x4 − x2 − 6 (r) f (x) = x4 − 4x2 + 4 (s) f (x) = 2x4 + 6x2 + 4 (t) f (x) = −x4 + 3x2 − 3 (u) f (x) = 3x4 − 12x2 (v) f (x) = x6 − 7x3 − 8 (w) f (x) = −x2 − 9 (x) f (x) = x2 − 9x + 8 (y) f (x) = −x2 + 9x − 8 (z) f (x) = 2x2 + x − 1 1.26. Determinar os valores de m para que a função (a) f (x) = mx2 + (2m − 1)x + (m − 2) tenha dois zeros reais e distintos; (b) f (x) = (m − 1)x2 + (2m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos; (c) f (x) = (m + 2)x2 + (3 − 2m)x + (m − 1) tenha raízes reais; (d) f (x) = mx2 + (m + 1)x + (m + 1) tenha um zero real duplo; (e) f (x) = x2 + (3m + 2)x + (m2 + m + 2) = 0 tenha duas raízes reais iguais; (f) f (x) = (m + 1)x2 + (2m + 3)x + (m − 1) não tenha zeros reais. 1.27. Obter uma equação do segundo grau de raízes: (a) 2 e −3 (b) 1 2 e −3 2 (c) 0, 4 e 5 (d) 1 e − √ 2 (e) 1 + √ 3 e 1 − √ 3 1.28. Estude as seguintes funções, f1(x) = −x2 +2x −1, f2(x) = x2 +3x −2 e f3(x) = 3x2 + 1 2 x +4, quanto a: (a) Intersecção com o eixo-y ; (b) Suas raízes e intersecções com o eixo-x ; (c) Concavidade e pontos de máximo ou mínimo. 1.29. Determinar o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo definidas em R. (a) y = 2x2 + 5x (b) y = −2x2 − 4x (c) y = 2x2 + 4x (d) y = −3x2 + 12x (e) y = 4x2 − 8x + 4 (f) y = x2 − 7x 2 + 5 2 (g) y = −x2 + 5x − 7 (h) y = −x 2 2 + 4x 3 − 1 2 1.30. Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto é máximo. 1.31. Dentre todos os números reais a e b tais que 2a + b = 8 determine aqueles cujo produto é máximo. 1.32. Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima. 1.33. Dentre todos os números de soma 9, determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima. 1.34. Determinar os vértices das parábolas: (a) y = x2 − 4 (d) y = −x2 + 1x 2 + 3 2 (b) y = −x2 + 3x (e) y = −x2 + x − 2 9 (c) y = 2x2 − 5x + 2 (f) y = x2 − 7x 3 − 2 26 A lei de resfriamento de Newton, aplicada a este exemplo, nos diz que na primeira medição a taxa de variação da temper- atura entre o corpo e o ambinete era maior do que se observou na segunda, que, por sua vez, era maior que a taxa de variação na terceira. É evidente, portanto, que a temperatura do corpo decresceu com a passagem do tempo, mas não proporcionalmente. Seu comportamento pode ser ilustrado conforme o esboço gráfico ao lado. 1 Medidas DT 5 11 1 2 3 Funções com este comportamento são ditas exponenciais, e são da forma f (x) = ax . Ela aparece naturalmente na modelagem de problemas de crescimento e decrescimento de popu- lações, em Matemática Financeira e em outros temas que encontram larga aplicação em Medicina, Engen- haria, etc. Antes, porém, de alguns pormenores sobre essa função, convém fazer uma breve recapitulação de potências. 2.2 Potências Em nossos estudos, no ensino médio e no fundamental, lidamos com expressões do tipo 30, 4−7, 5 1 5 , 7 3 5 , 4 √ 3. Curiosamente, não poucos de nós deixamos de nos certificar de que realmente entendemos o sentido destas expressões. De fato, se a nossa noção de potência mn começa no universo dos Naturais, como um produto de n fatores iguais a m, que sentido haveria numa potência de expoente negativo, irracional, fracionário, etc.? É esta a questão que abordamos agora. 2.2.1 Potência de Expoente Natural Dados dois números naturais, a e n, não nulos, definimos an como o produto a · a · . . . · a| {z } n fatores Assim, 32 = 3 · 3 = 9 43 = 4 · 4 · 4 = 64. Desta definição decorrem as familiares propriedades fundamentais das potências de expoente natural. 2.2.2 Propriedades das Potências 1. am+n = am · an 29 Fundamentos da Matemática II 2. am·n = (am)n 3. Se m < n,, então am < an, desde que a seja um número natural. Partindo deste conceito e de suas propriedades, passaremos a definir potência de um expoente real qualquer. Manteremos, no entanto, a seguinte preocupação: qualquer que seja a definição que estabelecermos, desejamos adequá-la às propriedades fundamentais acima. Assim, definimos: 4. a0 = 1. Esta definição é coerente com a propriedade 1, acima, pois, se an = a0+n, então an = a0 · an, donde a0 = 1. Note, embora isto não seja, de algum modo, uma demonstração, ilustra como esta definição, para potências de expoente zero, é coerente com a estrutura de definição e propriedades que estabelecemos. 5. a−m = 1 am . Note, com esta definição, a aplicação da propriedade 1, pois, a−m · am = a0 = 1, donde a−m = 1 am . Mais uma vez, porém, nós lembramos: isto não é uma demonstração. Apenas ilustra a adequação da definição. Podemos, agora, estender a nossa noção de potência a um expoente racional qualquer. Desejamos definir a 1 n de tal modo a adequá-la à propriedade 2, acima citada. Inicialmente, recordemos que, dados dois números naturais a e n é sempre possível obter um número real r = n √ a. Este número é, por definição, a raiz n-ésima de a, e é único. Além disso, vale rn = a. Observemos, agora, a propriedade 2. Se vale essa propriedade, então a = a1 = a 1 n ·n = € a 1 n Šn , donde faz sentido escrever: a 1 n = n √ a Isto nos permite escrever ax , para todo x racional, pois se x = m n , então escrevemos: 6. ax = a m n = (a 1 n )m = n √ am Note como tudo o que definimos verifica e obedece às propriedades fundamentais de potências de expoente natural, que exibimos no início. Encerraremos este parágrafo com um breve comentário sobre potências de expoente irracional. Como exemplo, considere a potência aπ . O expoente aqui π é irracional e, portanto, não se pode escrever em forma fracionária. Qual é, então, o significado de aπ? Na verdade, não é necessária uma nova definição. Basta lembrar, neste caso, que todo número irra- cional pode ser aproximado, de forma arbitrária, por números racionais. 30 A aproximação arbitrária a que nos referimos pode ser ilustrada por √ 2, cujas melhores aproxi- mações racionais com 1, 2, 3, . . . casas decimais são, respectivamente, 1, 41; 1, 414; e etc. Isto sugere que podemos aproximar qualquer número irracional por números racionais tanto quanto quisermos. Estas observações expandem a nossa definição para potências de um expoente real qualquer, e nos deixa bem à vontade para trabalhar com expressões do tipo ax , para quaisquer a, x ∈ R, com a > 0, a 6= 1. 2.3 Equações Exponenciais A equação exponencial caracteriza-se pela presença da incógnita no expoente. Assim, são exemplos de equações exponenciais: (a) 2x = 32 (b) 5−x 2+4 = 25 (c) 3x + 3x+1 − 3x−1 = 11 9 Em qualquer caso, utilizaremos um fato fundamental na resolução destas equações: Se ax = ay , então x = y . Qualquer que seja a equação, tentaremos, de algum modo, reduzí-la a uma igualdade de potências de mesma base. Assim, considere o primeiro exemplo: 2x = 32. Note que o segundo membro pode ser reduzido a uma potência de 2, pois, de fato, 32 = 25. Segue que: 2x = 32 = 25, donde x = 5. Resolvendo o segundo exemplo, nós temos: 5−x 2+4 = 125 ⇔ 5−x2+4 = 53, donde obtemos −x2 + 4 = 3. Resolvendo esta equação do 2◦ grau, obtemos x = −1, ou x = 1, e isto conclui a resolução. Alguns exemplos só podem ser resolvidos mediante o uso de algum artifício, como no caso 3x + 3x+1 − 3x−1 = 11 9 . Em primeiro lugar, note que o termo 3x é comum a todas as parcelas do primeiro membro. Então, trataremos de colocá-lo em evidência. Utilizando as propriedades de potências, obtemos: 3x + 3x · 3 − 3x · 3−1 = 11 9 . É conveniente, aqui, efetuar a seguinte substituição: y = 3x , donde y + 3y − y 3 = 11 9 31 Fundamentos da Matemática II 2.6 Aplicações Poderíamos encher diversos volumes com aplicações da teoria de funções exponenciais. Como afirmado no início, suas aplicações penetram campos tão diversos quanto a Engenharia, Biologia, Medicina, Criminalística, Medicina veterinária, Economia, Arqueologia, etc. Nos exemplos que seguem, sugerimos que não se concentre na modelagem do problema. Em outros termos, não estaremos preocupados em entender como se chegou à expressão que o representa matematicamente. Faremos isto oportunamente, numa disciplina futura. Nosso objetivo, por ora, é ilustrar as suas muitas aplicações. Assim, examine a seguinte situação: Suponha que um poderoso anestésico seja utilizado em guepardos por veterinários nas savanas do Serengueti. Isto, de fato, acontece em seu trabalho de prevenção de zoonoses. Considere que: (a) um guepardo fica anestesiado quando a concentração em sua corrente sanguínea é de, pelo menos, 45 mg de anestésico por quilo de peso do animal; (b) a droga é eliminada exponencialmente, com uma meia vida de 5 horas (meia vida é o tempo necessário para que a concentração de anestésico se reduza à metade da original). (c) a equipe de veterinários tem apenas uma hora para examinar o animal antes que passem os efeitos da droga. Nestas condições, e supondo que se aplique uma dose única de 2.500 mg a um guepardo de 50 kg , a equipe poderá trabalhar em segurança? Solução: Em primeiro lugar, note que, em 1 hora, o nível de segurança de anestésico na corrente sanguínea do animal deve ser de (50 · 45) mg = 2.250 mg . Designemos por f (t) a quantidade de anestésico no tempo t. Os dados acima nos permitem modelar o problema e obter a seguinte expressão: f (t) = 2500 · e−0,138t . Avaliando o valor da função f em t = 1h, obtemos f (1) ≈ 1.090, 95 g , que é uma concentração menor do que seria necessária para manter o animal anestesiado durante uma hora. Não nos preocuparemos, aqui, com o modo como modelamos este e outros problemas en- volvendo exponenciais. Isto será abordado com mais pormenores oportunamente. O mais importante, neste estágio, é perceber suas muitas aplicações. Um Segundo Exemplo Um perito criminalista chegou à 1 h da madrugada ao local dum assassinato, tomando imediatamente a temperatura do corpo da vítima, que era de 34, 8◦C . Uma hora mais tarde, ele tomou novamente a 34 temperatura do corpo, obtendo 34, 1◦C . Uma testemunha afirmou que a morte se deu, precisamente, à meia-noite. Sabendo-se que a temperatura do aposento onde se encontravam era de 20◦C , e que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36, 5◦C , verifique se a testemunha disse a verdade. Solução: Chamemos de T (t) a temperatura do corpo num tempo t, qualquer. Os dados acima nos permitem modelar o problema e obter a seguinte expressão: T (t) = 20 + 14, 8 · e−0,048t . Considerando o instante da chegada da equipe de investigação 1 hora da madrugada, como referência, isto é, como t = 0, temos, naturalmente, que o horário alegado pela testemunha corresponde a t = −1. Calculando a temperatura correspondente a t = −1, obtemos: T (−1) ≈ 35, 53◦C , donde concluímos que a morte deve ter ocorrido em algum tempo antes da meia-noite. E, portanto, a testemunha não disse a verdade. 2.7 Exercícios Propostos 2.1. Construir os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais: (a) y = 3x (b) y =  1 3 ‹x (c) y = 10x (d) y = 10−x 2.2. Construir os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais: (a) y = 21−x (b) y = 3 x+1 2 (c) y = 2|x| (d) y =  1 2 ‹2x+1 (e) y =  1 2 ‹|x| 2.3. Resolva as seguintes equações: (a) (2x)x−1 = 4 (b) 9x+1 x−1 = 3x 2+x+4 (c) 23x+2 ÷ 82x−7 = 4x−1 2.4. Em cada caso, determine o valor de x . (a) (0, 1)x−5 = 10 (b) 10x = 10−0,2 · 4 √ 10 (c) 33x−1 · 93x+3 = 273−x (d) 32x − 6 · 3x = −9 (e) 125x = 0, 04 (f) 72x + 52x = 2.35x (g) 4x + 6x = 2 · 9x 2.5. Determine o conjunto solução das inequações a seguir. (a) 251−x < 1 5 (b) 0, 84x 2−x > 0, 83x+3 (c) 2 2x−3 x−1 ÷ 32 1x+1 > 4 2.6. Se y = 10x é um número entre 1.000 e 10.000, então x está entre: (a) −1 e 0 (b) 2 e 3 (c) 3 e 5 (d) 5 e 10 (e) 10 e 100 2.7. Se f (x) = 4x+1 e g(x) = 4x , a solução da inequação f (x) > g(2 − x) é: (a) x > 0 (b) x > 0, 5 (c) x > 1 (d) x > 1, 5 (e) x > 2 2.8. Considere as funções (f ) = 2x e g(x) = 2x . (a) Esboce-as num mesmo sistema de coordenadas (b) Baseado nos gráficos do item acima, resolva a inequação 2x ≤ 2x (c) Qual é o maior destes números: 2 √ 2 ou 2 √ 2? Por quê? 35 Fundamentos da Matemática II 2.9. Determine os domínios das funções f (x) = √ 2x − 64 e g(x) = 5√ 25 − 5x . 2.10. Simplificando-se a expressão 350 − 348 25 − 23 , obtém-se (a) 3 2 (b) 9 4 (c) 347 (d) 349 24 2.11. Sobre a função exponencial f (x) = ax , é correto afirmar que: (a) Seu domínio é o conjunto dos reais positivos; (b) A função é decrescente se o valor de for negativo; (c) O gráfico da função não intersecta o eixo−x ; (d) O gráfico da função não intersecta o eixo−y . 2.12. Meia vida de uma substância é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade. Suponha que, hoje, temos 16 gramas de uma substância radioativa, cuja meia vida é de 5 anos. Supondo que a concentração da substância tenha um decrescimento exponencial dado por C (t) = C0 · at , e que, daqui a t anos, sua massa será 2−111 gramas, o valor de t é: Sugestão: Note que em t = 0, C0 = 16 e que C (5) = 8. Obtenha então a = 5 É 1 2 . Em seguida resolva 16 ‚ 5 r 1 2 Œt = 2−111 2.13. Calcule o valor de x que satisfaz a equação 9x = 729 √ 3x . Sugestão: Inicialmente, fatore o termo 729 e, então, escreva √ 3x como 3 x 2 . Você recairá num daqueles casos elementares que incluímos no texto como exercícios resolvidos. Gabarito Questão. 2.3. (a) S = {−1, 2}. (b) S = {−2, 3}. (c) S = {5}. Questão. 2.4. (a) 4. (b) 1 20 . (c) 1 3 . (d) 1. (e) − 2 3 . (f) 0. (g) 0 Questão. 2.5. (a) S =  x ∈ R; x > 3 2 © . (b) S =  x ∈ R; − 1 2 < x < 3 2 © . (c) S =  x ∈ R; x < −1 ou 2 3 < x < 1 © . Questão. 2.6. c. Questão. 2.7. b. Questão. 2.8. (b) S = {x ∈ R; 1 ≤ x ≤ 2}. (c) 2 √ 2 > 2 √ 2. Como √ 2 ∈ (1, 2) e pelo item (b) 2x < 2x, ∀x ∈ (1, 2). Questão. 2.9. Dom(f ) = {x ∈ R; x ≥ 6}, Dom(g) = {x ∈ R; x < 2}. Questão. 2.10. c. Questão. 2.11. c. Questão. 2.12. 575. Questão. 2.13. x = 4. Função Logarítmica 2.8 Apresentação No capítulo precedente consideramos o seguinte problema: Um perito criminalista chegou à 1 h da madrugada ao local dum assassinato, tomando imediatamente a temperatura do corpo da vítima, que era de 34, 8◦C . Uma hora mais tarde, ele tomou novamente a temper- atura do corpo, obtendo 34, 1◦C . Uma testemunha afirmou que a morte se deu, precisamente, à meia-noite. 36 P8. logam n = 1 m loga n Deixaremos a demonstração desta propriedade como exercício. A última propriedade que apresentamos, na verdade, consiste em um procedimento bastante útil em diversas aplicações. P9. Mudança de base: logm n = loga n loga m Também neste caso, podemos fazer uma aplicação direta da definição e das demais propriedades fundamentais de potências para provar que m loga n loga m = n. Omitiremos os detalhes aqui. Esta propriedade serve a um propósito bastante freqüente. As modernas calculadoras científicas possuem teclas que permitem calcular logaritmos nas bases 10 e e. Considere, então, o problema de calcular log9 2. Utilizando a propriedade acima, obtemos: log9 2 = log 2 log 9 , que é uma razão dos logaritmos de 2 e 9 na base 10. Uma sugestão é que não decore estas propriedades. Provavelmente notou como todas elas foram testadas utilizando-se a definição e o que sabemos sobre as propriedades fundamentais de potências. Suponha, como exemplo, que desejamos obter o valor de x em 3x = 5. Obviamente, temos que, por definição, x = log3 5. Se, porém, nós dispomos, apenas, de uma tábua de logaritmos - ou mesmo uma máquina de calcular - com logaritmos na base 10, podemos escrever log 3x = log 5, donde x · log 3 = log 5 e, portanto, x = log 5 log 3 . 2.10 Equações Logarítmicas Como fizemos no capítulo precedente, utilizaremos aqui tanto a definição quanto as propriedades op- eracionais de logaritmos para resolver equações. Como verá, em alguns casos, uma mera aplicação da definição é o bastante para fornecer-nos a solução. Note os exemplos: (a) log6 2x = 2. Observe como, neste caso, é suficiente escrever, por definição, 62 = 2x 39 Fundamentos da Matemática II e, então, obtemos x = 18. Queremos, agora, chamar-lhe a atenção para um detalhe bastante freqüente na resolução de equações logarítmicas. Com isto em mente, queira examinar o exemplo seguinte: (b) logx(6 − 5x) = 2 Aqui, temos que, por definição, x2 = 6 − 5x , donde x2 + 5x − 6 = 0. A equação logarítmica acima resultou numa equação do 2◦ grau, cujas raízes são x1 = 1 e x2 = −6. Atente, apenas, à seguinte ressalva: as raízes que obtivemos acima satisfazem à equação do segundo grau x2 + 5x − 6 = 0, podendo, talvez, não satisfazer à equação logarítmica. E é o que acontece aqui, pois, aplicando- se à equação logarítmica a segunda raiz, x2 = −6, deixa-se de satisfazer uma condição básica de existência dos logaritmos: tanto a base quanto o logaritmando devem ser positivos. Assim, antes mesmo de iniciar a resolução duma equação logarítmica, convém estabelecer as condições de existência que as soluções porventura encontradas devem satisfazer. O exemplo abaixo, mais que a aplicação da definição, exige a utilização de algumas das propriedades que examinamos: (c) log5 x − log5(2x − 1) = 1 As condições de existência nos dizem que: (I) x > 0; (II) 2x − 1 > 0 e, portanto, x > 1 2 . Note que qualquer solução que encontrarmos deve satisfazer a ambas as condições, acima. Por outro lado, observe que a segunda condição verifica a primeira, donde concluímos que a condição de existência é: x > 1 2 . Esta é a condição que qualquer solução que encontrarmos deve satisfazer. A diferença de logaritmos de mesma base nos leva a pensar na propriedade P5., logaritmo do quociente. Aplicando-a, obtemos: log5 x 2x − 1 = 1 = log5 5. donde x 2x − 1 = 5. Desenvolvendo esta igualdade, obtemos uma equação do primeiro grau, cuja solução é x = 5 9 . Como é fácil de demonstrar, 5 9 > 1 2 e, portanto, S = 5 9 . 2.11 A Função Logarítmica Definimos função logarítmica como a função f : R∗+ → R; f (x) = loga x , a > 0, a 6= 1. Deve ter notado que os conceitos de potência e logaritmo estão estreitamente relacionados. Aliás, por definição, temos que, se y = ax , então x = loga y , donde concluímos que a função logarítmica é a inversa da função exponencial. Isto ficará bem evidente ao examinarmos, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos de ambas as funções. 40 2.12 Gráfico da Função Logarítmica Seja a função f (x) = log3 x . Como no capítulo prece- dente, observe que colocando-se os dados obtidos da tabela, com valores de x e log3 x , num sistema de coor- denadas cartesianas, podemos esboçar o gráfico de f (x). x 13 1 3 9 f (x) = log3 x −1 0 1 2 x y f(x) = log x 3 1 3 5 7 9 1 3 -3 -1 Observe que o gráfico desta função não intersecta o eixo das ordenadas; isto se traduz dizendo-se que a função não está definida para x = 0, e é compatível com a nossa definição. Note, também, o seu crescimento. Poderíamos estabelecer alguma relação entre o cresci- mento ou decrescimento de uma função logarítmica e o valor de sua base? Compare o gráfico do exemplo anterior com o da função f (x) = log 1 3 x . Tabelando-se os valores, podemos obter o gráfico ao lado: x 13 1 3 9 f (x) = log 1 3 x 1 0 −1 −2 x y 1 3 5 7 9 1 -3 -1 3 f(x) = log x1 3 Desta vez, note que, similarmente, o gráfico da função não intersecta o eixo Oy ; além disso, a função é decrescente, o que evidentemente se deve ao valor da sua base. Generalizando, podemos afirmar que: Numa função logarítmica f (x) = loga x , f é decrescente se, e somente se, 0 < a < 1, e é crescente se, e somente se, a > 1. Estas condições de crescimento e decrescimento de uma função logarítmica nos permite abordar a resolução de inequações logarítmicas. A V A Applet JAVA Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, gráficos de funções logarítmicas. 2.13 Inequações Logarítmicas Resolver uma inequação logarítmica observa os mesmos métodos e critérios da resolução de equações. Também aqui se devem estabelecer, previamente, as condições de existência, como no exemplo a seguir: (a) log2 4x < 3 41 Fundamentos da Matemática II Funções Trigonométricas Trigonometria A presença das funções periódicas nas nossas vidas é percebida quando, por exemplo, observamos um eletrocardiograma, o lançamento de uma pedra no lago e sinais de ondas de rádio, etc. Estas funções geralmente possuem em suas expressões as funções: f (x) = sen(x), f (x) = cos(x), f (x) = tg(x), que definem, respectivamente, as funções seno, cosseno e tangente. Convém fazer uma breve revisão desses temas. 3.1 Relações Trigonométricas Fundamentais Vimos, no ensino médio e fundamental, que as relações do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo derivam de um triângulo retângulo. Recordemos estes conceitos apenas ao ponto de podermos introduzir as funções trigonométricas correspondentes. Dois triângulos são semelhantes, se e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congru- entes e os lados homólogos proporcionais, ou seja, ∆ABC ∼ ∆A′B ′C ′ m (α ≡ α′, β ≡ β′, γ ≡ γ′) ∧ € AB A′B′ = AC A′C ′ = BC B′C ′ Š em que o símbolo ‘∼’ é usado pra indicar a relação de semelhança. a b g a’ b’ g’ A B C A’ B’ C’ Consideremos os triângulos retângulos semelhantes abaixo: A B C a ‘ ‘ ‘ ‘A B C a Pela semelhança escrevemos: AB A′B ′ = AC A′C ′ = BC B ′C ′ ou ainda: AB AC = A′B ′ A′C ′ , BC AC = B ′C ′ A′C ′ e BC AB = B ′C ′ A′B ′ 44 Observe que estas relações dependem apenas do ângulo α, e não dos comprimentos envolvidos. São, portanto, funções de α, a que atribuímos, respectivamente, os nomes cosseno, seno e tangente. Assim, dado um ângulo α, em que 0 < α < 90◦, definimos: cos(α) = AB AC , sen(α) = BC AC , tg(α) = BC AB Portanto, as razões entre estes segmentos definem, no triângulo retângulo, as relações trigonométricas. Os segmentos de reta AB e BC são chamados de cateto adjacente e cateto oposto ao ângulo α e o segmento AC é chamado de hipotenusa. Durante muito tempo, tabelas trigonométricas com os valores de cossenos, senos, e tangentes de diver- sos arcos ou ângulos, foram utilizadas para consulta. Graças a estas tabelas que entusiastas conseguiam estimar as medidas de segmentos que não se poderia obter de maneira direta. Por exemplo, os gregos fizeram uma estimativa para o raio da terra, utilizando-se o raciocínio a seguir: De uma torre bem alta com base em A e topo em B, de altura h, construía- se, de forma imaginária, uma reta t que passava por B e um ponto C qualquer do horizonte. Então, era feita uma estimativa da medida do ân- gulo α formado pelas retas r e a que passa pelos pontos A e B. Como o prolongamento do segmento AB passa pelo ponto O (centro da Terra), obtemos assim o triângulo ∆OBC , retângulo em C , conforme ilustração ao lado. B O C h r r a A t Sendo ( OC = r OB = r + h em que r corresponde ao raio da terra. Portanto, sen(α) = r r + h e então r = h · sen(α) 1 − sen(α) . Desejamos, agora, estender estes conceitos a ângulos de medida qualquer. Observe que as nossas definições, até aqui, baseiam-se todas em ângulos internos de um triângulo retângulo e, portanto, referem- se única e exclusivamente a ângulos agudos. Considere, então, um círculo orientado unitário, isto é, de raio r = 1, a cujos pontos faremos corresponder à medida do ângulo α nele inscrito, e cujo centro faremos coincidir com a origem dum sistema cartesiano de coordenadas, como na figura ao lado. O triângulo AOB é retângulo em A, donde podemos escrever as seguintes relações: sen(α) = AB OB , cos(α) = OA OB , tg(α) = AB OA O B x a y A 1 45 Fundamentos da Matemática II Nota 5. Note que: (i) A hipotenusa OB coincide com o raio do círculo, que possui medida 1 uc (unidade de com- primento). Desta forma, podemos escrever, simplesmente, o seno e o cosseno do ângulo α como: sen(α) = AB, cos(α) = OA (ii) Os comprimentos AB e AO coincidem com as coordenadas do ponto B, no plano, de modo que faz sentido, então, definir: cos(α) = xB (abscissa do ponto B) sen(α) = yB (ordenada do ponto B) tg(α) = sen(α)cos(α) se cos(α) 6= 0. Isto estende os conceitos do seno, do cosseno e da tangente para ângulos de qualquer medida. No que consideramos acima, deve ter ficado evidente que o sentido positivo, no círculo, corresponde ao sentido anti-horário, e que o ponto A, de intersecção com o eixo das abscissas, corresponde ao ângulo α = 0. Comumente é adotado no círculo orientado, uma outra medida para ângulos: o radiano (rad) que, a rigor, pode ser assim definido: A medida de um ângulo α em radianos é dada pela razão entre o comprimento do arco ℓ determinado pelo ângulo, em um círculo cujo centro corresponde ao vértice do ângulo, e o comprimento do raio deste círculo, ou seja, α = ℓ r . a r l Num círculo de raio unitário, podemos simplificar esta definição, simplesmente, dizendo que um radiano corresponde, no círculo, a um arco de comprimento 1. O comprimento C de uma circunferência é dado em função de seu raio r através da seguinte relação: C = 2πr . Segue que a medida do ângulo em radianos correspondente a uma volta completa em torno de um círculo é 2π, pois: α = ℓ r = 2πr r = 2π. Através de uma regra de três simples e direta, estabelecemos: 180◦ ⇔ π rad Agora é sua vez Pense em como escreveria, em radianos, os ângulos de 30◦, 45◦ e 60◦. Deve ter ficado evidente haver uma correspondência entre os pontos no círculo orientado e os pontos da reta real compreendidos entre 0 e 2π. Seria interessante estender esta correspondência de modo a 46 côngruos da forma x +2kπ, isto é, pontos coincidentes no círculo que, naturalmente, fornecem os mesmos valores para o seno e cosseno. Isto define as funções seno e cosseno como periódicas, de período 2π. Em termos simples, dizemos que, a cada intervalo de comprimento 2π, os valores destas funções se repetem. Matematicamente, escrevemos sen(x) = sen(x + 2kπ) e cos(x) = cos(x + 2kπ) Podemos, portanto, ter uma boa idéia do comportamento global destas funções se examinarmos seu comportamento no intervalo [0, 2π]. Consideremos a função seno, f (x) = sen(x). Atribuindo-se valores 0, π 4 , π 2 , π, 5π 4 , 3π 2 e 2π para x , temos a tabela de pontos: x 0 π4 π 2 π 5π 4 3π 2 2π f (x) = sen(x) 0 √ 2 2 1 0 − √ 2 2 −1 0 O seu gráfico, para valores restritos a esse intervalo é: 1 -1 f(x) = sen (x) x2p pp 2 . 3p 2 . 2pPeríodo p 4 . p 4- { sen( )p4- 5p 4 .{ sen( )5p 4- Fazendo o mesmo para a função cosseno, obtemos seu gráfico: 1 -1 f(x) = cos (x) x2p p p 2 . 3p 2 . 2pPeríodo 49 Fundamentos da Matemática II Nota 6 (Paridade das funções seno e cosseno). Considere um ângulo α com extremidade no primeiro quadrante. Naturalmente, temos que o ângulo −α está localizado no quarto quadrante, conforme ilustração abaixo. Como os triângulos ∆AOM e ∆BOM são congruentes, temos que: ( sen(α) = yA = −yB = − sen(−α) cos(α) = xA = xB = cos(−α) Portanto, a função seno é uma função ímpar, enquanto que a função cosseno é uma função par. a - a A B O M A V A Applet JAVA Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, gráficos de algumas funções trigonométricas. 3.4 Outras Funções Trigonométricas As funções seno e cosseno são, dentre as funções trigonométricas, as mais elementares no seguinte sentido: todas as demais derivam delas a sua definição. Assim, definimos abaixo as funções: tangente, cotangente, secante e cossecante, representando, em seguida, o gráfico correspondente. 1 -1 f(x) = tg(x) x2pp p 2 . 3p 2 . pPeríodo f (x) = tg(x) = sen(x) cos(x) 1 -1 f(x) = cotg(x) x2pp p 2 . 3p 2 . pPeríodo f (x) = cotg(x) = 1 tg(x) = cos(x) sen(x) 50 1 -1 f(x) = cossec (x) x2p p p 2 . 3p 2 . -p -2p p 2 . - 3p 2 . - 2pPeríodo2pPeríodo sen (x) f (x) = cossec(x) = 1 sen(x) 1 -1 f(x) = sec (x) x2p p p 2 . 3p 2 . -p-2p p 2 . - 3p 2 . - 2pPeríodo2pPeríodo cos (x) f (x) = sec(x) = 1 cos(x) 51 Fundamentos da Matemática II 8><>: x7 < x5 < x3 ⇔ 0 < x < 1 ou x < −1x7 = x5 = x3 ⇔ x = ±1 x7 > x5 > x3 ⇔ −1 < x < 0 ou x > 1 A figura ao lado apresenta, num mesmo sistema de co- ordenadas, os gráficos das funções: f (x) = x3, g(x) = x5 e h(x) = x7. Observe que, neste caso, as imagens das funções po- dem assumir valores negativos, fato que não é possível quando a potência tem expoente par. x y f(x) = x³ g(x) = x 5h(x) = x 7 A V A Applet JAVA Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de uma função potência qualquer. 4.3 Funções Definidas por mais de uma Sentença Dizemos que as funções definidas por mais de uma sentença, são as funções da forma: f (x) = 8>>><>>>: S1(x), C1S2(x), C2... Sn(x), Cn em que cada Si(x) é uma sentença sujeita à condição Ci , ou seja, cada condição será o domínio para a respectiva sentença. Assim, f (x) = 8><>: −1, x < −1x , −1 ≤ x < 12, x ≥ 1 é um exemplo de uma função definida por três sentenças em que S1(x) = −1, S2(x) = x e S3(x) = 2, e suas respectivas condições: C1 : x < −1, C2 : −1 ≤ x < 1 e C3 : x ≥ 1. Seu gráfico é facilmente construído, se olharmos para ela como sendo três funções distintas, que serão as sentenças, com seus respectivos domínios, as condições. Veja ilustração abaixo: 54 y x y x y x Unindo os gráficos acima, num mesmo sistema de coorde- nadas, temos o gráfico da função: f (x) = 8><>: −1, x < −1x , −1 ≤ x < 12, x ≥ 1 conforme ilustra a figura ao lado x y 1 1 4.4 Função Modular A função módulo, f (x) = |x |, é a função f : R → R em que a cada x ∈ R associa um único número real |x |. Da definição de módulo (ou valor absoluto) de um número real, escrevemos: f (x) = |x | = ( x , x ≥ 0 −x , x < 0 Gráfico: Note que a função modular é uma função definida por sentenças. Assim, seu gráfico é obtido a partir da construção das funções S1(x) = x , se x ≥ 0 e S2(x) = −x , se x < 0 como a figura ao lado. x y -a a a Exemplo 4.1. Consideremos a seguinte função f (x) = x2 − 4 . Pela definição de módulo, dada acima, escrevemos: f (x) = x2 − 4 = ( x2 − 4, se x2 − 4 ≥ 0 −(x2 − 4), se x2 − 4 < 0 = ( x2 − 4, se x2 ≥ 4 −x2 + 4, se x2 < 4 Para construirmos o gráfico desta função, é suficiente que construamos o gráfico das funções S1(x) = x2−4 e S2(x) = −x2 + 4, sujeitas às condições C1 : x2 ≥ 4 e C2 : x2 < 4, respectivamente. Assim, será preciso obter os intervalos em x para essas duas condições, ou seja, a solução destas inequações serão os domínios de cada sentença. 55 Fundamentos da Matemática II Como solução para as inequações C1 : x 2 − 4 ≥ 0 e C2 : x2 − 4 < 0 temos, respectivamente, x ≤ −2 ou x ≥ 2 e − 2 < x < 2. x + - + -2 2 Desta forma, reescrevemos f (x) = x2 − 4 = ( x2 − 4, se x ≤ −2 ou x ≥ 2 −x2 + 4, se −2 < x < 2 Segue o gráfico abaixo y x2-2 S1(x) = x 2 − 4, se x ≤ −2 ou x ≥ 2 y x2-2 S2(x) = −x2 + 4, se − 2 < x < 2 y x2-2 f (x) = x2 − 4 A V A Applet JAVA Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de algumas funções modulares. 4.5 Função Polinomial São exemplos de funções polinomiais, as funções afins e quadráticas. Uma função polinomial, ou simplesmente um polinômio, tem a forma: f (x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a2x2 + a1x + a0 em que n é um número natural, e os números a0, a1, a2, . . . , an são constantes denominadas coeficientes do polinômio. O domínio desta função é R. Se o coeficiente do termo de maior potência é não nulo, isto é, an 6= 0, então o polinômio é dito de grau n. Assim, por exemplo, os polinômios p(x) = 7x − 3, f (x) = −x2 + x + 1 e g(x) = 3x5 + √ 2x3 − x + 2 são polinômios de graus 1, 2 e 5, respectivamente. Vimos que não há dificuldades em esboçar gráficos de funções polinomiais de graus um e dois. O mesmo não se pode dizer para um polinômio de grau n ≥ 3. Na disciplina Cálculo I, veremos algu- mas técnicas (limites e derivadas) que nos são úteis para esboçar o gráfico de uma função polinomial de grau qualquer. No entanto, além da função potência f (x) = x3, podemos construir facilmente gráficos de algumas funções definidas por polinômios de grau três, fatorando-os num produto de fatores lineares. Primeiramente, um polinômio de grau 3 tem a forma f (x) = ax3 + bx2 + cx + d , a 6= 0, 56 x y -2 1 -1 -1 x y -2 1 -1 1 A V A Applet JAVA Consulte o AVA para visualizar e manipular, num Applet Java, o gráfico de algumas recíprocas. 4.7 Exercícios Propostos 4.1. Transforme as funções na forma de sentenças e, em seguida, esboce seus gráficos. (a) f (x) = |2x − 1| + 2 (b) f (x) = |x | + 2 (c) f (x) = |x | − 2 (d) f (x) = |2x − x2| (e) f (x) = x2 − 3|x | + 2 (f) f (x) = | sen(x)| (g) f (x) = | cos(x)| (h) f (x) = k − |x − k |, k > 0 (i) f (x) = |x − 1| + x − 3 (j) f (x) = |x + 1| + x − 2 4.2. Esboce os gráficos das seguintes funções polinomiais. (a) f (x) = x3 − 3x2 + 2x (b) f (x) = x4 − 5x3 + 6x2 (c) f (x) = x4 − x2 (d) f (x) = x3 − x2 − 9x + 9 4.3. Determine os domínios e esboce os gráficos das funções a seguir. (a) f (x) = 1 x2 (b) f (x) = 1 (x − 1)2 (c) f (x) = 1 (x + 1)2 (d) f (x) = 1 |x | Gabarito Questão. 4.1. (a) f (x) = ( 2x + 1, se x ≥ 1 2 −2x + 3, se x < 1 2 . (b) f (x) = n x + 2, se x ≥ 0 −x + 2, se x < 0 . (c) f (x) = n x − 2, se x ≥ 0 −x − 2, se x < 0 . (d) f (x) = n 2x − x2, se 0 ≤ x ≤ 2 x2 − 2x, se x < 0 ou x > 2 . (e) f (x) = n x2 − 3x + 2, se x ≥ 0 x2 + 3x + 2, se x < 0 . (f) f (x) = n sen(x), se 2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ, k ∈ Z − sen(x), se x < 2kπ ou x > π + 2kπ, k ∈ Z . (g) f (x) = ¨ cos(x), se − π 2 + 2kπ ≤ x ≤ π 2 + 2kπ, k ∈ Z − cos(x), se x < −π 2 + 2kπ ou x > π 2 + 2kπ, k ∈ Z . (h) f (x) = n 2k − x, se x ≥ k x, se x < k . (i) f (x) = n 2x − 4, se x ≥ 2 4 − 2x, se x < 2 . (j) f (x) = n 3x − 1, se x ≥ −1 −3, se x < −1 . Questão. 3.3. (a) R − {0}. (b) R − {1}. (c) R − {−1}. (d) R − {0}. 59 Fundamentos da Matemática II Atividade Orientada O material que abrangemos neste volume consiste, basicamente, numa revisão de conceitos e pro- priedades já explorados no ensino médio. Considerando as muitas lacunas deixadas quando se estudam estes tópicos, pela primeira vez, entendemos válida e plenamente justificada esta revisão. Isto, certa- mente, confere uma visão mais geral e abrangente destes temas, além de tornar mais claras as suas inter-relações. Entretanto, não seria, de modo algum, adequado limitarmo-nos a uma mera revisão de conceitos. Com este propósito, concebemos um bloco de atividades que exigem, além de um razoável conhecimento destes temas, uma cuidadosa reflexão para sua análise e resolução. Esclarecemos que estas atividades têm caráter, acima de tudo, educativo, embora integrem o sistema de avaliação neste curso. Desejamos- lhe boa sorte. 5.1 Etapa 1 5.1.1. Nosso primeiro trabalho consiste num exemplo bem simples de modelagem. A situação envolve uma operadora de telefonia e seu sistema de tarifação. Suponha que desejamos formular matematica- mente uma expressão que forneça o valor de uma conta em função dos chamados “pulsos além franquia”. Considere que tudo o que temos são duas contas, cada uma delas contendo os “pulsos além franquia” e o correspondente valor cobrado, conforme a tabela seguinte. Lembre-se que o valor total da conta equivale ao custo relativo aos “pulsos além franquia”, mais uma assinatura mensal. Pulsos além franquia Valor total da conta Conta 1 35 R$ 75, 00 Conta 2 65 R$ 92, 00 Supondo que a relação entre pulsos e o correspondente valor cobrado seja dada por uma função afim, pede-se: (a) A função correspondente a este exemplo. (b) O valor da assinatura cobrado pela operadora. 5.1.2. Uma companhia de telefones celulares oferece a seus clientes duas opções: na primeira opção, cobra R$ 38, 00 pela assinatura mensal e mais R$ 0, 60 por minuto de conversação; na segunda, não há taxa de assinatura, mas o minuto de conversação custa R$ 1, 10. (a) Qual a opção mais vantajosa para um cliente que utiliza em média 1 hora de conversação mensal? (b) A partir de quanto tempo deve-se optar pela primeira opção? 5.1.3. Há muitos anos uma professora do ensino fundamental adotava o seguinte critério como nota de participação no bimestre: todo aluno começava com 10; quando ele deixava de fazer uma tarefa ou apresentava um comportamento inadequado em aula, recebia um negativo, perdendo 0, 4 na nota. (a) Qual seria a nota de participação de um aluno que recebesse 7 negativos no bimestre? (b) Em geral, como se expressaria a nota n de participação de um aluno que recebesse x negativos? 5.1.4. Para certo automóvel considere: 60 I. O consumo de combustível C (número de litros necessários para percorrer 100 km). II. A velocidade média v (em quilômetros horários). Determinou-se que C é uma função de v ; dada por C (v) = v2 200 − 3v 5 + 26; para v entre 45 km/h e 125 km/h. Nessas condições, qual é a velocidade média correspondente a um consumo igual a 10 litros? 5.1.5. Uma malharia familiar fabrica camisetas a um custo de R$ 2, 00 por peça e tem uma despesa fixa semanal de R$ 50, 00. Sabe-se que são vendidas x camisetas por semana ao preço de 22 3 − x 30 reais a unidade. Nessas condições: (a) Obtenha a lei que define o lucro L dessa malharia. (b) Especifique quantas camisetas deverão ser vendidas por semana para se obter o maior lucro possível. 5.1.6. Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram no mesmo dia, foram tratadas desde o início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento, em centímetros, dessas plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o gráfico que representa o crescimento da planta A é uma reta passando por (2, 3) e o que representa o crescimento da planta B pode ser descrito pela lei matemática y = 24x − x2 12 . Um esboço desses gráficos está representado na figura abaixo. Sendo assim determine: (a) A equação da reta que representa o crescimento da planta A. (b) O dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e qual foi essa altura. x (dias) (a lt u ra ) y Planta A Planta B 2 3 5.2 Etapa 2 5.2.1. A lei seguinte representa o crescimento do número de pessoas infectadas por uma gripe, em certa metrópole: N(t) = a · 2bt , em que N(t) é o número de pessoas infectadas t dias após a realização desse estudo e a e b são constantes reais. Sabendo que no dia em que se iniciou o estudo já havia 3.000 pessoas infectadas e que; após 2 dias, esse número já era de 24.000 pessoas, determine: (a) Os valores das constantes a e b. (b) O número de pessoas infectadas pela gripe após 16 horas do início dos estudos. 5.2.2. Agora, trataremos das propriedades operatórias dos logaritmos. Realize a demonstração das propriedades listadas abaixo: I. loga(m · n) = loga m + loga n; II. loga m n  = loga m − loga n; III. logab m = 1 b loga m IV. loga b = logm b logm a : 61 Fundamentos da Matemática II Referências Bibliográficas [1] AABOE, Asger. Episódios da História Antiga da Matemática. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar. 2a edição. Rio de Janeiro: SBM, 2.002. [2] EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. 3a edição. Campinas: Editora da UNICAMP, 2.002. [3] LIMA, Elon Lages. Logaritmos. 2a edição. Rio de Janeiro: SBM, 1.996. [4] IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol. 1. 8a edição. São Paulo: Atual Editora Ltda, 2.004. [5] LIMA, Elon Lages e outros. A Matemática do Ensino Médio. [6] LIMA, Elon Lages e outros. Matemática e Ensino. Coleção do Professor de Matemática. 2a edição. Rio de Janeiro: SBM, 2.003. [7] SODRÉ, Ulysses. Matemática Essencial: Ensino Fundamental, Médio e Superior. URL: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica> [8] PAULO, Marques. Matemática do Científico ao Vestibular. URL: <http://www.terra.com.br/matematica> 64 Anotações 65 FTC-EAD Faculdade de Tecnologia e Ciências – Educação a Distância Democratizando a educação. www.ead.ftc.br
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