Intensivo Pré Vestibular - 01 matematica a

Intensivo Pré Vestibular - 01 matematica a

(Parte 1 de 4)

Inclusão para a vida Matemática A

PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 1

AULA 01

1. Múltiplo de um número

Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é múltiplo de a e b.

M(3) = {0, 3, 6, 9,}

Exemplo: Múltiplos de 3

Observações:

• O zero é múltiplo de todos os números. • Todo número é múltiplo de si mesmo.

• Os números da forma 2k, k ∈ N, são números múltiplos de 2 e esses são chamados números pares. • Os números da forma 2k + 1, k ∈ N, são números ímpares.

2. Divisor de um número

Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e b são divisores c.

Exemplo: Divisores de 12 – D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Observações:

• O menor divisor de um número é 1. • O maior divisor de um número é ele próprio.

2.1. Quantidade de divisores de um número

Para determinar a quantidade de divisores de um número procede-se assim:

a) Decompõem-se em fatores primos o número dado; b) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada um desses expoentes adiciona-se uma unidade. c) Multiplica-se os resultados assim obtidos.

Exemplo: Determinar o número de divisores de 90 90 = 21 . 32 . 51 (1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 Logo 90 possui 12 divisores

3. Critérios de divisibilidade

3.1. DIVISIBILIDADE POR 2

Um número é divisível por 2 se for par. Exemplos: 28, 402, 5128.

3.2. DIVISIBILIDADE POR 3

Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplos: 18, 243, 3126.

3.3. DIVISIBILIDADE POR 4

Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em 0. Exemplos: 5716, 8700, 198200.

3.4. DIVISIBILIDADE POR 5 Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5. Exemplos: 235, 4670, 87210.

3.5. DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6 se for simultaneamente divisível por 2 e 3. Exemplos: 24, 288, 8460.

3.7. DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou forem três zeros Exemplos: 15320, 67000.

3.8.DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplos: 8316, 35289.

3.9. DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 se o último algarismo for zero. Exemplos: 5480, 1200, 345160.

4. Números Primos

Um número p, p ≠ 0 e p ≠ 1, é denominado número primo se apresentar apenas dois divisores, 1 e p.

Exemplos: 2, 3, 5, 7, 1, 13,

Observação: Um número é denominado composto se não for primo.

5. Mínimo Múltiplo Comum

Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal que p seja o menor número divisível pelos números em questão.

Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36,}
M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48,}

Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8. Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24

Processo 2:

6 – 8 3 – 4 3 – 2 3 – 1 1 – 1

Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 23.3 = 24 6. Máximo Divisor Comum

Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais números o maior dos seus divisores comuns.

Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42

Processo 2: 36 = 2.32e 42 = 2.3.7

Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.

Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 Logo o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.

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Exercícios de Sala

01) ( UFSC ) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia 03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, então o número de dias para o próximo alinhamento é:

02) Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20, respectivamente. O valor de x. y é:

a) 240 b) 120 c) 100 d) 340 e) 230

03) O número de divisores naturais de 72 é:

a) 10 b) 1 c) 12 d) 13 e) 14

Tarefa Mínima

01) Considere os números A = 24, B = 60; C = 48. Determine:

a) M.M.C entre A e B b) M.D.C entre B e C c) M.M.C entre A, B e C d) M.D.C entre A, B e C

02) Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36, respectivamente. O valor de x. y é:

a) 240 b) 720 c) 120 d) 340 e) 230

03) Determine o número de divisores naturais dos números a) 80 b) 120

04) Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se encontrar de novo no ponto de partida, levando em consideração ambas as velocidades constantes?

05) Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e 324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos. Queremos dividi-los em faixas que tenham medidas iguais de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada faixa medirá na frente:

a) 12 m b) 18 m c) 24 m d) 30 m e) 36 m

Tarefa Complementar

06) Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos? a) 240 horas b) 120 horas c) 32 horas d) 360 horas e) 320 horas 07) Três tábuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e

90 cm serão cortadas em pedaços iguais, obtendo assim tábuas do maior tamanho possível. Então cada tábua medirá:

a) 10 cm b) 6 cm c) 8 cm d) 12 cm e) 4 cm

08) Sejam os números A = 23.32. 5 B = 2 . 3 . 52

Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem respectivamente:

a) 180 e 60 b) 180 e 600 c) 1800 e 600 d) 1800 e 60 e) n.d.a.

09) ( Santa Casa-SP ) Seja o número 717171x, onde x indica o algarismo das unidades. Sabendo que esse número é divisível por 4, então o valor máximo que x pode assumir é:

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

10) ( PUC-SP ) Qual dos números abaixo é primo? a) 121 b) 401 c) 362 d) 201 c) n.d.a.

1) ( PUC-SP ) Um lojista dispõe de três peças de um mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m. Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peças e o maior comprimento possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos ele deverá obter?

12) ( UEL-PR ) Seja p um número primo maior que 2. É verdade que o número p2 – 1 é divisível por:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

13) Sejam A e B o máximo divisor comum (M.D.C) e o mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente. O produto A.B é dado por: 2x.3y.5z, então x + y + z vale:

14) (Fuvest-SP) O menor número natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3 8 por n um cubo perfeito é:

a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 24

O total de pedaços obtidos com as três vigas é:

15) ( ACAFE ) Um carpinteiro quer dividir, em partes iguais, três vigas, cujos comprimentos são, respectivamente, 3m, 42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos pedaços ser a maior possível.

a) 18 b) 21 c) 210 d) 180 e) 20

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AULA 02

1. Conjuntos Numéricos

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,}

1.1. Conjunto dos Números Naturais

N* = { 1, 2, 3, 4, 5,}
∀ a, b ∈ N, (a + b) ∈ N e (a . b) ∈ N

Um subconjunto importante dos naturais (N) é o conjunto N* ( naturais sem o zero )

1.2. Conjunto dos Números Inteiros

Os números inteiros surgiram com a necessidade de calcular a diferença entre dois números naturais, em que o primeiro fosse menor que o segundo.

Z = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Z* = inteiros não nulos{ ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }
Z+ = inteiros não negativos{ 0, 1, 2, 3, ... }
Z*+ = inteiros positivos{ 1, 2, 3, 4, ... }
Z −_ = inteiros não positivos{ ..., -3, -2, -1, 0}
Z*_ = inteiros negativos{ ... -3, -2, -1 }
∀ a, b ∈ Z, (a + b) ∈ Z, (a . b) ∈ Z e (a – b) ∈ Z

Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros

1.3. Conjunto dos Números Racionais

Os números Racionais surgiram com a necessidade de dividir dois números inteiros, onde o resultado era um número não inteiro.

Q = { x | x= a b , com a ∈ Z, b ∈ Z* }

Ou seja, todo número que pode ser colocado em forma de fração é um número racional.

São exemplos de números racionais: a) Naturais b) Inteiros

)
d) dízimas periódicas ( 0,3=

c) decimais exatos ( 0,2 = 210 1

As quatro operações são definidas nos racionais. Com a ressalva que a divisão por zero é impossível (exceto quando o numerador for zero também).

Geratrizes de uma dízima periódica

Toda fração que dá origem a uma dízima periódica chama-se GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de uma dízima periódica, procede-se assim:

a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário cujo numerador é o algarismo que representa a parte periódica e o denominador é um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

b) 0,3=
c) 0,434343=

b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário cujo numerador é a diferença entre a parte não periódica seguida de um período e a parte não periódica, e cujo o denominador é um número formado de tantos noves quantos são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

a) 0,3777=
b) 0,32515151=

1.4. Conjunto dos Números Irracionais

Apesar de que entre dois números racionais existir sempre um outro racional, isso não significa que os racionais preencham toda reta. Veja o seguinte exemplo. Dado o triângulo retângulo abaixo de catetos 1 e 1. Calcular o valor da hipotenusa.

x
1
x2 = 12 + 12

Aplicando o teorema de Pitágoras temos: x = 2

Extraindo a raiz de 2, teremos um número que não é natural, inteiro, nem racional, surge então os números irracionais. Os números irracionais são aqueles que não podem ser colocados em forma de fração, como por exemplo:

a) π = 3,14
b) e = 2, 71
c) toda raiz não exata
1.5. Conjunto dos Números Reais

Os números reais surgem da união dos números racionais com os irracionais.

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QI

Por enquanto, nosso conjunto universo será o campo dos reais. Porém, é necessário saber, que existem números que não são reais, estes são chamados de complexos e serão estudados mais detalhadamente adiante.

• Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a • Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c)

• Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a

• Simétrico: a + (– a) = 0

• Inverso: a . a

1. Intervalos Numéricos

Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de ℜ. Serão caracterizados por desigualdades, conforme veremos a seguir:

• {x ∈ R| p ≤ x ≤ q} = [p, q] • {x ∈ R| p < x < q} = ]p, q[

• {x ∈ R| p ≤ x < q} = [p, q[

• {x ∈ R| p < x ≤ q} = ]p, q]

• {x ∈ R| x > q} = ]q, ∞[

Os números reais p e q são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo.

Observações

• O intervalo [x, x] representa um conjunto unitário {x} • O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { }

• O intervalo ( −∞ , + ∞ ) representa o conjunto dos números reais (R)

• (x, y) = ]x, y[

Pode-se representar um intervalo real de 3 maneiras:

Notação de conjunto. Exemplo: {x ∈ R| 2 < x ≤ 3} Notação de intervalo. Exemplo: ]2, 3] Representação Gráfica. Exemplo:

Veja outros exemplos: 1) {x ∈ R| x > 2} = ]2, ∞[

3) {x ∈ R| 3 ≤ x < 4} = [3, 4[

2. Módulo de um número real

Módulo ou valor absoluto, de um número real x é a distância da origem ao ponto que representa o número x. Indicamos o módulo de x por | x |.

2.1. Definição

0 x se x,- 0 x se ,x

Exemplos:

a) como 3 > 0, então | 3 | = 3 b) como – 3 < 0, então |–3| = –(–3) = 3

2.2. Propriedades

• yxy

2.3. Equação Modular

Equação Modular é a equação que possui a incógnita x em módulo.

Tipos de equações modulares:

S = {-3, 3}

Exemplo 1: | x | = 3 x = 3 ou x = -3

x + 2 = 6ou x + 2= - 6
x = 4ou x = - 8

Exemplo 2: Resolva a equação |x + 2|= 6 S = {-8, 4}

• | x | = k, com k > 0, então: x = k ou x = − k

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Exemplo 1: | x | = - 3 S = ∅

Exemplo 2: |x + 2| = -10 S = ∅

2.4. Inequação Modular

Sendo k > 0, as expressões do tipo | x | < k, | x | ≤ k, | x | > k, | x | ≥ k denominam-se inequações modulares.

Tipos de inequações modulares: •

Exemplos:| x | < 3 → – 3 < x < 3
Exemplos:| x | > 3 → x < – 3 ou x > 3

Exercícios de Sala

01) Calcule o valor das expressões abaixo:

Ix2 + 4 = 0
Ix2 – 4 = 0

02) ( PUC-SP ) Considere as seguintes equações: I. 0,3x = 0,1

Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que:

a) I são números irracionais b) I é um número irracional c) I e I são números reais d) I e I são números não reais e) I e II são números racionais

03) Resolva em ℜ as seguintes equações: a) | x | = 3 b) |2x – 1| = 7 c) |x2 –5x | = 6 d) |x + 2| = –3 e) |x|2 – 5|x| + 4 = 0

Tarefa Mínima

01) Enumere os elementos dos conjuntos a seguir:

a) {x ∈ N| x é divisor de 12} b) {x ∈ N| x é múltiplo de 3} c) {x ∈ N| 2 < x ≤ 7} d) {x ∈ Z| - 1 ≤ x < 3} e) {x| x = 2k, k ∈ N} f) {x| x = 2k + 1, k ∈ N}

02) As geratrizes das dízimas: 0,232323e 0,2171717...

são respectivamente:

03) ( ACAFE ) O valor da expressão , cba quando

04) Resolva em ℜ as seguintes equações: a) |x| = 10 b) |x + 1| = 7 c) |x – 2| = -3 d) |x |2 + 3 |x| - 4 = 0 é:

05) A solução da inequação 5)12(≤−x

06) ( FATEC-SP ) Se a = 0,6..., b = 1,3e

Tarefa Complementar c = 0,1414..., então a.b-1 + c é igual a:

07) ( FGV-SP ) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que:

a) x.y é racional b) y.y é irracional c) x + y racional d) x - y + 2é irracional e) x + 2y é irracional

08) ( FUVEST ) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição do número xy? a) à esquerda de 0 b) entre zero e x c) entre x e y d) entre y e 1 e) à direita de 1

• | x | = k, com k = 0, então: x = 0 • | x | = k, com k < 0, então: não há solução

| x | < k, com k > 0, então: − k < x < k | x | > k, com k > 0, então: x <− k ou x > k

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09) Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

01. É possível encontrar dois números naturais, ambos divisíveis por 7 e tais que a divisão de um pelo outro deixe resto 39. 02. Sejam a e b números naturais. Sendo a = 1 + b2 com b sendo um número ímpar, então a é par.

08. Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos outros dois. 16. o número 247 é um número primo.

10) ( FUVEST ) Os números inteiros positivos são dispostos em “quadrados” da seguinte maneira:

19

O número 500 se encontra em um desses “quadrados”. A linha e a coluna em que o número 500 se encontra são respectivamente:

e) 3 e 1

a) 2 e 2 b) 3 e 3 c) 2 e 3 d) 3 e 2

1) A expressão|2x – 1| para x < 2

1 é equivalente a:

a) 2x – 1 b) 1 – 2x c) 2x + 1 d) 1 + 2x e) – 1

12) Assinale a alternativa correta:

a) Se x é um número real, então 2x≠ |x | b) Se x é um número real, então existe x, tal que |x| < 0 c) Sejam a e b dois números reais com sinais iguais, então |a + b| = |a| + |b| d) Sejam a e b dois números reais com sinais opostos, então |a + b| > |a| + |b| e) | x | = x, para todo x real.

13) ( UFGO ) Os zeros da função f(x) = 2 1 x− − são:

a) −7 e −8 b) 7 e −8 c) 7 e 8
d) −7 e 8e) n.d.a.

14) ( FGV-SP ) Qual dos seguintes conjuntos está contida no conjunto solução da inequação d) {x ∈ R | - 2 ≤ x ≤ 0} e) Todos os conjuntos anteriores

15) ( ITA-SP ) Os valores de x ∈ R para os quais a função real dada por f(x) = |6|12||5−−−x está definida, formam o conjunto:

AULA 03

EQUAÇÕES DO 1º GRAU INEQUAÇÕES

1. Definição

Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º grau se pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a diferente de zero.

2. Resolução

Considere, como exemplo, a equação 2x + 1 = 9.

Nela o número 4 é solução, pois 2.4 + 1 = 9. O número 4 nesse caso é denominado RAIZ da equação

chamadas equivalentes

Duas equações que têm o mesmo conjunto solução são

Se: a = b então para ∀m → a + m = b + m Se: a = b então para ∀m ≠ 0 → a . m = b . m

4. Inequações do 1º grau

Inequações são expressões abertas que exprimem uma desigualdade entre as quantidades dadas.

Uma inequação é dita do 1º grau se pode ser escrita na forma: ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b ≥ 0 ax + b ≤ 0

Nas inequações do 1º grau valem também, os princípio aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja:

Se: a > b então para ∀m → a + m > b + m Se: a > b então para ∀m > 0 → a . m > b . m Se: a > b então para ∀m < 0 → a . m < b . m

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