Intensivo Pré Vestibular - 02 matematica b

Intensivo Pré Vestibular - 02 matematica b

(Parte 1 de 3)

Inclusão para a vida Matemática B

PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 1

AULA 01

1. Potenciação

1.1. Definição Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.

am = a. a. a. a. aa.

Sendo a R e a 0 e m Z. Tem-se que: m fatores

a0 = 1 para a  0

Casos Particulares a1 = a a-n = 1

an
1.2. Propriedades

Se a e b são números reais e m e n, números inteiros, tem-se:

 am.an = am + n
nmn
 (a.b)n = an.bn

(am)n = am.n

n

ab ab

1.3. Potência de base 10

Então 10n = 100

Observe ainda que: 10-1 = 10

Então 10–n = 0,0001

n casas decimais

2. Radiciação

2.1. Definição b é a raiz n-ésima de a, se bn = a.

na= b bn = a 2.3. Nomenclatura

Em na= b, temos:

n é o índice a é o radicando

b é a raiz

2.4. Condição de existência

Em na, se n for par, então é necessário que a seja maior ou igual a zero.

Se n for ímpar então na sempre existe.

2.5. Propriedades n.m an m a n.p m.pan ma n mamn a n ba n b n a n a.bn b.n a

nm nmaa

2.6. Racionalização de denominadores

Dada uma fração com denominador contendo radical, racionalizar o denominador é um processo no qual se obtém uma fração equivalente a primeira sem no entanto com o radical no denominador.

1º CASO: O denominador é do tipo nma

Neste caso multiplica-se numerador e denominador

pelo fator: nmna

2º CASO: O denominador é do tipo ba Neste caso multiplica-se numerador e denominador

Pelo fator: ba

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Exercícios de Sala

01) Calcule:

a) 24 b) – 24 c) (– 2)4 d) 17 e) 03 f) 2140 g) 3-2 h) 4

02) Transforme cada expressão em uma única potência de base 3.

c) (34)2 =d) 43=

03) Calcule:

a) 2

3 b)

01) Determine o valor das expressões:

a) 34 b) – 34 c) (– 3)4 d) 1201 e) 080 f) 5000 g) 4-2 h) 3

k)

02) Transforme cada expressão em uma única potência de base 2.

a) 25.23.27b)

03) Sendo A = 2100, obtenha:

a) sucessor de A b) o dobro de A c) quádruplo de A d) quadrado de A e) metade de A f) raiz quadrada de A

04) Usando a definição, calcule o valor de cada uma das raízes:

05) Racionalize:

6 c)

Tarefa Complementar

06) O valor da expressão 01,0

a) 102 b) 103c) 104 d) 105 e) 10

07) Assinale a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

01. O número 573 é equivalente a 5,73. 102 02. O valor da expressão 5.108. 4.10-2 é 2.107 04. Se n é par, então a expressão (– 1)2n + (– 1)2n + 1 é zero. 08. A metade de 48 + 84 é 17.211

09) ( FGV-SP ) Qual o valor da expressão
3211 quando a = 103 e
a) 106b) 102 c) 103 d) 109 e) 107
10) ( FGV-SP ) Simplificando a expressão

n temos:

d
c
b

1) ( Cesgranrio ) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, então (abc)12 vale:

a) 9912b) 9921/2 c) 9928

12) Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS:

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08. Racionalizando 2

4 obtém-se 2

, acha-se:

a) 32 b) 34 c) 36 d) 38 e) n.d.a.

14) ( UEL-PR ) A expressão 1 equivalente a:

a) – 1 b) 2 – 2 c) 2+ 2 d) 2 – 1 e) 2 + 1

15) ( UEL-PR ) Seja o número real x =

. Escrevendo x na forma x = a + bc, tem-se que a + b + c é igual a:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

AULA 02

Considere o triângulo retângulo ABC

Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos:

AB e AC

_ BCé a hipotenusa

C e B são os ângulos agudos

Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos agudos

SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.

CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.

TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. Sendo assim, temos que:

sen = a b cos = c tg =

Observação:

Se + = 90° tem-se que sen = cos

Tabela de arcos notáveis

Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas alturas, dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes.

Observe, agora, o quadrado. Nele traça-se a diagonal e obtém-se dois triângulos retângulo isósceles

Em resumo, temos:

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Exercícios de Sala 01) ( FUVEST ) Obter o valor de x na figura:

02) No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é:

a) 60° b) 45° c) 30° d) 90° e) n.d.a.

de margens paralelas e conseguem ver um boteB na

03) ( UFSC ) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de um rio outra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos BP1P2

= e BP2P1 = e que tg = 2 e tg = 4, a distância entre as margens (em metros) é:

Tarefa Mínima

01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x a) b) c)

02) Na cidade de pisa, Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo. Atualmente, a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o ponto mais alto da torre em relação ao solo? (dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4)

a) 5 metrosb) 15 metros

c) 45 metros d) 42 metros e) 51 metros

03) ( UFSC ) Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 43m e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo.

04) Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.

Tarefa Complementar 05) Com base na figura abaixo é correto afirmar:

01. h = 2m

02. h = 3m

04. a = (1 + 3) m 08. O triângulo ACD é isósceles

16. O lado _ AC mede 6m

06) Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória.

Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36)

07) Determine o valor de x e y na figura abaixo:

08) ( Unicamp-SP ) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:

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a) b cos  b) a cos c) a sen 

PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 5 d) b tg e) b sen

09) ( U.E. Ponta Grossa-PR ) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância _

AB= 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto.

01

AC= 10km

02. _ AD = 2,5 km

04

BC = 53km

08. O ângulo DAB mede 60° 16. A velocidade média do barco é de 15km/h

10) ( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x
AD = xDC= x - 38 BD = y

AULA 03

Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo coseno do ângulo formado por eles.

Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. A razão de proporção é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Exercícios de Sala 01) Determine o valor de x na figura abaixo:

02) ( FUVEST ) Em um triângulo ABC, AB = 42 e o ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo

03) Determine o valor de x na figura abaixo

04) Determine o valor da diagonal BD do paralelogramo abaixo, é:

Tarefa Mínima 01) Determine o valor de x na figura abaixo:

02) ( UFSC ) Na figura, a medida do lado AC é 752 cm. A medida, em cm, do lado AB será:

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03) O triângulo ABC está inscrito na circunferência de

centro O e raio R. Dado que AC = 23cm, determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras:

01. O triângulo ABC é equilátero 02. o raio da circunferência vale 2cm

04. _ AB= 22cm

08. O comprimento da circunferência é 4 cm

04) ( PUC-SP ) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 32cm e 5cm e formam um ângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, em centímetros, mede:

05) ( FUVEST ) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é:

a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/8

Tarefa Complementar

06) ( CESGRANRIO ) No triângulo ABC, os lados AC e

BC medem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale:

a) ½ b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6

07) ( FUVEST-SP ) Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC; seu lado _ BC é igual ao raio da circunferência. O ângulo BAC mede:

a) 15° b) 30° c) 36° d) 45° e) 60°

quando o navio está em A, observa o farol L e mede o

08) ( ITA-SP ) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, ângulo LAC = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo LBC = 75°. Quantas milhas separam o farol do ponto B?

09) Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e

BC = 6cm. Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado BC.

10) ( FUVEST ) No quadrilátero dado a seguir,

BC = CD = 3cm, AB = 2cm, ADC = 60° e ABC = 90°.

a) 1b) 12 c) 13

O perímetro do quadrilátero, em cm, é: d) 14 e) 15

AULA 04 e 05

1. ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

Arco de uma circunferência é cada uma das partes que fica dividida uma circunferência por dois quaisquer de seus pontos.

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A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que possui vértice no centro da circunferência).

Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano.

Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo comprimento é igual a 1

360 do comprimento da circunferência.

Logo a circunferência tem 360º. Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos:

1º = 60'1'= 60''

Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao raio da circunferência onde está contido.

Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos.

Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus e radianos
360º 2 rad
Portanto:180º   rad

2. CICLO TRIGONOMÉTRICO

Quando numa circunferência de raio unitário se estabelece um sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo trigonométrico.

quadrantes

Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes denominadas

ORIENTAÇÃO Anti Horario Positivo

3. ARCOS CÔNGRUOS

Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre seus valores é um múltiplo de 360º.

Exemplo:1) 30º, 390º, 750º, 1110..........

Veja que esses arcos possuem a mesma extremidade e diferem apenas no número de voltas.

A expressão x = 30º + 360º . k, com k Z, é denominada expressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeira determinação positiva.

A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:

+ k . 360º, com k Z.

Se um arco mede radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:

SENO e CO-SENO DE UM ARCO

1. Definição

Considere o arco que possui extremidades na origem do ciclo trigonométrico e no ponto M ao qual corresponde o ângulo central .

Denomina-se sen a projeção do raio OM, pela extremidade M do arco sobre o eixo y.

Denomina-se cos a projeção do raio OM, sobre o eixo x

2. Sinais

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3. Tabela

Note que: – 1 sen 1 e – 1 cos 1

OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos é possível determinar os valores de seno e co-seno de arcos do 2º, 3º e 4º quadrantes

dado

4. Equações trigonométricas num intervalo

Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as funções Trigonométricas em seus membros. São exemplos de equações trigonométricas:

1) sen x = 1

2) 2cos2 x + 3cos x - 2 = 0

Não é possível estabelecer um método para resolver todas equações trigonométricas, pois existe uma infinidade, para isso apresentaremos alguns tipos básicos.

sen x = sen a xa k

(congruos) (suplementares)

cos x = cos a

(congruos) x (suplementares)

Exercícios de Sala

01) Expressar em radianos os seguintes arcos: a) 300º b) 60º c) 12º

02) Um arco de 200° equivale em radianos a:

c) 4d)

03) Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a:

a) 930ºb)

rad

04) Determine o valor de:

a) sen 150° b) cos 150° c) sen 210° d) cos 210° e) sen 330° f) cos 330°

05) Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5 admite solução.

a) - 1 m 1 b) - 2 m 5 c) 2 m 3 d) 2 < m < 3 e) 1 < m < 2

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Tarefa Mínima 01) Obter a medida em graus dos seguintes arcos:

a) 3 b) 6

a) /24
c) /30
d) 3/25

02) ( UFMG ) Transformando 7º30' em radianos, teremos: b) /25 e) 5 /32

03) Determine o valor da expressão

04) Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do:

a) 1º quadrante b) 2º quadrante c) 3º quadrante d) 4º quadrante e) n.d.a.

05) A equação sen x = 2m – 5 admite solução para:

a) 2 m 3 b) 1 m 4 c) -1 m 1 d) 2 < m < 3 e) 0 m 1

06) Resolver, no intervalo 0 x < 2 , as seguintes equações:

a) sen x = 1 b) cos x = 0 d) cos x = 2

07) Sabendo que 0 x < 2 , o conjunto solução da equação: sen 2 x 3sen x 4 = 0 é:

a) {90º} b) {-90º} c) {270º} d) {180º} e) {30º}

Tarefa Complementar

a) 100° b) 140ºc) 40º
d) 80ºe) n.d.a.

09) ( UFPA ) Qual a 1ª determinação positiva de um arco de 1000º?

a) 270ºb) 280º c) 290º

d) 300º e) 310º

10) ( SANTO AMARO-SP ) Às 9 horas e 10 minutos, o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é:

a) 135ºb) 140º c) 145º

d) 150º e) n.d.a.

1) ( UFPR ) O maior ângulo formado entre os ponteiros de um relógio, às 23h45min, vale:

12) ( UFSC ) O maior valor numérico que y pode assumir

13) ( UFPA ) O menor valor positivo que satisfaz a equação 2 sen x = 1 é:

a) /6 b) /4c) /3

d) /2 e) n.d.a.

14) ( UM-SP ) O menor valor positivo de x para o qual

9- cos x = 1

a)b) c) d) e)

15) Determinar o número de soluções da equação 2sen x cos x = sen x no intervalo 0 x < 2 .

RELAÇÕES FUNDAMENTAL DA
TRIGONOMETRIA

AULA 06

sen2 + cos2 = 1 (Relação Fundamental)

A relação vista também vale para arcos com extremidades fora do primeiro quadrante.

Exemplos: sen230° + cos230° = 1 sen2130° + cos2130° = 1

Vale lembrar que se + = 90°, sen = cos . Logo vale também relações do tipo:

sen2 50° + sen2 40° = 1 sen 210° + sen2 80° = 1

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1. Definição

Associa-se ao circunferência trigonométrica mais um eixo, a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P de coordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PM, ao segmento PQ determinado sobre o eixo das tangentes.

2. Sinais

3. Tabela

 tg x = tg axak2

4. Equação trigonométrica

Exercícios de Sala

01) Sabendo que sen x =

, calcule cos x:

02) ( F.C.Chagas-BA ) As sentenças sen x = a e cos x = 2a 1 são verdadeiras para todo x real, se e somente se:

c) a = 5 ou a = 1 d) a = 1

a) a = 5 ou a = 1 b) a = -5 ou a = -1 e) n.d.a.

03) Resolver no intervalo 0 x < 2 , a equação 2cos2x = – 3sen x

04) Determina o valor de:

a) tg 120°b) tg 210° c) tg 330°

05) Resolva no intervalo 0 x < 2 as seguintes equações:

a) tg x = 3

3 b) tg2x – 1 = 0 cos x.

02) ( UFSC ) O valor, em graus, do arco x 02 equação: 1 cos2x + sen x = 0 é:

03) O valor de tg 315° + tg 225° é

04) ( UFSC ) Considere o ângulo x = 1215°. Determine |tg x |

05) Resolva as seguintes equações no intervalo 0 x < 2

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PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 1 a) tg x = 3 b) tg2x + tg x = 0

Tarefa Complementar

06) Determine m de modo que se obtenham simultaneamente, sen x = m e cos x = m33

07) No intervalo 0 x < 2 , determine o número de soluções para a equação 2cos2x = 5 – 5sen x

08) ( FURG-RS ) O valor numérico da função f(x) = sen2x – tg x + 2cos 3x para x = 4

09) ( PUC-RS ) O valor numérico de

x xtgx cos3 sen para x = 3 a) 5/2 b) 5/3 c) 3/2 d) 2/5 e) 0

10) No intervalo 0 x < 2 , a equação 3tg2x + tg x = 0 possui quantas soluções? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

AULA 07

sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental)

As Demais Relações Trigonométricas, com as condições de existência obedecidas são:

tg x = sen x cos x cotg x = 1tg x sec x = 1 cos x cossec x = x sen 1

A partir da relação sen2 x + cos2 x = 1 podemos estabelecer duas relações Derivadas.

Dividindo a Relação Fundamental por sen2 x tem-se: 1 + cotg2 x = cossec2 x

E dividindo a Relação Fundamental por cos2 x tem-se: tg2 x + 1 = sec2 x

Sinais das Funções Trigonométricas

1°Q 2°Q 3°Q 4°Q seno e cossecante + + cosseno e secante + + tangente e cotangente + +

Exercícios de Sala

01) Determine o valor de: a) cossec 30° b) sec 30° c) cotg 30° d) cossec 210° e) sec 315° f) cotg 300°

02) Sendo sen =

a) cos  b) tg c) cotg 

d) sec e) cosec

01) Determine o valor de: a) sec 60o b) cossec 150o c) cotg 315o

02) ( Faap-SP )Se sen x = 3/5, com x 4º quadrante, então tg x é:

a) 3/4 b) 1/2
c) 4/5d) 3/4
e) 4/5

03) ( UFSC ) Dados sen x = 3

x, determine o valor de: 32 tg x + 1

04) ( FGV-SP ) Simplificando-se a expressão sena tga coseca cosa cotga seca , obtém-se:

c) sen2ad) 1
e) tg2a

a) 0 b) sec2a Tarefa Complementar

05) ( UFSC )Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg2 x) é:

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