Intensivo Pré Vestibular - 03 matematica c

Intensivo Pré Vestibular - 03 matematica c

(Parte 1 de 4)

Inclusão para a vida Matemática C

PRÉ-VESTIBULAR DA UFSC 1

AULA 01

NÚMEROS PROPORCIONAIS 1. Razões e Proporções

Razão é a comparação obtida pela divisão entre as medidas de duas grandezas na mesma unidade. Então, dados dois números a e b , denomina-se razão ao quociente de a por b e indica-se por b

Obs.: a razão b a é usualmente lida assim: “a está para b”.

A igualdade entre duas razões é uma proporção.

Representação: dcb

onde: a, d = extremosb, c = meios

A expressão dcb a = lê-se assim: a está para b assim como c está para d

Observações:

Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas sucessões numéricas dadas nessa ordem.

• A e B são diretamente proporcionais se:

kfcebd k é a constante de proporção.

Propriedade:

fed cbafcebda ++

• A e B são inversamente proporcionais se: a . d = b . e = c . f = k

Propriedade: a . d = b . e = c . f = f

Exercícios de Sala

01) Um automóvel percorre 160km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é:

02) Determine dois números, sabendo que a soma deles é

42 e que a razão entre eles é 4

03) a) Dividir 150 em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 7.

b) Dividir 14 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.

Tarefa Mínima

fornecidas 100 vagas, qual a razão do número de

01) Em uma universidade foram inscritos 3450 candidatos para o curso de Odontologia. Sabendo que foram candidatos em relação ao número de vagas?

02) Determine dois números, sabendo que a soma deles é

60 e que a razão entre eles é 3 2.

03) Determinar os valores de x e y sendo:

x – y = 10 e 31x

04) Se (2, 3, x) e (8, y, 4) são duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:

a) x = 1 e y = 6 b) x = 2 e y = 12 c) x = 1 e y = 12 d) x = 4 e y = 2

05) Divida o número 360 em partes proporcionais aos números 2, 3, 4 e 6.

Tarefa Complementar

06) Divida o número 220 em partes inversamente proporcionais aos números 744 3,3

07) A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos e estão entre si como 7 para 4. Calcule as idades dessas pessoas.

08) ( PUC-SP ) Se (9, x, 5) e (y, 8, 20) sejam diretamente proporcionais, isto, é, para que se verifique a igualdade 2058xy

9 ==, os valores de x e y devem ser respectivamente:

a) 2 e 36 b) 5 1 e 4 c) 2 e 5 d) 5 e 35 e) n.d.a.

09) ( F.Carlos Chagas ) Se as seqüências (a, 2, 5) e (3, 6, b) são de números inversamente proporcionais e a + mb = 10, então m é igual a:

a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0 d) 2,5 e) 5,0

10) p é inversamente proporcional a q + 2. Sabendo que p = 1 quando q = 4, quanto vale p quando q = 1? a) – 2 b) 0 c) 0,5 d) 2 e) 3

1) ( UFMG ) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que

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12) ( UFSC ) O perímetro de um terreno é 72 m. As medidas de seus lados são inversamente proporcionais a 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado desse terreno, é:

13) ( UFBA ) Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário, 60 não foram vacinadas, e 92, vacinadas, morreram. Entre as galinhas vacinadas, a razão do número de mortas para o número de vivas é:

1144a)b) c) d) e) n.d.a.4515

14) ( FUVEST ) Na tabela abaixo, y é inversamente proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores de p e m.

xy
12
2p
m8

15) Num tanque de combustível há 5 litros de óleo e 25 litros de gasolina. Determinar as razões das medidas.

a) do óleo para a gasolina b) da gasolina para a mistura c) do óleo para a mistura

AULA 02

1. Ângulos

Ângulo é a região formada por duas semi retas que têm a mesma origem (vértice).

O ângulo formado é o ângulo AÔB no qual: OA e OB são os lados do ângulo e O é o vértice

2. Unidades angulares Sistema Sexagesimal (Grau)

1 grau é 360 1 da circunferência.

Submúltiplos do Grau: 1° = 60 e 1= 60

Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com a sua abertura.

Ângulo Agudo

Ângulo Reto

Ângulo Obtuso

a) complementares: α + β = 90º

Dois ângulos α e β podem ser: b) suplementares: α + β = 180º c) replementares: α + β = 360º

3. Ângulos opostos pelo vértice

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes

4. Ângulos formados por duas paralelas e uma transversal

5. Triângulos

Dados os pontos A, B e C não alinhados, chama-se triângulo A, B, C (indicado por: ∆ABC) à reunião dos segmentos AB, AC e BC.

Pode-se classificar um triângulo segundo dois critérios: Quanto aos lados

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Quanto aos ângulos

CRITÉRIOS: Sejam a, b e c lados de um triângulo e considerando a, o lado maior temos:

• a2 < b2 + c2 ⇔ triângulo acutângulo • a2 = b2 + c2 ⇔ triângulo retângulo

• a2 > b2 + c2 ⇔ triângulo obtusângulo

6. Ângulos num Triângulo

A + B + C = 180° 6.1. Triângulo Equilátero

Se AB = BC = AC então A = B = C = 60° 6.2. Triângulo Retângulo

Exercícios de Sala

01) ( UFMA ) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10° e x + 50°. Um deles mede:

02) Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então esse ângulo mede:

a) 30° b) 45° c) 60° d) 80° e) 15°

03) Em cada figura abaixo, determine o valor de x. a) r //s

b) ABCD é um quadrado. ABE é um triângulo

equilátero.

Tarefa Mínima

01) ( ACAFE ) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 8x – 40 e 6x – 20. O valor do ângulo é:

a) 80°b) 70° c) 40° d) 20° e) 10°

02) Um ângulo mede o triplo do seu suplemento. Então esse ângulo mede:

a) 45°b) 135° c) 100° d) 175°

03) Determine o valor de x na figura abaixo:

x s rs// 25º

04) Nas figuras abaixo, o valor de x é: a) b) c) d)

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05) ( FUVEST ) Na figura, AB = BD = CD. Então:

a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180° d) x = y e) 3x = 2y

06) ( UFSC ) Na figura r e s são paralelas. O valor, em

Tarefa Complementar graus, do arco x é:

07) ( UECE ) O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede:

a) 100°b) 144°

c) 36° c) 80° e) n.d.a.

 = 22°32'15''C∧
= 17°49'47''D∧

Calcular o valor, em graus, da expressão:

diferença x − y é:

09) ( UFSC ) Na figura abaixo, o valor em graus da 23 s t r // s // t

10) ( UFSC ) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo y, em graus, é:

1) ( Cesgranrio ) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal de modo que a soma de dois ângulos agudos formados vale 72°. Então qualquer dos ângulos obtusos formados mede:

12) ( Fuvest-SP ) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é:

13) Sabendo que o complemento de um ângulo está para o seu suplemento assim com 2 está para 5, calcule em graus, a medida do ângulo

14) Na figura a seguir, r//s. Determine o valor de y. 60° r s

15) Na figura , o valor de x é:

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AULA 03

ESTUDO DOS POLÍGONOS 1. Elementos

2. Classificação

Os polígonos podem ser classificados quanto o número de lados. Os mais conhecidos são:

• Triângulos - 3 lados

• Quadriláteros - 4 lados

• Pentágono - 5 lados

• Hexágono - 6 lados

• Heptágono - 7 lados

• Octógono - 8 lados

• Eneágono - 9 lados

• Decágono - 10 lados

• Undecágono – 1 lados

• Dodecágono - 12 lados

• Pentadecágono – 15 lados

• Icoságono - 20 lados

Observação: Um polígono é dito regular se for equilátero (lados iguais) e equiângulo (ângulos iguais)

3. Número de Diagonais

O número de diagonais de um polígono de n lados é dado pela expressão:

4. Soma dos ângulos internos

A soma dos ângulos internos de um polígono com n lados (n ≥ 3) é dado pela expressão:

5. Soma dos ângulos externos

A soma dos ângulos externos de um polígono com n lados (n ≥ 3) é sempre igual a 360°

Observações

• Para polígonos regulares, podemos calcular cada ângulo interno ou externo através das seguintes relações:

• Sendo n o número de lados de um polígono, se n é par, então n/2 é o número de diagonais que passam pelo centro.

• Se n é ímpar, não há diagonais que passam pelo centro.

Um polígono é regular quanto tem lados congruentes e ângulos congruentes. Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a numa circunferência.

Nomenclatura

é o lado do polígono

R é o raio da circunferência circunscrita ao polígono a é o raio da circunferência inscrita ou apótema

Triângulo Equilátero

Quadrado

Hexágono Regular

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Exercícios de Sala

01) ( ACAFE ) Diagonal de um polígono convexo é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu número total de diagonais?

a) 72b) 63 c) 36

d) 27 e) 18

02) Em um icoságono regular ABCDEcalcule:

a) a soma dos ângulos internos b) a soma dos ângulos externos c) cada ângulo interno e externo

03) Dado um triângulo eqüilátero de lado 23cm, determine:

a) altura do triângulo b) raio da circunferência circunscrita c) raio da circunferência inscrita

04) Num quadrado de lado 10cm está circunscrita uma circunferência cujo raio, em cm, é igual a:

05) ( VUNESP ) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é igual a 23cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é:

a) 3 b) 2c) 2,5

d) 3 c) 4

Tarefa Mínima

01) O polígono que tem o número de lados igual ao número de diagonais é o:

a) hexágono b) pentágono c) triângulo d) heptágono e) não existe

02) Cada ângulo interno de um decágono regular mede:

a) 230° b) 130° c) 144° d) 28° e) 150°

03) Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo? a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono

04) Dado uma círculo de raio 10cm. Determine: a) o lado do triângulo equilátero inscrito nesse círculo b) o lado do hexágono inscrito nesse círculo

05) O lado de um triângulo eqüilátero inscrito numa

c) o lado do quadrado inscrito nesse círculo circunferência mede 26cm. Determine a medida da altura do triângulo.

a) 2 b) 2c) 32 d) 2 e) n.d.a.

06) ( ACAFE-SC ) O diâmetro mínimo de um tronco de árvore, para que dele se possam fazer postes quadrados, cujas arestas das bases meçam 20cm, é:

a) 10cm b) 40cmc) 30cm d) 202cm e) 80 cm

Tarefa Complementar

07) ( UNICAMP ) O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1.440° tem exatamente:

a) 15 diagonais b) 20 diagonais c) 25 diagonais d) 30 diagonais e) 35 diagonais

08) ( UNIFEI-MG ) Achar dois polígonos regulares cuja razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o número de lados é 1/3.

regular medem 20°. Então o número de diagonais

09) ( MACK-SP ) Os ângulos externos de um polígono desse polígono é:

a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152

10) ( PUC-SP ) A figura mostra um hexágono regular de lado “a”. A diagonal AB mede: A

B a) 2a b) a2 c) 2 3a d) a3

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1) ( ACAFE-SC ) A razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita e inscrita a um quadrado é:

a) 2 b) 3 c) 2 d) 23 e ) 2

12) ( FUVEST ) A, B, C e D são vértices consecutivos de um hexágono regular. A medida, em graus de um dos ângulos formados pelas diagonais AC e BD é:

a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 150

13) Calcule a medida do ângulo central de um eneágono Regular.

14) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero de lado a?

15) Determinar em função do raio R, o lado de um decágono regular inscrito numa circunferência de raio R.

AULA 04

CIRCUNFERÊNCIA 1. Elementos

Raio: segmnento CB. Corda: segmento MN. Diâmetro: segmento AB.

2. Ângulos da circunferência

2.1. Ângulo Central: ângulo que tem vértice no centro da circunferência.

2.2. Ângulo Inscrito: ângulo que tem vértice na

circunferência.

Propriedade:

Conseqüências

Se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo.

2.3. Ângulo excêntrico (fora do centro) interior

2.4. Ângulo excêntrico (fora do centro) exterior

2.5. Quadrilátero Inscrito na circunferência 3. Segmentos Tangentes

4. Teorema de Pitot

Em todo quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois:

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Semelhança de Triângulos

Dois triângulos são semelhantes se e somente se os ângulos internos forem congruentes e os lados proporcionais. Assim temse:

k fcebd a então EBˆ k é a constante de proporção ou constante de semelhança

Observação: As medidas dos perímetros de dois triângulos semelhantes são proporcionais às medidas de dois lados homólogos quaisquer.

Triângulo Retângulo – relações métricas Considere o triângulo abaixo, retângulo em A.

Seus elementos são: a: hipotenusa

b e c: catetos

h: altura relativa à hipotenusa

n e m: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

Relações Métricas

Através da semelhança de triângulos podemos estabelecer as seguintes relações: a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras)

a.h = b.c

Exercícios de Sala

a)

01) Determine o valor de x em cada caso abaixo:

b)

c)

02) Determine o valor do complemento do ângulo x indicado na figura abaixo:

03) A circunferência está inscrita no triângulo ABC,

. Então x vale: A

04) Na figura abaixo os ângulos CÂD e ABD são congruentes. Então o valor de x é:

a) 42 b) 32 c) 21 d) 60 e) 10

Tarefa Mínima 01) Nas figuras abaixo, determine o valor de x

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02) ( ACAFE-SC ) Na figura a seguir, o valor de x é:

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3x 150°A B a) 25° b) 30° c) 50° d) 75º e) 100° 03) ( PUC-SP ) Na figura, AB é diâmetro. O menor dos arcos (AC) mede:

04) ( FUVEST-SP ) O valor de x na figura a seguir é:

Nessas condições, determine o valor de x + y
Ay D 18 B

05) ( UFSC ) Na figura ao lado, AC é paralelo a DE. 15

Tarefa Complementar

06) ( FUVEST ) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é:

07) (Fuvest-SP ) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo α é:

08) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, e o ângulo ACB mede 20°. Determine a medida do ângulo agudo formado pela mediana AM e a altura AH do triângulo.

09) Na figura, PA = 16 cm e A, B e C são pontos de tangência. Calcule o perímetro do triângulo PRS.

10) Sendo O o centro da circunferência circunscrita no pentágono abaixo, calcule x + y.

1) Determine o perímetro do quadrilátero a seguir:

3x + 1

3x 2x x+1

12) ( ACAFE ) Os lados de um triângulo medem 3cm, 7cm e 9cm. Calcule os lados de um segundo triângulo semelhante ao primeiro, cujo perímetro mede 38cm. a) 8cm, 14cm e 16cm b) 6cm, 14cm e 18cm c) 3cm, 7cm e 9cm d) 10cm, 13cm e 15cm e) 5cm, 14cm e 19cm

13) ( UNICAMP ) A figura mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3cm e CD = 5cm. O segmento AD mede 13cm e as retas BBe C são paralelas a D. Determine os comprimentos dos segmentos AB, BC e CD

14) ( FUVEST ) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4cm, e a altura relativa a essa base mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é:

a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16

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em centímetros, a medida do segmento CD

15) Na figura abaixo as circunferências de centros A e B têm raios 9cm e 6 cm, respectivamente, e a distância entre os centros é 25cm. A reta t é uma tangente interior às circunferências nos pontos C e D. Calcule,

AULAS 05

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Triângulos Quaisquer

Triângulo Equilátero

Quadriláteros PARALELOGRAMO

Círculo e suas partes Círculo

A = πR2 Coroa Circular

A = π (R2 – r2 ) Setor Circular

Exercícios de Sala

01) ( FCC-SP ) O retângulo ABCD tem área 105 m2. O lado do quadrado EFGD mede, em m: A

02) A área da coroa limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita a um quadrado de lado 3 é:

a) 2,25π b) 5π c) 4π d) 2π e) 8π

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Tarefa Mínima

01) ( FCC-SP ) A área do triângulo ABC, conforme a figura, é:

a) 3 b) 23 c) 3 d) 43 e) 6

02) ( CEFET-PR ) A área do hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 2 é igual a:

c) 23 cm2d) 2 cm2

a) 3 3 cm2 b) 32cm2 e) n.d.a.

03) ( UFSC ) O triângulo ABC está inscrito em uma circunferência de centro O, cujo diâmetro mede 10cm. Se a corda AB mede 6cm, então a área sombreada, em centímetros quadrados, é:

04) ( UFPR ) Um retângulo de 6m por 12m está dividido em três retângulos, A, B e C, dispostos conforme a figura abaixo, de modo que a área de B é a metade da de A e um terço da de C.

Com base nessas informações, é correto afirmar:

01. A soma das áreas de A, B e C é 72m2. 02. A área de A é 1/6 da área de C. 04. A área de A é 24m2. 08. Um dos lados de A mede 2m. 16. Um dos lados de C mede 8m.

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