livro-edo-joao atualizado

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Universidade Federal do Piauı - UFPI

Centro de Eduacao Aberta e a Distancia - CEAD Coordenacao do Curso de Matematica

Equacoes Diferenciais Ordinarias Joao Carlos de Oliveira Souza

PRESIDENTE DA REPUBLICA Dilma Rousseff MINISTRO DA EDUCACAO Fernando Haddad GOVERNADOR DO ESTADO DO PIAUI Wilson Martins REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI Luiz de Sousa Santos Junior SECRETARIO DE EDUCACAO A DISTANCIA DO MEC Carlos Eduardo Bielschowsky COORDENADOR GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Celso Costa DIRETOR DO CENTRO DE EDUCACAO ABERTA A DISTANCIA DA UFPI Gildasio Guedes Fernandes DIRETOR DO CENTRO DE CIENCIAS DA NATUREZA Helder Nunes da Cunha COORDENADOR DO CURSO DE MATEMATICA NA MODALIDADE EAD Joao Benıcio de Melo Neto

Copyright c© 2011. Todos os direitos desta edicao estao reservados a Universidade Federal do Piauı (UFPI). Nenhuma parte deste material podera ser reproduzida, transmitida e/ou gravada, por qualquer meio eletronico, por fotocopia e outros, sem a previa autorizacao, por escrito, do autor.

Diante de Deus, somos todos igualmente sabios e igualmente tolos.

Albert Einstein

4 Prefacio

Este livro de Equacoes Diferenciais Ordinarias e destinado, principalmente, a alunos de cursos de graducao que sejam familiarizados com calculo (de uma ou varias variaveis) e algebra linear. Os conceitos e resultados apresentados sao ilustrados com uma grande quantidade de exemplos. Praticamente todos os teoremas sao acompanhados de suas demonstracoes, onde poucos teoremas utilizam-se de resultados nao demonstrados. O texto e composto por sete capıtulos contendo a ementa de um primeiro curso de equacoes diferenciais ordinarias, onde, em um deles e apresentado um apendice com resultados de calculo. No final de cada capıtulo sao enumerados alguns exercıcios que ilustram e complementam a teoria vista.

No primeiro capıtulo e apresentado um pouco da historia das equacoes diferenciais, suas deficoes basicas, classificacoes quanto ao tipo, ordem, grau etc. Definimos solucao de uma equacao diferencial e problemas de valor inicial.

No capıtulo dois estudamos as equacoes diferenciais de primeira ordem. Apresentamos metodos para determinar, explicitamente, a solucao de alguns tipos de equacoes diferenciais ordinarias de primeira ordem, tais como: equacoes lineares, separaveis, homogeneas e exata. Tambem mostramos um metodo para encontrar a solucao geral das equacoes de Bernoulli e Riccati. No final do capıtulo e discutido algumas aplicacoes dessas equacoes em outras ciencias, como problemas de crescimento e decrescimento, dinamicas de populacoes, resfriamento de um corpo e diluicao de solucoes.

No terceiro capıtulo estudamos o teorema de existencia e unicidade para problemas de valor inicial, bem como sua demonstracao usando o metodo de Picard ou metodo das aproximacoes sucessivas. Tambem estudamos o lema de Gronwall e o teorema da dependencia contınua, ambos de grande utilidade nas aplicacoes das equacoes diferenciais.

No capıtulo quatro sao abordadas as equacoes diferenciais lineares de ordem superior. Inicialmente, estudamos as equacoes lineares de segunda ordem. Em seguida, veremos como determinar a solucao de equacoes lineares de ordem superior usando metodo da equacao caracterıstica e metodo de reducao de ordem para equacoes dife- renciais lineares homogeneas com coeficientes constantes. Para as equacoes lineares nao homogeneas com coeficientes constantes, estudamos os metodos de variacao dos parametros e coeficientes a determinar. Nas equacoes lineares com coeficientes variaveis estudamos os metodos de Cauchy - Euler e das series de potencias. Finalizamos o capıtulo com algumas aplicacoes das equacoes diferenciais de segunda ordem, com problemas de molas, flutuacao e circuitos eletricos.

No quinto capıtulo sao estudados os sistemas de equacoes diferenciais lineares.

Sao definidos sistema canonico e sistema normal e apresentado um metodo para se resolver esses sistemas. Em seguida, temos os sistemas na forma simetrica, bem como um metodo para determinar sua solucao geral.

No capıtulo seis apresentamos um resumo da teoria de calculo de uma variavel, principalmente, sobre tecnicas de derivacao e primitivacao, que sao indispensaveis no estudo das equacoes diferenciais.

Finalmente, no ultimo capıtulo, encontramos as solucoes de praticamente todos os exercıcios enunciados no livro.

Sumario

1.1 Contexto Historico9
1.2 Definicoes Basicas16
1.3 Solucao de uma Equacao Diferencial17
1.4 Equacoes Diferenciais Lineares20
1.5 Problemas de Valor Inicial21

1 Equacao Diferencial 9

2.1 Equacoes Lineares27
2.2 Equacoes Separaveis3
2.3 Equacoes Homogeneas34
2.4 Equacoes Exatas37
2.5 Equacao de Bernoulli47
2.6 Equacao de Riccati50
2.7 Equacao de Clairaut53
2.8 Aplicacoes das Equacoes Diferenciais de Primeira Ordem54

2 Equacoes Diferenciais de Primeira Ordem 27

4.1 Equacoes Lineares de Segunda Ordem85
4.2 Equacoes Lineares de Ordem n95
4.3 Equacoes Lineares Homogeneas com os Coeficientes Constantes97
4.3.1 Equacao caracterıstica97
4.3.2 Metodo de reducao de ordem104

4 Equacoes Diferenciais de Ordem Superior 85 7

4.4 Equacoes Lineares Nao Homogeneas com Coeficientes Constantes105
4.4.1 Metodo de variacao dos parametros106
4.4.2 Metodo dos coeficientes a determinar110
4.5 Equacoes Lineares com Coeficientes Variaveis117
4.5.1 Equacao de Cauchy-Euler118
4.5.2 Metodo das series de potencias119
4.6 Aplicacao das Equacoes Diferenciais de Segunda Ordem122
4.6.1 Problemas de mola122
4.6.2 Problemas de flutuacao124
4.6.3 Problemas de circuitos eletricos124

Sumario 8

5.1 Sistema Canonico e Sistema Normal129
5.2 Sistema na Forma Simetrica136

5 Sistema de Equacoes Diferenciais Lineares 129

6.1 Limite e Continuidade141
6.2 Derivada143
6.3 Integral145

7 Solucao dos Exercıcios 147 Referencias Bibliograficas 155

Capıtulo 1 Equacao Diferencial

1.1 Contexto Historico

De varias maneiras, equacoes diferenciais sao o coracao da analise e do calculo, dois dos mais importantes ramos da matematica nos ultimos 300 anos. Equacoes diferenciais sao uma parte integral ou um dos objetivos de varios cursos de graduacao de calculo. Como uma ferramenta matematica importante para ciencias fısicas, a equacao diferencial nao tem igual. Assim, e amplamente aceito que equacoes diferenciais sao importantes em ambas matematica pura e aplicada. A historia sobre este assunto e rica no seu desenvolvimento e e isto que estaremos olhando aqui.

Os fundamentos deste assunto parecem estar dominados pelas contribuicoes de um homem, Leonhard Euler, que podemos dizer que a historia deste assunto comeca e termina com ele. Naturalmente, isto seria uma simplificacao grosseira do seu desenvolvimento. Existem varios contribuintes importantes, e aqueles que vieram antes de Euler foram necessarios para que ele pudesse entender o calculo e a analise necessarios para desenvolver muitas das ideias fundamentais. Os contribuintes depois de Euler refinaram seu trabalho e produziram ideias inteiramente novas, inacessıveis a perspectiva do seculo XVIII de Euler e sofisticadas, alem do entendimento de apenas uma pessoa.

Esta e a historia do desenvolvimento das equacoes diferenciais. Daremos uma pequena olhada nas pessoas, nas equacoes, nas tecnicas, na teoria e nas aplicacoes.

A historia comeca com os inventores do calculo, Fermat, Newton e Leibniz. A

Capıtulo 1. Equacao Diferencial 10 partir do momento que estes matematicos brilhantes tiveram entendimento suficiente e notacao para a derivada, esta logo apareceu em equacoes e o assunto nasceu. Contudo, logo descobriram que as solucoes para estas equacoes nao eram tao faceis. As manipulacoes simbolicas e simplificacoes algebricas ajudaram apenas um pouco. A integral (antiderivada) e seu papel teorico no Teorema Fundamental do Calculo ofereceu ajuda direta apenas quando as variaveis eram separadas, em circunstancias muito especiais. O metodo de separacao de variaveis foi desenvolvido por Jakob Bernoulli e generalizado por Leibniz. Assim, estes pesquisadores iniciais do seculo XVII focalizaram estes casos especiais e deixaram um desenvolvimento mais geral das teorias e tecnicas para aqueles que os seguiram.

Ao redor do inıcio do seculo XVIII, a proxima onda de pesquisadores de equacoes diferenciais comecou a aplicar estes tipos de equacoes a problemas em astronomia e ciencias fısicas. Jakob Bernoulli estudou cuidadosamente e escreveu equacoes diferenciais para o movimento planetario, usando os princıpios de gravidade e momento desenvolvidos por Newton. O trabalho de Bernoulli incluiu o desenvolvimento da catenaria e o uso de coordenadas polares. Nesta epoca, as equacoes diferenciais estavam interagindo com outros tipos de matematica e ciencias para resolver problemas aplicados significativos. Halley usou os mesmos princıpios para analisar a trajetoria de um cometa que hoje leva seu nome. O irmao de Jakob, Johann Bernoulli, foi, provavelmente, o primeiro matematico a entender o calculo de Leibniz e os princıpios de mecanica para modelar matematicamente fenomenos fısicos usando equacoes diferenciais e a encontrar suas solucoes. Ricatti comecou um estudo serio de uma equacao em particular, mas foi limitado pelas teorias do seu tempo para casos especiais da equacao que leva hoje seu nome. Os Bernoullis, Jakob, Johann e Daniel, todos estudaram os casos da equacao de Ricatti tambem. Na epoca, Taylor usou series para ”resolver”equacoes diferenciais, outros desenvolveram e usaram estas series para varios propositos. Contudo, o desenvolvimento de Taylor de diferencas finitas comecou um novo ramo da matematica intimamente relacionado ao desenvolvimento das equacoes diferenciais. No inıcio do seculo XVIII, este e muitos outros matematicos tinham acumulado uma crescente variedade de tecnicas para analisar e resolver muitas variedades de equacoes diferenciais. Contudo, muitas equacoes ainda

Capıtulo 1. Equacao Diferencial 1 eram desconhecidas em termos de propriedades ou metodos de resolucao. Cinquenta anos de equacoes diferenciais trouxeram progresso consideravel, mas nao uma teoria geral.

O desenvolvimento das equacoes diferenciais precisava de um mestre para consolidar e generalizar os metodos existentes e criar novas e mais poderosas tecnicas para atacar grandes famılias de equacoes. Muitas equacoes pareciam amigaveis, mas tornaram-se decepcionantemente difıceis. Em muitos casos, tecnicas de solucoes iludiram perseguidores por cerca de 50 anos, quando Leonhard Euler chegou a cena das equacoes diferenciais. Euler teve o benefıcio dos trabalhos anteriores, mas a chave para seu entendimento era seu conhecimento e percepcao de funcoes. Euler entendeu o papel e a estrutura de funcoes, estudou suas propriedades e definicoes. Rapidamente, achou que funcoes eram a chave para entender equacoes diferenciais e desenvolver metodos para suas resolucoes. Usando seu conhecimento de funcoes, desenvolveu procedimentos para solucoes de muitos tipos de equacoes. Foi o primeiro a entender as propriedades e os papeis das funcoes exponenciais, logarıtmicas, trigonometricas e muitas outras funcoes elementares. Euler tambem desenvolveu varias funcoes novas baseadas em solucoes em series de tipos especiais de equacoes diferenciais. Suas tecnicas de conjecturar e encontrar os coeficientes indeterminados foram etapas fundamentais para desenvolver este assunto. Em 1739, desenvolveu o metodo de variacao de parametros. Seu trabalho tambem incluiu o uso de aproximacoes numericas e o desenvolvimento de metodos numericos, os quais proveram ”solucoes”aproximadas para quase todas as equacoes. Euler entao continuou aplicando o trabalho em mecanica que levou a modelos de equacoes diferenciais e solucoes. Ele era um mestre que este assunto necessitava para se desenvolver alem de seu inıcio primitivo, tornando-se um assunto coeso e central ao desenvolvimento da matematica aplicada moderna.

Depois de Euler vieram muitos especialistas que refinaram ou estenderam muitas das suas ideias. Em 1728, Daniel Bernoulli usou os metodos de Euler para ajuda-lo a estudar oscilacoes e as equacoes diferenciais que produzem estes tipos de solucoes. O trabalho de D’Alembert em Fısica Matematica envolveu equacoes diferenciais parciais e exploracoes por solucoes das formas mais elementares destas equacoes. Lagrange

Capıtulo 1. Equacao Diferencial 12 seguiu de perto os passos de Euler, desenvolvendo mais teoria e estendendo resultados em mecanica, especialmente equacoes de movimento (problema dos tres corpos) e energia potencial. As maiores contribuicoes de Lagrange foram provavelmente na definicao de funcao e propriedades, o que manteve o interesse em generalizar metodos e analisar novas famılias de equacoes diferenciais. Lagrange foi provavelmente o primeiro matematico com conhecimento teorico e ferramentas suficientes para ser um verdadeiro analista de equacoes diferenciais. Em 1788, ele introduziu equacoes gerais de movimento para sistemas dinamicos, hoje conhecidas como equacoes de Lagrange. O trabalho de Laplace sobre a estabilidade do sistema solar levou a mais avancos, incluindo tecnicas numericas melhores e um maior entendimento de integracao. Em 1799, introduziu as ideias de um laplaciano de uma funcao. Laplace, claramente reconheceu as raızes de seu trabalho quando escreveu ”Leia Euler, leia Euler, ele e nosso mestre”. O trabalho de Legendre sobre equacoes diferenciais foi motivado pelo movimento de projeteis, pela primeira vez levando em conta novos fatores tais como resistencia do ar e velocidades iniciais. Lacroix foi o proximo a deixar sua marca. Trabalhou em avancos nas equacoes diferenciais parciais e incorporou muitos dos avancos desde os tempos de Euler ao seu livro. A contribuicao principal de Lacroix foi resumir muitos dos resultados de Euler, Lagrange, Laplace, e Legendre. O proximo na ordem foi Fourier. Sua pesquisa matematica fez contribuicoes ao estudo e calculos da difusao de calor e a solucao de equacoes diferenciais. Muito deste trabalho aparece em The Analytical Theory of Heat (A Teoria Analıtica do Calor, 1822) de Fourier, no qual ele fez uso extensivo da serie que leva seu nome. Este resultado foi uma ferramenta importante para o estudo de oscilacoes. Fourier, contudo, pouco contribuiu para a teoria matematica desta serie, a qual era bem conhecida anteriormente por Euler, Daniel Bernoulli, e Lagrange. As contribuicoes de Charles Babbage vieram por uma rota diferente. Ele desenvolveu uma maquina de calcular chamada de Maquina de Diferenca que usava diferencas finitas para aproximar solucoes de equacoes.

O proximo avanco importante neste assunto ocorreu no inıcio do seculo 19, quando as teorias e conceitos de funcoes de variaveis complexas se desenvolveram. Os dois contribuintes principais deste desenvolvimento foram Gauss e Cauchy. Gauss usou equacoes diferenciais para melhorar as teorias das orbitas planetarias e gravitacao.

Capıtulo 1. Equacao Diferencial 13

Gauss estabeleceu a teoria do potencial como um ramo coerente da matematica. Tambem reconheceu que a teoria das funcoes de uma variavel complexa era a chave para entender muitos dos resultados necessarios em equacoes diferenciais aplicadas. Cauchy aplicou equacoes diferenciais para modelar a propagacao de ondas sobre a superfıcie de um lıquido. Os resultados sao agora classicos em hidrodinamica. Inventou o metodo das caracterısticas, o qual e importante na analise e solucao de varias equacoes diferenciais parciais. Cauchy foi o primeiro a definir completamente as ideias de convergencia e convergencia absoluta de series infinitas e iniciou uma analise rigorosa de calculo e equacoes diferenciais. Tambem foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistematica para numeros complexos e a desenvolver a transformada de Fourier para prover solucoes algebricas para equacoes diferenciais.

Depois destas grandes contribuicoes de Gauss e Cauchy, outros puderam refinar estas teorias poderosas e aplica-las a varios ramos da ciencia. Os trabalhos iniciais de Poisson em mecanica apareceram em Traite de mecanique em 1811. Aplicou seu conhecimento de equacoes diferenciais a aplicacoes em fısica e mecanica, incluindo elasticidade e vibracoes. Muito de seu trabalho original foi feito na solucao e analise de equacoes diferenciais. Outro aplicador destas teorias foi George Green. O trabalho de Green em fundamentos matematicos de gravitacao, eletricidade e magnetismo foi publicado em 1828 em An Essay on the Application of Mathematical Analysis to Electricity and Magnetism. A matematica de Green proveu a base na qual Thomson, Stokes, Rayleigh, Maxwell e outros construıram a teoria atual do magnetismo. Bessel era um amigo de Gauss e aplicou seu conhecimento sobre equacoes diferenciais a Astronomia. Seu trabalho sobre funcoes de Bessel foi feito para analisar perturbacoes planetarias. Posteriormente, estas construcoes foram usadas para resolver equacoes diferenciais. Ostrogradsky colaborou com Laplace, Legendre, Fourier, Poisson e Cauchy enquanto usava equacoes diferenciais para desenvolver teorias sobre a conducao do calor. Joseph Liouville foi o primeiro a resolver problemas de contorno resolvendo equacoes integrais equivalentes, um metodo refinado por Fredholm e Hilbert no inıcio da decada de 1900. O trabalho de Liouville sobre a teoria de integrais de funcoes elementares foi uma contribuicao substancial para solucoes de equacoes diferenciais. As investigacoes teoricas e experimentais de Stokes cobriram

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