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Aula 17 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática, Notas de aula de Direito

Aula 17 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática

Tipologia: Notas de aula

2015

Compartilhado em 04/02/2015

fabiana-silva-41
fabiana-silva-41 🇧🇷

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Baixe Aula 17 Raciocínio Lógico-Quantitativo e Matemática e outras Notas de aula em PDF para Direito, somente na Docsity! Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Aula 17: 4. Trigonometria. SUMARIO I. Ângulos...............................................................................................2 II. Ciclo trigonométrico. ......................................................................... 2 III. Seno, Cosseno e Tangente.............................................................. 5 111.1 Seno............................................................................................5 111.2 Cosseno. ..................................................................................... 6 111.3 Relação Fundamental. ..................................................................7 111.4 Tangente. .................................................................................. 12 111.5 Valores notáveis. ...................................................................... 14 111.6 Ângulos Complementares, Suplementares, Replementares e Explementares. .................................................................................. 15 IV. Secante, Cossecante e Cotangente. .................................................18 V. Outras Relações Trigonométricas Importantes. ................................ 21 VI. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo. ..........................25 VII. Mais Questões Comentadas............................................................ 32 VIII. Lista das Questões Apresentadas..................................................34 Olá, Pessoal, como estão os estudos? Hoje o assunto é Trigonometria! Assim como sobre o tema Geometria Básica, eu também não tenho o compromisso de varrer toda a teoria de Trigonometria. Se assim fosse, este nosso curso deveria durar, pelo menos, mais um ano. Não! Nós não temos esse tempo todo para a prova! Por essa razão, nossa Aula de hoje será focada nas fórmulas que caem em prova e na Resolução de exercícios e eu vou pontuar os assuntos e fórmulas que julgo mais importantes para a sua prova! Como eu sempre falo, este não é um curso de doutorado em Matemática; este é um curso voltado para sua aprovação no concurso da Receita! E eu te espero lá! Um forte Abraço! Vamos começar? Prof. Felipe Lessa W W W .e S tr a te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 1 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 I. Ângulos Os ângulos podem ser medidos em graus(°) ou radianos(rad). A relação entre essas unidade de medida é a seguinte: CAIU na prova! 180o = nrad é importantíssimo que você saiba realizar esta conversão! Veja como fazer: Exemplo: Converta 45° em radianos. É muito simples. Basta fazer uma regra de três simples: 180°------------------- n rad 45° ------------------- x n n x = ----- = — rad II. Ciclo trigonométrico O ciclo trigonométrico nada mais é do que um círculo de Raio = 1, com dois eixos ortogonais que passam pelo seu centro. Estes eixos dividem o ciclo trigonométrico em 4 quadrantes. 9 0 o n 2 0° - Ok, Professor. Mas para que serve este tal "ciclo trigonométrico"? - O ciclo trigonométrico é nosso GRANDE AMIGO no estudo da trigonometria. Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 2 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 III. Seno, Cosseno e Tangente III.1 Seno No ciclo trigonométrico, o seno é o eixo vertical. Repare que ele varia de - 1 a +1, porque o Raio do ciclo trigonométrico é igual a 1. Veja: Questão 2: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil-Financeira/2000 A expressão dada por y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é a) -1 < y < 7 b) -7 < y < 1 c) -7 < y < -1 d) 1 < y < 7 e) 1 < y < 7 SOLUÇÃO: A função seno varia de -1 a 1. O menor valor de y ocorrerá quando sen x=-1; y=1 0 maior valor de y ocorrerá quando sen x=+1; y=7 1 < y < 7 Gabarito: Letra E Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 5 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM III.2 Cosseno Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 No ciclo trigonométrico, o cosseno é o eixo horizontal. Repare que ele varia de -1 a +1, porque o Raio do ciclo trigonométrico é igual a 1. Veja: Questão 3: ESAF - AFC (CGU)/CGU/2002 A expressão dada por y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo de variação de y é: a) -4<y<8 b) 0<y<8 c) -»<y<» d ) 0<y<4 e) 0<y<8 SOLUÇÃO: A função cosseno varia de -1 a 1. O menor valor de y ocorrerá quamo cos x=-1; y=0 0 maior valor de y ocorrerá quando cos x=+1; y=8 1 < y < 7 Gabarito: Letra E Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 6 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 III.3 Relação Fundamental A seguir, apresentamos a relação fundamental da trigonometria que você TEM QUE SABER para sua prova!!!! Ela é importantíssima e cai em TODA PROVA de Trigonometria que se preza: sen2x + cos2x = 1 Questão 4: ESAF -TFC/1995 Se x é um arco do segundo quadrante e sen x = 4/5, então cos x é: a ) -5/3 b) 5/3 c) ± 3/5 d) 3/5 e ) -3/5__________________________________________________ SOLUÇÃO: Aplicando a Relação Fundamental: sen2x + cos2x = ̂ + cos2x = Resolvendo a equação, cosx = + — Como a questão fala que x é um arco do 2° quadrante, seu cosseno só pode ser negativo. cosx = — Gabarito: Letra E Questão 5: ESAF -Processo Seletivo Simplificado/2008 Se x é um arco do segundo quadrante e sen x = 1/2, então tg x é: a) i ■ b) 1vf c) _V33 d) V22 e) 13 Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 7 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Estratégia r n n r ii r >; n <:C O N C U R S O S Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Como o produto senxcosx pode assumir valores entre -1 e 1, para eu garantir que (2+y)senxcosx seja igual a 0 sempre, (2+y) tem que ser igual a 0. O valor de y que torna a expressão nula é: Questão 9: ESAF - Oficial de Chancelaria/MRE/2002 Sabendo que x = 3sent e y = 4cost, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por: a) 16y2- 9x2= 144 b) 16x2-9y2= 144 c) 16y2+9x2= 144 d) 16x2+ 9y2= 144 e) 9y2- 16x2= 144 SOLUÇÃO: Gabarito: Letra D Y cost = 4 Aplicando a Relação Fundamental: sen2t + cos2t = 1 1 6 x2 + 9y2 = 1 44 Gabarito: Letra D Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 10 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Questão 10: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil-Financeira/2005 O sistema dado pelas equações (x sen a - y cosa = -cos 2 a [x cos a +y sen a = sen 2 a possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que "a" é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a a) 1 b) 2 c) 4 d) sen n e) cos n__________________________________________________ SOLUÇÃO: Comecemos a questão elevando ambas as equações ao quadrado: (xsena — ycosa) 2 = ( —cos 2 a)2 x2sen2a — 2xysenacosa + y 2cos2a = cos22 a ( í) (xcosa + ysena)2 = (sen2a)2 x2cos2a + 2xysenacosa + y 2sen2a = sen22a (ii) Somando (i) e (ii): x2sen2a + x2cos2a + 2 xysenacosa — 2 xysenacosa + y2sen2a + y2cos2a = sen22 a + cos22 a x2{sen2a + cos2a) + 2 xysenacosa— 2 xysenacosa + y 2{sen2a + cos2a) = sen22 a + cos22 a Mas, pela relação fundamental: sen2a + cos2a = 1 sen2 2 a + cos2 2 a = 1 Ficamos com: x2 - 1 + y 2 -1 = x2 + y 2 = 1 Esta já é a soma do quadrado das raízes Gabarito: Letra A Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 11 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 III.4 Tangente tgx = senx cosx No ciclo trigonométrico, a tangente é uma reta paralela ao eixo dos senos. Repare que ela varia de -ro a + ro. Veja: Questão 11: ESAF - AFT/MTE/2006 Sabendo-se que 3 cos x + sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a: a ) -4/3 b) 4/3 c) 5/3 d ) -5/3 e) 1/7___________________________________________________ SOLUÇÃO: 3 cosx + senx = — 1 ( í) senx = — 1 — 3 cosx Usando a relação fundamental: sen2x + cos2x = ( —1 — 3 cosx)2 + cos2x = 1 + 6 cosx + 9 cos2x + cos2x = —6cosx = 10cos2x Soluções: cosx = ou cosx = — Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 12 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 III.6 Ângulos Complementares, Suplementares, Replementares e Explementares Ângulos Complementares são aqueles cuja soma é igual a 90°, digamos 0 e 90°-0. Para achar o valor do seno e do cosseno do ângulo complementar a um ângulo 0 dado, recorremos ao ciclo trigonométrico. Repare que o sen0 é igual ao cosseno de (90-0) e o cos0=sen(9O-0): Ângulos Suplementares são aqueles cuja soma é igual a 180°, digamos 0 e 18O°-0. Para achar o valor do seno e do cosseno do ângulo suplementar a um ângulo 0 dado, recorremos igualmente ao ciclo trigonométrico. Repare que o sen0 é igual ao seno de (180-0) e o cos0=-cos(18O-0): Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 15 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Ângulos Replementares são aqueles cuja soma é igual a 360°, digamos 0 e 36üo-0. Para achar o valor do seno e do cosseno do ângulo replementar a um ângulo 0 dado, recorremos também ao ciclo trigonométrico. Repare que o sen0 é igual ao negativo do seno de (360-0) e o cos0=cos(360-0): Ângulos Explementares são aqueles cuja diferença é igual a 180°, digamos 0 e 18O°+0. Deixo a seu encargo as conclusões acerca do seno e do cosseno do ângulo 18O°+0! Segue um resumo dessas principais relações: CAIU na prova! cos(90 ° - 0) = senO sen( 90° — 0) = cosO sen( 180° — 0) = senG q ís(180o - 0) = -cosO tflf(180° — 0) = —tg0 sen(360° - 0) = -senO cos(360° - 0) = cosO tg{360° — 0) = —tgx sen( 180° + 0) = -senO cos(180° + 0) = -cosO íg(180° + 0) = tgO Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 16 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Questão 13: ESAF - EPPGG/2000 28- Sabe-se que o seno de 60° é igual a (31/2)/2, e que cosseno de 60° é igual a 1/2. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo X é igual ao dobro do produto do seno de X pelo cosseno de X. Assim, a tangente do ângulo suplementar a 60° é: a) - 1/2 b) - ( 3 / c) 3 / d ) (3%)/2 e) - (31/2)/2_______________________________________________ SOLUCAO: A questão quer saber a tangente de 180o-60o. Da fórmula, sabemos que: tg{ 1 80 — 0) = —tg0 Logo, tg( 180 — 60) = —tg 6 Mas, tg 6 0 ° = Gabarito: Letra B tg {180 - 60) = -V 3 Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 17 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 SOLUCAO: X é um arco do segundo quadrante, ou seja: cosx < 0 senx > 0 A questão também nos informa que: sen2x = 2 senx ■ cosx cos{x/2 ) = 1 / 3 A questão quer saber: 1 cossecx = ------ senx Vamos trabalhar com a fórmula que o enunciado nos deu do seno de 2x, mas vamos transformá-la um pouco pois nós não estamos interessados em calcular sen2x e sim senx. X X senx = 2 sen ■ cos • 2 2 Note que a questão já nos deu o valor de cos(x/2). Usaremos a relação fundamental para descobrir o sen(x/2). sen2x/2 + cos2x/2 = 1 x 2 V2 s e n ( ? ) = ± — Agora, vem um pulo do gato da questão. Como x é um arco do 2° quadrante, (x/2) só pode ser um arco do 1° quadrante. Logo, seu seno é positivo. Disto concluímos que: x 2 V2 s e n ( ? ) = + — Então, 2a/2 1 4a/2 senx = 2 ■ ■ = 3 3 9 Como a questão quer saber 1 9 9V2 cossecx = ------ = = senx 4V2 ° Esta resposta não aparece nas opções. Por isso, foi anulada. Gabarito: Anulada Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 20 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 V. Outras Relações Trigonométricas Importantes S o m a e D ife r e n ç a d e A r c o s : cos(a + b) = cosa ■ cosb - sena ■ senb cos(a - b) = cosa ■ cosb + sena ■ senb sen(a + tí) = sena ■ cosb + senb ■ cosa sen(a - tí) = sena ■ cosb - senb ■ cosa tg(a + tí) = tg(a - b ) = tga + tgò 1 - í^a ■ tgò í^a - tgò 1 + tga ■ tgb Q u e s t ã o 1 7 : ESAF - AFC (C G U )/C G U /A u d ito r ia e F i s c a l i z a ç ã o / S a ú d e / 2 0 0 8 S a b e n d o q u e x = arccos ^ e q u e y = arcsen^ , e n t ã o o v a lo r d a e x p r e s s ã o cos { x - y ) é ig u a l a : a ) V6+V24 b ) V6-V24 c ) V22 d ) 3 + f e ) 2 SOLUÇÃO: A primeira coisa que se deve comentar nessa questão é a respeito das funções arcsen e arccos. Elas são as funções inversas do sen e do cos, respectivamente. Se x = arccos—, então cosx = ^2/ 2. Se y = arcsen - , então2 2 2 seny = 2. Um detalhe importantíssimo é que a função arccos só é definida no intervalo de 0 a 180° (0 a n) e a função arcsen só é definida no intervalo de -90° a 90° (-| a | ). Dessa forma, posso afirmar que: Se x = arccos^-, então cosx = ^ 2 , então x=45° Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 21 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Se y = arcsen^ , então seny = 1/2, então x=30° Vamos calcular o que a questão pede: cos(x — y) = cosx ■ cosy + senx ■ seny cos(45 - 30) = ^ / 2 / 2 + ^ / 2 ■ V 2 = ^ / 4 + ^ / 4 Gabarito: Letra A Arco Duplo: Questão 18: ESAF - AFC (CGU)/CGU/Auditoria e Fiscalização/Geral/2012 Calcule o determinante da matriz: cosx senx\ \senx cosx) a) 1 b) 0 c) cos 2x d) sen 2x e) sen (x/2)______________________________________________ SOLUÇÃO: cosx senx senx cosx = cos2x — sen2x = cos 2 x Gabarito: Letra C Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 22 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM VI. Relações Retângulo Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Trigonométricas no Triângulo As relações trigonométricas também estão presentes dentro dos triângulos co = cateto oposto ao ângulo ca = cateto adjacente ao ângulo hip = hipotenusa Vamos aos exercícios? Questão 22: ESAF - AFRFB/SRFB/2009 Um projétil é lançado com um ângulo de 30° em relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento? a) 0,333 km b) 0,625 km c) 0,5 km d) 1,3 km e) 1 km SOLUCAO: Convertendo a velocidade de km/h para m/s, temos: 900km/h -h 3,6 = 2 50m/s (Sim, para converter de km/h para m/s, basta dividir por 3,6. Se você quisesse converter de m/s para km/h, bastaria multiplicar por 3,6) Em 5s, o projétil anda 5x250 = 1.250m. Temos o seguinte triângulo: Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 25 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 H = 625h Gabarito: Letra B Q u e s t ã o 2 3 : ESAF - AFC ( S T N ) / S T N /C o n t á b i l - F i n a n c e ir a /2 0 0 5 Em u m t r iâ n g u lo ABC q u a lq u e r , u m d o s la d o s m e d e V2 c m e u m o u t r o m e d e 2 c m . S e o â n g u lo f o r m a d o p o r e s s e s d o i s la d o s m e d e 4 5 ° , e n t ã o a á r e a d o t r iâ n g u lo é ig u a l a a ) 3 -1/3 b ) 2 1/2 c ) 2 -1/2 d ) 3V2 e ) 1 SOLUÇÃO: B 2 h 45° C Para descobrir quanto vale a altura h, calculemos o seno de 45° no triângulo ABH: CO send = nip A área vale: sen4 5 ° = = — h = b ■ h S = Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 26 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Gabarito: Letra E Questão 24: ESAF - ATRFB/SRFB/Geral/2012 Uma esfera foi liberada no ponto A de uma rampa. Sabendo-se que o ponto A está a 2 metros do solo e que o caminho percorrido pela esfera é exatamente a hipotenusa do triângulo retângulo da figura abaixo, determinar a distância que a esfera percorreu até atingir o solo no ponto B. A 2m a) 5 metros b) 3 metros c) 4 metros d) 6 metros e) 7 metros SOLUÇÃO: Para calcular a hipotenusa, usamos a fórmula do seno. sabendo um ângulo e o cateto oposto, CO send = nip 2 1 sen 3 0 ° = = ••• hip = 4 nip 2 Gabarito: Letra C Questão 25: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil-Financeira/2000 Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, x e (y-2). Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede x é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a a) 2y(x+1)_______________________________________________ Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 27 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 a) -1 b) 2 c) 1 d) 0 e) 2 /3 _________________________________________________________________________ SOLUÇÃO: A questão quer saber 1 -sen2x = cos2x. Esta questão é bem complicada. A maneira mais rápida de acertá-la é ir analisando as respostas. Veja: a) cos2x = -1 (Impossível, pois um número elevado ao quadrado deve ser positivo). Descartamos a letra A b) cos2x = 42 (Impossível pois cos2x deve ser um número menor do que 1. Descartamos a letra B c) cos2x = 1 (Impossível, pois isso nos levaria a um ângulo X de 0°, o que não acontece em um triângulo). Descartamos a letra C d) cos2x = 0 (Possível, mas isso nos levaria a um ângulo X de 90°. O nosso triângulo seria retângulo. Precisamos testar se o triângulo da questão pode ser um triângulo retângulo. e) cos2x = 42/3 (À primeira vista, possível, pois é menor do que 1. Mas quando consideramos que X é o maior ângulo do triângulo, ou seja, X>60°, e que cos260° =1/4, chegamos á conclusão que cos2x é obrigatoriamente menor do que 1á . Não é o que ocorre nesta hipótese: Descartamos a letra E Bem, agora só nos resta testar a letra D, ou seja, se nosso triângulo pode ser retângulo. Em um triângulo retângulo, as alturas coincidem com os catetos. Teríamos o seguinte desenho (note que a menor altura tem origem no vértice de maior ângulo do triângulo): Y Por Pitágoras, achamos a hipotenusa h: Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 30 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 h2 = 1 52 + 2 02 h = 2 5 Para saber se este valor está coerente, calculamos h1 e h2 nos triângulos XYH e XZH, por Pitágoras: 1 52 = 1 22 + h 1 2 h l = 9 2 02 = 1 22 + h2 2 h2 = 16 Perceba que, de fato, h = h1 + h2; 25 = 9 + 16. Nosso triângulo é retângulo mesmo. A letra D está correta. Gabarito: Letra D Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 31 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Estratégia r n n r ii r >; n <:C O N C U R S O S Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 VII. Mais Questões Comentadas... Questão 29: ESAF - AFRFB 2014 O cosseno de um ângulo x, com n/2<x< n, é igual a -7/25. Desse modo, a tangente de x/2 é igual a: a) -4/3 b) 4/3 c) -3/2 d) 3/23 e) 1______________________________________________________ SOLUÇÃO: Desenvolvemos as fórmulas do arco duplo para encontrar as relações do arco metade: cos 2 x = cos2x — sen2x Logo, Mas, Então: cosx = cos 2 ~ 1 + cos 2 = 2 cos 2 _ 1 Então: Da relação fundamental, vem: A tangente de x/2 vale então: Prof. Felipe Lessa www.estrategiaconcursos.com.br Página 32 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM a) - f b) 7s c) - f d) f e ) ! Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Questão 6: ESAF/MPOG/2003 Sabendo que x é o ângulo correspondente a um arco do segundo quadrante, e que tangente de x é igual a -12/5, então o seno de x é igual a: a) 1 2 /1 3 b) - 1 4 / 1 3 c) 1 3 /1 5 d) 1 0 /1 3 e ) - 1 2 / 1 5 Questão 7: ESAF - TFC (CGU)/CGU/2001 Se X = 3 sena e Y = 4 cosa , então, para qualquer ângulo , tem-se que: a) 16X 2 - 9 Y2 = -1 4 4 b) 16X 2 + 9 Y2 = 1 4 4 c) 16X 2 - 9 Y2 = 14 4 d) -1 6 X 2 + 9 Y2 = 1 4 4 e ) 16X 2 + 9 Y2 = -1 4 4 Questão 8: ESAF - AFTN/1998 O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: {cosx + senx)2 + ysenxcosx - i = o representa uma identidade é: a) 2 b) 0 c) -1 d) -2 e ) 1 Questão 9: ESAF - Oficial de Chancelaria/MRE/2002 Sabendo que x = 3sent e y = 4cost, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por: a) 1 6 y 2- 9 x 2= 14 4 b) 1 6 x 2-9 y 2= 1 4 4 c) 1 6 y 2+ 9 x 2= 1 4 4 d) 1 6 x 2+ 9 y 2= 1 4 4 e ) 9 y 2- 1 6 x 2= 1 4 4 Questão 10: ESAF - AFC (STN)/STN/Contábil-Financeira/2005 O sistema dado pelas equações Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 35 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 I a: sen a - y cos tf = -cos 2 a [x cos a +y sen a = sen 2 a possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que "a" é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a a) 1 b) 2 c) 4 d ) sen n e) cosn Questão 11: ESAF - AFT/MTE/2006 Sabendo-se que 3 cos x + sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a: a) -4/3 b) 4/3 c) 5/3 d) -5/3 e) 1/7 Questão 12: ESAF - AFT/MTE/2010 Seja y um ângulo medido em graus tal que 0° < y < 180° com y £ 90°. Ao multiplicarmos a matriz abaixo por a, sendo a £ 0, qual o determinante da matriz resultante? 1 tgy 1 a tgy 1 cosy seny cosy a) a cos y. b) a2 tg y. c) a sen y. d) 0. e) -a sen y. Questão 13: ESAF - EPPGG/2000 28- Sabe-se que o seno de 60° é igual a (3Vz)/2, e que cosseno de 60° é igual a 1/2. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo X é igual ao dobro do produto do seno de X pelo cosseno de X. Assim, a tangente do ângulo suplementar a 60° é: a) - 1/2 b) - (31/) c) 3/ d) (3/ )/2 e) - (3/ )/2 Questão 14: ESAF/Serpro/1996 Se sen x = 0,5, então (1/cotg x) vale: a) V3 b) V3/3 Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 36 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 C) 2 /Vã d) V ã / 2 e) V ã /4 Questão 15: ESAF/TFC/1995 Simplificando a expressão (sen a ■ tg a ■ cossec a)/ (cos a ■ cotg a ■ sec a), obtém-se: a) o b) l c) sen2a d) sec2a e) tg2a Questão 16: ESAF/Especialista em Pol. Públicas e Gestão Governamental/MPOG/2002 Sabe-se que a função inversa da função seno é a função cossecante e que o seno do dobro de um arco é dado por sen 2x = 2sen x cos x. Sabendo-se que x é um arco do segundo quadrante e que o cosseno da metade deste arco é igual a 1/3, então a cossecante de x vale: a) b) c) d) e) -2V3 3 -2V2 V3 3 2V3 AFC (CGU)/CGU/Auditoria eQuestão 17: ESAF Fiscalização/Saúde/2008 Sabendo que x = arccos — e que y = arcsen-, então o valor da expressão cos{x-y) é igual a: V6+V2 a) b) . c) 2̂ 4 V6—V2 V2d) Vã + ̂ e) V2 Questão 18: ESAF - AFC (CGU)/CGU/Auditoria e Fiscalização/Geral/2012 Calcule o determinante da matriz: cosx senx\ \senx cosx) a) 1 Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 37 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, z metros e (w - 2) metros. Sabendo-se que o ângulo oposto ao cateto que mede (w - 2) metros é igual a um ângulo de 450, então o perímetro desse triângulo, em metros, é igual a a) z "" (w - 2) b) z w (2 - V2 ) c) z w (2 + "" ) d) (z + w) (z + w _ ) e ) z (2 + “ ) Questão 27: ESAF - AIET/DNIT/Ambiental/2013 Suponha que um avião levanta voo sob um ângulo de 30o. Depois de percorrer 2.800 metros em linha reta sob o mesmo ângulo da decolagem, a altura em que o avião está do solo em relação ao ponto em que decolou é igual a: a) 1.400 metros b) 1.500 metros c) 1.650 metros d) 1.480 metros e) 1.340 metros Questão 28: ESAF - MPOG/2008 Sabendo-se que as alturas de um triângulo medem 12, 15 e 20 e que x é seu maior ângulo interno, então o valor de (1 - sen2x) é igual a: a) -1 b) c) 1 d) 0_ e) 7 Questão 29: ESAF - AFRFB 2014 O cosseno de um ângulo x, com n/2<x< n, é igual a -7/25. Desse modo, a tangente de x/2 é igugl a: a) -4/3 b) 4/3 c) -3/2 d) 3/23 e) 1 Prof. Felipe Lessa W W W .e S tra te g ia C O n C U rS O S .C O m .b r Página 40 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM Raciocínio Lógico Quantitativo e Matemática p/ AFRFB 2015 Teoria e exercícios comentados Prof. Felipe Lessa - Aula 17 ^^G abarito 1 2 3 4 5 6 7 8 C E E E C A B D 9 10 11 12 13 14 15 16 D A A D B B E - 17 18 19 20 21 22 23 24 A C A C A B E C 25 26 27 28 29 C E A D B Prof. Felipe Lessa w w w . e s t r a t e g ia c o n c u r s o s . c o m . b r Página 41 de 41 ATENÇÃO! ESSE MATERIAL PERTENCE AO SITE: WWW.MATERIALPARACONCURSOS.COM
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