Notas Teóricas

Notas Teóricas

ANALISE MATEMATICA I Engenharias Mecanica

Notas teoricas

Patrıcia Santos

Programa previsto

1. FUNC OES REAIS DE VARIAVEL REAL Revisoes - Funcoes trigonometricas, exponenciais e logarıtmicas. Limites e continuidade. Funcoes trigonometricas inversas e funcoes hiperbolicas.

2. CALCULO DIFERENCIAL EM IR Revisoes - Definicao de derivada de uma funcao real de variavel real, interpretacao geometrica, derivada da funcao composta e da funcao inversa e outras regras de derivacao. Teoremas fundamentais do calculo diferencial - Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. Indeterminacoes e regra de L’Hopital (regra de Cauchy). Acrescimos e diferenciais. Polinomios de Taylor.

3. PRIMITIVAC AO DE FUNC OES REAIS DE VARIAVEL REAL Definicao e propriedades. Primitivas imediatas e por decomposicao. Metodos de primitivacao: primitivacao de fracoes racionais; primitivacao por partes; primitivacao de funcoes trigonometricas; primitivacao por substituicao.

4. CALCULO INTEGRAL EM IR Integral de Riemann (integral definido): definicao e propriedades. Teorema Fundamental do Calculo. Resultados fundamentais: integracao por partes e por substituicao. Aplicacoes do integral definido: areas planas; comprimento de curvas; volumes de solidos de revolucao. Integral indefinido. Integral improprio de 1 especie.

5. INTRODUC AO AO ESTUDO DAS EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDINARIAS Definicao de equacao diferencial. Existencia e unicidade de solucao de uma equacao diferencial de primeira ordem. Equacoes diferenciais de primeira ordem: equacao linear de primeira ordem; equacao de Bernoulli; equacao de variaveis separaveis; equacao homogenea de grau zero.

6. COMPONENTE DE METODOS NUMERICOS (AULAS PRATICAS/LABORATORIAIS)

1. FUNC OES REAIS DE VARIAVEL REAL Funcoes trigonometricas

Outras funcoes trigonometricas

Alguns valores das funcoes trigonometricas no 1 quadrante

Identidades trigonometricas (Tabelas de Matematica p.1)

Do cırculo trigonometrico deduz-se facilmente a formula fundamental da trigonometria,

Dividindo a igualdade por um dos elementos cos2(x) ou sin2(x), obtem-se, respetivamente:

Angulos simetricos: As funcoes seno e cosseno sao, respetivamente, ımpar e par.

Formulas da soma e da diferenca de dois angulos:

Formulas de duplicacao dos angulos:

Equacoes trigonometricas (tabelas de matematica p.1)

1. Calcule os valores exatos.

3. Determine a solucao de cada equacao trigonometrica.

Funcao inversa

Seja f : A → B um funcao bijetiva (i.e. injetiva e sobrejetiva). Diz-se que a funcao g : B → A e inversa de f se verifica as condicoes:

Os graficos de uma funcao e da sua inversa sao simetricos relativamente a bissectriz dos quadrantes ımpares y = x.

ATENC AO: Se uma funcao nao e injetiva, entao, nao tem inversa. Dada uma funcao nao injetiva e necessario restringi-la a um intervalo de injetividade para definir a inversa nesse intervalo.

. Exemplo

Portanto, a funcao inversa de f e a funcao

Funcoes trigonometricas inversas

As funcoes trigonometricas sao periodicas, de modo que nao sao injetivas. Para definir a funcao inversa de uma funcao trigonometrica e necessario restringi-la a um intervalo conveniente.

A funcao inversa de sin(x) em I

De modo semelhante definem-se as funcoes inversas do cosseno, tangente e cotangente. • Funcao inversa do cosseno em [0,π]:

As funcoes inversas da secante e cossecante definem-se a partir das inversas do seno e cosseno.

. Exemplo

Determine a funcao inversa da restricao de f(x) = 2cos(3x) a um domınio de injetividade, (neste contexto, domınio de injetividade significa intervalo maximo de injetividade).

Resolucao

Portanto, a funcao inversa de g = f|D e

. Exercıcios – Funcoes trigonometricas inversas

1. Calcule os valores exatos.

Funcoes exponenciais e logarıtmicas

. Outras propriedades da funcao exponencial

. Funcao logaritmo

Propriedades da funcao logaritmo: domınio IR+; contradomınio IR; injetiva; contınua.

. Outras propriedades da funcao logaritmo

. Exemplo

Portanto, a funcao inversa de f e a funcao

. Exercıcios - Funcoes exponenciais e logarıtmicas

Funcoes hiperbolicas As funcoes hiperbolicas sao uma “classe de funcoes exponenciais”.

. Funcoes seno e cosseno hiperbolicas:

Propriedades: • seno hiperbolico – domınio IR; contradomınio IR; injetiva; ımpar; contınua.

A partir das funcoes sinh(x) e cosh(x) definem-se as funcoes secante, cossecante, tangente e cotangente hiperbolicas.

As funcoes hiperbolicas aparecem com frequencia na engenharia...

. Exemplo

A funcao cosseno hiperbolico utiliza-se, nomeadamente, para descrever a forma de um cabo flexıvel cujas extremidades estao fixas a mesma altura.

A curva definida pelo cabo chama-se catenaria e e definida por y = acosh(x/a), onde a e o mınimo da curva.

Formulas hiperbolicas

As funcoes hiperbolicas satisfazem identidades analogas as das funcoes trigonometricas, quase sempre as formulas diferem nos sinais das parcelas. Nomeadamente, as funcoes seno e cosseno hiperbolicas satisfazem a equacao de uma hiperbole equilatera, x2 − y2 = 1.

Dividindo a formula fundamental das funcoes hiperbolicas por um dos elementos cosh2(x) ou sinh2(x) obtem-se, respetivamente, uma das identidades:

Outras formulas hiperbolicas:

. Exercıcios - Funcoes hiperbolicas

1. Calcule os valores exatos:

Limites de funcoes reais de variavel real (r.v.r)

. Definicao (limite segundo Cauchy)

Diz-se que uma funcao f r.v.r. tem limite l quando x tende para a e escreve-se

Por outras palavras, a imagem f(x) esta tao proxima de l quanto se queira desde que o objeto x esteja suficientemente perto de a.

A definicao de limite generaliza-se facilmente para caso em que o limite da funcao f no ponto a e +∞ (−∞), neste caso, a imagem de f e tao grande (resp. tao pequena) quanto se queira desde que o objeto x esteja suficientemente proximo de a.

De forma semelhante, podemos definir os limites laterais da funcao f no ponto a. Limite a esquerda de f em a:

Limite a direita de f em a:

O limite de uma funcao f r.v.r num ponto a existe e e igual a l se e so se os limites laterais de f em a existem e sao iguais a l:

. Propriedades

Sejam C,l1 e l2 constantes reais e n um numero natural.

2. Se lim

3. Se lim

Alguns limites a recordar:

. Exemplo

lim

. Definicao (continuidade)

. Propriedades

3. Qualquer funcao polinomial p(x) e contınua em todo o seu domınio, i.e. e contınua em IR.

Se f e contınua em a e a imagem f(a) e positiva (negativa), entao existe um intervalo centrado em a onde f e positiva (resp. negativa).

. Definicao (continuidade num intervalo fechado)

Uma funcao diz-se contınua num intervalo fechado [a,b] se e contınua nos pontos do interior do intervalo, contınua a direita de a e contınua a esquerda de b.

Teorema de Bolzano ..

Se f e contınua em [a, b] e f(a) 6= f(b), entao f toma todos os valores entre f(a) e f(b).

Uma funcao contınua num intervalo fechado atinge no intervalo um maximo e um mınimo absolutos.

. Definicao (descontinuidades)

Seja f uma funcao descontinua num ponto a do seu domınio.

..1 A funcao f tem uma descontinuidade de 1 especie em a quando os limites laterais existem e sao finitos, mas ocorre uma das situacoes: i. os limites laterais sao diferentes; i. os limite laterais sao iguais, mas diferentes de f(a).

..2 A funcao f tem uma descontinuidade de 2 especie em a se um dos seus limites laterais nao existe ou nao e finito.

Exercıcio ..

Esboce o grafico de f e indique o seu domınio de continuidade.

2. CALCULO DIFERENCIAL EM IR Derivadas

Seja f uma funcao real de variavel real (r.v.r).

. Definicao (derivada)

A derivada de f num ponto a do seu domınio e dada pelo limite

Observacao: A derivada f′(a) existe se e so se as derivadas laterais

existem e sao iguais.

Interpretacao geometrica da derivada: A derivada f′(a) e o declive da reta tangente ao grafico de f no ponto de abcissa x = a.

A funcao f e diferenciavel num ponto a se f′(a) existe e e finita. Uma funcao diz-se diferenciavel se for diferenciavel em todos os pontos do seu domınio.

Se f e diferenciavel num ponto a entao e contınua em a.

Derivadas de ordem superior:

Seja f uma funcao r.v.r diferenciavel num subconjunto D do seu domınio. Entao, a derivada f′ e uma nova funcao r.v.r que a cada x ∈ D aplica f′(x). Nos pontos onde a funcao f′ e diferenciavel podemos definir a funcao f′′. De modo sucessivo, definem-se as funcoes derivada de ordem 3, 4; etc.

Notacoes:

dx2

. Algumas regras de derivacao:

Exercıcios - Derivadas ..

2. Determine a derivada das funcoes:

(a) x

Derivada da funcao composta e da funcao inversa

. Derivada da funcao composta

. Derivada da funcao inversa

Se f e uma funcao invertıvel e diferenciavel, entao, a funcao inversa f−1 e diferenciavel e

. Exercıcios - Derivada da funcao composta e da funcao inversa ..

1. Determine a derivada das funcoes: (a) etan(x)

2. Utilizando a formula da derivada da funcao inversa, mostre que a derivada de:

Teoremas fundamentais do calculo diferencial em IR

Teorema de Rolle ..

Dem. Pelo Teorema de Weierstrass, uma funcao contınua num intervalo fechado admite no intervalo um maximo M e um mınimo m absolutos. Se m = M = f(a) = f(b) entao f e constante, logo f′ = 0, de modo que o teorema e verdadeiro.

Interpretacao geometrica do Teorema de Rolle: A tangente ao grafico de f no ponto de abcissa c e horizontal.

. Consequencias do Teorema de Rolle (Corolarios) ..

• Entre dois zeros de uma funcao diferenciavel existe pelo menos um zero da sua derivada.

• Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma funcao diferenciavel, nao pode existir mais do que um zero da funcao.

O resultado que se segue da-nos o valor medio da derivada (taxa de variacao media) de uma funcao regular, i.e. funcao contınua num intervalo limitado e fechado e diferenciavel no intervalo aberto.

. Teorema de Lagrange (ou Teorema do Valor Medio)

Interpretacao geometrica do Teorema de Lagrange:

. Consequencias do Teorema de Lagrange (Corolario)

• Uma funcao com derivada positiva (negativa) num intervalo e monotona crescente (resp. monotona decrescente) nesse intervalo.

• Uma funcao com derivada nula num intervalo e constante nesse intervalo.

. Teorema de Cauchy

Observacao: O Teorema de Cauchy e uma generalizacao do Teorema de Lagrange. O Teorema de Lagrange obtem-se como caso particular do teorema anterior ao considerar g(x) = x.

Exercıcios - Teoremas fundamentais do calculo diferencial ..

Indeterminacoes e regra de L’Hopital (regra de Cauchy)

No calculo de limites surgem muitas vezes formas indeterminadas, designadas por indeterminacoes. As sete indeterminacoes matematicas sao:

Considere c um ponto do intervalo I =]a,b[ e sejam f e g duas funcoes diferenciaveis em I\{c}, tais que:

Entao, lim x→c se o ultimo limite existe (finito ou infinito). O resultado e valido quando consideramos limites laterais em x = c, ou seja, x → c+ ou x → c−.

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