Exame de Análise Matemática I (Fevereiro 2013, Eng. Mecânica) - ISEC, Provas de Métodos Numéricos em Engenharia

Baixe Exame de Análise Matemática I (Fevereiro 2013, Eng. Mecânica) - ISEC e outras Provas em PDF para Métodos Numéricos em Engenharia, somente na Docsity! Departamento de F́ısica e Matemática Instituto Superior de Engenharia de Coimbra Exame de Análise Matemática I Engenharia Mecânica Duração: 50 min 15 de fevereiro de 2013 • Qualquer tentativa de fraude será punida com a anulação imediata da prova. • Os equipamentos móveis devem estar desligados durante a realização da prova. • As respostas devem ser apresentadas com caneta de tinta azul ou preta. Não pode utilizar corretor. • Pode trocar a ordem das questões, desde que as identifique devidamente. • Justifique convenientemente todas as respostas, indicando no fim de cada exerćıcio a resposta simplificada. Se nada for dito em contrário, deve apresentar a solução final com um máximo de 4 c.d.. Parte I 1. Mostre analiticamente que o polinómio f(x) = x3 − 25 tem um único zero no intervalo [2, 3]. Aproxime a solução efetuando 2 iterações do método de Newton e determine o erro da aproximação, indicando a precisão do resultado. 2. Considere a seguinte tabela de diferenças finitas descendentes de uma certa função f . xi f(xi) ∆f(xi) ∆ 2f(xi) ∆ 3f(xi) 0.5 . . . . . . 0.6 1.8 0 · · · 0.1 0.7 2.0 . . . 0.3 0.8 . . . (a) Preencha os valores em falta na tabela e determine o polinómio interpolador de f para os pontos dados. (b) Determine o polinómio de grau 2 que interpola f , nos últimos 3 pontos da tabela. (c) Sabendo que f(0.65) = 1.95, qual dos dois polinómios obtidos nas aĺıneas anteriores é o que melhor aproxima f no ponto x = 0.65? 3. A velocidade de um objeto na direção de uma determinada força constante de 200 N é dada por v(t) = { 5t se 0 ≤ t ≤ 7 35 + (7− t)2 se 7 < t ≤ 14 (m/s). Aproxime pela regra dos trapézios, com n = 2, o trabalho W = ∫ b a F (x(t))v(t)dt realizado pela força. 4. Um corpo à temperatura de 37oC é inserido num tanque de água fria a uma temperatura constante de 15oC, durante 20 segundos. O problema de valor inicial que permite modelar a temperatura do corpo y(t) é{ y′ = d(15− y) y(0) = 37 Considere d = 0.01 e determine uma aproximação de y(8), usando o método de Euler com h = 2. Cotação das perguntas 1 2(a) 2(b) 2(c) 3 4 1.5 1.25 0.75 0.5 1.0 1.0 1