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Guias e Dicas
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Pré-Cálculo - vol1, Notas de estudo de Matemática

Ótima apostila de Pré-Cálculo

Tipologia: Notas de estudo

2012

Compartilhado em 27/09/2012

evandro-duarte-11
evandro-duarte-11 🇧🇷

4.7

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Baixe Pré-Cálculo - vol1 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! Pré-Cálculo, Vol. 1: Conjuntos Numéricos Jorge J. Delgado – Maria Lúcia Torres Villela IM-UFF 2007 J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 2 Capı́tulo 1 Conjuntos numéricos Os números governam o mundo Pitágoras R e f e r ê n c i a s Sobre ensino da Matemática: Meu professor de Matemática e outras histórias de Elon Lages Lima. Editado pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 1987. Para saber mais sobre a história dos números: Números e Nu- merais de Bernard H. Gundlach, Editora Atual, 1994. Neste módulo estabelecemos a linguagem básica em que se funda- menta o Cálculo Diferencial e Integral. Os conceitos abordados são imprescindı́veis para o bom entendi- mento da Matemática. A representação dos números reais mediante expansões decimais é apresentada com cuidado, devido à grande importância do seu uso no nosso cotidiano. As aulas contêm comentários de natureza histórica e exercı́cios que lhe ajudarão a assimilar melhor os tópicos apresentados. Ao final do módulo, você terá fixado as propriedades básicas do con- junto dos números reais e suas operações. Será capaz de fazer compara- ções, estimativas, aproximações decimais e resolver desigualdades de números reais. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 7 CEDERJ J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 8 §1. Os naturais, os inteiros e os racionais Nesta primeira seção, apresentamos as propriedades básicas dos números naturais, inteiros e racionais. A seção é dividida em quatro aulas. A primeira, sobre os números naturais e inteiros, tem por objetivo lembrar e esclarecer conceitos que você utiliza com naturalidade desde o ensino fundamental. A segunda e a terceira apresentam as frações e os números racionais, com um enfo- que mais detalhado. A quarta trata das progressões geométricas e será utilizada no estudo das expansões decimais na próxima seção. O objetivo destas aulas é consolidar conceitos práticos já conhecidos sobre os números racionais. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 9 CEDERJ Números naturais e inteiros O conhecimento matemático dos babilônios foi herdado pelos gre- gos. A Matemática grega começou a florescer por volta de 400 a.C., era mais abstrata e de natureza geométrica. Grande parte da majestosa ma- temática produzida na Grécia antiga encontra-se na obra Elementos es- crita por Euclides de Alexandria, de quem falaremos com freqüência. Os gregos fizeram valiosas contribuições ao estudo dos números. Eles foram um dos primeiros povos a perceber que os números existem independentemente do mundo palpável. Observaram também, que os números inteiros e as frações não são suficientes para efetuar medições. Desenvolveram, então, a teoria da comensurabilidade (veja a Aula 8, da Seção 3) com a qual estabeleceram os fundamentos para a construção dos números reais. Desde a antiguidade a noção de número está ligada aos processos de contar e medir. Na nossa educação o conceito de número é abordado em paralelo ao conceito de conjunto: um número natural é a caracterı́stica de todos aqueles conjuntos que têm a mesma quantidade de elementos. Na Figura 2, vemos três conjuntos A, B e C, cujos elementos foram colo- cados em correspondência seguindo as flechas. Fig. 2: O número 4 é uma caracterı́stica comum dos conjuntos A, B e C. Importante: O sı́mbolo ∈ representa a relação de pertinência de um elemento a um conjunto. Se A é um conjunto, e x é um ele- mento de A, escrevemos x ∈ A que se lê x pertence a A. Se x não é elemento de A escreve- mos x 6∈ A, leia-se x não per- tence a A. Por exemplo, n ∈ N significa que n é um número natural. Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi 780 - 850, Bagdá. Reformula aritmeticamente os conceitos fundamentais da Ma- temática grega. Por solicitação do califa Al-Mamun, escreve o Hisab Al-jabr wa’l Muqabalah (Livro da restauração e do ba- lanceamento), dando origem à Álgebra (palavra derivada de Al- jabr que significa restauração). Veja: http://www-groups. dcs.st-and.ac.uk/ ∼history/Mathematicians/ Al-Khwarizmi.html Assim, o nosso ponto de partida será o conjunto N, cujos elementos são os números naturais: N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . } onde as reticências indicam que a contagem continua indefinidamente. Alguns autores excluem o 0 (zero) do conjunto dos números naturais. Esta é uma questão de mera conveniência. A introdução do zero no conjunto dos números naturais é relativa- mente nova na história da Matemática. Os gregos, romanos, egı́pcios e babilônios não deixaram evidência clara da existência de um sı́mbolo para designar o zero nos seus sistemas numéricos. De fato, observe que J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 12 Números naturais e inteiros Conjuntos Numéricos AULA 1 qualquer contagem que realizamos, mesmo a contagem dos anos na era moderna, começa no 1 e não no zero. Os sı́mbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, usados para escrever os números e o sistema de numeração posicional baseado em potências de 10, conhecido como sistema decimal, foram levados da Índia para terras árabes pelo matemático muçulmano Al-Khwarizmi. Esses sı́mbolos são chamados algarismos indo-arábicos em homenagem a ele. Por volta do ano 1200, os algarismos e o sistema decimal foram levados para a Europa pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci (veja o Exercı́cio 9). Os números naturais mostraram-se insuficientes para resolver os problemas do dia-a-dia. Nos séculos XV e XVI foi desenvolvida uma lin- guagem padrão para designar perdas, débitos, prejuı́zos etc. A terminologia adotada consiste em preceder a quantidade numérica do sinal “−”. Assim, uma perda de 4 unidades monetárias é simbolizada por −4. Estes são os números inteiros negativos. Juntando os números inteiros negativos ao conjunto dos números naturais, obtemos o conjunto dos números inteiros: Z = { . . . , −4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . } Em oposição ao conjunto dos números inteiros negativos, os núme- ros naturais diferentes de zero são chamados números inteiros positivos. Você sabia que... a letra Z dá o nome ao conjunto dos números inteiros por ser a primeira letra da palavra alemã Zahl que significa número? Lembre que... A operação de adição é repre- sentada pelo sı́mbolo +: 2 + 3 , a + 5 etc. A operação de multiplicação é indicada com os sı́mbolos ·, × ou pela justaposição dos fato- res (escrever um após o outro) quando não houver perigo de confusão: 5 ·a, 5×a e 5a significam o pro- duto de 5 por a. Porém 45 é o número quarenta e cinco e 4×5 ou 4 · 5 indicam o produto de 4 com 5. As operações de adição e multi- plicação são associativas (p. ex. 1+(2+3) = (1+2)+3 e 5×(6× 7) = (5×6)×7), comutativas (p. ex. 4+5 = 5+4 e 7×8 = 8×7) e vale a propriedade distributiva (p. ex. 5×(6+7) = 5×6+5×7). A subtração: É a soma de um inteiro com o simétrico de outro. A soma n + (−m), do inteiro n com o simétrico −m do inteiro m, se escreve n − m e se lê n menos m. O número n−m é o número que devemos somar a m para obter n. Das definições de N e Z, vemos que N é um subconjunto de Z : N ⊂ Z (lê-se: N é subconjunto de Z). Há duas operações básicas que podem ser efetuadas com números inteiros, a adição (ou soma) e a multiplicação (ou produto). Essas opera- ções satisfazem as mesmas propriedades que a soma e a multiplicação de números naturais. Porém, a operação de soma no conjunto dos núme- ros inteiros tem uma caracterı́stica adicional: Se n é um inteiro, o seu simétrico é o inteiro designado por −n, que somado com n dá 0: n + (−n) = 0. Esta propriedade é a que faz a diferença entre N e Z. Como todo número inteiro possui simétrico, a equação x + n = 0 J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 13 CEDERJ Números naturais e inteiros pode ser sempre resolvida no conjunto Z qualquer que seja n ∈ Z. No entanto, tente determinar um número natural x de modo que x + 4 = 0. Em geral, se n é um número natural diferente de zero, não existe nenhum número natural x de modo que x + n = 0. Logo, esta equação não tem solução no conjunto N dos números naturais. Exemplo 1 a. O simétrico de 4 é −4, pois 4 + (−4) = 0. b. Quanto vale −(−4)? Solução: Note que, pela definição anterior, o simétrico de −4, que se designa por −(−4), é o número inteiro que somado a −4 resulta zero. Este inteiro é 4, porque −4 + 4 = 0. Portanto, −(−4) = 4. Em geral, −(−n) = n qualquer que seja o inteiro n. c. O simétrico −n de um inteiro n é obtido multiplicando n por (−1). Solução: Para verificar isto observe a seguinte seqüência de igualdades: n + (−1)n (A) = 1 · n + (−1) · n (B)= (1 + (−1)) · n (C)= 0 · n (D)= 0 .Na seqüência de igualdades ao lado, a igualdade (A) vem do fato de 1·n = n, a igualdade (B) usa a propriedade distributiva, a igualdade (C) é conseqüência de (−1) ser o simétrico de 1 e (D) é verdadeira porque a multiplicação de 0 por qualquer número dá 0. No conjunto Z temos o conceito de divisibilidade. Definição 1 (Múltiplo e divisor) Um número inteiro n é múltiplo de um inteiro m quando podemos encon- trar um inteiro k tal que n = m× k. Se o inteiro m é diferente de zero, dizemos que m divide o inteiro n ou que m é um divisor, ou um fator, de n. Exemplo 2 a. Como 14 = 7× 2, vemos que 14 é múltiplo de 7 e de 2. b. 36 é um múltiplo dos inteiros 1, −1, 3, −3, 4, −4, 6, −6, 9, −9, 12, −12, 36 e −36. De fato, observe as igualdades: 36 = 1×36, 36 = (−1)× (−36), 36 = 3×12, 36 = (−3)× (−12), 36 = 4×9, 36 = 6× 6, 36 = (−6)× (−6) e 36 = (−4)× (−9). c. 5 não é múltiplo de 2, pois 2× 2 = 4, 2× 3 = 6 e não há inteiros entre 2 e 3. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 14 Números naturais e inteiros Conjuntos Numéricos AULA 1 e menor que 4, como determina o algoritmo de Euclides. Lembre-se agora da seguinte definição: Para saber mais... Euclides demonstrou a validade do algoritmo da divisão, verifi- cando também que o quociente e o resto na divisão são determi- nados de uma única maneira a partir do divisor e do dividendo. Demonstrou, pela primeira vez que o conjunto dos números pri- mos é infinito e o Teorema Fun- damental da Aritmética que as- segura que todo número natu- ral maior que 1 pode ser escrito como o produto de potências de primos. Definição 2 (Números Primos) Um número natural p 6= 0 é chamado primo quando é diferente de 1 e seus únicos divisores são 1 e p. Exemplo 7 a. Os naturais primos menores que 100 são: 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 ,43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 91 e 97. b. 8 não é primo pois 2 e 4 são divisores de 8 diferentes de 1 e 8. c. 2 é o único natural par que é primo. De fato, qualquer outro natural par é da forma 2k sendo k um número natural maior que 1. O número 2k é divisı́vel por 2 onde 2 6= 1 e 2 6= 2k. O conceito de divisibilidade leva à idéia de fatoração de um número: processo que permite expressar qualquer natural como produto de potên- cias de primos. Exemplo 8 a. 24 = 23 × 3 . b. 90 = 2× 32 × 5 . c. −560 = −24 × 5× 7 . Veja no seguinte exemplo, como funciona o processo de fatoração. Exemplo 9 Determinemos a fatoração do número 924: Solução: 924 2 ← menor primo que divide 924 924÷ 2→ 462 2 ← menor primo que divide 462 462÷ 2→ 231 3 ← menor primo que divide 231 231÷ 3→ 77 7 ← menor primo que divide 77 77÷ 7→ 11 11 ← menor primo que divide 11 11÷ 11→ 1 ← não há divisores primos de 1 Portanto, a fatoração de 924 é: 924 = 22 × 3× 7× 11 . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 17 CEDERJ Números naturais e inteiros Note que todo número terminado em algum dos algarismos 0, 2, 4, 6 ou 8 é par e, portanto, tem 2 como fator. Da mesma forma, os números ter- minados em 0 ou 5 têm 5 como fator (veja também o Exercı́cio 9). Assim, 35 e 90 têm o número 5 como fator comum. Definição 3 (Primos entre si) Dois números inteiros m e n são chamados primos entre si quando não possuem divisores (ou fatores) positivos em comum diferentes de 1. Exemplo 10 a. Os números 8 e 15 são primos entre si, pois os fatores positivos de 8 são 1, 2, 4 e 8. Por outro lado, os fatores positivos de 15 são 1, 3, 5 e 15, nenhum destes, a não ser 1, é fator de 8. b. Os números 27 e −12 não são primos entre si, pois 3 é um fator de 27 = 3× 9 e de −12 = 3× (−4). c. Os números 11 e 29 são primos entre si, pois eles são primos. Terminamos esta aula com a seguinte observação. Observação. Dois inteiros são primos entre si quando nenhum dos primos da fatoração de um deles aparece na fatoração do outro. Em particular, dois primos diferentes são sempre primos entre si. Resumo Você reviu os números naturais e inteiros; as operações de adição e multiplicação de inteiros e suas propriedades; os conceitos de divisibili- dade, múltiplo, divisor, números naturais primos e inteiros primos entre si; o algoritmo euclidiano; a fatoração de inteiros em produto de potências de números primos. Exercı́cios 1. Efetue o cálculo das seguintes expressões, respeitando as regras de hierarquia (veja a nota ao lado) e as propriedades das operações de soma e multiplicação. Hierarquia das operações: • Efetuamos primeiramente os cálculos entre parênteses. • Onde não há parênteses, efe- tuamos primeiro as potências, depois as multiplicações e di- visões e finalmente as adições e subtrações. • Onde não há parênteses, as operações são efetuadas se- guindo a prioridade do item acima, sempre da esquerda para a direita. a. 4 + 5× 6 + 7× 2 . b. (3 + 2)3 × (2 + 32) − (2 + 4)2 . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 18 Números naturais e inteiros Conjuntos Numéricos AULA 1 c. 2× {3 + 5× (3 − [4 + 2× 3])× 2 + 1} + (3 + 2× 5)× 2 . d. −3× (1 + (3 − 2× 3)4 + (1 + 2× 2)3)× (3 + (7 − 5× 2)2) . 2. Quais das seguintes afirmativas são verdadeiras? Dê uma justifica- tiva para cada uma das suas respostas. a. 21 é múltiplo de 4 . b. 21 é divisı́vel por −7 . c. todo número inteiro é múltiplo de 0 . d. qualquer que seja o inteiro n, vale: n÷ n = 1 . e. a soma de dois números ı́mpares é par. f. o produto de dois números ı́mpares é ı́mpar. g. a soma de um número ı́mpar com um número par é sempre ı́mpar. h. o produto de um número par por um número ı́mpar é sempre par. i. todo múltiplo de 3 é ı́mpar. j. se n divide m, então m é múltiplo de n . l. se m é múltiplo de n, então n divide m . 3. Determine: a. o quociente e o resto da divisão de 321 por 5. b. o quociente e o resto da divisão de −321 por 5. Lembre que no algoritmo de Euclides o resto deve ser um número natural menor que o divisor. c. dois números inteiros m e n, sabendo que a sua diferença m − n é 288 e o seu quociente é 5, isto é, m = 5n . d. os números inteiros que divididos por 5 deixam resto 3 . 4. Verifique que a multiplicação de qualquer inteiro pelo seu antecessor (ou pelo seu sucessor) é sempre par. 5. Verifique que a soma de três inteiros consecutivos é um múltiplo de 3. Vale o mesmo para o produto de três inteiros consecutivos? O que você pode dizer sobre o produto de quatro inteiros consecuti- vos? Tente generalizar as suas observações. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 19 CEDERJ Números naturais e inteiros 11. Desafio: No inı́cio da aula falamos das tabelas babilônicas ou tabelas Plimpton- 322 (veja a figura ao lado). Nessas tabelas se descrevem processos para determinar números naturais m, n e k verificando m2 = n2+k2. Na linguagem atual, um terno de números naturais com esta propri- edade é chamado terno pitagórico. Por exemplo, 3, 4 e 5 formam um terno pitagórico, pois 32 + 42 = 52. Forneça outros ternos pitagóricos distintos deste. Tabelas Plimpton-322 Auto-avaliação Resolveu os Exercı́cios de 1 a 9? Recordou as propriedades ele- mentares dos números inteiros e suas operações e sabe a hierarquia dessas operações? Fatorar inteiros em produto de primos e o conceito de divisor de um inteiro são muito importantes para entender as frações, os números racionais! Não deixe a sua dúvida para depois, pergunte aos tutores antes de começar a estudar a Aula 2, onde iremos rever as propri- edades fundamentais dos números racionais. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 22 Os números racionais Conjuntos Numéricos AULA 2 Aula 2: Os números racionais Objetivos •Rever os conceitos de frações, frações equivalentes e frações irredutı́veis. • Rever a definição dos números racionais. • Relembrar as operações de adição e multiplicação de números racionais e suas propriedades. Uma excelente leitura: O homem que calculava de Malba Tahan, 52a edição. Editora Record, 2000. No seu livro O homem que calculava, Malba Tahan conta histórias sobre a vida de um jovem persa do século XII, Beremiz Samir, grande conhecedor da Matemática da sua época. No terceiro capı́tulo do livro, Beremiz e seu fiel amigo, ambos montados no mesmo camelo, chegam a um oásis no deserto. Encontram três irmãos numa acirrada disputa por uma herança de 35 camelos deixados pelo pai. Fig. 3: Os irmãos não conseguiam distribuir a partilha. O falecido estipulara que o filho mais velho ficaria com a me- tade da herança, o filho do meio, com um terço, e o mais moço, com um nono segundo explicado a Be- remiz pelo mais velho dos três. O motivo da discussão era porque a metade de 35 é 17 e meio e simi- larmente, a terça e a nona partes de 35 também não são exatas. Foi então que Beremiz se ofereceu para resolver o problema com justiça: – Se me permitirem juntar aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui nos trouxe! O espanto do companheiro de viagem, e dono do camelo que Be- remiz oferecia, foi em princı́pio bem justificado. No entanto, a pedido de Beremiz, e confiando na sua esperteza, cedeu o seu camelo para facilitar a partilha. – Vou, meus amigos – disse, dirigindo-se aos irmãos – fazer a di- J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 23 CEDERJ Os números racionais visão justa e exata dos camelos que são agora, em número de 36. Voltando-se para o mais velho dos irmãos disse: – Deverias receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade de 36. Nada tens a reclamar, pois com 18 camelos saı́ste lucrando! Dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou: – Tu deverias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco, recebendo um terço de 36, isto é, 12 camelos, saı́ste lucrando também com a divisão! E disse ao mais moço: – E tu, jovem amigo, segundo a vontade do teu pai, receberias a nona parte de 35, isto é, 3 e tanto. Receberás a nona parte de 36, isto é, 4. O teu lucro foi igualmente notável! Concluindo assim: – Nesta vantajosa divisão na qual coube 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, dando como resultado 18+12+4=34, dos 36 camelos sobraram 2 camelos. Um deles, como vocês sabem, pertence ao meu amigo, o outro toca por direito a mim por ter resolvido, a contento de todos o complicado problema. Os irmãos, convencidos de que a partilha tinha sido justa, concorda- ram com as palavras de Beremiz que, junto com seu amigo (agora cada um em seu próprio camelo), continuou a sua viagem. Para saber mais: A palavra fração deriva da raiz latina fractio e do verbo fran- gere, logo traduzida pelos auto- res ingleses de livros antigos de Aritmética como broken number (número quebrado). A palavra árabe usada para nomear estas quantidades é al-kasr, derivada do radical do verbo quebrar. Você certamente conhece as expressões metade, um terço e um nono referidas acima. Quantidades desse tipo apareceram muito cedo na história da Matemática e foram, ao longo do tempo, conhecidas pelo nome de frações. Os gregos já conheciam bem as frações. De fato, quando Pitágoras de Samos disse que “os números governam o mundo”, pensava nos números naturais e razões entre eles, ou seja, em frações. Vamos ilustrar o antigo procedimento utilizado pelos gregos para di- vidir um segmento em partes iguais, dividindo o segmento OL em cinco partes de igual tamanho. Passo 1. partindo do ponto O do segmento OL, trace uma semi-reta J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 24 Os números racionais Conjuntos Numéricos AULA 2 m n = m · p n · p De maneira geral, dadas duas frações m n e p q , onde m,n, p, q ∈ Z, n 6= 0 e q 6= 0, vale o critério dos produtos cruzados para a igualdade de frações: m n = p q equivale a m · q = n · p De fato, m n = p q equivale a m · q n · q = p · n q · n , pois m n = m · q n · q e p q = p · n q · n . Logo, m · q = n · p, pois os denominadores de m · q n · q e p · n q · n são iguais. Assim, o problema de saber se duas frações são iguais equivale a saber se dois números inteiros são iguais. Por exemplo, no esquema da figura anterior temos: 8 12 = 2 3 pois 8× 3 = 12× 2 . As frações que têm denominador 1 são representadas apenas pelo numerador. Por exemplo, 2 1 = 2, −5 1 = −5. Em geral, se m ∈ Z, então m 1 = m: Todo número inteiro pode ser representado por uma fração. Uma fração m n 6= 0 é chamada irredutı́vel quando os inteiros m e n não têm fatores primos comuns. Isto é: m n é irredutı́vel quando m e n são primos entre si. Exemplo 11 a. 7 5 é irredutı́vel, pois 7 e 5 são primos. b. 12 25 é irredutı́vel, pois 12 = 22 × 3 e 25 = 52 não têm fatores primos comuns. c. −15 9 não é uma fração irredutı́vel, pois −15 = 3× (−5) e 9 = 3× 3 têm o fator comum 3. Porém, −5 3 é irredutı́vel (pois −5 e 3 são primos entre si) e −15 9 = −5 3 . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 27 CEDERJ Os números racionais Em geral: Toda fração equivale a uma fração irredutı́vel. Para determinar a fração irredutı́vel equivalente a uma fração dada, fatoramos seu numerador e seu denominador. A fração irredutı́vel equiva- lente é obtida eliminando os fatores comuns no numerador e denomina- dor. Exemplo 12 a. 24 15 = 23 × 3 3× 5 = 23× 6 3 6 3× 5 = 23 5 = 8 5 . b. −18 14 = −2× 32 2× 7 = − 6 2× 32 6 2× 7 = −32 7 = −9 7 . Note que: • Cada fração é equivalente a uma infinidade de frações. • As frações −m n e m −n são equivalentes. Logo, cada fração não-nula equivale a uma única fração irredutı́vel com denomi- nador positivo. Exemplo 13 a. As frações . . . , −12 −8 , −9 −6 , −6 −4 , −3 −2 , 3 2 , 6 4 , 9 6 , 12 8 , 15 10 , . . . são equivalentes a 6 4 . A fração irredutı́vel com denominador positivo equivalente a 6 4 é 3 2 . b. As frações . . . , 9 −12 , 6 −8 , 3 −4 , −3 4 , −6 8 , −9 12 , −12 16 , . . . são equivalentes a −6 8 . A fração irredutı́vel com denominador positivo equivalente a −6 8 é −3 4 . Ob- serve que 3 −4 também é uma fração irredutı́vel, mas não tem denominador positivo. c. As frações . . . , −16 −4 , −8 −2 , −4 −1 , 4 1 , 8 2 , 12 3 , 16 4 , 20 5 , . . . são equivalentes a 16 4 . A fração irredutı́vel com denominador positivo equivalente a 16 4 é 4 = 4 1 . d. As frações 0 n , onde n é um inteiro diferente de zero, são equivalentes a 0 = 0 1 . A fração irredutı́vel com denominador positivo deste conjunto é 0 = 0 1 . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 28 Os números racionais Conjuntos Numéricos AULA 2 Definição 4 (Números racionais) Um número racional é uma fração. O conjunto dos números racionais é designado pela letra Q: Q = { m n ∣∣ m,n ∈ Z , n 6= 0} O conjunto Q: Como cada fração equivale a uma fração com denomina- dor positivo, podemos escrever também: Q = {m n | m, n ∈ Z , n > 0 } A letra Q tem sido usada para designar o conjunto dos números racionais por ser a letra inicial da palavra inglesa quotient que significa quoci- ente. Anteriormente vimos que todo número inteiro pode ser pensado como um número racional (ou seja, como uma fração). Temos então a relação: N ⊂ Z ⊂ Q No conjunto Q dos números racionais temos duas operações aritmé- ticas, a adição e a multiplicação, definidas a partir das correspondentes operações de adição e multiplicação no conjunto dos números inteiros. Veja como isto é feito: Se m n , p q ∈ Q são duas frações, definimos a adição m n + p q e a multiplicação m n · p q como: m n + p q = mq + np nq e m n · p q = mp nq Observação. a. O resultado da adição de números racionais não se altera ao substituir as parcelas por outras equivalentes. Por exemplo, 1 2 e 2 4 são frações equivalentes, 3 9 e 4 12 são também equivalentes. Somando as primeiras frações, e as segundas frações des- tes pares: 1 2 + 3 9 = 1× 9 + 2× 3 2× 9 = 15 18 e 2 4 + 4 12 = 2× 12 + 4× 4 4× 12 = 40 48 . Note que as somas 15 18 e 40 48 são também equivalentes: 15 × 48 = 720 = 40× 18 . Da mesma forma, o resultado da multiplicação de duas frações não se altera ao substituir os fatores por frações equivalentes. Por exemplo: 1 2 · 3 9 = 1× 3 2× 9 = 3 18 e 2 4 · 4 12 = 2× 4 4× 12 = 8 48 . Observe que: 3 18 = 8 48 , pois 3× 48 = 144 = 18× 8 . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 29 CEDERJ Os números racionais Resumo Você reviu os conceitos de frações, frações equivalentes, frações ir- redutı́veis e os números racionais; as operações de adição e multiplicação de números racionais e suas propriedades. Exercı́cios 1. Determine frações irredutı́veis equivalentes às frações abaixo. a. 36 120 , b. 58 48 , c. 3.477 5.871 , d. 25× (5−5)5 , e. 3 33 62 2 , f. 5 2 + 3 7 . 2. A escadaria de uma igreja tem 28 degraus, cada um com 121 8 centı́metros de altura, mais 3 centı́metros de revestimento. Qual a altura total da escadaria? 3. De um tanque cheio de água, retiramos 2 3 do seu conteúdo. Ao colocarmos nele 30 litros de água, o conteúdo passa a ser a metade do conteúdo original. Qual é a capacidade do tanque? 4. a. Existe algum inteiro n de modo que n 2 + n 3 + n 4 = 13? b. Existe algum inteiro n de modo que n 2 + n 3 + n 4 = n? c. Existe algum inteiro n de modo que 1 2 + n 3 + n 4 = n? 5. Todos os trabalhadores de uma fábrica organizaram uma excursão. A metade deles foi de ônibus, a terça-parte foi de bicicleta e 5 foram de carro. a. Quantos trabalhadores foram à excursão? b. Quantos foram de ônibus? c. Quantos foram de bicicleta? 6. Se n é um natural, definimos a n−ésima potência de p q por: J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 32 Os números racionais Conjuntos Numéricos AULA 2 ( p q )n =  1 se n = 0 e p q 6= 0; p q · p q · . . . · p q︸ ︷︷ ︸ n fatores = pn qn se n > 0. ( p q )−n = [( p q )−1]n = ( q p )n = qn pn se n > 0 e p q 6= 0. NOTA IMPORTANTE. As regras de hierarquia das operações para o cálculo de ex- pressões envolvendo números racionais são as mesmas que conhecemos para as operações em Z. a. Efetue as operações nas seguintes expressões e exprima os re- sultados como frações irredutı́veis: i. ( − 6 9 )3 , ii. ( 3 2 )3 − ( 2 3 )2 , iii. 3 6 − [ 2 + ( 1 5 )3] ÷ ( 1 2 − 1 4 )2 , iv. ( 3 4 )−2 − ( 7 3 )2 ÷ 5 8 . b. Desafio: Escreva duas propriedades que você conhece sobre potências de números racionais. Elabore mais de um exemplo para cada uma delas. 7. Determine o valor das seguintes expressões: a. 2 3 − ( 1 2 )2 + ( 3 2 )−2 , b. 1 − ( 1 2 )6 1 − 1 2 , c. 7 3 − 4 8 ( 1 − 3 9 )3 ( 1 − 1 2 )3 , d. 1 + 1 2 + ( 1 2 )2 + ( 1 2 )3 + ( 1 2 )4 + ( 1 2 )5 , e. a · b2 − a2 , onde a = − r 2 , b = 2r e r ∈ Q f. 1 r , onde r = 2 + 7 s e s é um número racional positivo. 8. Quais das seguintes afirmativas são verdadeiras e quais são falsas? Justifique com cuidado as suas respostas. a. Um número racional é uma expressão da forma m n , onde m,n ∈ Z. b. Se m,n ∈ Z, sempre podemos achar x ∈ Q de modo que m · x = n. c. A equação r · x = s com r, s ∈ Q, r 6= 0, sempre tem solução em Q. d. O simétrico de m n é obtido multiplicando a fração por −1. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 33 CEDERJ Os números racionais e. 1 7 + 3 5 = 78 105 . f. 1 7 − 78 105 = −33 −55 . g. 1 2 · ( 1 3 + 1 4 ) = 18 12 . h. O inverso de 7 5 é 45 63 i. Toda fração é equivalente a uma fração com denominador nega- tivo. j. O inverso de 0 6 é um número racional. l. m + n pq = m p + n q , onde m,n, p, q ∈ Z, p 6= 0 e q 6= 0. Auto-avaliação Você resolveu os exercı́cios propostos sem dificuldade? Se sua res- posta foi sim, então você relembrou as propriedades elementares dos números racionais, suas operações e sabe a hierarquia entre essas opera- ções! Se teve alguma dificuldade, não desista. Volte ao exercı́cio e reveja os conceitos necessários para resolvê-lo: fração irredutı́vel, fração equi- valente, adição ou multiplicação de frações. Os tutores podem ajudar e esclarecer a sua dúvida. Na Aula 3 continuamos a relembrar propriedades dos números racionais! J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 34 Os números racionais - continuação Conjuntos Numéricos AULA 3 dir cada um dos segmentos entre dois inteiros consecutivos em n partes de igual tamanho, onde n é um número inteiro positivo qualquer, veja a Figura 11. Os pontos obtidos na reta representam os números racionais. -t t t t t · · · −2 −1 0 1 2 Q · · · t −3215 t −32 t −34 t −27 t 1 4 t 1 2 t 2 3 t 4 5 t 7 6 t 11 8 t 14 9 t 21 11 t 21 10 Fig. 11: Representação gráfica de Q. Por exemplo, para determinar o ponto na reta orientada que repre- senta o número racional 14 9 , observamos que 14 9 = 9× 1 + 5 9 = 9 9 + 5 9 = 1 + 5 9 . Então, dividimos o segmento entre os inteiros 1 e 2 em 9 partes iguais. O ponto correspondente à quinta marcação nessa subdivisão cor- responderá a uma unidade e cinco nonos. Os pontos na reta que representam os números racionais estão dis- postos tanto à direita como à esquerda do ponto que representa o zero. Lembre que ... Se m, n ∈ Z e n 6= 0, então m n = 0 ⇐⇒ m = 0. O sinal de um racional. Um número racional m n ∈ Q, com m,n ∈ Z, m 6= 0 e n 6= 0 é • positivo, e escrevemos m n > 0, quando os inteiros m e n têm o mesmo sinal, isto é, ambos são positivos ou ambos são negativos. • negativo, e escrevemos m n < 0, quando os inteiros m e n têm sinais contrários, isto é, um é positivo e o outro negativo. Exemplo 18 a. 7 6 > 0, pois 7 > 0 e 6 > 0. Também −7 −6 > 0 pois −7 < 0 e −6 < 0. Note que, −7 −6 = (−1) · 7 (−1) · 6 = −1 −1 · 7 6 = 1 · 7 6 = 7 6 . b. −3 2 < 0, pois −3 < 0 e 2 > 0. Note que −3 2 = (−1) 3 2 = −1 1 · 3 2 = −3 2 . c. Sabemos que todo racional é equivalente a um racional com denomi- nador positivo. Se m n ∈ Q, com m,n ∈ Z e n > 0, vemos que o sinal de m n depende apenas do sinal de m: Se m > 0, então m n > 0 e se m < 0 então m n < 0. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 37 CEDERJ Os números racionais - continuação d. Todo número racional da forma m n , com m e n inteiros positivos (ou inteiros negativos) é positivo. Logo o seu simétrico −m n é negativo. Similarmente, se m n é um racional com m < 0 e n > 0 (ou m > 0 e n < 0), então m n é negativo e o seu simétrico −m n é positivo. Definição 5 (Relação de ordem em Q) Dizemos que m n é menor que p q e escrevemos m n < p q , quando p q − m n é positivo. Ou de maneira equivalente, quando m n − p q é negativo. Exemplo 19 a. 2 3 < 4 5 , pois 4 5 − 2 3 = 4 5 + −2 3 = 4× 3 + 5× (−2) 15 = 12 − 10 15 = 2 15 > 0. b. −7 5 < − 3 4 , pois ( − 7 5 ) − ( − 3 4 ) = −7 5 + 3 4 = −28 + 15 20 = −13 20 < 0. Na Figura 11 interpretamos a relação de ordem da seguinte maneira: A fração m n é menor que a fração p q apenas quando o ponto que repre- senta m n fica à esquerda do ponto que representa p q . Por exemplo, na Figura 11, vemos que: − 3 2 < − 3 4 , − 2 7 < 1 4 , 4 5 < 7 6 , 11 8 < 21 11 etc. Outras desigualdades. • Escrevemos m n ≤ p q (m n é menor ou igual a p q ), quando m n < p q ou m n = p q . • Escrevemos p q > m n (p q é maior que m n ), quando m n < p q . IMPORTANTE! • Voltamos a destacar que os números racionais negativos são representados por pontos à esquerda do ponto que repre- senta o 0, e que os números ra- cionais positivos são represen- tados por pontos à direita do ponto que representa o 0. • Qualquer racional negativo é menor que qualquer racional po- sitivo. Uma desigualdade: É uma relação entre duas quan- tidades onde aparece algum dos sı́mbolos <, >, ≤ ou ≥. • Escrevemos p q ≥ m n (p q é maior ou igual a m n ), quando m n ≤ p q . • Se m n , p q , r s ∈ Q, escrevemos m n < p q < r s para abreviar que m n < p q e p q < r s . Um ou ambos os sinais < podem ser trocados por ≤. • Similarmente, m n > p q > r s equivale a dizer que m n > p q e p q > r s . Exemplo 20 Escrevemos 2 3 < 7 6 ≤ 11 8 para abreviar as duas desigualdades 2 3 < 7 6 e 7 6 ≤ 11 8 . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 38 Os números racionais - continuação Conjuntos Numéricos AULA 3 O nosso propósito agora é mostrar algumas técnicas para determi- nar as soluções de inequações envolvendo números racionais. Uma inequação é uma relação entre duas expressões envolvendo uma ou mais quantidades variáveis e algum dos sı́mbolos de comparação >, <, ≥ ou ≤. Por exemplo, a relação 2x = 3 é uma equação na variável x e a relação 2x < 3 é uma inequação na variável x. Enquanto a equação 2x = 3 tem somente uma solução, a inequação 2x < 3 tem uma infinidade de soluções (a desigualdade se verifica para uma quantidade infinita de valores da variável x). Para atingir este objetivo devemos entender melhor a relação de or- dem no conjunto Q, assim como o seu comportamento perante as opera- ções de adição e multiplicação. Preste muita atenção nas sete proprieda- des básicas a seguir. Propriedades básicas da relação de ordem em Q. 1. Entre dois racionais somente podemos colocar um dos sı́mbolos <, = ou >. Assim, se os racionais são diferentes, então um deles é menor que o outro. Por exemplo: 1 4 6= 2 3 e 1 4 < 2 3 . 2. Se um número racional é menor que outro, e este último é menor que um terceiro, então o primeiro será menor que o terceiro. Por exemplo, como 1 4 < 2 3 e 2 3 < 5 6 , temos 1 4 < 5 6 . 3. Se um racional é menor que outro e somamos a ambos um terceiro, a desigualdade entre os resultados se mantém na mesma ordem. Por exemplo: 1 4 < 2 3 , logo: 1 4 + 1 2 < 2 3 + 1 2 , concluindo então: 3 4 < 7 6 . 4. Se um número racional é menor que outro e ambos são multiplicados J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 39 CEDERJ Os números racionais - continuação Exemplo 22 Determine os números r ∈ Q que satisfazem 4 − 3r < 5. Solução: Pela propriedade 3, a desigualdade equivale a (4−3r)−4 < 5−4, ou seja, −3r < 1. Usando a propriedade 5, obtemos a desigualdade ( 1 −3 ) ·(−3r) > ( 1 −3 ) ·1 , que é equivalente à anterior. Dessa desigualdade, obtemos −3r −3 > − 1 3 , ou seja r > −1 3 . Portanto, os números racionais r que satisfazem 4 − 3r < 5, são os números racionais maiores que −1 3 . Exemplo 23 Quais são os números r ∈ Q que satisfazem 3 5 < r + 2 3 ? Solução: Da propriedade 3, 3 5 < r+ 2 3 equivale a 3 5 + ( − 2 3 ) < r+ 2 3 + ( − 2 3 ) , o que equivale a 3 5 − 2 3 < r . Ou seja: − 1 15 < r . Portanto, os números racionais que satisfazem a desigualdade proposta são os números racionais maiores que − 1 15 . Exemplo 24 Para que números racionais r vale a desigualdade r 2 + 1 4 ≤ 3 4 ? Solução: Da propriedade 3 vemos que a desigualdade proposta equivale a r 2 + 1 4 + ( − 1 4 ) ≤ 3 4 + ( − 1 4 ) , que por sua vez equivale a r 2 ≤ 2 4 . Como 2 1 = 2 > 0, pela propriedade 4 obtemos 2 1 · r 2 ≤ 2 1 · 2 4 , ou seja 2 · r 1 · 2 ≤ 2 · 2 1 · 4 . Isto é, r ≤ 4 4 = 1. Portanto, a desigualdade proposta é satisfeita pelos números r ∈ Q, r ≤ 1. Exemplo 25 Para quais números racionais r vale a desigualdade 2r − 1 2r + 1 < 2 3 ? Solução: Pela definição da relação de ordem, a desigualdade proposta equivale a 2r − 1 2r + 1 − 2 3 < 0 , ou seja, 3(2r − 1) − 2(2r + 1) 3(2r + 1) = 6r − 3 − 4r − 2 6r + 3 = 2r − 5 6r + 3 < 0 . Logo, devemos determinar os números racionais r tais que: 2r − 5 6r + 3 < 0 . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 42 Os números racionais - continuação Conjuntos Numéricos AULA 3 Sabemos que 2r − 5 6r + 3 é negativo quando 2r−5 e 6r+3 têm sinais opostos. (4)Multiplicando ... Lembre das propriedades da relação de ordem em Q, em particular da propriedade 4 que diz que uma desigualdade não se modifica quando multiplica- mos ambos os membros por um número racional positivo. (?) Na tabela ao lado ... Usamos o sı́mbolo (?) para in- dicar que a expressão 2r−5 6r+3 não está definida quando r = − 1 2 . Observe que 2r − 5 < 0 significa 2r < 5 e multiplicando ambos os membros(4) desta desigualdade por 1 2 obtemos: r < 5 2 . Similarmente, 2r − 5 > 0 quando r > 5 2 , e 5 − 2r = 0 quando r = 5 2 . Por outro lado, 6r + 3 > 0 significa 6r > −3. Multiplicando(4) ambos os membros desta desigualdade por 1 6 obtemos: r > −3 6 = − 1 2 . Similar- mente, 6r + 3 < 0 quando r < −1 2 e 6r + 3 = 0 quando r = −1 2 . Reunindo estas informações, obtemos a seguinte tabela: r < − 1 2 r = − 1 2 − 1 2 < r < 5 2 r = 5 2 r > 5 2 2r − 5 < 0 < 0 < 0 0 > 0 6r + 3 < 0 0 > 0 > 0 > 0 2r − 5 6r + 3 > 0 ? < 0 0 > 0 Observe que, para r = −1 2 , a expressão 2r − 5 6r + 3 não está definida (pois o denominador é igual a zero). Da tabela anterior, concluı́mos que o conjunto dos números racionais para os quais a desigualdade proposta é verificada é: { r ∈ Q | − 1 2 < r < 5 2 } . Exemplo 26 Para quais inteiros n vale a desigualdade ( 1 n − 1 )3 < 0? Solução: Em virtude da definição das potências de números racionais, a desigualdade proposta equivale a 1 (n − 1)3 < 0. Como 1 > 0, a última desigualdade equivale a (n−1)3 < 0. Logo n−1 < 0, pois 3 é um expoente ı́mpar. Portanto, a desigualdade vale para todo inteiro menor que 1. Exemplo 27 Quais são os números racionais r que satisfazem: 5r − 3 3r − 2 ≤ 5r + 1 3r + 5 ? Pela definição da relação de ordem, a desigualdade proposta equivale a: 0 ≤ 5r + 1 3r + 5 − 5r − 3 3r − 2 . Cuidado! No Exemplo 27 não podemos aplicar a regra dos produtos cru- zados, pois os sinais dos de- nominadores 3r − 2 e 3r + 5 não estão determinados, eles dependem do valor de r. Revise a quinta propriedade da relação de ordem em Q. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 43 CEDERJ Os números racionais - continuação Simplificamos o lado direito desta desigualdade: 5r + 1 3r + 5 − 5r − 3 3r − 2 = (5r + 1)(3r − 2) − (5r − 3)(3r + 5) (3r + 5)(3r − 2) = (15r2 + 3r − 10r − 2) − (15r2 + 25r − 9r − 15) (3r + 5)(3r − 2) = 15r2 − 7r − 2 − 15r2 − 16r + 15 (3r + 5)(3r − 2) = 13 − 23r (3r + 5)(3r − 2) . Logo: 0 ≤ 5r + 1 3r + 5 − 5r − 3 3r − 2 equivale a 0 ≤ 13 − 23r (3r + 5)(3r − 2) . Para analisar o sinal da expressão 13 − 23r (3r + 5)(3r − 2) , devemos estudar se- paradamente o sinal de 13 − 23r , 3r + 5 e 3r − 2 : O sı́mbolo ⇐⇒: É usado entre duas proposições para indicar que elas são equi- valentes, isto é, que a validade de uma equivale à validade da outra. Se P e Q são duas proposições, a relação P ⇐⇒ Q se lê “P é verdadeira se, e so- mente se, Q é verdadeira” • 13 − 23r : Temos: 13 − 23r > 0⇐⇒ 13 > 23r⇐⇒ 13 23 > r. Similarmente: 13 − 23r < 0⇐⇒ 13 < 23r⇐⇒ 13 23 < r. Também: 13 − 23r = 0⇐⇒ r = 13 23 . • 3r + 5 : Temos: 3r + 5 > 0⇐⇒ 3r > −5⇐⇒ r > −5 3 . Similarmente: 3r + 5 < 0⇐⇒ 3r < −5⇐⇒ r < −5 3 . Também: 3r + 5 = 0⇐⇒ r = −5 3 . • 3r − 2 : Temos: 3r − 2 > 0⇐⇒ 3r > 2⇐⇒ r > 2 3 . Similarmente: 3r − 2 < 0⇐⇒ 3r < 2⇐⇒ r < 2 3 . E finalmente: 3r − 2 = 0⇐⇒ r = 2 3 . Observe agora que −5 3 < 13 23 < 2 3 . Reunimos agora estas informações numa tabela de análise de sinal : J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 44 Os números racionais - continuação Conjuntos Numéricos AULA 3 a. 9 − 6r < 1 2 − 10r , b. 3r 7 − 2r 5 ≥ 6r − 1 2 , c. r + r 2 + r 3 > 2r + 3r 4 + 4r 5 , d. r − 1 3 ≤ 1 − 2r 4 , e. 4r − 2 r + 5 < 5r + 2 3r − 5 , f. 4r − 1 2r − 1 > 4r + 3 6r − 3 , g. 6r − 1 r ≥ 3r 2 − 2r + 1 2r2 . 7. O enigma da idade de Diofante. Diofante de Alexandria, considerado o último herói da tradição matemática grega, fez grandes contribui- ções à Teoria dos Números. Pouco é sabido sobre a vida deste ilus- tre personagem. O lugar onde nasceu é desconhecido, e sua che- gada a Alexandria é um mistério, podendo ter ocorrido por volta do ano 250 a.C. O único detalhe sobre a vida de Diofante foi um enigma que, segundo uma lenda, foi gravado na lápide do seu túmulo: Fig. 13: Livro sexto da Aritmética de Diofante, tradução de Claude Gaspar Bachet, 1621. Aqui foram sepultados os res- tos de Diofante. E os números podem mostrar quão longa foi a sua vida, cuja sexta parte constituiu sua formosa infância. E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido quando de pêlos se cobriu o seu rosto. E a sétima parte de sua existência transcorreu em um matrimônio sem filhos. Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muito feliz o nas- cimento de seu primeiro filho, que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida, que durou somente a metade da de seu pai. E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo sobrevivido apenas quatro anos ao descenso de seu filho. Decifre o enigma descobrindo com quantos anos Diofante morreu. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 47 CEDERJ Os números racionais - continuação 8. Desafio: Verifique que entre quaisquer dois racionais distintos, sempre existe outro racional. Isto é, dados dois números r1, r2 ∈ Q, com r1 < r2, sempre é possı́vel achar um terceiro s ∈ Q, tal que r1 < s < r2. Conclua que, entre quaisquer dois racionais distintos sempre existe uma infinidade de racionais. Auto-avaliação Você sabe comparar dois números racionais? Para resolver uma desigualdade você tem que conhecer as regras básicas da relação de or- dem! Para aprender e ter habilidade com os cálculos é muito importante fazer exercı́cios e esclarecer imediatamente as suas dúvidas. Não deixe para depois, faça os exercı́cios 1, 2, 3, 4, 6 e, antes de prosseguir, per- gunte. Não tenha receio, com certeza os tutores vão ajudá-lo. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 48 Somas de progressões geométricas Conjuntos Numéricos AULA 4 Aula 4: Somas de progressões geométricas Objetivos • Definir progressão geométrica de números racionais. • Calcular a soma de progressões geométricas finitas. • Calcular a soma de todos os termos de progressões geométricas de razão r, tal que 0 ≤ r < 1. O O jogo de xadrez É importante lembrar que o ta- buleiro do jogo de xadrez é um quadrado dividido em 64 casas (oito por lado). Uma lenda conta que o inventor do jogo de xadrez foi um jovem hindu, religioso, pobre e modesto, tentando distrair o seu rei que amargu- rava a perda do filho durante a guerra. O rei, fascinado com o jogo, fez questão de recompensar o jovem pela invenção do jogo. O jovem, sentindo-se recompensado por ter proporcionado um pas- satempo agradável ao seu monarca, recusou fortunas e palácios. No entanto, após os insistentes apelos do rei, decidiu pedir uma re- compensa singular: um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois grãos de trigo pela segunda, quatro grãos pela terceira, oito pela quarta e assim por diante, dobrando sempre a quantidade para cada casa do tabuleiro. A soma dessas quantidades de trigo seria a recompensa. O rei, após criticar duramente a simplicidade do jovem, mandou cha- mar os calculistas da corte e ordenou-lhes que calculassem a “porção” de trigo para que o pagamento da recompensa fosse providenciado. Após algumas horas, os calculistas voltaram com o resultado final, um número de grandeza inimaginável! Uma estimativa mais apurada le- vara a concluir que a quantidade de trigo a ser paga formaria uma monta- nha que, tendo por base a extensão do reino, seria cem vezes maior que a maior das montanhas da terra! Você tem idéia de quantos grãos de trigo eram? Pois veja, a quantidade de grãos da recompensa é exatamente: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + . . . + 263 . Quão grande é este número? Nesta aula desenvolveremos um método para calcular somas como J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 49 CEDERJ Somas de progressões geométricas (1 − r)Sn = a(1 − r n+1) . Note agora que, quando a razão r é igual a 1, a soma Sn é igual à soma de n + 1 parcelas iguais a a. Isto é: Sn = (n + 1)a , quando r = 1. Se r 6= 1, dividimos por 1 − r ambos os lados da igualdade (1 − r)Sn = a(1 − r n+1), obtendo: Sn = a + ar + ar 2 + ar3 + ar4 + . . . + arn = a 1 − rn+1 1 − r , r 6= 1. (2) A partir dessa fórmula, temos várias situações a considerar, de- pendendo do valor de r. O caso I, tratado abaixo, será utilizado com freqüência nas próximas aulas. Caso I. Suponha que 0 < r < 1 : Observe que ao multiplicar a desigualdade 0 < r < 1 repetida- mente por r, obtemos: 0 < r2 < r 0 < r3 < r2 0 < r4 < r3 ... 0 < rn+1 < rn ... e combinando estas desigualdades: 0 < . . . < rn+1 < rn < . . . < r4 < r3 < r2 < r < 1 , qualquer que seja o natural n > 0 . Veja os seguintes exemplos: Exemplo 29 a. Se r = 1 3 temos a seqüência de desigualdades: 0 < . . . < 1 81 < 1 27 < 1 9 < 1 3 < 1 . b. Se r = 2 5 : 0 < . . . < 32 3125 < 16 625 < 8 125 < 4 25 < 2 5 < 1 . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 52 Somas de progressões geométricas Conjuntos Numéricos AULA 4 Logo, se r é um número racional entre 0 e 1 e se n é um número natural muito, mas muito grande (muito maior que o maior número que você possa imaginar), rn será muito pequeno, ... quase zero! (as potências rn vão diminuindo cada vez mais, conforme o expoente n aumenta). Portanto, se n é muito grande, podemos considerar (este fato é bem justificado matematicamente, mas não o faremos nestas notas) que rn (conseqüentemente rn+1) é igual a zero na fórmula (2) e escrever o valor da soma S da progressão geométrica infinita: S = a + ar + ar2 + ar3 + . . . + arn + . . . = a 1 − r , 0 ≤ r < 1. (3) Exemplo 30 a. Para a PG de primeiro termo a = 1 e razão r = 1 3 , temos: 1 + 1 3 + ( 1 3 )2 + ( 1 3 )3 + ( 1 3 )4 + . . . = 1 1 − 1 3 = 1 2 3 = 3 2 . b. Para a PG de primeiro termo a = 4 e razão r = 3 4 , temos: 4 + 4× 3 4 + 4× ( 3 4 )2 + 4× ( 3 4 )3 + . . . = 4 1 − 3 4 = 4 1 4 = 16 Caso II. Suponha agora r > 1 : Quando r > 1, o número rn+1 que fica no numerador da fórmula (2) vai aumentando de valor conforme o valor de n aumenta. Com efeito, multiplicando repetidamente a desigualdade 1 < r por r : 1 < r < r2 < r3 < r4 < . . . < rn < rn+1 < . . . . Por exemplo, quando r = 2 temos: 1 < 2 < 4 < 8 < 16 < 32 < 64 < . . . Assim, se r > 1, os termos da PG aumentam, ultrapassando qual- quer número que você possa imaginar. Neste caso, apenas podemos calcular a soma de um número finito de termos da progressão. Para isto, usamos também a fórmula (2). Veja: Exemplo 31 Determinemos a soma dos 11 primeiros termos da PG de primeiro termo a = 4 e razão r = 5. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 53 CEDERJ Somas de progressões geométricas Solução: 4 + 4× 5 + 4× 52 + . . . + 4× 510 = 4× 1 − 5 10+1 1 − 5 = 4× 5 11 − 1 5 − 1 = 4× 48 828 125 − 1 4 = 48 828 124. Exemplo 32 a. Determinemos a soma S = 1 4 + ( 1 4 )2 + ( 1 4 )3 + ( 1 4 )4 + . . .. Solução: Como S = 1 4 + 1 4 × 1 4 + 1 4 × ( 1 4 )2 + 1 4 × ( 1 4 )3 + . . . é a soma da PG de primeiro termo 1 4 e razão 1 4 , usando a fórmula (3) com a = 1 4 e r = 1 4 , obtemos: S = 1 4 × 1 1 − 1 4 = 1 4 × 1 3 4 = 1 4 × 4 3 = 1 3 b. Determinemos a soma S = 3× 1 2 +3× ( 1 2 )2 +3× ( 1 2 )3 +3× ( 1 2 )4 + . . .. Solução: Usando a fórmula (3) com a = 3× 1 2 = 3 2 e r = 1 2 , temos: S = 3× 1 2 × 1 1 − 1 2 = 3 2 × 1 1 2 = 3 2 × 2 1 = 3 . Encerramos esta aula com uma observação que nos será de utili- dade nas próximas aulas. Observação. A multiplicação de um número b pela soma da PG infinita de primeiro termo a e razão r ∈ (0, 1) dá como resultado a soma da PG infinita cujo primeiro termo é o produto b · a e cuja razão é também r. De fato: b · (a + ar + ar2 + ar3 + . . .) = b · ( a · 1 1 − r ) = (b · a) 1 1 − r = (b · a) + (b · a) · r + (b · a) · r2 + (b · a) · r3 + . . . Veja agora um par de exemplos que mostram o contexto em que usaremos esta observação: Exemplo 33 a. Multipliquemos a soma da PG infinita de primeiro termo a = 9 10 e razão r = 1 10 por b = 1 103 : J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 54 Somas de progressões geométricas Conjuntos Numéricos AULA 4 Fig. 14: Estágio 0. Fig. 15: Estágio 1. Fig. 16: Estágio 2. [Estágio N] Acrescentamos três quadrados de lado 1 2N em cada um dos quadrados adicionados no estágio N − 1. [Estágio N+1] ... e assim sucessivamente. Fig. 17: Estágio 3. Fig. 18: Estágio 4. Fig. 19: Estágio 5. a. Determine a soma total das áreas dos quadrados utilizados na construção acima até o estágio 5. b. Quantos quadrados foram usados na construção até o estágio 9? Fig. 20: Estágio 9. c. Se você continuar com a construção, indefinidamente, qual será a soma total das áreas dos quadrados utilizados? J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 57 CEDERJ Somas de progressões geométricas Auto-avaliação As fórmulas da soma de um número finito de termos de uma pro- gressão geométrica e a soma de todos os seus termos, quando a razão r satisfaz 0 ≤ r < 1, serão usadas nas próximas aulas. Para não esquecê- las, não deixe de resolver os exercı́cios 1 e 2, pois serão úteis na Aula 6. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 58 §2. Expansões decimais No nosso entendimento prático, as quantidades resultam da compa- ração de uma grandeza com uma unidade do mesmo tipo. Basicamente, existem dois tipos de grandezas: as grandezas discretas, como uma cole- ção de livros ou uma turma de alunos e as grandezas contı́nuas, como a distância, o peso e o tempo. Quando comparamos uma grandeza discreta com a unidade, efetu- amos uma contagem dando como resultado um número inteiro e, ao com- parar uma grandeza contı́nua com a unidade, efetuamos uma medição. Conforme os problemas iam adquirindo maior complexidade, a noção de número teve de ser refinada e ampliada ao longo do tempo. Na evolução das antigas culturas, encontramos diversas tentativas e procedimentos empı́ricos para quantificar o contı́nuo. Continuaremos com o nosso estudo dos números racionais sob o ponto de vista das expansões decimais. O nosso objetivo é reafirmar e aprofundar seus conhecimentos sobre os números racionais e suas ex- pansões decimais (expressão das quantidades por meio de potências de 10). J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 59 CEDERJ A expansão decimal de um número racional No entanto, será correto concluir, a partir da divisão do lado direito, que 1 11 = 0,0909? Qual é o significado destas expressões? Por que a primeira divisão termina e a segunda não? O que significa o termo expansão decimal? Como obter a expansão decimal de uma fração qualquer? Nesta aula e na próxima, vamos responder a estas perguntas. Começamos lembrando que, na Aula 2, vimos que toda fração não- nula é equivalente a uma fração irredutı́vel com denominador positivo. Sabemos que uma fração irredutı́vel p q , com q > 0, se escreve na forma: Para relembrar esta expressão volte ao inı́cio da Aula 3. p q = N + r q , onde p = N · q + r , 0 ≤ r < q (4) Em (4), N é um número inteiro chamado a parte inteira de p q , e a fração r q é chamada a parte não-inteira ou parte fracionária de p q . Geometricamente, a relação (4) significa que para localizar a fração p q na representação gráfica de Q, devemos proceder da seguinte maneira: • se r = 0, então p q é o inteiro N, • se r 6= 0, marcamos no segmento entre os inteiros N e N + 1 os pontos que o dividem em q partes de igual tamanho e tomamos r delas. O ponto obtido representa a fração p q . Por exemplo, 7 8 = 0 + 7 8 tem parte inteira 0 e parte fracionária 7 8 , enquanto 11 8 = 1+ 3 8 tem parte inteira 1 e parte fracionária 3 8 , veja a figura abaixo. Fig. 21: Representação de frações por meio das partes inteira e fracionária. A seguir, vamos determinar as expansões decimais de frações posi- tivas, sendo que nossas considerações também são válidas para frações negativas. A parte inteira N da fração positiva p q é um número natural que pode J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 62 A expansão decimal de um número racional Conjuntos Numéricos AULA 5 ser escrito como soma de múltiplos de potências de 10 com expoentes naturais (Exercı́cio 9, da Aula 1): N = Nk × 10k + Nk−1 × 10k−1 + . . . + N2 × 102 + N1 × 101 + N0 × 100 onde N0, N1, N2, . . . são os algarismos de N, 0 ≤ N1,N2, . . . , Nk ≤ 9 e Nk 6= 0. Nesta aula vamos decompor a parte fracionária r q como uma soma de múltiplos de potências de 10 com expoentes inteiros negativos. Antes de passarmos adiante, voltemos aos nossos dois exemplos. Exemplo 34 Escrever a fração 7 8 como uma soma de frações cujos numeradores são algarismos e cujos denominadores são potências de 10. Solução: Como 7 < 8 e 10 = 101 é a menor potência de 10 cuja multipli- cação por 7 é maior que 8 (isto é, 7× 100 < 8 < 7× 101), temos 7× 101 = 70 = 8× 8 + 6, e dividindo por 8× 101: 7 8 = 70 80 = 7× 101 8× 101 = 8× 8 + 6 8× 101 = 8× 8 8× 101 + 6 8× 101 = 8 101 + 1 101 6 8 . Repetimos o processo com a fração 6 8 : Como 6 < 8 e 101 é a menor potência de 10 cuja multiplicação por 6 é maior que 8 (isto é, 6×100 < 8 < 6×101), temos 6×101 = 60 = 8×7+4, e dividindo por 8× 101: 6 8 = 60 80 = 8× 7 + 4 8× 101 = 8× 7 8× 101 + 4 8× 101 = 7 101 + 1 101 4 8 . Similarmente, para a fração 4 8 , obtemos: 4 = 4× 100 < 8 < 4× 101. Logo 4× 101 = 40 = 8× 5 + 0 e dividindo por 8× 101: 4 8 = 40 80 = 8× 5 8× 101 = 5 101 . Reunindo estas informações: 7 8 = 8 101 + 1 101 6 8 = 8 101 + 1 101 ( 7 101 + 1 101 4 8 ) = 8 101 + 1 101 ( 7 101 + 1 101 5 101 ) = 8 101 + 1 101 ( 7 101 + 5 102 ) = 8 101 + 7 102 + 5 103 . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 63 CEDERJ A expansão decimal de um número racional Exemplo 35 Escrever a fração 1 11 como uma soma de frações cujos numeradores são algarismos e cujos denominadores são potências de 10. Solução: Como 1 < 11, e a menor potência de 10 que multiplicada por 1 é maior que 11 é 102, isto é, 1× 101 < 11 < 1× 102, temos: 1× 102 = 100 = 11× 9 + 1 , e dividindo por 11× 102, obtemos: 1 11 = 1× 102 11× 102 = 11× 9 + 1 11× 102 = 11× 9 11× 102 + 1 11× 102 = 9 102 + 1 102 1 11 . Repetindo o argumento com a fração 1 11 ... um momento! ... veja que a fração que resulta no argumento, aquela que multiplica 1 102 na última expressão acima, ... é a mesma que a fração original! ... E agora? Bom, isso não influencia em nada o nosso processo, apenas aproveita- mos o resultado já obtido da seguinte maneira: 1 11 = 9 102 + 1 102 1 11 = 9 102 + 1 102 ( 9 102 + 1 102 1 11 ) = 9 102 + 1 102 ( 9 102 + 1 102 ( 9 102 + 1 102 1 11 )) = 9 102 + 1 102 ( 9 102 + 1 102 ( 9 102 + 1 102 ( 9 102 + 1 102 1 11 ))) = · · · · · · Certamente você deve estar intrigado... Quando este processo irá aca- bar? A resposta é simples: nunca! Note que o esquema se repete uma, e outra vez. Efetuando os cálculos acima, obtemos: 1 11 = 9 102 + 9 104 + 9 106 + 9 108 + 1 108 1 11 = 9 102 + 9 104 + 9 106 + 9 108 + 9 1010 + 9 1012 + 9 1014 + . . . Estes exemplos, além de justificar as divisões feitas anteriormente, nos mostram situações completamente diferentes. No exemplo 34 temos um processo que termina após um número finito de etapas, e no exemplo 35 temos um processo que nunca termina. Você poderia explicar este fato?(?) A justificativa (?) ... É baseada no fato de que, qualquer que seja o inteiro q, o inteiro 11q jamais será uma potência de 10, pois na fatoração de uma potência de 10 aparecem apenas os primos 2 e 5, sempre com o mesmo expo- ente, e num múltiplo de 11 sem- pre aparece o primo 11. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 64 A expansão decimal de um número racional Conjuntos Numéricos AULA 5 Para verificarmos a afirmativa 2, observamos que se 0 ,a1 a2 a3 a4 . . . ak é uma expansão decimal finita, então: 0,a1 a2 . . . ak−1 ak = a1 101 + a2 102 + . . . + ak−1 10k−1 + ak 10k = a1 · 10k−1 + a2 · 10k−2 + . . . + ak−1 · 101 + ak · 100 10k = a1 · 10k−1 + a2 · 10k−2 + . . . + ak−1 · 10 + ak 2k · 5k . Colocando esta fração na sua forma irredutı́vel, os expoentes das potências do denominador podem, eventualmente, diminuir. Mesmo as- sim, no denominador aparecerão somente os fatores 2 ou 5. Com isto, acabamos de verificar que: 0 ,a1 a2 . . . ak−1 ak = a1a2 . . . ak−1ak 10k (7) onde a1a2 . . . ak−1ak é o número natural cujos algarismos são a1, a2, . . ., ak−1, ak. Para fixar as idéias, preste atenção nos seguintes exemplos: Exemplo 37 A expansão decimal do racional 7 50 é finita: 7 50 = 7 2× 52 = 2× 7 2× (2× 52) = 14 22 × 52 = 14 102 = 0 ,14 . Exemplo 38 A expansão decimal finita 0,2296 é representada por uma fração cujo de- nominador se fatora em produto de potências de 2 e/ou 5. Com efeito, pela fórmula (7): 0 ,2296 = 2296 104 = 23 × 7× 41 24 × 54 = 7× 41 2× 54 = 287 1250 . Exemplo 39 Verifiquemos que a fração 1155 7500 tem expansão decimal finita. Solução: Note que 7500 = 22 × 3 × 54. Logo, o denominador não é da forma 2r × 5s. Porém, o numerador é fatorado como 1155 = 3× 5× 7× 11 e, portanto, a fração dada é equivalente à fração: J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 67 CEDERJ A expansão decimal de um número racional 1155 7500 = 3× 5× 7× 11 22 × 3× 54 = 7× 11 22 × 53 , cujo denominador 22 × 53 é produto de potências de 2 e 5. Logo: 1155 7500 = 7× 11 22 × 53 = 2× 7× 11 2× (22 × 53) = 154 103 = 0 ,154 . Exemplo 40 Determinemos uma fração representada pela expansão 0,134 cujo deno- minador seja produto de potências de 2 ou 5. Solução: Vejamos: 0,134 = 134 103 = 2× 67 23 × 53 = 67 22 × 53 = 67 500 = 67 22 · 53 . Concluı́mos assim que uma fração irredutı́vel cujo denominador é múltiplo de algum primo diferente de 2 e de 5, tem expansão decimal infinita. Resumo Você aprendeu que todo número racional pode ser escrito como uma expansão decimal. E, olhando para o denominador de uma fração irre- dutı́vel, você sabe determinar se ela tem ou não expansão decimal finita. Exercı́cios 1. Determine a expansão decimal das frações: a. 40 360 , b. 1 64 , c. 99 190 , d. 1 30 , e. 71 256 . 2. É verdade que 1 9 tem por expansão decimal 0,11111111111 . . .? 3. Se x =4,7953 , então: x = 4+ 7 10 + 9 100 + 5 1000 + 3 10000 ou x = 4+ 7 9 + 9 99 + 5 999 + 3 9999 ? 4. O valor de 0,3 − 1 4 (−1)3 + 0,036 0,04 é: a. 8,95 , b. 0,95 , c. 0,04 , d. 0,85 , e. 8,85 , f. nenhum dos anteriores. 5. Determine a soma da PG infinita de primeiro termo 3 10 e razão 1 10 . Compare o seu resultado com a expansão decimal da fração 1 3 . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 68 A expansão decimal de um número racional Conjuntos Numéricos AULA 5 6. Determine a soma da PG infinita de primeiro termo 6 10 e razão 1 10 . Qual o número racional representado por esta soma? Qual a ex- pansão decimal desse número? 7. Escreva a expansão decimal 0,22222 . . . na forma (5). Observe que você tem a soma dos termos de uma PG infinita. Calcule a soma e diga qual a fração representada pela expansão. 8. Considere as frações abaixo e faça o que se pede: a. 347 660 , b. 81 60 , c. 9999 1980 , d. 1 330 , e. 3471 238 , f. 1 + 1 10 − 6 9 . • Sem converter a expansão decimal (analisando apenas os deno- minadores), diga quais das frações têm expansão decimal finita. • Determine a parte inteira. • Determine (aplicando o algoritmo da divisão) a expansão decimal. • Coloque as frações em ordem crescente. 9. Ache o menor inteiro n > 10 para que 105 3n tenha expansão decimal finita. Auto-avaliação Se você conseguiu fazer todos os exercı́cios, pode começar a estu- dar a Aula 6. Se ficou com alguma dúvida ou teve problemas para resolver algum exercı́cio, reveja os conceitos e os exemplos. Se o problema per- sistir, peça ajuda ao tutor. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 69 CEDERJ Expansões de números racionais Assim, na divisão de 5 por 11 feita anteriormente, os restos são números inteiros pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, e na divisão de 10 por 7, os restos pertencem ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como as divisões não são exatas, o processo continua indefinidamente, e em algum momento, esses restos deverão se repetir. A repetição dos restos causa, necessariamente, a repetição suces- siva de blocos de dı́gitos nas expansões decimais. No exemplo anterior, vemos que: • na divisão de 4 por 3, o bloco formado pelo dı́gito 3 após a vı́rgula decimal se repete indefinidamente. • na divisão de 5 por 11, o bloco formado pelos dı́gitos 4 e 5 se repete indefinidamente. • na divisão de 13 por 6, o bloco formado pelo dı́gito 6 a partir da casa dos centésimos se repete indefinidamente. • na divisão de 10 por 7, o bloco 428571 começando após a vı́rgula decimal se repete indefinidamente. Este fato acontece em geral na expansão decimal de uma fração irredutı́vel cujo denominador possui um fator diferente de 2 e 5. Expansão decimal periódica infinita. Uma expansão decimal é chamada periódica infinita quando um deter- minado bloco de dı́gitos se repete indefinidamente um após o outro. Para abreviar a escrita das expansões decimais periódicas infinitas, convencionamos colocar uma barra horizontal sobre o bloco de dı́gitos que se repete indefinidamente na expansão. Exemplo 42 As expansões obtidas no exemplo anterior são expansões periódicas infi- nitas e se escrevem da seguinte forma: 4 3 = 1,33333 . . . = 1,3 5 11 = 0,454545 . . . = 0,45 13 6 = 2,16666 . . . = 2,16 10 7 = 1,42857142 . . . = 1,428571 Combinando estas considerações com os resultados da aula ante- rior, concluı́mos que toda fração é representada por uma expansão deci- J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 72 Expansões de números racionais Conjuntos Numéricos AULA 6 mal finita ou periódica infinita. Além disso, toda expansão decimal finita representa uma fração ir- redutı́vel cujo denominador é fatorado em potências de 2 e 5. No entanto, ainda temos uma pergunta a fazer: Será que toda expansão decimal periódica infinita representa uma fração? A resposta é afirmativa e a ilustramos nos seguintes exemplos. Exemplo 43 Qual a fração que representa a expansão periódica infinita 3,6? Solução: Usando os nossos conhecimentos sobre progressões geométri- cas, temos: 3,6 = 3,666666 . . . = 3 + 0,666666 . . . = 3 + 6 101 + 6 102 + 6 103 + . . . = 3 + 6 10 + 6 10 1 10 + 6 10 1 102 + 6 10 1 103 + . . . + 6 10 1 10k−1 + . . . = 3 + 6 10 1 1 − 1 10 = 3 + 6 10 1 10 − 1 10 = 3 + 6 9 = 3 1 + 2 3 = 11 3 . Exemplo 44 Usando os mesmos argumentos do exemplo anterior, determinar a fração correspondente à expansão 0,9 = 0,9999999 . . . Solução: 0,9 = 0,99999 . . . = 9 101 + 9 102 + 9 103 + 9 104 + . . . + 9 10k + . . . = 9 10 + 9 10 1 10 + 9 10 1 102 + 9 10 1 109 + . . . + 9 10 1 10k−1 + . . . = 9 10 1 1 − 1 10 = 9 10 1 10 − 1 10 = 9 9 = 1 . Exemplo 45 Calculando, como nos exemplos anteriores, obtemos: J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 73 CEDERJ Expansões de números racionais a. 9,09 = 9,090909 . . . = 9 , 09︸︷︷︸ 09︸︷︷︸ 09︸︷︷︸ 09︸︷︷︸ 09︸︷︷︸ . . . = 10011 b. 0,15285714 = 0 ,1528571428571428 . . . = 0 , 15 285714︸ ︷︷ ︸ 285714︸ ︷︷ ︸ . . . = 107700 Agora podemos estabelecer a seguinte caracterização dos números racionais. Nota: A expansão do 0 é 0,000 . . . ou seja 0,0 . O zero é o único racional que tem a sua parte inteira e todas suas casas decimais nulas. As expansões decimais e os números racionais. • Todo número racional possui uma expansão decimal finita ou periódica infinita. • Toda expansão decimal finita ou periódica infinita representa um número racional. Em relação ao segundo ponto, dada uma expansão decimal finita, podemos usar a fórmula (7) da aula anterior para determinar a fração correspondente, e se a expansão decimal é periódica infinita, então ela é a soma de uma PG infinita. Para fixar melhor este último ponto, vejamos outro exemplo concreto. Exemplo 46 Qual o número racional representado pela expansão 15,31 012? Solução: Temos que: 15,31 012 = 15,31 012 012 012 012 012 . . . = 15, 31︸︷︷︸ 2 casas decimais 01 2︸︷︷︸ 5a casa 01 2︸︷︷︸ 8a casa 01 2︸︷︷︸ 11a casa . . . = 15 + 31 102 + 012 105 + 012 108 + 012 1011 + 012 1014 + . . . = 15 + 31 102 + 12 105 + 12 105 1 103 + 12 105 ( 1 103 )2 + 12 105 ( 1 103 )3 + . . . = 15 + 31 102 + ( soma da progressão geométrica de primeiro termo 12 105 e razão 1 103 ) = 15 + 31 102 + 12 105 1 1 − 1 103 = 15 + 31 102 + 12 105 103 103 − 1 = 15 + 31 102 + 12 102 × 999 = 15 + 31× 999 + 12 102 × 999 = 509827 33300 . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 74 Expansões de números racionais Conjuntos Numéricos AULA 6 Para se convencer que em geral o processo não é tão simples assim, tente fazer o mesmo na soma 0,9918 89 + 0,8 919. Da mesma forma, para efetuar a multiplicação de expansões deci- mais periódicas infinitas, o melhor a ser feito é converter as expansões a frações, efetuar a multiplicação e transformar a fração resultante em expansão decimal. Como comparar duas expansões decimais periódicas infinitas que terminam em dı́gitos diferentes de zero? Podemos comparar duas expansões como se fossem palavras em um dicionário. Estas palavras são escritas com as letras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Isto é, comparamos as expansões, dı́gito a dı́gito. Por exemplo: 0, 378758 < 0, 379758, porque o 8, que aparece na ter- ceira casa decimal da primeira expansão, é menor que o 9 que aparece na mesma casa decimal da segunda expansão. Ou seja, a primeira ex- pansão possui 8 1000 , enquanto que a segunda possui 9 1000 . Resumo Identificamos quando um número racional tem expansão decimal finita ou periódica; determinamos a fração correspondente a uma ex- pansão decimal dada (finita ou periódica) e vimos que toda expansão de- cimal finita é igual a uma expansão decimal periódica que termina numa seqüência de noves. Não se esqueça que uma fração irredutı́vel tem ex- pansão decimal finita apenas quando o seu denominador é igual a um produto de potências de 2 ou 5! Exercı́cios 1. Estude cada uma das expansões decimais abaixo usando progres- sões geométricas e determine a fração irredutı́vel correspondente. a. 0,121 , b. 13,13 , c. 0,002 , d. 0,345 , e. −13,00876 . 2. Determine a fração correspondente a: a. 1,12 , b. 121,229 , c. −32,100101 . 3. Determine expansões decimais finitas e diferentes a e b , tais que: J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 77 CEDERJ Expansões de números racionais a − 0,245456 < 0,0023 e b − 0,245456 < 0,0023 . 4. Determine uma expansão decimal finita a , tal que: 0,245456 − a < 0,001 . 5. Determine expansões decimais finitas a e b de modo que: a − 4 9 < 0,001 e 4 9 − b < 0,001 . 6. Verifique a validade das igualdades abaixo. a. 3×10−10 +4×10−8 = 4,03×10−8 , b. 0,8×106 −0,7×105 = 100.000 . 7. Escreva a expansão decimal infinita das expansões decimais abaixo. a. 0,121 , b. 13,1313 , c. 0,002 , d. 0,345 , e. -3,1416 , f. -5,9996103 . 8. Escreva a expansão decimal infinita das frações: a. 1 16 , b. 13 80 , c. − 11 200 , d. 7 125 , e. − 3 320 . 9. Desafio: Fig. 22: Exercı́cio 9. Uma bolinha é solta, no chão, de uma altura de 1,25 metros. Suponha que o material com que a bolinha é cons- truı́da e o meio onde é lançada são tão especiais que fazem com que ela pule indefinidamente, sempre na direção ver- tical. Porém, cada vez que volta a su- bir, após ter batido no chão, a altura alcançada é 20% menor que a altura percorrida até a batida anterior. Qual a distância total, em me- tros e centı́metros, que a bolinha irá percorrer no seu movimento? (Sugestão: Use progressões geométricas) 10. Explique, detalhadamente, o que acontece quando você multiplica uma expansão decimal finita ou periódica infinita por uma potência de 10. Separe os casos dependendo do sinal do expoente da potência. 11. Qual das expansões abaixo está mais próxima de 1? 1,000001 , 0,999999 , 1,1 ou 1,00009 ? J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 78 Expansões de números racionais Conjuntos Numéricos AULA 6 12. Qual das expansões dadas está mais próxima de 0 ? 0,000001 , -0,999999 , 0,1 ou 0,00009 ? Auto-avaliação Se você conseguiu fazer os exercı́cios de 1 a 8 e sabe que um número racional, uma fração ou uma expansão decimal infinita periódica são a mesma coisa, pode prosseguir. Vamos estudar os números re- ais! Mas tente resolver os outros exercı́cios para fixar bem as idéias. Não prossiga se ainda tiver dúvidas. Revise os conceitos, procure o tutor, caso ache necessário, e não se esqueça de seus colegas, é bom discutir pro- blemas em grupo. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 79 CEDERJ CEDERJ [82 J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) Os números irracionais Conjuntos Numéricos AULA 7 Aula 7: Os números irracionais Objetivos • Definir os conjuntos dos números irracionais e dos números reais. • Identificar alguns números irracionais. • Revisar as propriedades das operações no conjunto dos números reais. A existência de medidas ou quantidades que não podem ser expres- sas por números racionais foi percebida pela primeira vez pelos gregos da era pitagórica. Tais quantidades são chamadas números irracionais ou magnitudes incomensuráveis. Pitágoras de Samos 569-475 a.C., Samos, Ionia. Foi o primeiro matemático puro da história. Fez grandes des- cobertas na Matemática, Astro- nomia e Música. Em 20 anos de viagens, aprendeu toda a Matemática conhecida na sua época, estabelecendo-se então no seu lar, a ilha de Samos, no mar Egeu. Veja: http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/∼history/ Mathematicians/Pythagoras. html A raiz quadrada ... de um número não-negativo r se designa por √ r e é o número não-negativo s tal que s2 = r. Assim, √ 4 = 2, √ 36 = 6, √ 0, 25 = 0, 5. Pitágoras de Samos que viveu na Magna Grécia é um dos ma- temáticos mais conhecidos. Sendo também pioneiro em perceber a exis- tência dos números, independentemente do mundo palpável, estudou-os livre das incertezas da percepção. Fig. 23: Teorema de Pitágoras. Pitágoras foi o primeiro a fazer uma demons- tração matemática da igualdade h2 = a2 + b2, en- tre as medidas dos comprimentos a e b dos ca- tetos de um triângulo retângulo e o comprimento h da sua hipotenusa (lembre que a hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto). Este resultado, chamado Teorema de Pitágoras, já era conhecido e utilizado na prática pelos babilônios e pelos chineses, mais de mil anos antes de Pitágoras. Fig. 24: d não é racional. Para Pitágoras, a beleza da Matemática e da natureza por ela descrita era baseada na idéia de que os números racionais poderiam descrever to- dos os fenômenos do nosso Universo. Esta ma- neira de pensar fez com que Pitágoras fechasse seus olhos a uma descoberta maravilhosa: se- gundo a história, Hipaso, um aluno da Irmandade Pitagórica, percebeu que a medida da hipotenusa do triângulo retângulo, cujos catetos medem uma unidade, não é um número racional. Note que esta é também a medida da diagonal do quadrado cujo lado mede uma unidade. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 83 CEDERJ Os números irracionais Após a descoberta de Hipaso, a Irmandade começou uma série de debates sobre o assunto. No entanto, Pitágoras não aceitou ver suas idéias sobre a concepção do Universo destruı́das e, sendo incapaz de contrariar Hipaso com argu- mentos lógicos, condenou-o à morte por afogamento. Desta maneira, Pitágoras usou a força para não admitir que estava errado. Vamos direto aos fatos: segundo o teorema de Pitágoras, se d é a medida da hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos medem uma unidade, então d2 = 12 + 12 ou seja, d2 = 2. Desta forma, d é o número positivo que elevado ao quadrado dá 2. Este número é chamado a raiz quadrada de 2 e se designa por √ 2. Vamos usar os nossos conhecimentos sobre os números racionais para determinar, aproximadamente, o valor de d = √ 2. ... equivale a ... Dizemos que duas propriedades P e Q são equivalentes, ou que P equivale a Q, e escreve- mos P ⇐⇒ Q, quando as se- guintes condições são satisfei- tas: • Assumindo que a propriedade P é verdadeira, é possı́vel ve- rificar que a propriedade Q é também verdadeira. Isto se es- creve P =⇒ Q, lê-se P implica Q. • Assumindo que a propriedade Q é verdadeira, é possı́vel ve- rificar que a propriedade P é também verdadeira. Isto se es- creve Q =⇒ P , lê-se Q implica P . Assim, P ⇐⇒ Q significa que as relações P =⇒ Q e Q =⇒ P são simultaneamente verda- deiras. Começamos lembrando que se a e b são números racionais positi- vos, então: a < b equivale a a2 < b2 (8) De fato, se a e b são números racionais positivos, temos: b2 − a2 = (b + a) (b − a) . Portanto, como b + a é positivo, b − a > 0 equivale a b2 − a2 > 0 . Ou seja, a < b equivale a a2 < b2 . O número d = √ 2 é caracterizado por duas propriedades: d > 0 e d2 = 2 . Com isto, d deve estar entre 1 e 2, pois: 1 < d < 2, equivale a 1 = 12 < d2 = 2 < 22 = 4 . Para determinar com maior precisão o número d = √ 2, procuramos achar o algarismo a1 ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}, de modo que: 1 + a1 10 ≤ √ 2 < 1 + a1 + 1 10 . Segundo a observação preliminar acima, devemos calcular os qua- drados dos números 1 + k 10 , com k ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}, e localizar o valor de k que satisfaz: ( 1 + k 10 )2 < 2 = d2 < ( 1 + k + 1 10 )2 . J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 84 Os números irracionais Conjuntos Numéricos AULA 7 é falso. E, após uma série de raciocı́nios lógicos, contradizer um fato ad- mitido ou conhecido como verdadeiro. Veja como Euclides demonstrou que √ 2 é um número irracional: Teorema 1 √ 2 não é racional. Demonstração: Raciocinando por contradição, suponha que √ 2 seja um número ra- cional. Então, √ 2 pode ser escrito como uma fração irredutı́vel m n . Fração irredutı́vel... Lembre que a fração m n é ir- redutı́vel quando m e n não têm divisores primos em co- mum. Isto é, m e n são primos entre si. Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade √ 2 = m n , obte- mos 2 = ( m n )2 = m2 n2 e, portanto, m2 = 2 · n2. Dessa última igualdade vemos que m2 é par. Logo, m deve também ser par. Como m é par, pode ser escrito na forma m = 2k para algum inteiro k e a nossa igualdade fica: (2k)2 = 2 · n2. Ou seja, 4k2 = 2 · n2. Dividindo por 2 ambos os lados desta igualdade, obtemos: 2k2 = n2. Mas isso significa que n2 é par, pois é o dobro de k2. Logo n é par. Então, m e n são pares, o que contradiz o fato de m n ser irredutı́vel. Essa contradição mostra que é errado supor √ 2 racional.  ... No seguinte usaremos o sı́mbolo  para indicar o fim de uma demonstração. Portanto, √ 2 é irracional e o teorema está demonstrado.  Bela demonstração, não? Pois com a mesma idéia podemos de- monstrar: J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 87 CEDERJ Os números irracionais Teorema 2 Se p ∈ N é primo, então √p é um número irracional. Veja como a idéia de Euclides se adapta a outros casos simples: Exemplo 48 a. O número 8 não é um número primo, mas √ 8 é irracional. Demonstração: Observe que √ 8 = √ 23 = √ 22 × 2 = √ 22 √ 2 = 2 √ 2. Se √ 8 for racional, então 1 2 √ 8 = √ 2 seria também racional, pois a multiplicação de dois números racionais (neste caso 1 2 e √ 8) é um número racional, contradizendo o fato de √ 2 ser irracional. Portanto, √ 8 é irracional.  b. Similarmente, 15 não é um número primo. No entanto, √ 15 é irraci- onal. Demonstração: De novo, procedendo por contradição, suponha que √ 15 = m n , onde m e n são naturais primos entre si. Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade, obtemos: 15 = m 2 n2 , e então m2 = 15n2 = 3 · 5 · n2. Logo, 3 é um fator de m2, devendo assim aparecer na sua decompo- sição em produto de potências de primos. Os primos que aparecem na decomposição de m2 são os mesmos que aparecem na decomposição de m, só que elevados ao dobro do expoente com que aparecem na decomposição de m. Então, m deverá conter também o primo 3 na sua decomposição. Isto é, podemos escrever m = 3 · k, para algum natural k. Escrevemos a igualdade m2 = 3 · 5 · n2 na forma (3 · k)2 = 3 · 5 · n2, ou seja, 32 · k2 = 3 · 5 · n2. Dividindo esta igualdade por 3, obtemos: 3 · k2 = 5 · n2. Logo, 3 é um fator de n2 (pois 3 e 5 são primos entre si), e portanto de n. Resumindo, 3 é um fator comum de m e n, contradizendo o fato de m e n serem primos entre si. Esta contradição mostra que √ 15 é irracional.  J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 88 Os números irracionais Conjuntos Numéricos AULA 7 No mosaico da Figura 25 mostramos as raı́zes quadradas de alguns naturais como a medida da hipotenusa de triângulos retângulos acopla- dos, todos eles com um cateto de medida 1 e o outro de medida igual à medida da hipotenusa do triângulo adjacente. Tente identificar, entre estes números, aqueles que são irracionais. Fig. 25: Raı́zes quadradas dos inteiros positivos. Finalmente a terminologia que adotaremos em diante: O conjunto dos números reais. O conjunto dos números reais se designa pela letra R e consiste de todos os números racionais junto com todos os números irracionais. Isto é, R é o conjunto que consiste de todas as possı́veis expansões de- cimais, sejam elas finitas, periódicas infinitas ou infinitas não-periódicas. Portanto, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R sendo: R − Q o conjunto dos números irracionais. Curiosidade... Existem tantos números irra- cionais que, se pudéssemos colocar todos os números re- ais em uma cartola e você ti- rasse um deles aleatoriamente, quase com certeza ele seria um número irracional. Isto é, no conjunto dos números re- ais há muitos, mas muitos mais números irracionais do que raci- onais! Os números √ 2 , √ 8 , √ 15 e √ p , com p primo, são os nossos pri- meiros exemplos de números irracionais. Porém, sabendo que os números irracionais são exatamente as expansões decimais que não são finitas nem periódicas infinitas, podemos construir muitos outros exemplos. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 89 CEDERJ Os números irracionais Se a, b ∈ R, escrevemos a < b para representar que o número a é menor do que b. E, como antes, escrever b > a significa o mesmo que a < b. Esta relação de ordem possui as mesmas propriedades da relação de ordem que já conhecemos no conjunto dos números racionais. Veja: IMPORTANTE! Fixe bem as propriedades das operações assim como as pro- priedades da relação de ordem, pois elas serão muito utilizadas nas próximas aulas. Propriedades da relação de ordem em R . Sejam a, b, c ∈ R. a. Exatamente uma das seguintes relações é verdadeira: a < b , a = b , b < a . b. Se a < b e b < c, então a < c . c. Se a < b, então a + c < b + c . d. Se a < b e c > 0, então a · c < b · c . e. Se a < b e c < 0, então a · c > b · c . f. Se 0 < a < b e n é um número inteiro positivo, então an < bn . g. Se 0 < a < b e n é um número inteiro negativo, então bn < an . Resumo Definimos o conjunto dos números reais como o conjunto das ex- pansões decimais finitas, periódicas ou infinitas não-periódicas; definimos o conjunto dos números irracionais como o conjunto das expansões de- cimais infinitas não-periódicas; enunciamos as propriedades satisfeitas pelas operações de adição e multiplicação de números reais e apresenta- mos alguns números irracionais. Exercı́cios 1. Determine, como nós fizemos para √ 2, a parte inteira e as quatro primeiras casas decimais dos seguintes números e de seus inver- sos: a. √ 3 , b. 3 √ 2 , c. √ 5 , d. 4 √ 7 , e. 10−6 √ 2 . 2. Dê um exemplo de um número irracional s: a. entre 0 e 10−1 . b. entre 0 e 10−5 . c. entre 0 e 10−n, para cada inteiro positivo n fixo. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 92 Os números irracionais Conjuntos Numéricos AULA 7 3. Dê um exemplo de um número irracional s: a. entre 0, 9 e 1 . b. entre 0, 999 e 1 . c. entre 0, 99 . . . 9︸ ︷︷ ︸ n noves e 1, para cada inteiro positivo n fixo. 4. Sejam os números reais: a = 4, 455144555144 , b = 4, 45514455514 c = 4, 455144555144455551444455555144 . . . 551 4 . . . 4︸ ︷︷ ︸ n quatros 5 . . . 5︸ ︷︷ ︸ n + 1 cincos 14 . . . Dentre os seguintes enunciados, diga quais são verdadeiros e quais são falsos. Justifique a sua resposta. a. c ∈ Q , b. c 6∈ Q , c. a − 10−11 < c < a + 10−11 , d. a − 10−13 < c < a + 10−13 , e. b − 10−10 < c < b + 10−10 . f. a − b ∈ Q , 5. Desafio: Você já sabe que a medida da diagonal do quadrado de lado 1 é um número irracional. Agora responda: • Qual a medida d da diagonal do cubo cujo lado mede uma uni- dade? • O número d é racional ou irracional? • Responda as mesmas perguntas para o cubo cujo lado mede √ 2 e para o cubo cujo lado mede √ 3. Fig. 26: Cubo unitário. Um cubo unitário é um cubo cujo lado mede uma unidade. A medida da diagonal a que se re- fere o Exercı́cio 5 é a medida d do segmento AB. 6. Em cada um dos itens abaixo faça uma demonstração por contradição. Argumente de maneira similar à demonstração de que √ 2 é irracio- nal. a. Seja p > 0 um número primo. Verifique que √ p é um número irracional. b. Sejam p > 0 e q > 0 primos distintos. Verifique que √ pq é irracional. c. Sabendo que √ 3 e √ 5 são irracionais, verifique que √ 3 + √ 5 é irracional. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 93 CEDERJ Os números irracionais d. Sejam p > 0 e q > 0 primos distintos. Verifique que √ p + √ q é irracional. e. Se p e q são inteiros positivos distintos e pelo menos um dos números √ p ou √ q é irracional, então √ p+ √ q é também irracional. Auto-avaliação Você sabe que um número irracional não é uma fração; que os números irracionais são expansões decimais infinitas não-periódicas; que os números reais são todas as expansões decimais finitas, periódicas e infinitas não-periódicas. Resolveu os exercı́cios 1, 2, 3, 4, 6(a) e 6(b)? Prossiga e conheça na próxima aula dois números irracionais famosos! J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 94 Os gregos e os números reais Conjuntos Numéricos AULA 8 Num quadrado qualquer, os segmentos representados pelo lado e pela diagonal são incomensuráveis. Na linguagem matemática, se ` é o comprimento do lado do qua- drado, então a diagonal d tem medida: d = √ `2 + `2 = √ 2`2 = ` √ 2. Logo, ` e d serão comensuráveis apenas quando d ` for racional. Contudo, já sabemos que d ` = ` √ 2 ` = √ 2 não é racional. Portanto, ` e d não podem ser comensuráveis. Pensando nos números reais por meio de magnitudes de segmen- tos, podemos elaborar uma representação gráfica completa de R usando uma reta infinita. Nesta reta marcamos dois pontos privilegiados, um para designar o número real 0 (zero) e o outro para designar o número real 1 (veja a Figura 30). Assim, estamos escolhendo o segmento de reta definido por estes dois pontos como sendo a unidade de medida. Um ponto, como o representado pelo número 1 2 , significa que o seg- mento que tem por extremidades os pontos 0 e 1 2 é comensurável com o segmento unidade e que a sua medida é 1 2 . Enquanto que o segmento que tem por extremidades o ponto 0 e o ponto representado por √ 2, não é comensurável com o segmento unidade. Desta forma, os conceitos de comensurabilidade e incomensurabili- dade permitem distinguir, na reta orientada, os pontos que representam números racionais e os pontos que representam números irracionais. A escolha dos pontos para designar os números 0 e 1, estabelece uma orientação ou sentido de percurso ao longo da reta. De fato, observe que o ponto que representa o 0 divide a reta em duas partes, numa delas está o ponto que representa o número 1, os outros pontos da reta nessa mesma parte representam os números re- ais positivos. E, os pontos da reta que estão na parte onde não está o ponto que representa o número 1, representam os números reais negati- vos. Veja a Figura 30. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 97 CEDERJ Os gregos e os números reais A reta em que representamos os números reais é chamada de reta real. Fig. 30: Representação de números reais na reta real. Conhecendo a noção grega de comensurabilidade, estudaremos dois números irracionais muito importantes na Matemática, a razão áurea e o número π. A razão áurea A razão áurea é um número real que designamos com a letra grega φ (lê-se “f i”). Veja a primeira centena de casas decimais corretas de φ: φ = 1,618033988749894848204586834365638117720309179805762862135 44862270526046281890244970720720418939113748476 . . . O número φ tem recebido vários nomes ao longo da História: razão divina, proporção divina, número de ouro, seção dourada etc. Ele tem cativado as mentes dos matemáticos e o coração e a sensibilidade dos artistas por séculos, influenciando trabalhos de Leonardo Da Vinci, Mi- chelangelo e Dürer, entre outros. Para explicar melhor de que número estamos falando, vamos trans- crever uma versão de sua definição que aparece nos Elementos de Eucli- des: Média e extrema razão. Um segmento é dividido em média e extrema razão quando o segmento todo está para a maior parte, como a maior parte está para a menor. Vejamos o que isto significa: considere um segmento AB. Um ponto C no interior de AB divide este segmento em dois: o segmento AC e o segmento CB, veja a Figura 31. Suponha que AC é maior que CB. Então, o ponto C divide AB em média e extrema razão, quando o comprimento do segmento AB está para o comprimento do segmento AC, assim como o comprimento do segmento AC está para o comprimento do segmento CB: AB : AC :: AC : CB. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF)CEDERJ 98 Os gregos e os números reais Conjuntos Numéricos AULA 8 Fig. 31: Segmento AB dividido pelo ponto C em média e extrema razão. Numericamente, dividir um segmento em média e extrema razão tem o seguinte significado: Chame a o comprimento do segmento AC e b o comprimento do segmento CB. Encontrar a posição para o ponto C, que resolve o nosso problema, é equivalente a determinar a razão a b , que designaremos por φ. Como o comprimento do segmento AB é a+b, da definição obtemos: AB : AC :: AC : CB , que equivale a a + b a = a b . Isto é, φ = a b = a + b a = a a + b a = 1 + b a = 1 + 1 a b = 1 + 1 φ . Ou seja, φ = 1 + 1 φ (9) Multiplicando por φ ambos os lados de (9), temos: φ2 = φ(1+ 1 φ ) = φ+1. Logo, (9) equivale a: φ2 − φ − 1 = 0 (10) Para resolver a equação (10) usamos a técnica de completar qua- drados: φ2 − φ − 1 (?) =φ2 + 2 ( − 1 2 ) φ+ ( 1 2 )2 − ( 1 2 )2 − 1 = [ φ2 − 2 1 2 φ + ( 1 2 )2] − 5 4 = ( φ − 1 2 )2 − 5 4 . Completando o quadrado... Podemos sempre completar uma soma da forma x2 + bx para obter uma expressão da forma (x + r)2 mais uma constante . De fato, se r ∈ R é escolhido de modo que b = 2r, então devemos somar e subtrair a constante r2: x2 + bx = x2 + 2rx = (x2 + 2rx + r2) − r2 = (x + r)2 − r2 . Na igualdade (?) ao lado, te- mos b = −1 e portanto r = − 1 2 .Logo, a igualdade (10) equivale a: ( φ − 1 2 )2 = 5 4 . Agora vamos extrair raiz quadrada em ambos os lados desta igual- dade. Do lado direito, temos √ 5 4 = √ 5√ 4 = √ 5 2 . No entanto, devemos ter cuidado ao extrair a raiz quadrada do lado esquerdo, pois lembre que √ r é o número positivo cujo quadrado é igual a r. J. Delgado - M. L. Villela (IM-UFF) 99 CEDERJ
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