J T Sielawa - Teoria Cinetica Gases

J T Sielawa - Teoria Cinetica Gases

(Parte 3 de 4)

Como podemos jmediatamente veri fi car,

6 c h amad,r de velocidade" t6rm i (2.t1)

(? ' 12) a componente do mov imento seu valor m6dio 6 sempre

- Valor m6dio do m6dulo da velocidade

Recorrendo i eq. (Z.q) vemos imediatamente que o m6dio do m6dulo de velocidade das mol6culas 6:

tln,o-t4v rIr,v,[/ 0v isto 6, se f(il,i,t) (1.32), vem:

valor (2.13) depender da(2.13,)

No caso i sotr6p i co di regdo da velocidade, recorrendo v3r(i,lil,t) av

E 6bvio que

.c'=.!lcF(i,c,t)dc>0ll 'o t+I I tl ,o

(2. t4)

(a ndo ser que c = 0). Istoja nula, a m6dia do m6dulo excegdo do caso quando c = embora a m6dia da velocidade t6rmica sg velocidade t6rmica 6 sempre positiva (com0a

- Vel oci dade rnEdia quad16tica: A velocidade mEdia quadrdtica 6 definida como:

aV2 t =t( 1l ,ov2F(i,v,t) dv(2.15)

E 6bvio que .v2, > 0 a ndo ser quando i = 0.

Das equag6es (2.,|3) e (2.15) 6 claro que, em geral ,

.Vl' r .v" (2.16)

Por exemplo, pode-se mostrar que para a chamada distri buigio maxlell iana da velocidade t6rmica, temos

{:A = f ..,: 1,086 <c>(2.17 ) 2,3 - TRANSPORTE E FLUXO DE MOLECULAS

- Velocidade de mol6culas em relaoaumas de mol6culas, um versor E n relativa de rllcteel etnen ta r atrav6s de uma su e que move-se com mol6cul as com respei m5ve I

Cons i deremos a passagem perficie elementar, d2S, orientada por uma velocidade tr. Sela i' a velocidade to a.. superficie em questio. E claro que ir =i-t, =t*?

- Vol ume

-+ -) .-) do pelas mol6culas com velocicade entre v l-lt.u*rru..* u ,up."fi.i" d'S d"untt o intervalo de tempo dt

Escolhamos um intervalo de tempo tdo curto que as mol6cu las que se aproximam a d2S nao consigam colidir entre si' Nestas cil cunstincias, as mol6culas cujas velocidades relativas 'estdo entre i'e i'*;i'e que atingirio a superficie d2S; acham-se' todas elas' dentro do vol ume d3x., = Y'61 d2S cos q

(v ide a fi g. 2.1 ). Podemosforma escrever a equagio acima [vide eqr (2'lBD na d3x.i = li'.dnl a's dt = l(i - vr)'6nl a's at(2.re)

Fig. 2.1 - Volume ocuPado rel ati va i' que to dt.

pelas mol6cul.as atingirdo d2S com a vel oc i dade durante o i nterva treieV um versor

- Nlnrero de nrol6cul as colrtvelocidade d2S dunante o intervalo dt

Conro todas as mol6culas cuja

+ di e que atingirdo a suPerficie

E . durante o intervalo de tempo n- entre i ve loci dade esti contida en el ementar d2S, orientada Por dt, tem que ficar dentro do dLS

P c volume elementar d3x., expresso pela equagio (2.,|9)' o nlmero destas mo l6cul as serd d6N = f(i,i,t) d3xi d3vi =

= r(i,i,t)l(i-Vr).dnla's dt d3vi(2.?0)

- Nilmero global de mol6culas que atravessam dzS, nos dois sentidos, durante o intervalo de tentpo, dt

Se integrarmos a eq, (2.20) sobre todas as veiocidades,ob teremos o nlnrero tota] de mol6culas que atravessam d2S duran,te o inter valo de tempo, dt, nos dois sentidos, Denotando este nlmero por dtlNl, vem:

( .1 .,,d'lNl = {JlJ len.tv-vrJ lf(r,v,t)d,ui) Recorrendo iequag6o d.s t Q.21) a equagdo acima pode ser es(2.1) , cri ta na f ornra:

d'lNl = n.ldn.(i-Vr) I'd's dt

0bservemos que as equag6es (?,21) o nlmero 91oba1 de mol6cu]as que atravessam nos ficie elementar d2S, (orientada pela versor 6n)

- Nilmero total (transporte) de mol6culas que atravessam d25 num finico sentido, durante o intervalo de tempo, dt

Para obter o n[mero total de mol6culas que atravessam a superfTcie elementar d25, orientada por um versor 6n, de um finico lado, durante o intervalo de tempo dt, a integraqdo na eq. (2.21) tem quq ser restrita a todas as velocidades que satisfazem r-':| r +(i) ('t-Vs).dn'0, ou

,+*r+(i) (v-V.)'en.0

(2 .21' ) ou (?.?lr ) representam dois sentidos uma supe r no intervalo dt.

A primeira condicdo que denota que a mol6cula atravessa a superficie no sentido do lado negativo para o positivo (vide a fig. 2.2a) e a segunda, do lado positivo para o negativo (vide a fig. 2.2b) onde os lados positivo e negativo sio determinados pelo sentido escolhi do do versor Bn (e serdo trocados, nlutuamente' se escolhermos 3n no sen tido oposto ) ,

(b)Fi9.2.2 (a) - Posiqoes mituas de i e

Assin, o n[mero total de no senti do indicado peloi nterval o dt, d3N+ =lr(i,i,t)d2s dt = i-Vr) r{i,i,t) )"0

Da mesma maneira, o n[mero de to ao do u..ro. tn, 6, atravessam d2S no d2s dt(2,22a) mol6culasno sentido opos d'zs dt = e, n mol6cu I as versor e-,tl que d,vi)(,,,r* ,-| r.' r1Jii len'( v-vs J?n.{i-V.)'oC-a L d'ui)= {t'r'in. ti-V,d" e d,vi) a'v.IrJ= -{///a,'t-l-v, r'in.(i-fr).0€( liii la"' ten.tv-vs a ,.d3N- = i-Vr)lr{i,i,t)

(2.?26)f (i,i,t)d2s dt

- Nimero liquido (transporte liquido) de mol6culas que atravessam

42S noq dois sentidos, d-urqnte'o intervalo 4e tempo, dt

Pelo n0mero liquido de mol6culas que atravessam a super ficie elementar d2s, orientada pelo versor 6n, nos dois sentidos, duran te o intervalo dt, entendemos:

d3N=d3N+-d!N- \a'45t

Notemos que o nimero liquido denota a diferenga entre o nimero de mol6culas que atravessam d2S no sentido do versor En e as Que atravessam d2S no sentido oposto, 0 sinal do n[mero liquido,serd positi vo se o nimero de mol6culas no sentido do versor En 6 maior do que as no sentido oposto. 0 sinal em questdo serd negativo no caso oposto. Sen do o nlmero liquido positiYo, .dizemos gue o"transporte liquido" de mol6 culas processa-se no sentido do versor 6n. Sendo o nimero liquido 19gg tivo, dizemos que o "transporte liquido" de mol6culas processa-se no sen tido oposto ao do versor en.

Substituindo-se (?.Z?al e (Z.Z|) na eq' (2'23), obtemos

d3N = f(i,il,t) d!v., + n e

{/// an.t-t,t \.ri-i,)'o d'vi) a"i){iir,.€ n I in ti-tr l rti,i,t) 6n.{i-t, ).0 d'zs dt ou, ent6o d3N = .(i-ts) f(i,i,t)d'?s dt

Notemos que o valor d3N da eq. (2.24) interpretagio deste fato foi exposta acima).

Recorrendo A (2.?), a eq. (2.24) Pode

{ ma:

pode ser negati vo ser escrita na for d3N = ndn'.il-tr' dts dt ou, enteo d3N = nin.{t-vr) a's at(2.25)

NOTA: Da eq' (2.25) vemos imediatamente que se a superficie d2s se mover com a mesma velocidade que o gas (isto 6, se V = !s) tg mos d3N = 0 - pois, nestas circunstincias' a quantidade de mol6cu las que entram pelo lado positivo de d2S seri a mesma das que e! tranr pelo lado negativo (caos molecular!).

- Fl uxo de mol6culas

Definimos o fluxo de mol6culas ' como o nfimero de mo]6culas que atravessam o elemento de superficie, d2S (orientado pelo uttsot En) que se move com a velocidade ir, durante o intervalo de tempo, dt, por unidade de irea (''PUA") e por unidade de tempo ("PUT")' Em particular' definimos:

(i) flyxo slobal, 0lNlde nrol6culas - baseado no n[mero global '

a'lnl. Das equaides (?.21) e Q.21') resulta imediatamenteque

, d"lNl t(lolrul =;;;; = "r ou,entdo olnl = "lan'(i'Vs)l' de mol6culas - d3N+ e d3N-, respectivamente. Das equag6es temos lan. (i-vs) lt{i,i,t) a'v.i(2.26) baseado nos n meros (2.z2al e (2,22b),

(2.27a)(?.27b) ,+epoN e = I t;ti-tr) tti,i,t) d3v.

En.{i-vr)'o

= IIl an.(i-Vr) r{i,i,t) a'u., in . {i-t, ).0

A interpretagdo das equag6es acima 6 an6loga a* das expres sdes d3N+ e d3N- - isto 6, 1+ denota o fluxo de mol6culas quf atravessam a superficie do lado negativo para o positivo e,O

- o fluxo de mol6cula que atravessam a superficie do lado pq sitivo para o negativo (vide as figuras Z.Za e Z.?b).

(i) fluxo, 911, de mol6culas - baseado no nlimero d3N definido pelaeq. (2.23) ou, entio (z,zq) ou (2.25). Assim,

(2.2.8) ou, entdo o, = ndn.tV-tr) 0 sinal de 0N segue a mesma .interpretagio

2.4 -TRANSPORTE E FLUXO DE GRANDEZAS EXTENSIVAS

rial (que 96es :

(r,

Considerenros uma grandeza qua lquer, serd chamada de ,,extensiva,,) que satisfaz o valor A atribuido a uma [nica mol6cula Ao(nr,V) = m a(i)

(2.?B') que o sinal d 3N.

A, escalar ou vetg as segui ntes cond i

/. \\a. at ) € "i", a grandeza valol de A atribuido

(2.29' ) onde I'mrr 6 a massa da mol6cula em questdo "especif ica,, correspondente.

(i) a grandeza 6 aditiva no sentido de que o a N mol6culas 6:

N nC

N = l. mqa t va, c=l

6/\/V'| -- <^' lfe..tj

in oe

NOTA 1: No caso de nol6culas cidade, ri, a equacio (2.29')

4., = NmatVl t'l

Mo=m ->a=Po=mv €a= Eo = nvz /2 ==-+ a = com a mesma massa, m, e a mesma velo fica:

NOTA 2: Exemplos de grandezas extensivas sao: massa' M,quantidade de movimento, fr, energia cin6tica, E. Nestes casos temos'respecti vamente [vide a eq. (2.29)]:

I n

-r- v2 = f2' 2

- Grandeza A, transportada pelas mol6culas cuia velocidade estd contidaentreiei+di

Consideremos, novamente, como na seqao 2.3, uma superfi cie elementar, d2S, orientada por um versor tn, gue se move coma veloci dade Vr. Da eq. (2.20) sabemos que o nimero de molEculas iddnticas com a velocidade entre i e i + di, atravessando a superficie d2S no intervalo dt, 6:

d6N = f(i,i,t) lAn.(i-Vs)l dsvi d's dt(2.30)

Visto que todas as d5N mol6culas acima carregam consigoo mesmo valor de Ao tji que A = A(i), e todas as molEculas t6m a mesma ve locidade, a menos de uma parcela infinitesimall, a quantidade total de

A, transportada pelas mol6culas em questao, 6:

d6A = Ao(i) d6N = m lan.(v-vs)l a{i) r{i,i,t) d3v.i d2s dr (2.31)

- Ifansporte gt"bat da

Integrando (2.31) sobre todas as velocidades, obtemos valor global de A transportado por mol6culas atrav6s de d2S duranteo tervalo de tempo, dt, nos dois sentidos. Denominando este valor d3lAl, temos

€d'lAl - i' {iJ lA','.(i-Vs)l a(i) r(i,i,t) a'v,} a,s at e.3z)

Recorendo gl "q. tz.1), a eq. acima pode ser escrita na forma:

d'lAl = mn .lin.(i-Vr)l a(i), a,s at€

(2.32t ) Reiembrando a eq. (1.21), a relagio (2.32') fica:

d'lAl = o .16n.(i-Vr) | a(i), a,s ot e;3?,)

(por exemplo, V, no caso sentido Ana l oganrente dsfornru I as(2.22a) e (2.22b). podemos es

Notemos que a grandeza a(i) pode ser escalar v2/? no caso de energia cinritica) ou vetorial (por exemplo, da quanti dade de nrovinrento),

c" e e. e a'n* = {m ///,dn.(,i-Vs) ati) r(i,V,t) a,v.,} a.s at'dn.(i_Vr),0 d'A- = In, tll A .(= lr' J/J,tn'ti-tr) a('i) r(i,i,t) a'vt) a's at 6n. ( v-V, ).0

A interpretagio das relag6es acima 6 anilogacdes (2.22a) e (Z.ZZb).

crever:

do da grandeza A: d3A=d3A+-d3A- obtemos ta.JJa, (2.33b) a- das equg

- Transporte liquido da grandeza A Definindo, ana'logamente a- eq. (Z.ZS)o transporte tiqu-|

(,, 35 d3A = im //J En.(V-Vs) a(V)

Recorrendo d (7.2), lf(i,V,t) d3v* | d2S dt') a eq. (2.35) pode ser escrita(2.35) na for

(2.36)e. ma:

oU' d3A = mn .En.(i.Vr) a(i)' d'?s dt entio d3A = p dn..(i-Vr) a(i)' a,s dt f0TA 3: Se a grandeza a(i) for vetorial , di6dica ( tensori a I ) lt 1c,t\\..-- / a expres sdo {- ti-Vrt att) representa uma g randeza

- Fluxo de grandeza extensiva, A

Definimos o fluxo de grandeza A como o valor de A trans portado pelas mol6culas que atravessam o elemento de superficie d'zS (g

rientado pelo versor iin), gu" se nrove com a velocidade Vr, durante o in tervalo de tempo, dt, por unidade de Srea (IPUA,') e por unidade de tem po ("PUT" ). Em particular definimos:

(i) fluxo global , O;1;, da granrleza A - baseado no transporte glo

. bat , d'lAl. o;';{u.rc* tz.s2) " (2.32tt) resulta imediatamen te oue:

. ar lnlolnl = 7g1 = Ill lan.(i-vs)l a(i) r(i,i,t) d3v, (?.37) ou, entdo o1n1 = o.lAn'(i-Vs)l a(i)'(2.37 , )

(i) fluxo unilatera'l ,01 ry__.g[, da grandeza A - baseado nos trans portes d3A+ e C3A-, respectivamente. Das equac6es (2.33a) e (2.33b) temos:

ri oU'

Qu e{

= * IIIdn.ti-Vr) a(i) r(i,V,t) d3vi En. (i-V, )'o

= -n IIIan.(i-ts) a(i) f(i,i,t) dsvi En . {i-V, ).0

(2. 38a )

(2.38b)

A interpretaqio das equaq6es acima 6 an6loga d das equac6es (2.27a) e (?.27b).

(i) fluxo llquido, Oo, da grandeza A - baseado no transporte quido da grandeza, expresso pelas equagiies (2,3a) ou (2,35) entdo (2.36'). Assim,

A interpretagdo do da eq. (2.28r) ou,

2.5 - EFUSAO sinal de 0O 6 a mesma entdo, de d3N da eq.

(2.3e) que a do sinal de 0.,'tr la.ca).

+ - ,7, * on = 0i - +n = ' I 6n.ti-Vr) a(i) r(i,i,t) a'v.i ou, entSo on=odn..{i-Vr) a{i)'

- Definicio e descricio do fendmeno

Na presente sec6o veremos uma das aplicaq6es das f5rmulas acima deduz.idas no caso do fendmno chamado de efusio.

Defininros efusdo como um escoamento atrav6s de orificios

(de forma "regular", por exemplo, circular) colocados numa parede divi s6ria entre urn recipiente com gas e um outro, contendo vdcuo (seosdois recipientes contiverem gases, dizemos que a efusio se di nos dois senti dos). Para o escoanento em questio poder serclassificado como efusdo, o tamanho linear caracteristico, d, do orificio (por exemplo, o didmg tro, se o orificio for circular), tem que ser muito menor do que r (o valor de PLM) mas, ao mesmo tempo, suficientemente maior do que o tama nho da rnol6cula (para esta poder passar pelo orificio). Adicionalmente' a espessura, g, da parede, deve ser muito menor do que d. Assim, deve mos ter:

tr >> d >> [ (2.41)

Nas condig6es acima poder-se-5 desprezar col is6es nas vizinhancas imediatas do orificio (e, esPecialmente, dentro do orificio) ' Assim, as mol6culas saem do recipiente de maneira "individual" - isto

6, sem "informar" as outras mol6culas da existdncia do orificio (a n5o ser, finalmente, pela sua aus6ncia) - o que permite a continuacdo do

"caos molecular" nas imediac6es do orificio. Se as dimens6es I ineares do orificio forenr muito majores do que o PLM, as mol6culas nas'vizinhancas da saida efetuarSo muitas col is6es antes de passarem peloorificio o que ocasionard um comportamento "coletivo" do escoamento, isto 6, ummovimen to macrosc6pico do gds atrav6s do orificio, regiclo pelas leis da Gasdi nim'ica (com a existEncia de uma componente V =.it na direcio da saida).

NOTA 1: Se nio for preservada a condicio tr >> i, haveri colis6es de molEculas com as paredes do orificio o que modificari o escoa

nrento enr relaqdo d efusio. Tal escoamento (por exemplo, atrav6s de paredes porosas, com poros microsc5picos) 6 chamado de rrtranspira cio",

N0TA 2: Quando I e d forem da mesma ordem de grandeza, haveri um escoamento intermedidrio entre a efusio (ou, entdo, transpiracdo) e o escoamento gasdi nimi co.

N0TA 3: Em um recipiente com um orificio de tamanho dado, o tipo do escoamento que se estabelece dependeri, entio do valor de t.

Como veremos, o valor de I depende' por sua vez, da pressdo. Baj.

xando a pressio (e mantendo a temperatura constante), hd nenos co lis6es e, portanto, o PLM cresce' podendo, finalmente, chegar a satisfazer a condicio I >> d, Assim, para o mesmo orificio, com a pressio suficientemente baixa podemos ter efusdo e com a suficien temente alta, o escoamento gasdinimico.

- Fluxo de massa por efusio Se a grandeza extensiva A da com a massa, temos (vide a NOTA 2 da mesma

Ao = m e, da eq. (2.29) vem:

a(i) = 1 seqio 2.4 for secio ) i denti fi cada o sent ido em 6n fluxo de massa de f- ,, para fora do vido a- efusSo oil='

E 6bvio que 211[t6 = Zt'0

Assim, considerando V, = 0 e escolhendo recipiente, da eq. (2.38a) obtemos que o de mo16cu1as,6:

J// An.i r(i,i,t) d3v.,

6 .V'0 n

Recorrendo a-s coordenadas esf6ricas (vide a secdo com o eixo o = 0 colocado ao longo do versor En,_obtemos:

-t ->en.V = V COSo d3v., = Y2 sino dv dod4 I e,recorrendo, adic'ionalmente, a- hip5tese de isotropia Ivide a eq. (1.32)], vem:

r(i,i,t) =+# F(i,v,t)(2.47 )

Substituindo (2.45), (2.46) e (2.47) na eq. (2.4) e obsen vando que da condicdo 6.i'0 resulta que o dngulo e varia de O a 1t/Z (o dngulo e = 0 comesponde ao caso quando a velocidade i esti alinhada com+_->t_|r6ni o angulo e = r/2 corresponde ao caso quando V I i5n), obtemos

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