J T Sielawa - Teoria Cinetica Gases

J T Sielawa - Teoria Cinetica Gases

(Parte 4 de 4)

-tif(r,v,r,J ov(2.48). 2n t'[2.{il = # Iodi Io cososinede.[ v

(2.4e)

, t1/2=*sln'O | =;alL'0n/?/ cososinedo J v F(F,v,t)dv = n <vt

(2.5e) e(2.51) na

( 2.50 ) (2.51) eq. (2.48), obteSubsti tui ndo (2.49) , mos i med i atamente

+lQt =;flIl <v>

-r- 0y=40<v> Recorrendo e (1.21), a eq. (2.52) fica

(2.5?' )

N0TA 4: Destaquemos mais uma vez que a eq, (2.52) d vilida somen te no caso isotrSpico. Isso significa' em particular, que a velo cidade macrosc6pica do gas nas vizinhancas do orificio tem que ser nula, isto 6, que

ou, entao, que i=a

0bservemos ainda que a condjgao acima ndo ser; satisfeita se as dimens6es lineares, d, do orificio forem muito maiores que l. Nes te caso, estabelece-se uma velocidade macrosc6pica do gas na dire qdo do orificio e a eq. (2.52)' automaticamente, ndo pode ser mais vdlida.

- Efusdo em dois sentidos

Se um orificio suficientemente pequeno numa parede sufl cientemente fina, l igar dois rec.ipientes contendo quaisquer gases (dife rentes, ou nao), haverd efusdo nos dois sentidos 0trav6s do orificio, sendo que as duas efusdes serio independentes, isto 6, como se no recr piente vizinho houvesse vicuo. Assitn, o fluxo liquido sere igual d dife renga dos dois fluxos.

- Separaqdo de gases diferentes por meio de efusdo

Mostraremos agora uma simples utilidade t6cnica do fen6 meno de efusio. consideremos que dentro de um dos recipientes haja mis tura de dois gases com massas moleculares diferentes (por exemplo' um gas contendo dois isotopos diferentes). Se adrnitirmos o equilibrio t6l mico, a temperatura dos dois componentes tem que ser a mesma' Mas' como veremos posteriormente (vide a se95o B'8), da igualdade das temperaturas'

Tr = Tz, resulta que as energias cin6ticas m6dias das mol6culas dos dois componentes serdo tanrb6m iguais' isto 6

Ia mr'vi> mz.Ytr' que para mr I m2, terenosDa iltjnra relacdo vem, 1-2

.vftv!t

e, entao,se a funcio de componen te s , resul tard

<Vl > t <vz>

(a ill tima afi rmaqio exi ste unn rel acio ve locidades m6dias lo de vel ocidade ).

distribuiqdo r(i,i,t) for a mesma para os dois que se baseia no fato de que para cada funqdo, F' fixa' univoca entre <v> e <v2>; portanto' da igualdade de quadriticas resuitarS a igualdade das m6dias do m5du f"'j l.tN' de onde vem ';Pr

Da equaqdo (2.52' ) ternos <Vt>

<V2> dM' or <Vr) 0M, P2 <u 2>

Para interpretar melhor as consequ€ncias da equacio aci ma, admitamos que, por exemplo, pr = p2 e <v1> > <v2>. Assim

0y.oi t I -' oM,t'DM,,M, .,r

Dessa maneira vemos que o fluxo de tnassa do componente "1" 6 maior do que o do componente rr2" - isto 6, no segundo recipiente a mistura fica mais enriquecida em relacdo ao componente "1" (e, assim, no primeiro recipiente, mais enriquecida em relagdo ao componente "2rr). Repetindo o processo, obteremos uma mistura cada vez mais enriquecida em relagdo a um dos componentes.

Ljteratura recomendada para o capitulo 2

Chapman & Cowling, p.25-31

Hirschfelder et al ., p. 453-459 Holt & Haskel1, p. ,|08-109

Jeans(I), p. 58-62

Kennard , p. 60-6 Present, p. l2-'14 & 21-24

Reif, p. 269-277 & 496-498 Tanenbaum, p, 161-162 Uman, p. 14-16

Vi ncenti & Kruger, p.3l

3. DEFINICOES MICROSCOPICAS DA PRESSAO E DA TEMPERATURA 3.1 - ESTADO DE TENSOES NOS PONTOS INTERNOS

Seja dado:(i) um ponto i,(i) uma superficie elementar deS passando por i, orientada por versor 6n (cujo sentido 6 escolhido arbitrariamente).

A superficie d2S separa duas porgii=es do flujdo,0 lado de d'?S na direclo do versor dn cons.ideramor potitiuo (vide a fig. 3.1); o I ado oposto como negativo.

LA bO N E6Ai lv Oe(F+

LADO lostTr.ro

Fi9. 3.1 - 0rientacio da.superficie elementar.

Admjtamos que a superficje daS esteja em repouso para como flujdo (isto 6, que V, = V;.

Definiqio: a tensio no ponto i, sobre o lado positivo da superficie d?S 6 a forqa por unidade de irea ("pUA.) com a qual o gas do lado positivo da superficie drS atua sobre a porceo que estd do iado nega tivo. l'lutatis nruLandis, define-se .a. tensdo sobre o lado negativo da superficie d2S.

N0TA 1: Admitirnos d'?S em repouso em relacdo ao fluido porque defi ne-se a tensdo como unta propriedade do fluido (isto 6' dos pontos do fluido). A condicio i, = t d"notu que a superficie passa pelos mesmos pontos do fluido. Assim a definiqdo fica relacionada com o fluido e ndo com os pontos do espago pelos quais o fluido passa'

NOTA 2; Observemos que a definigio acima ndo exclui a possibilidg de de tensSo de valores absolutos diferentes dos dois lados da su perficie pois ndo se pode dizer a priori que o fluido de um lado da superficie atua com o mesmo va.lor absoluto da forqa (por6m, no sentido contr6rio) do que do outro. Pode-se imaginar situacdes de desequilibrio quando isto nio acontece (por exemplo, onda de cho que).

NOTA 3: E claro que a tensio definida acima ser5, em geral , fun qIo de tempo, al6m de i e 6n.

- Tensdo sob o ponto de vista molecular

As forcas com que as porg6es do fluido dos dois lados da superficie (onde deterrninamos a tensio) atuam uma em relag;o a outra, sob o ponto de vista molecular, sdo de dois tipos:

(i) devido ao "bonrbardeio" molecular mOtuo, (i ) devido a- existdncia de forgas i nterntol ectt lares

Em seguida anal isaremos os dois tipos de

- Tensdo conro fluxo de quantidade de movimento

Consideretnos, primeiro, um modelo do gls composto de mg l6culas cuia ilnica interaqdo consiste em colis6es, sem a existdncia de forcas intermolqculares. Neste caso, a tensdo s5 pode ser originada pe lo t'bombardeio" molecular mltuo das porc6es do fluido dos dois lados da superfici e em questlo.

Para calcular a tensio em. questeo' primeiro determinemos a forga F*, com a qual o gas do lado positivo da srlperficie dzS atua so bre a porqio que estd do lado negativo. Conforme a segunda 1ei &Newton' temos a- di stinc i a. forgas.

onde l(mi) 6 o incremento, durante o intervalo ot, da quantidade de mg vimento do gas do lado negativo de drS, Assin, tenros:

*+ 1 ,-- -+ \t =Af \rmi- rmi,/e tl\ p0l s:

(i) T;i representa o transporte de quantidade de movimento que o gas do lado negativo recebe com as mol6culas que entram por dzs, durante o intervalo at, e )

(i) T:* representa o transporte de quantidacle de movimento que ontv gas do lado negativo perde com as molEculas que saem por d2S, durante o intervalo at.

N0TA 4: Relembremos que o transporte T+ se d no sentido de an, e T-, no sentido contrerio (vide fi9. 3.2) o (mi) At

A z,V T = T -- f {' ( Pr.u ro Li 0d rbo PAe.^ a l.r r /' o Lro NE6*tru0)r#q<="ffiv---i-=->

Fig. 3.2 - Vjsual izacio do sentido dos transportes uni I atera i s.

Corn a tensdo i* 6 definida como:

+l--)+ r

= drsuemos: (3.2) ou entao, f luxos de

1 t--nfiFS \rmi recorrenoo quanti dade mv' a eq. tz.Jvr, de movi mento:

podemos expressar ;+ em r=orv-oili=-ori

Assim vemos que a tensio, no caso considerado, 6 fluxo liquido, com sinal negativo, de quantidade de movimento da superficie elementar d'zS, em questdo, orientada pelo versor igual ao atra v6s

NOTA 5: Destaquemos mais uma vez que, de acordo conr a definic6o,a

_t* -tensao n' e entendida como a forca, PUA,porgio do gas do iado positivo da superficie dzS exerceporqSo do I ado com que a sobre a negati vo.

Assim, como o versor 6 aponta do lado negativo para positivo, po-Il demos djzer nrnemonicamente que a tensio i+ representa a acdo do

gas no sentido contrdrio a 6n._ (vide fig. 3.3). Ao mesmo tempo dizemos q da superfTcie d':S, ue a tensdo i+ atua sobre o lado positivo

NOTA 6: Como a tenslo i- provem da aqdo do gas do lado negativo so bre o iado positivo, podemos dizer no sentido do versor 6n (vide fiS. Ao mesmo tempo dizemos que a tensSo da suoerficie d2 S.

que ela representa a agio do gas

3.4). ?- atua sobre o lado negativo

Potqtro lo

FLUtDo !O LIlo NE6 -

Tl!o bE .\tslDRt\o \o FwlDo Do LAbo Post vo dtp l-19. J.J - VlSUallZaCaO.--r+f,ensao r .

(3.2',) termos dos

J[r (n

-t9r

PoR(io Do rlu ruo bo LA)! tjEGA -

'ro !c tllSPoRt;r bo FLur ) o b0 LAbo P09lrllo

DE- drs

Fig. 3.4 - Visualizagdo da tensio i-.

NOTA 7:E claro que a tensao do lado negativo da superficie daS6:-|- . + -;+ n =d+-d+=6-r=-n' mv ntv mv (3.4)

Observemos que o resultado acima aparementemente contradiz a obser vacio contida na NOTA 2 da presente se95o. A contradigio, por6m,

6 apenas aparente pois, de acordo com a interpretagio da Teoria

Cin6tica, nio existem "superficies de descontinuidade" (admitidas na Gasdinemica) as quais, na realidade,possuem uma espessura de ordem de grandeza nluito supenior aos tamanhos moleculares.

- Tensdo no caso da exist6ncia de forcas intermoleculares Se admitirmos um modelo onde as mol6culas atuam com for qasa distencia umas em relagao a-s outras, a parcela (3.3) ou, entao(3.4), da tens6o deve ser acrescida a- forqa vinda da atracio (ou,entdo, da repulsdo) entre mol6culas dos dois lados da superficie drS.

Todavia, em nossas subsequentes considerades admitiremos que as forcas intermoleculares sio de alcance muito mais curto do oue o espaqamento m6dio entre as mol6cu'las, razdo pela qual a segunda parce la serd desprezada, Somente no caso de gases muito densos (isto 6, onde. o espagamento entre as mol6culas 6 pequeno), ou entdo, no caso de plas mas (onde exjstem forcas intermoleculares el6tricas, de Coulomb, que sio de longo alcance), o valor de tensio 6 afetado pelas forqas intermo I ecul ares,

- Caso de gases perfeitos

Como verentos o fato de desprezarmos a influ6ncia de for cas intermoleculares no valor da tensio, conduziri diretamente ao resu] tado que o gas representado por este tipo de modelo, 6 um gas perfeito. Desta maneira vemos que o gas perfeito poderi ser redefinido como aqug

'le onde as mol6culas influenciam umas ds outras somente nos momentos de contato direto (isto 6, durante as col is6es no sentido estrito da pala vra ).

3.2 - DIADICA DE TENSOES

- Valor da tensSo nos pontos internos

Consideremos uma superficie d2S (orientada por um versor Bn), em repouso em relagdo ao gas (isto 6, movendo-se com a velocidade t, = .it = V) e deterrinemos o valor da tensdo i+ do lado positivo da superficie (vide fig. 3.1).

Recorrendo a- equagdo (2.40) e recordando que no quantidade de movimento temos a(i) = i (vide a NOTA 2 da secEo

-++ -' ,+ r|{ -}l = -p€n.<[V-V/ V> E 5bvio que

->- -' /-) +\ -|I = p€n.<tV-Vl V>

N0TA l: Relenrbremos que a interpretaqio das tens6es n* e n- encon tra-se nas N0TA 5 e N0TA 6 da secio 3.1,

- Tensdo expressa em termos da velocidade t6rnica das mol6culas

Omitindo o indice "+r na equagdo (3.5a), e lembrando que v-V = c .+ v = c+V, oodemos escrever

-) -' +,') tl\ -) * -h}r = -pe.<C(C+Vr> = -pe-.<C+CV> =tl caso da 2.4),vem

(3. 5a )

(3.5b)

= -pdn ..t' - o-dn . .if r

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