Bases Matematicas -Armando Caputi e Daniel Miranda

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Bases Matematicas - Armando Caputi e Daniel Miranda

Armando Caputi e Daniel Miranda Bases Matematicas

BC0003 - Bases Matematicas

UFABC - Universidade Federal do ABC Santo Andre Versao compilada em: 14 de novembro de 2012

Escrito em LATEX.

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Bases Matematicas - Armando Caputi e Daniel Miranda

Apresentacao v Sımbolos e notacoes gerais vii

1 Elementos de Logica e Linguagem Matematica 1 1.1 Proposicoes 1 1.1.1 Proposicoes Universais e Particulares 2 1.1.2 Proposicoes Compostas: e, ou, nao 8 1.1.3 Implicacao 12 1.1.4 Multiplos Quantificadores 16 1.2 Demonstracoes 20 1.2.1 Por que Demonstrar? 20 1.2.2 Metodos de Demonstracao 2

2 Generalidades sobre Conjuntos 31 2.1 Conceitos basicos 31 2.2 Relacoes elementares 34 2.3 Operacoes 37

3 Conjuntos Numericos 51 3.1 Numeros naturais, inteiros e racionais 51 3.1.1 Soma e multiplicacao 51 3.1.2 Potenciacao 52 3.2 Princıpio de Inducao Finita 53 3.3 Numeros reais 61 3.3.1 Apresentacao axiomatica dos numeros reais 62 3.3.2 Potenciacao de numeros reais 71 3.3.3 Representacoes dos numeros reais 72 3.3.4 Valor absoluto de um numero real 76 3.3.5 Introducao a Topologia da reta 80 3.3.6 O Plano Cartesiano 83

4 ⋆ Complementos sobre Conjuntos 85 4.1 Famılias de Conjuntos 85

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4.1.1 Sobre ındices 85 4.1.2 Operacoes com famılias de conjuntos 86

5 Analise Combinatoria 89 5.1 Princıpio Fundamental da Contagem 89 5.2 Listas sem Repeticao: Arranjos 94 5.3 Listas com Repeticao 96 5.4 Conjuntos sem Repeticao: Combinacao 9 5.5 Equacoes Lineares com Coeficientes Unitarios 102 5.6 Probabilidade Discreta 104

6 Generalidades sobre Funcoes 113 6.1 Conceitos basicos 113 6.2 Propriedades 117

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8 Sequencias 169 8.1 Conceitos Basicos 169 8.1.1 Sequencias Crescentes e Decrescentes 175 8.1.2 Sequencias Limitadas 178 8.2 Convergencia e Limite de Sequencias 182 8.2.1 Intuicoes sobre Convergencia 182 8.2.2 Definicao Precisa de Limite de uma sequencia 190 8.2.3 Propriedades do Limite 197 8.2.4 Teorema do confronto 202

8.2.5 ⋆ Demonstracao das Propriedades do Limite 208 8.3 Limites Infinitos 214

8.3.1 Definicao de Limites Infinitos 214 8.3.2 Propriedades do Limite Infinito 217

8.4 ⋆ Sequencias Definidas Recursivamente 225 8.4.1 Fatorial 225

9 Limites de Funcoes e Continuidade 239 9.1 Continuidade 239

9.4 Propriedades do Limite de Funcoes 250 9.5 Continuidade I 256

9.6 Propriedades das Funcoes Contınuas 259 9.6.1 Teorema do Valor Intermediario 259 9.6.2 ⋆Demonstracao do Teorema do Valor Intermediario 262

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Bases Matematicas - Armando Caputi e Daniel Miranda a.2 Equacoes 276 a.2.1 Equacoes Polinomiais 277 a.2.2 Equacoes Envolvendo Expressoes Racionais 280 a.2.3 Equacoes Envolvendo Raızes 281 a.2.4 Equacoes Envolvendo Modulos 283 a.3 Inequacoes 285 a.3.1 Inequacoes Envolvendo Polinomios 285 a.3.2 Inequacoes Envolvendo Raızes 290 a.3.3 Inequacoes Envolvendo Modulos 293 b Formulas da Algebra, da Geometria e da Trigonometria 295

Respostas de Alguns Exercıcios 301

Respostas de Alguns Problemas e Exercıcios 313 Indice Remissivo 315

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O curso de Bases Matematicas na UFABC nasceu dentro de uma estrategia da universidade em proporcionar aos alunos ingressantes uma experiencia de aprendizado que favorecesse a transicao do ensino medio ao ensino superior. O foco dessa estrategia e dividido em dois eixos: um voltado ao reforco conceitual, outro voltado a formacao e a postura de estudo.

No que concerne aos aspectos conceituais, o curso de Bases Matematicas se propoe, por um lado, a rever uma parte significativa do conteudo do ensino medio, mas sob um ponto de vista mais maduro, tıpico do ensino superior. Por outro lado, o curso se propoe a introduzir ao estudante conceitos mais refinados da Matematica, atraves de um esforco gradual de abstracao. Interligando esses varios aspectos, o curso e permeado por uma tensao permanente em torno dos seguintes objetivos:

• aprimorar o conhecimento e o uso de regras basicas da algebra

• desenvolver a capacidade de compreensao e uso da linguagem matematica

• desenvolver o raciocınio logico

A preocupacao com aspectos ligados a formacao e a postura de estudo, parte da constatacao da predominancia, no ensino medio brasileiro, da ”formacao voltada ao treinamento”. Em outras palavras, uma formacao restrita a mera reproducao de metodos e algoritmos para resolver determinados problemas, as famosas ”receitas de bolo”. Tal enfoque acaba por desenvolver no estudante uma postura passiva, ao inves de proporcionar autonomia e criatividade.

A passagem do “treinamento” para a “autonomia” e uma das mais difıceis de serem transpostas. Por isso, deixamos aqui um convite expresso para que se de particular atencao a esse processo. Desde os primeiros cursos, como o de Bases Matematicas, parte dos esforcos devem ser voltados ao proprio metodo de estudo e a postura que se tem diante dos conhecimentos aprendidos.

Sobre este livro

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O principal objetivo destas notas e suprir a falta de bibliografia especıfica para um curso como o de Bases Matematicas. E bem verdade que cada um dos topicos tratados nesse curso pode ser encontrado em algum bom livro, mas nao de forma coesa e conjunta. Sem prejuızo do salutar habito de se consultar ampla bibliografia, adotar inumeros livros como referencias principais deste curso nos pareceu fora de proposito nesse momento inicial da vida academica.

A atual versao do livro ja passou por varias revisoes, muitas delas sugeridas por professores e alunos que utilizaram essas notas em anos anteriores. Entretanto, continuamos nosso esforco de aprimorar e complementar o material ja produzido ate aqui. Novas secoes ou ate mesmo pequenas correcoes podem ser apresentadas em um futuro proximo, assim como versoes atualizadas e aprimoradas de alguns capıtulos do livro. Por ultimo, gostarıamos de dizer que vemos com muito bons olhos o apontamento de crıticas e sugestoes, tanto por parte dos alunos do curso de Bases Matematicas, quanto dos professores dessa disciplina que optarem por usar total ou parcialmente estas notas.

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Ao longo do curso serao adotados os seguintes sımbolos e notacoes (sem prejuızo de outros sımbolos e notacoes que irao sendo introduzidos ao longo destas notas):

∃ : existe ∀ : qualquer que seja ou para todo(s) ⇒ : implica ⇔ : se, e somente se ∴ : portanto ∵ : pois | : tal que := : definicao (o termo a esquerda de := e definido pelo termo ou expressao a direita) i.e. : id est (em portugues, isto e) : indica o final de uma demonstracao

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1 ELEMENTOS DE LOGICA E LINGUAGEM MATEMATICA

“Quando eu uso uma palavra, disse Humpty Dumpty, em tom bastante desdenhoso, ela significa exatamente o que eu quiser que ela signifique - nem mais nem menos.” Atraves do Espelho - Lewis Carroll

A matematica utiliza uma linguagem especıfica, na qual os termos possuem significados precisos e muitas vezes distintos do usual. Assim e necessario que conhecamos o sentido de alguns termos e expressoes matematicas. Esse e um dos objetivos desse capıtulo, ao apresentar de modo sucinto e intuitivo os aspectos fundamentais da linguagem matematica, enfatizando principalmente aqueles termos que sao usados em contextos e com significados diversos daqueles em que costumamos emprega-los normalmente.

Mas nao e somente o vocabulario e a linguagem que sao distintos na matematica.

Tambem a concepcao de argumento, de justificativa, e mesmo de explicacao. Um argumento matematico, tambem conhecido como demonstracao ou prova, para ser correto, deve seguir princıpios estritos de logica, princıpios que garantam a confiabilidade do conhecimento matematico. Alguns desses princıpios sao apresentados na secao 1.2.

1.1 proposicoes Comecaremos definindo as frases mais simples de nossa linguagem: as proposicoes.

Definicao 1.1 Uma proposicao e uma sentenca declarativa que e verdadeira ou falsa, mas nao simultaneamente ambas.

Exemplos 1.2 As seguintes frases sao exemplos de proposicoes. • “2+5 = 7”;

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• “A funcao f(x) = −x e uma funcao crescente”. Nesse caso, temos um exemplo de uma proposicao falsa.

a proposicao e verdadeira ou falsa, claramente so uma dessas opcoes pode ocorrer.

Exemplos 1.3 Nenhuma das frases seguintes e uma proposicao, porque ou nao sao declaracoes ou nao podemos atribuir um unico valor verdadeiro ou falso.

• “Esta sentenca e falsa”. Essa frase nao pode ser verdadeira pois isto implicaria que ela e falsa. E nao pode ser falsa pois implicaria que e verdadeira.

• “Esta quente hoje”. Essa frase pode ser vista como uma proposicao desde que especifiquemos precisamente o que significa quente, como por exemplo se definirmos que esta quente se a temperatura e maior que 26oC, pois somente assim podemos atribuir um valor de verdade a frase. Note, porem, que esse nao e o uso cotidiano da frase. O uso cotidiano expressa uma impressao, uma sensacao e nesse sentido nao e uma proposicao.

Como ilustrado pelo exemplo anterior, o fato de uma sentenca poder ser vista como uma proposicao depende do contexto em que essa sentenca e enunciada e dentro desse contexto uma proposicao deve ser suficientemente clara e objetiva para que possamos atribuir um e somente um valor verdade, i.e, verdadeiro ou falso.

Finalmente, a definicao de proposicao implica que todas as afirmacoes matematicas serao necessariamente verdadeiras ou falsas, nao havendo outra possibilidade (esse ultimo fato e conhecido como Princıpio do Terceiro Excluıdo). Notacao: No que se segue denotaremos uma proposicao qualquer por p,q,r, etc.

1.1.1 Proposicoes Universais e Particulares

Em diversas situacoes precisamos que o “sujeito“ das proposicoes seja uma variavel que possa ser substituıda por um elemento qualquer dentre uma colecao de objetos U em consideracao. O conjunto U neste caso sera denominado universo do discurso, ou ainda, domınio de discurso . Assim, por exemplo, na sentenca “x ∈ R,x < 3”, x e a variavel e R e o universo do discurso.

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Proposicoes que dependam de uma ou mais variaveis sao denominadas proposicoes abertas. Elas sao indicadas por uma letra seguida da variavel ou das variaveis entre parenteses, i.e,

p(x), q(x), p(x, y),

O valor verdade de uma proposicao aberta depende do valor atribuıdo as variaveis.

Por exemplo, considere a funcao proposicional p(x) =“x < 3”, neste caso se x = 2 entao p(2) =“2 < 3” tem valor verdade verdadeiro, por outro lado se considerarmos x = 4 temos que p(4) =“4 < 3 ” tem valor verdade falso.

Definicao 1.4 O conjunto dos valores de x para os quais a proposicao aberta p(x) verdadeira e denominado conjunto verdade de p(x).

Atraves de proposicoes abertas podemos fazer afirmacoes sobre todos os elementos de um conjunto usando o quantificador universal ∀ que e lido como “para todo”ou ”qualquer que seja”.

Assim a proposicao “para todo numero natural n temos que 2n+1 e ımpar” pode ser escrita como sendo que p(n) denota a proposicao aberta “2n + 1 e ımpar”.

Tambem e possıvel fazer afirmacoes sobre a existencia de um elemento de um conjunto usando o quantificador existencial ∃, que e lido como “existe”. Desta forma a proposicao “a equacao linear ax +b = 0, com a , 0, admite solucao real” pode ser escrita como :

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Ou ainda, se denotarmos como q(x) = “ax + b = 0′′ podemos reescrever a afirmacao anterior como:

Ou de modo mais resumido, deixando subentendido o domınio do discurso e o sımbolo de tal que, |:

Ressaltamos que ∃x|p(x) significa que existe pelo menos um elemento no domınio de discurso tal que para esse elemento vale p(x). Em diversas situacoes esse elemento e unico, denotaremos esse fato por ∃!x|p(x), que se le “existe e e unico x tal que p(x)”. Assim por exemplo, nos reais, ∃!x ∈ R|(x −1) = 0.

E importante distinguirmos as variaveis que estao quantificadas das que nao estao.

Uma variavel e dita livre quando nao esta quantificada e e dita aparente quando esta quantificada. Assim, na proposicao “n e par”, n e uma variavel livre. Ja em “ para todo numero natural n, 2n+ 1 e ımpar” n e uma variavel aparente.

Em portugues sımbolo nome

Para todo, para cada ∀ quantificador universal Existe, ha, para algum ∃ quantificador existencial Existe unico ∃!

Tabela 1.1: Quantificadores

Nesse contexto, uma proposicao e dita universal se faz referencia a todos os objetos do universo U. Caso contrario, e dita particular .

Exemplos 1.6 No que se segue, assuma que o universo e o conjunto dos numeros naturais, denotado por N.

1. “Todos os numeros naturais sao ımpares” e uma proposicao universal. 2. “O numero 2 e par” e uma proposicao particular.

3. “Nenhum numero natural e primo” e uma proposicao universal, pois equivale a dizer que ”todo numero natural tem a propriedade de nao ser primo.

4. “Ha numeros naturais pares” e uma proposicao particular.

5. “Ha numeros naturais cujo dobro ainda e um numero natural” e uma proposicao particular.

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6. “O quadrado de todo numero natural e maior do que 4” e uma proposicao universal.

7. “Ao menos dois numeros naturais sao pares” e uma proposicao particular.

8. “O numero natural 0 e menor ou igual do que qualquer numero natural” e uma proposicao particular.

9. “Todo numero natural e maior ou igual do que o numero natural 0” e uma proposicao universal.

Algumas observacoes importantes:

• O fato de uma proposicao ser universal ou particular nao tem nenhuma relacao com o fato de ser verdadeira ou falsa.

• A proposicao do exemplo 4 e particular, pois refere-se a alguns numeros naturais.

• A proposicao do exemplo 5 e particular, mesmo se e satisfeita por todos os numeros naturais. O que importa, e que a proposicao se refere a alguns numeros, nao a todos.

• As proposicoes dos exemplos 8 e 9 acima dizem a mesma coisa, isto e, que 0 e o menor dos numeros naturais (de fato, sao ambas verdadeiras). Entretanto, sob o ponto de vista formal, a proposicao do exemplo 8 afirma uma propriedade do numero 0 e por isso e particular, enquanto a proposicao do exemplo 9 afirma uma propriedade de todos os numeros naturais (por isso e universal).

Exemplos e Contra-exemplos

Quando lidamos com proposicoes universais, entram em cena os exemplos e contra-exemplos. Considere uma proposicao universal do tipo todo elemento de U satisfaz a propriedade p. Um Exemplo para essa proposicao e um elemento do universo U que satisfaz a propriedade p. Um contra-exemplo para essa proposicao e um elemento do universo U que nao satisfaz a propriedade p.

Exemplos 1.7

1. Considere a proposicao “para todo n ∈ N par, (n + 1)2 e ımpar”. Neste caso o numero 2 e um exemplo dessa proposicao, pois esta no domınio do discurso e

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