Respostas - Calculo A  - Cap 3 f - Flemming e Gonçalves

Respostas - Calculo A - Cap 3 f - Flemming e Gonçalves

3.18 – EXERCÍCIOS – pg. 112 1. Investigue a continuidade nos pontos indicados x x xsen xf em 0=x.

xsen

x . Portanto f(x) não é contínua em 0=x.

xxxf.

xxxxf x .

. Portanto f(x) é contínua em 0=x.

x xf em 2=x.

x x

→→ . Portanto, a função é contínua em sen xf 1

senx

. Portanto, a função é contínua em 2=x.

senxxf em 0=x.

Conforme exercício 16 da lista 3.6 item (c), temos

. Como f(0)=0, a função é contínua em 0=x.

x x xf em 1=x.

01limlim

→→ xf xxf xxf x x

Portanto a função não é contínua em 1=x.

x xf em 2=x.

4lim

→→ fx x

. Portanto, a função não é contínua em 2=x.

x xxxf em 1−=x.

xxf x

∃/∴=+=−= e a função não é contínua em x=-1.

x xxxf em 2=x.

→ . Portanto a função é contínua em 2=x.

A função dada não está definida para 3−=x, assim não é contínua neste ponto.

2. Determine, se existirem, os valores de ()fDx∈, nos quais a função ()xf não é contínua.

x x xf

Temos que em 1−=x a função não é contínua porque não existe 1 )(lim −→x xf.

xsen xxf + cos1

03≠+xsen para todo ()∞+∞−∈,x. Portanto, a função não tem pontos em que não é contínua.

x x x x x xxxf

A função não tem pontos em que não é contínua em seu domínio: ( ) ( )∞+∪∞− ,0, .

Esta função não é contínua nos pontos -3 e -2.

2 x xxxf

Portanto, não existe )(lim0 xf x→ e a função não é contínua em 0=x.

(f) x e

Esta função é contínua em todo o seu domínio: {}0−ℜ.

x x x xf

Temos que:

x . Portanto, f não é contínua em x=1.

A função é contínua em todos os pontos de seu domínio: {}pi−−ℜ

3. Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções:

Analisando o gráfico visualiza-se uma função contínua em todo o seu domínio, ou seja, em todo o conjunto dos números reais.

x xf

A visualização gráfica mostra que a função não é contínua em 2−=x.

x xf

A visualização gráfica mostra que a função não é contínua em 0=x.

A visualização mostra que a função é contínua em todos os pontos do seu domínio, ou seja, em todo o conjunto dos números reais.

x xxxxf

A visualização gráfica mostra que a função não é contínua em 3−=x e em 1−=x.

Observa-se que esses pontos não pertencem ao domínio dessa função. Assim, temos a continuidade em todos os pontos do domínio.

4. Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.

xpxxxf

Assim, p px px x x

2 xp xpxxf

Temos que:

( ) ppx p

Para que o limite exista devemos ter a relação:

p p

xexf x

Temos que 1lim2 e. Assim devemos ter 173 =−p ou 2=p.

5. Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas.

xxf

Neste caso temos os pontos que não pertencem ao domínio da função: 3=x e 7−=x.

Neste caso a função não é contínua em )6,3(∈x, pois esses pontos não pertencem ao domínio da função.

Esta função não é contínua nos pontos em que 2

1− =xsen, ou seja, em kkx kx k pi pi

x xxxf

É contínua em todo o seu domínio, ou seja, em todo o conjunto dos números reais.

6. Prove que se ()xf e

()xg são contínuas em 30=x, também o são gf+ e gf..

Se ()xf é contínua em 3=x então()()xff

Se ()xg é contínua em 3=x então()()xgg

Temos que

7. Defina funções f, g e h que satisfaçam: (a) f não é contínua em 2 pontos de seu domínio; (b) g é contínua em todos os pontos de seu domínio mas não é contínua em IR;

(c) fh0 é contínua em todos os pontos do domínio de f.

Podemos ter infinitas respostas para o presente exercício. Segue um exemplo para cada uma das funções:

xex x xf

xg

Para as funções exemplificadas temos que )()]([xfxfhfh==o. Essas funções satisfazem as condições dadas nos três itens e podem ser visualizadas a seguir. (a) Gráfico da função )(xf definida em ),(+∞−∞e contínua em ),(+∞−∞-{1,2}.

(b) Gráfico da função )(xg contínua em todos os pontos de seu domínio, mas não é contínua em ),(+∞−∞. O ponto 2−=x não pertence ao domínio da função exemplificada.

(c) Gráfico da função xxh=)(, cuja composição com a função )(xf resulta a própria função )(xf.

8.Dê exemplo de duas funções f e g que não são contínuas no ponto a=0 e tais que gfh⋅= é contínua neste ponto. Faça o gráfico das funções f, g e h.

Existem infinitos exemplos. Segue um deles:

x xg

x xh

Esboço dos gráficos.

9. Sejam f, g e h funções tais que, para todos x, )()()(xhxgxf≤≤. Se f e h são contínuas no ponto ax= e )()()(ahagaf==, prove que g é contínua no ponto a.

Se f e h são contínuas no ponto ax=, temos que:

Como )()(ahaf=temos que )(lim)(limxhxf axax →→ =.

Usando o Teorema do Confronto, considerando que )()()(xhxgxf≤≤, existe

. Isto garante a continuidade da função )(xg em ax=.

10. Sejam IRa∈ e IRIRf→: uma função definida no ponto a. Se m ax afxf prove que f é contínua no ponto a.

Para que a função f seja contínua no ponto a devemos ter que )()(lim1 afxfx =→

, ou

Temos, afxf ax afxfafxf axaxaxax .

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