Respostas - Calculo A  - Cap 4 a - Flemming e Gonçalves

Respostas - Calculo A - Cap 4 a - Flemming e Gonçalves

202 CAPÍTULO 4

1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.

x x x x x x x xm x x

xy xy xmyy

y y xy m

aaxy aaxay axaay

As figuras que seguem mostram as retas tangentes para os pontos 1=x e

0=x. Como o valor de a é genérico o gráfico só pode ser apresentado com o valor definido.

x x x x x x x xm x x

xy xy xy

Seguem os gráficos.

x x x x x x x xm x x

Temos:

yx xy

axay axaaxaay axaaay

Segue o gráfico, para x = 1/2.

2. Em cada um dos itens do exercício (1), determine a equação da reta normal à curva, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.

1=x Temos que:

−== normalm

Assim,

yxouxy xy

Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização.

Neste caso a reta tangente é horizontal e a reta normal coincide com o eixo dos y, ou seja, 0=x. Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização.

ax=

Assim,

aaayx axaaay axa ay

Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização e usando-se o valor de 2−=a.

nm m

Assim,

yx xy

Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização.

2=x Temos:

Assim,

yx xy xy

Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização.

Temos:

nm m

Assim,

yx yx xy

Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização.

Temos:

a a m aam n Assim,

aaayax axaaaaya axa aay

Segue o gráfico com a reta tangente incluída para facilitar a visualização, usando-se como exemplo valor de 1=a.

3. Determinar a equação da reta tangente à curva ,12xy−= que seja paralela à reta .1xy−= Esboçar os gráficos da função, da reta dada e da reta tangente encontrada.

x x x x x xm x x

Assim,

yx xy

4. Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva 122+−=xxy no ponto ).9,2(−

x x x xm x x

nm m

Equação da reta tangente:

yx xy xy

Equação da reta normal:

yx xy

5. Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por

,80,16)(2≤≤+=ttttf onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros.

(a) Achar a velocidade média durante o intervalo de tempo ],[hbb+, 80<≤b.

bhbv h hbhh hbhh h bbhbhbhb h bbhbhb h bfhbf vm m

segm

segm

segm

(c) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer .t

ttv ht vtv h

212 (d) Achar a velocidade do corpo no instante .3=t

segmv 2

(e) Determinar a aceleração no instante .t

/22lim
216)(216lim

segm t t t t t tvttv ta t t

6. Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação de seu movimento retilíneo é ,ct by+= onde y é o deslocamento e t o tempo.

(a) Qual a velocidade da partícula no instante 2=t?

c t bt ct t b ttc t b v t

e. velocidadde unidade4

(b) Qual é a equação da aceleração?

.aceleração de unidades 2)(lim)( 3

0 tb t c t b c x xxxxf x x

x x x x x x x xg x x

8. Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções: (a) .41)(2xxf−=

x x x xxxxf x x

x x x xxxxxxxf x x xf x xxxxf x x x xxf

x x x x x x x x x x x xf

x x x x x x x xxxxf x x x x

x xxxxf x ∆

Fazendo:

Temos:

)()(lim

aattat at atxf at at xf e ,32)(2 −=xxg determinar os itens que seguem

e, usando uma ferramenta gráfica, fazer um esboço do gráfico das funções obtidas, identificando o seu domínio.:

x xxxxf x x

x x x x x f f o f '

x x x x x f f ' o f

x x x g fgfg g o f '

x x x xxxxg x x

x gfgfg g ' o f '

Obs.:É inadequado visualizar o domínio através do gráfico das funções compostas. No item (a) 2−+−x não tem raízes reais, induzindo o aluno a achar que o domínio é R

10. Dada a função , x xxxf verificar se existe ).0(f′ Esboçar o gráfico.

Não existe )0(f′, porque f não é contínua em 0=x. Veja o gráfico a seguir.

1. Dada a função , xf verificar se existe ).3(f′ Esboçar o gráfico.

Não existe)3(f′, porque f não é contínua (não é definida) em 3=x. Veja o gráfico a seguir.

12. Dada a função ,232)(2 −−=xxxf determinar os intervalos em que:

→∆ x x xxxxxxxf x

x x x x

13. Simular graficamente diferentes tangentes à curva 2xy=. Supondo que existem duas retas tangentes que passam pelo ponto )4,0(−P, encontrar o ponto de tangência e as equações das retas.

A declividade das retas tangentes em ax=são dadas por:

( ) maay xy

O gráfico que segue mostra a simulação para a assumindo os valores: -2, -1, - 1/2, 0, ½, 1 e 2.

Observamos as duas retas que passam pelo ponto )4,0(−P. A equação da reta tangente é obtida fazendo-se:

A reta passa, também em, ()2,a:

Assim temos: 442−=⇒=xya Ponto de tangência: ()4,2 xy passam pelo ponto )0,4(−P? Em

quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?

O gráfico a seguir mostra uma simulação na qual podemos observar duas retas tangentes que passam por )0,4(−P.

Para encontrar o ponto de tangência temos:

x xy

Supor ()1,yx o ponto de tangência.

A equação da reta tangente é:: ()00xxmyy−=−

Precisamos encontrar 1x. No ponto de tangência: 121

Então:

+ x x x

Equações das retas tangentes: ( )49

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