Respostas - Calculo A Cap 2 b - Flemming e Gonçalves

Respostas - Calculo A Cap 2 b - Flemming e Gonçalves

2.17 – EXERCÍCIO – pg. 53 1. Construir os gráficos das funções lineares. Dar o domínio e o conjunto imagem. a) kxy=, se 2,21,2,1,0−=k.

IRfD == Im

IRfD == Im

IRfD == Im

IRfD == Im

IRfD == Im

IRfD == Im

IRfD == Im

IRfD == Im

IRfD == Im

2. Construir o gráfico das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem.

IRfD

IRfD

IRfD

IRfD

IRfD

IRfD

3. Construir os gráficos das funções polinomiais. Dar o domínio e o conjunto imagem.

IRfD == Im

IRfD

IRfD

4. Construir os gráficos das funções racionais. Dar o domínio e o conjunto imagem.

= x y

IRfD b) x

IRf IRfD x xy

IRf IRfD

5. A função ()xf é do 1° grau. Escreva a função se ()21=−f e ()32=f.

baf baf baxxf ba ou

ba ba

6. Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares.

xxxf

b) Ímpar ( )

( ) ( )xfxx x xxxf xxxf c) Não é par nem ímpar ( )

s sssf sssf ttf

f) Ímpar ( )

yyyf y yyyf g) Não é par nem Ímpar x xxf x xxf

aaxf x i) Ímpar ( ) x x x xxf x xxf

x x xxxf xxxf

7. Demonstre que se f e g são funções ímpares, então ()gf+ e ()gf− são também funções ímpares.

f é ímpar ( ) ( ) ( )xfxf

−−=⇔(1)

def g é ímpar ( ) ( ) ( )xgxg

−−=⇔(2)

def De (1) e (2) escrevemos

Portanto, ()gf+ é ímpar.

Portanto, ()gf− é ímpar.

8. Demonstre que se f e g são funções ímpares, então gf⋅ e gf são funções pares.

f é ímpar ( ) ( ) ( )xfxf

−−=⇔(1)

def g é ímpar ( ) ( ) ( )xgxg

−−=⇔(2)

def

De (1) e (2) escrevemos

Portanto, gf⋅ é par.

xg xf xg xf xg xfxgf

Portanto, gf é par.

9. Mostre que a função ( ) ( )[ ]xfxf −+

1 é par e que a função ( ) ( )[ ]xfxf −−

ímpar.

xfxfxg

Portanto, )(xgé par.

xfxfxh

Portanto, )(xhé ímpar.

10. Demonstre que qualquer função IRIRf→: pode ser expressa como a soma de uma função par com uma função ímpar.

Queremos mostrar que se ()xh é uma função qualquer podemos escrever:

()()()xgxfxh+= , sendo que ()xf é par e ()xg é ímpar.

Usando o exercício anterior podemos fazer

De fato

1. Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função ímpar.

x x xxxf

Temos )(1xf par.

x xxxf

Temos )(2xfímpar.

x xxxf

Temos )(1xf par.

x xxxf

Temos )(2xfímpar

x xxf x x x x x x x xxf

Temos )(1xf par.

x x x x x x x x x x xxf

Temos )(2xfímpar.

x xxxxxf

Temos )(1xf par.

x xxxxxf

Temos )(2xfímpar.

12. Seja ()xf uma função cujo gráfico para 0≥x, tem o aspecto indicado na figura.

Completar esse gráfico no domínio 0<x se: (a) f é par

(b) f é ímpar

(a) f é par (b) f é ímpar x y

13. Em cada um dos exercícios determine a fórmula da função inversa. Fazer os gráficos da função dada e de sua inversa.

y x

Assim, a função 43)(+=xxf tem com função inversa a função ()3 4−=xxg. O gráfico que segue apresenta essas funções e a sua simetria com a reta xy=.

ay x ayxy axy

Assim, a função ax xf −

=1)( tem com função inversa a função x axxg+=1)(. O gráfico que segue apresenta essas funções e a sua simetria com a reta xy=. Observar que o exemplo gráfico está sendo apresentado com o valor de 0>a.

ax axy −

aya x ayaxxy axayxy

Assim, a função ax axxf −

+=)( tem com função inversa a função () 1− x axaxg. O gráfico que segue apresenta essas funções e a sua simetria com a reta xy=. Observar que o exemplo gráfico está sendo apresentado com o valor de 0>a.

Assim, a função 0,1

>= x y tem com função inversa a função ()x gráfico que segue apresenta essas funções e a sua simetria com a reta xy=. Observar que as funções coincidem.

−= yyx xy

Assim, a função 1,1≥−=xxy tem com função inversa a função

()0,12≥+=xxxg. O gráfico que segue apresenta essas funções e a sua simetria com a reta xy=.

−= yyax xay

Assim, a função axxaxf≤−−=,)( tem com função inversa a função

()0,2≤−=xxaxg. O gráfico que segue apresenta essas funções e a sua simetria com a reta xy=. Observar que o exemplo gráfico está sendo apresentado com o valor de 0>a.

y a

= x x xy

y x y x yyx yxyx xyyx

= x x xxf tem como inversa a função

= x x xxg. O gráfico que segue apresenta essas funções e a sua simetria com

a reta xy=.

= x x xxg

Assim, a função 0,4)(2≤−=xxxf tem como inversa a função

()4,4−≥+−=xxxg. O gráfico que segue apresenta essas funções e a sua simetria com a reta xy=.

x y

4,4)(−≥+=xxxg Assim, a função 0,42≥−=xxy tem como inversa a função

4,4)(−≥+=xxxg. O gráfico que segue apresenta essas funções e a sua simetria com a reta xy=.

x y

14. Mostre que a função () 12 2− x xxfy coincide com a sua inversa, isto é, ()yfx=

yyx yxxy xyyx x x xy

2 com

ou x x

x x

15. Dada a função

== definida para todo x real, demonstrar que sua

inversa é a função ()

== definida para 1<y

yyx yxyx xyxy x xy x xy y x y x considerando-se que

y y ou 1<y x x xf

verifique que f tem uma função inversa e encontre ( )xf 1− .

Para 1<x, temos xy=.

Para 91≤≤x, temos yxxy=∴=2 Para 9>x, temos y x xy xy

ygou ()

y y

x x x x xf

17. Se )(xf e )(xg são periódicas de período T, prove que: (a) )()()(xgxfxh+= tem período T. (b) )()()(xgxfxh⋅= é periódica de período T.

(c) 0)(,)( )()( ≠= xg xg xfxh para todo x é periódica de período T.

Se )(xf é periódica de período T temos que existe um número real 0≠T tal que )()(xfTxf=+ para todo )(fDx∈.

Se )(xg é periódica de período T temos que existe um número real 0≠T tal que )()(xgTxg=+ para todo )(gDx∈. Assim:

(a) )()()()()()(TxhTxgTxfxgxfxh+=+++=+= para o número real 0≠T com )(gfDx+∈. Portanto )()()(xgxfxh+= é periódica de período T.

(b) )()()()()()(TxhTxgTxfxgxfxh+=+⋅+=⋅= para o número real 0≠T com )(fgDx∈. Portanto )()()(xgxfxh⋅= é periódica de período T.

Txg

Txf xg xfxh para o número real 0≠T com

)/(gfDx∈. Portanto )(/)()(xgxfxh= é periódica de período T.

18. Se )(xf é periódica de período T, prove que 3T também é período de f.

Se )(xf é periódica de período T temos que existe um número real 0≠T tal que )()(xfTxf=+ para todo )(fDx∈. Dessa forma, )(fDTx∈+.

Aplicando novamente a definição, temos )()())(()2(xfTxfTTxfTxf=+=++=+. Dessa forma, )(2fDTx∈+. Repetindo

Podemos concluir, então, que 3T é período da função )(xf.

19. Sabendo que )(xf é uma função par e periódica de período T=4, complete o seu gráfico.

Segue o gráfico da solução.

xfxxxx

2 1ψ. Demonstrar que:

a yxyx

yxyx yxyx yxxyyxyxyxxyyxyx yxyxyxyxyxyxyxyx yxyx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyyxyx ψϕψϕψ+=+

a xyyx yxyx yxyx yxxyxyyxyxyxyxyx xyx

2. Construir o gráfico das seguintes funções exponenciais.

x y ey =

y ey =

x x

1 1lgϕ. Verifique a igualdade ()() ab baba 1

baab baab ab ab baab baab ab ab ba ba ab ab ba abba abab ba babbaabba aba

24. Dado ()xxflog= e ()3xxg=. Forme as expressões. a) ()[]2gf

25. Construir o gráfico das seguintes funções logarítmicas. a) ()xy−=ln

b) xyln=

y f(x)=log x

e) xxyln= y f(x)=x lnx xy yxfyfxf 1

Temos que: ( ) xy yxtgarc xy yxf ytgarcyf xtgarcxf

Portanto,

xy yxftg xy yftgy xftgx

Usando a fórmula trigonométrica btgatg btgatgbatg

yftgxftg yftgxftgyfxftg −

xy yxf xy yxtgarcyfxf 1 )()(.

27. Prove que agarcbtgarcbgarcatgarccotcot−=−. Por definição temos que:

atgarcagarc −= 2 btgarcgbarc −= 2

Fazendo a subtração (1) –(2) temos:

atgarcbtgarcbtgarcatgarcbgarcagarc −= cotcot pipi .

Portanto, agarcbtgarcbgarcatgarc cotcot −=− .

28. Dado ()θθtgf=. Verifique a igualdade.

Temos que mostrar que:

tg tgtg −

Vamos considerar:

btgatg btgatg

b bsena asen b bsena asen bsenasenba bsenabasen ba basenbatg cos. cos coscos

.cos.cos .coscos. cos

Fazendo θ==ba vem:

tg tgtg −

29. Seja ()()xarcxf10logcos=. Calcular.

arcf

ou pin para n inteiro impar.

pipi k arc arcf com k inteiro.

arc arcf =

=pin, n inteiro par ou pin2, Ζ∈n.

30. Determinar o domínio das seguintes funções.

a) x

2 cos

Temos que:

Resolvendo esta desigualdade temos ].1,31[−

Temos que:

x x

xseny

Ζ∈ nnfD x n

31. Construir o gráfico das seguintes funções trigonométricas. Verificar se são periódicas e, em caso afirmativo, determinar o período.

y y=sen 2x

Periódica de período igual a pi y y=sen 3x

Periódica de período igual a 3

Periódica de período igual a pi4.

Periódica de período igual a pi6. b) xkycos= 31,21,3,2=k e 1− y y=2 cos x

Periódica de período igual a pi2.

y y=3 cos x

Periódica de período igual a pi2

Periódica de período igual a pi2.

Periódica de período igual a pi2.

y y= - cos x

Periódica de período igual a pi2. c) xky2cos= y y= 2 cos 2x

Periódica de período igual a pi.

Periódica de período igual a piPeriódica de período igual a pi.

Periódica de período igual a pi2.

Periódica de período igual a pi2. f) ()23pi−=xtgy

Periódica de período igual a pi. g) ()4cotpi+=xgy

Periódica de período igual a pi.

h) xtgy2

Periódica de período igual a pi2. i) xseny+=1 y = 1 + sen x

Periódica de período igual a pi2.

Periódica de período igual a 2/pi.

e e e e e e e e htghsenf

e e e e e e htghsenf

e e htghsenf

3. Prove as identidades. (a)

( ) uh e e e e e e e e uhuhtg u u u u u u u

( ) uh e e e e e uhuhg u u u u seccos 24

34. Defina uma função inversa para xhycos=, para 0≤x. Esboce o gráfico.

Temos ),1[)0,(:+∞→−∞f, xxfycosh)(==. A sua inversa será uma função

Usando 2 cosh y eeyx

==, podemos escrever 02=+− −yyexe ou

Resolvendo esta equação obtemos

= x xxey .

Como )0,(−∞∈y, temos 10<<ye. Portanto, usamos o sinal negativo, ou seja,

. Tomando o logaritmo natural, vem )1ln(2 −−=xxy. A figura que segue mostra o gráfico da função e da sua inversa no intervalo considerado.

35. Mostre a validade das expressões:

Seja 1,cosarg≥=xxhyPor definição temos que 0,cos≥=yyhx e

Podemos reescrever a última expressão como:

y y y xee e e x eex

Aplicando a fórmula de Bhaskara vem:

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