Respostas - Calculo A Cap 3 a - Flemming e Gonçalves.

Respostas - Calculo A Cap 3 a - Flemming e Gonçalves.

UNIDADE 3

Observação: Seguem inicialmente somente as respostas dos exercícios 1 ao 5

6 – Descrever analiticamente e graficamente uma função )(xfy= tal que )(lim3 xf x→ não existe e )(lim6 xf x→ existe.

Podemos ter infinitos exemplos que atendem às características solicitadas. Segue um exemplo.

Descrição analítica:

x xf

Descrição gráfica:

7 – Definir uma função )(xgy= tal que 4)(lim2=→ xgx

, mas )(xg não é definida em 2=x.

Podemos ter infinitos exemplos que atendem às características solicitadas. Segue um exemplo.

Descrição analítica:

x xg

Descrição gráfica:

8 – Definir e fazer o gráfico de uma função )(xhy= tal que 1)(lim0=→ xhx e 2)(lim0=→ xhx

Podemos ter infinitos exemplos que atendem às características solicitadas. Segue um exemplo. Descrição analítica:

x xh

Descrição gráfica.

9 - Mostrar que existe o limite de 54)(−=xxf em 3=x e que é igual a 7.

Queremos mostrar que 7)54(lim3 =−→ x

Dado 0>ε, devemos mostrar que existe um 0>δ tal que

Assim, devemos ter ε<−|3|4x sempre que δ<−<|3|0x.

Portanto, basta fazer 4 εδ=.

Observamos que qualquer 4 εδ≤ poderia ser tomado.

Dado 0>ε devemos mostrar que existe um 0>δ tal que ε<−|9|2x sempre que

x x x

Assim, basta tomar

Nos exercício 1 a 15 é dado .)(limLxf ax =→ Determinar um número δ para o ε dado tal

Então ε<+13x sempre que δ<+<10x

Basta fazer166,03

Dado 1,0=ε existe um 0>δ tal que x sempre que δ<+<20x

,25,0=ε

−→ x Dado 25,0=ε, existe 0>δ tal que sempre que δ<−<50x

Temos,

− −+ x

Supondo 10≤<δ, da desigualdade δ<−<50x, segue que x x x

Portanto,

x x

→ x x

Dado 75,0=ε existe um 0>δ tal que x sempre que δ<−<10x

x , para 1≠x.

Basta fazer 75,0==εδ

16 – Fazer o gráfico das funções )(xfy=dadas, explorando diversas escalas para visualizar melhor o gráfico numa vizinhança da origem. Observando o gráfico, qual a sua conjectura sobre o )(lim0 xf x→ ? Comprove analiticamente se a sua conjectura é verdadeira.

Analisando graficamente, afirmamos que )(lim0 xf x→ não existe.

Analisando graficamente, afirmamos que )(lim0 xf x→ é igual a zero. Analiticamente temos:

→ x senxx

De fato, a função seno tem os valores entre -1 e 1. Então 1 ≤≤− x sen , 0≠∀x.

Multiplicando a desigualdade por 0,>x vem:

Como 0lim0 =→ x

Pela regra do sanduíche segue que

Analogamente, obtém-se que

Analisando graficamente, afirmamos que )(lim0 xf x→ é igual a zero. Analiticamente temos:

→ x senxx

sen,0≠∀x

A função seno tem os valores entre -1 e 1. Então 1 ≤≤− x Multiplicando a desigualdade por 0,2>x vem:

Como 0lim 2

→x x, usando a Regra do Sanduíche, concluímos que

→ x senxx

Analisando graficamente, afirmamos que )(lim0 xf x→ é igual a zero. Analiticamente, prova-se que 01lim 3

→ x senxx

, da mesma forma utilizada no item (b).

17 - Mostrar que:

(i) Se f é uma função polinomial, então )()(limafxf ax =→ para todo real a.

nnxaxaxaxaaxf +++++=)( 332

Se f é uma função polinomial, pode ser escrita como 210 com Raaan∈,....,,21

)(lim)(lim 2

Assim,

axax

limlimlim

)( lim...limlimlim

af a xaxaxaa xaxaxaa n n axn axax n axaxaxax

(i) Se g é uma função racional e ),(gDa∈ então )()(limagxg

Se g é uma função racional ela é da forma

xPxg=, onde P(x) e Q(x) são polinômios reais e

Assim, aP xQ xQ xPxg

Calcular os limites nos exercícios 18 a 37 usando as propriedades de Limites.

→ x x

1lim x x t t t t t t

→ s s

2lim x x

x x

2cotcos2lim2

→ pipipipi gsengxxsenxx

eexex x

lim 2 senhsenhx

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