Respostas - Calculo A  - Cap 3 e - Flemming e Gonçalves

Respostas - Calculo A - Cap 3 e - Flemming e Gonçalves

1. Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções:

xf

. Portanto 0=y é uma assíntota horizontal.

∞= −→ 4 4lim 4 x . Portanto 4=x é uma assíntota vertical.

= x xf

. Portanto 0=y é uma assíntota horizontal.

3lim 2 x . Portanto 2−=x é uma assíntota vertical.

xf é uma assíntota horizontal.

, assim, 2=x é uma assíntota vertical.

, assim, 1=x é uma assíntota vertical.

x xf

é uma assíntota horizontal.

→ 43 1lim 3 x , assim, 3=x é uma assíntota vertical.

−→ 43 1lim 4 x , assim, 4−=x é uma assíntota vertical.

xf

é assíntota horizontal.

é assíntota vertical.

= x xf é assíntota horizontal.

é assíntota vertical.

xxf

2lim

Não existe assíntota horizontal.

4 lim lim

Assim, 4=x e 4−=x são assíntotas verticais.

xxf

x x x x x

x x x x x

Assim, 1=y e 1−=y são assíntotas horizontais.

lim

lim

Portanto, 3=x e 4−=x são assíntotas verticais.

±∞→ ye x x é uma assíntota horizontal.

xe x x é uma assíntota vertical.

e e ()111lim−=⇒−=− −∞→ yex x é assíntota horizontal

∃/ assíntota vertical.

k) xyln=

, assim 0=x é uma assíntota vertical.

assíntotas verticais.

2. Constatar, desenvolvendo exemplos graficamente, que as funções racionais do tipo )( )()( xq xpxf= com )(xp e )(xq polinômios tais que a diferença entre o grau do numerador e o grau de denominador é igual 1 possuem assíntotas inclinadas.

Seguem alguns gráficos que mostram a afirmação:

(3) Analisar graficamente a existência de assíntotas para as seguintes funções

Temos que y=0 é uma assíntota horizontal.

xxf=

Observa-se que y=0 é uma assíntota horizontal e x=0 é uma assíntota vertical.

xtgxxf − =

Na região considerada temos duas assíntotas verticais em 2 pi −=x e em

Mas se ampliarmos o gráfico vamos observar outras assíntotas verticais.

= x senxfpi)(

É possível observar que y=0 é uma assíntota horizontal.

(4) Fazer o gráfico das funções seguintes e determinar os respectivos limites. Para melhor visualização, traçar, também, o gráfico das retas indicadas. A seguir, determinar analiticamente os limites dados e comparar os resultados.

xf x→

senx

x xsenxf 3 xf x→

xsen

xf x→

→→→ x xsenx xsenx xsen x .

xf x→

→→→ x xsenx xsenx xsen x .

xf x→

→→→ x xsenx xsenx xsen x .

xf x→

→→→ x xsenx xsenx xsen x

Nos exercícios 5 a 27, calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

→→ x xsenx xsen x .

→→ x xsenx xsen x .

→→ xsenxx xsen xsen xsen x .

axsen x

Se 0=a, temos 00lim0= → senbxx

Se 0≠a, temos

ba ba bxsenb bx xa axsena bxsen axsen axa ax axsenx axtg

x .

axtg a x

xtg x

184 Fazemos 1+=xu. 01→⇒−→ux. Substituindo no limite, vem

4 cos lim 3 u sen u utgx xtg uux .

lim cos1lim x sen x x x lim cos1lim x sen sen cos12

pipipi pi pipi

→→→→ xsen x xsenx xsen xxecx x

→→ x xsenx x xsenx xsenx xsenx x lim 2 lim 32coslim x senxsen x senxsen xcoxx x x sen x senx x x sen xsen x lim 2coscos21lim xsenx sen x x x sen lim 2 senx x senx xsenx sen n n n n n n

e e n n lim.

tgx pi . Usa-se a substituição tgxu=.

cos 1

3 cos1limpi

. Usa-se a substituição xusec=.

x x x x

→ x x x x x

→ xsenx xxsen x ab abxex e e x b x e xabx bxax bx x bx bx ax x bxax

ax xax ax xaxax axax x eax ae xee xee eex tghax a ea =

0 xbaxba sen e bxsenaxsen e senbxsenax e bxxbax bxxbax bxax x

→ ba bae xba xba sen ba x bax e bx xba

28. Calcular )(limxf x +∞→ das funções dadas. Em seguida conferir graficamente os resultados encontrados.

x xf

x xx x b) x x xf

x xxxx c) x x xxf x x x x

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