Respostas - Calculo A  - Cap 4 d - Flemming e Gonçalves

Respostas - Calculo A - Cap 4 d - Flemming e Gonçalves

1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.

Considerando 3

Assim, xy xy

Considerando 3=x,

yx xy

Segue o gráfico:

ax xf −

Temos que:

a yxp +

Assim,

ayax xaya x a y

Para 4=x temos:

a yxp −

ayax xaya x a y

Segue o gráfico:

f (x) Usando a = 3

Para 0=x, temos fxf

Portanto, usando 4.1.2, segue que 0=x é a equação da reta tangente.

Para 3=x temos:

yx xy

Para ax= temos:

am 1 = e

ayaxouaxaya axa ay

Segue o gráfico.

2. Encontrar a equação da reta tangente à curva ,13 −=xy que seja perpendicular à reta

A declividade da reta dada é 1−=m. Assim a declividade da perpendicular à reta xy−= será 1=m. Temos, x x

yx xy

yx xy

3. A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo com a equação ,3)(32tttx−= em que x vem expresso em metros e t em segundos.

(a) Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos?

(b) Qual a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos? 2'36)()(tttxtv−==

smv smv smv smv smv

(c) Qual é a aceleração da partícula em cada um dos 4 primeiros segundos?

sma sma sma sma sma ttvta

4. Um corpo cai livremente partindo do repouso. Calcule sua posição e sua velocidade depois de decorridos 1 e 2 segundos. (Da Física, use a equação gt 2

-t vy 2 0=para determinar a posição ydo corpo, onde 0v é a velocidade inicial e 2m/s 9,8 g≅).

sm v my smv tgtv dt dy v gttvy o

Nos exercícios de 5 a 42 calcular a derivada.

t t ttttttttf

t ttf

t t t t t t ttf

x x xxxxf xxf

x x x xf t ttf

t t t t t t txf

−xexf

s esss

tte tttetf ttetetf t t

ex xf 2log.

log .

s e s e e s s sf

x xf

x x x x x x x xxxf

x x x x bxaaa b bxaaab b bxbaaabxf

−− tttf t

bsa bsabsab bsa bbsabsabsabsab bbsabsa bsa bbsabsasf bsa bsabsa bsabsa

x x xxxf

xxtgxx x xxtgxxxxf xsenxe xexsene exxsenexf x x x

cot.seccos6 3.cot)seccos(seccos2)( θθθ θθθθθ g gf =

xb xbsenab bxbsenxbaxf cos2

utguutguu utguuutguuf

cos cos t t tsen ttf

x x x xf

ttarc t ttf 2.)32(seccos

xsenhghx x xsenh xsenh x x

tgh tht tthtghtf x xhxf

x xghx xh x x x xghx xhx xhxf

cosharg1 x xxf

cotarg1 2 xghx x xghx x xxf

x xxf

Nos exercícios 43 a 79, calcular a derivada. A seguir, usando um software algébrico, comparar os resultados.

x x x x xxxxxf

x x x xxf

x xxxxxxf

++ xexf x

e xexf x

x x x xf x x

t eet t etettf tte etf

t t t t t t t e e e e e e e etf

x bxa

x xxf

x xxf 1

x x x xxxf b atf

tbab atf

−+=′ θθθθ θθθθθ sensen sensenf

xsen xf

xsen x xsen x xsen

x x

xsenx e exsenxexf

x sen x sen xxsenxx senx xsenxf

ttg t tsen t tsenttf cos 2

x xsenxf 2log.

t etsen tsenetf 2cos2 cos)( x arcxf=

x xf

ssenarcsf

s senarc senarcs s senarcs s

x x x x x x x x x x

ttght t ttsenhtf

−−=′ thtt ttthtf

xsenhxf

1 arg)(xtghxf=

x x x xf

x xxf xxxf x

xe xxf x

No ponto 0=x, temos x xf

Temos:

Rxse x x x x xxy

xf x y x

No ponto 2

−y. Logo, )(xfnão é derivável nesse ponto.

ferramenta gráfica, esboçar o gráfico de )(xf e )(xf′ observando as simetrias.

Segue o gráfico de )(xf, observando-se a simetria em relação ao eixo dos y.

Segue o gráfico de )(xf ′, observando-se a simetria em relação à origem.

paréxfxfxxxsenxsen xxxsenxsen xxxsenxsenxf

86. Dada a ,2 1)(xsenxf= calcular )(xf′ e verificar que f e f′ são periódicas de mesmo período. Usando uma ferramenta gráfica, esboçar os gráficos de )(xf e )(xf′ comprovando os resultados.

Para verificar a periodicidade temos:

xfxsen xsenxf

)()(2cos2cos)( pipi +′=+==′ xfxxxf . Portanto, são periódicas de período .pi

87. Seja )(xf derivável e período de período T. Mostrar que f′ também é periódica de período T.

Se )(xf é derivável ==> x xfxxfxf x ∆

Queremos mostrar que )()( xfTxf ′=+′

De fato

8. Mostrar que a função xexy− = satisfaz a equação .)1(yxyx−=′ xf x xfxxf x TxfxTxfTxf x x xexy − = xxeexy−−+−=′)1( Substituindo na equação:

x x

exexexex

89. Mostrar que a função 2/xexy − = satisfaz a equação .)1(2yxyx−=′

x x

exexexex exxexexx ex exy

90. Mostrar que a função

= satisfaz a equação ).1(ln−=′xyyx

ln1ln

x x x x x x x

91. Sejam f e g funções tais que xxgf=))((0 para todo )()(,xgexfex′′ existem para todo x.

xgf ′

Temos:

Logo,

xgf ′

92. Obtenha a regra do produto para )(′uv derivando o fórmula .lnln)ln(vuuv+=

( ) gfgffg fg gfgf fg fg gf fg gffg

93. Provar que: (a) Se ,cotxgy= então .cos2,xecy−= xsen xxgy cos cot==

x xsenxsen xxsen xsen xxxsenxseny seccos 1cos

(b) Se ,secxy= então ..sec,xtgxy=

x xy cos

xtgx x xsen x x xseny

.sec cos. cos

1 cos

(c) Se ,cotxgarcy= então .

Como para ),0(pi∈y, 0seccos)' (cot2≠−=yyg,usando o teorema da função inversa, temos:

seccos1 )(cot

xyg yyg y

x y

1 1seccos.seccos cot.seccos 1 )sec(cos

x xy ygyy y

(e) Se ,coshxy= então .,xsenhy= cosh x eexy −+ == xsenheey x

(f) Se ,xtghy= então .sec2,xhy= x x xtghy −−

e e e eeeeeeeey x x x x

(g) Se ,secxhy= então ..sec,xtghxhy−=

x e xhy −+

xtghxh e e eey x x x x

.sec

(h) Se ,secxharcy= então .10,

x y

x x x x x x x x x y

x y

x x x xecharcy211lncos.

Vamos mostrar para 0>x. Temos,

x x x x x x

94. Encontrar todos os pontos onde o gráfico de )(xf tem a mesma tangente horizontal.

Usando uma ferramenta gráfica esboçar o gráfico de )(xf e )(xf′ e comparar os resultados.

xxf

k x

Zkk x

Zkkx pipipi pipi pi pi

=− xsen xsen

95. Traçar num mesmo sistema de coordenadas as funções 21xy−−= e 21xy+=. Usando a visualização gráfica responder:

(a) Quantas retas são tangentes a ambas as parábolas? (b) Quais são os pontos de tangência? (c) É possível encontrar essas retas algebricamente?

Seguem os gráficos em um mesmo sistema de coordenadas.

Respostas: (a) Duas

(b) Sejam 1P e 2P os pontos de tangência da reta que tem inclinação positiva.

Temos, xy2=′ tangente em 1P : 12xm=

Equação da reta tangente no ponto 1P: ( )

Substitui no ponto 2P, vem: ( ) xy xy xy

(c) Equação das tangentes: ( )

Por simetria, a outra tangente é xy2−=.

96. Dada a função 562+−=xxy definida para [)∞+∈,3x, desenvolver os seguintes itens:

(a) Determinar a função inversa )()(1xfxgy− == e identificar o domínio.

x xxy

yx yx

Portanto, a inversa é dada por 4,43−≥++=xxy.

(b) Encontrar a equação da reta tangente à curva )(xfy= no ponto de abscissa 5. Temos:

(c) Encontrar a equação da reta tangente à curva )(xgy= no ponto de abscissa 0. Temos:

xy xy

(d) Fazer uma representação gráfica dos resultados obtidos e identificar a relação estabelecida no Teorema 4.14.

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