Respostas - Calculo A  - Cap 4 e - Flemming e Gonçalves

Respostas - Calculo A - Cap 4 e - Flemming e Gonçalves

Nos exercícios de 1 a 12 calcular as derivadas sucessivas ate ordem n indicada.

V IVy xy xy ay baxy cbxaxy y y y xy xy xy xxy

x x xxxxy xxy

x xy x xy x xy x y

x x x ey eey ey

7. x e

x xIV x x x e ey ey ey ey x y x y

axay axsenay axay axsenay axay axsenay axay

cos cos cos cos

x seny x seny senx seny

xtgxx xtgxxxtgxxy xtgx xtgxxy xy

.sec.sec2 sec

x xy x y

13. Achar a derivada de ordem 100 das funções:

a) xseny= b) xycos=

14. Mostrar que a derivada de ordem n da função ()x xf 1 = é dada por ( ) .

n x ny

n n x ny x xy x xy x xy x y x y

15. Mostrar que a derivada de ordem n da função ()axexf= é dada por . )(axnneay=

axnn ax ax ax ax eay eay eay eay ey

16. Sejam ()xf e ()xg funções deriváveis ate 3ª ordem. Mostrar que:

( ) gfgffg gffgfggfgf fggfgf

gfgfgffg fggffggfgffg fggffggfgffggf

17. Mostrar que ()α+=wtAxcos, onde A, w e α são constantes, satisfaz a equação

=+xω, sendo 2

Temos: ()α+=wtAxcos

+−= wtwAx wwtsenAx

Substituindo na equação: ( ) ( ) 0coscos 2 ≡+++− αα wtAwwtwA

18. Calcular dx dyy=′ das seguintes funções definidas implicitamente.

yx xyxy xyxyxy yyyxxyx

x y y y xy y y yx yx yxy +

yxy y yyyxy yyyyyxy yxyxy

cos2 cos2 yxsenyxa yxsenyxay yyxsenyxa f) yxytg=

. sec sec sec xy y yxyy yyxyy g) yxey+= y y

e y ey yye

19. Determinar as retas tangente e normal à circunferência de centro ()0,2 e raio 2 nos pontos de abscissa 1.

Temos a circunferência dada: ( ) ( )

yxx yxx yx

Derivando, temos:

y xy y xy xyy yyx

No ponto ()3,1, temos: Declividade da reta tangente:

Equação da reta tangente: ( )

−=− xy xxmyy

Declividade da reta normal: 3−=nm

Equação da reta normal: ( )

No ponto ()3,1−, temos: Declividade da reta tangente:

Equação da reta tangente: ( )

yx xy xy xxmyy

Declividade da reta normal:

3=nm Equação da reta normal:

20. Demonstrar que a reta tangente à elipse 12222 =+ bya x no ponto ()0,yx tem a equação

b yya

Temos:

bya

Derivando implicitamente:

ya xbyba a xb b yya

x ya bxyy

xbxxbyayya xxxbyayya +−=− −−=−

b yya byaxa xxb ba ya ba xb ba xxb ba yya

21. Em que pontos a reta tangente á curva 322xy= é perpendicular a reta

Obtendo a declividade da reta dada para encontrar a declividade da reta perpendicular:

xy xy yx

xy x

x x

Ou,

No pontos()0,0 não existe reta tangente. Temos então somente

A figura que segue mostra graficamente o resultado obtido.

2. Mostre que as curvas cujas equações são 5322=+yx e 32xy= interceptam-se no ponto ()1,1 e que suas tangentes nesse ponto são perpendiculares

Verificando a intersecção:

xy yx

O ponto ()1,1 pertence ao gráfico das duas curvas, pois:

53222=+yx

Analisando as tangentes: 32xy=

064=′+yyx232xyy=′

y xy 2

=′y()23

Assim as retas

são perpendiculares.

A Figura que segue mostra os resultados obtidos graficamente.

23. Calcular a derivada dx dyy=′ das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para quais valores de yt′, está definida?

ty dx

2cos pi ttseny tsen t tx dx dy 2cot 2 cos3 ttseny tx sentt tx

ttseny ttg sentt ttsen tx ty dx pi t.

)( 2t tx ty dx

cos8 3 pittseny

ttg sentt ttsen tx ty dx cos2 tsenty tx no ponto .

No ponto .

P temos que

2cos2 senty tx ou sent t

Assim, temos que 4

Calculando a declividade:

sentt tx dx dy 2

Considerando 4 pi =t temos .

A equação da reta tangente é dada por:

A figura que segue mostra os resultados obtidos.

25. Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à astróide cos33 pittseny

no ponto

Calculando a declividade da reta tangente:

tgt sentt ttsen tx ty dx dy

O ponto P corresponde a 3

A equação da reta tangente no ponto P é dada por:

yx xy

A declividade da reta normal é dada por 3

A equação da reta normal no ponto P é dada por:

yx xy

A Figura que segue apresenta a solução gráfica do exercício.

26. Encontrar dyy−∆ das funções dadas

xxxxxxxdyy ∆= x x x x x x x x x x x xxxdyy x xy

x x x x x x x x xfxxfy x x x x xxxydy xdyy

27. Encontrar y∆ e dy para os valores dados

x y

dy

( ) ( ) ( ) ( ) xxxxy xxxxxxxxy xxxxxxy

x x x x x x xxy

x x x x xxdy

28. Calcule um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferenciais. a) 50

x dy

x x xxdy

4xy=, 3 ,16−=∆=x

x x xxdy

29. Calcular a diferencial das seguintes funções

dx x xdy . 43

b) xe

dx e dx e exee dx e exedy x x x x

30. A área s de um quadrado de lado x é dada por 2xS=. Achar o acréscimo e a diferencial desta função e determinar o valor geométrico desta última.

Calculando o acréscimo: ( ) xxxxxs xxxs

Calculando a diferencial: xxds∆=2

A Figura que segue mostra a interpretação geométrica.

31. Dar a interpretação geométrica do acréscimo e da diferencial da função 2xspi=(área do círculo).

As figuras que seguem mostram uma interpretação geométrica da diferencial e do acréscimo.

32. Uma caixa em forma de cubo deve ter um revestimento externo com espessura de cm4/1. Se o lado da caixa é de m2, usando diferencial, encontrar a quantidade de revestimento necessária.

Volume do cubo:

3xV= Diferencial da função no ponto cmx200= para uma espessura de ¼ cm ou seja

cm cm xxdV x x∆ x xpi2 x∆ x

3. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é ½ cm, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de 32cm no volume da pilha.

Aplicando os dados:

34. Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia de 3 cm a 3,1 cm.

drrdV rV

pi pi pi pi

35. Um terreno, em desapropriação para reforma agrária tem a forma de um quadrado. Estima-se que cada um de seus lados mede m1200, com um erro máximo de m10.

Usando diferencial, determine o possível erro no calculo da área do terreno.

dA dA xxdA xA

36. Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas com 40 cm

de lados. Depois de receber as placas verificou que os lados das placas tinham cm 2 mais. Usando diferencial encontre o aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada.

xxdA xA

1 lado de 1 placa: 240cm

2 lados de 1 placa: 280cm

Considerando os dois lados temos 2000160cm. Fazendo o percentual vem:

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