Respostas - Calculo A  - Cap 5 b - Flemming e Gonçalves

Respostas - Calculo A - Cap 5 b - Flemming e Gonçalves

1. Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c emb) (a,, tal que ab afaff=

A função x xf1)(= é contínua em ]3,2[.

A função x xf1)(= é derivável em )3,2(, pois o x xfxxf x ∆ existe para todo x no intervalo ).3,2(

abab ab c abab ba c ab ab ab abc c c abc abc abc

Interpretação geométrica: A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul é paralela à reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde.

Não se aplica o Teorema, pois a função não é contínua em ].3,1[−

A função é derivável em )4,0( e contínua em ]4,0[, pois f é do tipo polinomial.

∃⇒ c tal que:

ab ccf.

Interpretação geométrica: A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul, é paralela à reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde.

A função é derivável em )0,2(− e é contínua em ]0,2[−, pois f é do tipo polinomial. Assim, c ccf

Interpretação geométrica: A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul, é paralela à reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde.

A função f é contínua em e é derivável em .2 ,0

pi Assim,

0cos2 cos pi pi

senarcc csen csencf

Interpretação geométrica: A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul, é paralela à reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde.

A função xtgxf=)( não é contínua em 4 pipi . Portanto, não se aplica o teorema.

A função xtgxf=)( é contínua em

,0 pi e é derivável em

,0 pi . Assim,

2 sec

4 sec pi pi pipi pi pi arcc c tgtg ccf

Interpretação geométrica: A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul, é paralela à reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde.

f (x)

A função )(xf é contínua em ]0,1[− e derivável em ).0,1(− Assim,

c c c ccf

Interpretação geométrica: A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c, representada pela cor azul, é paralela à reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)), representada na cor verde.

A função é contínua em ]1,1[− mas não é derivável em ).1,1(− Assim, não se aplica o teorema.

A função é contínua em ]1,1[−, mas não é derivável em )1,1(−, porque não é derivável em .0=x fxf x fxf

Assim, não se aplica o Teorema.

2. A função 1- x (x)2/3=f é tal que ()0 (1) (-1)===ffxf. Por que ela não verifica o Teorema de Rolle no intervalo[-1,1]?

A função f não é derivável no intervalo [-1,1], pois não é derivável em 0.

1limlim

x x

3. Seja 98)(24++−=xxxf. Mostrar que f satisfaz as condições do Teorema de Rolle no intervalo [-3,3] e determinar os valores de )3,3(−∈c que satisfaçam .0)(=′cf

A funçãof é função polinomial, portanto é contínua e derivável em qualquer intervalo.

Em particular é contínua em [-3,3] e derivável em ).3,3(−

c c xxxf

.2,2,0+−=⇒c A figura que segue ilustra a situação apresentada.

4. Usando o teorema do valor médio provar que: a) R; , |,-| |sen - sen |∈∀≤αθαθαθ

Seja xsenxf=)(. f é contínua e derivável em R.

Considerando-se f contínua em []αθ, e derivável em ),(),(αθαθ∈∃⇒c/

sensenc csensen sensen c sensen c sensen c

1cos cos cos cos cos

para

Analogamente, mostra-se para αθ>. Se αθ= é trivial.

Seja xxsenxf−=)( . f é continua em 0],,0[>θθ.

f é derivável em 0),,0(>θθ

csen cfff ffcf

c θ θθθθ<⇒<−⇒sensen 0

c θ θθθθ<⇒<−⇒sensen 0

c θ θθθθ<⇒<−⇒sensen 0 Para 0=θ temos0=θsen. Portanto a desigualdade é satisfeita.

5. Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem. a) 43xy+=

Portanto, não admite ponto crítico.

x xxy

∃/⇒ no ponto crítico.

x x x x x xxy

Pontos críticos: .3,0− h) sen xy=

0cos cos

kkx x xy pi pi

i) xcos=y

Zkkx xsenxsen xseny

j) xcos-sen x=y

Zkkx xsenx xsenx xsenxy xsenxy cos 0cos cos )(cos pi pi

k) xeyx −=

x ex e e e e ey x x x x x x

x x

Além disso, nos pontos 3 e 332−=x não existe a derivada. Pontos críticos: 3 e 3 ,0321−==x

x x x x x xxy x xxxy

Não existem pontos críticos. n) |3-2x|=y xsex xsex y

xse xse y

Para 2

3 =x a derivada não existe

3 =⇒x é um ponto crítico.

)(xf′ não está definida para 0=x 0=⇒x é ponto crítico.

6. Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

02(x)>=′fpara todo x . A função é crescente ),(+∞−∞

f (x)

x x x x xxf

x x x xxxf

A função é crescente em

A função é decrescente em

3 2,2 é decrescente.

x f f

A função é crescente em

A função é decrescente em f) sen x 2

1 - xcos

0 xcos 2 xcos 2

−− pipipi pipipipipi

4 L, neste intervalo

==> decrescente

− pipipi pipipipipi

2 L, neste intervalo crescente

x x x x x e exe eexxf

x x e x x

A função é crescente em ]1,(−∞ e em ),1[+∞ é decrescente.

x x x x x xxxxf x x

x x x x xsenxe exsenxexf x

A função é crescente em

pi pipi 2,

7. Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados.

crítico ponto é 2 x x x f f

críticos pontos são 3 x x x f f

[0,5] em função da máximo é 100 função. da mínimo é 27 xxf críticos pontos são 1 e 1 01 x x x x x x x xxxxf

f f função da mínimo é2

1- função. da máximo é2

xxf

)2('f não existe ⇒ 2 é ponto crítico f f f

2 é máximo e 0 é mínimo da função em ]4,1[.

crítico ponto é 0==x xhsen

máximo é 2 mínimo é 1 2

04 2 a função é sempre crescente.

e eef e eetghf críticos pontos são 2, 3 pi pipipipipi

pi pipi

críticos pontos são 2, 2

0ou 0cos 0cos2 pipipipi = xsenx xsenx

3 cos pipi pipi pipi f f f f

1 é máximo e 0 é mínimo

críticos pontos são 2 e 0 xxsen xxsen

pipi senf senf

8. Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções.

2)(=′xf ⇒>02 a função é sempre crescente ∃/ máximo e mínimo relativo

x x x x edecrescent é ,-1](- Em crescente é função a],1[ Em∞

1−=x é ponto crítico (de mínimo)

A função é crescente em

3 4)0,( e decrescente em

0 e 3 4são pontos críticos

x x xxxh

-3 é ponto de máximo 2 é ponto de mínimo

mínimo é3

mínimo nem máximo crescente. sempre é funçãoA0 )1(

t t t tttf

t t t

-1 é ponto de máximo 1 é ponto de mínimo.

relativo mínimoé211)1(

x x xeeex x

Em ),1[+∞−a função é crescente e em ]1,(−−∞ é decrescente -1 é ponto de mínimo

−− é mínimo.

)(xh é definida para 0>x.

x x x x x xh

A função é decrescente em ()+∞,0. ∃/ máximo ou mínimo.

xsex xsex xf

xse xse xf

A função é crescente em

e é decrescente em

1 =x é ponto crítico

f é mínimo da função.

x x

x x

0)0('=g e )2('−gnão existe. Portanto, -2 e 0 são pontos críticos. A função é crescente em ),0[]2,(+∞∪−−∞e decrescente em ]0,2[−.

t th

)0('h não existe. Portanto, 0=té ponto crítico.

Em(]0,∞− a função é crescente e em [)+∞,0 é decrescente.

0=t é ponto de máximo 3)0(=h é máximo da função.

xxxf

A função é crescente em (]0,∞− e é decrescente em [)+∞,0.

0=x é ponto de máximo 1−=x não é um extremo x x xg x x xg

x x x x

Em (]2,+∞− a função é crescente e em [)+∞,2 é decrescente. 2=x é ponto de máximo.

9. Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem. Fazer um esboço do gráfico e comparar os resultados.

crítico ponto é7 x x xxf

relativo mínimo de ponto é xf xf

x x x xxg

críticos pontos são 7 e 1 x x xxh

críticos pontos são 2 e 1==x.

Nada se pode afirmar usando o teste da derivada segunda. Analisando a derivada primeira temos que 1 para 0)('>≥xxh. Portanto, h é crescente em [)+∞,1 e 2=xnão é máximo nem mínimo relativo.

tttf

x xxf

crítico ponto é 8 x x x x

máximo de ponto é 8 xxxf

)0('fnão existe. Portanto, 0=x também é ponto crítico. Para .0)(',0<<xfx Para .0)(',80><<xfx Portanto, usando o teste da derivada primeira, segue que 0=x é um ponto de mínimo.

crítico ponto é 2 02 x x x

)(xf′ é sempre ∃/⇒>0 máximos nem mínimos.

xxf

crítico ponto é 2 x x

Vamos usar o teste da derivada primeira.

x x x

)(xf é decrescente para em

3 , e é crescente em

3 . Logo,

3 −=x é ponto de mínimo

xxg

x x x x x xxxxg críticos pontos são 2 4 x x x x x x

x x x xxxxxxg

=− ′′g é ponto de mínimo.

x xxh

x x x x x xxxxxh

críticos pontos são 51 e 51 x x x x x xxxxxf xxxf

críticos pontos são 2, 5 4,1 x x x

Vamos usar o teste da derivada primeira.

x x xxxxf

Portanto, 2−=x é ponto de máximo e 5

4 −=x é ponto de mínimo. 1=x não é ponto de máximo nem de mínimo.

críticos pontos são 5 64,0 x x x x x x x xf

Usando o teste da derivada primeira conclui-se que:

máximo de ponto é 5 mínimo de ponto é 0

10. Mostrar que x xy alog = tem seu valor máximo em ex= (número neperiano) para todos os números 1. a> xy alog =

log loglog 1.loglog1 x x e x xexx y

ex x e x e a x x

0log

0 log

máximo. de ponto é 1a para0log1log2log log2log ex e e e y x x e e x x e e xe x a ex

1. Determinar os coeficientes a e b de forma que a função)(23bxaxxf++= tenha

= um extremo relativo no ponto 1). (-2, axxxf baxxxf

a x ax ax x axx axx

Para quaisquer valor de a e b 0=x é um ponto crítico.

2ax − = é ponto crítico.

a xax

a aaf.

Como o extremo deve estar no ponto (-2,1), segue que 323

12. Encontrar, cba,, e d tal que a função - 2 )(23dcxbxaxxf++= tenha pontos críticos em 0 =x e 1 =x. Se 0>a, qual deles é de máximo, qual é de mínimo?

x x cbxax

Substituindo 0=x, vem 0=⇒=−c

Substituindo 1=x, vem

b a ba ba bacba baf bf baxxf

Ainda podemos ter:

-3ab realqualquer a 0c realqualquer d a aaf aabf

mínimo de ponto ée1 máximo de ponto é00⇒>a.

13. Demonstrar que a função Rxcbxaxy∈++=,2 , tem máximo se, e somente se,

0<a; e mínimo se, e somente se, .0>a

b x baxbaxy cbxaxy

máximo de ponto é2 002a mínimo de ponto é2 002 b a b a a b

14. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes têm concavidade voltada para cima ou para baixo.

x x x

baixo para côncava é função a , 3 5 Em cima para côncava é função a 3

Em inflexão de ponto um temos 3

3 5f é um ponto de inflexão.

2ou3/1

x x

()cima para côncava 2, 3 baixo para côncava2, 3

Em 231 21=−=x temos pontos de inflexão.

−− são pontos de inflexão.

xf

x xxf x xxf

x x x

A função é côncava para cima em ),4(+∞− e côncava para baixo em )4,(−−∞. Como o ponto )(4fD∉−, a função não tem pontos de inflexão.

x x x x x eex eeex eeexxf eex eexxf

x x xe ex

Temos que:

inflexão. de ponto o é 3

2 e inflexão de ponto um temos baixo para côncava é 3 cima para côncava é , 3 2 Em fx f

xxe eexex xeexeexxf xeexxf x x x x

( ) ( ) ( ) inflexão. de pontos temos22 Em cima. para côncava é ,2-2-,-2- Em baixo. para côncava é 2,2 Em x f

x x xxf x x x xf

Assim, a derivada de segunda ordem da função é sempre menor que zero. Não existe ponto de inflexão e a função é côncava para baixo em todo o seu domínio.

t ttf t t t t t t t tttttf

t t t ttttf t t t t t

Em inflexão. de ponto um temos6−=t A função em:

baixo. para côncava é)6,( cima; para côncava é),6( −−∞ +∞−

tf tsene ttsenesenttetf ttseneettsenetf t t t

[ ] [ ]pipipipi pipi 2, em baixo para côncava é )2,(0 ,0 em cima para côncava é ),0(0 fttsen fttsen ⇒∈⇒<

()inflexão de ponto é,pipi−−e.

x xxxxf

xxxf

xxf

( ) inflexão. de pontos intervalo neste baixo para côncava é;1,para0)( valores. temosnão 0)(

xxxf

intervalo neste baixo para côncava é),2(para0)( intervalo neste cima para côncava é)2,(para0)( fxxf fxxf ⇒+∞∈<′′

()inflexão. de ponto um é 0,2

15. Seguindo as etapas apresentadas em 5.9.1. fazer um esboço do gráfico das seguintes funções:

Etapa 1: Encontrar )(fD.

O domínio da função dada é o conjunto dos números reais. Etapa 2: Calcular os pontos de intersecção com os eixos (Quando não requer muito cálculo).

Comentários