Respostas - Calculo A  - Cap 5 c - Flemming e Gonçalves

Respostas - Calculo A - Cap 5 c - Flemming e Gonçalves

1. Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro um quadrado.

a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja mínima?

22arS+=pi sendo r o raio do círculo e a o lado do quadrado.

242 que temos rlalar pipi − =⇒=+

Assim, rrllrS rlrS pipi pi pi pi

pipipi pi pipipi pipipi pipi pi pipi pi l r lr rlr rl r rlrS mínimo de ponto é0 16 82 28 pi pi pi pi lS S

Portanto: pi28 +

= l r e l a.

1º Pedaço:

2º Pedaço: pi

2 l r

b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima?

Como não existe ponto de máximo na função devemos fazer somente um círculo ou um quadrado. Temos:

quadradocírculo quadrado círuculo

A lA llrA

2 pi pipi

Portanto, vamos usar o comprimento do fio para fazer somente um círculo de raio

pi2

2. Determinar o ponto P situado sobre o gráfico da hipérbole ,1=xy que está mais próximo da origem.

Vamos considerar um ponto ),(yxP sobre a hipérbole e a distância d deste ponto até a origem. Temos:

Para achar o mínimo de d podemos minimizar a função

x xf x xf x xf x xf

1±⇒ são pontos de mínimo

3. Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou R$380.0,0 para criar os bois e continuará gastando R$ 2,0 por dia para manter um boi. Os bois aumentam de peso a uma razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de R$ 18,0 o quilo, mas o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro? t tL ttL ttL

⇒<−=′′030Lé ponto de máximo. Assim, temos que o fazendeiro deve esperar 67 dias para obter o lucro máximo.

4. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível.

máximo. de ponto é3502 f xxf xf xxxxxyf

5. Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado ,a deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.

6/ou2/

aaaaaV xaV axax xaxa xaxaV xaxxaV xxaxaxxaV

Portanto: os lados dos quadrados devem medir 6 a unidades de medida.

6. Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V, de forma que a sua área total seja mínima.

222rrhApipi+= Temos que:

Vh hrV pi pi=

Assim,

mínimo de ponto é 2 pi pipipi pipi pi pi pi pipi pi pi pi pipi pi

V r r VA

V r

VVrVr r rVA r r VA r r VA r r VrA

Portanto,

pi pi

VVVr Vh

V r

7. Duas indústrias A e B necessitam de água potável. A figura a seguir esquematiza a posição das indústrias, bem como a posição de um encanamento retilíneo l, já existente. Em que ponto do encanamento deve ser instalado um reservatório de modo que a metragem de cano a ser utilizada seja mínima?

)()( oEncanament

)( oEncanament x xxL xxxL xbxcaxL xbRB xcaRA

x x x x x x xL x xL

Precisamos ainda analisar os extremos pois .120≤≤x

Portanto, 4=x é o ponto de mínimo procurado.

8. O custo e a receita total com a produção e comercialização e um produto são dados por:

(a) Encontrar a quantidade q que maximiza o lucro com a venda desse produto. ( ) ( ) ( ) q q qCqRqL

q q qqL

(b) Qual o nível de produção que minimiza o lucro?

A figura a seguir apresenta o gráfico da função lucro ().6008,7006,02−+−=qqqL Temos que o lucro mínimo é igual a zero e ocorre no nível de produção 82≅q.

(c) Qual o nível de produção correspondente ao prejuízo máximo?

Observando novamente a figura podemos observar que o prejuízo é de 600 para q=0.

9. O gráfico da função ],[,)(101qqqFKqqC∈+=α , sendo ,K α e F constantes positivas, é denominado de curvas de custos a curto prazo de Cobb – Douglas. Essa curva é bastante utilizada para representar os custos de uma empresa com a produção de um produto.

(a) Dar o significado da constante F.

Temos que F representa o custo fixo.

(b) Verificar que, quando 1>α, a curva é côncava para baixo e interpretar esse resultado sobre o ponto de vista da Economia.

Na figura a seguir apresentamos um exemplo para ,2=K 3=α e 8=F.

Algebricamente podemos fazer:

αα qkqC

Portanto, ()()qCqC⇒<0'' é côncava para baixo.

Sob o ponto de vista da economia isso significa que o custo marginal decresce a medida que o nível de produção aumenta.

(c) Supor ,2=K 3=α e 8=F e determinar se existir, o valor de q que fornece o custo médio mínimo.

q q q q qqqC qqqC q qqC qqC

Como 0<q não há q que produz custo médio mínimo.

(d) Usando os mesmo valores de item (c), determinar o nível de produção que minimiza o custo marginal, no intervalo 000125125≤≤q.

2 − =′qqC é o custo marginal, que vamos denotar CM.

10. Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio 12 cm? Supondo que o retângulo tenha lados x e y e o círculo raio r=12 temos: Perímetro yx22+=

Observando o triângulo retângulo de hipotenusa igual ao diâmetro e catetos x e y temos:

xy yx

Substituindo esse valor na expressão do perímetro temos:

5762
576

x x x xxP x x xxP

P x x x

==> O retângulo de perímetro máximo é o quadrado de lado 288.

1. Traçar uma tangente à elipse 2=+yx de modo que a área do triângulo que ela forma com os eixos coordenados positivos seja mínima. Obter as coordenadas do ponto de tangência e a área mínima.

Na figura que segue temos a visualização do problema.

Seja ()1,yx o ponto de tangência. A equação da tangente é dada por:

)(11xxmyy−=− Vamos encontrar os valores de x e y onde a reta tangente corta os eixos.

Se y x x m y xxmyy

Área do triângulo:

= que é a função que queremos minimizar.

Sabemos ainda que:

yxy xy xyy yyx yx

Substituindo em A vem: ( )

yx yx yx yx y xyx x y y x x y x y y x mxy m yxA

Ainda temos que:

xy yx

Então:

x x x x xA x x x x x x x A

temos que:

21 1=x é ponto de mínimo

Assim as coordenadas do ponto de tangência são

1 e a área mínima:

yx yxyxA

Finalmente temos a equação da tangente no ponto encontrado:

xy xy xxmyy

12. Mostrar que o volume do maior cilindro reto que pode ser inscrito num cone reto é 94 do volume do cone.

A figura que segue mostra um corte vertical do cilindro inscrito no cone.

Temos:

rh xr

2 cilindro

r xex xhhrx xhxhrV r xhxhrV r xhxhrr xrhxV yxV pipi pipi pipi pipi pi

máximo de ponto é 023 262 mínimo ponto02 r hr r rhhr V r hrV r xhhrV r pipipi pi pipi

Portanto, o raio do cilindro é igual a r 3

, onde r é o raio da base do cone.

A altura do cilindro 3 rrh

Assim, x r

13. Um cone reto é cortado por um plano paralelo à sua base. A que distância da base deve ser feito esse corte, para que o cone reto de base na secção determinada, e de vértice no centro da base do cone dado, tenha volume máximo?

Considerando r o raio da base do cone; h a altura do cone dado; x o raio da seção e y a altura da seção até a base do cone dado, temos:

r xrhy xr yr h

r xex xhxhrV r xhxhrxV r xhxhrr xrh xyxxV pipi pipi pipipi pi hr hrhrrV r xhhrxV pipipi pipi

Portanto, 3

2r x=é ponto de máximo.

2. hr hhy r xhhy

Portanto, a distância deve ser igual à terça parte da altura do cone reto dado.

14. Determinar o ponto A da curva xxy+=2 que se encontra mais próximo de (7, 0). Mostrar que a reta que passa por (7,0) e por A é normal à curva dada em A.

A figura que segue ilustra este problema.

Temos:

complexas são e1 07232 x x xxxf xxxf xxxxf xxxxxf xxxf

Reta PAque passa por :

xy xy x x y y que é a equação da reta que passa por PA.

Equação da reta tangente:

xy xxy

xy xy xy

As duas retas são perpendiculares, pois as declividades multiplicadas resultam .1−

15. Uma folha de papel contém 375 cm² de matéria impressa, com margem superior de 3,5 cm, margem inferior de 2 cm, margem lateral direita de 2 cm e margem lateral esquerda de 2,5 cm. Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de papel.

A Figura que segue ilustra o problema.

bby aax a bba xyA= deve ser mínima.

baA

b a

16. Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Achar as dimensões de modo que o perímetro seja 3,2 m e a área a maior possível.

Considerando o retângulo com dimensões h e 2r sendo r o raio do semicírculo, temos:

2,32:relação a Vale rrh rrh

máximo. de ponto é 4 2,304 pi pi pi pi pipi pi pi pi pi pipipi pipi r r r rrA rrA rrrrrrrA rrrrA

Agora temos que:

círculo-semi do raio o é4 pipipi pi pipi pi pi pipi pi pi h h

Portanto, as dimensões do retângulo são 0.4 m x 0.8 m.

17. Um canhão, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação α. Seja l o alcance do canhão, dado por ,cos 2 2 ααsen g vl= onde v e g são constantes. Para que ângulo o alcance é máximo? Temos:

0cos cos 2

pi α pi ααα sen sen sen g vl sen g vl sen g vl

máximo. de ponto é4 04 pi α

g vl sen g vl

18. Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40 km de uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100 km, como mostra a figura a seguir. Se a barca tem uma velocidade de 18 km por hora, e os carros têm uma velocidade média de 50 km/h, onde deverá estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem a mais rápida possível?

Temos a função:

x x x t x t x t

CIDADE Estação x x x x x x

x t x t x x x x x x x x

Portanto para 1000≤≤x o mínimo absoluto é em 56,84≅xkm.

19. Uma cerca de 1 m de altura está situada a uma distância de 1 m da parede lateral de um galpão. Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apóiam na parede e no chão do lado de fora da cerca?

A Figura que segue ilustra o problema.

Temos:

.minimizadaser para função)1()1(

x x xd xyd x xyxx y

Podemos minimizar 2df=

x x xxxxxxxxf x xxxxxxxxxf x x xxxxxf

1 x d

x f x xf x xxxf

20. Seja s uma reta que passa pelo ponto )3,4( formando um triângulo com os eixos coordenados positivos. Qual a equação de s para que a área desse triângulo seja mínima?

A Figura que segue ilustra o problema

Área A

A equação da reta é dada por:

minimizar. para função a é3)m4.(342 1

m m m m mmmA m mmmA m mmmA m m m mA

3 =m não interessa.

mínimo. de ponto é4 30 m A m mmmA

Portanto 4

A equação procurada é dada por:

21 . Uma pista de atletismo com comprimento total de 400 m, consiste de 2 semicírculos e dois segmentos retos, conforme figura a seguir. Determinar as dimensões da pista, de tal forma que a área retangular, demarcada na figura, seja máxima.

pi pi pi pi pi r r rA rA rrA

pipi pi

Portanto, mr pi

2. Um cilindro circular reto está inscrito num cone circular reto de altura mH6= e raio da base .5,3mR= Determinar a altura e o raio da base do cilindro de volume máximo.

Supondo x o raio da base do cilindro e y a sua altura, temos:

a r r

mRxV

R xHxHRV

R xHxHRV yxV pipi pipi pi

Já foi mostrado no exercício 12 que é máximo.

my mx

:Portanto = =

23. Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é dado por ,60186223+++=xxxC e o valor obtido na venda é dado por ,12602xxR−= determinar o numero ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro .CRL −=

Temos:

x x xxL xxL xxxL xxxxxL

Resposta:1000=x unidades.

24. Um cilindro reto é inscrito numa esfera de raio R. Determinar esse cilindro, de forma que seu volume seja máximo.

Vamos considerar o cilindro com raio da base igual a x e altura igual a 2y. Vale a relação:

RyRy yR yRV yRV yyRV yyRV yxV pi pi pi pi pi

máximo. de ponto é3 0

3 RyV

Portanto: 3

2altura R = e

25. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 400m² de área, determinar as dimensões a e b, de forma que o comprimento da cerca seja mínimo?

Temos:

mA mA = a b abP

mínimo. de ponto é3 3400

Portanto, temos:

26. Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens, retangulares, exige que o comprimento de cada caixa seja 2 m e o volume 3 m³. Para gastar a menor quantidade de material possível na fabricação de caixas, quais devem ser suas dimensões.

Considerando-se as dimensões da caixa como 2 m. × x m. × y m temos:

x y xyV

x xxA x xA xyxA

mínimo. de ponto é 2 30 x A x xA x x xxxxA x xxxxA

27. Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos medindo 9 cm e 12 cm. Encontrar as dimensões do retângulo com maior área, supondo que sua posição é dada na figura a seguir.

422 Considerando-se x e y as dimensões do retângulo, temos:

máximo.depontoé 60 4 yA A y yA yyyyxyA yyx yx

Assim, temos que as dimensões do retângulo são: .65,4cmcm×

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