Respostas - Calculo A  - Cap 5 e - Flemming e Gonçalves

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5.16 – EXERCÍCIO – pg. 239 1. Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções:

No ponto 0=c:

No ponto1=c:

xxxxxe xexexexexeexP

x x x x x

exf exf exf exf x V x IV x x exf exf exf eexf exf

x xe xexexe xee xexexe xeexP

Para 2=c:

x xe xexexe xeexP

x xxf x xxf x xxf x xxf x xf

Para 0=c:

fxsenxf fxxf fxsenxf fxxf pipipipi xxxxxP

xxf xsenxf xxf xsenxf xxf xsenxf

Para 0=c:

Para 2 pipipi pipipi x xxxxP

xf

x xf x xf x xf x xf

Para 0=c:

Para 1=c:

x xxxxxP

2. Encontrar o polinômio de Taylor de grau n no ponto c e escrever a função que define o resto na forma de Lagrange, das seguintes funções:

eexy e senhxy eexy e senhxy eexy xxxP

. e 0 entre n um éonde !5 )( xzx senhzxR x zfxR tgxxxtgtgxxxtgxxxy ytgxxtgxxxy ytgxxy yxy ytgxy pi pi pi pi

pi pi pi pi x ztgztgzzxR x x x xxP

yxy yxy yxy yxy x xxxxP

z xR x x x x x x x exxeexy eexexy xexexxey exe xexey xey ey

y y y y y xzzzexR x x xxxP

3. Usando o resultado encontrado no exercício 1, item (c), com 0=c, determinar um valor aproximado para 0,5ln . Fazer uma estimativa para o erro.

z x xz xR xxxxxP

z z z z z

= z R

4. Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função cos1 x f(x) += no ponto pi=c. Usar este polinômio para determinar um valor aproximado para 6/5cospi. Fazer uma estimativa para o erro.

senxxf fxxf fsenxxf fxxf fsenxxf fxxf fsenxxf fxxf v v pi pi pi pi pi pi pi pipipi x xxxxP

5 cos pipipipipi pipi pipipi x xfx pi pi pi pipi senz senzR x senzxR

5. Demonstrar que a diferença entre sen(ha+) e ahasencos+ é menor ou igual a

senxy xy senxy haRahsenahasen haRahaasenahasen xRaxasenasenx

senz h senz h hsenzhaR hsenzhaR

6. Um fio delgado, pela ação da gravidade, assume a forma da catenária

.x cosh a y a =Demonstrar que, para valores pequenos de ||x, a forma que o fio toma pode ser representada, aproximadamente, pela parábola .

aya xha ya x senha x senha ay aya xay

x a xa axP

7. Pesquisar máximos e mínimos das seguintes funções: a) 42)(−=xxf mínimos. nem máximos críticos pontos2)( ∃/ x x xxf

mínimo de ponto é 12

xKf f xxf xxf xxf

inflexão. de ponto é2 )( x kxf xkxf xkxf xkxf xkxf xkxf xxf x x xxxf xxxf

máximo de ponto é 0 xxf xxxf xxxf

mínimo. de ponto é 0 mínimo. de ponto é 0

x x x x x x xxxf xf xf xf xxf

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