Variaveis Complexas - Geraldo Ávila

Variaveis Complexas - Geraldo Ávila

(Parte 1 de 4)

Varidveis Complexas e

Aplica{:oes

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Varidveis Complexas e Aplica{;(jes

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Variaveis Complexas e AplicaQoes

Terceira edi<;iio

Geraldo Avila o autor e a editora empenharam-se para cilar adequadamenle e dar 0 devido cr&iilo a tOOos os detenlores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro, dispondo- se a posslveis acertos caso, inadvenidamenle, a de algum deles teoha sido nmilida,

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Capa: Silvana Mallievich

CLP·BRASlL. CATALOGACAO.NA •• 'ONTE SlNDlCATO NACIONAL DOS EDiTORES DE LlVROS. RJ.

A972v 3.0.

Avila. Geraldo, 1933- Variaveis complexas e aplica.;iks f Geraldo Avila. -3.ed. -Rio de Janeiro: LTC, 2008.

2024p.

Inclui bibliogrnfia e indice ISBN 978-85-216-1217-9

I. Fde vari6veis complellas. I. Titulo.

08-3559. COD: 515.9 COU; 517.5

Para rneu filho Geraldo, rninha nora Regina e rneus netos Felipe e Carnila

Prefacio

Muitas das aluais leorias matemriticas surgirom do CiiJncia, Aplicada, e s6 depois adqui,"iram aqll.ele aspecto axiomdtico e abstrato que tanto dijicuUa 0 seu apnm.dizado.

V. I. Arnold

A teona das funr.;6es de uma variavel complexa e wna extensao natural da teona das fuw;:oes reais, e e de importiincia fundamental, tanto em matematica pura como nas aplicar,;oes. Teata-se, pois, de disciplina mandat6ria nos curriculos de matematica, fisica e diversos call1OS da engenharia, sobretudo eletronica e aeronautica. o presente Livro roi escrito com vistas a atender ~ necessidades dos estudantes desses v3rlos cursos. Os pre-requisitos sao minimos: apenas tun curso de catculo, cobrindo derivadas e integrais, seqtiencias e series infinitas. 0 POllCO que se requer de derivadas parciais, integrais de linha e integrais duplas pade sec suprido num curso concomitante de caJ.culo de v3rias variaveis.

A enCase da exposir.;ao esta no desenvolvimento dos metodos e tecnicas da teoria. 0 fomlalismo e 0 rigor sao reduzidos a urn minimo, como convem num primeiro curso, para facilitar 0 aprendizado. decOrTenda natural do que diz Arnold, eminente matematico russo da atualidade.

lnsistimos em que 0 texto e apropriado tanto a matematicos aplicados. fisicos e engenheiros, como a estudantes que pretendam se dedicar a matematica enl si, como carreira de ensino ou pesquisa. De fato, as necessidades de todos esses alunos sao as mesmas: eles precisam adquirir familiaridade com a f6mlUia de Cauchy e suas conseqtiencias, com as series de Taylor e de Laurent, com 0 c8.lculo de residuos e aplica<;6es. 56 depois e que est.arli.o preparados para apreciar devidamente urn tratamento rigoroso do teorema de Cauchy-Goursat ou estudar t6picos especiais da teoria.

Os cineo primeiros capftulos cabem muito bern num curso de unl semestre. 0 Capitula 5, sabre singularidades isoJadas e cAlcuJa de residuos, completa 0 Que pade ser considerado conteudo minima de unl curso introdut6rio. o Capitulo 7 versa sobre dinamica dos fluidos e aerodinarnica, e e in- dependente do Capitulo 6, sobre continua<;ao analitiea. Sem nos estendennos muito nurn assunto que pode rapidamente tomar-se bastante tecnieo, logramos, todavia, chegar ~ ideias centrais da teoria de Kutta- viii / Pr(ffido

Joukovski, apresentando, inclusive, 0 cAlculo da de levantamento que se exerce numa asa de aviao. 0 tratanlento que fazemos ~ dlreto e completo, abordwldo uma aplica~ao de largo aJcance e que certamente hA de interessar ao leitor curioso.

No Capitulo 6 apresentamos os resultados mais importantes sobre continuacao analftica, n~Oes elementares das superficies de Riemwm e propnedades da fWl~ao gama 0 Capitulo 8 dedicado a represent.acAo confonne. com algumas aplica~Oes a teona do potencial e a eletros- tiitica. Aqui 0 lei tor vern que v<irias passagens do Capitulo 7 sao excm- plos de representacao confonl1e; e que esses t6picos puderam ser apresentados nesse capitulo sem necessidade de desenvolver toda a leona da confonne.

Escnto pnmeiramente em 1974, 0 livro teve uma segunda edi~30 em 1990, e agora esta terceira com a maior revisao feita. 0 maior acr~scimo de ma~na nova, tanto exemplos e exerdcios como os t6picos dos Capitu]os 6 e 8.

Queremos, por f1m, agradecer aos dirigentes e aos dedicados fWlcionanos da LTC Edilora pelo continuado interesse e apoioao nosso trabalho.

Geraldo Avila Brasilia, janei1u de 2000 viii / Prfifdcio

Joukovski, apresentando, inclusive, 0 cAlculo da for(:a de levanta.mento que se exerce nwna asa de avU\o. 0 tratamento que razemos e direto e completo, abordwldo uma aplica<;ao de largo alcwlce e que certamente hA de interessar ao leitor curioso.

No Capitulo 6 apresentamos os resultados mais importantes sobre continua<;Ao analitica, no<;Oes elementares das superficies de Riemann e propnedades da fun<;ao gama 0 Capitulo 8 e dedicado a representa- <;30 conforme, com algumas aplica<;Oes a teoria do potencial e a eletros- tatica. Aqui 0 lei tor vera que vArlas passagens do Capitulo 7 sao exem- plos de representa~ao confonne; e que esses t6picos puderam ser apresentados nesse capitulo sem necessidade de desenvolver toda a teona da representa<;Ao conforme.

Escrito pnmeiramente em 1974, 0 livro teve uma segunda edit;ao em 1990, e agora esta Lerceira edi<;ao, com a maior revtsao feita, 0 maior acr~imo de ma~ria nova, tanto exemplos e exerclcios como os t6picos dos CapftuJos 6 e 8.

Queremos, por fim, agradecer aos dirigentes e aos dedicados funcionArios da LTC Editor.:! pelo continuado interesse e apoloao nosso trabalho.

Geraldo Avila Brnsflia, janei'ITJ de 2000

Sobre 0 Autor

Gera1do Severo de Souza Avila roi professor no Instituto Tecnol6gico de Aeronautica, no lnstituto de Fisica Te6rica de Sao Paulo (UNESP). nas

Universidades de Wisconsin. Georgetown (em Washington, D. C.), Brasilia., na Unicamp e na Universidade FedpnU de Goms. Dacharel e li- cenciado em Matematica pela USP, mestre e doutor pela Universidade de Nova York (NYU), e membro titular da Academia Brasileira de Ciencias e da Academia de Ciencias do Estado de sao Paulo. Foi presidente da Sociedade Brasileira de Matematica por dois anos. E autor de vArios trabalhos de pesquisa e monogr-afias especializadas na area de equaJ;Oes diferenciais parciais e propaga~iio ondulat6ria, aJem de tenos universitArios e artigos de ensmo e ctivulgac;ao.

Sobre 0 Autor

Gera1do Severo de Souza Avila foi professor no Instituto Tecnol6gico de Aeronautica, no lnstituto de Fi'sica Te6rica de sao Paulo (UNESP). nas

Universidades de Wisconsin. Georgetown (em Washington, D. C.), Brasilia, na Unicamp e oa Universidade Fedpral de Goias. Dacharel e li- cenri~do em Matemauca pela USP, mestre e doutor pela Universidade de Nova York (NYU), e membra titular da Academia Brasileira de Ciencias e da Academia de Ciencias do Estado de sao Paulo. Foi presidente da Sociedade Brasileira de Matematica par dais anos. E autor de vanos trabalhos de pesquisa e monogrnfias especializadas na area de equac;Oes diferenciais parciais e propagac;ao ondulat6rla, aJem de textos universitArios e artigos de ensina e divulgac;ao.

CAPiTULO 1 NUMEROSCOMPLEXOS

Sumfuio

Necessidade dos mlmeros complexos1
Nl1meros complexos2
Os reals como subcorpo dos complexos3
o plano compJexQ4
M6duIo e complexo conju,gado6
Exercfcios7
RepresentacAo polar8
F6nnulas do produto e do qUOCiente9
F6rmula de De Moivre1
Exerci cios1
Respostas e sugestOes12
Propriedades do valor absoluto13
Exercicios15
RaIzes15
Ratzes da unidade16
RaIzes primitivas18
Exercfcios19
Respostas, sugestoes e solul,;:OE!s20
A exponencial21
Propriedades da exponencial2
Exercfcios24
Respostas, sugestOes e soluC;OE!s25
Conjuntos de pontos no plano26
Exercfcios31
Respostas e sugestOes3

CAPiTULO 2

Func;OE!s de varilivel complexa34
Exercicios36
Lintite e continuidade36
Exe rcfc10s42
SugestOE!s43
Propriedades do lintite4

FUNC;;OES ANALITICAS Exercfcios ................................................................................................... 47

SugestOes e48 analitica .............................................................................................. 49
Regras de deriva~o51
Exe rcfcios52
SugestOes53
As de Cauchy·Rielnann53 necess!iria e suficiente .............................................................. 5
Cauchy· Riemann em coordenadas polares57
Int.erpretacA o59
A exponenclal61
Excrcfcios62
As funt;Oes e hiperb6licas63
Exercfcio s64
o logaritmo65
o logariuno como transfonna~o e sua inversa67
Propriedades do logariuno69
Defi niCAo de Z"70
As funCOes inversas72
Exe rcfcios73
ResposlaS e sugestOes74

xii I Sumdrio

CAPiTULO 3

Arcos e contornos75
Teorema de Jordan e coneclividade simples7
Arco regular e contornos78
Exercf cios79
lntegral de conLOnlO79
Integral cwvillnea ou de contonlO81
InvariAncia da int egral81
Prop riedades da int egral82
Exerdcios86
Respostas e sugestOes8
Teor enla de Cauchy89
Teorema de Green89
T eoren13 de Cauchy91
Integrais de contomo e prirnitivas93
Exercfcios9
SugestOes101
F6rmula integral de Cauchy101
Derivadas de toclas as ordens103
Exercfcios107
Respostas e sugestOes109
FuncOes hann Orticas109
FunhannOnica detennina funCAo anal1ticaI
RegiOes mult.lplamente conexas112
Principlo do m6dulo maximo113
Problemas de Dirichlet e de Neumann114
Exercfcios116

TEORLA DA INTEGRAL Respostas .................................................................................................... 117

Sumdrio I xiii

CAPiTULO 4

Series de complexas118
Convergl!:ncia simples ou pontual119
Convergencia unifonne120
Exerdcios125
SugestCles127
Series de potl!:ncias127
Exercicios132
Respostas e sugestoes132
Series de potl!:ncias, sene de Taylor133
Exemplos de series de potl!:ncias136
Produto e quociente de series de poti!:ncias138
Exercfcios142
Sugestoes144
Serle de Laurent144
ReguJaridade no inJInito147
Zeros de analfLicas147
Exerdcios149

CAPiTULO 5

SinguJaridades isoladas
SinguJaridades removfveis
SinguJaridades do tipo p610
Singularidades essenciais
Exercicios
Respostas
Teorema do residua
Exercfcios
Respostas e sugestOes

SINGULARIDADES E RESIDUOS lntegrais impr6pnas de func;Oes racionaJ.s

Exercfcios
Respostas e sugestl"les
Lema de Jordan
Respostas e sugestoes
lntegrandos muJtivalentes
Exerdcios
lntegrais envolvendo trigonometricas
Exercicios

Exerdcios

Exercfcios

Residuos logaril.micos e prindpio do argumento

CAPiTULO 6

Primeiras conseqUencias

CONTINUAQAO ANALfTICA Permanencia das relac;oes funcionais

151
152
153
154
156
157
157
160
161
161
163
164
164
168
169
169
173
173
174
175
178
181

Sumdrio I xiii

CAPiTULO 4

Series de complexas118
Convergj:!ncia simples ou pontual119
Conve rgencia wtiforITle120
Exercfcios125
Sugestoes127
Series de potencias127
Exercfcios132
Respostas e sugestOes132
Series de potencias, serie de Taylor133
Exemplos de series de potencias136
Produto e quociente de series de potencias138
Exercfcios142
SugestOes144
Serie de Laure n t144
Regularidade no infinito147
Zeros de analfticas147
Exercicios149

CAPiTULO 5

Singularidades isoladas151
. Singularidades removfveis152
Singularidades do tipo p610153
Singularidades essenciais154
Exercfc ios156
Respostas157
Teorema do residua157
Exercicios160
Respostas e sugestOes16 1
lntegrais impr6prias de racionrus161
Exe rclcios163
Respostas e sugestoes164
Lema de Jordan164
Exerclcios168
Respostas e sugestoes169
Integrandos muitivaientes169
Exe rclcios173
Integrais envolvendo trigonometricas173
Exerclcios174
Reslduos logarfl.micos e principio do argumento175
Exerclcios178

CAPiTULO 6

Primeiras conseqOencias181

CONTINUAvAO ANALfTICA Permanencia das funcionais

Continuac;ao analitica par reflexao183
Exercfcios185
Respostas e sugestoes186

xiv / Suma1'io

Sin gularidades189
Continuac;ao analHica por cadeias192
Superficies de Riemann193
Exe rcfcios197
Funr;oes analiticas definidas pOl' integrais, ................ 198
A fW19ao garna200
Continua<;ao analitica a todo 0 plano201
Exercicios202

Continuar;a.o analitica e singularidades .187

CAPiTULO 7

Os movimentos fluidos a considerar204
Conservac;ao cla massa205
Escoamentos irrotacionais209
As fun<yoes po tenciais210
Exemplos basi cos212
Exercicios215
Fontes, surn..idouros e v6rtices215
Exercf cios220
Escoamento em volta de lUll cilindro circular221
Exerclcios,........ . ................................... 225
Escoarnento em volta de urn cjlindro qualquer225
A dinamica do movirnento226
FOf<ya sobre urn cilindro e f6rmula de Blasius229
F6rmula de Kutta-Joukovski231
A transformac;ao de Mdbius232
Exer cfc ios234
Sugest6es235
A tl'ansformac;ao de Joukovski235
o potencial complexo apropdado ao perfIl de Joukovski238
Os paradoxos da leona242

CAPiTULO 8

Considerac;:oes preliminares245
Repre sentac;ao confo rm e245
hwariancia da equac;:ao de Laplace248
Ex erc lcios248
Inversao local e invers:ao global249
ln versao global25 1
Exercfcios ,, .......................................... 253
A transformac;:ao de Mobius253
A razao Cf1.1Zada256

REPRESENTAQAo CONFORME E A.PLICAc;:OES Exercfcios ................................................................. .. ............ .... ................ 259

Potencial eletrostatico260
Os potenciais escalares261
A transforrnaGao w = z + ez262
o condensador de placas paralelas263
Exercfcios265
Referencias e Bibliografia267

Capitulo 1 NUMEROS COMPLEXOS

Os numeros complexos sao comumente estudados nos cursos de Algebra, ou em cursos que tratam das construr;6es numericas, ai incluidos os numeros inteiros, racionais e reais. Vamos fazer aqui uma apresentar;ao desses numeros, mais do ponto de vista pnitico, sem maiores preocupar;6es com os detalhes da teoria. Como se sabe, as raizes de uma equar;ao do 2. grau, ax2 + bx + c = 0, sao dadas pela conhecida formula:

-b ± Vb2 -4ac x= 2a

Obtemos, efetivamente, duas raizes, quando 0 discriminante b2 -4ac e positivo e apenas uma se ele for nulo.

Quando 0 discriminante e negativo, a formula acima nao conduz a nenhuma raiz real. Neste caso, 0 trinomio ax2 + bx + c e sempre diferente de zero, qualquer que seja 0 valor real que se atribua a x. Por exemplo, se tentarmos resolver a equar;ao somos levados a x= x2 -6x + 13 = 0,

6 ± V36 -4 . 1 . 13 2 6±V-I6 2

2 Capitulo 1: Numeros complexos que nao represent a numero real algum. No entanto, se operarmos formalmente, como se A fosse urn numero, obteremos:

x= 6±JI6(-I) = 6±4A =3±2H 22· , ou seja, Xl = 3 + 2A e x" = 3 -2A. Vamos substituir esses "numeros" na equac;ao original para verificar se eles sao realmente raizes. Ao fazermos isto, devemos tratar 0 simbolo A como se ele fosse mesmo urn numero; em particular, seu quadrado deve ser -1: (A)2 = -1. Teremos:

(xl)2 -6Xl + 13 = (3 + 2H)2 -6(3 + 2H) + 13

= 9 + 12H + 4( -1) -18 -12H + 13 = 0. Do mesmo modo, verificamos que x" tambem e raiz.

N umeros complexos

Dessas considerac;oes segue-se que e possivel resolver a equac;ao do 2 grau mesmo no caso em que b2 -4ac < 0, se operarmos com 0 simbolo i = A como se fosse urn numerol. Ele deve ter a propriedade de que i2 = -1 e deve operar ao lado dos numeros reais com as mesmas leis formais que regem estes numeros. Somos assim levados a introduzir os numeros complexos como sendo os numeros da forma a + bi, como

3 + 5i,

2 . --2 o novo elemento i = A e chamado unidade imaginaria; a e chamado de parte real e b de parte imaginaria do numero complexo a + bi.

INa verdade, a motiva<;ao maior para a aceita<;ao dos numeros complexos ocorreu no seculo XVI, quando os matematicos descobriram a formula geral de resolu<;ao de equa<;6es do 32 grau. Aplicada a equa<;ao x3 -15x -4 = 0, essa formula se reduz a

Sabendo que x = 4 e raiz, percebeu-se que as raizes cubicas ai indicadas devem ser (2 + A) e (-2 + A), respectivamente, 0 que se comprova elevando-as ao cuba e operando formalmente. Como tal procedimentos permitia obter a raiz x = 4 pela formula, ficou evidente que tal interpreta<;ao deveria ser aceita. Portanto, os numeros complexos entraram na Matematica pela equa<;ao do 32 grau, nao do 2.

Capitulo 1: Numeros complexos 3

Vemos assim que, ao introduzirmos os mimeros complexos, devemos definir adi<;;ao e multiplica<;;ao de maneira que permane<;;am vaIidas as propriedades associativa, comutativa e distributiva que essas opera<;;oes possuem quando referidas aos mimeros reais. Assim, os mimeros complexos ficam determinados pelas seguintes regras:

az = W; a + bi = e + di significa a = e, b = d;

(a + bi) + (e + di) = (a + e) + (b + d)i; (a + bi)(e + di) = (ac -bd) + (ad + bc)i.

o leitor deve notar que a defini<;;ao de multiplica<;;ao e motivada pelo que obteriamos operando formalmente, assim:

(a + bi)(e + di) = ae + adi + bie + bidi = (ae -bd) + (ad + bc)i.

Vejamos alguns exemplos de opera<;;6es com mimeros complexos: (-5 + 7i) + (3 -12i) = -2 -5i; (1 -5i)(3 + 2i) = (3 + 10) + (2 -15)i = 13 -13i = 13(1 -i); vI2(_l_ -iJ50) = ! -iv'loO = ! -Wi. v'I8 3 3

A subtra9ao de mimeros complexos e definida em termos da adi<;;ao e do oposto de urn mimero. Ooposto de z = x+iy e 0 mimero -z = (-x)+i( -V).

Dados entao Zl = Xl + iYI e Z2 = x2 + iY2, definimos:

Os reais como subcorpo dos complexos

Observe que os mimeros complexos da forma a + iO se comportam, com rela<;;ao a adi<;;ao e a multiplica<;;ao, do mesmo modo que os mimeros reais a; em outras palavras, fazendo corresponder 0 mimero complexo a + iO ao mimero real a, entao a soma a+b correspondeni (a+b) +iO, que e 0 mesmo que (a + iO) + (b + iO); e ao produto ab correspondeni ab + iO, que e 0

4 Capitulo 1: Numeros complexos mesmo que (a+iO)(b+iO). Isso quer dizer que somar e multiplicar numeros reais equivale, pela correspondencia a I--------t a + iO, a somar e multiplicar, respectivamente, os numeros complexos correspondentes, 0 que nos permite identificar 0 numero real a com 0 numero complexo a + iO, ja que, do ponto de vista da adi<;ao e da multiplica<;ao, seu comportamento e 0 mesmo. Deste modo, os numeros complexos se apresentam como uma extensao natural dos numeros reais.

o plano complexo

Dado 0 numero complexo z = x + iy, sua parte real x e denotada por Re z, e sua parte imaginaria y, por 1m z. 0 plano complexo e 0 conjunto das representa<;oes de todos os numeros complexos z = x + iy pelos pontos p = (x, y) do plano. E conveniente identificar 0 numero complexo z = x+iy com 0 ponto P = (x, y), 0 que e possivel atraves das seguintes defini<;oes:

(a, b) = (c, d) significa a = c, b = d;

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); (a, b)(c, d) = (ac -bd, ad + bc). E facil ver entao que a = (a, 0) e i = (0, 1).

z = x + iy

2 -2i Fig. 1.1

Capitulo 1: Numeros complexos 5

A representac;ao dos numeros complexos por pontos do plano e muito util e de uso freqiiente. Por meio dela, 0 numero complexo z = x + iy e identificado com 0 ponto (x, y), ou com 0 vetor Oz de componentes x e y (Fig. 1.1). As conhecidas regras do paralelogramo para a soma e subtrac;ao de vetores se aplicam, entao, no caso de soma e subtrac;ao de numeros complexos (Figs. 1.2 e 1.3).

Z2 "", T Y

X, Fig. 1.2

Fig. 1.3

6 Capitulo 1: Numeros complexos

Modulo e complexo conjugado

Definimos 0 modulo, valor absoluto ou norma de urn numero complexo z = x + iy como sendo 0 numero nao-negativo Izl = vx2 + y2. Como se ve, ele e a distancia do ponto z it origem. o complexo conjugado de z = x + iy e definido como sendo z = x -iy. A Fig. 1.4 ilustra exemplos de complexos conjugados.

z = x + iy

Z= x -iy

Fig. 1.4

Em termos do modulo e do conjugado, temos: z = (x + iy)(x -iy) = (x2 + y2) + i( -xy + yx) = x2 + y2, isto e, z = Iz12. Esta propriedade permite calcular 0 quociente z = zI/ Z2 de dois numeros complexos Zl e Z2, Z2 =I-0, que e definido pela condi~ao ZZ2 = Zl· Para isso, basta multiplicar 0 numerador e 0 denominador pelo complexo conjugado do denominador. Exemplos:

-3 + i _ (-3 + i)(l + 2i) _ -5 -5i _ -1 _ i 1 -2i -(1 -2i)(1 + 2i) -12 + 2 -.

(Parte 1 de 4)

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