Universidade Federal Fluminense Instituto de Matematica e Estatıstica Departamento de Matematica Aplicada

Calculo 3A – Lista 1 Exercıcio 1: Calcule as seguintes integrais duplas:

D x dxdy na regiao D compreendida entre as curvas y = x2, y = 0 e x = 1.

y dxdy, onde D e a regiao limitada pelas retas y = x, y = 2x, x = 1 e x = 2.

Solucao: a) O esboco de D esta representado na figura que se segue.

Como D e um retangulo com os lados paralelos aos eixos coordenados entao 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1. Pelo teorema de Fubini, o valor da integral dupla pode ser obtido de qualquer uma das integrais dxdy ou dydx.

Usando a primeira delas, temos:∫∫

dxdy =

1 x dxdy = arctg y ]1 pi4

3pi b) O esboco de D esta representado na figura que se segue.

Calculo 3A Lista 1 2

Como D e diferente de um retangulo com lados paralelos aos eixos coordenados, entao devemos enquadrar D como uma regiao do tipo I ou do tipo I.

Solucao 1 Vamos descrever D como tipo I. Seja (x,y) ∈ D. Entao tracamos uma reta vertical por (x,y).

Vemos que esta vertical corta a fronteira inferior de D no eixo x, onde y = 0, e a fronteira superior de D na parabola y = x2. Entao, 0 ≤ y ≤ x2. Projetando a regiao D sobre o eixo x, encontramos o intervalo fechado [0,1]. Entao, 0 ≤ x ≤ 1. Portanto D = {(x,y); 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2}.

Temos entao que: ∫∫

0 x dydx =

Calculo 3A Lista 1 3

Observacao: A integral do lado direito de uma integral dupla e uma integral iterada, onde a primeira integral definida indicada devera ter limites de integracao constantes pois o valor da integral dupla sera um numero real.

Solucao 2 Vamos descrever D como tipo I. Entao tracamos uma reta horizontal por (x,y) ∈ D.

Vemos que esta horizontal corta a fronteira da esquerda na parabola x = √ y e a fronteira da direita na reta x = 1. Entao √y ≤ x ≤ 1. Projetando D sobre o

Portanto: ∫∫ c) O esboco de D esta representado na figura que se segue.

Calculo 3A Lista 1 4

Da figura vemos que a fronteira inferior e a reta y = x e a fronteira superior e a reta y = 2x. Entao x ≤ y ≤ 2x. Como a projecao de D sobre o eixo x e o intervalo fechado [1,2], entao 1 ≤ x ≤ 2. Temos entao que D = {(x,y); 1 ≤ x ≤ 2,x ≤ y ≤ 2x}.

Portanto: ∫∫ y dxdy = x x y dydx = dydx = x[ lny x dx = xln 2x x dx =

Observacao: Podemos tambem enquadrar D como tipo I, porem com uma complicacao adicional: a fronteira direita de D e a reta x = 1 e a fronteira esquerda de D e constituıda de duas partes, a reta y = x abaixo da reta y = 2 e a reta y = 2x acima de y = 2. Entao e necessario decompor D

y dxdy = y dxdy + y dxdy .

Projetando D1 sobre o eixo y, temos 1 ≤ y ≤ 2. A regiao D1 e limitada a esquerda por x = 1 e a direita pela reta x = y. Logo, 1 ≤ x ≤ y. Entao D1 = {(x,y); 1 ≤ y ≤ 2,1 ≤ x ≤ y}. Assim:∫∫ y dxdy = dxdy =

1 x dxdy =

Calculo 3A Lista 1 5

y dxdy = dxdy =

Portanto: ∫ ∫

D x y e, assim, obtivemos o mesmo resultado anterior.

Exercıcio 2: Esboce a regiao de integracao e troque a ordem de integracao em:

Solucao:

a) A regiao de integracao e dada por D : { 0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ x (tipo I). Logo, D e limitada pelas retas verticais x = 0 (eixo y) e x = 1; limitada inferiormente pela reta y = 0 (eixo x) e superiormente pela reta y = x. Assim, o esboco da regiao D esta representado pela figura que se segue.

Calculo 3A Lista 1 6

Para inverter a ordem de integracao devemos descrever D como regiao do tipo I.

entra em x = y sai em x = 1

Vemos que D esta compreendida entre as retas horizontais y = 0 e y = 1. Considerando uma reta horizontal no interior de D, vemos que ela entra em D em x = y e sai de D em x = 1. Entao,

b) A regiao de integracao e dada por D : { 0 ≤ y ≤ 1−√y ≤ x ≤ √y (tipo I). Logo, D e limitada pelas retas horizontais y = 0 (eixo x) e y = 1. Pela esquerda D e limitada pela curva x = −√ y e pela direita pela curva x = √ y. De x = ±√ y temos y = x2. Assim, o esboco da regiao D esta representado pela figura que se segue.

Descricao de D como regiao do tipo I

Vemos que D esta compreendida entre as retas verticais x = −1 e x = 1. Considerando uma reta vertical no interior de D, diferente do eixo y, vemos que ela entra em D em y = x2 e sai de D em y = 1.

Calculo 3A Lista 1 7

D entra em y = x2 sai em y = 1

c) A regiao de integracao D e dada por D : { 0 ≤ x ≤ 1

2x ≤ y ≤ x+1 (tipo I). Logo, D esta compreendida entre as retas verticais x = 0 e x = 1. E limitada inferiormente pela reta y = 2x (ou x = y/2) e superiormente pela reta y = x + 1 (ou x = y − 1). Assim, o esboco da regiao D esta representado pela figura que se segue.

Como D e limitada pela esquerda por duas curvas x = 0 e a reta y = x+1, concluımos que D nao e do tipo I. Mas podemos olhar para D como reuniao de duas regioes do tipo I, isto e, D = D1 ∪D2.

Temos que D1 esta compreendida entre as retas horizontais y = 0 e y = 1 e toda reta horizontal no interior de D1 entra em D1 em x = 0 e sai de D1 em x = y/2. Logo D1 : { 0 ≤ y ≤ 1

Temos que D2 esta compreendida entre as retas horizontais y = 1 e y = 2 e qualquer reta horizontal no interior de D2 entra em D2 em x = y−1 e sai de D2 em x = y/2. Logo D2 : { 1 ≤ y ≤ 2

Calculo 3A Lista 1 8 entra em x = y − 1 sai em x = y/2

sai em x = y/2entra em x = 0 1 d) A regiao de integracao e dada por D : { 0 ≤ y ≤ 1 endida entre as retas horizontais y = 0 (eixo x) e y = 1. De y − 1 ≤ x ≤ 2 − 2y, vemos que D esta limitada a esquerda pela reta x = y − 1 (ou y = x + 1) e a direita pela reta x = 2 − 2y (ou y = (2 − x)/2). Assim, o esboco da regiao D esta representado pela figura que se segue.

D1 D2 entra em y = 0entra em y = 0 sai em y = x + 1

Como a fronteira superior de D e formada por duas retas x = y −1 e x = 2−2y, vemos que D nao e do tipo I. Mas D = D1 ∪ D2, onde D1 e D2 sao do tipo I.

Vemos que D1 esta compreendida entre as retas verticais x = −1 e x = 0 e qualquer reta vertical no interior de D1 entra em D1 em y = 0 e sai de D1 em y = x+1. Logo D1 : { −1 ≤ x ≤ 0

Vemos que D2 esta compreendida entre as retas verticais x = 0 e x = 2 e qualquer reta vertical no in-

Exercıcio 3: Invertendo a ordem de integracao, calcule:

seny y dydx c) ey3 dydx

Calculo 3A Lista 1 9

y x2exydxdy d) dydx

Solucao:

a) A regiao de integracao D e dada por D : { 0 ≤ x ≤ pi x ≤ y ≤ pi (tipo I). De 0 ≤ x ≤ pi vemos que D esta compreendida entre as retas verticais x = 0 (eixo y) e x = pi. De x ≤ y ≤ pi vemos que D esta limitada inferiormente pela reta y = x e superiormente pela reta y = pi. Assim, o esboco de D esta representado na figura que se segue.

D pi

Descricao de D como uma regiao do tipo I

Vemos que D esta compreendida entre as retas horizontais y = 0 (eixo x) e y = pi e qualquer reta horizontal no interior de D entra em D em x = 0 e sai de D em x = y.

D entra em x = 0 sai em x = ypi

seny y dydx = seny y dxdy =

∫ pi

0 senyy

0 senyy

∫ pi seny dy = [ − cosy ]pi b) A regiao de integracao D e dada por D : { 0 ≤ y ≤ 1

esta compreendida entre as retas horizontais y = 0 (eixo x) e y = 1. De y ≤ x ≤ 1 vemos que D esta limitada a esquerda pela reta x = y e a direita pela reta x = 1. Assim, o esboco de D esta representado na figura que se segue.

Descricao de D como uma regiao do tipo I

Calculo 3A Lista 1 10

Vemos que D esta compreendida entre as retas verticais x = 0 (eixo y) e x = 1. Logo 0 ≤ x ≤ 1. Vemos tambem que D esta limitada inferiormente pela reta y = 0 e superiormente pela reta y = x.

0 x2exy dydx =

xex2 dx− c) A regiao de integracao D e dada por D : { 0 ≤x≤3√

esta compreendida entre as retas verticais x = 0 (eixo y) e x = 3. De √ x3 ≤ y ≤ 1 vemos que D

esta limitada inferiormente pela curva y =

3 (ou x = 3y2, com y ≥ 0) e limitada superiormente pela reta y = 1. Assim, o esboco de D esta representado na figura que se segue.

Descricao de D como uma regiao do tipo I

Vemos que D esta compreendida entre as retas horizontais y = 0 (eixo x) e y = 1. Logo 0 ≤ y ≤ 1. Considerando uma reta horizontal no interior de D vemos que ela entra em D em x = 0 e sai de D

Calculo 3A Lista 1 1 ey3 dydx = ey3 dxdy =

D esta compreendida entre as retas verticais x = 0 e x = 8. De 3√x ≤ y ≤ 2, vemos que D esta limitada inferiormente pela curva y = 3√ x (ou x = y3) e superiormente pela reta y = 2. Assim, o esboco de D esta representado na figura a seguir.

Descricao de D como regiao do tipo I

Vemos que D esta compreendida entre retas horizontais y = 0 e y = 2. Vemos, tambem, que qualquer reta horizontal no interior de D entra na regiao em x = 0 e sai da regiao em x = y3.

D entra em x = 0

sai em x = y3

dydx = dxdy =

Calculo 3A Lista 1 12

Exercıcio 4: Em cada caso calcule, por integral dupla, a area da regiao D do plano xy delimitada pelas curvas indicadas.

Solucao:

a) De y = x3 e x + y = 2 temos que x3 + x − 2 = 0 donde x = 1. Logo, a intersecao ocorre em (1,1). O esboco da regiao D esta representado pela figura que se segue.

Descricao de D como uma regiao do tipo I

Vemos que D esta compreendida entre as retas horizontais y = 0 (eixo x) e y = 1. Considerando uma reta horizontal qualquer no interior de D vemos que ela entra em D em x = 3√ y = y1/3 e sai

Como a area de D e dada por A(D) = ∫∫

D dxdy entao:

b) De x = y2 + 1 e x + y = 3 temos y2 + y − 2 = 0 donde y = −2 ou y = 1. Logo, as intersecoes sao (5,−2) e (2,1). Assim, o esboco da regiao D esta representado na figura que se segue.

Calculo 3A Lista 1 13 x y

Descricao de D como uma regiao do tipo I

Vemos que D esta compreendida entre as retas horizontais y = −2 e y = 1. Considerando uma reta horizontal qualquer no interior de D, diferente do eixo x, vemos que ela entra em D em x = y2 + 1

c) O esboco da regiao D esta representado na figura a seguir.

x y

D entra em y = x− 1 sai em y = x2

Descricao de D como uma regiao do tipo I

Vemos que D esta limitada entre as retas verticais x = −1 e x = 1. Vemos tambem que qualquer reta vertical no interior de D, diferente do eixo y, entra em D em y = x − 1 e sai de D em y = x2.

Calculo 3A Lista 1 14

Exercıcio 5: Calcule o volume do solido W, no primeiro octante, limitado pelo cilindro parabolico z = 4 − x2 e pelos planos x + y = 2, x = 0, y = 0 e z = 0.

Solucao: Vamos fazer o esboco, no primeiro octante, da superfıcie de equacao z = 4 − x2 dita cilindro parabolico.

No plano xz tracamos o arco de parabola z = 4 − x2, com x ≥ 0 e z ≥ 0. Como esta equacao nao depende da variavel y, entao consideramos, por pontos da parabola, semirretas paralelas ao eixo y.

x y

Agora, vamos fazer o esboco, no primeiro octante, da porcao do plano de equacao x + y = 2.

No plano xy tracamos o segmento de reta x + y = 2 que liga A(2,0,0) a B(0,2,0). Como esta equacao nao depende da variavel z, entao, por pontos do segmento tracamos paralelas ao eixo z.

Calculo 3A Lista 1 15

x y

Vemos que A(2,0,0) e C(0,2,4) sao pontos comuns as duas superfıcies. Entao, a curva intersecao e a curva obtida ligando esses dois pontos. Considerando que o solido e limitado pelos planos x = 0, y = 0 e z = 0, temos que o esboco de W esta representado na figura que se segue.

x y z W

“piso” D

D f(x,y)dxdy, onde f(x,y) = 4 − x2 e D e a seguinte regiao triangular.

D entra em y = 0

Calculo 3A Lista 1 16

Descrevendo D como uma regiao do tipo I temos D : { 0 ≤ x ≤ 2

Exercıcio 6: Esboce o solido no primeiro octante, limitado pelo cilindro x2 + z2 = 1 e pelos planos y = 2x, y = 0 e z = 0 e ache o seu volume.

Solucao: Vamos fazer o esboco, no primeiro octante, da superfıcie de equacao x2 + z2 = 1 dita cilindro circular.

No plano xz tracamos o arco de circunferencia x2+z2 = 1, com x ≥ 0 e z ≥ 0. Como esta equacao nao depende da variavel y, entao consideramos, por pontos do arco, semirretas paralelas ao eixo y.

x y

Calculo 3A Lista 1 17

Agora, vamos fazer o esboco, no primeiro octante, da porcao do plano y = 2x.

No plano xy tracamos a semirreta y = 2x, com x ≥ 0. Como esta equacao nao depende da variavel z, entao, por pontos da semirreta tracamos paralelas ao eixo z.

x y z A

Vemos que A(0,0,1) e B(1,2,0) sao pontos comuns as duas superfıcies. Entao, a curva intersecao e obtida ligando-os. Considerando que W e limitado pelos planos y = 0 e z = 0, temos que o esboco de W esta representado na figura que se segue.

x y

“piso” D entra em y = 0 sai em y = 2x1

Temos que onde D, como tipo I, e dado por D : { 0 ≤ x ≤ 1

Calculo 3A Lista 1 18

Exercıcio 7: Seja V o volume de um solido delimitado pelo cilindro parabolico z = 8 − 2y2 e pelos planos x = 0, x = 8 e z = 0. Calcule V .

Solucao: Inicialmente tracamos, no plano yz, a parabola z = 8 − 2y2. Como esta equacao nao depende da variavel x, entao por pontos da parabola, consideremos retas paralelas ao eixo x. Considerando que o solido e limitado pelos planos x = 0, x = 8 e z = 0, temos que o esboco do solido W esta representado na figura que se segue.

x y

W “piso” D

Portanto:

Exercıcio 8: Calcule o volume do solido W delimitado pelas superfıcies y = x2, y = 4, z = 0 e z = 4.

Solucao: No plano xy esbocamos a parabola y = x2. Como esta equacao nao depende da variavel z, entao por pontos da parabola tracamos retas paralelas ao eixo z. Considerando que o solido e limitado pelos planos z = 0, z = 4 e y = 4, temos que o esboco de W esta representado pela figura que se segue.

Calculo 3A Lista 1 19

x y z W

“piso” D

D entra em y = x2 sai em y = 4

Portanto:

Exercıcio 9: Encontre o volume do solido no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindro parabolico z = 4 − y2.

Solucao: Esboco do solido W no primeiro octante

No plano yz (x = 0) tracamos a parabola z = 4 − y2 com y ≥ 0 e z ≥ 0. Como esta equacao nao depende da variavel x, entao por pontos da parabola tracamos semirretas paralelas ao eixo x, com x ≥ 0, obtendo, assim, o cilindro parabolico. Agora, tracamos o plano vertical x = 3 que intercepta o cilindro parabolico segundo uma curva passando por A = (3,0,4) e B = (3,2,0). Considerando que o solido W e limitado pelos planos coordenados, temos o esboco de W na figura que se segue.

Calculo 3A Lista 1 20

x y z W

Por integral dupla temos:

Exercıcio 10: Use integral dupla para calcular o volume do solido W no primeiro octante, compreendido pelas superfıcies y2 = x, z = 0 e x + z = 1.

Solucao: Para esbocar o plano x + z = 1, desenhamos inicialmente, no plano xz, a reta x + z = 1. Como esta equacao nao contem a variavel y entao consideramos retas paralelas ao eixo y por pontos da reta, obtendo assim o esboco do plano x + z = 1.

x y

Para esbocar a superfıcie da equacao x = y2 (dita cilindro parabolico, pela ausencia da variavel z), desenhamos inicialmente a parabola x = y2 no plano xy e por pontos da parabola consideramos paralelas ao eixo z, pois a equacao x = y2 nao contem a variavel z, obtendo assim o esboco da superfıcie de equacao x = y2.

Calculo 3A Lista 1 21

x y

Observemos que A1 = (1,1,0), A2 = (0,0,1) e A3 = (1,−1,0) sao pontos comuns as duas superfıcies. Portanto, ligando A1, A2 e A3 temos a curva intersecao das duas superfıcies.

x y z W

Considerando que o solido W esta limitado pelo plano z = 0 (plano xy), temos o esboco de W. Vemos que o “teto” de W e o grafico de z = 1 − x e que o “piso” de W e a regiao D dada por:

Calculo 3A Lista 1 2

D Sai em x = 1Entra em x = y2

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