Universidade Federal Fluminense Instituto de Matematica e Estatıstica Departamento de Matematica Aplicada

Calculo 3A – Lista 2

Exercıcio 1: Use a mudanca u = x+y e v = x−y e calcule a integral de f(x,y) = (x+y)2 sen2(x−y) sobre a regiao D : |x| + |y| ≤ pi.

Solucao: O esboco da regiao D esta representado na figura que se segue.

−pi −pi

De u = x+y e v = x−y temos x = u+v

2 . Portanto, o jacobiano da mudanca e dado por:

Como dxdy = |J|dudv entao dxdy = 1 em u2 sen2 v.

Como D e limitada pelas retas x + y = pi, x + y = −pi, x − y = pi e x − y = −pi, entao Duv e limitada pelas retas u = pi, u = −pi, v = pi e v = −pi.

Calculo 3A Lista 2 24

Duv pi

−pi −pi

Assim, pela formula da mudanca de variaveis temos:∫∫

Duv

∫ pi

−pi sen2 v

∫ pi

∫ pi

−pi sen2 v

]pi

−pi

∫ pi

−pi sen2 v dv =

]pi

−pi

Exercıcio 2: Use a mudanca de variaveis u = xy e v = y/x, e calcule a integral dupla ∫∫

2y2)dA, sendo D a regiao do plano xy no primeiro quadrante, delimitada pelas curvas xy = 1, xy = 2, y = x e y = 2x.

Solucao: Se u = xy e v = y/x vemos que uv = y2 e u

outro lado y x

2v dudv .

Calculo 3A Lista 2 25 v Duv

Logo, pela formula de mudanca de variaveis, temos:∫∫

Duv

2v dudv =

Duv

Exercıcio 3: Calcule ∫∫

D xy3 dA da regiao D do primeiro quadrante, limitada por y = x, y = 3x, xy = 1 e xy = 4. Solucao: O esboco da regiao D esta representado na figura que se segue.

v Duv

Com a transformacao u = y/x, v = xy, a regiao D transforma-se na regiao Duv limitada pelas retas UFF IME - GMA

De u = y/x e v = xy temos que uv = y2. Portanto, o integrando xy3 = xy · y2 transforma-se em v · uv = uv2. Assim, da formula da mudanca de variaveis temos:∫∫

Duv

Duv

Duv

Exercıcio 4: Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:

√ x2 + y2 dxdy, sendo D o disco de centro na origem e raio 2.

Solucao: a) O esboco da regiao D esta representado na figura que se segue.

Calculo 3A Lista 2 27 y D

entra em r = 0 sai em r = 2

Em coordenadas polares temos √ x2 +y2 = √ r2 = r e dxdy = rdrdθ.

Descricao de D em coordenadas polares

Efetuando uma “varredura” em D, no sentido anti-horario, a partir do eixo x positivo, vemos que 0 ≤ θ ≤ 2pi.

Considerando um ponto P qualquer no interior de D, vemos que a semirreta entra em D na origem onde r = 0 e sai de D em um ponto da circunferencia onde r = 2. Entao, 0 ≤ r ≤ 2. Assim, a regiao D e transformada na regiao Drθ dada por Drθ : { 0 ≤ r ≤ 2

Drθ 2pi

Drθ

Drθ

Observacao: Notem que em coordenadas polares qualquer disco de centro na origem transforma-se em um retangulo com os lados paralelos aos eixos coordenados.

b) O esboco da regiao D esta representado na figura que se segue.

Calculo 3A Lista 2 28 y D

Descricao de D em coordenadas polares

Efetuando uma “varredura” em D, no sentido anti-horario, a partir do eixo y negativo, onde θ = −pi/2 ate o eixo y positivo onde θ = pi/2, vemos que −pi/2 ≤ θ ≤ pi/2.

Considerando um ponto P qualquer no interior de D, vemos que a semirreta OP entra em D na origem onde r = 0 e sai de D em um ponto da circunferencia onde r = 2. Logo, 0 ≤ r ≤ 2. Assim, a regiao D e transformada na regiao Drθ dada por Drθ : { 0 ≤ r ≤ 2 θ Drθ pi 2

Drθ

Drθ r5 drdθ = c) O esboco da regiao D esta representado na figura que se segue.

Calculo 3A Lista 2 29

entra em r = 1 sai em r = e

Em coordenadas polares temos ln(x2 + y2)

r2 e dxdy = rdrdθ.

Descricao de D em coordenadas polares

Efetuando uma “varredura” em D, no sentido anti-horario, vemos que 0 ≤ θ ≤ pi.

Considerando um ponto P qualquer no interior de D, vemos que a semirreta OP entra em D em um ponto da circunferencia x2 + y2 = 1 onde r = 1 e sai de D em um ponto da circunferencia x2 + y2 = e2 onde r = e. Entao, 1 ≤ r ≤ e. Assim, a regiao D e transformada na regiao Drθ dada

Drθ

Drθ

Drθ lnr r drdθ =

lnr r

∫ pi lnr r dr .

Fazendo u = lnr temos du = 1 r dr. Por outro lado, para r = 1 temos u = ln1 =

lnr

r dr =

Substituindo acima temos: ∫∫

Calculo 3A Lista 2 30 d) Temos

onde D e dada por D : { −a ≤ x ≤ a cujo esboco esta represen-

tado na figura que se segue.

Passando para coordenadas polares temos e−(x2+y2) = e−r2 e dxdy = r drdθ e a regiao D transforma-

Drθ e−r2 rdrdθ =

∫ pi

0 dθdr = pi

e) O esboco da regiao D esta representado na figura que se segue.

D y = x

Por coordenadas polares temos 1√ x2 + y2 dA = 1√ r2 · r drdθ = drdθ.

Descricao de D em coordenadas polares

Efetuando uma “varredura” em D, no sentido anti-horario, a partir do eixo x positivo onde θ = 0 ate a reta y = x onde θ = pi/4, vemos que 0 ≤ θ ≤ pi/4.

Considerando um ponto P qualquer no interior de D, vemos que a semirreta OP entra em D na reta vertical x = 1 ou r cosθ = 1 donde r = 1 cosθ = secθ e sai de D na reta vertical x = 3 ou

Calculo 3A Lista 2 31 rcosθ = 3 donde r = 3 cosθ = 3secθ. Entao, secθ ≤ r ≤ 3secθ. Assim, a regiao D e transformada na regiao Drθ dada por Drθ :

Drθ sec θ drdθ =

secθ dθ = 3[ ln(secθ + tg θ) f) De x2 + y2 − 2y = 0 temos x2 + (y − 1)2 = 1. Assim, o esboco da regiao D esta representado na figura a seguir.

entra em r = 0 sai em r = 2senθ 1

D y dA.

Como f(x,y) = x e uma funcao ımpar na variavel x e a regiao D tem simetria em relacao ao eixo y, entao: ∫∫

D y dA.

Em coordenadas polares temos ydA = (r senθ)r drdθ = r2 senθ drdθ. Descricao de D em coordenadas polares

Efetuando uma “varredura” em D, no sentido anti-horario, a partir do eixo x positivo onde θ = 0 ate o eixo x negativo onde θ = pi, vemos que 0 ≤ θ ≤ pi.

Calculo 3A Lista 2 32

Considerando um ponto P qualquer no interior de D, nao situado no eixo y, vemos que a semirreta OP entra em D na origem onde r = 0 e sai de D em um ponto da circunferencia x2 + y2 = 2y ou r2 = 2r senθ donde r = 2senθ, para r 6= 0. Entao, 0 ≤ r ≤ 2senθ. Assim, a regiao D e transformada na regiao Drθ dada por Drθ : { 0 ≤ r ≤ 2senθ

Drθ r2 senθdrdθ =

0 senθ

∫ pi

0 senθ

∫ pi

Exercıcio 5: Calcule a area da regiao no primeiro quadrante, fora da circunferencia x2 + y2 = 4 e dentro da circunferencia x2 + y2 = 4x.

Solucao: O esboco da regiao D esta representado na figura que se segue.

entra em r = 2 sai em r = 4cosθ

Da teoria, temos que:

Drθ r drdθ .

Descricao de D em coordenadas polares

Calculo 3A Lista 2 3 e o ponto (1,√ 3). No triangulo retangulo acima, temos que tg θ =

Assim, efetuando uma “varredura” em D, no sentido anti-horario a partir do eixo x positivo, vemos que 0 ≤ θ ≤ pi/3.

Considerando um ponto P qualquer no interior de D vemos que a semirrreta OP entra em D na circunferencia x2+y2 = 4 donde r = 2 e sai de D na circunferencia x2+y2 = 4x donde r2 = 4r cosθ

θ + sen2θ

Exercıcio 6: Seja dada a integral dupla ∫∫

a) Esboce a regiao D.

b) Expresse a soma das integrais do segundo membro como uma so integral na qual a ordem de integracao esteja invertida.

c) Calcule a integral dupla para a funcao f(x,y) = ln(1 + x2 + y2).

Solucao:

. Os esbocos de D1 e D2 sao:

1 Logo, o esboco de D esta representado na figura que se segue.

Calculo 3A Lista 2 34

Dx =y b) Enquadrando D como tipo I, temos D : { 0 ≤ y ≤ 1 c) Expressando D como coordenadas polares, temos D : { 0 ≤ θ ≤ pi/4

Drθ

= pi

Fazendo y = 1 + r2, temos dy = 2rdr, donde r dr = dy lny dy

Aplicando integracao por partes, temos:

Como ∫ udv = uv −∫ v du, entao:

= pi

Exercıcio 7: Passe para coordenadas polares e calcule: UFF IME - GMA

Calculo 3A Lista 2 35 xy dxdy

Solucao:

a) A integral I esta definida sobre a regiao D descrita pelas desigualdades

. Observe que D esta descrita como uma regiao do tipo

I. Examinemos a fronteira da esquerda de D:

Entao a fronteira da esquerda e a parte da circunferencia (x − 1)2 + y2 = 1 com 0 ≤ y ≤ 1 e x ≤ 1. Examinando a fronteira da direita, temos que consiste da parte da mesma circunferencia com 0 ≤ y ≤ 1 e x ≥ 1. Assim, o esboco de D esta representado na figura que se segue.

r = 2cosθ

Portanto D se transforma em:

Temos:

Drθ r cosθr senθr drdθ = ∫∫

Drθ r3 cosθ senθ drdθ =

0 r3 cosθ senθ drdθ =

0 cosθ senθ

cos5 θsenθ dθ = −4 cos6 θ

Calculo 3A Lista 2 36 b) A integral I esta definida sobre a regiao D descrita pelas desigualdades

que e do tipo I. A fronteira superior de D e a curva y = √ a2 − x2 com 0 ≤ x ≤ a e y ≥ 0 que corresponde a parte da circunferencia x2 + y2 = a2 com 0 ≤ x ≤ a e y ≥ 0.

A fronteira inferior de D e o segmento de reta y = 0 com 0 ≤ x ≤ a. Assim, o esboco de D esta representado na figura que se segue.

r = a a

O ponto (x,y) = (r cosθ,r senθ) ∈ D e tal que θ varia segundo 0 ≤ θ ≤ pi/2 e r varia segundo 0 ≤ r ≤ a.

Portanto D se transforma em:

Entao:

Drθ

= pi

Exercıcio 8: A base de um solido e a regiao do plano xy delimitada pelo disco x2 + y2 ≤ a2, com a > 0. e a parte superior e a superfıcie do paraboloide az = x2 + y2. Calcule o volume do solido.

que e contınua em D. Entao o volume do solido W de base D e “teto” a e dado por:

a dxdy = 1

Calculo 3A Lista 2 37

Passando para coordenadas polares, temos (x2 + y2)dxdy = r2r drdθ = r3 drdθ e o disco D transforma-se em Drθ : { 0 ≤ r ≤ a

Drθ dθdr = 2pi

Exercıcio 9: Achar o volume do solido limitado superiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 4, inferiormente pelo plano xy e lateralmente pelo cilindro x2 + y2 = 1.

Solucao: O esboco de W esta representado na figura que se segue.

x y

Observemos que o “teto” do solido W e uma porcao da esfera

Entao

Passando para coordenadas polares, temos x = rcosθ y = rsenθ dxdy = rdrdθ x2 + y2 = r2

Calculo 3A Lista 2 38

Drθ

Exercıcio 10: Determine o volume do solido W limitado pelo paraboloide z = 4 − x2 − y2 e pelo plano xy.

Solucao: O esboco de W esta representado na figura que se segue.

x y z W

Temos:

Passando para coordenadas polares temos x = rcosθ y = rsenθ dxdy = r drdθ x2 + y2 = r2

Calculo 3A Lista 2 39

Drθ

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