Universidade Federal Fluminense Instituto de Matematica e Estatıstica Departamento de Matematica Aplicada

Calculo 3A – Lista 3

Exercıcio 1: Calcule as coordenadas (x,y) do centro de massa de uma chapa homogenea D com o formato de um triangulo isosceles com base 10 cm e altura 5 cm.

Solucao: Consideremos o eixo x passando pela base e o eixo y coincidindo com a mediatriz relativa a base do triangulo.

Como D e homogenea e e simetrica em relacao ao eixo y, entao pela observacao 5, segue que x = 0. Temos

D y dxdy onde

Logo,:

Assim, o centro de massa situa-se a 5

3 cm da base, sobre sua mediatriz.

Calculo 3A Lista 3 40

Exercıcio 2: Calcule a massa total M, o centro da massa (x,y) da lamina que tem a forma da regiao D limitada pela parabola x = y2 e pela reta x = 4 e que tem densidade δ(x,y) = x.

Solucao: O esboco da lamina D esta representado na figura que se segue.

x y entra em x = y2 sai em x = 42

O centro de massa (x,y) e dado por:

D x2 dA

D xy dA

Como a regiao D tem simetria em relacao ao eixo x e a funcao f(x,y) = xy e ımpar na variavel y entao: ∫∫

Logo, y = 0 Calculo de M

Temos que

D x dA

y2 x dxdy =

Calculo de ∫∫

D x2 dA

Calculo 3A Lista 3 41

Portanto

Assim, o centro da massa esta sobre o eixo x em (20/7,0).

Exercıcio 3: Sendo a densidade δ constante, calcule o momento de inercia Ix da lamina triangular limitada pela reta x + y = a e os eixos x = 0 e y = 0.

Solucao: O esboco de D esta representado na figura que se segue.

D entra em y = 0 sai em y = a− x a

O momento de inercia Ix da lamina e dado por

D y2 dA

dx = δ

Fazendo u = a − x temos du = −dx. Para x = 0 temos u = a e para x = a temos u = 0. Entao:

Ix = δ

Como δ(x,y) = δ, entao a massa total e:

Calculo 3A Lista 3 42

Assim:

Exercıcio 4: Uma lamina delgada tem a forma da regiao D que e interior a circunferencia x2 + (y − 2)2 = 4 e exterior a circunferencia x2 + y2 = 4. Calcule a massa da lamina se a

D entra em r = 2 sai em r = 4senθ

6 rad

A massa da lamina D e

Passando para coordenadas polares temos x = r cosθ y = rsenθ dxdy = r drdθ x2 + y2 = r2

A equacao x2 + y2 = 4y transforma-se em r2 = 4rsenθ donde r = 4senθ. Descricao de D em coordenadas polares

Efetuando uma “varredura” em D no sentido anti-horario a partir da reta y = 1/√ 3 x onde θ = pi/6

Calculo 3A Lista 3 43

= 5pi/6 vemos que θ varia de pi/6 ate 5pi/6. Por um ponto P no interior de D consideremos a semirreta OP. Ela entra em D em r = 2 e sai de D em um ponto da circunferencia x2 + y2 = 4y onde r = 4senθ. Entao r varia de 2 a 4senθ. Logo Drθ :

Drθ

Exercıcio 5: Uma lamina tem a forma de um semidisco D de raio a. A densidade superficial no ponto P e proporcional a distancia do ponto ao centro do disco. Determine o valor da constante de proporcionalidade se a massa do semidisco e igual a pia3 u.m.

Solucao: Sem perda de generalidade podemos considerar o semidisco centrado na origem e ocupando os primeiro e segundo quadrantes. Logo, temos D : x2 + y2 ≤ a2, com y ≥ 0.

y D

entra em r = 0 sai em r = a a

Como a distancia de (x,y) a origem e igual a √ x2 + y2 entao a densidade e dada por δ(x,y) =k√ x2 + y2 onde k > 0 e a constante de proporcionalidade. A massa M de D e dada por:

Passando para coordenadas polares temos: x = r cosθ y = rsenθ dxdy = r drdθ x2 + y2 = r2

Descricao de D em coordenadas polares

Efetuando uma “varredura” em D no sentido anti-horario a partir do eixo x positivo onde θ = 0 ate o eixo x negativo onde θ = pi vemos que θ varia de 0 ate pi. Por um ponto P no interior de D

Calculo 3A Lista 3 4 consideremos a semirreta OP. Ela entra em D em r = 0 e sai de D em r = a. Entao r varia de 0

Drθ

√ r r drdθ = k

∫ pi

0 dθdr = kpi

mas M = pia3 u.m. Entao kpia3

Exercıcio 6: Calcule o momento de inercia em relacao a origem da chapa

se a densidade superficial e δ(x,y) = k√ x2 + y2, com k > 0.

Solucao: O esboco da chapa D esta representado na figura que se segue.

O momento de inercia em relacao a origem e dado por

Passando para coordenadas polares temos:

Drθ

Drθ r4 drdθ onde Drθ e dado pelas desigualdades 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ 2pi. Assim:

Calculo 3A Lista 3 45

Exercıcio 7: Mostre que o momento de inercia de um disco circular homogeneo de raio a em relacao a uma reta ao longo de um diametro e igual a Ma2

4 , onde M e a massa do disco.

Solucao: Introduzindo um sistema de coordenadas conforme a figura a seguir, o momento de inercia em relacao ao eixo x, que contem um diametro, e dado por

D y2 dxdy .

xy a

Passando para coordenadas polares, tem-se x = rcosθ y = rsenθ dxdy = rdrdθ e Drθ e dado por Drθ : { 0 ≤ r ≤ a

Drθ

Drθ r3 sen2 θ drdθ =

0 r3 sen2 θ dθdr = k

Como D e homogeneo, entao M = kA(D). Logo

Entao:

Exercıcio 8: Calcule o centroide da regiao limitada pelas curvas y = x2, x + y = 2 e y = 0. UFF IME - GMA

Calculo 3A Lista 3 46

Solucao: Note que D e do tipo I pois 0 ≤ y ≤ 1 e y1/2 ≤ x ≤ 2 − y. O centroide (x,y) e dado por:

D x dxdy∫∫

D dxdy

D y dxdy∫∫

D dxdy

Calculo 3A Lista 3 47

Logo donde

Exercıcio 9: Seja uma lamina delgada representada pela regiao D determinada por y ≤ x, y ≥ −x, x2 + y2 ≥ 2x e x2 + y2 ≤ 4x. Se a densidade em cada ponto P = (x,y) da lamina e dada por

a) a massa de D; b) o momento de inercia polar em relacao a origem.

Solucao:

a) Completando quadrado em x2 + y2 = 2x e x2 + y2 = 4x, temos (x − 1)2 + y2 = 1 e (x − 2)2 + y2 = 4. Logo, o esboco de D esta representado na figura que se segue.

Calculo 3A Lista 3 48 x y

A massa M e dada por:

Vamos usar coordenadas polares para descrever a regiao D. Temos: x = rcosθ y = rsenθ dxdy = rdrdθ x2 + y2 = r2

Logo, x2+y2 = 2x e x2+y2 = 4x acarretam em r2 = 2r cosθ e r2 = 4r cosθ, e para r 6= 0, obtemos r = 2cosθ e r = 4cosθ. Para descrever D, consideramos um ponto P = (x,y) = (r,θ) ∈ D. A

As retas y = x e y = −x acarretam em rsenθ = r cosθ e rsenθ = = −r cosθ ou tgθ = 1 e tgθ = −1, donde θ = pi/4 e θ = −pi/4, respectivamente. Logo, −pi/4 ≤ θ ≤ pi/4. Assim,

Entao:

Drθ

Drθ

2cosθ drdθ =

2cosθdθ = [ 2senθ

Calculo 3A Lista 3 49 b) Temos:

Drθ

2cosθ r2drdθ =

2cosθ sen θ − sen3 θ 3

Exercıcio 10: Calcule a massa de uma chapa D limitada pelas curvas

3 x, sabendo que a densidade de massa em um ponto e inversamente proporcional a distancia do ponto a origem.

Solucao: Primeiro vamos encontrar as intersecoes das curvas, isto e, as intersecoes de y = x com as circunferencias.{ y = x

Logo, as intersecoes sao (0, 0) e

Calculo 3A Lista 3 50

y D

A distancia de (x,y) ∈ D a origem e √ x2 + y2 . Como a densidade e inversamente proporcional a distancia de (x,y) a origem, entao δ(x,y) = k√ x2 + y2 , onde k > 0 e a constante de proporcionali-

Passando para coordenadas polares, obtemos: x = rcosθ y = rsenθ dxdy = rdrdθ x2 + y2 = r2

Temos:

Entao o conjunto Drθ e dado por Drθ :

Drθ r2 rdrdθ = k

Drθ

2cos θ drdθ = cosθdθ = 2k[ senθ

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