Manual p.CD em Rn

Manual p.CD em Rn

(Parte 1 de 2)

Lições de Análise Matemática 2

Maria do Carmo Coimbra

Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Julho de 2008

Conteúdo

Prefácio vii 1 Breves Noções de Topologia em Rn 1

2.1 Funções Escalares e Funções Vectoriais9
2.2 Geometria das Funções Escalares13
2.3 Limites e Continuidade15
2.4 Diferenciação25
2.5 Propriedades da Derivada35
2.6 Propriedades do Gradiente42

2 Funções Diferenciáveis 9

3.1 Derivadas Parciais Iteradas47
3.2 Teorema de Taylor51
3.3 Extremos de Funções Escalares62
3.4 Multiplicadores de Lagrange79
3.5 Função Inversa85
3.6 Função Implícita87

3 Derivadas de Ordem Superior 47

4.1 Integração93
4.2 Integrais Duplos93
4.2.1 Integrais Duplos em Rectângulos93
4.2.2 Integrais Duplos sobre outras regiões de R29
4.2.3 Integrais Duplos sobre regiões elementares de R29
4.3 Integrais Triplos108
4.3.1 Integrais Triplos em Paralelepípedos108

4 Cálculo Integral em Rn 93 Lições de Análise Matemática 2

4.3.3 Integrais Triplos sobre regiões elementares de R3112
4.4 Mudança de Variável122
4.4.1 Coordenadas Polares122
4.4.2 Coordenadas Cilíndricas126
4.4.3 Coordenadas Esféricas128
4.5 Integrais Imprópios130

Lista de Figuras

3 = 112
2.3 Gráfico de f : f(x, y) = x2 + y215
2.4 Curvas de nível de f : f(x, y) = x2 − y216
2.5 Gráfico de f : f(x, y) = x2 − y216
2.6 Gráfico de f, descontínua em x = 117
x2+y221
2.8 Gráfico de f e da recta tangente no ponto (2,f(2))28
2.9 Gráfico de f e do plano tangente em (a,f(a))31
2.10 Curvas de nível e campo de gradientes45
3.1 Gráfico de cos(x + y) e de 1 − (x + y)2/25
3.2 (0,0) ponto de máximo absoluto de f : f(x,y) = 2e−(x2+y2)63
3.3 (0,0) ponto de mínimo absoluto de f : f(x,y) = x2 + y263
3.4 (0, 0) ponto de sela de f : f(x, y) = x2 − y265
3.5 Gráfico de f : f(x,y) = (x − y)2 − x4 − y473
3.6 Gráfico de f : f(x, y) = |x + y|78
3.7 Estudo de f : f(x,y) = xy em x2 + y2 ≤ 180
3.8 Encontrar os extremos de xy em x2 + y2 = 183
8
de uma função8
4.1 Cálculo de um volume usando 4 paralelepípedos95
4.2 Volume aproximado da região V com 72 paralelipipedos95
4.3 Volume aproximado da região V com 202 paralelipipedos96

Lições de Análise Matemática 2

x ≤ 2.5101
e ψ(y) = √4 − y2102
4.8 Região elementar do tipo 2: φ(y) = y2 e ψ(y) = y + 6103
x2105
x2106
x2 + y2115
4.12 D = {(x, y) : x2 + y2 = 25}115
4.13 D = {(x,z) : 0 ≤ z ≤ 5 ∧ −z ≤ x ≤ z}116
4.14 Sólido S118
4.15 Coordenadas Polares123
4.16 Mudança de variável para coordenadas polares124
4.17 Elemento de área em coordenadas polares124
4.18 Cardióide, a = 1125
4.19 Coordenadas Cilindricas126
4.20 Projecção do sólido no plano xy127

Prefácio

Imagination is more important than knowledge. (Albert Einstein)

Estes apontamentos em forma de E-book, foram elaborados com o objectivo de oferecer ao aluno um instrumento de trabalho que oriente e desperte o interesse pela disciplina de Análise Matemática 2. Não se pretende substituir a bibliografia existente, mas simplesmente fornecer um ponto de partida para a aprendizagem. Uma nota que gostaríamos realçar é que a Matemática não se aprende passivamente. Os exercícios, quando não mecanizados, ensinam a usar conceitos, esclarecer dúvidas e dão oportunidade de explorar um universo diversificado.

Esta disciplina de Análise Matemática 2 trata do estudo das funções de várias variáveis. Como é natural pressupomos uma certa familiaridade com funções reais de variável real. Além disso admitem-se conhecidas algumas noções básicas de Álgebra Linear.

Iremos recorrer à Álgebra Linear para (re)formular conceitos e demonstrar os teoremas do cálculo diferencial de funções de várias variáveis. Todos os conceitos introduzidos são ilustrados por meio de exemplos e em muitas situações os resultados são estabelecidos usando teoremas da análise de funções reais de variável real.

Em diversas situações é sugerido o uso do maple ou do maxima. Refirase que apenas se utiliza este software como uma ferramenta, por isso pode utilizar a sua máquina gráfica ou mesmo prescindir de todo do uso de um instrumento de cálculo e usar apenas lápis e papel. Bom trabalho!

O meu agradecimento à Doutora Isabel Magalhães pela colaboração dada e leitura crítica deste manual.

Lições de Análise Matemática 2

Capítulo 1

Breves Noções de Topologia em Rn

Neste capítulo apresentamos breves noções de topologia do espaço euclidiano n-dimensional. São conceitos importantes para o estudo de funções de Rn em Rm. Recordemos que o conjunto Rn munido das operações soma de vectores e produto de um vector por um número real,

x + y = (x1, x2,, xn) + (y1, y2, ..., yn)

define um espaço vectorial real. Os elementos de Rn são por vezes chamados pontos (elementos de um conjunto) e outras vezes designados por vectores (elementos de um espaço vectorial). Sabemos também que os vectores

e1 = (1, 0,, 0); e2 = (0, 1, ..., 0); ...; en = (0, 0, ..., 1)

são linearmente independentes e que qualquer outro vector x = (x1,x2,...,xn) se exprime linearmente e de forma única como combinação linear dos vectores

ei, i = 1,2,n, i.e., x = ∑n

define pois uma base, a base canónica, de Rn, que terá assim dimensão n.

As bases canónicas permitem estabelecer uma bijecção entre, L(Rn,Rm), o conjunto das transformações lineares de Rn em Rm e o conjunto M(m × n) das matrizes reais com m linhas e n colunas. A matriz associada à transfor- mação linear A é definida por A = [aij], tal que se ej é o j-ésimo vector coluna

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2 Breves Noções de Topologia em Rn da base canónica de Rn então A · ej é um vector de Rm com componentes iguais às da j-ésima coluna de A. Isto significa que a i-ésima componente de

A · ej é aij. Um espaço vectorial real diz-se normado quando a cada vector x está associado um número real não negativo, designado por norma de x, ‖x‖, que goza das propriedades:

Nos espaços R2 e R3 é bem conhecida de todos a noção de produto interno ou produto escalar. Generalizando a Rn, o número real

i=i xiyi (1.4) designa-se por produto interno ou produto escalar dos vectores x e y. Por exemplo, em R2,

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Exercício 1 Verifique que o produto interno goza das seguintes propriedades: Se x,y,z ∈ Rn e α,β ∈ R então

Definição 1 Mais geralmente diz-se que num espaço vectorial, de dimensão finita ou não, está definido um produto interno quando a cada par de vectores está associado um escalar com as propriedades 1.5, 1.6 e 1.7. A um espaço vectorial real de dimensão finita munido de um produto interno dá-se o nome de espaço euclidiano.

Proposição 1 O espaço vectorial Rn munido de

é um espaço vectorial normado. ‖x‖ = √x · x designa-se por norma euclidiana.

Partindo da definição axiomática de produto interno, demonstremos que a norma euclidiana satisfaz os axiomas 1.1, 1.2 e 1.3. Para a demonstração da validade do axioma 1.1 observe-se que

Ora, como sabemos o quadrado de um número real é um número não ne- gativo, (xi)2 ≥ 0. Assim a soma de números reais não negativos é ainda um número não negativo. Será igual a zero se e só se todos as parcelas forem zero , isto é, se e só se x = 0. A validade de 1.2 é demonstrada considerando a definição de norma e as propriedades sobre os reais,

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4 Breves Noções de Topologia em Rn

Para demonstrar a validade do axioma 1.3, também designado por desigualdade triangular, demonstremos primeiramente o seguinte teorema:

Demonstração: Se x e y são linearmente dependentes então existe um α ∈ R, tal que y = αx, e portanto pelas propriedades do produto interno e atendendo a que ‖x‖2 = x · x

Caso contrário, se x e y são linearmente independentes, temos que y−αx 6= 0, qualquer que seja α ∈ R. Ora,

Observemos que o membro direito é uma equação quadrática na variável α que não se anula. Portanto o seu discriminante na variável α é negativo, o que significa que 4(y · x)2 − 4(y · y)(x · x) < 0

cqd

Para demonstrar a desigualdade triangular, observe-se que pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,

o que conclui a demonstração.

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Pelo exposto podemos afirmar que todo o espaço vectorial com produto interno é um espaço normado. Por sua vez todo o espaço normado se pode tornar num espaço métrico definindo a função distância entre dois pontos por

Quando não for explicitamente referido qual a norma em Rn que estamos a utilizar fica subentendido que se trata da norma euclidiana. Assim a distância euclidiana fica definida por

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 ++ (xn − yn)2

Observe-se que é possível definir em Rn outras distâncias provenientes de outras normas.

É também possível definir distâncias que não provêm de normas e normas que não provêm de produtos internos.

Seja agora A uma matriz real n×n. Uma vez escolhida uma norma para o espaço vectorial Rn é possível definir uma norma matricial correspondente para A,

onde o máximo é tomado sobre todos os vectores não nulos de Rn. Se considerarmos a norma vectorial euclidiana, a norma matricial associada é de cálculo difícil. No entanto a norma matricial

baseada na norma do máximo é calculada facilmente e mostra-se que

Lições de Análise Matemática 2

6 Breves Noções de Topologia em Rn

Exemplo 1 A norma do máximo para a matriz,

Nas definições que se seguem consideramos o espaço métrico Rn e designamos por d a função distância induzida pela norma euclidiana.

Definição 2 Seja a ∈ Rn e r um número real positivo. O subconjunto de Rn definido por B(a,r) = {x ∈ Rn : d(x,a) < r} diz-se bola aberta de centro a e raio r.

Definição 3 Um subconjunto de Rn que contenha uma bola aberta de centro a e raio r diz-se uma vizinhança de a e representa-se por Va.

Definição 4 Seja U um subconjunto de Rn. Um ponto x ∈ Rn diz-se:

2. Ponto exterior a U se e só se

4. Ponto isolado de U se e só se

Lições de Análise Matemática 2

5. Ponto de acumulação de U se e só se

Exercício 2 Dê exemplos e represente geometricamente subconjuntos de R2 em que possa indicar:

1. um ponto da fronteira que não pertença ao conjunto; 2. um ponto isolado; 3. um ponto interior; 4. um ponto exterior; 5. um ponto da fronteira que pertença ao conjunto.

Definição 5 Seja U ⊆ Rn. O conjunto dos pontos interiores a U diz-se o interior de U e repre- senta-se por int(U) = ◦U⊆ U. O conjunto dos pontos exteriores a U diz-se o exterior de U e repre-

O conjunto dos pontos fronteiros a U diz-se a fronteira de U e representa-se por fr(U) = ∂U.

U= fr(U)⋃ int(U) diz-se a aderência ou fecho de

O conjunto dos pontos de acumulação de U diz-se o derivado de U e representa-se por U′.

U diz-se fechado se e só se − U= U.

Exercício 3 Dê exemplos e represente geometricamente subconjuntos de R2 e de R3 que sejam:

1. abertos;

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8 Breves Noções de Topologia em Rn

2. fechados; 3. não abertos; 4. limitados; 5. abertos e fechados;

6. não abertos e não fechados;

Definição 7 Seja E um espaço vectorial normado. Um subconjunto S de E diz-se compacto quando toda a sucessão de elementos de S tem uma subsucessão convergente para um elemento de S.

Proposição 2 Um conjunto de U ⊆ Rn é compacto se e só se é limitado e fechado.

Exercício 4 Dê exemplos e represente geometricamente subconjuntos de R2 e de R3 que sejam compactos.

Definição 8 Diz-se que um conjunto U ⊆ Rn é convexo quando contém qualquer segmento de recta cujos extremos pertençam a U.

Nota: O segmento de recta de extremos x e y de Rn é o subconjunto de

Exercício 5 Dê exemplos e represente geometricamente subconjuntos de R2 e de R3 que sejam conjuntos convexos e de outros que o não sejam.

Definição 9 Uma cisão de um subconjunto U ⊆ Rn é uma decomposição

B, onde A⋂ B = ∅ e os conjuntos A e B são abertos em U.

A cisão U = U ⋃∅ diz-se cisão trivial. Um conjunto diz-se conexo quando não admite outra cisão para além da trivial.

Exercício 6 Quais são os conexos de R?

Exercício 7 Dê exemplos e represente geometricamente subconjuntos de R2 e de R3 que sejam conjuntos conexos e outros que o não sejam.

Exercício 8 Dê exemplo de um subconjunto de R2 conexo mas não convexo.

Exercício 9 Para um subconjunto de R2 relacione os dois conceitos: convexo e conexo.

Lições de Análise Matemática 2

Capítulo 2 Funções Diferenciáveis

2.1 Funções Escalares e Funções Vectoriais Como sabemos, para descrever uma função necessitamos de informação sobre:

• Domínio • Contradomínio

• Lei de transformação

Definição 10 Uma função cujo domínio é um subconjunto de Rn e cujo contradomínio está contido em R diz-se uma função escalar (real) de n variáveis reais.

Definição 1 Uma função cujo domínio é um subconjunto de Rn e cujo contradomínio está contido em Rm , m > 1, diz-se uma função vectorial de n variáveis reais.

Usaremos a seguinte notação para indicar o domínio da função U ⊆ Rn, o conjunto de chegada e a lei de transformação. Funções escalares:

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10 Funções Diferenciáveis

Definição 12 As funções escalares f1,f2,...,fm dizem-se as funções componentes da função vectorial F.

Vejamos alguns exemplos de funções de várias variáveis:

Exemplo 6 Função distância à origem

Exemplo 7 Função Projecção sobre o eixo dos x:

Lições de Análise Matemática 2

2.1 Funções Escalares e Funções Vectoriais 1

Exemplo 8 Função Projecção sobre o eixo dos y:

Exemplo 9 Função Projecção sobre o eixo dos z:

Exemplo 10 Função Projecção sobre o plano xy:

Exercício 10 Considere a função,

1. Qual o domínio de f ? 2. Represente U geometricamente. 3. Indique a sua fronteira, fr(U). 4. Diga se U é um aberto, fechado, limitado, conexo, convexo ou compacto.

Exemplo 1 O contradomínio da função,

é o subconjunto de C ⊆ R2 definido por

que como sabemos define a circunferência de centro (0,0) e raio 1. Esta função não é injectiva pois há objectos distintos com a mesma imagem, por exemplo, F(pi) = F(3pi) = (0,−1).

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12 Funções Diferenciáveis

Exemplo 12 O contradomínio da função,

é o subconjunto de A ⊆ R2 definido por

representado pelo gráfico apresentado na figura 2.1 e que se designa por astróide. Será G uma função injectiva?

Definição 13 Uma função vectorial definida por

diz-se um campo vectorial ou campo de vectores em U.

As funções vectoriais permitem criar modelos matemáticos para problemas reais. Vejamos alguns exemplos:

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2.2 Geometria das Funções Escalares 13

Exemplo 13 Consideremos uma massa M, posicionada em (0,0,0). Seja r = (x,y,z) o vector posição não nulo , de uma partícula de massa m << M. De acordo com a lei de gravitação de Newton a força de atracção exercida sobre a massa m é dada por

Exemplo 14 O potencial gravítico é a função escalar

Exemplo 15 O movimento de um fluido num canal pode ser representado por uma função vectorial

em que F(x,y,t) representa a velocidade do fluido num ponto (x,y) do canal no instante t.

2.2 Geometria das Funções Escalares

O gráfico de uma função real de variável real é, como sabemos, um subconjunto de R2. Por exemplo, a figura seguinte mostra o gráfico das funções reais de variável real definidas por

Definição 14 Seja f : U ⊆ Rn → R uma função escalar. O conjunto

diz-se gráfico de f. Lições de Análise Matemática 2

14 Funções Diferenciáveis

Exemplo 16 Consideremos a função

O gráfico de f é o subconjunto de R3 definido por

Geometricamente, temos o parabolóide elíptico representado na figura 2.3

Definição 15 Seja f : U ⊆ Rn → R uma função escalar e c um número real. O conjunto diz-se conjunto de nível de valor c de f. Se n = 2 os conjuntos de nível designam-se usualmente por curvas de nível. Se n = 3, os conjuntos de nível designam-se usualmente por superfícies de nível.

Exemplo 17 Consideremos a função definida por 2.1. Para c < 0 os con- c>0 os conjuntos de nível são circunferências de centro (0,0) e raio √ c,

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2.3 Limites e Continuidade 15

Exemplo 18 Para a função

as curvas de nível de valor c são as curvas de equação x2 − y2 = c. Para c = 0 o conjunto de nível é definido pelas rectas bissectrizes dos quadrantes e para c 6= 0 por hipérboles, tal como a figura 2.4 ilustra.

O gráfico desta função é o parabolóide hiperbólico representado na figura 2.5.

2.3 Limites e Continuidade

Como introdução, recordemos a noção de limite de uma função real de variável real num ponto. Consideremos a função definida por

Analisemos, pelo esboço do gráfico de g, o comportamento da função numa vizinhança do ponto x = 1.

Lições de Análise Matemática 2

2.3 Limites e Continuidade 17

Figura 2.6: Gráfico de f, descontínua em x = 1

Pelo teorema da unicidade do limite, não existe limx→1 f(x). A definição de limite para funções de várias variáveis é análoga à definição conhecida para funções de uma só variável.

Por outras palavras, dada uma ”tolerância” ε em torno de , é possível encontrar uma bola aberta de centro a, B(a,δ), tal que, para todo x 6= a e x ∈ B(a,δ) o valor correspondente de f(x) situa-se no intervalo de ”tolerância” ] − ε, + ε[. Observe-se que na definição a condição 0 < ‖x − a‖ garante que x 6= a.

Dizer que existe limx→a f(x) significa que os valores f(x) estão tão próximo de quanto se queira desde que x 6= a esteja suficientemente perto de

Lições de Análise Matemática 2

18 Funções Diferenciáveis

Exemplo 19 Consideremos a função projecção sobre o i-ésimo eixo,

(x1, x2,, xn) 7→ xi

pi : Rn → R Vejamos que limx→a pi(x) = ai. Seja ε > 0 qualquer. Observe-se que

(x1 − a1)2 ++ (xi − ai)2 + ... + (xn − an)2≥ √

Note-se que o valor de limx→a f(x) é independente do que acontece no ponto a. A função pode mesmo não estar definida no ponto a . Apesar disso é legítimo questionar sobre o comportamento da função numa vizinhança desse ponto. Vejamos um exemplo:

Exemplo 20 Consideremos a função,

Portanto

o que permite concluir que

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2.3 Limites e Continuidade 19

x 7→ (f1(x), f2(x),, fm(x))

Podemos definir limx→a F(x) de outro modo dizendo que limx→a F(x) = L se e só se

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