Manual p.CD em Rn

Manual p.CD em Rn

(Parte 2 de 2)

Exercício 1 Mostre que a equivalência entre as duas definições apresentadas na definição 17. Sugestão: Observe que se A = (a1,a2,...,an) então

No estudo da função 2.2 evocámos o teorema da unicidade do limite que continua a ser válido para funções vectoriais ou escalares de várias variáveis:

Teorema 2 Seja L, M ∈ Rm, a um ponto de acumulação de U e F : U ⊆

Demonstração: Seja ε > 0 qualquer. Admitamos, por redução ao absurdo, que L 6= M. Como por hipótese limx→a F(x) = L existe γ > 0 tal que

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20 Funções Diferenciáveis

o que é absurdo. O absurdo resultou de termos suposto que L 6= M. Logo L = M. cqd

Vejamos como este teorema pode ser usado para o estudo de limite de funções de várias variáveis. Salientemos ainda que quando investigámos a existência de limite nesse exemplo usámos a noção de limite à esquerda e limite à direita em vez da definição de limite. Para o caso de, por exemplo, funções escalares de duas variáveis facilmente constatamos a impossibilidade de investigar todos os modos possíveis de nos aproximarmos de um ponto. Daí a necessidade de se introduzir a noção de limite de uma função num ponto numa restrição ao domínio da função.

Exemplo 21 Consideremos a função,

por

Por análise do gráfico de f facilmente se verifica que se considerarmos o subconjunto T de R2 \ {(0,0)}, definido por

E, estudando a existência de limite de f quando (x,y) tende para (0,0) e

e, pelo teorema da unicidade do limite concluímos que não existe

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2.3 Limites e Continuidade 21

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2 Funções Diferenciáveis

lim

lim

lim x→a

Definição 18 Seja f : U ⊆ Rn → R , a ∈ U . Dizemos que f é contínua em a ∈ U se e só se ou seja,

Dizemos que f é contínua em U se e só se f é contínua em todos os pontos de U.

Seja F : U ⊆ Rn → Rm , a ∈ U . Dizemos que F é contínua em a ∈ U se e só se lim

fi(x) = fi(a), ∀fi, i = 1,, m.

Dizemos que F é contínua em U se e só se F é contínua em todos os pontos de U.

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2.3 Limites e Continuidade 23

Exemplo 2 A função projecção definida e estudada no exemplo 19 é contínua em Rn. De facto seja a ∈ Rn um ponto qualquer. Ora por definição da

pi (a1, a2,, an) = ai

função pi Por outro lado, no exemplo 19, vimos que lim

Logo, lim o que mostra que pi é contínua em a.

Teorema 3 Sejam F : DF ⊆ Rn → Rm , contínua em a ∈ DF e G : DG ⊆ Rm → Rp, contínua em b = F(a) ∈ DG. Admita-se que F(DF ) ⊆ DG. Então a função composta G ◦ F é contínua em a ∈ DF.

Demonstração: Seja ε > 0 qualquer. Por hipótese G é contínua em b, logo como F é contínua em a, para este δ existe γ > 0 tal que

o que significa que G ◦ F é contínua em a ∈ DF. cqd

Proposição 5 Seja f,g : U ⊆ Rn → R funções contínuas em a ∈ U . Seja α ∈ R. Então são contínuas em a ∈ U as funções definidas por

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24 Funções Diferenciáveis

Demonstração: Para demonstrar qualquer destas proposições basta recorrer à definição de continuidade num ponto e às propriedades dos limites. Por exemplo, para demonstrar 2.14 basta usar a propriedade 2.10 da proposição 4 e a definição de continuidade num ponto cqd

Exemplo 23 Consideremos a função estudada no exemplo 20

O domínio de f é U = R2 \ {(0,0)}. Pela propriedade 2.16 do teorema 5 podemos justificar a continuidade de f em U. De facto, f é o quociente de duas funções contínuas, não se anulando a função denominador em U. A função definida por h(x,y) = 3x2y é contínua pois é o produto de funções

U e é contínua pois é a soma de duas funções contínuas, os quadrados das funções projecção p1e p2. Como vimos no exemplo 20 esta função não está definida na origem mas provámos que o limite da função quando (x,y) tende para (0,0) é 0. Isto significa que é possível definir um prolongamento contínuo de f a R2, bastando para isso considerar uma nova função, g

A função g assim definida é contínua em R2.

Exercício 12 Defina, se possível, um prolongamento contínuo das seguintes

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2.4 Diferenciação

Usando limites e continuidade podemos descrever algumas propriedades de uma função. Para obter mais informação usamos um outro conceito, o conceito de derivada. Isto já sucedia com as funções reais de variável real. Por exemplo, consideremos a função definida por f(x) = e−x2. A informação relativa à continuidade diz-nos que é possível traçar o seu gráfico sem ”levantar” o lápis do papel! A informação proveniente dos limites diz-nos que y = 0 é a sua assimptota horizontal! Com o auxílio da sua derivada a função, f′(x) = −2xe−x2, podemos dizer que é crescente para x > 0 e decrescente para x < 0 . Além disso podemos descrever como varia f. Observando que f′(−2) ≈ 0,07 e que f′(−0,5) ≈ 0,78 podemos afirmar que f cresce mais depressa para valores de x perto de -0,5 do que para valores de x perto de -2.

Dada uma função f definida num aberto A ⊆ Rn vamos analisar a variação de f numa vizinhança de a ∈ A, ao longo de uma dada direcção orientada definida pelo versor v. Consideremos então S = {x ∈ A : x = a + hv}. Dizemos que estamos a estudar a derivada direccional de f no ponto a segundo a direcção do versor v.

Definição 19 Seja f : A ⊆ Rn → R, A um aberto de Rn e a ∈ A. Se existir limite, o número real definido por diz-se derivada direccional de f no ponto a segundo a direcção do versor v e denota-se f′v(a).

Nesta definição usamos vectores unitários para ser possível comparar o comportamento de f quando x varia ao segundo direcções distintas. Se a direcção segundo a qual se pretende calcular a derivada direccional for dada por um vector não unitário, u, é necessário normalizá-lo fazendo v = u ‖u‖.

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26 Funções Diferenciáveis

Normalizando u obtemos v = u

Observe-se que em 2.17 verificámos que não existia

Isto permite concluir que f não é contínua em (0,0). Esta função é pois um exemplo de uma função não contínua num ponto mas que tem derivada segundo v nesse ponto.

Definição 20 Seja f : A ⊆ Rn → R, A um aberto de Rn e a ∈ A. Seja ei um dos vectores da base canónica de Rn. Então, se existir, a derivada direccional de f no ponto a segundo a direcção ei, denota-se por ∂f ∂xi designa-se a i-ésima derivada parcial de f, isto é,

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Como facilmente se observa, o resultado obtido é o mesmo que se obtém considerando as variáveis x e y como constantes e derivando f como se z fosse a única variável. Esta é uma regra prática que podemos adoptar.

Portanto podemos definir uma nova função, ∂f ∂x : R2 → R tal que

não é contínua na origem pois como vimos no exemplo 21 não existe lim

No entanto existem as derivadas parciais na origem pois,

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28 Funções Diferenciáveis

Na teoria das funções reais de variável real sabemos que uma função derivável é contínua. Se para funções de várias variáveis um teorema semelhante for válido então esta função não é derivável na origem. Este exemplo mostra que possuir derivadas parciais num ponto não basta para a função ser derivável nesse ponto.

Vamos procurar agora definir derivada de uma função num ponto. Para uma função real de variável real a derivada de uma função num ponto representa o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto (x,y). Por exemplo se f for a função definida por f(x) = x2 + 5, a recta tangente ao seu gráfico em x = 2 tem declive 4 e fica definida por y = 4x+1. Na figura 2.8 podemos verificar que numa vizinhança do ponto (2,f(2)) o gráfico da função definida por y = 4x + 1 se confunde com o gráfico de f.

Figura 2.8: Gráfico de f e da recta tangente no ponto (2,f(2))

A questão que se nos coloca é a de generalizar a definição de derivada num ponto para funções escalares e para funções vectoriais. Recordemos

Lições de Análise Matemática 2 que f : I ⊆ R → R , I um aberto de R, é derivável em a ∈ R se e só se existe o número real f′(a) tal que

Reescrevamos a definição de modo a que ela se possa aplicar a uma função de várias variáveis. Usando as propriedades dos limites,

⇔ lim

Assim a nova definição de derivada de f no ponto a tem o seguinte enunciado:

Definição 21 Seja f : I ⊆ R → R , I um aberto de R. f é derivável em a ∈ I se e só se existe o número real f′(a) tal que lim x→a

Seja l a função definida por l(x) = f(a) + f′(a)(x − a). O gráfico de l é a recta tangente ao gráfico de f em (a,f(a)). Então 2.19 significa que, perto de a, l está suficientemente próximo de f, no sentido de que |f(x) − l(x)| tende mais depressa para 0 do que x − a, quando x tende para a.

Considerando a definição de derivada de uma função real de variável num ponto dada por 2.19 vejamos como é possível generalizá-la a funções de duas variáveis.

além disso

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30 Funções Diferenciáveis

Exemplo 28 Consideremos a função

Vejamos que f é derivável no ponto (1, 12 ). De facto, existem as derivadas parciais de f neste ponto,

lim

Para verificar que este limite é zero basta simplificar o numerador, e portanto

lim

= lim

Lições de Análise Matemática 2 o que mostra que f é derivável em (1, 12 ). Então podemos definir o plano

), como o plano de equação

Figura 2.9: Gráfico de f e do plano tangente em (a,f(a))

Vamos designar por Df(x0,y0) a matriz das derivadas parciais, a matriz linha

Então, a definição 2.20 garante que

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32 Funções Diferenciáveis é uma boa aproximação de f perto de (x0,y0). Mais uma vez realcemos que boa aproximação significa que 2.2 difere de f por uma quantidade inferior perto de (x0,y0). Estamos agora em condições de introduzir a definição de derivada num ponto para funções F : A ⊆ Rn → Rm , A um aberto de

Rn. Caso exista, a derivada DF(a) de F = (f1,f2,...,fm) em a ∈ A é a transformação linear definida pela matriz T ,tal que

matriz essa que se designa por matriz das derivadas parciais de F em a ou matriz jacobiana F em a.

Definição 24 Seja A um aberto de Rn e F : A ⊆ Rn → Rm . Dizemos que F é derivável (ou diferenciável) em a ∈ A se e só se existem as derivadas parciais de F em a e

lim x→a onde J = DF(a) é a matriz das derivadas parciais de F em a que também se designa por matriz jacobiana F em a. A transformação linear definida por J diz-se derivada de F em a.

não é derivável na origem. Vimos no exemplo 27 que no entanto

Lições de Análise Matemática 2 não existe.

= lim

o que significa que a existir limite será 0. Seja agora

Então

Pelo teorema da unicidade do limite podemos concluir que não existe L e portanto f não é derivável na origem.

Exemplo 30 Calcular a matriz das derivadas parciais da função

A matriz das derivadas parciais da função G é a matriz DG(ρ,θ) =

[ cosθ −ρsinθ sinθ ρcosθ

Definição 25 Dizemos que uma função f é derivável (ou diferenciável) se e só se f for derivável em todos os pontos do seu domínio.

Definição 26 Seja f : A ⊆ Rn → R , A um aberto de Rn, uma função derivável em a ∈ A. O vector definido por

(a),,

designa-se por vector gradiente de f em a.

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34 Funções Diferenciáveis

(x1, x2,, xi, ..., xn) 7→ xi
é derivável em a = (a1, a2,,ai, ...,an) ∈ Rn. De facto, pi(a) = ai e ∂pi

pi : Rn → R ∂xi e ∂pi

(x1 − a1)2 ++ (xn − an)2
(x1 − a1)2 ++ (xn − an)2

Então pi é derivável em Rn.

agora L = 0, sendo L o limite,

Ora

é a aplicação linear definida pela matriz linha [ 0 1 ] ,

O plano definido por z = y é o plano tangente ao gráfico de f em (0,0,0).

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2.5 Propriedades da Derivada 35

2.5 Propriedades da Derivada

Teorema 4 Seja A um aberto de Rn, F,G : A ⊆ Rn → Rm funções deriváveis em a ∈ A. Então a função F + G é derivável em a ∈ A e

Seja α ∈ R, então αF é derivável em a ∈ A e

Seja A um aberto de Rn, f,g : A ⊆ Rn → R funções deriváveis em a ∈ A. Então a função fg é derivável em a ∈ A e

é derivável em a ∈ A eD

Exemplo 3 Mostrar que a função f : R2 → R definida por f(x,y) = xy é derivável em R2. A função f é o produto das funções projecção

Como demonstrámos no exemplo 31 estas funções são deriváveis em R2. Sabemos que

Aplicando agora 2.26, podemos afirmar que f é derivável e

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36 Funções Diferenciáveis

riváveis, não se anulando a função denominador, logo pela propriedade 2.27 do teorema 4 f é derivável. De facto, h : R2 → R definida por

é derivável porque é a soma (algébrica) de produtos das duas funções projecção que já sabemos serem funções deriváveis. Pelas propriedades 2.24 e 2.26 podemos garantir que h é derivável. Quanto a g : R2 \ {(0,0)} → R definida por g(x,y) = x2 + y2

Portanto f é derivável na origem se e só se

Ora

Observando que

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2.5 Propriedades da Derivada 37 e que

ou seja L = 0. Portanto f é derivável na origem. Logo f é derivável.

Exemplo 35 Definir o plano tangente à superfície, z = x2 + y3 no ponto (3,1,10). A superfície dada é o gráfico da função f : R2 → R definida por

Atendendo às propriedades das derivadas podemos afirmar que f é derivável

de funções deriváveis - as funções projecção p1 e p2. Por outro lado, f(3,1) =

Teorema 5 Seja A um aberto de Rn, F : A ⊆ Rn → Rm uma função derivável em a ∈ A e G : B ⊆ Rm → Rp uma função derivável em F(a) ∈ B, B um aberto de Rm tal que F(A) ⊆ B. Então a função G◦F é derivável em a ∈ A e além disso

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38 Funções Diferenciáveis

segue-se que

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2.5 Propriedades da Derivada 39

pelo que, uma vez que f e C são funções deriváveis,

e DC(t) é a matriz coluna,

Logo

Observe-se que g = f ◦ C é uma função real de variável real. Portanto

Exemplo 39 Consideremos o caso mais geral em que f : R3 → R e G : R3 → R3 são funções deriváveis. Admitamos que f = f(u,v,w) e que

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40 Funções Diferenciáveis

Então a função escalar h = f ◦ G é também derivável e

Pode ser calculada usando a regra da cadeia,

|(x,y,z) Ou seja,

Lema 1 Seja A um aberto de Rn e F : A ⊆ Rn → Rm uma função derivável em a ∈ A. Então para x 6= a, x pertencente a uma vizinhança de a,

Demonstração: Por hipótese F é derivável em a ∈ A, logo por definição lim x→a

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2.5 Propriedades da Derivada 41

Usando agora a propriedade da norma matricial

Teorema 6 Seja A um aberto de Rn e F : A ⊆ Rn → Rm uma função derivável em a ∈ A. Então F é contínua em a.

o que prova que ou seja, F é contínua em a. cqd

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42 Funções Diferenciáveis

Teorema 7 Seja A um aberto de Rn, f : A ⊆ Rn → R , e a ∈ A. Se existem as derivadas parciais de f numa vizinhança de a e se as derivadas parciais forem funções contínuas em a então f é derivável em a.

Definição 28 Seja A um aberto de Rn, f : A ⊆ Rn → R . Se f for contínua em A, f diz-se uma função de classe C0.

Se f é uma função de classe C0 e além disso existem e são contínuas as derivadas parciais de f, então f diz-se uma função de classe C1.

Os resultados sobre a diferenciabilidade de uma função num ponto podem ser resumidos no seguinte esquema:

f de classe C1 ⇓ f derivável =⇒ existem derivadas parciais de f ⇓ f contínua

2.6 Propriedades do Gradiente

Teorema 8 Seja A um aberto de Rn, f : A ⊆ Rn → R e u um versor de Rn. Se f for derivável em a ∈ A então

Uma vez que s(0) = a e f é derivável em s(0) = a e s derivável em 0, pelo teorema da derivada da função composta, g é derivável em 0. Além disso,

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