Baixe Fundamentos de Máquinas Elétricas - del Toro e outras Notas de estudo em PDF para Máquinas Elétricas, somente na Docsity! VINCENT DEL TORO Este amplo estudo dos fundamentos de! máquinas elét CEEE Er cre RED ES o ERR RES que podem ser considerados como o núcleo central de um em máquinas elétric: Que se desenvolvem f CANO Ds três primeiros capítulos da Parte | estabelecem o conhecimento El io Re SS MS LE A TETAS ele do la aos o o aaa de EIS s/a Elen Tatoo ERES indução EEE RN TIE ft SR Gu (eli ço SAE ATT EIS top) AE! Seguintes tópicos especializados: motores bifásicos, como os Sof ot o EJA SOS = To EE Alle RE Raio ES CRT are pt ele Ret ssa io et Joice d EU De e telefona feito plano lo RSI RE lee R Toco rrae og titan assimicomo do comporiamento em regime permanente. Ee. "= Ro io nto Red ST FUNDAMENTOS | | DE MÁQUINAS | ELÉTRICAS Nini Del Toro Professor Emeritus Depariment of Electrical Engineering City University of New York Tradução Onofre de Andrade Martins Engenheiro Eletricista Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica pela y Escola Federal de Engenharia de Itajubá, MG EDITORA a E % (Te 2 9 º K a LC FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA — Conteúdo 3.4 Formas Práticas das Fórmulas de Torque Tensão, 122 3.5 Observações Finais, 131 Problemas, 131 4 Motores de Indução Trifásicos, 135 4-1 O Campo Magnético Girante, 136 4.2 Escorregamento do Motor de Indução, 141 4.3 O Circuito Equivalente, 144 44 Cálculo do Desempenho, 147 45 Correlação da Operação do Motor de Indução com as Equações Básicas do Torque, 152 4.6 Características de Torque-Velocidade: Torques de Partida e Máximo, 155 47 Parâmetros do Circuito Equivalente de Testes em Vazio, 160 4-8 Controle da Velocidade, 166 49 Método Eletrônico de Controle da Velocidade, 173 410 Valores Nominais e Aplicações de Motores de Indução Trifásicos, 180 4-1 Controladores para Motores de Indução Trifásicos, 186 Problemas, 189 5 Geradores Síncronos Trifásicos, 197 5-1 Geração de uma Tensão Trifásica, 197 5-2 Análise Linear pelo Método Geral, 199 3.3 Análise Linear pelo Método da Reatância Síncrona. O Circuito Equivalente, 205 5.4 Análise Não-linear de Máquinas, 208 3.5 Determinação Experimental da Reatância de Dispersão, x, e Fam de Reação de Armadura, A, 213 5.6 Teoria para Máquinas de Pólos Salientes, 215 5-7 Potência, 224 5.8 Operação em Paralelo de Geradores Síncronos, 229 Problemas, 233 & Motores Síncronos Trifásicos, e39 6-1 Diagrama Fasorial e Circuito Equivalente, 240 6-2 Cálculo do Desempenho, 241 6:3 Controle do Fator de Potência, 248 6-4 Aplicações de Motores Síncronos, 251 6-5 Excitação de Campo por Fontes Retificadas, 252 66 Correlação da Operação do Motor Síncrono com a Equação Básica do Torque, 258 Problemas, 262 7 Geradores de Corrente Contínua, 266 7-1 Geração de Tensões Unidirecionais, 266 7-2 Tipos de Geradores de Corrente Contínua, 270 73 Efeito de Desmagnetização da Fam do Enrolamento de Armadura, 213 7-4 Características Externas do Gerador, 275 7-5 Cálculo do Desempenho do Gerador, 281 7-6 Comutação, 285 Problemas, 290 8 Motores de Corrente Contínua, 294 8-1 Características Torque-Velocidade do Motor, 294 9 10 a 12 13 Conteúdo ix &2 Circuitos Equivalentes e o Diagrama de Fluxo de Potência. 504 83 Controle da Velocidade, 307 8-4 Inversão de Velocidade, 321 | $5 Motores de Corrente Contínua de Ímã Permanente, 322 8.6 Características de Operação e Aplicações, 326 8 Dispositivos de Partida e Controladores para Motores de cc,327 8.8 Controle da Velocidade por Meios Eletrônicos, 330 Problemas, 339 Motores de Indução Monofásicos, 348 9-1 Como o Campo Girante é Obtido, 348 9.2 Circuito Equivalente pela Teoria de Campos Girantes Duplos, 350 9.3 Cireuito Equivalente Através de Componentes Simétricos, 354 9.4 Características de Torque-Velocidade, 359 9-5 Análise do Desempenho, 361 9.6 Cálculo Aproximado dos Parâmetros do Circuito Equivalente, 364 9.7 Tipos de Motores Monofásicos, 369 9.8 Características de Operação e Aplicações Típicas, 316 Problemas, 377 PARTE Il: TÓPICOS PARA ESTUDO ADICIONAL, 381 Motores Bifásicos Desequilibrados: Servomotores, 381 10-1 Componentes Simétricos, 381 10-2 Componentes Simétricos Aplicados a Motores Bifásicos Desequilibrados, 387 10.3 Gireuito Equivalente e Desempenho Bascado em Componentes Simétricos, 390 10.4 Curvas de Torque-Velocidade dos Servomotores, 397 Problemas, 402 Motores de Passos, 406 11-1 Aspectos de Construção, 406 11-2 Método de Operação, 408 11.3 Amplificador Excitador e Tradutor Lógico, 412 114 Meio Passo e a Segiência de Comutação Exigida, 415 11.5 Motor de Passos de Relutância, 417 11.6 Valores Nominais e Outras Características, 418 Problemas, 419 Sincros, 421 12-1 Aspectos de Construção, 421 122 Relações de Tensão, 423 12:3 Aplicações, 426 124 A Superioridade de Enrolamentos Distribuídos Senoidalmente, 430 12.5 Fim do Estator do Transformador de Controle no Modo CX-CT, 433 13.6 Exros de Deslocamento Causados por Harmônicos do Espaço no CT, 436 127 Erros Estáticos e Tensões Residuais, 441 Problemas, 443 Dinâmica das Máquinas Elétricas, 446 13-1 A Função de Transferência, 446 X Conteúdo 13.2 Comportamento Dinâmico de um Motor de CC com uma Carga Mecânica Conectada, 451 13-3 À Dinâmica do Gerador de CC, 459 ' 13:4 A Dinâmica de um Sistema Motor-Gerador, 464 13.5 Função de Transferência do Motor de CC, 46 13.6 Função de Transferência do Servomotor Bifásico, 475 13-7 O Gerador Amplidino 479 13.8 Um Sistema de Controle de Tensão com Realimentação, 485 ! Problemas, 490 E Apêndice ao Capítulo 3, 499 Prefácio 3A Torque Desenvolvido para B e NI Senoidais: Máquinas de CA, 499 3B Torque para B Não-Senoidal e Distribuição Ampêre-Condutor Uniforme: o Caso das Máquinas de CC, 506 3C A Equação Genérica do Torque, 510 Apêndices, 522 A. Unidades e Fatores de Conversão, 522 B. Fatores de Passo e Distribuição para Enrolamentos de Máquinas, 524 Este livro é dividido em duas partes. A Parte I é dedicada à explicação de tópicos que podem ser consi- C. Dedução da Pmm de Pico por Pólo de um Enrolamento Polifásico, 528 derados na elaboração do núcleo central de um curso básico em máquinas elétricas. A Parte II é dedica- D. Fatores de Redução para Enrolamentos Polifásicos, 532 qa a uma série de tópicos ecléticos, que se desenvolvem facilmente sobre os fundamentos estabelecidos E. Método da Reatância Síncrona Saturada Bascado no Fluxo Resultante, 535 na primeira parte. Na maioria das vezes, um curso de um semestre é adequado para um programa resu- F. Teste de Escorregamento para Máquinas Síncronas de Pólos Salientes, 537 ido que inclua os Capítulos 1 a 9. Evidentemente, nem todos os tópicos em cada capítulo devem ne- G. Uma Pequena Bibliografia, 539 cessariamente ser parte de tal programa. O tratamento dado ao assunto fregiientemente se presta a uma exclusão seletiva de determinados tópicos em cada capímlo, caso o tempo seja um fator importante. Além Respostas a Problemas Selecionados, 340 disso, o Sumário foi moldado com flexibilidade, de forma a permitir aos instrutores que assim 6 deseja- fem à inclusão, no programa, de tópicos específicos como motores de passos, sincros e dinâmica de Índice Alfabético, 546 máquina. Isso pode ser obtido evitando-se alguns dos pontos mais aprofundados dos primeiros capítu- Os três primeiros capítulos da Parte | servem para estabelecer os conhecimentos básicos que tor- nam possível analisar as máquinas elétricas convencionais — especificamente, motores de indução tri- fásicos e monofásicos, geradores e motores de ce e geradores e motores síncronos. De forma simplifica- da, pode-se dizer que o estudo das máquinas elétricas envolve duas leis fundamentais: a lei de Faraday da indução eletromagnética, que descreve a geração de tensão em um enrolamento por um campo mó- Vel ou variável no tempo; e a lei Ampêre, que descreve a produção de torque em um condutor que con- dz uma corrente em um campo magnético. Devido à extraordinária importância do campo magnético Nestas leis, o livro começa, no Capítulo 1, com uma descrição da teoria magnética e seus circuitos. A meta primária aqui é definir as várias grandezas magnéticas é delinear seus papéis na teoria de circuitos magnéticos. Afinal de contas, as máquinas elétricas são construídas, em grande parte, para proporcionar percursos adequados para o campo magnético. O foco no Capítulo 2 está na aplicação da lei de Faraday como base para a construção de um dispositivo extremamente útil — o transformador. O transformador preenche vários propósitos úteis em vários campos da engenharia elétrica, de forma que o entendimento de seus princípios de operação permite uma fácil compreensão da operação de todas as máquinas elétri- cas. Aqui, o estudo se volta fortemente para um entendimento dos aspectos físicos da operação do trans- formador. Esta atitude se reflete mesmo na dedução do circuito equivalente. Contudo, para satisfazer aquelas pessoas que preferem estudos mais orientados para o aspecto matemático, isto também foi in- cluído. No Capítulo 3, o esforço é dirigido a uma análise da produção do torque na máquina elementar, pelo uso das duas leis fundamentais e para uma descrição de como as grandezas elétricas e e i são rela- Cionadas às grandezas mecânicas associadas, T e «, através da Lei da Conservação da Energia. Uma análise mais detalhada da produção de torque e da geração de tensão em situações associadas com con- figurações de máquinas reais aparece, para simplificar, no Apêndice ao Capítulo 3, no final do livro. Contudo, os resultados encontrados neste apêndice são empregados na última seção do Capítulo 3 para “d xii Prefácio deduzir formas práticas das equações do torque e da tensão, como aplicadas a máquinas de ca e cc. Estas últimas formas são então frequentemente empregadas nos demais capítulos do livro. Com base no conhecimento genérico estabelecido no estudo dos Capítulos 1 a 3, os vários tipos de máquinas elétricas se tornam um assunto de rotina. Primeiramente, a atenção é dirigida, no Capítulo 4, para o motor de indução trifásico. Esta escolha foi feita não apenas porque este motor é o mais popu- lar encontrado na indústria, mas também porque a análise está muito próxima daquela do transformador estático, apesar do fato de um elemento girante estar envolvido. O circuito equivalente é exatamente o mesmo, em forma, que o do transformador. O significado de alguns dos parâmetros de circuito, contu- do, é diferente, c esta diferença aparece efetivamente ao se continuar com ênfase na interpretação física, enquanto que ao mesmo tempo se persegue uma formulação matemática rigorosa. O diagrama de fluxo de potência é apresentado neste capítulo pela primeira vez e sua utilidade em ajudar a avaliar 0 desem- penho do motor é amplamente ilustrada. O controle da velocidade destes motores é um importante as- pecto de aplicação e, consegientemente, recebe uma boa parcela de atenção, com ênfase especial nos meios de controle eletrônicos. O capítulo se encerra com uma lista de aspectos de operação e áreas de aplicação, assim como com uma discussão de controladores. Os Capítulos 5 e 6 tratam, respectivamente, dos geradores e motores síncronos trifásicos. Tanto a análise linear como a não-linear pelo método geral e pelo método da reatância síncrona são considera- das, e estes procedimentos são aplicados a rotores cilíndricos, assim como máquinas com pólos salien- tes. A estabilidade estática do motor síncrono sob carga, o uso de motores síncronos para controle do fator de potência e a excitação de seu enrolamento de campo por fontes retificadas são tópicos que rece- bem a merecida atenção. Além disso, estes capítulos dão prosseguimento ao tema que enfatiza as inter- pretações físicas dos resultados matemáticos. A operação e o desempenho dos geradores e motores de cc são abordados nos Capítulos 7 e 8. Como a máquina de cc é equipada com um retificador mecânico (o comutador) para converter as ten- sões de ca induzidas nas bobinas para formas unidirecionais, a necessidade de uma boa comutação é imperativa e, por uma questão de consistência, é atribuída a este tópico a atenção correspondente. Tam- bém importante para um entendimento mais completo do desempenho da máquina de cc é uma avalia- ção do efeito de desmagnetização causado pela força magnetomotriz do enrolamento de armadura. Por- tanto, este tópico também recebe um tratamento especial. Além disso, devido à importância que a declividade e a forma das características de torque-velocidade dos vários tipos de motores de cc têm na sua adequada aplicação, incluiu-se uma ampla análise destas características para os motores em deriva- ção, composto e série. Este estudo é também útil na compreensão dos vários métodos de controle de velocidade destes motores. Além do estudo do controle da velocidade por esquemas convencionais de controle do campo, são também amplamente discutidos os ajustes na resistência do circuito de armadu- ra e ajuste na tensão de armadura, e o uso de processos eletrônicos baseado em tiristores e sistemas de alimentação pulsadores. a O Capítulo 9 trata do motor de indução monofásico, que é a máquina mais complexa abordada na Parte L. Dois procedimentos são descritos para analisar este motor. Um é a teoria de campos girantes duplos, que não requer nenhuma teoria além da que foi apresentada nos capítulos precedentes. A outra é o uso dos componentes simétricos, que necessita de um novo tratamento teórico. Contudo, no sentido de simplificar e não prejudicar a continuidade, a dedução deste novo tratamento teórico é colocada no Capítulo 10, mas os resultados são usados no Capítulo 9 para a dedução de um circuito equivalente que, cómo mostrado, é idêntico ao obtido pela teoria de campos girantes duplos. O resto do Capítulo 9 é dedicado à descrição de aspectos de construção e operação dos vários tipos de motores monofásicos que são fregientemente encontrados em ambientes domésticos e comerciais. O motor bifásico desequilibrado é estudado no Capítulo 10, que é o primeiro capítulo da Parte IL. Contém uma análise detalhada dos componentes simétricos de quatro fases, os quais podem ser altera: dos para fornecer os resultados que são aplicados a motores monofásicos ou a motores bifásicos dese- quilibrados, como os servomotores. A segunda metade deste capítulo trata exclusivamente do servomo- tor, que é encontrado em muitos servomecanismos. Os motores de passos são apresentados no Capítulo 11, através de uma detalhada descrição da versão com ímã permanente destes motores, junto com seus amplificadores excitadores e seus dispositi- Prefácio xiii vos tradutores lógicos. O motor de passos de relutância é também resumidamente discutido. O Capítulo 12.trata de outro tópico especializado — o sincro. Os aspectos de construção dos vários tipos são ampla- mente detalhados, juntamente com suas relações de tensão, aplicações, erros e tensões residuais. Toda a análise de máquinas na Parte 1 é restrita ao comportamento em regime permanente. Em contraste, no Capítulo 13 é dada ênfase em formulações que permitem que o comportamento dinâmico, assim como o comportamento em regime permanente, seja descrito. Estes resultados são obtidos seja através da análise por funções de transferência, seja por um equacionamento por variáveis de estado. Os dois procedimentos são abordados e aplicados a máquinas de cc e ca. O A e e ami 2 Teoria e Circuitos Magnéticos Capítulo 1 1-1 LEI DE AMPERE — DEFINIÇÃO DE GRANDEZAS MAGNÉTICAS Na Fig 1-1 está ilustrada uma variante simplificada da experiência de Ampêre. O arranjo consiste em um soneto longo, 1, conduzindo uma corrente com módulo constante, 1, e um condutor elementar ento conduzindo uma corente com módulo constante 1» em sentido oposto a 1, Conside- dent, o condutor elementar e a corrente 1, constituem um elemento de corrente, + o o elementar é na realidade, parte de um circuito fechado na qual 7, cirêula, mas, por simplicida- e os detalhes do ciruito foram omitidos, exceto pelo comprimento 1. Álém disso, su dee so que os condutores 1 e 2 estão no mesmo plano horizontal são paralelos entre si. De acordo com a lei de Ampêre, observa-se que, com este arranjo, existe uma força no condutor elementar, dirigida ag a direita, Orossim, o módulo da força resula sendo diretamente proporcional al, 1, Le ao meio ambiente que envolve os condutores, e inversamente proporcional a distância entre os mesmos. Em dades mike: o módulo desta força pode ser demonstrado como sendo dado por newtons (N) a) onde 1, e 1, estão em ampêres, Le rem metros e p é uma propriedade do meio. Uma observação adicional interedsarie sobre essa experiência é que, se o condutor elementar 2 for usado como um corpo de prova para buscar os pontos no espaço onde a força tem módulo constante e é dirigida para fora, o lugar geo- métrico resultante é um círculo de raio r, centrado no eixo do condutor 1. Em outras palavras, épossível se identificar um campo com linhas de força constantes. Neste contexto, é útil, neste momento, reescre- ver a Eq. (1-1) como segue: F=LI8 (1-2) onde E 2m 05 Aqui, por razões que se tornam agora claras, E é definido* como o campo magnético ou, ainda melhor, ato densidade de fluxo magnético existente na região onde está o condutor elementar 2 e é expresso Er gégie 4 Fig. 1.1 Ilustração da força existente entre o elemento de corrente 1 [e um condutor longo que conduz a corrente 1, como descrito pela lei de Ampêre. g 2Sistema de unidades metro-quilograma-segundo. Essa definição de B está coreta para o arranjo da e “Es definição de eá coma Toda Fig 1-1. Para outras configurações, a forma será similar, mas as constantes serão geralmente Seção 1-1 “Lei de Ampêre — Definição de Grandezas Magnéticas 3 em unidades webers/metro? ou teslas (T). Como a Eq. (1-2) indica, a densidade de fluxo magnético é definida como uma força medida, F, por elemento de corrente LL. A equação (1-3) é simplesmente um meio de identificar a forma pela qual a corrente 1, influencia o campo de força ao redor do elemento de corrente. É importante se notar que, se 1, não for zero, o campo de força e o campo magnético têm as mesmas características — ambos têm um lugar geométrico circular e ambos são grandezas vetoriais, possuindo módulo e sentido. Contudo, devido ao modo como B é definido, o campo magnético existe se 1, não for zero, independentemente do valor de 1,. A densidade de fluxo magnético representa, desta forma, os efeitos das cargas em movimento que produzem Tr Em nosso estudo de máquinas elétricas, que virá a seguir, o condutor 1 será referido como o enro- Jumento de campo, porque ele produz o campo magnético de trabalho, ao passo que o circuito completo do qual o condutor elementar é uma parte, é chamado de enrolamento de armadura. “O sentido do campo magnético é rapidamente determinado pela regra da mão direita, que estabe- tece que, se o condutor do enrolamento de campo (1, neste caso) é seguro com a mão direita, com o polegar apontando no sentido da circulação da corrente, às linhas de fluxo (ou densidade de fluxo) serão no sentido em que os dedos envolvem o condutor. Permeabilidade O exame da Eq, (1-1) nos mostra que todos os fatores nessa equação são conhecidos, com exce- ção do fator de proporcionalidade | que é uma característica do meio. Repetindo-se a experiência da ie, 1-1 em ferro ao invés de ar, encontra-se que a força é muitas vezes maior, para os mesmos valores de, [, Le r. Portanto, segue-se que p. pode ser definido da Eq. (1-1) para vários meios diferentes, pois é à única grandeza desconhecida. Além disso, devido à forma como a densidade de fluxo magnético foi definida, a Ea. (1-3) indica que o efeito do meio pode ser representado em função da taxa com a qual ele qumenta ou diminui a densidade de fluxo magnético para uma corrente especificada 1,. Desta forma, quando o meio for ferro ao invés de vácuo, pode ser dito que O ferro proporciona uma maior penetração do campo magnético numa dada região, isto é, existe uma maior densidade de fluxo. Essa propriedade do meio em que os condutores estão colocados é chamada permeabilidade. Quando os condutores da Fig. 1-1 forem hipoteticamente colócados no vácuo e a força for medida para valores especificados de 1, Le 1, valor para a permeabilidade do vácuo obtida da Eq. (1-1) e expresso em unidades mks será A unidade de perineabilidade também saí da Eq. (1-1). Desta forma newtons Ho Campêre? onde a significa “é proporcional a”. Mas newton-metro = joule = volt X ampêre X segundo ou volt X ampêre X segundo volt X segundo ESP = Ho ampêre” x metro ampêre X metro Contudo, volt X segundos / ampêre é a unidade de indutância, expressa cm henrys. Consegiientemente, a permeabilidade é expressa em unidades henrys/meiro (Em). é Gircuitos Magnéticos Capítulo 1 “ihsNaqueles casos, onde o meio for diferente do vácuo, a permeabilidade absoluta é novamente, e de forma fácil, calculada da Eq. (1-1). Uma comparação com o resultado obtido para o vácuo conduz a uma deza chamada permeabilidade relativa, y, Sua expressão matemática é (1-5) A Eq. (1-5) indica claramente que a permeabilidade relativa é simplesmente um número que expressa a taxa na qual a densidade do fluxo magnético aumenta ou diminui, em relação à do vácuo. Para alguns materiais, como o Deltamax, o valor de q, pode exceder a 100.000. A maioria dos materiais ferromag- néticos, contudo, tem valores de qt, na casa de centenas ou milhares. Fluxo Magnético O Antes de considerar o modo pelo qual essa grandeza é definida, vamos investigar primeiramente de forma mais detalhada as dimensões da densidade de fluxo magnético E, como deserito na sua expres- são de definição, Eq. (1-2). Desta forma Bo — newtons ampêres X metro Bo Volts X segundos X ampêres volts X segundos a.6 ampêres X metro? metro? O exame desta expressão revela que B é, na realidade, uma densidade, pois envolve metros ao quadrado no denominador. Consegiientemente, é razoável esperar-se que, visto que B é definida como uma den- sidade de fluxo magnético, então seu produto pela área efetiva que B peneira deve resultar no fluxo magnético total. Para ilustrar esse ponto, vamos nos referir à Fig. 1-2, que mostra uma bobina dé área ab, colocada no mesmo plano horizontal que contém o condutor 1. Já sabemos que, quando uma corren- Condutor 1 - o + (2) Vista suporior (b) Vista frontal Fig, 1.2 Associando uma área com um campo magnético B para identificar um fluxo magnético. Seção 1-1 Lei de Ampêre — Definição de Grandezas Magnéticas 5 Fig. 1.3 Idêntica à Fig. 1-2(b), exceto que a bobina está inclinada 60" com relação ao plano horizontal Condutor 1 fe 1, circula através desse condutor, um campo magnético é gerado no espaço e é descriio pela Eq. (1- 3). Para calcular o fluxo total que penetra a bobina é necessário simplesmente efetuar um: integração de B ao longo da área superficial considerada. Evidentemente, se B fosse uma consta longo da área considerada, o fluxo seria simplesmente o produto de B pela área ab. A seguir considere que o Plano da bobina se incline em relação ao plano do condutor 1 por 60”, como representado na Fig. 1-3. Evidentemente, agora o fluxo total que penetra a bobina é reduzido por um fator igual a '4. Se a bobi- na for orientada para a posição de 90º em relação ao plano horizontal, nenhum fluxo atravessará à bobina. Bascado nestas observações, temos então que o fluxo magnético através de alguma superfície é definido de forma mais rigorosa como a integral de superfície da componente normal do vetor campo magnético, B. Em forma matemática, temos 4-7) onde s representa a integral de superfície, A representa a área da bobina e Bn é a componente normal de B à superfície da bobina. Da expressão (1-6), sabemos que o fluxo magnético deve ter dimensões de voli-segundo. Contudo, é mais fregilentemente chamado de webers, abreviado por Wb. À unidade Yoltsegundo do fluxo é de mais fácil entendimento em termos da lei de Faraday da indução [ver Ea, (2-8]. Intensidade do Campo Magnético H É fregientemente útil, em cálculos de circuitos magnéticos, trabalhar-se com uma grandeza re- Presentando o campo magnético que seja independente do meio no qual o fluxo magnético está imerso. 5so é especialmente verdadeiro em situações tais como as que são encontradas nas máquinas elétricas, onde um fluxo comum penetra diversos materiais diferentes, inclusive ar. O exame da Eq. (1-3) revela que a divisão de B por |. caracteriza tal grandeza. Consegilentemente, a intensidade do campo magnéti- co é definida como (158) e tem unidades newtons ampêresxmetro ampêres A metro m e dj A p— 6 Teoria e Circuitos Magnéticos Capítulo 1 Desta forma, H é dependente da corrente que a produz e também da geometria da configuração, mas não do meio, Para o sistema da Fig. 1-1, o valor da intensidade do campo magnético segue imediatamente da Eq. (1-3) e é dado por Devido a H ser independente do meio, é fregientemente vista como a intensidade que é responsável pela geração da densidade de fluxo através do meio. Na realidade, contudo, H é um valor deduzido. 'No caso geral, à unidade de H é ampêre-espiras/metro e não ampêre/metro. Com um pouco de atenção, isso se toma evidente, sempre que o enrolamento de campo for formado por mais do que um condutor. Lei de Ampêre de Circuito Agora que a intensidade de campo magnético foi definida e demonstrada como tendo unidade de ampêre-espiras/metro, podemos deduzir uma expressão muito útil. Relembre que H é um vetor que tem & mesmo sentido que o campo magnético B. Para a configuração da Fig. 1-1, H tem o mesmo lugar geométrico circular que B. Uma integração de linha de H ao longo de algum percurso circular dado re- sulta importante. Evidentemente, a integral de linha é usada porque H tem dimensão por unidade de comprimento. Desta forma, 2 fu di fr da=n ampêres (1.9) (De novo, lembre-se que a unidade seria ampêre-espiras se mais do que um condutor fosse envolvido na Fig. 1-1.) A Eq, (1-9) mostra que a integral de linha fechada da intensidade do campo magnético é igual às correntes envolvidas (ou ampêre-espiras) que produzem as linhas de campo magnético. Esta relação é chamada de lei de Ampêre de circuito e é expressa como gu di= (1:10) onde & designa os ampêre-espiras envolvidos pelo percurso fechado assumido das linhas de fluxo. A grande- za F é também conhecida como força magnetomotriz e é frequentemente abreviada como fmm. Essa relação é útil no estudo dos dispositivos eletromagnéticos e será estudada nos capítulos subsegiientes. Relações Deduzidas Nas páginas anteriores, as grandezas magnéticas fundamentais — densidade de fluxo, fluxo, in- tensidade de campo e permeabilidade — foram definidas a partir da experiência elementar de Ampêre com dois condutores conduzindo corrente. Pela manipulação correta destas grandezas, outras fórmulas úteis podem ser obtidas. A Eq. (1-8) é uma equação vetorial que descreve a intensidade do campo magnético para uma dada geometria e corrente. Se o comprimento total do percurso de uma linha de fluxo for suposto como sendo |, então à força magnetomotriz (fmm) associada à linha de fluxo especificada é B F=Hl= G-11) Seção 1-1 Lei de Ampêre — Defin jo de Grandezas Magnéticas 7 Agora, nas situações onde B é uma constante e penetra uma área fixa e conhecida, À, o fluxo magnético correspondente pode ser escrito da Eq. (1-7) como (1-2) Introduzindo a Eg. (1-12) na Eq. (1-11), obtém-se 1 F-Hl=0|— (1-13) (a) O termo entre parênteses nesta última expressão é importante porque mostra uma grande semelhança com a definição de resistência! em um circuito elétrico. Relembre que a resistência em um circuito elétrico representa um impedimento à passagem da corrente criada por uma fonte de tensão. Um exa- ime da Eq. (1-13) fornece uma interpretação similar para o circuito magnético. Já estamos cientes que & é a fmm que gera o fluxo %, que penetra a área de seção transversal especificada 4. Contudo, esse fluxo é limitado em módulo pelo que é chamado a relutância do circuito magnético, que é definida como R=— (q-14) Nenhum nome específico é atribuído à dimensão de relutância, sendo referida como tantas unidades de relutância. A Eq. (1-14) indica que a resistência à circulação do fluxo que um circuito magnético apresenta é diretamente proporcional ao comprimento e inversamente proporcional à permeabilidade e à área da seção transversal — resultado que é totalmente consistente com o raciocínio físico. Introduzindo a Eq. (1-14) na Eg. (1-13), resulta (1-15) que é freqiientemente referida como a lei de Ohm do circuito magnético. É importante lembrar-se, con- tudo, que estas manipulações são válidas somente se B e A são quantidades fixas. Na maioria dos materiais ferromagnéticos reais, a relação entre & e O (ou as grandezas corres- pondentes H = Sl e B = 0/4) é não-linear, o que indica que a relutância 9 varia com a frm aplicada. O exame da Fig. 1-10 indica isso claramente. Em algumas aplicações, é a variação da relutância em relação à um ponto de operação que é importante, e não o valor total da relutância. Jsso conduz natural- mente ao conceito de relutância diferencial, que é definida como “dF dH) laH 1 049 p= $$. AD dd À E dp BA) AdB aÃ Aqui, , é a permeabilidade diferencial e é representada graficamente como a declividade de uma tan- gênte traçada na curva de B versus H. 44 resistência de um fio de cobre de comprimento 1 c área de seção transversal A é dada por R =p 1/4, onde p é a resistência do cobre 12. Teoriae Circuitos Magnéticos Capítulo 1 Fig. 1.8 Obtenção da curva de magne- tização de uma amostra de aço. - Amostra de aço que à amostra de aço está inicialmente não-magnetizada e tem a forma de um anel toroidal, com uma bobina de N voltas enrolada sobre ela. Assuma também que a bobina pode ser energizada por uma fonte de tensão variável capaz de fornecer corrente nas duas direções da bobina. Quando a corrente | aumenta a partir de zero, no sentido positivo (corrente circulando para dentro do terminal superior da bobina), um fluxo magnético & crescente aparece no corpo do toróide, no sentido dos ponteiros do relógio. Para cada valor fixo de 1, existe um valor específico de fluxo. Então, pela E. (1-12), a densidade de fluxo correspondente é determinada, visto que a área da seção transversal do toróide é conhecida. Além disso, à força magnetomotriz NI pode ser substituída por HI, de acordo com a lei circuital de Ampêre [Eq (1-10)], onde 1, é o comprimento médio do percurso do toróide (como indicado pelo círculo em linhas traceja- das, na Fig. 1-8), As duas grandezas fundamentais envolvidas nesse arranjo são, então, B, em wrebers/ metros”, e H, em ampêre-espiras por meiro. H é a grandeza com a qual desejamos trabalhar em lugar da força Magnetomotriz porque, para a mesma densidade de fluxo, ao se dobrar o comprimento médio do percurso magnético não se altera H, mas seria necessário dobrar-se a força magnetomotriz. A conclusão a ser tirada é que um gráfico de B versus H é um gráfico universal para um dado material porque pode ser estendido a qualquer geometria de área de seção reta e comprimento. Em contraste, um gráfico de & versus NI é limitado à uma configuração geométrica específica. Por conseguinte, um gráfico das carae. terísticas magnéticas de um material envolve sempre uma plotação de B versus H. Para a amostra vir- gem da Fig. 1.8, o gráfico de B versus H segue a curva Oa da Fig. 1-9, para intensidades de campo até H, Note a relação não-linear existente entre essas duas grandezas. Outra característica importante dos materiais ferromagnéticos aparece quando a intensidade do campo, tendo aumentado até um certo valor, digamos H,, é subsegientemente reduzida. Encontra-se que O material se opõe à desmagnetização e, conseglientemente, não retorna exatamente sobre a curva Qu mas sobre uma curva localizada acima de a. Veja a curva-ab, na Fig. 1.9. Outrossim, nota-se que, quando a intensidade do campo volta a zero, à densidade do fluxo não é mais zero, como foi o caso da amostra virgem, Isso ocorre porque alguns dos domínios permanecem orientados na direção do fluxo originalmente aplicado. O valor de B que permanece após a remoção da intensidade do campo H é cha- mada de densidade residual de fluxo. Além disso, seu valor varia com o ponto até onde o material foi magnetizado. O valor máximo possível da densidade de fluxo residual é chamado retentividade e ocorre independentemente do valor de H usado para causar a completa saturação. Teqlientemente, em aplicações de engenharia de materiais ferromagnéticos, o aço é submetido a valores de HT variáveis ciclicamente, tendo os mesmos limites positivo e negativo. Quando H varia entre vários ciclos idênticos, o gráfico de B versus H se aproxima gradualmente de uma curva fixa fechada, como indicado na Fig, 1-9. O ciclo é sempre percorrido na direção indicada pelas setas. Visto que O tempo É a variável implícita para esses ciclos, observe que B está sempre atrasado em relação a H. Desta forma, quando Ff é zero, B é finito e positivo, como no ponto b, e quando B é zero, como no ponto c, H é finito e negativo, e assim por diante. Essa tendência da densidade de fluxo de atrasar-se em relação à Seção 1-4 O Circuito Magnético: Conceito e Analogias 13 webers d 2 ) m Coershidado — Retentividade Li] Densidade de fluxo residual Curva de magnetização normal Ciclo de histeres e correspondente a um valor de H suficientemente grande para saturar completamente a amostra de ferro Força coersiva Fig. 1.9 Ciclos de histerese típicos e curva de magnetização normal. intensidade do campo quando o material ferromagnético está numa condição de magnetização ciclica- mente simétrica, é chamada histerese” e a curva fechada abcdea é chamada um ciclo de histerese. Além disso, quando o material está nesta condição cíclica, a quantidade de intensidade de campo magnético necessária para reduzir a densidade de fluxo residual a zero é chamada de força coerciva. Normalmente, quanto maior a densidade de fluxo residual, maior deve ser a força coerciva. O valor máximo da força coerciva é chamado de coercividade. O exame dos ciclos de histerese da Fig. 1-9 torna evidente que a densidade de fluxo correspondente a uma intensidade de campo em particular não tem um único valor. Seu valor'se situa entre certos limites, dependendo da história prévia do material ferromagnético. Contudo, visto que em muitas situações envol- vendo dispositivos magnéticos essa história prévia é desconhecida, um procedimento de compromisso é utilizado para se fazer cálculos magnéticos, fazendo-se uso de uma curva com valores únicos, chamada de curva de magnetização normal. Essa curva é obtida passando-se uma curva pelas extremidades de um gru- po de ciclos de histerese obtidos enquanto numa condição cíclica. Tal curva é Oafg na Fis. 1-9: Curvas típicas de magnetização normais de materiais ferromagnéticos usuais estão representadas na Fig. 1-10. Uma última observação é necessária neste ponto. Pela Eq. (1-8), a permeabilidade de um material pode ser expressa como a relação de B para H. Relacionando essa afirmativa com a variação não-linear que existe entre B e H (veja a Fig. 1-9), confirma a variação da permeabilidade com a densidade do fluxo como já mencionado em relação à Fig. 1-7. Na realidade, para um material numa condição cíclica, a permeabilidade não é mais que a relação entre B e H para os vários pontos ao longo do ciclo de histerese. 1-4 O CIRCUITO MAGNÉTICO: CONCEITO E ANALOGIAS Em geral, os problemas envolvendo dispositivos magnéticos são fundamentalmente problemas de campo, porque dizem respeito a grandezas como & e B, que ocupam o espaço tridimensional. Por sorte, contudo, na maior parte das vezes, o grosso do espaço de interesse do engenheiro estará preenchi- do por materiais ferromagnéticos, exceto por pequenos entreferros, que estão presentes por que assim se “Decivado do grego hystereir, significando “estar atrás de ” ou “ficar atrás” p—— 14 Teoria e Circuitos Magnéticos Capítulo 1 Seção 1-4 O Circuito Magnético: Conceito e Analogias 15 Ferro Oi N Entreferro Fig. 1.11 Circuito magnético típico, envolvendo ferro e ar. 6.000 10.000 / Fig. 1.12 Circuito unifilar equivalente da Fig. 1.11 s 8 Is deseja ou por alguma necessidade. Por exemplo, em dispositivos eletromecânicos de conversão de ener- gia, 0 fluxo magnético deve penetrar uma massa de material ferromagnético estacionária assim como o aluta em rotação, exigindo, desta forma, um entreferro. Por outro lado, em outros dispositivos, um emr +8 Ireferro pode ser introduzido intencionalmente para disfarçar a relação não-linear existente entre BeH. Mas, apesar da presença de entreferros, acontece que o espaço ocupado pelo campo magnético e o espa- ço ocupado pelo material ferromagnético são praticamente os mesmos. Normalmente isso ocorre por- que os entreferros são construídos tão pequenos quanto permitem os espaçamentos entre as partes fixas a rotativas dos dispositivos e também porque o ferro, em virtude de sua elevada permeabilidade, confina o fluxo dentro de si, da mesma forma que um fio de cobre confina a corrente elétrica ou uma tubulação 600 Fig. 1.10 Curvas de magnetização de materiais ferromagnéticos típicos. g 5 E õ g a 2 8 g 5 8 E o E Sg festringe a água. Desta forma, o problema do campo tridimensional torna-se um problema de circuito 58 Enidimensional e, de acordo com a Eq. (1-5), conduz à idéia de um circuito magnético. Desta forma, q E “gn As & o Considerar o circuito magnético como constituído predominantemente de caminhos em ferro, o Pi E de geometria especificada, que servem para confinar o fluxo; entreferros podem ser incluídos. A Fig. 88 1.11 mostra um circuito magnético típico, constituído principalmente de ferro. Note-se que a fmm da E bobina produz um fluxo que está confinado ao ferro e àquela parte do ax que tem efetivamente a mesma o área de seção transversal que o ferro. Além disso, um raciocínio simples mostra que esse circuito mag- 3 nético pode ser substituído por um circuito unifiar equivalente, como mostrado na Fig. 1-12. Como SE sugerido pelas Bgs.(1-14) e (1-15), o cirenito equivalente consiste na força magnetomotriz produzindo 25 RO attavés de duas relutâncias em série — 9, à relutância do ferro, e Ra relutância do ar gs 5 5 E Exemplo Elétrico Exemplo Magnético 8 O anel de cobre toroidal é suposto aberto O anel de ferro toroidal é suposto como o em um espaço infinitesimal, com os envolvido por N espiras de fio, de forma terminais ligados à uma bateria; uma corrente que com uma corrente é circulando através 8 de I ampêres circula através do anel. do fio, a fmm cria o fluxo &. e ; N 8 | | do <a qd ss sra. Sias o xto q Tt ãgsgsSaSS os Sds 1 'oonguBeu oxny op epepisusa as 16 Teoria e Circuitos Magnéticos Capítulo 1 Essa analogia do circuito magnético com o circurto elétrico leva a muitas outras observações. Para + cobrir o assunto, esses detalhes estão apresentados a seguir para o caso de um anel de cobre toroidal e um anel de ferro toroidal, com o mesmo raio médio r e mesma área de seção transversal A. Força de Excitação tensão aplicada pela bateria = E Resposta corrente = 282 TAS resistência elétrica ou mlto Impedância Impedância é um termo genérico usado para indicar a resistência a uma força de excitação em gerar uma resposta. resistência = =pIIA onde L=2 x r, é 0 comprimento médio do toróide e A é a área da seção transversal do toróide. transversal do toróide. Circuito equivalente 1 é P a (121) E=IR 5=0R Intensidade do Campo Elétrico Intensidade do Campo Magnético Com a aplicação da tensão E ao toróide de cobre homogêneo, é produzido dentro do material um gradiente de potencial elétrico dado por força de excitação ampêre-espiras aplicado fiuxo = - forga de excitação (19) relutância=8=-L (120) ua onde |=2. 17, é o comprimento médio do toróide e À é a área da seção Quando uma força magnetomotriz é aplicada ao toróide de ferro homogêneo, é produzido dentro do material um gradiente de potencial magnético dado por Alm (1:22) oa. 2m Seção 1-4 O Circuito Magnético: Conceito e Analogias 17 Esse campo elétrico deve ocorrer num percurso fechado, se for permanecer. Segue-se, então, gue a integral curvilínea fechada de e é igual à tensão da bateria, E. Desta forma, fea=e Diferença de Potencial Elétrico Se se deseja calcular a queda de tensão que ocorre entre dois pontos a e b do toróide de cobre, podemos escrever Vo Jea-E fa Ia A =*p-lo=lp-L= TP qo =P TRap isto é Vo = IR onde R,, é a resistência do toróide de cobre, entre os pontos a e b. Densidade de Corrente Por definição, densidade de corrente é o número de ampêres por unidade de área. Desta forma, julia E se SE “A AR Ap(A) p ou e=pJ Essa última expressão é fregiientemente chamada de forma microscópica da lei de Ohm. Como já apresentado com a lei circuital de Ampêre, à integral curvilínea fechada de H é igual à fmm envolvida, Desta forma, jua-s (1:23) Diferença de Potencial Magnético Essa é a queda de fimm que aparece entre dois pontos, quando o fluxo circula. Desta forma, a parte da fmm total aplicada que aparece entre os pontos a e b é encontrada de forma similar Us = DR (1-24) onde 9, é a relutância do toróide de ferro entre os pontos a e b. Densidade de Fluxo A densidade de fluxo é expressa como webers por unidade de área. Desta forma, ou (1-25) Não se deve deduzir do precedente que os circuitos elétricos e magnéticos são análogos em todos os aspectos. Por exemplo, não existem isoladores magnéticos análogos aos conhecidos para os circuitos elétricos. Também, quando uma corrente contínua é gerada e mantida num circuito elétrico, é necessá- rio que alguma energia seja sempre fornecida. Uma situação análoga não ocorre no caso magnético, onde um fluxo é gerado e mantido estável. U,=0,5U, (suposto) Portanto, LSU =F=35 U, 23,348 Consegikentemente, uma segunda aproximação para a solução pode ser obtida. Portanto, 23,3 — = 233 Aefm que, por sua vez, dá B.=0,4T de forma que o valor do fluxo agora torna-se &, =B,4, = 0,0004 Wb Para se determinar se esta é ou não a resposta correta, devemos, neste ponto, calcular as quedas de fmm para cada material e somá-las, para ver se obtemos ou não um valor igual à fmm aplicada. Se não, o processo deve ser repetido até que a lei circuital de Ampêre seja atendida. Fazendo essa verificação para a segunda aproximação, temos H, =62 Aelm — correspondendo a B, = 0,4 T H,=57Aem paaB,=0,4T Consegiientemente, from = Hj, + Holy + Hd =5,7(0,3) + 620,2) +233(0,1) =1,7+12,4+23,3=37,4 Ae Obviamente, este valor é muito elevado, em cerca de 7%. Por isso, como uma terceira tentativa, va- mos reduzir a contribuição do maior elemento por um fator de 5%. Ou seja, assumimos agora que U,=0 Ae Então, H,=20 Aelm o B,=0,375T =: D, = 0,000375 Wb Seção 1-6 Cálculos de Circuitos Magnéticos 23 Correspondendo a esse fluxo, obtemos H,=59 e H= Portanto, 4 fmm = 5(0,3) + 590.2) + 22=35,3 Ae Visto que esse somatório de fimm concorda com a fm aplicada de 35 ampêre-espiras, a solução correta para o fluxo é & = 0,000375 Wb = 37.500 linhas Quando efetuamos cálculos de circuitos magnéticos do tipo ilustrado por esse exemplo, é tsual aceitar-se como válida qualquer solução na faixa de + 5% da solução exata. A razão é que estamos li- dando com curvas de magnetização normais, que desprezam a histerese e que são sobretudo apenas rf picas do material sendo realmente usado no circuito especificado. Erros podem existir e freqientemente existem de fato. Como exemplo final para ilustrar cálculos de circuitos magnéticos, vamos resolver um problema que envolve percursos magnéticos paralelos, assim como a presença de um entreferro. Além disso, var mos considerar apenas o primeiro tipo de problemas, onde a fimm necessária para gerar um fluxo espe- cificado será calculada. Isso é justificável, não apenas porque a solução é direta, mas também porque é muito mais representativa da espécie de problema de circuito magnético que o engenheiro deverá en- frentar. Exemplo 1-3 Um circuito magnético, tendo a configuração e as dimensões indicadas na Fig. 1-14, é constituído de aço fundido com espessura de 0,05 m e um entreferro de 0,002 m entre os pontos g e . O problema é calcular à fam a ser produzida pela bobina, de forma a gerar um fluxo de 4X 10-* Wb (ou 40.000 linhas) no entreferro O método de solução pode ser descoberto prontamente fazendo referência ao circuito equivalente deste circuito magnético, como indicado na Fig. 1-15. O conhecimento de &,, nos permite o cálculo da queda de fm através de bee. À partir dessa informação, o fluxo na perna bc pode ser determinado e, somando-o a & . podemos calcular o fluxo na perna cab. Por outro lado, à fmm necessária para manter o fluxo total na perna Cab pode ser calculada, e, quando a somamos à queda da fmm ao longo de be, obtemos à fm resultante Os cálculos envolvidos nas várias seções do circuito magnético são: Seção gh. Este é o entreferro para o qual o fluxo é especificado como 4X10+ Wb. A área da seção transvéraal do entreferro é 0,05(0,05) = 0,0025 mê. Normalmente, contudo, essa área é ligeiramente maior T Es Ta à ss 005 “A do Jo g== q d 0,15 d o—S T 00 4 pe RT mecdoboos à x 0,075 |-0,1—Joos|-—0,1—+10.05] Fig, 1.14 Circuito magnético para o Exemplo as 1-3, Todas as dimensões estão em metros. + Fig. 1.15 Circuito equivalente à Fig. 1-14. por causa da tendência do fluxo de se abrir nas extremidades do entreferro —— o que é fregiientemente chama do de espraiamento. Por conveniência, esse efeito é desprezado. Entã i s sprezado. Então, a densidade do fl determinada como sendo a moi 4x107* 0,0025 =0,16T e “Visto que a permeabilidade do ar é praticamente igual à do vácuo, temos Hal, = 127.300(0,002) = 255 Ae 9 Seções bg e ho. O comprimento de material ferromagnético envolvido aqui é 1 big Hhe (a + ty +) 2 = 2(0,025 + 0,1 + 0,025 + 0,1) — 0,002 =0,498 m Além disso, correspondendo a uma densidade de fluxo no as fundido de i Além disso, 016T, é obtida como sendo 125 A.e/m. Por isso, E º 8 enredo do comi U,g + he = 125(0,498) = 62,2 Ae Seção bc. Porque o percurso bfkc está em paralelo com o percurso bc, a fam total bfkc também aparece no percurso bc. Portanto, e di Us, = 255 + 62,2=317,2 Ae Também, le = 0,14 0,075=0,175m 317,2 —— = 1810 Ae/m 0,175 Seção 1-7 O Parâmetro Indutância 25 E. da Fig, 1-10, para aço fundido, a densidade de fluxo correspondente é obtida como 38T Portanto, &,, = 1,38(0,0025) = 0,00345 Wb Seção cab. Consegiientemente, o fluxo total existente na perna cab é X dep = De + Pg = 0.00345 + 0,0004 = 0,00385 Wb O conhecimento desse fluxo então conduz à determinação da fam necessária na pera cab para sustentá- o. Desta forma, Bo = Aid 1,026 T 0,00375 Donde, Ha = 690 Alm Portanto, Uoap = Helcab = 690(0,5) = 345 A Por conseguinte, à fm total necessária para produzir o fluxo necessário no entreferro é F=U,o + Ui = 345 +317,2=662240 1.7 O PARÂMETRO INDUTÂNCIA A indutância é uma característica dos campos magnéticos e foi descoberta primeiramente por Faraday, em suas célebres experiências de 1831. De um modo geral, indutância pode ser caracterizada como aquela propriedade de um elemento do circuito pela. qual a energia pode ser armazenada num campo de fluxo magnético. Um fator importante e diferenciador da indutância, contudo, é que ela aparece num circuito apenas quando há uma corrente variável ou fluxo. Desta forma, embora um elemento do circui- to possa ter indutância, em virtude de suas propriedades geométricas e magnéticas, sua presença no cir- cuito não é sentida a menos que haja uma variação da corrente no tempo. Este aspecto da indutância é particularmente salientado quando a consideramos sob o ponto de vista de circuito. Contudo, para co- beiro assunto completamente, a indutância é também considerada sob uma ótica de energia e de aspecto físico. Ponto de Vista de Circuito A relação corrente-tensão relacionada ao parâmetro indutância é expressa como di vil (1:26) ei ai cm pp 26 Teoria e Circuitos Magnéticos Capítulo 1 Em geral, tanto v, como i são funções do tempo. A Fig. 1-16 mostra a diferença de potencial v, que aparece nos terminais do parâmetro indutância, quando uma corrente variável circula para O terminal c. Note-se que a ponta da seta na variável u, está mostrada no terminal c, indicando que esse terminal é, neste instante, positivo com relação ao terminal d. Por outro lado, isso significa que a corrente está au- mentando no sentido positivo, isto é, à declividade di/dt na Ea. (1-26) é positiva. Qualquer elemento do circuito que apresente a propriedade de ;ndutância é chamado de um indutor e é designado pelo símbolo mostrado na Fig. 1-16. Como elemento ideal, o indutor é considerado como não tendo resistência, em- bora, na prática, deve ter a resistência do fio que constitui a bobina. Segue-se da Eq. (1-26) que uma equação de definição apropriada para a indutância é volt.sfampêre ou henrys (H) (1:27) Desta forma, registrando a diferença de potencial num dado instante de tempo entre os terminais de um indutor e dividindo pela derivada correspondente da função corrente-tempo, determinamos o parâmeiro indutância. Observe-se que a unidade de indutância é volt.-segundos por ampêre. Por simplicidade, esse valor é frequentemente denominado henry. Um indutor linear é aquele para qual o parâmetro indutância é independente da corrente. Quan- do a corrente circula através de um indutar, cria um fluxo no espaço Quando esse fluxo se difunde pelo ar, uma proporcionalidade rigorosa entre corrente & fluxo predomina, de forma que o parâmetro indu tância permanece constante para todos os valores de corrente. Uma plotagem da diferença de potencial na bobina em função da derivada da corrente então é como indicado na Fig. 1-17, que é a plotagem da Eq. (1-27). Quando se faz o fluxo passar através do ferro, contudo, é possível, para grandes correntes, contrariar a relação de proporcionalidade entre a corrente e o fluxo que ela produz. Neste caso, o indutor é chamado de não-linear e uma plotagem da Eq. (1-27) não será mais uma linha reta. Para o parâmetro resistência, à lei de Ohm pode ser escrita para exprimir tanto a tensão em termos da corrente como a corrente em termos da tensão. O mesmo procedimento pode ser seguido para o pa- sâmetro indutância. A Eq. (1-26) já expressou a tensão em função da corrente. Contudo, para se expres- sar a corrente em termos da diferença de potencial através do indutor, a Eg. (1-26) deve ser reescrita, na forma 1 dido, dt (1-28) Em forma de integral, torna-se Of Lo = vp dt (1-29) ou (1-30) Fig, 1.16 Circuito com parâmetro indutância ideal. Seção 1-7 O Parâmetro Indutância 27 3) ee Fig, 1.17 Representação gráfica do parâmetro indutância L, do ponto de vista de circuito. A Ea, (1:30) nesta forma mostra que a comente em us indutor é dependente da integral da tensão atra- ds dE Sous terminais, assim como da corrente na bobina no início da integração. Um exame das gs. (1-26) e (1-30) mostra uma propriedade importante da indutância: a corrente num indutor não pode mudar abruptamente, num tempo nulo. Isso pode ser visto na Eq. (1-26), obser- agdo-se que uma alteração finita na corrente num tempo qulo requer que uma tensão infinita apareça ho indutor, o que é fisicamente impossível. Por outro ado, a Eq. (1-30) indica que, num tempo nulo, à contiibuição para a corrente no indutor do termo com à integral é zero, de forma que a corrente imedi- coaiente antes e depois da aplicação da tensão no indutor é à mesma. Neste sentido, podemos conside- aa indutância como tendo a propriedade da inércia. Exemplo 1-4 Una indutor é percorrido por uma corrente que varia em função do tempo da forma indicada na Fig. 1-18(8) Caleule a variação no tempo correspondente da queda de tensão nos terminais do indutor, se for suposto que à indutância da bobina seja 0,1 HL. “A solução está indicada na Fig. 1-18(b). Observe-se que, no intervalo entre 0 € 0,15, di/dt = 100 A/s Portanto, à tensão na bobina é, então, uma constante dada por a di. 0,1(100) = 10 V para 0<+<0,1 dt vs No intervalo de tempo de 0,1 0,35, declividade da curva da corrente é —50. Portanto, a tensão na bobina é€—5V. Finalmente, no intervalo de 0,3 2 0,6 5, a forma. de onda da corrente é senoidal, de forma que à onda i amp —1——— 0708 09 Fig, 1.18 (a) Forma de onda da corrente no indutor; (b) Variação da tensão cor- respondente nos terminais do indutor Tempo,s 32 Teoria e Circuitos Magnéticos Capítulo 1 quando unidades mks são empregadas, isto é Hi deve ser expresso em ampêre-espira/metro e B em webers Por metro quadrado. Note-se que 0s eixos Ga Fig. 1-20 estão em tais unidades. Além disso, durante a parte de sua variação oflica, quando f diminu de seu valor positivo máximo até zero (quando varia ao longo da curva be do ciclo de histeresc), energia é liberada pelo campo magnético e devolvida à fonte, e isso pode ser expresso como Bo a w = Jo HdB Um (1:45) Nessa equação, visto que B, > B, a variável w, será negativa, indicando que a energia está sendo libe- rada em lugar de armazenada pelo campo magnético. Ta interpretação gráfica da E, (1-44) conduz ao resultado que à energia absorvida pelo campo quando H está aumentando no sentido positivo pode ser representada pela área abdca. Do mesmo modo, d gergia liberada pelo campo quando [1 varia de [Z,e, à Zero pode ter representada pela área bdcb. A diferença entre essas duas densidades de energia representa a quantidade de energia que não é devolvida fonte atas, pelo contrário, é dissipada como calor quando os domínios são reorganizados em resposta à intensidade do campo magnético variável. Essa dissipação de energia é chamada de perdas por histe- base. Observe que à Fig. 1:20 mostra essa perda de densidade de energia para uma variação de meio Cáelo de H. Portanto, a área abca representa a perda por histerese por meio ciclo. Segue-se, da simetria, que após a conclusão da variação de F no meio ciclo negativo, “uma perda de energia igual ocorrerá. Por Gonseguinte, quando H varia ao longo de um ciclo completo, a perda de energia total por metro cúbico é representada pela área do ciclo de histerese. Mais especificamente, esa perda de energia por ciclo pode ser expressa matematicamente como wy = (área do ciclo de histerese) Jim feiclo (1:46) onde unidades mks são usadas para H e B. É fregientemente desejável exprimir a perda por histerese dos materiais ferromagnéticos em watts — a unidade de potência. Uma pequena reflexão sobre a unidade de w, na Eg. (1-46) mostra como isso pode ser diretamente obtido. Desta forma, energia otência X segundos potência 4 => = ndo =—"——"0100 147 volume X ciclos volume X ciclos volume X ciclos/segundos 47 Agora, faça P, = perdas de potência, watts (W) 4 = volume do material ferromagnético = hertz (Hz) = freqência da variação de H Então, a Eg. (1-47) torna-se Y Es 1-48 o, =— E 1 yr (1-48) ou [e wvf (1-49) onde w, — a perda de densidade de energia — é calculada pela Eq. (146). Seção 1-9 Relés — Uma Aplicação da Força Magnética 33 Para se evitar a necessidade de se calcular a área do ciclo de histerese para computar as perdas por histerese, em watts, da Eq. (1-49), Steinmetz obteve uma fórmula empírica para w, baseada em um grande aero de medições para vários materiais ferromagnéticos- Ele exprimiu as perdas de potência por his- terese como onde B, é 0 valor máximo da densidade do fluxo en «e situa na faixa de 1,5 <nS 2,5, dependendo do daterial empregado. O parâmetro K, também depende do material. Alguns valores típicos são: aço for- jado 0,025, chapa de aço-sífico 0,001 e permalloy 0,0001. "Além das perdas de potência por histerese, outra perda importante ocorre em materiais ferromag- néticos que são sujeitos a fluxos magnéticos variáveis no tempo“ as perdas por correntes parasitas. Esse termo é empregado para descrever às perdas de potência associadas com as correntes circulantes que existem em percursos fechados dentro do corpo de um material ferromagnético e causam uma perda desejável por aquecimento. Essas comentes circulantes são geradas pelas diferenças de potencial mag- ético existentes por todo o corpo do material devido à ação do fluxo variável. Se o circuito magnético for composto de ferro sólido, a perda de potência resultante é significativa porque as corrêntes circulan- o cacontram relativamente pouca resistência. Para se aumen er de forma significativa a resistência Dorada por essas correntes parasitas, o circuito magnético é invariavelmente composto de lâminas finas (normalmente com 14 a 25 mils de espessura) sempre que o dispositivo magnético é tal que um uso variável se difunde nele, em operação normal. Esse é caso Ca”. transformadores e todos os motores e geradores em ca. Uma equação empírica para as correntes parasitas é P=KfBiTv| W (1:51) onde K, = uma constante que depende do material = fregiência da variação do fluxo, HL B, = densidade de fluxo máxima % = espessura de laminação v = volume total do material Uma comparação desta equação com a Eq. (1-50) mostra que as perdas por correntes parasitas variam com o quadrado da freqliência, ao passo que as perdas por histerese variam diretamente com & fregiência. Consideradas em conjunto, as perdas por histerese € correntes parasitas constituem o que é fre- giientemente denominado perdas no múcleo dos dispositivos eletromagnéticos que envolvem fluxos variáveis no tempo para sua operação. É importante considerar essas perdas com atenção, pois, como iremos estudar, as perdas no núcleo têm uma posição importante na elevação da temperatura, na eficiên- cia é na capacidade dos dispositivos eletromagnéticos. 1-9 RELÉS — UMA APLICAÇÃO DA FORÇA MAGNÉTICA Um relé é um dispositivo eletromagnético normalmente acionado com relativamente pouca encr gia, fazendo com que uma armadura móvel ferromagnética abra ou feche um ou vários pares de conta- das elétricos, colocados em outro circuito de controle, ou nur circuito principal, que controla grande quantidade de energia. Dispositivos de partida de motores em corrente contínua ou alternada são equi- pados com relés projetados para assegurar a correta operação dos motores durante as condições de par- tida ou de operação. Estes dispositivos são encontrados em muitas aplicações em todos os campos da engenharia, especialmente em situações que implicam o controle de um processo ou de uma máquina. Nosso objetivo nessa seção é descrever os princípios que constituem o fundamento da operação destes 34 Teoria e Circuitos Magnéticos Capítulo 1 Fluxo, Wb ade B(m) o si—-—fa ! i i : ! ! | i i i ! ! | | [5] H H(Aeim) 7 S fmmAs (a) tb) Fig. 1.21 Curva de magnetização linear de um relé. (a) A área OaB dá a densidade de energia correspondente a um Hfixo. (b) A área OaB dá a energia total armazenada do campo magnético correspondente a um & fixo. dispositivos eletromagnéticos. Além do conhecimento que ele oferece, essa abordagem dá a motivação para o estudo da teoria dos campos e circuitos magnéticos. A dedução de uma equação da força magnética é nosso primeiro interesse porque mostra como é possível realizar um trabalho mecânico — o movimento da armadura do relé — retirando-se energia da gue está armazenada no campo magnético. Além disso, visto que a ênfase é nos princípios envolvidos, as hipóteses simplificadoras de não haver saturação nem perdas são impostas; isto é, é usada análise linear. Consegilentemente, a curva de magnetização do material ferromagnético é suposta como uma linha reta, como indicado na Fig. 1-21(3). (Somente a curva correspondente a valores positivos de H está indicada.) Agora, modificando-se corretamente os eixos da curva plotada na Fig. 1-21(a), um fato significativo e útil acontece, Primeiro recorde que a área entre o eixo B e acurva de magnetização repre- senta a energia absorvida da fonte e armazenada no campo magnético, numa base por unidade de volu- me. A Eq. (1-44) mostra esse resultado matematicamente. w=[ Has Jim? (1:52) Na situação simplificada da Fig. 1-21(a), a Eq. (1-52) torna-se meramente a área do triângulo Oq. Desta forma, mê (1:53) onde H é suposta fixa no valor indicado. Além disso, visto que é uma densidade de energia, a energia total armazenada no campo mag- nético é calculada pela multiplicação da Eq. (1-44) pelo volume. Desta forma, Wo=wpu=w,AI J (1:54) Seção 1-9 Relés — Uma Aplicação da Força Magnética 35 onde 1é o comprimento e À a área da seção transversal do circuito magnético. Introduzindo aEq.(1-53) na Eq. (1-54), dá (BAJHI= 103 | 3 (1:55) Note-se que, nesta equação, A vem junto de B para caracterizar o fluxo & e H com 1 para caracterizar a fm &. Uma representação gráfica da Eq. (1-55) está na Fig. 1-21(b). Deve ser evidente que a Fig. 1-21(b) é obtida da Fig. 1-21(a) pela multiplicação do eixo das ordenadas por A e do eixo das abscissas por |, desta forma plotando & versus F. Então, para um valor fixo de H (ou 9), a área OaB da Fig. 1-21(a) dá a densidade de energia, ao passo que a área correspondente Oad da Fig. 1-21(b) dá a energia total arma- zenada no campo magnético. Para se compreender como um trabalho mecânico pode ser feito pela retirada da energia armaze- nada no campo magnético, considere o circuito indicado na Fig. 1-22, que mostra a constituição básica de um relé eletromagnético. Consiste em uma bobina de excitação colocada num núcleo ferromagnético fixo e equipado com um elemento móvel chamado de armadura do relé, O relé é energizado por meio de uma fonte de tensão constante, através de um resistor ajustável, R. Para começar, considere que R é fixa a um valor que faz a fmm da bobina ser iguala Fe produz o fluxo &, como indicado na Fig. 1-21(b) & que inicialmente à armadura do relé é impedida de se mover. Se, a seguir, se permite que a armadura do relé se mova de forma a reduzir o entreferro, a curva de magnetização, Oq, se move. para uma posição mais inclinada, Ob, consistente com a menor relutância do circuito magnético, É importante compreen- der que, no arranjo da Fig. 1-22, a operação do relé da posição aberta para a posição fechada ocorre sob condições de fmm constante, porque para uma fonte de tensão constante a corrente da bobina é deter- tminada pela resistência do circuito e não pela relutância do circuito magnético. A relutância menor do Sircuito magnético na posição da armadura fechada significa simplesmente que a fmm dada produz mais fluxo. O aumento em fluxo está indicado na Fig. 1-21(b) pela grandeza dó. A área do retângulo abcd na Fig. 1-21(b) representa um aumento da energia (dW) para o relé, quando ele passa da posição aberta para a posição fechada. Quantitativamente, pode ser descrito por dW,=F dq (1-56) À energia que é entregue 20 relé através do circuito de entrada pode ser classificada de duas formas: gomo encrgia armazenada no campo magnético e como trabalho executado pelo relé ao se mover da Posição aberta para a posição fechada. Da variação total da energia entregue ao relé, quanto é gasto para realizar o trabalho mecânico do mover a armadura da posição aberta para a posição fechada e quanto é sado para aumentar a energia inicial no campo para um novo valor total? Esse último valor é facilmen- fe determinado pela área do triângulo Obe na Fig. 1-21(b). Desta forma, Wo echado = EFCÓ + dO) = EF 0 +14 dy (1:57) Armadura do relé =p Supertcio Fig. 1.22 Constituição básica de um limitador relé eletromagnético. 36 Teoria e Circuitos Magnéticos Capítulo 1 Visto que o primeiro termo no lado direito é a energia do campo correspondente à posição aberta, segue- se que metade da energia representada pela Eq. (1-56) aumenta a energia do campo armazenada. Evi- dentemente, a outra metade executa o trabalho mecânico que pode ser representado em forma diferen- cial por (F dx), onde x representa distância. É importante notar que este trabalho mecânico é represen- tadona Fig. 1-21(b) pelo triângulo Oab. Uma expressão para a força do relé pode ser prontamente dedu- zida equacionando-se estes dois termos. Desta forma, (1:58) Por comodidade, façamos (1:59) Então, Ou, ap re | qn 1-60) 3 E (1-60) A Eg. (1-60) mostra que a força na armadura do relé sempre age para aumentar a permeância do circuito magnético, o que é equivalente a dizer que F atua no sentido de reduzir a relutância. Quando o relé está energizado por uma fonte ca, o fluxo deve permanecer essencialmente cons- tante, independentemente da relutância do circuito magnético (veja o Cap. 3). Neste caso, a corrente automaticamente se ajusta para atender às necessidades magnetomotrizes do circuito magnético. Quan- do a armadura do relé se move em circunstâncias que requerem operação com fluxo constante, a curva B-H para o circuito magnético nas posições aberta e fechada do relé podem agora ser representadas pela Fluxo, Wb Fig. 1.23 Condições do fluxo e da fmm nas posi- ções aberta e fechada da armadura do relé quan- do este é excitado por uma fonte ca que exige operação com fluxo constante. o % Ga mmÃo Seção 1-9 Relés — Uma Aplicação da Força Magnética 37 Fig. 1-23. Aqui também a energia para mover a armadura do relé da posição aberta para a fechada está indicada pela área do triângulo Oab na Fig: 1-23. Expresso matematicamente, temos trabalho mecânico na armadura do relé = redução da energia do campo magnético = área do triângulo Oab Ou, Fag=b AF, Fo) (1:61) onde, Fo=0R, é Fr=0R (1:62) conde R, é a relutância do circuito magnético com o relé na posição aberta e 9, representa a relutância na posição fechada. Além disso, %., > R, Inserindo a Eq. (1-62) na Eq. (1-61), dá Fdg=I0(0R, —0R)=I0(R, Ro) em Podemos agora introduzir dR=A,-R) (1:64) como a variação na relutância da posição aberta para a fechada. O sinal negativo é em reconhecimento ao fato de que ocorre uma redução na relutância. Substituindo a Eq. (1-64) na Eq. (1-63), obtemos, fi- nalmente, a SR dg tó N (1-65) A Eq. (1-65) mostra que a ação da energia armazenada no campo magnético é reduzir a relutância do circuito magnético, um resultado que é consistente com a conclusão da Eg. (1-60). Exemplo 1-5 No circuito do relé da Fig. 1-22, assuma que a área da seção transversal do núcleo fixo e da armadura do relé seja À e a fmm do circuito seja $. Desprezando a relutância do ferro, calcule a expressão para a força mag- nética que existe na armadura do relé. Solução. A força é facilmente calculada pela Eq. (1-60). Desta forma, onde a rs. 19. 1:20. 1-24. 1.25. 126. Teoria e Circuitos Magnéticos Capítulo 1 Spol, 65pol. % pol. Lovalo 75 po a oi, | Fig. Pl-14 Quando uma tensão em cc é aplicada à bobina do Prob. 1-17, a corrente varia de acordo com i = 1/10 (1 — &-3), expressa em ampêres. Além disso, sabe-se que, após um tempo de 0,25, a tensão induzida na bobina é 0.16 V. Calcule a indutância da bobina. Uma amostra de ferro, tendo o volume de 16,4 cnr, é sujeita a uma força de magnetização senoidal, de fre- aiiência 400 Hz. A área do ciclo de histerese é de 64,5 cm, com densidade de fluxo plotada em quilolinhas por polegada quadrada e força de magnetização em ampêre-espiras por polegada. Os fatores de escala usados são I pol. = 5 quilolinhas/poPe 1 pol= 12 ampêre-espiras/polegada. Calcule as perdas por histerese, em watts. Um anel de material ferromagnético tem uma seção transversal retangular. O diâmetro interno é de 7,4 poL., o diâmetro externo é de 9 pol. e a espessura é de 0,8 pol. Há uma bobina de 600 espiras enrolada no anel. Quando a bobina conduz uma corrente de 2,5 A, o fluxo produzido no anel é 1,2 X 10-* Wb. Calcule as se- guintes grandezas, em unidades mks: (a) força magnetomotriz; (b) intensidade do campo magnético; (e) densidade do fluxo; (d) relutância; (e) permeabilidade; (f) permeabilidade relativa. . Plotando-se um ciclo de histerese, as seguintes escalas são usadas: 1 cm = 10 ampêre-espiras/pol., e 1 cm = 20 quilolinhas/poP. A área do ciclo para um determinado material, foi calculada como 6,2 cê. Calcule as perdas por histerese, em joules por ciclo, para a amostra testada, se o volume é de 400 cm”. . O fluxo num núcleo magnético é alternado, de forma senoidal, com uma fregiiência de 500 Hz. A máxima densidade de fluxo é 50 quilolinhas/pol?. As perdas por correntes parasitas, então, montam a 14 W. Calcule as perdas por correntes parasitas neste núcleo, quando afregiência é 750 Hz e a densidade de fluxo é 40 quilolinhas/poP. 3. As perdas no núcleo totais (histerese e correntes parasitas) para uma amostra de aço magnético em chapas é de 1800 W a 60 Hz. Se a densidade de fluxo é mantida constante e a fregilência da fonte é aumentada 50%, as perdas totais no núcleo serão de 3000 W. Calcule separadamente as perdas por histerese e correntes para- sitas, nas duas fregliências. Um fluxo é penetra todo o volume das barras de ferro, como indicado na Fig. P1-24. Quando as barras são supostas separadas de g metros, calcule a expressão para a força que existe entre as duas faces planas parale- las. Despreze a relutância do ferro. Um fluxo magnético & penetra um núcleo magnético móvel que está verticalmente desalinhado em relação aos pólos norte e sul de um eletroímã, como indicado na Fig. P1-25. A profundidade do núcico e do eletroímã é b. Determine a expressão para a força que atua para trazer o núcleo para o alinhamento vertical. Expresse o resultado em termos da densidade de fluxo no entreferro e das dimensões físicas. Despreze a relutância do ferro. A curva de magnetização de um relé está indicada na Fig. P1-26. (a) Calcule a energia armazenada no campo, com o relé na posição aberta. (b) Assuma que a armadura do relé se mova rapidamente, sob um fluxo constante. Calcule o trabalho execu- tado para se passar da posição aberta para a fechada. Capítulo 1 Problemas 43 TR 9 E LA Fig. PL24 N Y 9 fo— + 9 EI Fig. PL-25 (0) Calcule a força, em newtons, exercida na armadura na parte (b). (d) Assuma que a armadura do relé se move lentamente, com fmm constante. Calcule o trabalho executado, ao se passar da posição aberta para a fechada. (e) A energia da parte (d) vem da energia original armazenada no campo? Explique. Tensão 4 Armadura SS / E aberto Í ] ] í i is .000 0; E (a) o (b) Ae Fig. P1-26 “2 Nocircuito magnético da Fig. P1-27, area da seção transversal do entreferro é 0,0025 me seu comprimento €0,05 cm. Além disso, o núcleo de aço fundido tem um comprimento médio de 0,2 me tem um enrolamento de 1000 espiras. Descja-se operar o circuito com uma densidade no entreferro de 1 T. (a) Calcule a corrente necessária na bobina para estabelecer essa densidade no entreferro. (b) Calcule a energia armazenada no entreferro. (0) Calcule a energia armazenada na seção de aço fundido do circuito. (d) Qual à indutância, em henrys, deste circuito magnético? ESP A TT Fig. PL27 +2 Transformadores A compreensão do transformador é essencial para o estudo da conversão eletromecânica de ener- gia. Embora a conversão eletromecânica de energia envolva a troca de energia entre um sistema elétrico e um mecânico — ao passo que o transformador envolve troca de energia entre dois ou mais sistemas elétricos —, o dispositivo de acoplamento nos dois casos é o campo magnético, e o seu comportamento é fundamentalmente o mesmo. Como resultado, temos que muitas das equações e conclusões pertinen- tes da teoria do transformador têm aplicabilidade também na análise de máquinas ca e algu! de máquinas cc. Por exemplo, o circuito equivalente de motores de indução monofásicos e tri da mesma forma daqueles do transformador. Outros exemplos podem ser encontrados, como o estudo dos capítulos a seguir prontamente mostrará. Além de servir como uma introdução adequada ao estudo da conversão eletromecânica de ener- gia, a compreensão da teoria do transformador é importante por si mesma, por causa das múltiplas fun- ções que o transformador desempenha em áreas importantes da engenharia elétrica. Nos sistemas de comunicações, variando em freguência do áudio ao rádio e ao vídeo, os transformadores cumprem um amplo espectro de funções. Transformadores de entrada (para conectar a saída de um microfone ao primeiro estágio de um amplificador eletrônico), transformadores intermediários e transformadores de saída são encontrados em circuitos de rádio e televisão. Os transformadores são também usados em circuitos de comunicações como dispositivos de casamento de impedância que permitem a máxima trans- ferência de potência do circuito de entrada ao circuito acoplado. As linhas telefônicas e os circuitos de controle são duas outras áreas nas quais o transformador é usado intensamente. Nos sistemas de trans- missão de energia elétrica, o transformador torna possível a conversão de energia elétrica de uma tensão gerada em tensões de 15 a 20 kV (conforme definido pelas limitações do projeto do gerador) a valores de 380 a 750 kV, permitindo, desta forma, a transmissão de energia por longas distâncias, até os pontos apropriados de distribuição (por exemplo, áreas urbanas), com extraordinária economia no custo do cobre, assim como em perdas nas linhas de transmissão. Então, nos pontos de distribuição, o transformador é 9 meio pelo qual estas perigosas tensões elevadas são reduzidas a um nível seguro (208 a 120 V), para uso nos lares, escritórios, lojas e assim por diante. Em resumo, o transformador é um dispositivo muito Útil é encontrado em muitos setores da engenharia elétrica, merecendo, portanto, a atenção dispensada neste capítulo. Seção 2-1 Teoria de Operação e Desenvolvimento de Diagramas Fasoriais 45 2-1 TEORIA DE OPERAÇÃO E DESENVOLVIMENTO DE DIAGRAMAS FASORIAIS A fim de manter a clareza e a motivação, a teoria da operação do transformador será apresentada em cinco etapas, principiando pelo reator ideal de núcleo de ferro e terminando com o diagrama fasorial do transformador sob carga. Neste processo, são deduzidas as importantes equações dos transformado- res, junto com uma explicação física do modo de operação do transformador. É dada ênfase ao comple- to entendimento do comportamento físico do dispositivo porque, uma vez obtida esta base, a teoria, assim como as descrições matemáticas associadas, segue prontamente. Em sua forma mais simples, o transformador consiste em duas bobinas mutuamente acopladas. Quando o acoplamento é obtido através de um meio ferromagnético (circular ou com outra forma), o transformador é chamado de transformador com núcleo de ferro. Quando não há material ferromagné- tico mas somente ar, o dispositivo é denominado transformador de núcleo de ar. Neste capítulo, só será estudado o tipo de núcleo de ferro. Das duas bobinas, a que recebe a energia elétrica é chamada de en- rolamento do primário, enquanto a outra, que pode entregar a energia elétrica a um circuito apropriado de carga, é chamada de enrolamento do secundário. * Reator Ideal de Núcleo de Ferro Como um primeiro passo no desenvolvimento da teoria dos transformadores, vejaa Fig. 2-1, que mostra um reator ideal, de núcleo de ferro, energizado por uma fonte de tensão senoidal, v,. O reator é ideal porque a resistência da bobina e as perdas no ferro são supostas como nulas e a curva de magnetização é suposta linear. Núcieo de ferro Fig.2.1 Reator ideal de núcleo de ferro: resistência nula no enrolamento e sem perdas no núcleo. As polarida- des são instantâneas. Nossa intenção, neste ponto, é desenvolver um diagrama fasorial que se aplique ao circuito da Fig, 2-1, pois, desta forma, muito mais será descoberto sobre a teoria. Quando, aumenta em sua variação senoidal, provoca uma corrente magnetizante senoidal i, ! que circula nas N, espiras da bobina, que, por sa vez, pro. duzem um fluxo de variação senoidal variável em fase com a corrente. Em outras palavras, quando a cor- rente for zero, o fluxo também será zero e, quando a corrente está em seu valor positivo máximo, o miesmo acontece com o fluxo. Aplicando-se a lei de Kirchhoff das tensões ao circuito, obtemos v—4=0 e onde e, é a queda de tensão associada com a circulação de corrente pela bobina e pode ser escrita em termos de i, como di, em=e=L 5 (22) 'Letras minúsculas são usadas para representar valores instantâneos. 46 Transformadores Capítulo 2 onde L é a indutância da bobina e i, obtemos Inserindo a Equação (2-2) na Equação (2-1) e reagrupando, (23) Sabemos também que a corrente de magnetização é senoidal porque a tensão aplicada também o é e a curva de magnetização é suposta linear. Por conseguinte, podemos escrever a expressão para a corrente de magnetização io =2 1, sen ax (2-4) f . onde i é o valor eficaz da corrente. introduzindo a Equação (2-4) na Equação (2-3), e executando a diferenciação necessária, temos v=e =" (ol), cos at =+/2 (oL)I, sen (x + 3) (2.5) O valor máximo desta grandeza ocorre quando cos «st tem valor unitário. Então Esmés = 2 (OD ="2 E, (2-6) onde E =wLI, |, = valor eficaz da queda de tensão na reatância indutiva (2-7) Uma comparação das Equações (2-4) e (2-5) mostra que a corrente de magnetização está atrasada em relação à tensão na bobina de 90 graus elétricos. O diagrama fasorial da Fig. 2-2(a) ilustra essa con- dição. Visto que todas as grandezas aqui envolvidas são senoidais, os fasores indicados representam o valor eficaz das grandezas. Outra abordagem possível para se chegar ao diagrama fasorial para o reator ideal de núcleo de ferro será mencionada, pelo seu uso posterior. A abordagem que acabamos de ver pode ser denominada como do ponto de vista de circuito, pois considera somente o circuito elétrico, no qual circula 1, eo parâmetro de circuito L. Nenhum uso direto é feito do fluxo magnético é, o qual é uma grandeza de espaço (ou campo). Em contraste, a segunda abordagem principia com o campo magnético, como apre- sentado na lei da indução de Faraday. Esta é uma das leis fundamentais, sobre a qual a ciência da enge- nharia elétrica se apóia. A lei de Faraday estabelece que a fem induzida em uma bobina é proporcional ao número de espiras que enlaçam o fluxo, assim como à taxa de variação do fluxo em relação ao tempo. Ao se aplicar a lei de Faraday ao circuito da Fig. 2-1, a equação pode ser escrita tanto como uma queda de tensão (de a para b) como uma elevação da tensão (de b para a). Na primeira hipótese, podemos escrever d ea=0=+ né (28) Expressando como elevação de tensão, a equação da fem induzida torna-se (2-9) Seção 6-2 Teoria de Operação e Desenvolvimento de Diagramas Fasoriais 47 Em ambos os casos, o sinal é atribuído pela lei de Lenz. O sinal negativo estabelece que a fem induzida por um fluxo variável é sempre no sentido no qual a corrente deve circular para se opor ao fluxo variável. Por outro lado, o Sinal positivo na Equação (2-8) mostra que a polaridade de a é positiva sempre que a taxa de vasiação do fluxo no tempo seja positiva, como determinado pelo sentido de circulação da corrente. “A Equação (2-9) expressa, então, o ponto de partida para a segunda abordagem da análise do cir- cuito da Fig. 2-1. Correspondendo à variação senoidal da corrente de magnetização, como expresso pela Equação (2-4), há também uma variação senoidal do fluxo, que pode ser expressa como 6=9, sen ax (10) onde &, representa o valor máximo do fluxo magnético. Com esta expressão na Equação (2-9) e executando a diferenciação necessária, obtemos x z) (1) =" 4 = mét-- ND, cos Gt = Esmax sen( onde Ermás E MO 0 =2 E, (2-12) E, = valor eficaz da fem induzida Uma comparação das Equações (2-10) e (2-11) mostra que à fem induzida —e, está atrasada em relação ao flixo variável que a produz por 90º. Esta situação acha-se ilustrada na Fig. 2-2(b). Basica- mente, a fem —e, é uma elevação de tensão (ou fem gerada), que tem um sentido tal que, se fosse livre para atuar, causaria uma circulação de corrente se opondo à ação de 1,. Para verificar isso, apenas em termos da lei da ação e reação, considere dois pontos adjacentes quaisquer, como a” e b”, na bobina N, da Fig. 2-1. Se o fluxo supostamente cresce no sentido indicado, então a reação na bobina deve ser tal que a corrente teria que circular do ponto b” ao a” para se opor ao fluxo crescente. Lembre-se que, pela regra da mão direita, qualquer corrente suposta circulando de b' para a” produz linhas de fluxo que se opõem ao fluxo crescente. Para esta condição prevalecer, é necessário, portanto, que o ponto a” seja positivo em relação a b” no instante sob consideração. Esta linha de raciocínio, quando aplicada à bobina completa, leva às marcações de polaridade indicadas na Fig. 2-1. O interessante de se observar aqui é que, com base no ponto de vista de fluxo, a fem —e, da Fig. 2-1 é tratada como uma elevação de tensão de reação (ou gerada), ao se passar de b* para a”. Por outro lado, do ponto de vista de circuito, a tensão e, e sua polaridade, quando considerada no sentido da circulação da corrente I,, surge como uma queda de tensão. A tensão e, permanece a mesma; é apenas o ponto de vista que muda. Porque a corrente 1, € 0 fluxo à estão em fase no tempo, é usual combinar os dois pontos de vista em um diagrama fasorial único, como ilustrado na Fig. 2-2(0). Visto que E,, = E, representa a queda de tensão, segue-se que a mesma fem induzida vista na base de uma reação ao fluxo variável, sendo uma elevação de tensão, é igual é oposta a E, Isto é, E, = —E. Outro modo de se descrever isso é afirmando que a tensão terminal deve sempre conter um componente igual e oposto à elevação de tensão. Poderia parecer, até este ponto, que a tensão de reação vista de b' para a” na Figura 2-1, não con- segue, na realidade, estabelecer uma corrente inversa para se opor ao fluxo crescente. Isso jamais ocorre no enrolamento primário de um transformador de dois enrolamentos, mas ocorre no enrolamenio do secundário, como descrito aqui. 52 Transformadores Capítulo 2 do secundário ocupar o mesmo espaço que o enrolamento do primário, um fluxo é produzido pela cor- Tente do secundário que não enlaça o enrolamento do primário. Isto é chamado de jlkxo de dispersão do secundário. A tensão E,» induzida por este fluxo de dispersão do secundário, está adiantada «rs relação & ba de 90º. Outra vez, por conveniência, esta tensão devida ao fluxo de dispersão do secundário é subs- fituída por uma queda de tensão na reatância de dispersão do secundário, Desta forma, tom] gnde x, é a reatância de dispersão do secundário fictícia, que representa os efeitos do fluxo de dispersão do secundário. Também, pelo fato do fluxo de dispe:são ter sua relutância Predominantemente no ar, a Equação (2-21) é linear. Desta forma, dobrando-se a corrente dobra-se o Mlexo de dispersão, o qual du- plica E,, e, pela Equação (2-21) isso é representado pcr unia queda de tensão em dobro na reatância. A soma fasorial da tensão terminal, da queda na resistência do enrolamento do secundário e da queda na Featância de dispersão do secundário, resulta na tensão da fonte, E, como mostrado na Fig. 2-8. (2:21) Fig. 28 Diagrama fasorial com. pleto de um transformador em Carga, para o caso onde a = Nj N>1L nder a resposta a esta questão, considere a situação ilustrada na Fig. 2-7. Como fluxo aumentando no sentido indicado, a fem do secundário tem a polaridade indicada, de forma que quando a chave é fechada, a ação da corrente do secundário é causaram decréscimo no fluxo mú- ir devido à ação de N., provoca uma redução na queda de ten- aplicada V, é constante, o pequeno decréscimo ria UM dumei rente do primário. Na realidade, a corrente no primário pode aumentar até aquele valor que, quando circulando pelas espiras do primário N,, representa uma fmm suficiente para neutralizar a ação desmagnetizante da fmm do secundário. Em termos matemáticos, te- mos INN, =0 (2-22) transformador. Evidentemente, a corrente total do primário é a soma fasorial de Te1, Neste caso, o fluxo de dispersão do primário está em fase com 1,, e não com Í., como é o caso em vazio. Seção 2-1 Teoria de Operação e Desenvolvimento de Diagramas Fasoriais 53 Para transformadores nos quais a queda de tensão na resistência do enrolamento e na reatância de dispersão são desprezíveis, a fmm de magnetização é a mesma com ou em vazio. Em outras palavras, à soma fasorial da fmm total do primário, N 1, e da finm do secundário, N'Z, deve produzir N 1, . Desta forma (2:23) Dividindo-se por N,, obtemos (2-24) Inserindo a Equação (2-22), obtemos (225) onde 1 'é equivalente a 1, Estas equações são prontamente verificadas no diagrama fasorial da Fig.28. Aspectos de Construção de um Transformador Ao contrário da representação esquemática da Fig. 2-7, não se deve supor gue o número total de espiras do enrolamento do primário é colocado em uma perna do núcleo ferromagnético e todas as espi- ras do enrolamento do secundário são colocadas na outra perna. Tal arranjo acarreta uma quantidade excessiva de fluxo de dispersão, de forma que para uma dada fonte de tensão, o fluxo mútuo será cones. Pondentemente menor. O procedimento usual na construção de um transformador é dividir as espiras do Primário e do secundário. Isso mantém o fluxo de dispersão dentro de um Pequeno percentual do fluxo Os dois tipos principais de construção usados para transformadores monofásicos são o tipo nú- <leo envolvido e o tipo núcleo envolvente. No tipo múcleo envolvido, os enrolamentos são feitos envol. vendo o ferro na forma indicada na Fig. 2.9. Na configuração típica, metade das espiras da bobina de baixa tensão é colocada em cada perna, próximas do ferro e separadas por uma camada adeguada de Fig. 2.9 Aspectos da construção do transformador do tipo nú- cleo envolvido. H representa o número de espiras da bobina de alta tensão; L representa o número de espiras da bobina de bai- xa tensão. 54 Transformadores Capítulo 2 Isolamento Bobinas planas. Núcleo de ferro. em chapas Fig. 2.10 Aspectos da construção do transformador do tipo núcleo envolvente. H representa o número de espi- ras da bobina de alta tensão; L representa o número de espiras da bobina de baixa tensão. isolante. Então, após outra camada de um isolante adequado, metade das espiras do enrolamento de alta tensão é colocada sobre a bobina de baixa tensão. O processo é repetido, na segunda perna. A constru- ção tipo núcleo envolvido é a preferida nos transformadores de alta tensão, por facilitar a solução do problema de isolamento. No transformador tipo núcleo envolvente, é o ferro que é colocado ao redor das bobinas, como visto na Fig. 2-10. As bobinas, nesta configuração, são, em geral, em uma forma plana, distintas das formas cilíndricas usadas no transformador de núcleo envolvido. Frequentemente o enrolamento de baixa tensão é dividido em três seções, com as duas seções externas com um quarto da espiras cada uma e a outra metade é intercalada entre as duas metades do enrolamento de alta tensão, como indicado no diagrama. A construção do tipo núcleo envolvente é a preferida pará os transforma- dores de potência, nos quais circulam grandes correntes. O núcleo de ferro proporciona uma melhor proteção mecânica aos enrolamentos, nestas circunstâncias. O Efeito da Saturação na Corrente de Magnetização “Todas as grandezas que aparecem em um diagrama fasorial tal como o da Fig. 2-8 devem neces- sariamente estar na mesma frequência. Em consegiência, o componente de magnetização, 1, da cor- rente 1, tem que ser tratado como uma grandeza com uma forma senoidal quando usado nesta forma. Contudo, a forma real da corrente de magnetização não é senoidal, principalmente pela influência do núcleo magnético. Há dois fatores importantes nesta consideração. Um é o estado de saturação do nú- cleo de ferro magnético e o outro o efeito combinado da histerese e das perdas no núcleo. ncia, os transformadores funcionam com variações no tempo de fluxo que colocam a operação um pouco acima do joelho da curva de saturação. É instrutivo examinar as consegiiências deste modo de operação. Isso pode ser melhor entendido observando-se a Fig. 2-11. É importante compreen- der, desde o princípio, que a situação descrita neste diagrama é transitória. Ela foi considerada a fim de pôr em evidência as forças que criam a forma final da corrente de magnetização. A forma de onda da tensão que é aplicada ao enrolamento do primário do transformador é suposta como sendo uma senóide pura. Consegiientemente, esta fonte de tensão é capaz de fornecer somente uma corrente de magnetização senoidal à bobina do primário do transformador. A Fig. 2-11 mostra esta corrente de magnetização desenhada abaixo da curva de magnetização, à qual, por sua vez, está dese- nhada como possuindo um grau regular de saturação mas sem histerese. O efeito da histerese no mate- Seção 2-1 Teoria de Operação e Desenvolvimento de Diagramas Fasoriais 55 $ $ sã MM H,A-t/m) tsseg. ta) te) (b) Bos Fig. 2.11 Ilustração do efeito de uma corrente de magnetização senoidal: 2) curva de magnetização mostrando saturação sob forças de magnetização clevadas e sem histerese; (b) corrente de magnetização senoidal suposta como Cisculêndo da fonte de tensão para a bobina do primário e (c) a onda de fluxo resultante com o topo abaulado pro- duzida pela corrente de (b). il do núcleo magnético foi desprezado neste momento, a bem da simplicidade. A projeção da corrente de magnetização variável senoidalmente sobre a curva de magnetização produz uma onda de fluxo com um topo abaulado, como mostrado à direita da curva de magnetização. Além disso, esta onda de fluxo contém originalmente duas componentes harmônicas: uma grande componente fundamental, 4, e uma importante componente negativa de terceiro harmônico, &,. A componente do fluxo fundamental induz “uma tensão, e, na bobina do primário, que é igual e oposta à tensão aplicada no primário, v; assumindo- se uma resistência desprezível no enrolamento do primário. Contudo, a componente negativa « do fluxo de terceiro harmônico também induz uma tensão na bobina do primário, e,. Mas esta tensão não encon- tra uma componente igual c oposta na fonte de tensão do primário, por ser esta uma grandeza puramente senoidal. Como resultado, a tensão de terceiro harmônico erada pela bobina fica livre para atuar no circuito primário e produzir uma corrente de terceiro harmônico negativa, a qual, então, se soma à com- ponente fundamental positiva, entregue pela fonte de tensão. Desta forma, à corrente de magnetização resultante é a superposição destas duas componentes. O resultado é uma forma de onda paraa corrente de magnetização que tem picos característicos, como ilustrado na Fig. 2-12. O efeito dos picos está as- 56 Transformadores Capítulo 2 Fig. 2.12 Forma de onda da corrente de magnetização do transformador, desprezando a histerese e perdas no nú- cleo. Aqui, i,, representa a componente fornecida pela fonte de tensão e i,, é a componente fornecida pela bobina do transformador surgindo da saturação do núcleo magnético. sociado com o fato de que a componente de terceiro harmônico circula na direção oposta à da compo- nente fundamental porque se origina da bobina do primário. E É interessante observar que a ação da corrente de terceira harmônica negativa também pode ser interpretada como produzindo uma fmm na bobina do primário que, por sua vez, produz um fluxo de terceiro harmônico negativo, o qual serve para cancelar a componente de fluxo de terceiro harmônico original da onda de fluxo de topo abaulado. Por fim, evidentemente, a lei de Kirchhoff das tensões exige gue o fluxo resultante no núcleo seja senoidal, pois apenas tal fluxo produz uma tensão induzida na bobina que equilibra a tensão aplicada da fonte senoidal. - A característica de picos da corrente de magnetização resultante pode também ser demonstrada à partir da condição de que a tensão senoidal da fonte pode ser equilibrada no circuito do primário apenas pela presença de um fluxo senoidal no núcleo. A projeção subsegiiente desta variação de fluxo senoidal sobre a curva de magnetização saturada conduz então direto à onda com picos da corrente de magneti- Fig. 2.13 Forma de onda final da corrente de magne- tização i,, que resulta da soma de uma componente senoidal fundamental (em fase com a fonte de tensão) ai, da Fig. 2-12. A componente em fase inclui as per- das por histeresc e por correntes parasitas. Seção 2-1 O Circuito Equivalente 57 zação. Contudo, tal abordagem não identifica a fonte da componente de corrente de terceiro harmônico, que agora sabemos não ser diretamente a fonte de tensão senoidal. A forma de onda final da corrente de magnetização é obtida adicionando-se a curva com picos da Fig. 2-12, uma componente senoidal fundamental (em fase com v, ou e,) para considerar as perdas por histerese e por correntes parasitas. A Fig. 2-13 apresenta o resultado. 2-2 O CIRCUITO EQUIVALENTE Dedução Ao se analisar dispositivos na engenharia elétrica, é usual representar o dispositivo através de um circuito equivalente apropriado. Desta forma, a análise em profundidade e o projeto, bem como a preci- são dos cálculos, é facilitada pela aplicação direta de técnicas da teoria de circuitos elétricos. Este pro- cedimento é adotado sempre que novos dispositivos são estudados. Consegilentemente, circuitos equi- valentes são deduzidos não apenas para o transformador, mas para todos os motores ca e cc e para im- portantes dispositivos eletrônicos, como o transistor. Em geral, o circuito equivalente é apenas uma in- terpretação de circuito da equação(ões) que descrevem) o comportamento do dispositivo. Para o caso em questão, existem duas equações — as equações de tensão de Kirchhoff para os enrolamentos do pri- mário e do secundário. Por conseguinte, para o enrolamento do primário, temos Y=hn+la+E (226) e, para o enrolamento do secundário E=h+Ln+jhm (2-27) As duas equações são apresentadas no diagrama fasorial da Fig. 2-8 e a interpretação de circuito corres- pondente aparece na Fig. 2-14(3). Os pontos são empregados para indicar quais dos lados das bobinas possuem instantaneamente a mesma polaridade. O diagrama esquemático da Fig. 2-14(a) pode ser substi- tuído pelo circuito equivalente da Fig. 2-14(b), reconhecendo-se que 7, é composto por 1, e 1, . Além dis- so, visto que, por definição, 1, consiste em duas componentes, 7, e 1,, pode ser considerada como divi- dida em dois ramos paralelos. Um ramo é puramente resistivo e conduz a corrente T,, que foi definida como em fase com E, O outro ramo deve ser puramente reativo, por conduzir Z,. que foi definida como atrasada de 90º em relação a E, como ilustrado na Fig. 2-3(b). O transformador ideal está incluído na Fig. 2-14(b) para explicar a transformação de tensão e corrente que ocorre entre os enrolamentos do primário e do secundário, Portanto, com a relação de transformação a = 2, o transformador ideal forne- ce a informação de que E, = 1/2 E, e que ,=21,. O fato de que o transformador real tem resistência no enrolamento do primário e fluxo de dispersão, e deve conduzir uma corrente de magnetização, é consi- derado pelo circuito que precede o símbolo para o transformador ideal na Fig, 2-14(b). O elemento resistivo r, deve possuir um valor tal que, quando a tensão E, é aplicada através dele, permite a circulação da corrente 1. Portanto, r=Ão (2:28) L sujo A segunda forma desta equação é obtida substituindo-se E, pela fórmula da Equação (2-13). Portanto, r. também pode ser considerado como aquela resistência que representa a perda no núcleo do transforma- “rarisformádores Capítulo 2 Significado do Valor Nominal de Placa do Transformador dba Umtransformador típico possui uma placa de identificação com as seguintes informações: 10 kVA 2.200/110 V. Qual o significado destes números na terminologia e na análise desenvolvida até o presen- te? Para compreender a resposta, ver Fig. 2-18, a qual é, na realidade, o circuito equivalente aproximado desenhado para incluir o transformador ideal, para colocar em evidência a ação de transformação exis- tente entre os circuitos do primário e do secundário. O número 110 refere-se à tensão nominal do secun- dário. É a tensão que aparece na carga quando circula a corrente nominal, na potência nominal. Esse valor é chamado V,. O número 2.200 refere-se à tensão nominal do enrolamento do primário, que é obtida tomando-se a tensão secundária nominal e multiplicando-a pela relação de espiras a entre o primário e o secundário. Em nossa terminologia, isto é V,”. Especificando a relação V”/V, = 2.200/110 na placa de identificação, é dada informação a respeito da relação de espiras. Por fim, o número em quilovolt-ampê- res refere-se sempre aos quilovolt-ampêres de saída, que aparecem nos terminais de carga do secundá- rio. Naturalmente, os quilovolt-ampêres de entrada são ligeiramente diferentes, por causa dos efeitos de Re, . Função de Transferência A função de transferência do transformador pode ser especificada tanto com a relação à tensão como à corrente. A função de transferência de tensão é definida como a relação entre a tensão de saída, V, e a tensão de entrada, V,, com a carga ligada. Desta forma ' % 1 TER Z fee) +EXa a A Equação (2-43) indica que quando as resistências dos enrolamentos e os fluxos de dispersão são despre- zÁveis, a função de transferência de tensão, T,, é aproximadamente o inverso da relação de transformação. Quando estas grandezas não podem ser desprezadas, T, será um número complexo, que varia com a carga. A função de transferência de corrente, T, é definida como a relação da corrente de saída pela cor- rente de entrada. Para o circuito equivalente aproximado da Fig. 2-18, temos b. (2:44) Aqui, à função de transferência de corrente é exatamente igual a a, porque a corrente de magnetização é assumida como desprezível. Quando 1, não é desprezível, T, será um pouco menor que a e pode ser h o 1, : 'm ' a Impedância de Entrada A impedância de entrada de um transformador é a impedância medida nos terminais de entrada do enrolamento do primário. No caso do circuito equivalente aproximado, ilustrado na Fig. 2-18, temos =Ra + OR + Ka (2-45) 4 i O exame deste resultado indica que a impedância de entrada é dependente da impedância de carga. No caso dos sistemas de potência, a impedância de entrada não é uma preocupação particular, pois a impe- I í Seção 2-2 O Circuito Equivalente 63 dância interna da fonte é desprezível. Nos sistemas de comunicação, contudo, onde V, é obtida de um transistor, a impedância de entrada é uma grandeza útil, pois descreve o efeito que o transformador exerce na fonte de tensão. Resposta em Frequência Um dos aspectos em que estamos interessados, quando nos referimos à resposta em freqiiência de , “um transformador, é a forma na qual a função de transferência de tensão varia para uma carga fixa, en- quanto a fregiiência da fonte de tensão, V,, varia. O módulo de V, é suposto fixo. Para os transformado- res de potência, a resposta em fregiiência não oferece interesse maior, pois essas unidades operam em uma única frequência — em geral 60 Hz e, às vezes, 50 Hz. Contudo, em circuitos de comunicações, à fregliência da fonte de tensão varia em uma larga faixa de valores. Por exemplo, no caso de um transfor- amador de saída que acopla o estágio de potência de um amplificador de áudio a um alto-falante, a fre- qiiência pode variar por todo o espectro de fregiências audíveis. Qual é, então, o efeito desta fregiiência variável na função de transferência de tensão? A resposta vem de uma inspeção da Fig. 2-14(0). Lem- bre-se que a reatância indutiva é diretamente proporcional à fregiiência, isto é, x=oL=2nfL (2-46) Por isso, a reatância x, em baixas fregiências, que normalmente é tão alta que pode ser removida do circuito, não mais pode ser desprezada. Na realidade, esta baixa reatância de magnetização pode efeti- vamente se associar em paralelo à impedância fixa da carga, causando, desta forma, uma drástica redu- ção na tensão de saída, como ilustrado na Fig. 2-20. A Figura 2-19(a) mostra a configuração do circuito equivalente aplicado a frequências muito reduzidas. Observe que x, é x, são tão pequenas nessas fre- aiiências que poderiam ser inteiramente omitidas do diagrama. Na faixa intermediária de freqiiência, o projeto destes transformadores para sistemas de comuni cações é tal que x, e x," são ainda bastante pequenas, enquanto , é grande o suficiente para que possa ser desprezada. O circuito correspondente aparece na Fig. 2-19(b). Observe-se que, para uma carga re- sistiva, o circuito equivalente consiste apenas em elementos resistivos, de forma que a função de trans- ferência permanece constante na faixa de fregiiências intermediárias. (Ver Fig. 2-20.) Em fregiiências muito elevadas, x, e x, não são mais desprezíveis e, por conseguinte, devem ser incluídas no circuito. Contudo, x, pode continuar a ser omitida. O circuito equivalente toma agoraa forma ilustrada na Fig. 2-19(c). Um rápido raciocínio demonstra que, conforme a frequência se eleva, uma parte cada vez maior da tensão V, da fonte surge através de x, e x, é uma tensão cada vez menor aparece à É dE RL=CÊRL (9) E R(=02RL to) (o) Fig. 2.19 Circuito equivalente para várias faixas do espectro de fregiiência: (a) baixas fre- qiências; (b) frequências in- as; (o) altas fregiiên- 64 Transformadores Capítulo 2 Baixa Frequência | Ama g treqúência: intermediária—++ frequência Ê N Es | i 85 E Fig. 2.20 Função de transferência de tensão, V,/V, 1 o 100 1000 10f 105 versus frequência. a] Frequência, Hz através da resistência fixa da carga. Portanto, uma redução ocorre novamente no valor da: função de trans- ferência de tensão, como ilustrado na Fig. 2-20. Nos transformadores para comunicações, uma resposta em fregiiência adequada, tal como a apresentada na Fig. 2-20, é, com muita fregiência, a característica mais importante do dispositivo. Exemplo 2-1 Um transformador de distribuição, com valor nominal de placa de identificação de 100 kVA, 1.100/220 V, $0 Hz, tem a resistência do enrolamento de alta tensão de 0,1 ohm (42) e uma reatância de dispersão de 0:3 O. A resistência do enrolamento de baixa tensão é de 0,004 O e u reatância de dispersão é de 0,012 O. A fonte é aplicada ao lado de alta tensão. (a) Calcule a resistência do enrolamento equivalente c a reatância, referidas aos lados de alta e baixa tensão. (b) Calcule a queda de tensão na resistência equivalente e na reatância equivalente, em volts e em per- centagem das tensões nominais do enrolamento, expressas em termos das grandezas do primário. (c) Repita (b) para grandezas referidas ao lado de baixa tensão. (4) Calcule as impedâncias de dispersão equivalentes do transformador referidas aos lados do primá- rio e do secundário. Solução Dos dados de placa de identificação, a relação de espiras é a = 1.100/220=5. (a) Portanto, a resistência do enrolamento equivalente referida ao primário, pela Equação (2-38), é R, ta = 8 +02 =0,1+(5)2(0,004)=0,2 0 Também x, a = + 02x, =0,3+25(0,012)= 0,60 As grandezas correspondentes, referidas ao secundário, são Ro=2 +0,004-0,0080 25 XL + 0002-0040 25 Estes cálculos revelam quer, =r, ex, =x,'. Essa é uma ocorrência muito comum em transformadores bem projetados. Um transformador bem projetado é aquele que emprega uma quantidade mínima de ferro e Sobre para uma saída especificada. Observe, também, que a resistência do enrolamento do secundário é con- sideravelmente menor que a do enrolamento do primário. Isso é consistente com a maior corrente nominal do primeiro. Seção 2-2 O Circuito Equivalente 65 (b) O valor nominal da corrente do enrolamento do primário é, neste caso, Portanto, É ERA =910,2)=18,2 V Expresso como uma percentagem da tensão nominal do enrolamento de alta tensão, toma-se 18,2 ' 5 100 = 1,65% y 1.100 Também : DXa =910.6)=54,6 V e dão 100 = 4,96% w 1.100 (c) A corrente nominal do enrolamento secundário é h=al,=S9)=455A Portanto, [2Rçy = 455(0,008) = 3,64 V e LeRa mp = 2 09 1,65% Y 220 » Note-se que o valor em percentagem da queda na resistência do enrolamento do secundário é idêntico ao do primário. De modo semelhante, para a reatância de dispersão, [nXe3 = 455(0,024) = 10,9 V ' Leão 99 -102 109 4,06% % 220 (d) A impedância equivalente de dispersão referida ao primário é é Za = Ra tiXa= 0,2 +06 =0,634/71,6º Referida ao secundário, torna-se 66 Transformadores Capítulo 2 »2-3 PARÂMETROS DE TESTES EM VAZIO O circuito equivalente exato do transformador tem um total de seis parâmetros, como mostra a Fig. 2-14(d). Um conhecimento destes parâmetros nos permite calcular o desempenho do transforma- dor sob todas as condições de operação. Quando todos os dados de projeto de um transformador são disponíveis, os parâmetros podem ser calculados das dimensões e das propriedades dos materiais em- pregados. Desta forma, a resistência do enrolamento primário, r,, pode ser calculada da resistividade do cobre, do comprimento total do enrolamento e da área da seção transversal. De modo semelhante, um parâmetro tal como a reatância de magnetização x, pode ser calculada do número de espiras do primá- rio, da relutância do circuito magnético e da fregiência de operação. O cálculo da reatância de dispersão é um pouco mais complicado, pois envolve a consideração dos enlaces parciais de fluxo. Contudo, exis- tem fórmulas disponíveis para se fazer um cálculo confiável destas grandezas. Uma forma mais direta e fácil de se determinar os parâmetros do transformador é por ensaios que envolvem muito pouco consumo de energia, chamados de testes em vazio. O consumo de energia é ape- nas o necessário para suprir as perdas associadas envolvidas. A resistência do enrolamento do primário (ou do secundário) é determinada diretamente, aplicando uma pequena tensão cc ao enrolamento, na forma indicada na Fig. 2-21. A tensão que aparece através do enrolamento deve ser suficientemente grande para provocar a circulação de uma corrente aproximadamente igual à nominal. Então, a relação entre a queda de tensão no enrolamento, registrada pelo voltímetro, VD, dividida pela corrente que o percorre, conforme registrado pelo amperímeiro, AD, dá o valor da resistência do enrolamento. Teste de Circuito Aberto As informações sobre o resistor r, de perda no núcleo e a reatância de magnetização x, são obtidas por um teste de circuito aberto, cujo circuito aparece na Fig. 2-22. Nôte-se que o enrolamento do secun- dário está aberto. Portanto, como indica a Fig. 2-14(d), a impedância de entrada consiste na impedância de dispersão do primário e na impedância de magnetização. Neste caso, o amperímetro e o voltímeiro são instrumentos ca e a segunda letra À é utilizada para enfatizar isso. Portanto, AA designa amperíme- troca. O wattímetro, mostrado na Fig. 2-22, é usado para medir a potência consumida pelo transforma- dor. O teste de circuito aberto é executado pela aplicação de tensão, seja do lado de alta ou de baixa tensão, dependendo da conveniência. Desta forma, se for o transformador do Exemplo 2-1 a ser ensaia- do, a tensão poderia ser aplicada no lado de baixa tensão, pois uma fonte de 220 V é bem mais fácil de se dispor que uma de 1.100 V. A perda no núcleo é a mesma, seja com 220 V aplicados ao enrolamento de menor número de espiras ou com 1.100 V aplicados ao enrolamento com maior número de espiras. O valor máximo do fluxo, do qual depende a perda no núcleo, é o mesmo em ambos os casos, como indi- cado pela Eg. (2-17). Por conveniência, agora, suponha que os instrumentos empregados no ensaio de circuito aberto produzam as seguintes leituras: Jeitura do wattimetro = P leitura do amperímetro = 1, Jeitura do voltímetro = V, A leitura do voltímetro tem o subíndice L para enfatizar que o teste foi executado com a fonte e os ins- trumentos no lado de baixa tensão.* Desprezando-se as perdas dos instrumentos, a leitura do wattímetro pode ser tomada como exata- mente igual à da perda no núcleo, isto é, P, = P. Isso porque a perda no cobre neste caso é demasiada- *Nota do Tradutor: Low-voltage side. Seção 2-3 Parâmetros de Testesem Vazio 67 ad o baixa alia Resistor limitador (na) Fonte Q de tensão ca o + Enrolamento É do primário 3 oudo secundário Fig. 2.22 Diagrama de fiação para o teste de cir- Fig. 2.21 Circuito para determinação da resis- cuito aberto do transformador. tência do enrolamento. mente pequena. Além disso, visto que 1, é muito pequena, a queda na impedância de dispersão do pri- mário pode ser desprezada, de forma que, para todos os fins práticos, a fem induzida será igual à tensão aplicada, isto é; E, = V,. De acordo com essas simplificações, o diagrama fasorial de circuito aberto está representado na Fig. 2-3(b). O ângulo do fator de potência em vazio, 6, é calculado de G=cos! (247) Segue-se, então, que 1, 086, (2-48) e Lo = 1, sen6, (2-49) É importante lembrar-se que esssas correntes são referidas ao lado de baixa tensão. Os valores corresponden- tes do lado de alta tensão seriam menores, pelo fator 1/a. O resistor de perda no núcleo do lado de baixa é P P == —— (250) ER im cos Bo O resistor de perda no núcleo do lado de alta correspondente é = dr (251) A reatância de magnetização referida ao lado de baixa é deduzida da Equação (2-29). Desta forma, (2:52) No lado de alta, isso torna-se (2:53) XH= xa Ainda que a forma de se calcular a impedância de magnetização já tenha sido apresentada, a mo- tivação não é tanto a necessidade e sim o desejo de perfeição. O emprego do circuito equivalente apro- pr | | 4 | | | À | 7Ê Transformadores Capítulo 2 com tensão constante (tensão constante é uma característica da maioria das cargas comerciais e in- dustriais). Ao determinar a regulação de tensão, é usual presumir que V, está ajustado ao valor que permite haver tensão nominal na carga, quando a corrente nominal circula através da mesma. Sob estas condi- ções, o valor necessário de V, é calculado pela lei de Kirohhoff das tensões, aplicada ao circuito equiva- lente aproximado. Ver Figuras 2-15 e 2-16. Para o ângulo do fator de potência 6, atrasado, atribuído ao circuito do secundário, a expressão de V, é ? Vi = VI + I/-0,2a/6, es onde G=tani da (2.66) z 1 A Equação (2-65) é escrita empregando-se o valor referido da tensão nominal no terminal do secundário como referência. Exemplo 2-3 Para o transformador do Exemplo 2-2(a), calcule o rendimento, quando os quilovolt-ampêres nominais são entregues a uma carga, com o fator de potência igual a 0,8, atrasado; (b) calcule a regulação de tensão. Solução (a) As perdas na corrente de carga nominal e na tensão nominal são X perdas = 396 + 810 = 1.206 W = 1,2 kW Também KW de saída = 50(0,8) = 40 kW kW de entrada = 40 + 1,2=41,2kW Portanto, E perdas 12 n=1-— "> =1-=1-0,029= KW de entrada 41,2 Ren ou n=91,1% (b) Pela Equação (2-65), temos Vi = Va = 2400 + 208/-37º 4,42/65º Seção 2-5 Indutância Mútua 73 Portanto, Ty = Va = 2400 + 92/28º = 2400 + 81,1 +543,1 Va = 24811 comparado com o componente em fase. Este cálculo indica que, a fim de termos a tensão nominal na carga, quando a corrente nominal circular, a tensão no primário V, deve ser ligeiramente diferente da tensão nominal do enrolamento do primário de 2.400 V. A percentagem da regulação de tensão é, desta forma, determinada como Observe-se que o componente é desprezível, 2.481,1— 2.400 regulação de tensão, em percentagem = 100 = 3,38% -gulação percentag: ago Exemplo 2-4 Neste exemplo, nosso objetivo é calcular a regulação de tensão, assumindo que o transformador do Exemplo 2.3 é operado com a tensão nominal de 2.400 V nos terminais de entrada. Para facilitar a comparação do tesultado a seguir com aquele obtido no Exemplo 2-3, é feito uso da mesma impedância, que produz a cor- Tente nominal de saída quando a tensão nominal aparece nos terminais do secundário; em outras palavras, a impedância de carga tem o valor Z, = 115,430º = 100 + j57,8 ohms, referido no lado de alta. Solução Pela lei de Kirchhoff das tensões, para o circuito do primário, temos Vi = 2400/0º = HlRa + Ri +Xa + XD] = LUI87 + 100 +J(4 + 57,8)] A 2400 2400 , 1 =0187 + J6L8 ” NS 15/55128 * 20,14/31,24º v; = 24 = 20,14/-31,24º (115,4/30º) = 2324,465/-1,24º 1= 62 2400 — 2324.4650 nado, 100 = 3,25% regulação de tensão, em percentagem = 2-5 INDUTÂNCIA MÚTUA A análise do transformador de dois enrolamentos pelos métodos da teoria dos circuitos elétricos envolve o emprego da indutância própria e da mútua. Até aqui, a equação de Kirchhoff das tensões, aplicada ao enrolamento do primário, conduziu à Equação (2-26). A seguir, será demonstrado que este resultado é idêntico ao obtido pela abordagem clássica. Para simplificar, suponha que o material ferromagnético tenha sem perdas no núcleo. Ver Fig. 2-24, onde, para as correntes indicadas, uma curva de magnetização linear, a equação de Kirchhoff toma-se Mi o py o (267) data o onde as letras minúsculas para corrente e tensão representam valores instantâneos, Aqui, à grandeza L, didi representa a queda de tensão associada com o fluxo total produzido por , e enlaçando as espiras e primário, N, De modo similar, a grandeza —M di dt refere-se à elevação de tensão associada com o Puxo produzido por í, e enlaçando as espiras do primário. À existência de uma elevação de tensão no Circuito do primário, para à direção atribuída a i, é fncilmente verificada. Observe-se que a fmm do 74 Transformadores Capítulo 2 EO W Fig. 2.24 Transformador elementar para análise pela abordagem clássica. secundário, N.i,, se atuar livremente, produz um fluxo que circula no sentido anti-horário, na configura- ção da Fig. 2-24. Então, a reação da bobina do primário entre dois pontos, tais como a e b, pela lei de Lenz, requer que o ponto b esteja em um potencial mais elevado que a. Consegientemente, esta fem induzida torna-se uma elevação de tensão, com relação à direção atribuída a i . Assumindo que a tensão aplicada no primário é uma senóide, a Equação (2-67) pode ser escrita em valor eficaz como W=hn + joLÃ — joMl, (2:68) Inserindo-se a relação L=al, (2-69) onde a é a relação de transformação, obtemos W=n + joLd — joaMl, (2:70) Mas, pela Equação (2-24) de forma que Y=En + jo(L — aM)Ã + joaMl, (271) A Equação (2-71) está agora em uma forma na qual é possível a relação com a Equação (2-26), após alguma manipulação algébrica. A fórmula para a indutância própria do enrolamento do primário pode ser escrita como dh PL SE L=N 27) A equivalência da forma diferencial com as quantidades totais nesta última fórmula é permitida pe- la condição de linearidade. Recapitulando-se que o fluxo total enlaçando a bobina do primário consis- te no fluxo mútuo , mais o fluxo de dispersão do primário, O, a Equação (2-72) pode ser reescri- ta como =n, Cut Pu 4 a (273) Seção 2-5 Indutância Mútua 75 Também, 5, =D eo, = Nih Rn onde 9X, é a relutância vista pelo fluxo mútuo e é constituída exclusivamente de ferro, e R, é a relutân- cia total vista pelo fluxo de dispersão do primário no ar. Consegiientemente, a Equação (2-73) torna-se (2:74) NÉ, NZ A s=r+ (275) Cas Cao SS onde L, representa uma indutância associada com o fluxo mútuo e L, é a indutância associada com o fluxo de dispersão do primário. É importante notar aqui que L,, não é à indutância mútua ? A definição clássica de indutância mútua é dada, neste caso, por May = Ny St = No, Em (2:76) di à Desta forma, a indutância mútua é relacionada com o número de espiras do enrolamento 2 ea variação do fluxo com relação à corrente no enrolamento 1, que produz o fluxo mútuo 6. Ao inserir-se N, i = &, R, na Equação (2-76), resulta NaN, Rm A fórmula para a indutância mútua pode, também, ser deduzida considerando-se uma variação no fluxo mútuo correspondente a uma variação na corrente do secundário, i,, que enlaça N, espiras. Desta forma, My= 21 dom: Dm Ma =N a =N E (2-78) Mas, Dam = Nado (2:19) Com esse valor na Equação (2-78), obtemos (2:80) Uma comparação da Equação (2-80) com a (2-77) indica que as duas são idênticas e, daqui em diante, qualquer das expressões será representada por M. o Voltando à Equação (2-71), estamos agora em condições de avaliar o significado do termo entre parênteses. Desta forma, pelas Equações (2-75 e (2-77) NENE NM NM NE Rm Rn No Rm = L-aM= =ly (2:81) *L., 6, na realidade, a indutância mútua, referida ao enrolamento do primário. 76 Transformadores Capítulo 2 Evidentemente, esta grandeza é a indutância de dispersão do primário, representando o efeito do fluxo de dispersão do primário. Naturalmente, a grandeza total DL, — aM)h = Ly =xh (2:82) nada mais é do que a queda na reatância de dispersão do primário e é a contrapartida do segundo termo da Equação (2-26). Examinemos, agora, o último termo da Equação (2-71). Desta forma, vaMI, = a Em O termo fracionário do lado direito da última equação é a expressão para o fluxo mútuo. Especificamen- te, contudo, visto que ela envolve a relutância e o valor eficaz 1, [, da corrente de magnetização, esta fór- mula representa o módulo do valor máximo do fluxo mútuo dividido por VZ. Isto é, (2-83) Nh O, Rm 2 (2:84) onde é, representa o valor máximo do fluxo mútuo. Consegientemente, a Equação (2-83) torna-se O, 2m cam, =am Te = DE MO = E; (2:85) Segue-se, portanto, da Equação (2-85), que o parâmetro indutância mútua, tão fregientemente encon- trado na análisé linear de circuitos, está implícito na fórmula para a fem induzida. Evidentemente, tanto a fem induzida como a indutância mútua estão relacionadas pelo mesmo fluxo mútuo. 2-6 O CIRCUITO EQUIVALENTE: PONTO DE VISTA DE CIRCUITO ACOPLADO Na Seção 2-2 o circuito equivalente do transformador foi deduzido pelo ponto de vista do campo, baseado na interação de fluxos e fmm"s. Esta abordagem é, freglientemente, a preferida porque propor- ciona uma melhor compreensão física dos mecanismos que formam a base da operação e do comporta- mento deste dispositivo. Contudo, é perfeitamente possível chegar-se ao mesmo circuito equivalente aplicando-se as técnicas de análise de circuitos ao circuito acoplado, que é, afinal de contas, o que é um W Fig. 2.25 Diagrama esquemático do trans- formador de dois enrolamentos, expresso em termos das indutâncias próprias e mú- o— tuas. [ Seção 2-6 O Circuito Equivalente: Ponto de Vista de Circuito Acoplado 77 transformador. O ponto de pertida usual em tal análise é a Equação (2567), que repetimos aqui por cof veniência. Desta forma, Hi gt 2-86) dt dt Esb) m=in+h Lembre-se que L, representa a indutância própria do enrolamento do primário, que está associada com N >: por outro lado, M representa a indutância mútua entre os enrolamentos do primário e do secundário Envolve o produto de N, e N,, como indicado pela Equação (2-80). A Figura 2-25 descreve o arranjo esquemático do qual é óbvio que a Equação (2-86) descreve a situação que prepondera no circuito do ssimário, de forma consistente com a lei de Kirchhoff das tensões. Para facilitar o emprego, vamos rever esta última equação, trocando a diferenciação pelo operador de derivação, s. Consegiiente- mente, v=iún + Lsi —sMb (2-87) Além disso, pelo fato da fem do secundário estar relacionada à fem do primário pela relação de espiras a e porque a potência se conserva, assumindo perdas no núcleo desprezíveis, segue-se que b=air (2-88) onde i, é a corrente de equilíbrio necessária no enrolamento primário, para assegurar o equilíbrio das potências. Em outras palavras, esp = (air) (2-89) a onde e, e e, são, respectivamente, as tensões instantâneas induzidas nos enrolamentos do primário e do secundário. Introduzindo a Equação (2-8) na Equação (2-87), obtemos v=in + Lsi — aMsi, (2-90) A seguir, adicionamos zero ao lado direito desta equação, na forma: aMsi, — aMsi. Portanto, obte- mos v= in +(L — aM)si + aMs(i — is) (2-91a) Para fontes senoidais, o operador de derivação s pode ser substituído por ja, de tal modo que a última equação pode ser reescrita como vi à + JO(L — aMDi + jaaMGã — ip) (2-91b) Antes de se proceder a uma interpretação de circuito desta equação, vamos repetir a análise precedente para o circuito do secundário na Fig. 2-25. . De acordo com a convenção de ponto, quando a corrente i, circula no sentido mostrado na Fig. 2- 25, a ação do transformador é tal que o lado com o ponto da bobina do secundário é positivo e a corrente i, assume o sentido horário indicado. A lei de Kirchhoff das tensões, então, conduz a di di, MS ur Ea Lg (2:92) 82 Transformadores Capítulo 2 Fig. 2.29 Símbolos para análise do autotransfor- mador abaixador. Aplicando-se a lei de Kirchhoff das correntes ao ponto b, obtemos LT (2-102) Mas, visto que T, e Testão ambas em fase no tempo, segue-se que a Equação (2-102) é válida também quando são empregados apenas módulos. Desta forma, (2-103) Inserindo-se 1 = 1, — 1, na Equação (2-100), produz a relação entre as correntes dos lados de alta e de baixa. Portanto, ou (2-104) Finalmente, inserindo-se 1, = 1,/a, na Equação (2-100), resulta (2-105) As tensões induzidas nos enrolamentos ab e bc estão também em fase no tempo, pois são geradas pelo mesmo fluxo. Admitindo E, = E, = E, E, = E, = E, € E, = E, temos, então (2-106) | O exame das Equações (2-100) e (2-106) mostra que cla confirmam matematicamente a equivalên- cia descrita na Fig 2:28. Estas equações indicam que a reação das tensõos e das corentes nas bobinas ab e be são as mesmas que teríamos se as espiras =, formassemo primário e as espiras N, =, formassem é secundário de um transformador convencional, tendo uma relação de transformação (a, — 1).0 valorde Seção 2-2 O Autotransformador 83 a, para o autotransformador da Fig. 2-28(b) é 1.2. Portanto, o transformador convencional equivalente deve da qa relação de espiras de a, — 1, ou 1/5. O exame da Fig, 2-28(0) confirmará o resultado. Uma vantagem em se tratar 0 autotransformador como um transformador convencional equiva- Jente é que se pode usar imediatamente os resultados já obtidos. Por exemplo, para obter a resistência cjuivalente do autotransformador referida ao Jado de alta, tudo que é necessário é escrever a resistência equivalente do transformador convencional equivalente, tratando o enrolamento ab como o do primário entolamento be como o do secundário. Pelo nosso conhecimento prévio do transformador convencio- nal, podemos escrever, então Ra = To + (a, — Dra =", + (a, — Dra (2107) onde r, =", (esistência do enrolamento ab e 1, = r, é à resistência do enrolamento bc. De modo similar, à 1º cia equivalente referida ao lado de alta torna-se Xu =%y ta, Dix = 2, + (4, — 1 (2-108) O resultado expresso pela Equação (2-107) pode ser verificado escrevendo-se a expressão para a perda total do cobre, quando os terminais de carga do secundário são submetidos a um curto-circuito. Pago à corrente que circula através de ab seja 1, e a através de bc seja 1, à perda no cobre no curto- circuito será dada, então, por Pa Bra tPra (2-109) Uma resistência equivalente, vista pelo lado de alta, pode ser deduzida da Equação (2-109), se 1 puder ser expressa em termos de 1, Isto é feito com auxílio da Equação (2-100). Desta forma, Pos = Tyra + (ay Dare ou Pa=Elro +(a,— Dre] (110) A grandeza entre colchetes pode ser interpretada como a resistência equivalente do lado de alta, que, quando multiplicada pela corrente do lado de alta ao quadrado, produz a perda no cobre. Relações de Potência e Volt-Ampêre De forma diversa do transformador convencional, o autotransformador tem dois tipos de potência em volt-ampêre associadas a ele. É o resultado da conexão direta em cobre existente entre à fonteea carga. (Ver Fig, 2-29 para distinguir os dois valores.) Visto que a ação de transformador presente no autotransformador tem lugar nos enrolamentos ab e bc, segue-se que o número de volt-ampêres no en- rolamento ab é igual ao número de volt-ampêres no enrolamento bc e representa especificamente à po- tência aparente transformada. Em termos matemáticos, temos VA transformados = E,,1., = Es cm) onde VA representa voltampêres. Se, por simplicidade, assumimos resistência de enrolamento e rea- tância de dispersão desprezíveis, a Equação (2-111) pode ser escrita em termos das tensões nos termi- nais. Desta forma, VA transformados = V.,L,, = Vick (2112) — . 84 Transformadores Capítulo 2 Para os valores especificados na Fig. 2-28, observe que os volt-ampêres transformados são 20 (10) =2 (100) = 200. Contudo, a entrada correspondente à corrente especificada do transformador é V.. L,= 120 (10)= 1.200 VA. Isto significa que o número de volt-ampêres que não é transformado é Vaca — Vablob = (Voc — Voo) lab = Vbclab (13) O valor específico para este exemplo é, então Voclap = 100(10) = 1.000 VA A grandeza representada pela Equação (2-1 13) é chamada de volt-ampêres condutivos. A razão para a de- nominação vem do fato de que a corrente de entrada I, circula condutivamente à carga no potencial V, . Ainda que 1 , comece no potencial V,., experimenta uma queda V, por transformação e, então, segue atéa carga no potencial reduzido. Contudo, é importante observar que o potencial reduzido no qual 1, circula para acargaé exatamente por um aumento na comente de carga originado da ação do transformador. Na notação da Fig. 2-29, podemos escrever, para o autotransformador abaixador VA transformados (114) VA condi (115) Uma comparação interessante a ser feita neste ponto é a relação dos volt-ampêres de saída do autotrans- formador para os volt-ampêres transformados. A última grandeza é, em essência, a saída de um trans- formador convencional tendo os mesmos valores nominais de densidade de corrente e de densidade magnética. Consegiientemente, VA de saída de um autotransformador — VA de saída de um autotransformador VA transformado VA de saída do transf. conv. equiv. (2116) onde a, é a relação de transformação do autotransformador. O último termo pá equação acima sai da Equação (2-105). Aplicando-se a Equação (2-116) ao arranjo da Fig. 2.28, produz-se um fator de 6, que acentua que, para muitas aplicações do autotransformador (a, próximo de 1), à maior parte da potência entregue à carga ocorre condutivamente c apenas uma pequena part é entregue através de transformação. Diagrama fasorial. O diagrama fasorial do autotransformador abaixador pode ser conveniente mente deduzido aplicando-se a ei de Kirchhoff das tensões ao circuito do lado de alta é fazendo uso do Tansformador convencional equivalente, ao estabelecer a grandeza V,, = V,- Conseqlientemente, à lei de Kirchhoff das tensões produz, na Fig. 227 LtV=V,+V, (2117) Tratando o enrolamento ab como o do primário de um transformador convencional equivalente, segue-se que To =V=(a4— DV, + Tuta + (as — D+ aos + (aa — Dx) (2118) Seção 2-7 O Autotranstormador 85 ou =V,=(a, DV, + TR + Xr) = (a —DV;+ Za (2119) Jnserindo-se a Equação (2-119) na (2-117), temos (2-120) ou, mais simplesmente, Vaza, +LZ, (2-121) Na Fig. 2-30(4) aparece a representação do diagrama fasorial da Equação (2-120). A versão sim- plificada está ilustrada na Fig. 2-30(5). Autotransformador Elevador O autotransformador elevador pode ser analisado de modo semelhante ao que foi utilizado para o autotransformador abaixador. No caso do elevador, a fonte é aplicada ao enrolamento be e a carga é coloca- da através do enrolamento total, ac. Ver Fig. 2:31. Os relacionamentos entre “é correntes de entrada, de Satda e do enrolamento comum podem ser deduzidos a partir da condição da fmm equilibrada, que deve prevalecer nas bobinas ab e bc. Se isto for feito e se a relação de transformação, no caso do elevador, é ofinida como maior que a unidade, isto é, a, = N,/Me= Vi/V Os seguintes resultados são obtidos: a (2-122) (2-123) (124) (2-125) Tag YL Ia Fig, 2.30 Diagrama fasorial de um autotransfor- mador abaixador: (2) interpretação em termos da Equação (2-120); (b) interpretação em termos da o Equação (2-121). 86 Transformadores Capítulo 2 E ti Fig. 2.31 Configuração e símbolos para É o autotransformador elevador. E,=E,=E,(a,-D=E(a,—1) (2-126) Uma comparação destas equações com a Equação (2-100) e as Equações (2-103) e (2-104) revela que os resultados para o caso elevador podem ser obtidos daqueles do abaixador, simplesmente trocando os papéis das correntes 1, e, desde que a, seja definida da mesma forma em ambos os casos. Exemplo 2-5 Um autotransformador abaixador deve ser usado para dar partida em um motor de indução, a fim de limitar “o módulo da corrente de partida a um nível aceitável, que é conhecido como 34 À, para uma tensão nominal da linha de 230 V. Em princípio, o autotransformador deve ser regulado em um ponto de derivação de 80%. — (9) Mostre o diagrama esquemático do arranjo do dispositivo de partida do autotransformador, com as tensões claramente indicadas. E (b) Determine a corrente de entrada do autotransformador. (c) Qual o valor da corrente na bobina comum? (d) Determine os VA transformados. (e) Qual o valor dos VA condutivos? (£) Determine o valor nominal, em VA, do autotransformador, para as condições indicadas. (g) Determine o valor nominal de um transformador convencional equi li al equivalente que possa ser utilizada como autotransformador. a S: Solução (a) Vy =230, V, = 0,8(230) = 184 V, 1, = 34 A (Ver Fig 232.) (b) Primeiro calcule a, = Nuc/Npe = V0,8= 1,25. Então pela Eg. (2-104) (o) [= —1y=34-21,2=6,8A (tá) VA transformados = VI = 184(6,8) = 1.251,2 5 =(Vy — Vig = 4627,2)=1.251,2 VA condutivos = IV, = 27, X184) = 5.004,8 (D) Potência nominal do autotransformador, em VA = Vglg = 230(27,2) = 6.256 (g) Potência nominal do transformador convencional equivalente, em VA : 46/184 V, 1.251,2 VA Seção 2-8 Cálculos por Unidade 87 Motor c Fig, 2.32 Solução para a parte (a) do Exemplo 2-5. 2-8 CÁLCULOS POR UNIDADE | Os cálculos em valores por unidade tiveram amplo uso inicialmente nos cálculos de linhas de trans- missão, envolvendo fregiientemente muitos geradores e transformadores. Uma característica da nota- cão por unidade é que ela toma desnecessária a referência das grandezas aos lados de alta ou de baixa dos transformadores. O valor por unidade de um elemento de circuito, tal como aresistência de enrola- mento do primário, é o mesmo para ambos os lados. O procedimento de cálculo é, portanto, extrema- mente simplificado com tal notação. Contudo, a notação por unidade apresenta uma outra vantagem - apreciável. Ela mostra informações importantes sobre o projeto e o desempenho do equipamento ao qual é aplicada. É este o aspecto que será enfatizado nesta seção. A aplicação do sistema por unidade de notação depende do estabelecimento de um conjunto de quantidades específicas de base, pelas quais outras grandezas semelhantes podem ser expressas. Por exemplo, todas as quedas de tensão no circuito de baixa tensão de um transformador podem ser expres- sas como uma relação da tensão nominal do lado'e baixa, onde esta última grandeza é identificada como à tensão de base ou de referência. Na realidade, é usual empregar os valores nominais de um dispositivo domo os valores de base, sempre que cálculos por unidade forem efetuados. Não há nada que restrinja esta seleção. Antes, a escolha do uso dos valores nominais como valores de base é feita apenas por causa do significado que pode ser atribuído aos números resultantes. Dirigindo nossa atenção agora, especifi- Camente aos transformadores de dois enrolamentos, identificamos os seguintes valores de base: base de tensão no lado de alta = tensão nominal no lado de alta = VA base de corrente no lado de alta = corrente nominal no lado de alta = Ik ne ã nal no lado de alí É base de impedância no lado de alta = tensão nomital no lado de alta Ea Za corrente nominal no lado dealta Ip corrente nominal no lado dealta base de admitância no lado de alta= "02 no lado dealta tensão nominal no lado de alta base da saída em VA = saída nominal em VA = Velk = Vel base de tensão no lado de baixa = tensão nominal no lado de baixa = V, base de corrente no lado de baixa = corrente nominal nó lado de baixa = Ip E | tensão nominal no lado de baixa ê base de impedância no lado de baixa = Stensão Hiominál mo ha CENTRE = corrente nominal no lado de baixa a corrente nominal no lado de baixa base de admitância no lado de baixa = tensão nominal no lado de baixa 92 Transformadores Capítulo 2 O valor por unidade de g, permanece inalterado, pois se assume que a operação em tensão nominal será mantida. Exemplo 2-7 Gatcule o rendimento do transformador do Exemplo 2-3, quando a corrente nominal está sendo entregue a uma carga com um fator de potência 0,8 Solução perdas no núcleo 396 W Pugo = as a = 0/0092 volt — ampêres nominais 50.000 VA pru R = Perdas no cobre na corrente nominal 810 volts-ampêres nominais 50.000 Introduzindo-se estes valores na Eq. (2-147), obtemos o resultado desejado: 0,00792 + 0,0162 0,8+0,0241 —0,0293 = 0,9707 Portanto, nem percentagem = 97,07 = 97,1 que se compara favoravelmente com o resultado obtido no Exemplo 2-3. 2-9 TRANSFORMADORES PARA CIRCUITOS TRIFÁSICOS . . Por razões de rendimento e considerável economia no uso do cobre, a geração, a transmissão e à distribuição da energia elétrica é feita por sistemas trifásicos e não monofísicos. O processo se inicia como gerador elétrico, que é projetado para desenvolver uma tensão trifásica. O sistema de tensão trifásica é caracterizado pelo fato de que cada tensão de fase tem o mesmo valor máximo, mas é defasado no fermpo das outras grandezas de fase por 120 graus elétricos. A fonte original de energia pode ser vapor gerado por uma caldeira, água caindo de uma queda ou combustão de gasolina ou óleo diesel. Eregien- temente, a tensão de saída de um gerador elétrico é limitada, por considerações físicas, a 25 kV. A trans- missão de grandes quantidades de energia elétrica por distâncias consideráveis nestas tensões relativa- mente baixas acarretaria grandes perdas, tornando o sistema impraticável. A solução tradicional é intro- duzir transformadores entre o gerador e as linhas de transmissão para elevar a tensão para níveis onde as Perdas na linha sejam toleráveis. Frequentemente, a tensão de transmissão é elevada a um nível de 230 kV ou acima, por meio de transformadores. Na extremidade receptora das linhas de transmissão, é novamente necessário o emprego de transformadores, para reduzir as tensões nas subestações para ní- Veis mais razoáveis. Isto é, com freqência, seguido por uma nova redução em vários pontos ao longo dia linha de distribuição, onde a energia elétrica é finalmente consumida. Ao longo do processo, os trans- formadores são utilizados em arranjos trifásicos, para proporcionar as transformações necessárias. O modo de operação trifásico pode ser obtido seja através de um único transformador trifásico ou pelo uso do três transformadores monofásicos, apropriadamente interligados para operação trifásica. Uma Unidade trifásica é construída com três pernas, com cada perna acomodando as bobinas do primário e do Secundário de uma fase. Quando comparado com três transformadores monofásicos projetados para Suportar os mesmos volt-ampêres, a unidade trifásica isolada é mais leve, mais barata, requer menos v"” Seção 2-9 Transformação para Circuitos Trifásicos 93 espaço e é ligeiramente mais eficiente. Algumas instalações econômicas empregam preferencialmente os transformadores trifásicos, pelo seu menor investimento inicial. Porém, uma escolha a favor de três transformadores monofásicos tem algumas vantagens importantes. A área de superfície total maior, por exemplo, propicia uma melhor refrigeração e maior facilidade de reparo. Além disso, na fase inicial de um sistema de potência, pode ser perfeitamente possível operar com apenas dois dos transformadores, se bem que com capacidade reduzida. Uma terceira unidade pode ser acrescentada em alguma ocasião futura, quando toda a capacidade do sistema for necessária. Também, se uma unidade de reserva for necessária para atender a condições de emergência, uma pequena unidade é, fregiientemente, suficiente para se ter disponível, em comparação com a necessidade de se possuir um transformador trifásico com- pleto, no outro caso. Somando-se à isso, esta última solução vai requerer mais espaço para armazena- gem e é mais difícil de movimentar. Em vista destes prós e contras, é óbvio que a escolha em uma situ- ação específica será fortemente influenciada pelas circunstâncias especiais envolvendo o caso em parti- cular. Pelo fato de que a operação dos transformadores de qualquer forma é virtualmente idêntica, o desenvolvimento do assunto desta seção continuará pelo uso de três transformadores monofásicos. A escolha é feita sem prejuízos. A Conexão A-A Quando se conectam três transformadores monofásicos para operação trifásica, deve-se tomar o cuidado de se assegurar que os terminais do secundário produzam um sistema equilibrado de tensões. As bobinas do primário podem ser ligadas de forma arbitrária. Para ilustrar este ponto, ver 0 arranjo detalhado na Fig. 2-34. O objetivo é fazer as conexões da bobina do secundário de forma que as tensões de linha serão equilibradas e que nenhuma corrente circulante apareça nas bobinas do secun Para auxiliar na distinção entre os enrolamentos do primário e do secundário, são empregadas letras maiús- culas para os primeiros e letras minúsculas para os últimos. Além disso, o emprego de letras iguais (se- jam maiúsculas ou minúsculas) foi adotado para identificar que as bobinas estão associadas com o mes- mo núcleo. Assim, na Fig. 2-34(a), a bobina AB representa o enrolamento do primário e a bobina ab Tepresenta o enrolamento do secundário do mesmo transformador monofásico. O gerador que fornece as tensões para as bobinas do primário dos três transformadores supostamente fornece um conjunto trifásico equilibrado, como mostrado na Fig. 2-34(b). Observe que este conjunto é representado por um diagrama fasorial na forma fechada. Observe, também, que na Fig. 2-34(a), as bobinas do secundário são deixadas desconectadas. Estas conexões devem, agora, ser feitas de um modo ordenado. Principie por unir o terminal b da bobina ab ao terminal b da bobina bc. Os módulos das tensões de fase do primário são iguais entre si, isto é, V,= Vyc= Vc, = V, » Onde V,, representa o valor cficaz da tensão de fase do primário. Do mesmo modo, os valores das tensões de fase do secundário são também iguais uns aos outros, bascado na hipótese de que os transformadores são idênticos. Desta forma, V,, = Vc = Vo = Vo Onde V,, representa o valor eficaz da tensão de fase do secundário. É bom estar atento para o fato de que, embora os módulos destas tensões sejam iguais, eles diferem em fase, Em conse- qiência, quando um voltímetro é colocado através dos terminais abertos ac, na forma ilustrada na Fig. 2-34(0), a leitura será uma de duas possibilidades. Ou será V3 V,, ou será igual, em módulo, a V,,. Observe que a tensão fasorial V, pode ser somada à tensão fasorial V,, com o ângulo de 60º (como mostrado pela linha tracejada do diagrama da Fig. 2-34(c) ou com um ângulo de — 120º (como indicado pela linha contínua). Estes valores são ditados pela relação entre V,, e V,y nO primário. Se o maior dos dois valores é encontrado por teste, deve ser rejeitado e a conexão da bobina invertida. É importante observar que em um arranjo À, as tensões de fase são iguais às tensões de linha. Na última ctapa deste processo de faseamento, o terminal c da bobina ac é ligado a c da bobina bc, com o espaçamento na Fig. 2-34(d) deixado em aberto, exceto para a inserção de um voltímetro. Esta tensão, também, tem duas possibilidades: ou a leitura será duas vezes V,, ou será zero. O resultado de- pende se a tensão da bobina ac está dirigida ao longo de uma direção de 60º ou de 120º. Evidentemen- te, deve ser escolhida a conexão da bobina ac que produz uma tensão no espaçamento igual a zero. Gerador trifásico (o) jo KO Vea Vec (b) 4 / a » Yap je. Yo te) a b Yap Vea) a /. Vie E N = Vea (dy Fig. 2.34 Processo de faseamento do trans- E formador: (a) excitação dos primários, se- Yap cundários desligados; (b) diagrama fasorial dastensões do primário; (o) fascamento de y e duas bobinas do secundário; (d) faseamento oo - da terceira bobina para tensões equilibra- das; (e) diagrama fasorial das tensões se- cundárias equilibrada. Certamente, não desejamos ligar os terminais a, exceto quando os potenciais destes terminais forem os mesmos. Isso evita fogos de artifício. Antes de abandonarmos este assunto, contudo, é importante notar que os fabricantes de transformadores empregam sinais que possibilitam o correto fascamento dos trans- formadores trifásicos. Mas, é óbvio, o processo de fascamento deve ser feito por alguém. A Fig. 2-34(e) mostra o diagrama fasorial final apropriado das tensões equilibradas do secundário. | As características fundamentais entre as grandezas de linha e de fase do primário para o secundá- rio para uma conexão A-A podem ser resumidas como descrito a seguir. Introduza atum v, v, db “a W Seção 2-9 Transformadores para Circuitos Trifásicos 95 onde as grandezas no lado direito representam as tensões de fase no primário e no secundário. Assuma que uma carga trifásica equilibrada seja aplicada ao enrolamento do secundário. Então Relação das tensões de fase: J4B ab 3 o ma pao Vi VA Relação das tensões de linha: = 42 =q u Va onde V,, € V,, representam as tensões de linha do primário e do secundário. As tensões de linha e de fase do primário é do secundário estão, respectivamente, em fase entre si, isto é, V,, está em fase com V.; V, está em fase com V, e V., está em fase com V, . Uma comparação da Fig. 2-34(b) com a Fig. 2-34(0) torna esta afirmação evidente. Também, 1 Relação das correntes de fase: “1º — A ab 1 Relação das correntes de linha: E = ho Aqui foi feito uso do fato de que a corrente de linha em uma conexão À equilibrada é V3 vezes a corrente de fase. É importante que os transformadores que são empregados nestes arranjos tenham relações de trans- formações iguais, a fim de minimizar a existência de correntes circulantes. Outrossim, as impedâncias equivalentes de dispersão dos transformadores devem ser tão iguais quanto possível, para assegurar a distribuição apropriada de carga durante a operação. O uso de um secundário em À também torna ape- nas um nível de tensão disponível, sem possibilidade de inclusão de um fio neutro. Finalmente, uma palavra deve ser dita com respeito à corrente de magnetização neste arranjo. Na configuração da Fig, 2-34(a), uma tensão senoidal é suposta como aplicada às bobinas do primário dos três transformadores. Pela sua natureza senoidal, o gerador pode entregar ao transformador uma corrente de magnetização que é, ela mesma, senoidal. Essa corrente senoidal, contudo, produz uma onda de fluxo de topo abauilado como resultado da saturação no núcleo de ferro do transformador. Além da componente fun- damental principal, uma onda de fluxo de topo abaulado contém uma grande componente de terceiro har- mônico, a qual, por sua vez, serve para induzir, pela lei de Faraday, uma tensão de terceiro harmônico. Es: ação ocorre em cada um dos transformadores originais. Outrossim, a tensão de terceiro harmônico induzida na bobina BC ocorre num ângulo de 3(= 120º) = —360º ou em fase com a componente que aparece na fase AB. Do mesmo modo, na bobina CA, a fase da tensão de terceiro harmônico é 3(120) = 360º, de forma que ela também está em fase com a tensão de terceiro harmônico nas outras duas bobinas. Visto que o gerador senoidal não contém tal componente em seu ciclo de tensão, não pode haver neutralização das tensões de terceiro harmônico. Como consegiiência, o efeito aditivo destas tensões de terceiro harmônico é provocar a circulação de uma corrente de terceiro harmônico nos três transformadores originais. Esta corrente, então, serve ao útil propósito de mudar a corrente de magnetização de uma variação senoidal a uma com picos do modo necessário a assegurar uma variação de fluxo senoidal. A variação de fluxo senoidal, por sua vez, gera uma variação de tensão senoidal nos terminais do primário dos transformadores, satisfazendo, deste modo, a lei de Kirchhoff das tensões no circuito primário gerador- transformador. A Conexão AY O arranjo delta-ipsilon dos transformadores é normalmente encontrado na extremidade emissora de uma linha de transmissão, assim como no final de linhas de distribuição. Na extremidade emissora, i Í e am mm SA se 8 96 Transformadores Capítulo 2 a conexão A-Y oferece a vantagem de uma clevação de tensão adicional, além daquela associada com os transformadores individuais. No final de uma linha de distribuição, a inclusão de um fio neutro per- mite a escolha entre duas tensões para uso do consumidor. Uma combinação bastante popular, que está freqiientemente disponível em muitas companhias de energia elétrica para residências e estabelecimen- tos comerciais, é o sistema 208/120 V. O maior valor está disponível entre quaisquer dos terminais de linha de uma conexão em Y, enquanto o menor representa a tensão entre fase e neutro. O processo de fascamento para uma conexão A-Y é feito de uma forma diferente daquela usada na conexão À-A, no que diz respeito às ligações do secundário. As bobinas do primário, em cada caso, podem ser ligadas arbitrariamente em uma conexão delta fechada. Pelo fato de que o secundário em Y contém um terminal neutro, uma marcação modificada de terminal é usada para os transformadores individuais, como ilustrado na Fig. 2-35(a). Evidentemente, quando os enrolamentos do primário são ligados para formar um circuito fechado, então as marcações n podem ser abandonadas, como ilustrado na Fig. 2-35(b). Contudo, na representação fasorial das tensões do primário, que está esboçada na Fig. 2-35(c), as letras n são ainda empregadas, pois facilitam o entendimento do que está ocorrendo no secundário. Começamos o processo de faseamento no secundário unindo n da bobina na am da bobina nb. Um voltímetro colocado nos terminais livres, indicará uma de duas tensões, como ocorreu na conexão A-A. A leitura específica depende do sentido relativo do enrolamento. A conexão provoca a soma da tensão na bobina an com a tensão da bobina nb, numa direção —60º, do diagrama fasorial, ou numa direção 120º. Estas são as duas únicas possibilidades, e aquela que prevalece depende do sentido relativo dos enrolamentos, quando os dois terminais são conectados. Se o voltímetro indicar um valor para a tensão de linha V, que é igual a V.,, isso significa que a soma está ocorrendo ao longo da direção 120º [ver a componente em linha tracejada na Fig. 2-35(d)] e deve ser rejeitada. Para corrigir esta situação, é neces- sário inverter uma das conexões da bobina. Agora, o voltimetro indicará para V,, um valor de V3 V.,. Este é o valor correto da tensão de linha da conexão A-Y. A tensão de linha deve sempre ser maior do que a tensão de fase, por um fator de 3. Quando a terceira bobina c é ligada na forma da Fig. 2-35(e), o faseamento correto é determinado quando as tensões entre cada par de terminais é igual, em módulo, a 3 vezes a tensão de fase. (Quais são as leituras de tensão quando a bobina c estiver incorretamente ligada?) A comparação do diagrama fasorial de uma conexão A-Y com fascamento correto, tal como a da Fig. 2-35(e), revela que as tensões fase-fase no secundário estão defasadas em 30 graus elétricos das tensões fase-fase no primário. Desse modo, para a situação ilustrada na Fig. 2-35, a tensão de linha entre os terminaius a e b do secundário é V., = V., /—230º, enquanto que a tensão de linha entre os terminais Ae Bno primário é V,,= Vs (0º. Consegiientemente, há um atraso de 30 graus elétricos neste arranjo. Lembramos que esta situação não ocorreu na conexão A-A, onde foi determinado que as tensões fase- fase entre o primário e o secundário estavam todas em fase. A importância desta diferença está na con- clusão de que um banco de transformadores conectados em A-A não pode ser colocado em paralelo com um banco de transformadores A-Y, mesmo se os módulos das tensões forem iguais. A diferença no ângulo de fase, que é inerente a estas conexões, resultará em correntes circulantes dissipadoras de energia. No lado do gerador de uma linha de transmissão, a conexão A-Y é empregada para elevar a tensão do gerador a uma tensão adequada na linha de transmissão. Façamos a relação de elevação da tensão ser representada por (2149) onde a é menor que a unidade para um arranjo de elevação e V,, representa o valor eficaz da ten- são de fase do primário e V,, é o valor eficaz da tensão de fase do secundário. A relação das tensões fase- fase no secundário para as tensões fase-fase no primário pode ser expressa como Cry Va NB Vo st — Crda Va Va (2-150) Seção 2-9 Transformadores para Circuitos Trifásicos 97 ' n B AE On E mode ” e Gerador trifásico Fig. 2.35 Processo de faseamento para a conexão A-Y: (a) marcações dos terminais para as bobinas do primário e do secun- dário dos transformadores A, B e C; (b) primário em A com ligação ao gerador; (c) diagrama fasorial de tensões de linha e de fase do primário; (d) fascamento das bo- binas do secundário a e b; (e) fascamento das bobina c para tensões equilibradas fase-fase e fase-neutro do secundário. Ao se substituir V,, por seu equivalente da Eq. (2-149), resulta V, Vrdy Va NB Va N3 Cro Va Va a (2-151) Desta forma, se a tiver o valor de um décimo, a tensão fase-fase do secundário será 17,32 vezes maior que a tensão fase-fase do primário. O aspecto atraente deste arranjo, naturalmente, é que o isolamento 102 241. 212. 213. 214. fas 2-16. 217. 218 2z19. 2-2. Transformadores Capítulo 2 (a) Calcule a regulação de tensão deste transformador quando ele entrega a carga plena com fator de potên. cia 0,8 atrasado. Despreze a corrente de magnetização. (b) Calcule o rendimento na condição de carga de (a). Os seguintes resultados de teste foram obtidos em um transformador de 110 kVA, 4.400/440 V, 60 Hz: Ensaio de curto-circuito: P = 2.000 W, Ensaio de circuito aberto: P = 320 W, I=200A, V=18V I=1A, V=440 Calcule a regulação de tensão deste transformador quando ele entrega a corrente nominal com um fator de potência 0,8 atrasado. Despreze a corrente de magnetização. Um transformador de distribuição de 50 EVA, 2.300/230 V, 60 Hz, consome 360 W, com fator de potência de 0,4 com 2.300 V aplicados no enrolamento de alta e com o enrolamento de baixa em circuito aberto. Se este transformador tiver 230 V aplicados no lado de baixa, em vazio no lado de alta, qual será a corrente no enrolamento de baixa tensão? Despreze a saturação. Um transformador de 25 kVA, 2.400/240 V consome 254 W, com fp de 0,15, quando 240 V são aplicados no lado de baixa tensão, com o lado de alta tensão em aberto. Calcule a corrente que é fornecida pela linha quando 2.400 V forem aplicados no lado de alta, com o lado de baixa em aberto. Um transformador de 10 kVA, 2.400/240 V consome 165 W, com fp de 0,2, quando 220 V são aplicados ao lado de baixa com o lado de alta em aberto. Calcule a corrente que circula no lado de alta quando 2.400 V são aplicados no lado de alta, com o lado de baixa em aberto. Despreze a saturação. Um transformador de 200/100 V, 60 Hz, tem uma impedância de 0,3 + 0,8 9 no enrolamento de 200 V e uma impedância de 0,1 + 0,25 Q no enrolamento de 100 V. Quais as correntes nos Jados de alta e de baixa se um curto-circuito ocorrer no lado de 100 V com 200 V aplicados no lado de alta? Um transformador de três enrolamentos, 60 Hz, tem valor nominal de 2.300 V no ado de alta, com um total de 300 espiras. Dos dois enrolamentos do secundário, cada um projetado para 200 kVA, um tem valor nominal de 575 V eo outro 230 V. Determine a corrente do primário quando a corrente nominal no enrolamento de 230 V está com fator de potência unitário e a corrente nominal no enrolamento de 575 V está com fp 0,5 atrasado. Despreze todas as quedas nas impedâncias de dispersão e a corrente de magnetização. Um transformador possui três enrolamentos. O lado de alta (primário), tem valor nominal de 2.300 V e um total de 3.000 espiras. Cada um dos enrolamentos de baixa tensão do secundário tem valor nominal de 200 kVA e tensões nominais de 460 e 230 V. Quando a corrente nominal, com fator de potência unitário, circula no enrolamento de 460 V e, simultaneamente, à corrente nominal circula no enrolamento de 230 V, a corrente no primário é de 122,98 /45º A. Descreva o tipo de carga que existe no enrolamento de 230 V. Despreze toda impedância de dispersão e corrente de magnetização. - Um transformador “ideal” tem o enrolamento do secundário com uma derivação no ponto b. O número de espiras do primário é 100 e o número de espiras entre a e b é 300 e entre b e c é 200. O transformador alimenta uma carga resistiva conectada entre a e c que consome 7,5 kW. Além disso, uma impedância de carga de 10/45º Q é conectada entre a e b. A tensão no primário é 1.000 V. Calcule a corrente no primário. Desenhe um diagrama fasorial de um transformador operando em condições nominais. Assuma que N(/N, = 2€ 1n=01 =0,31p hr, =0,1Vp, Im h4=02E, bx=0,2Vp 1=01 Ta Considere o fator de potência da carga como 0,6 adiantado. Use V, como o fasor de referência e mostre todas as correntes e tensões, em escala. Um transformador de 10 kVA, 500/100 V tem R = 0.3 2 e Xp = 5,2 .e é empregado para fornecer energia a uma carga que tem fator de potência atrasado. Quando fornecendo potência a esta carga, um amperímetro, “um wattímetro e um voltímetro colocados no circuito do lado de alta mostram as seguintes leituras: =500V, WM=8kW Para esta condição, calcule qual seria a leitura do voltímetro, se colocado nos terminais de carga do secundá- rio. Assuma que a corrente de magnetização é desprezível. Capítulo2 Problemas 103 2.21. Um transformador de 10 kVA, 460/115 V, tem resistência do enrolamento do lado de alta de 0,4 O e resistên- 222. 223. 224. 225. 2%. 227. 228. 229. 23. 231. cia do enrolamento do lado de baixa de 0,02 9. A reatância de dispersão equivalente no lado de alta é de 3,2 Q. Quando este transformador é empregado para fornecer potência a uma carga passiva, entrega uma corren- te atrasada de 21,7 A, em 460 V e 8 kW. Determine as componentes resistiva e reativa da impedância da carga. Despreze a corrente de magnetização. Os seguintes dados são tirados num transformador de 30 kVA, 2.400/240 V, 60 Hz: Teste de curto-circuito: V=70V, 1=18,8A, P=1.050W Teste de circuito aberto: V= 240 V, 1=3,04, P=230W (a) Calcule a tensão do primário quando 12,5 A, em 240 V, circulam do lado de baixa tensão, alimentando uma carga com fp de 0,8 atrasado. (b) Calcule o rendimento no item (a). Um transformador de 30 kVA, 240/120 V, 60 Hz, tem os seguintes dados: n=0,140 1,=0,0350 24,=0,229, x,=0,0559 à É desejado que se tenha uma fem induzida no primário igual, em módulo, à tensão nos terminais do primário quando o transformador fomece a corrente de plena carga. Despreze a corrente de magnetização. Como deve O transformador ser carregado para se obter este resultado? Os dois enrolamentos de um transformador de 48 KVA, 2.400/240 V, 60 Hz, têm resistências de 0,62 e 0,025 O, para os enrolamentos de alta e baixa tensão, respectivamente. Este transformador necessita que 238 V sejam aplicados na bobina de alta tensão para que a corrente nominal circule no enrolamento de baixa tensão curto-circuitado. (a) Calcule a reatância de dispersão equivalente referida ao lado de alta. (b) Qual o valor da potência necessária para fazer circular a corrente nominal em curto-circuito? (c) Calcule o rendimento a plena carga, quando o fator de potência é 0,8 atrasado. Assuma que as perdas no núcleo são iguais às perdas no cobre. Uma bobina de um transformador possui uma derivação de 0,5, tem 100 espiras e valor nominal de 200 V. Quando esta tensão é aplicada ao enrolamento completo, a corrente de magnetização é 1 A. Se agora 50 V forem aplicados na metade do número de espiras, qual será a corrente de magnetização? Assuma que não há saturação. Um teste de curto-circuito será feito num transformador com valores nominais de 50 KVA, 460/15 V. As resistências dos lados de alta e de baixa são conhecidas, 0,06 92 e 0,004 99, respectivamente. Além disso, o fator de potência nas condições de curto-circuito é 0,3. Calcule a tensão de entrada que é necessária para forçar a corrente nominal na bobina do lado de baixa, em curto-circuito. Uma bobina, colocada num núcleo de ferro, tem uma tensão em 60 Hz constante aplicada nela. A indutância total é 10 H. Uma segunda bobina idêntica é colocada em paralelo com a primeira e é enrolada de forma a gerar um fluxo aditivo. Qual a indutância total da associação em paralelo? Despreze a resistência do enrola- mento e o fluxo de dispersão de cada enrolamento. Repita o Prob. 2-27 para o caso em que a segunda bobina idêntica é colocada em série com a primeira bobina. Assuma que um fluxo aditivo é produzido. Mostre a dedução que permite que a Eg. (2-68) seja escrita a partir da Eg. (2-67), para uma função de exci- tação senoidal e sem saturação. Um transformador de dois enrolamentos tem uma bobina de alta tensão constituída de 1.000 espiras e uma bobina de baixa tensão constituída de 100 espiras. A indutância própria do primário de alta tensão é igual a 20H. Além disso, o enrolamento do primário tem uma indutância de dispersão de 1 H. A indutância de dis- persão do secundário é 0,01 H. (a) Calcule a'indutância mútua, em henrys. (b) Determine o valor, em henrys, da indutância própria do enrolamento do secundária Um transformador convencional, com valor nominal de 10 kVA, 2.000/1.000 V, está disponível. (a) Mostre como ligar este transformador para uso como um autotransformador abaixador, com uma tensão no secundário de 2.000 V. po | 104 Transformadores Capítulo 2 (b) Para uma carga com fp 0,8 atrasado, qual é a máxima corrente que pode ser entregue, sem sobrecarga das bobinas do transformador? (c) Nas condições de carga da parte (b), exprima os kVA condutivos do autotransformador como porcenta- gem do valor nominal do transformador convencional. (à) Relacione as vantagens que o autotransformador tem sobre um transformador convencional de mesmo VA e tensão nominais, para fazer o mesmo serviço. 2:32. Um transformador de 10kVA, 2.300/230 V, tem perdas no ferro de 190 W e perdas no cobre de 196 W, para tensão e corrente nominais. O enrolamento do secundário é constituído de duas seções idênticas, cada seção conectada em série para operação em 230 V. É descjado se re-conectar este transformador convencional como um autotransformador, de forma a aumentar a saída de 2.300 V para 2.415 V e para se entregar a máxima potência sem sobreaquecimento das bobinas. Usando todos os enrolamentos do transformador, determine, para a corrente nominal: (a) O kVA entregue à carga. (b) OVA condutivo. (c) O rendimento para um fp da carga de 0,8 adiantado. (à) Os valores nominais (tensão e kVA) para um transformador convencional para fazer o mesmo trabalho. Quais as vantagens de se usar um autotransformador? 2:33. Os seguintes dados foram levantados durante um ensaio de curto-circuito em um autotransformador com va- lores nominais de 22 kVA, 440/330 V. Com o lado de baixa curto-circuitado e com tensão aplicada no lado de alta, as leituras obtidas foram: P=320W, V=20V, 1=50A (a) Calcule a regulação de tensão para esse autotransforrmador em plena carga e fator de potência unitário. (b) Sea parte não-comum do enrolamento tem uma resistência de 0,064 9, determine a resistência, em ohms, da parte comum. (6) Calcule a potência transformada e condutiva para carga plena de saída, com fator de potência unitário. () Quais devem ser os valores nominais (kVA e tensões) de um transformador convencional que pode ser usado para fazer o mesmo trabalho? 2:34. A expressão para a resistência equivalente de um autotransformador, visto dos terminais do lado de alta, é dado pela Eq. (2-107). Deduza a expressão para a resistência equivalente do autotransformador, vista dos terminais de baixa tensão, com o lado de alta curto-circuitado. 2:35. Quando o transformador do Prob. 2-15 for usado como um autotransformador elevador (200/30), quais as correntes de linha nos lados de alta e de baixa, se um curto-circuito ocorrer no lado de 300 V, com 200 V aplicados no lado de baixa? 2:36. Um autotransformador tem N, = 100 espiras e N, = 60 espiras, onde N,, representa o enrolamento completo. Um ensaio de curto-circuito É executado curto-circuitando-se o enrolamento ab e aplicando-se uma tensão reduzida no enrolamento bc. A impedância equivalente vista do enrolamento bc é: 1,5 + j4,5, (a) Calcule a impedância equivalente vista do enrolamento ac, para a condição onde o enrolamento bc está curto-circuitado. (b) Calcule a resistência equivalente vista de be, quando ac é curto-circuitado e uma tensão é aplicada a bc. 2:37. Um autotransformador monofásico, com valor nominal de 40 kVA, alimenta uma impedância de carga de 4 [36º O, numa tensão de 200 V, à partir de uma alimentação de 125 V. Todas as perdas de potência e reatâncias de dispersão são desprezíveis. Calcule os módulos das correntes nas partes comuns e não-comuns do enrolamento do transformador, considerando a corrente de magnetização de 0,075 por unidade. 2:38. Um transformador monofásico de 25 kVA, 2.400/240 V, é conectado para atuar como um reforçador de 2.400 para 2.640 V. Com a carga em kVA máxima que pode scr alimentada sem sobrecarga das bobinas do trans- formador, determine: (a) OVA recebido e entregue. (b) O kVA transformado. (6) OVA condutivo. Despreze todas as perdas, a corrente de magnetização e a impedância de dispersão. 2-39. Repita o Prob. 2-38, para o caso onde a bobina do secundário é invertida, de forma que a tensão de saída (carga) seja 2.160 V. Capítulo2 Próblemas 105 2.40. Um transformador com potência nominal de 40 KVA tem perdas totais no cobre de 250 W, quando opera com 50% da corrente nominal. Determine o valor por unidade da resistência equivalente. 2:41. Ver a configuração da Fig. P2-41. (8) Assuma que a corrente que entra no terminal a está aumentando no sentido positivo. Identifique as mar- cas de polaridade instantâneas de cada terminal. (6) As bobinas têm o número de espiras indicado. Uma carga resistiva, que tira 20 A, é colocada entre os terminais c e d. Uma carga puramente capacitiva, consumindo 40 A, é colocada entre os terminais e e f. Calcule a corrente da fonte. Despreze todas as impedâncias de dispersão e a corrente de magnetização. (e) Despreze o enrolamento ef. Assuma que o enrolamento ab tem um valor de tensão nominal de 400 V e uma corrente nominal de 50 A. Um teste de curto-circuito neste transformador fornece os seguintes dados: WM=600W, VM=50V, AM=20A Calcule a regulação de tensão, com fp unitário. g -—oe . q 4 ++ a À 100 T 300T 9 e Apa b ? ? —od Ea ê Fig. P241 2:42. As resistências dos enrolamentos do lado de alta e do lado de baixa de um transformador monofásico de 100 KVA, 440/110 V são 0,04 Q e 0,0025 9), respectivamente. (a) Calcule os valores por unidade das resistências dos enrolamentos de alta tensão e baixa tensão. (b) Sea perda no núcleo, na tensão nominal, é de 1.200 W, calcule o rendimento do transformador quando ele entrega metade da potência nominal em kVA, com um fator de potência unitário. 2.43, Um transformador com valores nominais de 2.500 kVA, 10.000/2.000 V, 60 Hz, é projetado para rendimen- to máximo com 80% da carga nominal. O valor por unidade da impedância equivalente deste transformador €0,02 + j 0,06. Para uma carga resistiva e operação no rendimento máximo, calcule as perdas e a mudança na tensão de uma carga de 809% (na tensão nominal) até a operação em vazio. 2-44, Um transformador com valor nominal de 1.100 kVA passa pelo teste de curto-circuito com uma corrente igual a 75% do valor nominal, consumindo uma potência de 7.030 W.. Um teste de cireuito aberto também é executado e, na tensão nominal, a potência de entrada é medida como 9.850 W. (a) Calcule o valor por unidade da resistência equivalente. (b) Calcule o valor por unidade da condutância. 2:45. Se o valor por unidade da resistência equivalente do transformador convencional do Prob. 2-31 for 0,02, cal- cule o valor da resistência equivalente do autotransformador, em ohms, referida ao lado de alta. 2.46. Descreva a forma de onda predominante da corrente de magnetização do primário de um banco trifásico co- nectado em Y-A; formado com transformadores monofásicos. 2:47. Um banco de transformadores trifásico é conectado com os primários em delta e os secundários em Y. À tensão de linha do lado do primário é 120 V e, no lado do secundário, 240 V. Calcule a relação entre as es- piras do primário e do secundário, para cada transformador monofásico. 106 Transformadores Capítulo 2 2.48, Três transformadores monofásicos, com tensão nominal de 2.400/120 V, são empregados para reduzir a ten- são de um sistema de distribuição de 4.160 V para um valor mais baixo. (a) Assumindo o uso de um arranjo em Y-4, calcule o valor da tensão no lado do secundário em A. (b) Seo valor máximo do fluxo magnético leva a operação além do joelho da curva de magnetização, exis- tirá uma tensão de terceiro harmônico entre os terminais de linha e neutro no lado em Y'? Explique. 2.49. Vero arranjo indicado na Fig. P2-49. Os transformadores monofásicos têm valor nominal 2.400/120 V. Con- sidere que as três bobinas para a conexão em delta do secundário estão conectadas de modo apropriado com relação à componente fundamental da tensão induzida. Assuma, além disso, que o módulo da tensão induri- da de terceiro harmônico é um terço do módulo da tensão fundamental. (a) Calcule a tensão entre a e b quando uma tensão senoidal de 4.160 V (eficazes) é aplicada aos terminais de linha do Y. () Calcule a tensão fase-terra na conexão em Y. (c) Quando os pontos a e b são ligados, descreva o papel representado pela tensão calculada na parte (a) na operação destes transformadores. Seja preciso. Fig. P249 2:50. Uma conexão Y-Y de transformadores consiste em transformadores monofásicos que têm valor nominal de 69/6,9 kV. Uma tensão senoidal de linha de transmissão de 120 kV é aplicada ao lado de alta. A tensão de terceiro harmônico, quando existir, tem o valor de 1/3 do valor da tensão fundamental. Nem o lado de alta nem o lado de baixa dispõem de um neutro aterrado. (a) Determine o valor eficaz da tensão fase-terra em cada lado. (b) Que recomendação você pode fazer para climinar a tensão de terceiro harmônico da tensão fase-terra? 3 » Fundamentos da Conversão Eletromecânica de Energia A conversão eletromecânica de energia envolve a troca de energia entre um sistema elétrico e um sistema mecânico, através de um campo magnético de acoplamento. O processo é essencialmente rever- sível, exceto por uma pequena quantidade de energia que se perde em aquecimento. Quando a conver- são é da forma elétrica para a mecânica, o dispositivo é chamado de motor. Quando a energia mecânica é convertida em energia elétrica, o dispositivo é chamado de gerador. Além disso, quando o sistema elétrico é energizado com corrente alternada, os dispositivos são chamados de motores ca e geradores ca, respectivamente. Do mesmo modo, quando o sistema elétrico é energizado com corrente contínua, os dispositivos de conversão eletromecânica são chamados de motores cc e geradores cc. Os mesmos princípios fundamentais formam a base da operação tanto de máquinas ca como cc, que são governadas pelas mesmas leis fundamentais. Desta forma, no cálculo do torque desenvolvido por um dispositivo cletromecânico de conversão de energia, uma equação fundamental do torque (que vem diretamente da lei de Ampére) se aplica tanto para máquinas ca como cc. A forma final das equa- ções do torque são diferentes para os dois tipos de máquinas somente porque os detalhes de construção mecânica diferem. Em outras palavras, partindo dos mesmos princípios básicos para a produção do tor- que eletromagnético, as formas finais das equações do torque vão diferir na medida em que os detalhes mecânicos diferirem. Estes comentários se aplicam igualmente à geração da fem no enrolamento de armadura de uma máquina, quer seja ca ou cc. Mais uma vez, uma simples relação fundamental (lei de Faraday) governa a tensão induzida. As formas finais das equações de tensão diferem apenas como um reflexo das diferenças na construção das máquinas. É importante esse ponto ser compreendido no início porque o objetivo original do tratamento do assunto, como será feito neste capítulo, é passar ao leitor o fato de que as máquinas ca não são fundamentalmente diferentes das cc. Elas diferem somente em deta- lhes construtivos; os conceitos básicos são os mesmos. Este capítulo foi elaborado para dar ênfase ainda maior a este tema. Inicialmente, é dada atenção a uma análise básica da produção do torque eletromagnético assim como à geração de tensões, a partir de leis fundamentais clássicas. Então, os aspectos de construção dos vários tipos de máquinas elétricas são examinados com o propósito de indicar como as condições para a produção de torque e tensão são catiefeitas e também nara indicar nor ane são necessárias aleumas diferencas. Uma vez que esse conhe- 112 Fundamentos da Conversão Eletromecânica de Energia Capítulo 3 () Assumindo que o torque produzido no item (b) resulta numa velocidade de 900 rpm, determine a fem induzida na bobina. (4) Obtenha o resultado do item (c) por meio de outro procedimento. (e) Qual a potência mecânica desenvolvida, em watts? Solução (a) O fluxo máximo ocorre quando a bobina está na posição relativa à densidade de fluxo indicada na Fig. 3-2(c). A área é a associada com a metade do diâmetro do rotor. Desta forma, é = BA = Bxrl = 0,47(0,1X0,2) = 0,025133 Wb (b) Da Bag. (3-9) T = ZBlri = 2NBlri = 40(0,4X0,2X0,1)5 = 1,6N —-m (e) Do princípio de conservação da energia ei=To, onde 0,10472(900) = 94,25 radis 1,6(94,25) 5 =30,16V (d) Da Eg. (3-9), obtemos e = ZBlv = 2NBIv = 40(0,08X0. 1), = 0,32(94,25)0,1 = 30,16V (e) Duas expressões alternativas dão o resultado To, m = 1,6(94,25) = 150,8W ou ei=5(30,16) = 150,8W Nota importante. As noções precedentes com relação ao desenvolvimento do torque eletromagnéti- co podem ser empregadas de uma forma geral ao campo e às distribuições ampêre-condutor reais que se verificam nas máquinas ca e ce existentes. Este tratamento está incluído no final do livro, no Apêndice ao Capítulo 3. Os resultados principais são, então, chamados na Sec. 3-4 como ponto de partida para a dedução de formas de uso mais fácil das fórmulas de torque para essas máquinas reais ca e cc. 3-2 TENSÕES INDUZIDAS O processo de conversão eletromecânica de energia envolve a interação de duas grandezas funda- mentais que estão relacionadas através da lei da conservação da energia e do campo magnético de aco plamento. Estas são, evidentemente, o torque eletromagnético e à tensão induzida. O modo pelo qual o torque eletromagnético é desenvolvido foi descrito na seção anterior. Aqui, vamos estudar a geração da tensão no enrolamento de armadura, criado pelos enlaces de fluxo variável. A polaridade desta tensão depende do sentido do movimento relativo do enrolamento com relação ao fluxo magnético, e é inde- omAnmia An Entao da a enfmino car mm matar on nm serador. isto é. do sentido do fluxo de energia. Seção 3-2 Tensões induzidas 113 Considere o arranjo indicado na Fig. 3-3. A curva da densidade de fluxo é suposta como sendo distribuída senoidalmente ao longo do entreferro da máquina, e o enrolamento de armadura é suposto como formado de uma bobina com passo pleno, com N espiras. Uma bobina com passo pleno é uma que abrange m radianos elétricos. Do mesmo modo que a lei de Ampêre serviu como o ponto de partida na dedução das relações de torque, a lei de Faraday serve como ponto de partida para a dedução das rela- ções de tensão induzida. A Equação (3-5) não é o resultado que estamos buscando, porque se aplica quando a curva de densidade de fluxo é uniforme sobre o passo polar. É mais útil, de um modo geral, lidar com uma distribuição senoidal da densidade de fluxo, como será explicado mais completamente no futuro. Visto que o processo de conversão de energia envolve movimento relativo entre o enrola- mento de campo e o enrolamento de armadura, sabemos que o fluxo que enlaça a bobina muda de um valor positivo máximo, a zero, a um valor negativo máximo e retorna a zero novamente. Esse ciclo se repete a cada vez que a bobina passa através de um par de pólos de densidade de fluxo. Fica claro, da Fig. 3-3, que o fluxo máximo penetra a bobina quando está numa posição correspondente à 8=0" ou 80º ou seus múltiplos. O enlace de fluxo mínimo ocorre quando 90º ou 270º ou seus los. É também evidente que o fluxo máximo que enlaça a bobina é o mesmo que o fluxo por pólo, que, para distribuições senoidais, é dado pela Eq. (3-64) do Apêndice ao Capítulo 3. Além disso, quando a bobina se move em relação ao campo, segue-se que o fluxo instantâneo que enlaça a bobina pode ser expresso como 6=Ocosp= 2 Blrcosf (13) p O fator cos £ foi incluído por causa da distribuição senoidal. Outrossim, visto que B aumenta com o tempo de acordo com p= (32-14) onde q é expresso em radianos elétricos por segundo, a expressão para o enlace de fluxo instantâneo torna-se ó =Ércos at=0 cost (-15) Então, pela lei de Faraday, a expressão para a tensão induzida instantânea torna-se e=-nê - ax Osenex (3-16) Figura 3-3. Configuração para dedução da equação da fem induzida 114 Fundamentos da Conversão Eletromecânica de Energia Capítulo 3 É importante lembrar-se de que O representa o fluxo máximo, que é o mesmo que o fluxo por pólo. A Equação (3-16) é aplicável a máquinas cc e ca. Numa seção futura, a fem induzida por fase em uma máquina ca e a tensão induzida que aparece entre as escovas em uma juina cc serão deduzidas a partir da Eq. (3-16). O fato de que numa máquina cc a curva de densidade de fluxo é não-senoidal (como a Fig. 3-16 do Apêndice ao Capítulo 3 mostra) é relativamente pouco importante; o que é da maior importância é a componente fundamental da distribuição não-senoidal. É por essa razão que à Eq. (3- 16) é deduzida para expressões senoidais. Lembre-se de que, por meio da sério de Fourier, qualquer onda periódica não-senoidal pode ser representada perfeitamente em termos de senóides Exemplo 3-2 O objetivo deste exemplo é fazer uma distinção na característica da tensão que é induzida numa bobina em Totação quando está sob a influência de um campo uniforme de sentido vertical, como ilustrado na Fig. 3. 4a) « de um campo uniforme de sentido radial, como ocorre no arranjo da Fig. 3-4(b). Suponha que a bobi- na AA? é quadrada e mede 30 cm de lado, com o total de 40 espiras. A bobina é acionada na velocidade constante de 200 rad/s. O valor do campo magnético uniforme, nos dois casos, é 0,1 T. (a) Obtenha uma expressão para o enlace de fluxo na bobina, em função do tempo. (b) Obtenha a expressão para a tensão induzida na bobina, em função do tempo, usando a lei de Fara- day. (2) Determine o resultado encontrado no item (b), empregando o conceito Bly,usando a Eq. (3-5), (d) Agora, assuma que a bobina A4*é colocada sob a influência de um campo radial, como indicado na Fig. 3-4(b). A bobina CC” supostamente conduz uma corrente fixa, unidirecional, produzindo, desta for- ma, uma distribuição constante de campo sobre a periferia total do entreferro. Calcule a fem da bobina neste caso, em função do tempo. Solução (a) Vamos considerar como início do tempo quando a bobina estiver na posição horizontal, na Fig 34(a). À medida que o tempo passa, a bobina, que está girando, assume uma nova posição, deslocada de O= “ot graus, a partir da posição de referência. Nesta nova posição, a componente do campo vertical que atraves- saa bobina é Bcos 0=B cos ar Campo B la) tb) - Seção 3-3 Aspectos de Construção das Máquinas Elétricas 115 A quantidade de fluxo correspondente que enlaça a bobina é descrita por BA cos 6 = BA cos at Om COS O = 6, cos mt = | onde d, representa o fluxo máximo que enlaça a bobina. Mas o enlace de fluxo é simplesmente este fluxo multiplicado pelo número de espiras da bobina. Desta forma, À = Nó = Nó, COS Qt = 40(0,1)(0,3)0,3) cos ax =0,36 cos 200 Wb-r (b) Pela lei de Faraday, sabemos que a fem induzida é igual à taxa de variação do enlace de fluxo com o tempo. Portanto, d (0,36 cos mt) = (0,36)(200)sen 2001 dt - =72sen200 V Este resultado mostra que a fem varia senoidalmente com o tempo. £º) Com o procedimento Biv, é a ação dos condutores de cortar as linhas de fluxo que recebe o enfoque. Quando a bobina está na posição horizontal, os condutores não sofrem a influência do campo E,de forma que 9 valor instantâneo da tensão é zero. Os lados da bobina não cortam as linhas de fluxo. É importante observar gue, nesta posição, o vetor velocidade do condutor é co-linear com o campo. Portanto, a componente que está em quadratura com as linhas do campo é zero e nenhuma intersecção ocorre, À medida que o tempo passa e a bobina assume uma posição O graus a partir de seu ponto de referência horizontal, a componente em quadratura dio vetor velocidade não é mais nula. Ao invés, é igual a v sen 6 = v sen «x, como pode ser visto da Fig. 3-4(a). Empregar apenas a parte útil do vetor velocidade então permite que a fem induzida seja escrita como e 2NBIv sen qt = 2NBlcr sen ax =2(40X0, 0, 3X200)(0, 15) sen cx =72 sen ax = 72 sen 200r (a) De modo diferente da situação que ocorre na geometria da Fig. 3-4(a), o uso de um campo orientado radialmente significa que o vetor velocidade está sempre numa posição de quadratura com o cam- po B. Portanto, a tensão induzida neste caso é e =2NBlv = 2 NBlor = 2(40X0,10,3)(200)(0,15) = 72 V Esta grandeza é constante, em módulo, com o tempo e, especificamente, é igual no valor de pico calculado no item (0). Outro ponto do interesse associado com a geometria da Fig. 3-4(b) comparada com a da Fig, 3- 4), é que o enlace de fluxo, no caso da Fig. 3-4(b), não é descrito pela função co-seno mas, pelo contrário, do modo já descrito na Seção 3-1. 3-3 ASPECTOS DE CONSTRUÇÃO DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS O processo da conversão de energia normalmente envolve a presença de duas características im- portante, num determinado dispositivo eletromecânico. Essas características são o enrolamento de campo, gue produz a densidade de fluxo, é o enrolamento de armadura, no qual a fem de trabalho é induzida. Nesta seção, os aspectos importantes de construção dos tipos principais de máquinas elétricas são des. | | Figura 3-4. Cálculo das tensões induzidas: (a) bobina AA” operando num campo direcionado verticalmente; (b) i Í | bobina AA” operando num campo direcionado radialmente, 116 Fundamentos da Conversão Eletromecânica de Energia Capítulo 3 critos, para mostrar a colocação destes enrolamentos, assim como para demonstrar a composição gené- rica destas máquinas. O Motor de Indução Trifásico Essa é uma das máquinas mais robustas e mais amplamente usada na indústria. Seu estator é formado por chapas de aço de alta qualidade. A superfície interna tem ranhuras para acomodar um enrolamento tri- fásico. Na Fig. 3-5(a), o enrolamento trifásico é representado por três bobinas, cujos eixos estão defasados de 120 graus elétricos. A bobina aa” representa todas as bobinas associadas à fase a, para um par de pólos. De modo similar, a bobina bb” representa as bobinas da fase b e a bobina cc” representa as bobinas da fase c. Quando uma das extremidades de cada fase são ligadas entre si, como indicado na Fig. 3-5(b), o enrola- mento do estator trifásico é dito como conectado em Y. Tal enrolamento é chamado de enrolamento trifá- sico porque as tensões induzidas em cada uma das três fases por um campo girante de densidade de fluxo estão desfasadas de 120 graus elétricos — uma característica que distingue o sistema trifásico simétrico. Orotor também é formado de chapas de material ferromagnético com ranhuras, mas o enrolamen- to do rotor pode ser ou do tipo rotor de gaiola ou do tipo rotor enrolado. O último é de uma forma similar ao do enrolamento do estator. Os terminais dos enrolamentos saem por meio de três anéis coletores, como mostrado na Fig. 3-6(a). Isso permite que um resistor trifásico externo seja ligado ao enrolamento do rotor, com o propósito de possibilitar um controle da velocidade. Na realidade, é a necessidade de um controle da velocidade que, de um modo geral, justifica o uso do.motor de indução do tipo rotor enrola- do. Caso contrário, o motor de indução de gaiola seria usado. O enrolamento de gaiola consiste simples- mente num determinado número de barras de cobre imersas nas ranhuras do rotor e conectadas, nas duas extremidades, por meio de anéis de cobre, como mostrado na Fig. 3-6(b). (Em alguns dos tamanhos menores, usa-se alumínio.) O tipo com rotor de gaiola é não apenas de construção mais simples e mais econômica que o tipo de rotor enrolado mas também é mais robusto. Não existem anéis coletores nem escovas de carvão com as quais se aborrecer. Em operação normal, uma tensão trifásica é aplicada ao enrolamento do estator, nos pontos a-b- cda Fig. 3-5. Como descrito na Seção 4-1, correntes de magnetização circulam em cada fase e, em con- junto, criam um campo magnético girante com dois pólos. A velocidade do campo é determinada pela fregiiência das correntes de magnetização e pelo número de pólos com o qual o enrolamento do estator foi projetado. A Figura 3-5 mostra o arranjo para dois pólos. Se o padrão a-c”-b-a'-c-b' for projetado para abranger apenas 180 graus mecânicos e é então repetido ao longo dos 180 graus mecânicos rema- mescentes, resulta uma máquina com uma distribuição de campo de quatro pólos. Para uma máquina de p pólos, o padrão básico do enrolamento deve ser repetido p/2 vezes ao longo da circunferência da su- perfície interna do estator. O campo girante produzido pelo enrolamento do estator corta os condutores do rotor, desta forma induzindo tensões. Visto que o enrolamento do rotor está curto-circuitado pelos anéis, as tensões indu- Figura 3-5. Motor de indução trifásico: (a) indicando o estator com enrolamento trifási- coe orotor de gaiola; (b) representação esque- mática de um enrolamento de um estator tri- fásico, conectado em Y. Seção 3-3 Aspectos de.Construção das Máquinas Elétricas 117 ão Figura 3-6. (2) Rotor enrolado para um motor de indução trifásico; (b) mostrando detalhes das barras do rotor de um motor de indução com rotor de gaiola. zidas fazem com que correntes circulem, as quais, por sua vez, reagem com o campo para produzir um torque eletromagnético — e, desta forma, resulta a ação motora. Como consegiiência, baseado na descrição precedente, fica claro que, para o motor de indução trifásico, o enrolamento de campo está colocado no estator e o enrolamento de armadura, no rotor. Ou- tro ponto importante é que esta máquina tem excitação única, isto é, a potência elétrica é aplicada ape- nas no enrolamento do estator. A corrente circula no enrolamento do rotor por indução. Como consegiiên- cia, tanto a corrente de magnetização, que produz o campo magnético, como a corrente de potência, que permite que a energia seja entregue à carga no eixo, circulam através do enrolamento do estator. Por esta razão, e no interesse de manter a corrente de magnetização tão pequena quanto possível, de forma que a componente de potência possa ser correspondentemente maior, para um dado valor nominal, o 122 Fundamentos da Conversão Eletromecânica de Energia Capítulo 3 Figura 3-9(d). Vista em corte de uma máquina cc de dois pólos completamente montada, com numeração de vários aspectos de construção. Veja as descrições no texto. (Cortesia da General Electric Company.) 3-4 FORMAS PRÁTICAS DAS FÓRMULAS DE TORQUE E TENSÃO Nosso objetivo nesta seção é modificar as expressões fundamentais de tensão induzida e torque eletromagnético para formas que são mais significativas para o projeto específico de um dispositivo de conversão eletromecânica de energia em particular, seja ele de corrente alternada ou contínua. Máquinas de Corrente Alternada . Tensão. Se N representa o número total de espiras por fasc de um enrolamento trifásico, o valor instantâneo da fem induzida em qualquer fase pode ser representado pela Eq. (3-16), que é repetida a seguir por conveniência. Desta forma, e= NO sen ax G-17) Seção 3-4 Formas Práticas das Fórmulas de Torque e Tensão | 123! T / Lembre-se de que & representa o fluxo total por pólo e « representa a velocidade de corte relativa, em radianos elétricos por segundo, do enrolamento com relação à onda de densidade de fluxo. Está relacio- nada à fregiiência f do dispositivo ca por o=27f (3-18) onde f é expressa em ciclos por segundo. O valor máximo desta tensão ca ocorre quando sen «x tem valor unitário. Portanto, E, =0ND V (3-19) O valor eficaz correspondente é E, De =/2 mfND=4,MjND V (3-20) 2 A comparação desta expressão com a Eq. (2-18) mostra que as duas equações têm forma idêntica. Há uma diferença, contudo, e está no significado de &. No transformador, &, é o fluxo máximo no tempo correspondente à corrente de magnetização de pico, consistente com o módulo da tensão aplicada. No dispositivo de conversão eletromecânica de energia, O é o fluxo máximo por pólo (uma grandeza do espaço) que enlaça uma bobina com N espiras e que abrange o passo do pólo pleno. Em qualquer máquina real, o número total de espiras por fase não está concentrado numa única bobina mas, ao invés disso, está distribuído ao longo de um terço de um passo polar (ou 60 graus elétri- cos para cada uma das três fases). Além disso, as bobinas individuais que compõem o total de N espiras são projetadas de modo a intencionalmente abranger não o passo do pólo pleno mas, ao invés, apenas 80% a 85% de um passo polar. Tal bobina é chamada de bobina de passo fracionário. O uso de um enrolamento distribuído usando bobinas de passo fracionário tem a vantagem de virtualmente eliminar os efeitos de todos os harmônicos que possam estar presentes na onda de densidade de fluxo, enquanto reduzem apenas ligeiramente a componente fundamental?. A redução na componente fundamental pode ser representada por um fator de enrolamento, chamado de K,. Valores usuais de K, estão na faixa de 0,85 a 0,95. Conseqiientemente, a versão prática final da equação da tensão eficaz induzida para uma máquina ca é ca Torque. A análise do modo pelo qual o torque eletromagnético é produzido pela interação da distribui- ção de ampêre-condutor da armadura com a distribuição de campo que prepondera em máquinas ca reais, como pode ser mostrado, (ver Apêndice do Capítulo 3, Sec. 34) leva à seguinte expressão fundamental: T= o pd cosy N-m (3-22) onde p é o número de pólos + Pé fluxo por pólo, em Wb * J, é a lâmina de corrente equivalente que representa uma distribuição ideal de ampêre- | condutor, expressa em A/rad. “f Wy 6 0 ângulo de deslocamento de fase entre o início da lâmina de corrente (isto é, da distribuição | ampêre-condutor) e o início da onda de densidade de fluxo debaixo de um pólo. | a 2Ver Apêndice B. 124 Fundamentos da Conversão Eletromecânica de Energia Capítulo 3 Um estudo da Eg. (3-22) enfatiza as três condiçõ studo da Eq . três condições que devem ser satisfei que e ooo nad nd e dt se eis pr pão o io Acabo, epresemada por 9. Deve existir uma distribuição ampêre-condutor, ta as a » deve existir um ângulo de deslocamento espacial favorável entre as duas EO Uições. dutor e o torque ser ainda i adrão do cam o igual a zero, se o é forques iguais e opos senvolvidos nos condutores, isto é, q = 90º” 9 Spa lg ocqês Agi pao são go Existem duas formas úteis e p às quai práticas às quais essa expressão bási e i pressão básica para o torque eletromagnéti des Enio a Seita E uma forma, é a distribuição ampêre-condutos E ' o : < s F soa qui e à, é a conservação da energia que é enfatizada. A fmm por pólo, & a 1=7 Res (3.23) (ver Apêndice do Capítulo 3, Eg. (3-50)). Alés Para qualquer máquina ca dada, a grandeza F é -50)). Além disso, ul completamente definida a partir dos dados de projeto, quando eles aparecem na seguinte expressão: as (3:24) número de fases do enrolamento de armadura túmero de espiras por fase do enrolamento de armadura = fator do enrolamento de armadura orrente do enrolamento de armad o ura p= número de pólos pReae Portant: ssã o, à expressão para o torque eletromagnético, como descrito pela Eq, (3-22), torna-se m T=Zpog E q 7 PE 6Os WE = 0,9PON,K, gl, cos W (3:25) ambém, qN, é o número total de espiras na superfície da armadura. Isso pode ser expresso em termos També, É ero total d iras na superfíci de do número total de condutores, o uso do fato de que são necessários dois condutores para fa- ndutores, Z,, fazendo u: » Zyy ái É fato (3-26) Inserindo este valor na Eq. (3-25), dá T=0171pHZK,oh) cos? | N-m (6:27) As grandezas ent é E encolamenode armadura Comamento par ara ecemPenhado rela distribuição ampêre-conutor à ertamente, para calcular o torque Por essa equação, precisamos de fa EO *Ver Apêndice C. 7 malmente, "descrito mais tarde, no próximo capítulo. Note-se que é possível haver tanto uma distribuição de campo como uma distribuição de ampê Pêre-con. à Seção 3-4 Formas Práticas das Fórmulas de Torque e Tensão 125 o ângulo de deslocamento espacial W, além dos dados de projeto, isto é, p, &, Z, e K,p. Nor- “y pode ser determinado pelos mesmos dados que conduzem à determinação de 1,, que será 'Um segundo procedimento para se obter uma forma útil da equação básica do torque é substituir é pela Eq. (3-21) e J, pelas Es. (3-23) e (3-24), na Eq. (3-22). Desta forma, 5 a ST (e “8 DankN q! NK PB Nk, 1 Jose ou =P qEI cosY (3-28) 4af Ne Além disso, visto que a velocidade angular mecânica w», está relacionada com a velocidade angu- lar elétrica o por (3:29) segue-se que a Eq. (3-28) pode ser escrita como (3:30) El, cost N-m onde E, e I, são as tensões e correntes eficazes induzidas por fase do enrolamento de armadura. Pode ser mostrado que o ângulo de deslocamento espacial y nesta equação é idêntico ao ângulo deslocamento no tempo 6,,º que é o ângulo de fase existente entre os dois fasores no tempo E eL. Consegiientemente, a expressão para o torque eletromagnético pode ser escrita como T=4EJ,cos6,) N-m 31 a Note-se o equilíbrio de potência, que mostra que a potência mecânica desenvolvida é igual à potência elétrica desenvolvida. Máquinas de Corrente Contínua Tensão. A versão útil da expressão para a fem induzida no enrolamento de armadura de uma má- quina cc e que aparece nas escovas também vem da Eq. (3-16). A presença do comutador, contudo, faz diferença no modo pelo qual essa equação será considerada para se obter o resultado desejado. Estamos interessados na tensão, como ela aparece nas escovas. Se seguirmos a bobina 1 na Fig. 3-8 quando ela deixa a escova B, e segue para a escova B,, notamos que a fem induzida nesta bobina está sempre diri- “Ver Cap. 4, seção 4-5, equação 428. , | i t À 126 Fundamentos da Conversão Eletromecânica de Energia Capítulo 3 Fem induzida na bobina o ” 27 wt eae Figura 3-10. Componente fundamental da fem induzid: ma bobina do enrolamento de arma- B 8 Ba Posiçãodaescova dura de uma máquinace. gida para fora do papel, debaixo do fluxo de pólo sul. Narealidade, isso é verdadeiro para qualquer bobina que se mova de B, para B,. Estabelecida a direção desta tensão para as bobinas no lado esquerdo da armadura, notamos então que, seguindo através do enrolamento, começando no sentido requerido pelo sinal da fem induzida na bobina 1, terminamos na escova B,. Quando a bobina 1 gira para uma posição no lado direito do enrolamento de armadura, tal como a posição 11, o sentido da fem induzida é para dentro do papel. Se iniciarmos com esse sentido indicado e seguirmos pelo enrolamento de armadura, terminamos novamente na escova B,. Portanto, é razoável concluir que a escova B, está numa polarida- de positiva fixa e a escova B, está numa polaridade negativa fixa. Em suma, isso significa que, se nos movermos ao longo da bobina 1, como observadores, quando ela atravessa por uma volta, começando naescova B,, a componente fundamental da fem induzida exibiria a variação indicada na Fig. 3-10. Note- se que, em relação à escova B, a tensão induzida na bobina, quando ela se move de B, a B,, parece estar retificada porque a ação do comutador, junto com as escovas, é fixar o enrolamento de armadura no espaço, apesar de sua rotação. Consegientemente, quer olhemos para uma bobina se movendo de B, para B, pelo lado esquerdo ou de B, para B, pelo lado direito, o sentido da fem induzida é tal que faz B, assumir uma polaridade fixa, e B, a polaridade fixa oposta. Para uma bobina individual, com N, espiras, o valor médio da tensão unidirecional que aparece entre as escovas é obtida pela integração da Eq. (3-16) por 7 radianos elétricos e dividindo por 7. Desta forma, a E, =+Jo QN, D sen 0x door =4fN,O (3:32) É usual expressar a fregiiência em termos da velocidade da armadura, em rpm, que é dada pela relação? pn EÁ 120 (3-33) onde p representa o número de pólos e n representa a velocidade, em rpm. Introduzindo a Eq. (3-33) na Eq. (3-32) e rearranjando os termos, obtemos a E E =poN L=porl «cPttiço PÉ 3A rotação de uma bobina num campo de dois pólos com uma velocidade de 1 rps resulta numa freiência de 1 Hz. Para um campo de quatro pólos. cada ps dá 2 Hz. Para uma distribuição de p pólos, à frequência gerada em heriz € ? Prm o pm f=>xm=>— = — 2 2 60 120 Seção 3-4 Formas Práticas das Fórmulas de Torque e Tensão 127 onde z representa o número de condutores por bobina. Esta última expressão é o valor médio da fem induzida para uma bobina individual. Se muitas de tais bobinas são colocadas, cobrindo toda a superfície da armadura, a tensão cc total que aparece entre as escovas pode ser consideravelmente aumentada. Se o enrolamento de armadura é suposto como ten- do o total de Z condutores e a caminhos paralelos, então a fem induzida do enrolamento de armadura que aparece nas escovas se tona (3-34) onde K, é uma constante do enrolamento, definida como pZ RE 3-35 ma (35) Sempre que a velocidade for expressa cm radianos por segundo, a equação da fem induzida pode ser então expressa como E =K do (3369 onde pi, 3368) T 2ma $ ) É importante lembrar-se de que a equação da fem induzida para uma máquina ca e para uma má- quina ce se originaram do mesmo ponto de partida. Para enfatizar mais este ponto de partida comum, pode ser dito que podemos deduzir a Eq. (3-34) da Eq. (3-21). É somente necessário introduzir o fator de enrolamento apropriado, como ele se aplica ao enrolamento de armadura cc. Na realidade, é o efeito de quase-aniguilamento do fator de enrolamento nos harmônicos que permite a dedução da Eq. (3-34) continuar nos termos fundamentais, a despeito da distribuição não-senoidal de campo características das máquinas cc. É suposto sempre, contudo, que a componente fundamental do fluxo é virtualmente a mesma que o fluxo total por pólo. Torque. A análise do modo pelo qual o torque eletromagnético é gerado pela interação da distri- buição de ampêre-condutor com a onda de densidade de fluxo na máquina cc pode ser mostrada (ver Apêndice ao Capítulo 3, Sec. 3B) como conduzindo à seguinte fórmula fundamental: T e Jo N-m (3:37) onde p é o número de pólos Jé a lâmina de corrente equivalente da distribuição ampêre-condutor do enrolamento de armadura, em Afrad Déo fluxo por pólo, em Wb Vale a pena observar de novo que o torque eletromagnético é dependente de uma distribuição do campo, representado por 9, de uma distribuição ampêre-condutor, representado por J e do deslocamen- 132 Fundamentos da Conv ersão Eletromecânica de Energia Capítulo 3 (6) Calcule o valor máximo da tensão induzida no arranjo da Fig. P3-70). ô Assumindo que a bobina da Fig. P3-7(b) está ligada a um par de segmentos cc desta tensão. Campo vertical uniforme NU 3-8. Uma máquina teh N espiras. A máquina tem dois pólos, um co B o [ FT leg Esses) B (o) tb) Figura P3:7 elétrica tem uma distribuição de campo como indicado na Fig. P3-8. A bobina abrange 180"e mprimento axial [e raio do rotor r. em termos de «x, expresso em graus elétricos. (a) Obtenha a expressão para o enlace de fluxo por pólo, (b) Com o uso da lei de Faraday, calcule a expressão da (6) Use a forma Bin para a fem induzida e verifique o resultado do item (b) 3-9. Uma distribuição de campo com dois pólos densidade de fluxo é 0,4 T. Uma bobina ten B al (e +m) Figura P3-8 raio de 0,2 m, é acionada a 600 rpm. : (a) Deduza a expressão para o entace de fluxo na bobina, quando na posição a, (b) Usando o procedimento do enlace de fluxo, calcule o valor 120". (0) Repita o item (b) usando o procedimento Blv. (e) Qual é 0 valor médio da tensão induzida na bobina? East B= By sena tem a forma senoidal indi (d) Calcule a tensão máxima induzida na bobina e a posição na qual ela ocorre. 2m a de comutador, calcule 0 valor fem induzida, em termos do fluxo por pólo. icada na Fig. P3-9. O valor máximo da do passo pleno, 50 espiras, um comprimento axial de 0,3 m e um instantâneo da tensão na bobina, quando «p= Figura P3-9 3-10. Capítulo3 Problemas 133 Uma máquina de dois pólos tem a distribuição de campo da Fig. P3-10. A bobina é de passo pleno e tem N espiras, raio r e um comprimento axial L (a) Mostre que o enlace de fluxo (A) para a posição da bobina é dado por NBplr Mm al x 209 | ondeO<ags+ q A? (b) Suponha que a bobina é acionada a q, rad/s. Calcule a expressão para a tensão induzida na bobina, usan- do o procedimento da mudança do entace de fluxo. Expresse o resultado em termos do fluxo por pólo e para o intervalo 0 = ap t=< 7/2. (e) Repita o item (b) usando o procedimento Blv. 311 32. 313. 314. 315. [e 5 a a E c B Bo graus elétricos Figura P3-10 Deduza a Eg. (3-27) a partir da conservação da energia [isto é, Eq. (3-3 DJ. Um motor de indução de quatro pólos é caracterizado por uma fmm no rotor senoidal e uma densidade de fluxo senoidal. Além disso, o fluxo por pólo é 0,02 Wb. Quando operando numa condição de carga especifi- cada, o ângulo de deslocamento espacial é calculado como 53,3". Qual é o módulo da fmm do rotor necessá- rio para produzir um torque de 40 N-m? Assuma dois pólos. Um motor ca, 60 Hz, de oito pólos, tem uma fem de 440 V induzida no seu entolamento de armadura, que tem 180 espiras efetivas. Quando este motor desenvolve 10 kW de potência, o módulo da fm do campo senoidal é igual a 800 A... (a) Calcule o valor do fluxo resultante no entreferro, por pólo. (b) Calcule o ângulo entre a onda de fluxo e a onda de fmm. A fem induzida por fase de um motor de indução de 60 Hz, quatro pólos, é 120 V. O número de espiras efe- tivas por fase é 100. Quando esse motor desenvolve um torque de 60 N-m, o ângulo de deslocamento espacial é 30. Calcule o valor dos ampêre-espiras totais da armadura. O enrolamento de armadura trifásico de um motor de indução ca, 60 Hz, quatro pólos, é equipado com 320 espiras efetivas por fase. Quando o motor desenvolve 10 kW, tem uma corrente de armadura de 40 A, um ângulo de deslocamento espacial de 37º e uma velocidade de rotação de 1.700 rpm. (a) Calcule o módulo da fmm de armadura, por pólo. (b) Qual o valor do torque desenvolvido? (c) Calcule a fem induzida no enrolamento de armadura, por fase. (d) Calcule o fluxo por pólo. . Identifique a localização física e a(s) função(ões) desempenhada(s) por cada um dos seguintes itens de uma máquina ce: enrolamento de campo derivação; enrolamento do interpolo; enrolamento de compensação € enrolamento de campo em série. 134 Fundamentos da Conversão Eletromecânica de Energia Capítulo 3 4:17. Uma máquina é construída com um enrolamento de dois pólos, monofásico, e é equipada com um encola- Maento comutador ec, como indicado na Fig. P3-17. O eixo da escova está deslocado 20' do eixo da bobina. Se uma tensão monofásica é aplicada ao enrolamento do estator, será desenvolvido um torque contínuo, uri- Girecional? Explique. Suponha um fluxo de dispersão de armadura desprezível. Figura P3-7 3.18. Mostre que a equação básica para o torque eletromagnético na forma 2) OF sen A é dimensionalmente correta. fato! 4 Ui) 4 Motores de Indução Trifásicos Uma característica que distingue os motores de indução é que eles são máquinas com excitação “única. Embora tais máquinas sejam equipadas tanto com um enrolamento de campo como com um em- rolamento de armadura, em condições normais de utilização a fonte de energia é conectada a um único enrolamento, o enrolamento de campo. As correntes circulam no enrolamento de armadura por indução, o que cria uma distribuição ampêre-condutor que interage com a distribuição de campo para produzir um torque líquido unidirecional. A freqiência da corrente induzida no condutor é ditada pela velocida- de do rotor na qual está colocada; contudo, à relação entre a velocidade do rotor c à fregiiência da cor- ente de armadura é tal que dá uma distribuição ampêre-condutor resultante que é estacionária em rela- ção à distribuição do campo. Como resultado, a máquina de indução com excitação única é capaz de produzir torque a qualquer velocidade abaixo da velocidade síncrona'. Por essa razão, à máquina de indução é classificada como uma máquina assíncrona. Em contraste, máquinas síncronas são disposi- tivos eletromecânicos de conversão de energia nos quais o torque líquido pode ser produzido em apenas uma? velocidade do rotor. A característica que distingue a máquina síncrona é qué ela é um dispositivo com excitação dupla, exceto quando está sendo usada como um motor de relutância. Os aspectos mais importantes de construção dos motores de indução trifásicos estão descritos na Seção 3-3, Sendo o motor de indução uma máquina com excitação única, é necessário que tanto a cor rente de magnetização como a componente de potência da corrente circulem na mesma rede. Além dis- so, devido à presença de um entreferro no circuito magnético da máquina de indução, um valor aprecii Vel de corrente de magnetização é necessário para estabelecer o fluxo por pólo solicitado pela tensão aplicada. Normalmente, o valor da corrente de magnetização para os motores de indução trifásicos fica VA orando aincrona É determinada pela frgiência da fonte aplicada ao enrolamento de campo é pelo número de pólos para o qual a máquina é projetada. Estas grandezas estão relacionadas pela Eq. (3-33). Desta forma, velocidade síncrona = 120p =, afcoicamente, existem duas velocidades do potor ne quais um torque líquido diferente de zero pode exit, mas na segunda velocidade uma cor. rente enorme circula, o que ibrna a operação inviável. i dm o io go ópio 136 Motores de Indução Trifásicos Capítulo 4 o entre 25% e 40% da corrente nominal. Conseguentemente, o motor de indução opera com baixo fator de potência para cargas leves e com fator de potência menor que a unidade, na vizinhança da potência nominal. Vamos nos ocupar, neste capítulo, com a descrição da teoria de operação e as características de desempenho do motor de indução trifásico. Nosso estudo começa com uma explicação de como um campo magnético girante é obtido com um enrolamento trifásico. Afinal, é este campo que é a força motriz por trás dos motores de indução. 4-1 O CAMPO MAGNÉTICO GIRANTE A aplicação de uma tensão trifásica ao enrolamento trifásico do estator do motor de indução cria um campo magnético girante que, por efeito de transformador, induz uma fem de trabalho no enrola- mento do rotor. A fem induzida no rotor é chamada de fem de trabalho porque faz uma corrente circular através dos condutores do enrolamento de armadura. Esta se associa com a onda de densidade de fluxo Eirante para produzir torque, de acordo com a Eq. (3-27). Consegientemente, podemos considerar o campo girante como a chave para a operação do motor de indução. O campo magnético girante é produzido por contribuições de enrolamentos de fase deslocados no espaço conduzindo correntes apropriadas deslocadas no tempo. Para compreender esta afirmação, va- mos dirigir nossa atenção às Figs. 4-1 e 4-2, Na Fig. 4-1 aparecem as correntes trifásicas, que são supos- tas como circulando nas fases a; b e c, respectivamente. Note-se que estas correntes estão deslocadas no tempo pelo equivalente a 120 graus elétricos. Ná Fig. 4-2 estão representados a estrutura do estator e o enrolamento trifásico. Observe-se que cada fase (normalmente distribuída a cada 60 graus elétricos) está representada, por conveniência, por uma única bobina: Desta forma, a bobina a-a' representa o enrola- mento completo da fase a, terido seix eixo do fluxo dirigido ao longo da vertical. Isso significa que sem- pre que a fase a conduz uma corrente, ela produz um campo de fluxo direcionado ao longo do eixo ver- tical — para cima ou para baixo. A regra da mão direita prontamente verifica essa afirmativa. De modo similar, o eixo do fluxo da fase b está deslocado de 120 graus elétricos da fase a e o da fase c está des- locado de 120 graus elétricos da fase b. As letras sem a notação primo se referem ao terminal inicial de cada fase. ie Vamos estudar a determinação do módulo e do sentido do campo de fluxo resultante correspon- dente ao instante de tempo £, da Fig. 4-1. Neste instante, a corrente na fase a está no seu valor positivo máximo, enquanto as correntes das fases b e c estão na metade do seu valor negativo máximo. Na Fig. 4-2 é suposto arbitrariamente que, quando a corrente numa determinada fase é positiva, ela circula para fora do papel, com relação aos condutores sem primo. Desta forma, visto que, no tempo ti, é positiva, um ponto é usado no condutor à. (Ver Fig. 4-2 (a).) Evidentemente, uma cruz é usada para”, porque ela Tepresenta a conexão de retomo. Então, pela regra da mão direita, segue-se que a fase a produz uma contribuição de fluxo direcionada para cima, ao Tongo da vertical. Além disso, o módulo desta contri- buição é o valor máximo, porque a corrente está no máximo. Portanto, &, = , onde , é o fluxo má- ximo por pólo da fase a. É importante entender que a fase a produz na realidade um campo de fluxo -1. Correntes trifásicas altémadas equilibradas Eixo do fluxo Seção 4-1 O Campo Magnético Girante 137 Fase b. Eixo do fluxo Fase a. ra Eixo do fluxo ane Fig.4-2. Representação do campo magné- tico girante em três instantes diferentes de tempo: (a) tempo £, da Fig. 4-1; (b) tempo tz (e) tempo t,. senoidal com amplitude sobre o eixo da fase a, como indicado na Fig. 4-3. De qualquer modo, na Fig. 4- 2 (a) essa distribuição senoidal é representada convenientemente pelo vetor &,. Para se determinar o sentido e o módulo da contribuição do campo da fase b no tempo 1, observa- os inicialmente que a corrente na fase b é negativa com relação à da fase a. Portanto, o E representa o início da fase b deve receber a cruz, ao passo que b” recebe o ponto. Por isso, a contribuição de fluxo instantânea da fase b é dirigida para cima ao longo do seu eixo de fluxo e o módulo do fluxo da fase b é metade do máximo porque a corrente está na metade do seu valor máximo. Raciocínio similar Eixo da Eixo da Eixo da fasea faseb fasec Fmm resultante cas E y vo Deslocamento ao longo do entreferro Fmm da - * fasea : y Fig. 4-3, Distribuições dos com- ponentes e do campo resultante correspondente a 1, na Fig. 4-1. a iam 142 Motores de Indução Trifásicos Capítulo 4 Das Eq. (4-9) e (4-10), podemos formular a relação E MK E ã a formador. A dife- az semelhança destaexpressão com aelação de transformação de um transforsada” niqo a ão dos atores de enrolamento do motor, necessários pelo uso CTT lamentos tado lamentos concentrados empregado: ibuíc em contraste com os enro! jam Hi E indução parado tem características de um transformador-em qHe o 6% a EO do estator é o do primário e o enrolamento do rotor éo do secundário. rol id de indução em movimento — de novo, ' mportamento do motor à E dad à formador. Para produzir um torque de partida (e a a oontar similaridades com o transformador. Para produ | idea = je Dessa é necessário ter uma corrente circulando Rs Ee o e istamente obtido curto-circuitando o enrolamento da maneira indicada P o rotor. Jsso ue cireu- ds Fig 45. Inicielmente à fem induzida E, gera uma corrente no ro” fa porn que ci E quavés do curto-circuito, produzindo uma distribuição ape condutor que ata com campo do e ' 7 é sempre faz produzir artida. O sentido deste torque é sem z con ma direção do es ie da Figura 4-6 toma isso evidente. Considera-se que o campo mesma É É E Es do fluxo está girando no sentido dos ponteiros do relógio numa velocidade correspo dente à frequência licada no estator e ao número de pólos do enrolamento do estator. Essa velocidade é chamada de ve- aplic: lecidade síncrona e é descrita pela Eq. (4-1). Desta forma, (4-12) ó édi- pel a eidao pmcr c de cn e a reli ido horário. Por conseguinte, o rotor se move numa direção em o en dr cm o angolano dote seo qe dor ie o ndo Pt oco comi dart me ep pois cc Fig. 4-6. Indicando a direção da tensão induzida e do emetor torque desenvolvido num condutor típico. Seção 4-2 Escorregamento do Motor de Indução 143 sária para desenvolver um torque igual aos torques contrários. Se não há carga no eixo, o torque contrá- rio consiste principalmente em perdas por atrito. É importante compreender que, enquanto houver um torque contrário a ser vencido — ainda que pequeno ou qualquer que seja sua origem —, a velocidade do rotor não pode nunca ser igual à velocidade síncrona. Isso é característico de dispositivos eletrome- cânicos de conversão de energia com excitação única. Visto que a corrente do enrolamento do rotor (ou do secundário) é produzida por indução, deve sempre existir uma diferença em velocidade entre o cam- po do estator e o rotor. Em outras palavras, deve-se permitir uma ação de transformador entre o enrola- mento do estator (ou do primário) e o enrolamento do rotor (ou do secundário). Essa diferença de velocidade, ou escorregamenio, é uma variável muito importante para o motor de indução. Em forma de uma equação, podemos escrever escorregamento = sono tpm (4-13) onde n representa a velocidade real do rotor, em rpm. O termo escorregamento é usado porque descreve o que um observador acavalado no campo do estator vê olhando para o rotor — ele parece ter escorrega- do para trás. Uma forma mais útil da grandeza escorregamento resulta quando ela é expressa numa base por unidade, usando a velocidade síncrona como referência. Desta forma, o escorregamento por unidade é (4-14) Para os motores de indução convencionais, os valores de s ficam entre zero e a unidade. É usual, na análise de motores de indução, expressar-se as grandezas do rotor (tais como a tensão induzida, corrente e impedância) em função de grandezas na fregiência da rede e o escorregamento como expresso pela Eq. (4-14). Por exemplo, se o rotor for assumido como operando em uma velocidade n < n,, então a fem real induzida no enrolamento do rotor por fase pode ser representada em termos da grandeza na fregiiência da rede E, como sE,, Essa formulação tem importantes vantagens, como descrito na próxima seção. De modo similar, é possível expressar a impedância do enrolamento do rotor por fase como n=ntim, (415) onde z, representa a impedância de fase do rotor, r, é a resistência do rotor por fase e x, é a reatância de dispersão na fregiiência da rede por fase do enrolamento do rotor. Evidentemente, o valor efetivo desta reatância quando o rotor opera numa velocidade n (ou escorregamento s) é apenas s vezes maior. Lem- bre-se de que a frequência das correntes no rotor está diretamente relacionada à velocidade relativa do campo do estator ao enrolamento do rotor. Consegiientemente, podemos escrever — Qeop - Eve J8s 1x0 = seo |, = Plescomegamento, rpm) . (ns, —m) 2 f= 120 120 (4-16) onde f, é a fregiiência da fem e da corrente no enrolamento do rotor. Por meio da Eq. (4-14) é possível reescrever a Eq. (4-16) como EE h sf, (417) 120 120. oque indica que a fregiência do rotor f, é obtida simplesmente multiplicando-se a fregiência de rede do estator pelo valor apropriado por unidade do escorregamento. Por essa razão, f, é fregilentemente cha- mada de fregiiência de escorregamento. pe - 144 Motores de Indução Trifásicos Capítulo 4 4-3 O CIRCUITO EQUIVALENTE É desejável ter um circuito equivalente do motor de indução trifásico, dé forma a conduzir a aná- lise da operação e facilitar o cálculo do desempenho. Das observações feitas na seção precedente, não deve constituir surpresa que o circuito equivalente assuma uma forma idêntica à do circuito equivalente Cxato do transformador. A dedução será feita de forma similar, com as modificações necessárias intro- duzidas para considerar o fato de que o enrolamento do secundário (o rotor) neste momento gira e, desta forma, desenvolvé potência mecânica. O Ramo de Magnetização do Circuito Equivalente Todos os parâmetros do circuito equivalente são expressos numa base por fase. Isso se aplica indepen- dentemente do enrolamento do estator ser conectado em Y ou Af Neste último caso, os valores se refe- rem à conexão emcY equivalente. Na Fig. 4-7(a) está indicada a parte do circuito equivalente que tem relação com o enrolamento do estator (ou do primário). Qbserve-se que cla consiste nalresistência do enrolamento de fase do estator, r,, numa reatância de dispersão do enrolamento de fase do estator, x, € numa impedância de magnetização, constituída do resistor de perdas no núclco, r, e da reatância de magnetização, xó |Não há diferença na forma entre este circuito e aquele do transformador. A diferença consiste somente do módulo dos parâmetros. Desta forma, corrente de magnetização total, T,, é consi- deravelmente maior no caso do motor de indução, porque o circuito magnético necessariamente inclui aqui ela é de aproximadamente 25 a 40% da corrente nominal, dependendo do tamanho do motor. Além Ro cia de dispersão do primário para o motor de indução também é maior por Gausa do entreferro, assim com por que os enrolamentos do estator e do rotor são distribuídos ao longo da periferia do entreferro e não concentrados em um núcleo, como no transformador fÔs efeitos das ações que ocorrem no enrolamento do rotor (ou do secundário) devem refletir a si próprias no nível de ten- são equivalente adequado nos terminais a-b na Fig. 4-7(a). A seguir, vamos estudar o modo como isso acontece. O Circuito Real do Rotor, por Fase Para qualquer condição de carga especificada que exige um valor particular do escorregamentos, a corrénte do rotor por fase pode ser expressa como (418) onde E, e x, são os valores em repouso. | interpretação de circuito da Eq. (4-18) está representada na Fig. 4:7(b). Mostra que, é uma corrente na frequência de escorregamento produzida pela fem induzida na fregiiência de escorregamento, Ro num circuito do rotor que tem uma impedância por fase de r, + jsx,NBm outras palavras, essa é a corrente que seria vista por um observador cavalgando com o enrdlamenio do rotor. [Outrossim, a quantidade de potência real envolvida neste circuito do rotor éa corrente ao quadrado Vezes a parte reál da impedância do rotor |Na realidade, essa potência representa as perdas no cobre do rotor, por fase. Portanto, à perda total no cobre do rotor pode ser expressa como onde q, representa o número de fases do rotor. um entreferro| Enquanto que num transformador essa corrente é de apenas 2 a 5% da corrente.neminal, 4 Seção 4-3 O Circuito Equivalente 145 q Es) r a L n + A % É de É fora b ta) to o x Reeneié Tm RR És tg to Equivalente do rotor; (d) circuito equivalente do rotor modificado; (e) circuito equivalente do rotor referido ao (of Dedução do circuito equivalente: (a) seção do enrolamento do estator; (b) circuito real do rotor; (c) circui- tator: (f) circuito equivalente exato; (g) circuito equivalente aproximado. O Circuito Equivalente do Rotor indo tanto o numerador como o denominador da Eq. (4-18) pelo escorregamento s, obtemos (it (4520) (£ifiterpretação de circuito correspondente desta expressão aparece na Fig, 4-7(0). Observe-se que o [módulo &o ângulo de fase de 7, permanecem inalterados por esta operação [Contudo, há umafiiferen- pe 146 Motores de Indução Trifásicos Capítulo 4 ça significativa entre as Egs. (4-18) e (4-20). No últ imo caso, 1, é considerada como produzida por uma tensão na fregiiência da rede, E, atuando em um circuito do rotor que tem uma impedância por fase de r/s + jx, Portanto, É, na Eq. (4-20) é uma corrente na. fregiiência da rede,jao passo que 1, na Eq. (4-1) é uma Corrente na frequência de eScorregamento. É importante que esta diferença seja entendida. A manipulação da Eg. (4-18) por s nos possibilitou passar de um circuito real do rotor caracteriza- do por resistência constante e reatância de dispersão variável [ver Figura 4-7(b)] para um caracterizado por resistência variável e reatância de dispersão constante [ver Fig. 4-7(c)]. Além disso a potência real associada com o circuito equivalente do rotor da Fig. 4-7(c) é, evidentemente, r, rca (4-21) Portanto, a potência total para q, fases e) v ; b (4.22) Uma comparação desta expressão com a Eq. (4-19) indica quefa potência associada com o circuito equi- valente da Fig, 4-7(0) é consideravelmente maio) Por exemplo, numa máquina grande, um valor típico de s é 0,02. Portanto, P, é maior que a perda real no cobre do rotor por um fator de 30) Qual o significado desta discrepância na potência? A resposta está no fato de que, pela Ea. (4-20), 1, é uma corrente na frequência da rede. Isso significa que o ponto de referência mudou do rotor (onde à variáveis na fregilência de escorregamento existem) para o estator (onde as variáveis na frequência da rede existem). De acordo com a representação de circuito da Fig. 4-7(0), o observador muda seu ponto de referência do rotor para o estator/ Essa mudança é significativa, porque agora, olhando para o rotor, o observador vê não apenas as perdas no cobre do rotor mas também a potência mecânica desenvolvida. ) A última grandeza é incluída porque, com relação a um observador situado no estator, a velocidade do é mais zero, como ela é relativa a um observador situado no rotor. Na realidade, a Ea. (4-22) dála potência total de entrada no rotor. É a potência transferida através do entreferro do estator para o rotor. Podemos reescrever a Eq. (4-22) de modo a evidenciar este fato: ú 1 Tale > Ep gt A (4-23) r r 25 uy Plr a Ld- pes ant 2a o] Em outras palavras, a resistência variável da Fig. 4-1(€) pode ser substituída pela resistência real do enrolamento do rotor) e uma resistência variável(R ) que representa a carga mecânica no eixo. Ou seja, (4-24) Essa expressão é útil na análise, porque permite que qualquer carga mecânica seja representada no cir- cuito equivalente por um resistor. À Fig. 4-7(d) representa a versão modificada do circuito equivalente do rotor. Finalmente, fica evidente, com base nas observações precedentes, que 0, Fircuito equivalente do rotor é equivalente apenas no que diz respeito ao módulo e ângulo de fase da Corrente do rotor por rca Seção 4-4 Cálculo do Desempenho 147 O Circuito Equivalente do Rotor Referido ao Estator A tensão que aparece nos terminais a-b na Fig. 4-7(a) é uma grandeza na frequência da rede, ten- doN,K,, espiras efetivas. Já tensão que aparece nos terminais a” - b' na Figura 4-7(d) também é uma dez na freqiência da tede, mas tem N, K, espiras efetivas. Em geral, E, E. de forma que ab na Figura 4-7(d) não podem ser ligados qa-b na Fi a)para se obter um circuito unifilar equivalen- te. Para se obter isso, é necessário substit lamento real do rotor por um enrolamento equivalen- te tendo N, K,, espiras efetivas, como foi feito com o transformiador| Em outras palavras, todas as gran- dezas do rotor devem ser referidas ao estator do modo representado na Fig. 4-7(9). A notação primo é usada pará representar grandezas do rotor referidas 4o estator. A dedução dos fatores de redução a se- fem usados para referir as grandezas do rotor ao estator aparece no Apêndice D. Tanto as máquinas com Eotor enrolado como as com rotor de gaiola são estudadas naquele Apêndice. O Circuito Equivalente Completo A tensão que aparece nos terminais a-b na Fig. 4-7(e) é a mesma que aparece entre os terminais a-bná Fig, 4-7(8). Portanto, estes terminais podem ser ligados para dar um circuito equivalente come pleto, como aparece na Fig. 4-7(D). Note-se que a forma é idêntica à do transformador de dois enrola- mentos. O Circuito Equivalente Aproximado Considerável simplificação nos cálculos com pequena peida na precisão pode ser obtida passando o ramo de magnetização para os terminais da máquina, como ilustrado na Pig. 4-7(8). Essa modificação é basea- fa essencialmente na hipótese de que V, = E, = E. Todos os cálculos de desempenho serão efetuados usando o circuito equivalente aproximado. 4-4 CÁLCULO DO DESEMPENHO Quando o motor de indução trifásico está operando em vaio, o escorregamento tem um valor muito próximo de zerg.fPor isso o resistor de carga mecânica R, tem um valor muito grande, o que, por sua vez, causa a circulação de uma pequena corrente no rotor JO torque eletromagnético correspondente, Corto descrito pela Eq. (3-27 Simplesmente assume aquele valor que é necessário para superas só per das rotacionais que consistem principalmente em perdas por atrito e ventilação) Se uma carga mecânica é a seguir aplicada ao eixo do motor, a reação inicial é que a carga no eixo reduz a velocidade do motor ligeiramente e, desta forma, aumenta o escorregamento. O escomegamento aumentado faz com que, subsegiientemente, 1, aumente até o valor que, quando colocado na Ea. (3:27), dê torque suficiente para fornecer um equilíbrio de potência à carga. Desta forma, o equilíbrio é estabelecido e a operação conti- nua, para um valor particular de s. Na realidade, para cada valor da carga mecânica necessária, há um valor único do escorregamento. Isso pode ser deduzido à partir do circuito equivalente, que mostra Ho uma vez que s seja especificado, então a potência de entrada, a corrente do rotor, o torque desenvolvido, a potência de saída e o rendimento ficam todos determinados. O uso de um diagrama de fluxo de potência, em conjunto com o circuito equivalente apropriado, faz do cálculo do desempenho de um motor de indução trifásico um procedimento direto. Representado na Fig. 4-8() está o fluxo de potência em forma literal. Observe-se que as perdas estão colocadas no Jado esquerdo de um ponto de fluxo. Na Fig. 4-8(b) aparece o mesmo diagrama de fluxo de potência, mas agora expresso em termos de todas às relações apropriadas necessárias para calcular o desempe- nho. Deve ficar claro que, para calcular o desempenho, deve-se primeiramente calcular as corêntes Le 1, do circuito equivalente e então fazer uso das relações pertinentes representadas na Fig. 4-8(b). 152 Motores de Indução Trifásicos Capítulo 4 do que a partir da relação saída-para-entrada. As perdas são como segue: P, = perdasno núcleo = 1.200 W perdasno cobre doestator = q,1;r, = 3(63,6)'0,1 = 1.213,5 W perdas no cobre do rotor = 9,15 1> = sP, = 0,025(45.110) = 1.127,8 W Pra = perdas rotacionais = 950 W Z perdas = 4.491,3 W Também, a potência de entrada é P, = (3 480(63,6)0,895 = 47.324 W Portanto, 4.491,3 n=1 =1— 0,095 = 0,905 47.324 O rendimento é 90,5%. 4-5 CORRELAÇÃO DA OPERAÇÃO DO MOTOR DE INDUÇÃO COM AS EQUAÇÕES BÁSICAS DO TORQUE A variação do torque com a velocidade (ou escorregamento) é uma característica importante do motor de indução trifásico. O formato geral desta curva pode ser obtido em termos da equação básica de torque [Equação (3-22)] e do conhecimento do procedimento de cálculo do desempenho( Quando o motor opera com um escorregamento muito pequeno, como quando em vazio, a Eg. (4-18) indica que a cor- rente do rotor é muito pequena — apenas suficiente para desenvolver um torque capaz de suprir as per- das rotacionais] Além disso, o ângulo do fator de potência da corrente do rotor é praticamente zero. Ou seja, Eae 9,=tan (4-28) (Na Fig. a10/sá indicada uma vista de seção transversal de um motor de indução de dois pólos, de gaiola, mostrândo o campo do fluxo girante produzido pelo enrolamento do estator e a distribuição ampêre- condutor induzida correspondente do rotor. Para o instante indicado e considerando a rotação do campo no sentido contrário aos ponteiros do relógio, a fem induzida na barra 1 é um máximo e dirigida para fora do plano do papel. Por quê? Note-se quela fem induzida nas barras 2e 10 é menor que o valor máximo e que a induzida nas barras 3 e 9, no mesmo instante, é ainda menor) Se o valor das fem's das barras são plotados como função do deslocamento espacial ao longo da periferia do rotor, uma distribuição discre- ta de forma senoidal resulta. (Ver Fig. 3-12(b) do Apêndice ao Capítulo 3.) Outrossim, porque o ângulo do fator de potência é praticamente zero para baixos escorregamentos, a distribuição das correntes do rotor é quase idêntica à distribuição das fem's. A distribuição de corrente está mostrada na Fig. 4-10 por pontos e cruzes colocadas externamente à superfície do rotor. Quanto maior o ponto (ou a cruz), maior é o valor da corrente representada. a Seção 4-5 Correlação da Operação do Motor de Indução com as Equações Básicas do Torque 153 Campo de fluxo senoidal girante Nota: Os pontos e cruzes dentro das produzido pelo enrolamento do barras do rotor representam os valores. estator trifásico instantâneos das fem's induzidas. Os * pontos e cruzes fora das barras do rotor representam os valores corresponden- tes de corrente Onda de fmm do rotor Entreferro Fig. 4-10. Vista da seção transversal de um motor de indução trifásico, de gaiola, representando o campo do fluxo ea distribuição da fmm correspondente induzida no rotor, para pequenos escorregamentos. Vamos agora relacionar esta figura com as grandezas que aparecem na Eg. (3-22). Devido à exis- tência de duas formas da equação básica do torque eletromagnético, duas interpretações são possíveis. Considerando-se primeiramente a última forma da Eq. (3-22), notamos novamente quefo torque depen- de da presença de um campo do fluxo é, de uma distribuição ampêre-condutor/(ou lâmina de córrente), como insinuado por , e um ângulo de deslocamento espacial, y./O exame da Fig. 4-10 mostra que, para escorregamentos próximos de zero, a distribuição ampêre-conduror está em fase no espaço com a distri- buição do campo, isto é, == 0". Isto significa que o melhor padrão de campo para o desenvolvimento do torque existe — cada barra produz um torque positivo/Contudo, apesar disso, um torque líquido muito pequeno é desenvolvido para tais escorregamentos pequenos porque o valor da distribuição ampêre- condutor do rotor é também próxima de zero. Na segunda interpretação, o rotor é tratado como um solenóide. Na Fig. 4-10, observe-se que a distribuição de pontos e cruzes da corrente do rotor cria uma fmm direcionada em quadratura com ela (ão longo da horizontal, para a direita, neste caso). Essa fmm é representada, para um pólo, pela onda senoidal tracejada e tem, supostamente, um valor de pico de 7, Lembre-se de que o módulo de %, de- pende diretamente da corrente do rotor e é praticamente zero para baixos valores do escorregamento. - Vista que o ângulo do torque é o ângulo entre o eixo da distribuição de campo do fluxo e o eixo da distribuição da fmm da armadura (ou do rotor), vemos que seu valor aqui é quase 90, novamente con- firmando a existência de um padrão ótimo de campo para a produção do torque. £ O que acontece ao padrão do campo quando uma carga mecânica é aplicada ao eixo do motor? Como já descrito na Seção 4-4, a reação imediata é uma pequena redução na velocidade do motor, o que aumenta o escorregamento. O escorregamento aumentado produz um aumento quase direto na corrente do rotor porque, para valores de escorregamento abaixo de 10%, o termo sx, na Eq. (4-18) é desprezível. Quando a potência nominal é entregue, o escorregamento fica entre 3 e 5%, para a maioria dos motores de indução, e o valor do ângulo do fator de potência do rotor fica nas vizinhanças de 10" [compare com o Exemplo 4-1). Apesar disso, contudo, e por conveniência da apresentação gráfica, vamos assumir que, nacarga nominal, o escorregamento é tal que a Eq. (4-28) dá um ângulo de fator de potência do rotor de 36". Note-se que este é o número de graus separando as barras do rotor na configuração da máquina da 154 Motores de Indução Trifásicos Capítulo 4 Fig. 4-10. Se a distribuição do campo for suposta como tendo a mesma posição instantânea como fepre. sentado na Fig. 4-10, então a distribuição da fem deve ser a mesma. Isto é mostrado com a notação sa to-cruz apropriada dentro das barras do rotor da Fig. 4-11(a). Observe-se que a fem na barra 1 é um, máximo porque está sob a influência do valor máximo da densidade de fluxo. Como resultado da rota. Eixo da onda de fmm do rotor (armadura). O eixo do n-polo do rotor se situa neste ponto. Onda de fm do rotor Onda de fm do rotor Distribuição ampêre- condutor do rotor Distribuição da fem Distribuição de corrente no rotor =— Rotação do rotor Eixo do campo (b) Fig. apa o pr E Rn de campo e das ondas de ampêre-condutor e de fmm do rotor associadas. , = tam =36º. Apenas as componentes fundamentais estão indi ass: a in Cp n ã fundamentais estão indicadas. O campo passa da direita para Seção 4-6 Características de Torque-Velocidade: Torques de Partida e Máximo 155 ção no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio do campo do fluxo do estator, sabemos que a fem foi um máximo na barra 2 por um intervalo de tempo igual ao que o campo do fluxo toma pera se des- locar pela distância entre as duas barras, ou mais exatamente, por wt=36”. Neste ponto, é proveitoso lembrar o significado do ângulo do fator de potência, 6,, que é o ângulo de fase entre E, e , Quando 6, um ângulo atrasado, mostra que o valor de pico da corrente do rotor ocorre 6, graus elétricos em tempo após o valor de pico da fem induzida no rotor ter ocorrido. Portanto, para o instante de tempo ilustrado na Fig. 4-11(a), o valor de pico da corrente do rotor dirigida para fora existe na barra 2. Pelo mesmo raciocínio, correntes dirigidas para fora existem nas barras 1, 10, 3 e 4, mas seus módulos serão inferio- res aos da corrente de pico pelo co-seno do ângulo pelo qual estas barras estão deslocadas em relação à barra 2. Como antes, nossa atenção está restrita apenas a componentes fundamentais de todas as distri- buições. A distribuição ampêre-condutor resultante no rotor toma então a posição indicada na Fig. 4- 11(a), repetida, a bem da clareza, na Fig. 4-11(b). Observe-se que as barras 4 e 9 produzem um torque negativo (ou no sentido dos ponteiros do relógio). Essa é a razão pela qual o padrão do campo não é ótimo. Apesar disso, o torque desenvolvido é muito superior aqui ao valor na Fig. 4-10, porgue a corren- te do rotor é muitas vezes maior. O exame da Eq. (3-27), que é a forma prática da Eg. (3-22), enfatiza esse ponto. Das grandezas que aparecem lá, O é fixado essencialmente pela tensão aplicada no terminal. Portanto, se 1, aumenta numa proporção superior ao decréscimo de cos 1y, o torque aumenta. Em opera- ção normal, o valor de cos W raramente é inferior a 0,95. Estas discussões girando em torno das situações representadas nas Figs. 4-10 e 4-11, conduzem a uma conclusão muito útil: No motor de indução polifásico, o ângulo de deslocamento espacial é igual ao ângulo do fator de potência do enrolamento de armadura, isto é, (4282) Um comentário final deve ser feito com relação ao desenvolvimento do torque no motor de indu- ção polifásico. Lembre-se de que os resultados das Equações (3-27) e (3-22) são válidos com a condição de que o campo do fluxo e as distribuições de ampêre-condutor sejam estacionárias entre si. Como é essa condição satisfeita na situação da Fig, 4-1 1? Para começar, sabemos que a velocidade do campo do fluxo do estator, relativa à carcaça do estator, é « . Visto que o enrolamento do rotor conduz correntes na fregiiência de escorregamento, a velocidade da distribuição ampêre-condutor do rotor relativa ao rotor está na fregjiência de escorregamento, isto é, sc» . Contudo, por que as barras do rotor estão imersas no ferro do rotor, que, por sua vez, gira na velocidade «, = 0, (1 — s) com relação à carcaça do estator, segue-se que a velocidade de rotação total da distribuição ampêre-condutor do rotor é a soma de su, com «», (1 5). Evidentemente, isso é », Portanto, a distribuição ampêre-condutor do rotor ea distribui ção do campo do fluxo são estacionárias em relação uma à outra. Na realidade, essa condição é satisfeita para todos os valores do escorregamento, e é uma consequência da característica de energização única do motor de indução. 4-6 CARACTERÍSTICAS DE TORQUE-VELOCIDADE: TORQUES DE PARTIDA E MÁXIMO As características de torque-velocidade do motor de indução podem ser explicadas à luz das Equa- ções (3-27) e (3-22). À medida que o escorregamento aumenta de aproximadamente zero para cerca de 10%, a Eq. (4-18) mostra que a corrente do rotor aumenta quase lincarmente. Além disso, para esta mesma faixa de valores do escorregamento, 1y varia numa faixa de aproximadamente zero a 15 graus. Isso sig- náfica que o cos iy permanece praticamente sem variação ao longo da faixa especificada de escorrega- mento e, assim, o torque aumenta quase linearmente nesta região. E mm 156 Motores de Indução Trifásicos Capítulo 4 Quando o escorregamento aumenta mais ainda, a corrente do rotor continua a crescer, mas muito mais lentamente que a princípio. A razão está na crescente importância do termo s x, da impedância dy rotor. Adicionalmente, o ângulo de espaço i agora principia a crescer com uma taxa de crescimento maior, o que faz com que cos 4 diminua mais rapidamente que o aumento da corrente Visto que aequa” gão do torque agora envolve dois fatores em oposição, é perfeitamente razoável se esperar que um ponto seja atingido, e que além dele um crescimento adicional do escorregamento culmine por reduzir o tos que. Em outras palavras, o decréscimo rápido do fator cos w predomina sobre o lento crescimento do fator 1, na Eq. (3-27). À medida que W aumenta, o padrão do campo para produção do torque se toma menos e menos favorável, porque mais e mais condutores que produzem torque negátivo são incluídos debaixo de um dado fluxo do pólo. O exame da Fig. 4-11 toma essa declaração evidente. Conseiiente. mente, a curva composta torque-velocidade toma uma forma similar à indicada na Fig. 4 O torque de partida é o torque desenvolvido quando s é unitário, isto é, à velocidade n é zero. A Fig. 4-12 indica que, para o caso ilustrado, o torque de partida é um pouco superior ao torque noiniria / O que é característico de tais motores. O torque de partida é calculado do mesmo modo que o torque é *, calculado para qualquer valor do escorregamento. Aqui, simplesmente se necessita usar s = 1. Desta forma, o módulo da corrente do rotor parado é EEE AG A Ea A potência correspondente no entreferro é, então, a sia Vê B=alin= a (430) +) ++) É interessante observar goi torques de partida mais elevados podem resultar de perdas elevadas no co- bre do rotor em répouso. Para escorregamento igual a um, a impedância de entrada é muito pequena, de forma que grandes correntes de partida circulam. A Eg. (4-29) mostra este aspecto. No interesse de limitar essa corrente de partida excessiva, os motores cujo valor nominal ultrapassam 3 HP são normalmente colocados em movimento com tensão reduzida, por meio de dispositivos de partida. Esse assunto é discutido adício- nalmente na Seção 4-10. Evidentemente, a partida com tensão reduzida também significa uma redução no torque de partida. Na realidade, se 50% da tensão nominal forem usados na partida, então, evidentemen- fe, pela Eq. (4-30), segue-se que o torque de partida é apenas um quarto do seu valor com tensão plena. Outro valor importante de torque do motor de indução trifásico é o torque máximo desenvolvido. Esta grandeza é tão importante que fregiientemente é o ponto de partida do projeto de um motor de in- E ê É 0 «— , : o nl Escorregamento — Fig, 4-12. Curva típica torque-velocidade para n+— RR Ane = iocia um motor de indução trifásico. - Seção 4-6 Características de Torque-Velocidade: Torques de Partida e Máximo 157 dução. O torque máximo é uma medida da capacidade de reserva da máquina. Tem fregiientemente um valor entre 200 e 300% do torque nominal. Permite ao motor operar quando sob picos de carga. tempo- ários. Contudo, o torque máximo não pode ser entregue continuamente porque as correntes excessivas circulam iriam destruir a isolação. . ai dg Visto que o torque desenvolvido é diretamente proporcional à potência do entreferro, segue-se que o torque será um máximo quando P, forum máximo. Também, P, éum máximo quando existe uma máxima transferência de potência ao resistor do circuito equivalente, ,/s. Aplicando o teorema da máxima transferência de potência ao circuito equivalente aproximado, obtemos o resultado VE ++, z (4:31) Ou seja, a potência máxima é transferida ao resistor de potência do entreferro, r,/s, quando este resistor Eigual à impedância, olhando-se para a fonte. Consegliontemente, o escorregamento s, no qual o máxi- mo torque é desenvolvido é (4:32) Observe-se que o escorregamento no qual o torque máximo ocorre pode ser aumentado usando-se uma resistência do rotor maior. Alguns motores de indução são, na realidade, projetados de forma que o tor- que máximo está disponível como torque de partida, isto é, s, = 1. ] Como conhecimento do escorregamento s, , a corrente do rotor correspondente pode ser determi- nada e então colocada na equação do torque para dar a forma final para o torque máximo. Desta forma, EE a o, Art yi++ 7] A Um exame da Eq. (4-33) revela a interessante informação que o torque máximo é independente da resistência do enrolamento do rotor. Desta forma, aumentando a resistência do enrolamento do rotor aumenta o escorregamento no qual o torque máximo ocorre, mas mantém o módulo deste torque inal- terado. A Fig. 4-13 mostra o efeito do aumento da resistência do rotor numa curva típica de torque- velocidade. (4-33) Resistência do rotor elevada rotor baixa Torque Fig. 4-13. Indicando o efeito da elevação da resistência do rotor nas curvas de torque- velocidade, N, +— Velocidade O + Escoregamento 162 Motores de indução Trifásicos Capítulo 4 Yi Lo % Ta L Fig. 4-16. Diagrama fasorial do motor de 1 indução em vazio. soma fasorial de T, e 1, dá a corrente de magnetização total, T,, do ramo magnetizante do circuito equi- Valente. À grandeza L, é suposta como igual a e representa à pequena corrente no rotor que circula em vazio para suprir as perdas rotacionais. Especificamente, esta grandeza pode ser escrita como “af Po augr, 29v, Eos lo NT (4-40) À terceira parte da componente em fase da corrente em vazio, Lj tor, em vazio. É dada por Esta grandeza pode também ser imediatamente calculada a partir dos dados medidos em vazio. Informação a respeito das resistências dos enrolamentos e das reatâncias de dispersão é obtida de um teste com o rotor bloqueado. Este teste é análogo ao teste de curto-circuito do transformador. Re- quer que o rotor seja bloqueado para evitar a rotação e que o enrolamento do rotor seja curto-circuitado no modo usual. Outrossim, visto que o escorregamento é unitário, o resistor de carga mecânica, Ré zero e, desta forma, a impedâneia de entrada do circuito equivalente é baixa. Portanto, de forma a limi- tar a corrente do rotor durante o teste a valores razoáveis, uma tensão reduzida deve ser empregada — normalmente, cerca de 10 a 25% do valor nominal. Além disso, a operação nestas tensões reduzidas faz com que as perdas no núcleo, assim como a corrente de magnetização, sejam desprezíveis. Consegilen- temente, o circuito equivalente neste teste toma a configuração indicada na Fig. 4-17. Considere agora que as seguintes leituras foram obtidas dos instrumentos, durante um teste com rotor bloqueado, num motor de indução, trifásico, de rotor enrolado, conectado em Y: P, = leitura total do wattímetro, W 1, = corrente de linha da conexão em Y V, = tensão de linha da conexão em Y Considere também que as resistências ce dos enrolamentos de fase dos enrolamentos do estator e do Fotor, r,u. & 4» SãO determinados de um simples teste cc e que a relação de transformação, a, do estator Seção 4-7 Parâmetro do Circuito Equivalente de Testesem Vazio 163 to Remntrê oz ilha) % Fig. 4-17. Circuito equivalente do motor de indução, para o teste de rotor bloqueado. para o rotor, também está disponível. Lembre-se de que as leituras dos instrumentos são consistentes com operação na freqiiência do motor. Portanto, se estiver presente, a influência do efeito pelicular: é refletida nestas leituras. Das medições precedentes, segue-se que o valor efetivo da resistência do enro- lamento equivalente é dado por (442) Nesta expressão, tanto r, como r, representam resistências de enrolamento efetivas por fase. Para sepa- rar o valor efetivo de r,, faz-se uso da seguinte equação: Tide (4.43) 2 Tide Hg Esta última expressão mostra que a relação do valor efetivo de r, para o valor efetivo da resistência equivalente produz a mesma relação que o valor ce de r, para o valor ce da resistência equivalente. É importante, neste ponto, compreender que, no circuito equivalente do motor de indução, como foi em- pregado para calcular o desempenho para valores usuais do escorregamento, or, à ser usado é o valor efetivo, como determinado pela Eg. (4-43), mas o r, a ser usado é o valor cc. A última grandeza éusada porque, para escorregamentos normais (3 a 5%), a fregiiência da corrente do rotor é muito baixa (2 a 3 Hz). , A impedância equivalente de fáse é obtida de Z, Vo (4-44) V31, Finalmente, a resistência de dispersão equivalente é determinada de X =? (4-45) Observe-se que, enquanto os cálculos são efetuados usando o circuito equivalente aproximado, é suficien- te lidar diretamente com X,, sem a divisão adiciónal em x, e x, “O efeito pelictar se refer à tendência da corente variável no tempo em se concentrar na superfície de um condutor, o que reduz a área da seção transversal efetiva e assim aumenta a resistência em relação ao valor ce. 164 Motores de Indução Trifásicos Capítulo 4 Em vista da importância de se trabalhar com o valor ce de r, no circuito equivalente para baixos valores de escorregamento, como esse valor pode ser determinado para motores de indução com rotor de gaiola, se os dados de projeto não estão disponíveis? O uso do valor efetivo de r, conduz a erros muito sérios, porque o efeito pelicular no rotor de gaiola é muito grande. Isso é devido ao uso de barras sólidas de cobre imersas no ferro. A relação do valor efetivo para o valor cc, a 60 Hz, é fregiientemente 3:1. Relações tão elevadas como essa não ocorrem nas máquinas de rotor enrolado por causa do uso de con- dutores encordoados. Visto que os terminais das fases de um rotor de gaiola não estão disponíveis, um método indireto de determinação do valor cc da resistência de fase do rotor deve ser empregado. Se o teste com o rotor bloqueado for executado para várias fregiiências, com tensão reduzida, a resistência efetiva equivalente pode ser encontrada e plotada para dar a curva representada na Fig. 4-18. Observe- se que, à medida que a fregiência é reduzida, a resistência equivalente efetiva assume valores corres- pondentemente menores. Extrapolando a curva experimental para o eixo das ordenadas, a resistência equivalente cc para o rotor de gaiola é obtida. Então, a resistência cc referida ao estator por fase do rotor é obtida como (4-46) Consegilentemente, no circuito equivalente do motor de indução com rotor de gaiola com pequenos escorregamentos, o valor efetivo de r, e o valor cc de r,'[Eq. (4-46)] devem ser usados. Exemplo 4-5 Os seguintes testes em vazio foram executados num motor de indução com rotor de gaiola, conectado em Y, trifásico, quatro pólos, 60 Hz, 20 HP, 550 V, e os resultados foram: Teste em vazio: 550 V, S8A, 754W, 60Hz Teste com rotor bloqueado, na fregiiência nominal: 123V, 25 A, 2419W, 60 Hz Teste com rotor bloqueado, a baixa frequência: 5sv, 25 A, 2063W, 15Hz Teste ce no estator, por fase: 15V, 25 A As perdas por atrito e ventilação para este motor são 328 W. Determine os parâmetros do circuito equivalen- te aproximado a ser usado para escorregamentos operacionais normais (isto é, 3 a 5%). Solução A resistência co do enrolamento do estator por fase é 15 Fig =, = 0.69 25 Ê E ê e Fig.4-18. Ilustra como a resistência equivalente cc de um motor de indução com rotor de gaiola pode ser determinada, a partir de um teste com Frequência rotor bloqueado para várias frequências. Seção 4-7 Parâmetros do Circuito Equivalente de Testesem Vazio 165 N Embora o enrolamento do estator seja um enrolamento usando condutores encordoados, algum efeito pelicu- lar ainda existe. Portanto, o valor ca da resistência do enrolamento é necessário. Pode ser determinado do teste com rotor bloqueado, na fregliência nominal. Desta forma, 19 E =1,290 Do teste com rotor bloqueado que é executado a baixas fregiências, o efeito pelicular não é considerado importante e, desta forma, a resistência “cc” equivalente é determinada como Então, de acordo com a Eq. (4-43), a resistência ca do enrolamento do estator tem o valor Kas 0,6) 1 lara nana =(0,0)|— |=0, ae = "ae q E fede Este valor está um pouco do lado pessimista pelo fato de que, durante o teste com rotor bloqueado na fre- aiiência plena, o efeito pelicular que ocorre nas barras imersas em ferro do rotor é mais elevado que para os condutores encordoados do enrolamento do estator. Apesar disso, esse é um dos seis valores do circuito equi- valente. Um segundo parâmetro, o valor “cc” da resistência do rotor referida ao estator, é determinada pelo uso da Eg. (4-46), que dá, neste caso, =1,1-0,6=0,50 Todo tede 7 Tide O uso do circuito equivalente aproximado significa que os dois parâmetros x, e x,' podem ser avalia- dos e usados como uma grandeza concentrada. Devido ao fato de estas reatâncias de dispersão serem valores emepouso, os dados do teste com o-otor bloqueado na fregiiência nominal são usados. ConsegUentemente, v, 123 =" =2,84 0 “Br bes x, = Ra =fo.84 —1,29 =2,5830 Os dois parâmetros remanescentes são calculados com os dados do teste em vazio. Pela Eq. (4-37), 0 ângulo do fator de potência em vazio é BF 754 cos! —— = AV iho 3(550 1 1/3)5,8 09 = cos" 82,2º de forma que o valor correspondente da componente reativa da corrente em vazio toma-se o sen Oy = 5,8 sen 82,2" = 5,75 A que, por sua vez, fornece uma reatância de magnetização de V; 550 E 5,25 92 [ , “3 (5,75) x= mrneinaRe ernemar nr rinunÁNiA l Í i I Ê f ( Í 166 Motores de Indução Trifásicos Capítulo 4 Finalmente, o resistor de perdas no núcleo é determinado, calculando-se primeiramente o valor das perdas no núcleo de Pr — 3HPac = 754 — 328 — 35,8" (0,7) = 355,4 W e, então, observando-se que Portanto, o valor do resistor de perdas no núcleo é Vi 3(550)" (550) r Mm IO 60) o PO 3j/p, 3554 4-8 CONTROLE DA VELOCIDADE |Na maioria das aplicações industriais, a característica de velocidade essencialmente constante do motor de indução é desejável- ndo fexistem algumas aplicações (por exemplo, transpoi guindastes e elevadores) onde a possibilidade de controlar a velocidade é um fator extraordin: conseguinte, nesta seção, investigaremos até onde o motor de indução se presta a ajustes de velocidade, sob diversas condições de carga. O motor de indução com rotor de gaiola é estudado primeiramente por ser mais simples, devido à construção fechada do seu enrolamento do rotor, que elimina toda a possibilidade de controle a partir deste ponto. Qualquer controle que seja possível deve ser exercido através do estator/Aqui existem três possibilidades, duas das quais são evidentes a partir da Eq. (4-12). A primeira é alterara fregijência da rede. À medida que a fregiiência da rede é elevada ou reduzida, a velocidade síncrona também aumenta ou diminui, o que proporciona um controle satisfatório) Contudo, o sério defeito deste procedimento é que uma fonte de fregiiência variável não está normalmente disponível Além disso, se tal fonte existir no local, é necessário um grupo motor-gerador, com os controles apropriados e potência nominal com- patível com a do motor de indução que ele deve controlar. Outrossim, se uma densidade máxima do fluxo no ferro não deve ser excedida à medida que a freqiência se reduz, uma redução correspondente na tensão aplicada deve ser efetuada. ! Um segundo método de controle é mudar o númerade pólos. Lembre-se de que o número de pólos é determinado pelo arranjo físico do enrolamento. É possível agrupar o enrolamento em seções empare- lhadas apropriadas para cada fase)Quando as duas seções, por exemplo, estão conectadas de forma a assegurar orientações simétricas da circulação de corrente, resulta uma máquina de quatro pólos. Con- tudo, se a corrente da segunda seção for colocada circulando na direção oposta por meio de uma chave, o resultado é uma máquina de dois pólos. Consegientemente, a velocidade síncrona pode ser alterada por um fator 2. Tal máquina é chamada de motor de diversas velocidades. O motor pode operar em uma de duas velocidades, mas, infelizmente, uma vez que uma determinada velocidade seja escolhida, não há mais nenhum controle adicional disponível/O controle de velocidade, neste caso, ocorre de modo discreto. Para uma frequência da rede de 60 Hz, tal máquina permite a operação para velocidades pró- ximas de 3600 ou 1800 rpm. Se o controle da velocidade for desejado entre 1800 e 3600 rpm, não pode ser obtido com o motor de indução de rotor de gaiola de diversas velocidades. £ O terceiro método de controle de velocidade envolve a redução da tensão da rede aplicada. Ope- tação a tensões reduzidas significa que os valores da ordenada do torque numa curva de torque-veloci- Seção 4-8 Controle da Velocidade 167 T E É e $ 250 Ê 8 £ 200 E 5 é 25| Carga de torque E É 4 constante Carga de torque, e ==" SE es Fig. 4-19. Ilustra como um al certo grau de controle de ve- se1 $=0 locidade pode ser obtido pela n=0 n=ns redução da tensão aplicada. dade assumem novos valores de acordo com o quadrado da relação de redução da tensão. Desta forma, se o motor de gaiola for operado a 70,7% da tensão nominal, todos os pontos da nova curva torque- velocidade têm metade do valor da curva original,/O torque máximo é reduzido à metade; o torque de partida é também reduzido à metade do seu valor original; e assim por diante /A Fig. 4-19 representa as diferenças ao longo de uma faixa de velocidades completa. Também indicadas estão as curvas de tor- que-velocidade de uma carga de torque constante, característica de transportadoras, e de uma carga de torque variável, característica de ventiladores e outras cargas de tipo propulsor. É suposto que na tensão nominal, o motor de indução entrega o torque nominal a cada tipo de carga. O ponto de operação é de- signado por a, onde o escorregamento está na vizinhança de cerca de 5%. Uma redução de 30% na ten- são aplicada faz com que o ponto de operação para a carga de torque constante se mova de a para b e de a para c, no caso de carga de torque variável. Observe-se que este esquema pode permitir que o escor- regamento dobre ou até triplique. Um pouco de atenção mostra que esse não é um valor considerável de controle da velocidade — e certamente não pelo preço pago. O controle da velocidade pelo controle da tensão tem desvantagens sérias, o que explica seu uso infregiiente, especialmente para motores polifási- cos. Primeiro, é caro. Uma tensão variável trifásica é obtida eficientemente através do emprego de um grupo motor-gerador ou um variac trifásico com valores nominais pelo menos iguais aos do motor que está sendo controlado. Segundo, quando o motor está operando com tensão reduzida, sua capacidade de reserva é perigosamente reduzida. Para a situação ilustrada na Fig. 4-19, observe-se que a capacidade de reserva para a carga de torque constante é 250% do torque nominal a tensão plena e apenas 125% com 70,7% da tensão nominal. Terceiro, se for feita uma tentativa de operar o motor por toda a faixa, na tensão reduzida, o exame da Fig. 4-19 mostraria que apenas a carga de torque variável pode ser assim operada. Na tensão reduzida, o torque de partida do motor de 62,5% é insuficiente para mover a carga de torque constante. Concluindo, portanto, pode ser dito que ajustes de velocidade em motores de indução com rotor é gaiola são difíceis de obter e, além disso, são caros. Este motor funciona melhor com cargas de velo- idade constante. | Controle da; velocidade é mais fácil de obter no motor de indução de rotor enrolado do que no motor de gaiola, por causa do acesso aos terminais do rotor. Evidentemente, o ajuste da velocidade pe- los três métodos já indicados se aplica com igual validade ao motor de rotor enrolado. Três métodos adicionais pelos quais a velocidade pode ser controlada incluem os seguintes: au- mento da reatância total do rotor por fase, x,'; aumento da resistência total do rotor por fase, r, e injeção 172 Motores de indução Trifásicos Capítulo 4 +) ER=724V e o SE,= (O, 4141) = 56,4 v ER= SEoSIpro= 4,94 V ER= 15 (12+0,4x0,27) = 7,24 V, L tb) Fig. 4-22. Dia Exemplo 4-6: (a) ido as relações entre as fem's indi pelo escorregamento iagrama para o Exemplo 4-6: (a) mostrando as relaçõe: as fes luzidas scorregam: 8: e as correntes para dois valores de escorre; nto; ação ão inj sorri pai di fia scr o; 6) determinação da tensão injetada necessária para obter o Quando o motor opera com o rotor curto-circuitado, a fem resultante que produz a corrente de 3 rr nte de 31,1 A Er r + jsxp1 = 31,110,16 + ;(0,0350,27)l = 4,94 V Esta gran indi Fes FER Edo na Fig. 4-22(2), ao longo da linha vertical, em quadratura com o fasor do flux Ci aa vento elevado, o ângulo de fase do enrolamento do rotor Pode ser apreciável, como já demonstrado (Uyº = 347. Embora a fem do rotor resultante paa o escorege a relação em quadratura com o fluxo que o produz, o módulo agora não é RR e da resistência do enrolamento. A reatância de dispersão també maço . Desta forma, o médulo da fem induzida do enrolamento do rotor restante agora é calculado como como Er blra + jstxo1=37,510,16 + ;(0,4)0,27)] = 7,24 V Esta grandeza é também ; representada na Fig. 4-22(a), junt que a projeção Ei a - , junto com seus componentes fasoriais. rojeção de L* na vertical é a mesma para s duas condições de escore End rándo o tórqoe Eonstadio. gamento, desta forma assegu- Lembre- ; an Subpia a di Pela projeto, a tensão injetada é introduzida sempre em quadratura com o fasor de fluxo para a obtenção do controle da velocidade. Devido sofro de que, neste caso, desejam ia ima da velocidade síncrona, a tensão injetada deve cer introduzida 90" cr ataso er selação do em relação ao fasor do fluxo, do modo ilustrad cares a , o na Fig. 4-22(1). A: x ã j ção ente la, exprea inatcticameno, smp o Ae iso fodas colieanso ash W-sE = + 5 E, = 7,24 + (0,441) = 63,64 V Seção 4-9. Método Eletrônico de Controle da Velocidade 173 4-9 MÉTODO ELETRÔNICO DE CONTROLE DA VELOCIDADE A referência à Eq. (4-12) toma evidente que um método atraente de controle da velocidade é a disponibilidade de uma fonte de frequência ajustável. Foi mencionado na seção precedente que um método de se obter tal fonte é pelo emprego de um grupo motor cc-gerador ca. Infelizmente, essa solução tem seus próprios defeitos, como a necessidade de uma fonte cc adequada, à necessidade da compra de duas máquinas adicionais, um limite mais restrito na faixa de controle da velocidade, assim como um rendi- mento reduzido [Uma solução melhor é o uso de um inversor, usado para transformar uma fonte cc em ima fonte de frequência variável. Como a potência cc não está normalmente disponível, é necessário gerá-la através do uso de circuitos eletrônicos apropriados. Um diagrama de blocos deste esquema ele- Sânico de controle da velocidade de um motor de indução de rotor de gaiola está indicado na Fig. 4-23. É importante observar-se que este é um dos poucos métodos que estão disponíveis para se obter 0 con- trole da velocidade para o altamente robusto motor de indução de gaiola. O retificador trifásico da Fig. 4-23 serve ao propósito de converter à tensão ca, normalmente dis- ponível, em uma fonte e Em geral, a saída do retificador contém harmônicas elevadas da frequência fundamental da fonte ca destas são convenientemente eliminadas por filtros apropriados. A Fig. 4-24(a) ilustra um retificador típico de meia onda, trifásico, cuja tensão de saída está desenhada na Fig. 4-24()). Passando esta forma de onda pelo filtro LC, a tensão de saída torna-se essencialmente col Toma-se en- ão do inversor gerar uma nova fonte de tensão trifásica que, em geral, possui as propriedades a variável, tensão ajustável e, mesmo, de fase ajustável. O ajuste simultâneo da tensão de Or necessário para prevenir operação em valores de fluxo por pólo que desviam abruptamente do valor nominal do motor controlado. Isto pode ser obtido projetando-se o Astema de controle da velocidade de forma que ele mantenha a relação da tensão de saída do inversor para a frequência controlada como uma constante. Pela Eq. (4-9) torna-se claro, então, que por meio desta técnica o fluxo por pólo pode ser mantido ao longo da faixa de operação. Se esta precaução não for observada, então, a baixa frequência, uma grande saturação do circuito magnético poderia facilmente ocorrer, ao passo que, para altas freglências, haveria uma redução da capacidade de reserva do motor. O circuito da Fig. 4-24(2) mostra o uso de diodos no circuito de retificação. É útil observar que tais diodos são disponíveis para tensões nominais até 5.000 V e correntes nominais de 7.500 A. A tensão de saída pode ser tornada ajustável trocando-se os diodos por retificadorés controlados de silício “SCR's" * Colocando um pulso de tensão adequado no terminal da porta do SCR, o instante do disparo da seção do diodo pode ser retardado, reduzindo-se, desta forma, o valor da saída retificada. Embora os Valores nominais de tensão dos SCR's sejam equivalentes aos dos diodos de potência, as correntes no- minais são, quando muito, cerca de metade. Um diagrama esquemático de um sistema eletrônico típico de controle da velocidade que empre- ga as noções precedentes está representada na Fig. 4-25. Os componentes indicados aqui são aqueles pedidos pelo diagrama de blocos da Fig. 4-23, mas modificados para incluir o circuito de controle para e gCR'S. Além disso, os detalhes do inversor estão também indicados. As chaves marcadas SI até S6 Fonte Mb Ret Motor e ricador Fitro | Vée | Inversor ci gaiola trifásico trifásico fásica Fig, 4.23. Diagrama je blocos para ilustrar os equipamentos principais necessários no controle eletrônico de velo- cidade de um motor trifásico de gaiola. *Nota do Tradutor: do inglês Silicon-Controlled Rectifiers 174 Motores de Indução Trifásicos Capítulo 4 Seção 4-9 Método Eletrônico de Controle da Velocidade 175 D1 co D+ D2 do DA E o3 co D— Motor de indução x 0 & á Ê g & Í % 2 | 8 t g ) É t E t Ê 3 , É t 3 Í v E : $ ! tv) l 2 E ! i 8 5 | : | g 3 27 4 | g 2 f o 3 ro do 2 ut Fig. 4:24. (a) Um retificador de meia onda tri- E 3 i fásico usando diodos semicondutores; (b) forma Ê 5 ) tb) de onda da saída do retificador. g g 1H $ g ê 8 4 são os SCR's e cada um está controlado apropriadamente por sinais obtidos da sação de controle da 8 E ( porta. Objetivo do sinal da porta é segienciar os tempos de condução e bloqueio de cada SCR de forma g ) que a tensão de saída que aparece nos terminais a, b, c terá as características de um conjunto de tensões o E í trifásicas. A tensão de controle da velocidade, E , tem duas funções. Primeiro, controla a ação de retifi- “a g ) cação do retificador trifásico de modo que permite o módulo da saída ce ser diretamente proporcional a 1] 5 f E; e segundo, a tensão de controle da velocidade também determina a fregiência de saída de um osci- s E í lador de tensão controlada VCO* de modo direto. Expresso matematicamente, podemos escrever | o É 8 8 ] s E ú Va=kE, (4:53) ! É E to às A L,=kE, (4:54) sá 1 ia onde V, representa a tensão de saída do retificador trifásico mais filtro e f, é a fregiiência de saída do EE i oscilador. As grandezas k, e k, são fatores de escala apropriados. Na realidade, é esta fregiiência que o as í inversor impõe nos terminais do motor de indução de gaiola. Os diodos que são colocados em paralelo dz com os SCR's, com uma orientação invertida, são necessários para proporcionar um caminho para à to circulação das correntes reativas, quando o SCR correspondente está bloqueado. Eles também são úteis gs És Ê pa q Sp: log! o ES permitindo que a energia circule de volta à fonte sempre que o motor de indução operar como um gerador. 38 ã Vamos agora empreender uma descrição de como o inversor toma a fonte cc e a manipula para E ú produzir um conjunto de tensões trifásicas ca. A seção de controle da porta do sistema desempenha um É 4 “Nado Ta: do más, Volage Coml Oct d 176 Motores de Indução Trifásicos Capítulo 4 Seção 4-9 Método Eletrônico de Controle da Velocidade 177 SCRºs restantes estão simultânea e intencionalmente acionados no estado de bloqueio. Durante o perío- do que um SCR específico é programado para ficar no estado de condução, é importante manter o sinal de porta de forma que a chave continue a ficar fechada, havendo ou não corrente circulando no momen- to. Por repetição do procedimento para cada período de 60”, a seguinte tabela é obtida, descrevendo a segilência de comutação. Uma vez que a segiiência de comutação é estabelecida, é um procedimento de rotina identificar as tensões de linha, como aparecem nos terminais do motor de gaiola, que é suposto como tendo um enro- lamento do estator conectado em Y. A saída do inversor aparece nos terminais a, b, c. Durante o primei- rointervalo de 60", as chaves 1, S3 e S5 estão no estado de condução. Como SI e 53 estão conduzindo, os terminais a e c estão ligados ao lado positivo da fonte ce e através da ação do terminal 85, b está ligada ao lado negativo. Este arranjo coloca as fases a e c do motor de indução em paralelo entre si esta Ra associação em série com à fase b. Ver o diagrama esquemático para o intervalo de 60" na linha (4) da | Tabela 4-1, que ilustra a distribuição da tensão de entrada cc ao inversor durante os três primeiros inter- ee, valos de 60º da fregliência de operação determinada pelo oscilador de tensão controlada em resposta à tensão de controle da velocidade E, Para enrolamentos de fase equilibrados, segue-se que a distribuição 9 5 &mr m 7 Sm 27 Esamemendans da tensão da fonte ce coloca V, / através das duas fases associadas em paralelo isto é bobinas ane cr) EE DE desen e 2/3 V, através da fase b. Uma simples aplicação da lei de Kirchhoff das tensões mostra então que as decomutaçãoparaosSCR'sdaFis | — tensóesdelinhasão V,=V,.V,=—V,eV,=0. E Re SE a | Durante o segundo intervalo de 60", a tabela precedente mostra que as chaves $1, S5 e Só estão no estado de condução. Neste caso, apenas o terminal a é ligado ao lado positivo da fonte cc, enquanto b e cestão ambos conectados ao lado negativo. O efeito é colocar as fases b e c em paralelo e esta associa- | s2 s3 s4 papel crucial no processo, porque fornece os sinais da porta, que por sua vez estabelecem a segiiência de disparo apropriada, assim como a duração da condução (isto é, a parte do ciclo de fregiência em que | . x cada SCR pode ficar conduzindo). A segiiência de comutação usada nesta explicação está indicada na TABELA 4.1 DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO DE ENTRADA CC DURANTE OS TRÊS PRIMEIROS Fig. 4-26. Está indicado um período da fregiiência f,, que é dividido em seis partes iguais de 1/3 radia- | INTERVALOS DE 60º DA FREQUÊNCIA DE OPERAÇÃO nos. No intuito de produzir uma tensão ce máxima, cada SCR é acionado para ficar no estado de condu- | Das rasta di Es | I são por aproximadamente 7 radianos. Por uma razão prática, o tempo de condução deve ser mantido intervalo SCRnocstádo decondução — fasesdomotordeindução correspondentes t Justamente por 1 radianos, de forma a permitir que, subsegiientemente, S4 fique no estado de condução j por exatamente x radianos. O exame da Fig. 4-25 torna clara a importância de acionar S1 no estado de blo- -queio antes de S4 ser ligado. Uma falha neste procedimento coloca um curto-circuito através da fonte cc. pa A segiiência de comutação indicada na Fig. 4-26 é determinada como segue. Comece com SI é | (a) 0-60º S1,83,85 desenhe uma linha sobre os primeiros três períodos de 60", desta forma indicando que S1 deve ser man- tido acionado no estado de condução pelos primeiros 180 graus elétricos. A seguir, porque estamos li- dando com sistema trifásico, comece o período de condução de S2 numa posição 120 graus elétricos mais tarde que o início de 1. De modo similar, comece o período de condução de S3 numa posição 120 í graus elétricos mais tarde que o início de S2. Este padrão é então repetido para um segundo conjunto de | SCR's. Consegientemente, o tempo de condução de S2 se inicia a 7 radianos e dura 180". O período de condução de $5 é então iniciado 120º mais tarde que para S4 e dura 180". Finalmente, a condução para S6 é programada para iniciar-se 120º após 4 ser colocada em condução e, novamente, podendo ficar conduzindo por quase 17 radianos. Examinando a primeira coluna de 60' da Fig. 4-26, podemos concluir | I (b) 60-120º S1,S5,S6 EF apropriadamente que, ao longo deste período, os SCR's no estado de condução são S1, S3 e S5. Os três Intervalo SCRs no estado de condução 0-60º S1,85,53 60-120º S1,S5, S6 120-180" S1,S2, S6 180-240º S4, 82, S6 240-300º S4, 82,83 300-360" (c) 120-180" Si, S2, S6