Espaços Métricos - Gentil Lopes da Silva

Espaços Métricos - Gentil Lopes da Silva

(Parte 1 de 5)

(COMENTADO) 2008Gentil Curva de Peano (S)

t t t Cubo Hiper-Magico t t t t t ϕt t t t t t C

− Topologia Quantica

0,9=
0,3= 0
0,4999= 0

− O Milagre!:conexo por caminhos

Teorema(Gentil/15.08.2008). Se 0,9e um numero entao 1 = 0.

Gentil Lopes da Silva

Gentil Lopes da Silva 28 de agosto de 2009

Aos servos cabe mentir; aos livres, dizer a verdade. Apolonio.

- Vejam que eu nao me afadiguei so para mim; mas para todos aqueles que procuram a instrucao. Eclesiastico 3 : 18

As mais belas oracoes e os mais belos sacrifıcios agradam menos a Divindade que uma alma virtuosa que se esforca por assemelhar-se a Ela. Socrates.

A demonstracao e um ıdolo aos pes do qual os matematicos se torturam a eles proprios. Sir Arthur Eddington

Prefacio

Este livro pretende estabelecer uma ponte entre o aluno e textos outros, de leitura mais arida, por assim dizer.

Acreditamos - por varias razoes - que o aluno de matematica deva ter a sua disposicao mais que um livro da disciplina que esteja aprendendo. E dentro deste contexto que situa-se esta obra, ou seja: nela o aluno tera mais uma opcao para auxilia-lo no seu aprendizado.

Embora seja lugar-comum que figuras nao devam interferir na maior parte das demonstracoes da Analise − no que estamos de acordo − nao hesitamos em usa-las onde achamos que o entendimento do aluno poderia ser facilitado. Obviamente que o peso maior e dado a logica que e quem valida uma demonstracao. Por oportuno, se em Analise uma imagem nao vale mais que 1000 palavras; vale, pelo ao menos, umas 200.

Via de regra o que se faz em um prefacio e discorrer sobre o conteudo da obra. Nos dispensamos deste ofıcio em razao de que o leitor, se assim o desejar, pode apreciar o conteudo deste livro a partir do sumario, dado logo a seguir. Aproveito este prefacio para fazer algumas elucubracoes a respeito da Matematica em si, as quais julgo de alguma importancia.

Pensamos que uma razao apenas e suficiente para justificar o aprendizado da matematica, em um nıvel mais avancado: sua beleza intrınseca.

Um belo teorema matematico situa-se no mesmo nıvel de uma bela obra de arte.

A uma certa altura a Matematica confunde-se com a Arte

Assim como nao tem sentido chegar-se em frente a uma obra de arte e perguntar para o que ela serve, tao pouco faz sentido priorizar a aplicacao de um belo teorema.

Um outro sımile: nao se pergunta a um compositor para o que serve a sua musica.

Aos utilitaristas, diremos que a matematica serve para o deleite espiritual de quantos a cultivam seriamente. Frente a esta aplicacao as demais empalidecem.

Embora, devo confessar, mesmo sem colocar possıveis aplicacoes num primeiro plano, nao raro tenho tropecado nas mesmas.

Acreditamos que neste estagio de aprendizado o aluno deva desenvolver a percepcao (sensibilidade) para contemplar a beleza-arte da matematica. Nestas alturas, a meu ver, aplicacoes caem para um segundo ou terceiro plano − nao e o que deve interessar a um matematico puro, embora o seja a um “impuro”.

Este livro nao contem lista de exercıcios, por duas razoes. Primeira: no livro existem bastante exercıcios resolvidos (exemplos). Segunda: Por experiencia sabemos que o aluno que estuda, pela primeira vez, disciplinas como Analise e Topologia ainda nao tem maturidade suficiente para resolver exercıcios destas disciplinas. Por outro lado acreditamos que o aprendizado do aluno se processa como o aprendizado das criancas: por imitacao (observacao) dos “adultos”. Sendo assim o que temos feito, quando ministramos espacos metricos adotando este livro − e aqui vai uma sugestao aos professores que, por ventura, o adotarem − e sugerir aos alunos que estudem atentamente os exercıcios resolvidos (exemplos). Na avaliacao constam estes exercıcios ou ligeira variacao dos mesmos.

Percebi uma interessante analogia entre o Universo da musica e o Univeros da ciencia, a qual gostaria de compartilhar com o leitor: Sabe-se que na musica alguns nascem, ou melhor, tem o dom de interpretes (sao excelentes interpretes) mas nao sao compositores. E recıprocamente, outros ha que tem o dom da com- posicao mas nao o de interprete; ambos sao importantes para o universo musical.

Na Ciencia, em particular na Matematica, acontece algo semelhante: ha uma especie de genios que sao os interpretes, mas que nao compoem, isto e, nao produzem nada de significativo (estes sao a maioria) e ha “genios”, embora nao genios, os quais sao “compositores” na Ciencia. Estes “genios”embora, algumas vezes, nao sejam genios (na acepcao que se atribui a esta palavra)e desnecessario enfatizar que sao tao (ou mais) importantes que os genios.

Tenho por certo que Einstein, por exemplo, foi um “genio” embora nao tenha sido um genio∗.

Evidentemente que na Ciencia, como na musica, ha os que sao genios e ao mesmo tempo “genios”, como por exemplo: Newton, Poincare, Gauss, Euler, Gallois, etc.

Quanto a este ponto de vista, descobrir que nao estou so, vejam:

“...A seu modo, Glasshow pode ser um extravagante ‘revolucionario anarquista’, mas a forma pela qual chega as suas ideias fa-lo avancar constantemente com novos conceitos, muitos deles loucos e impossıveis, mas outros sao avancos genuınos em fısica. Certamente que conta com a ajuda de outros para separar as ideias mas, nao obstante possui um instinto criativo que muitos nao possuem. Em fısica teorica ser simplesmente brilhante nao e suficiente. Deve-se ser capaz de gerar novas ideias, algumas bizarras, que sao essenciais para o processo de descoberta cientıfica.” Do livro “Para Alem de Eintein” de Michio Kaku/Jennifer Trainer.

Da mesma forma digo que na matematica nao e suficiente ser brilhante: nao se deve olvidar o instinto criativo. Em resumo estou reinvidicando maior atencao aos “compositores” a exemplo do que tem ocorrido aos interpretes.

Este livro foi escrito usando o processador de texto LATEX2ε. Seremos gratos por crıticas e/ou sugestoes:

w.dmat.ufrr.br/∼gentil ∨ gentil.silva@gmail.com

Minha gratidao maior ao bom Deus, por ter me concedido gestar e dar a luz este trabalho. Isto e, assentar este tijolinho em sua magnanima obra.

Gentil Lopes da Silva.

Boa Vista − R, setembro de 2008.

∗Basta lembrar que Einstein foi reprovado nos exames de admissao a Escola Politecnica de

Zurich.

Ou entao, para se certificar de nossa afirmativa, leia o dialogo “sobre a natureza da verdade”, ocorrido em 1930 entre Einstein e o poeta indu Rabindranath Tagore. No nosso entendimento as concepcoes do poeta, no referido dialogo, foram geniais - ao contrario das de Einstein, algumas das quais ate pueris.

Foram feitas duas tentativas de publicacao do presente livro. Na primeira o submetir a editora aqui mesmo da universidade (ufrr), apos alguns meses conversei com o diretor da editora e numa conversa informal ele me disse que o livro havia sido submetido a dois especialistas da area (referees) e que ate aquele momento apenas um havia emitido seu parecer, por sinal favoravel, e que, ademais, a editora estava correndo atras de recursos.

Algum tempo depois a editora trocou de diretor e o novo me informou que a editora nao tinha recursos proprios e que dependia de captacao de recursos externos.

Desisti da empreitada e decidi enviar o livro a uma outra editora. Escolhi a editora da UNB (universidade de Brasılia). Aproximadamente um ano depois recebi uma carta com o parecer de um referee (arbitro).

O livro nao foi aceito para publicacao. Vou citar os topicos mais relevantes do parecer, tidos como prejudiciais a obra como um todo, e vou me permiti o direito de comenta-los (uma especie de replica):

Abrangencia:

O material abrange os topicos fundamentais que geralmente sao abordados num curso de um semestre dessa disciplina e inclui um (longo) capıtulo de “Pre- Requisitos”, este com cerca de 70 paginas; o autor explora com certo exagero, um grande numero de exemplos a cada conceito introduzido.

- Comentario: De fato, o longo capıtulo de pre-requisitos foi uma tentativa minha de tornar a obra auto-suficiente. Numerei-o como capıtulo 0 e o tenho como um capıtulo apenas de consulta (e referencias) tanto e que quando ministro essa disciplina inicio pelo capıtulo 1, de espacos metricos.

No meu entendimento um grande numero de exemplos so nao e bom para a editora∗ mas certamente e bom para os alunos.

Qualidade do Conteudo e Organizacao Logica:

Em diversos pontos do texto o autor mistura aspectos de seu proprio entendimento filosofico e religioso com a materia especıfica deste topico da matematica. Em outros, insere textos de palestras elementares, proferidas pelo mesmo em sua instituicao de origem, alem de tecer inumeros comentarios pouco apropriados e ate mesmo controversos;

- Comentario: A razao pela qual a maioria das obras didaticas de matematica sao replicas quase perfeitas umas das outras e que grande parte dos autores sao apenas interpretes na matematica, poucos sao os compositores. Na matematica me considero, alem de interprete, compositor; com efeito, o meu livro encontrase eivado de novidades, composicoes minhas. O fato de alguem conseguir unir matematica com filosofia e espiritualidade eu, sinceramente, nao vejo como um defeito, mas como uma excepcional qualidade. Digo espiritualidade e nao religiao, como o meu arbitro se refere acima, faco uma distincao entre ambas. No que diz respeito a mim, creio em Deus e em que a essencia do homem (como de resto de todos os seres vivos) e espiritual e nao material, nao obstante, nao possuo nenhuma religiao, muito pelo contrario, de uma dada perspectiva, sou contra as religioes instituıdas; portanto, reitero, aqui misturo topologia com filosofia, fısica quantica e espiritualidade (nao religiao). Ademais, e verdade que utilizo a matematica para perscrustar o universo da espiritualidade.

∗Pois o livro torna-se volumoso e, consequentemente, encarece os custos de producao.

Quanto a inserir textos de palestras “elementares”, de fato fiz uso da topologia dos espacos metricos para contribuir com uma questao bastante (ha seculos) controversa na matematica, qual seja: como se deve interpretar a igualdade:

0,9= 1

Leio no livro de um renomado matematico o seguinte:

“E, conquanto as ideias e o pensamento matematicos estejam em constante evolucao [...] a maioria dos problemas basicos fundamentais nunca desaparece.” (Gregory Chaitin/METAMAT!)

O meu arbitro nao atinou com este pequeno detalhe na matematica. Com efeito, o problema das representacoes decimais, como na igualdade acima, e um de tais problemas basicos fundamentais que tem dado dor de cabeca a muitos matematicos, inclusive no que diz respeito a interpretacoes equivocadas sobre as mesmas, como logramos demonstrar aqui. Por outro lado, e talvez mais importante ainda, muitas construcoes sofisticadas na matematica, a exemplo da curva de Peano, dependem de tais representacoes dos numeros reais. Por exemplo aqui - pelo fato de havermos desvendado esta “questao basica”- construimos uma versao mais simples da curva de Peano bem como obtivemos uma outra transformacao, inedita e tao esdruxula quanto a de Peano: construimos a “volta” da curva de Peano.

Quanto a “comentarios pouco apropriados” talvez o arbitro esteja se referindo ao fato de eu ter afirmado que ate hoje os matematicos claudicam (tropecam) no conceito de numero, em poucas palavras: muitos nao tem nitidez do que de fato seja um numero (tanto e que alguns o tomam como um “conceito primitivo”, o que nao acho necessario). Com efeito, faco esta afirmativa em um Resumo que encontra-se a partir da pagina 227, o leitor leia e julgue por si mesmo se tenho ou nao razao. Por sinal publiquei este artigo (“Palestra”) ha mais de ano em minha home-page e ha varios meses no site Somatematica e, ate hoje, nao recebi nenhuma contestacao; pelo contrario, recebi um email entusiasmado de um leitor me dando conta de que leu, entendeu e concorda com tudo o que escrevi sobre o tema.

Ademais, vejo uma incoerencia na afirmativa do referee: se discorro sobre um tema elementar (conteudo de minha Palestra - pg. 227) como posso fazer afirmativas controversas? Digo, ele, como arbitro, nao teria capacidade de decidir se o que falo tem ou nao fundamento? Em matematica, no que de fato e elementar, nao cabe controversias, do contrario nao seria elementar.

Continuando:

Quanto a abordagem dos conteudos de Espacos Metricos em sı, ha um exagero de exemplos seguindo cada conceito apresentado, em detrimento de um tratamento mais conciso dos pontos centrais do tema.

- Comentario: De fato, ele tem razao, exagerei no numero de exemplos.

Quando decidi escrever este livro um dos objetivos que mentalizei e que o mesmo servisse tambem ao estudante auto-didata; digo, aquele que, por ventura, decidisse estudar (sozinho) o assunto com antecedencia - para suavizar seu aprendizado a posteriori (digo, com o professor), daı eu ter exagerado no numero de exemplos.

Outros Aspectos Negativos:

1. O autor apresenta todo um capıtulo, com cerca de 70 paginas, a tıtulo de “Pre-Requisitos”, em que sao incluıdos topicos de Logica, Teoria dos Conjuntos,

Calculo, Analise e Algebra Linear. Com todos esses pre-requisitos, causa estranheza a afirmacao do autor: “...Por experiencia sabemos que o aluno que estuda, pela primeira vez, disciplinas como Analise e Topologia ainda nao tem maturidade suficiente para resolver exercıcios destas disciplinas...”(cf. Prefacio).

- Comentario: Esqueci de dizer que escrevi este Capıtulo 0 apenas para eventuais consultas e referencias, tanto e que ja inicio a materia pelo Capıtulo 1; com isso creio que continua sendo verdadeiro o que afirmo a respeito da imaturidade dos alunos em resolver questoes de demonstracoes (prove que, mostre que, etc.); tambem por isso exagero no numero de exercıcios resolvidos (exemplos) e peco apenas que os alunos os estudem atentamente procurando entende-los 100%, creio que por essa via o aprendizado possa ocorrer sem grandes traumas - como ocorre amiude. 2. No contexto do tema, o autor explora conceitos tais como “Topologia Quantica” e “Propriedades Topologicas” sem sequer introduzir o conceito geral de “Espaco Topologico”.

- Comentario: Este “aspecto negativo” assinalado pelo referee nao procede. De fato, podemos falar de “Propriedades Topologicas” apenas dentro do contexto dos espacos metricos, sem necessidade de adentrarmos no conceito geral de “Espaco Topologico”, tanto isso e verdade que e assim mesmo que procede o Prof. Elon Lages em seu livro [5] (pg. 38); o mesmo se da no que diz respeito a “Topologia Quantica”, por sinal esse conceito foi criado por mim mesmo - me sinto muito a vontade para falar sobre o mesmo.

Senhor referee, desta forma o senhor perde credibilidade! 3. Por fim, cabe observar que o autor utiliza cerca de 600 paginas, usando fonte pequena e um numero excessivo de figuras, para explorar assuntos que usualmente podem ser adequadamente abordados num texto de 250 a 300 paginas.

- Comentario: Quando escrevo um livro confesso que a minha maior preocupacao nao e com o numero de paginas, mas sim em torna-lo didatico, pensando em um aluno auto-didata ate.

Por exemplo, quanto as demonstracoes matematicas, existem autores que preferem as mais curtas e elegantes, esquecendo que a demonstracao mais curta nem sempre e a mais didatica e compreensıvel ao aluno. Ademais, uma demonstracao compacta nao raro esconde (camufla) a interrelacao dos conceitos envolvidos, muitas vezes nao mostra como as ideias estao interconectadas (imbrincadas); assim e que, por exemplo, uma demonstracao de apenas tres linhas em livros congeneres, aqui deliberadamente a fazemos ate em uma pagina inteira - dando enfase a articulacao dos conceitos envolvidos;

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