Funções racionais

Funções racionais

Funcoes racionais

Allan Kenedy 2 de abril de 2016

Resumo

Este texto objetiva apresentar de forma introdutoria o estudo, do ponto de vista do Calculo Diferencial e Integral, das funcoes racionais, que sao funcoes r : U ⊂ R → R em que r(x) = P(x)/Q(x), onde P(x) e Q(x) sao polinomios de coeficientes reais.

Provaremos um teorema devido a Laplace que afirma que o integral ∫ P(x)/Q(x)dx pode ser escrito por uma soma finita de funcoes elementares, e estas podem ser efetivamente calculadas. Palavras-chave: Funcao racional. Fracao elementar. Integracao.

Sumario 1 Introducao 1

2.1 Integracao de fracoes elementares3
2.1.1 Tipo 14
2.1.2 Tipo 24
2.1.3 Tipo 34
2.1.4 Tipo 45

2 Fracoes elementares 3 3 Decomposicao de funcoes racionais em fracoes elementares 6

4.1 Exemplo10

4 Integracao de funcoes racionais 10

5.1 Exemplo14
5.2 Vantagens e desvantagens16

5 Metodo de Ostrogradsky 12

1 Introducao

O Teorema Fundamental do Calculo afirma que dada uma funcao f : [a,b] → R contınua e integravel e a funcao F : [a,b] → R definida por

Os livros de Calculo enfatizam o processo de achar as primitivas de varios tipos de funcoes e expressa-las como combinacao finita de funcoes elementares.

Uma funcao e dita elementar se puder se escrita por uma quantidade finita de adicoes, subtracoes, multiplicacoes, divisoes, potenciacoes, radiciacoes e composicoes das funcoes polinomiais, trigonometricas (todas as 24), exponenciais e logarıtmicas.

O problema e que para alguns tipos de funcoes simplesmente nao conseguimos achar as primitivas; sempre que tentamos usar as tecnicas de integracao, continuamos obtendo funcoes para integrar. Por exemplo:

x , sinx x , lnx

,

As primitivas destas funcoes so podem ser expressas por somas infinitas (series), mas, como saber se uma primitiva pode ser efetivamente calculada e se pode ser expressa usando uma quantidade limitada de operacoes e funcoes?

O matematico frances Joseph Liouville (1809-1892), numa serie de artigos publicados entre 1833 e 1841 respondeu a pergunta acima, criando uma nova area de pesquisa em Matematica. Seus resultados podem ser enunciados no seguinte teorema:

Teorema 1 (Liouville, 1834) Se y e uma funcao algebrica na variavel x e ∫ ydx e

elementar, entao existem constantes k1, k2,, kn e funcoes algebricas t(x), u1(x), ...,

A demonstracao de uma versao mais geral pode ser vista em [5]. Mas o que sao “Funcoes algebricas”?

Definicao 1 Uma funcao y = f(x) diz-se algebrica se satisfaz uma equacao da forma

para certos polinomios p0(x),, pn(x) nao todos nulos, e para todo x no domınio de f.

Ja as funcoes trigonometricas (todas as 24), exponenciais e logarıtmicas sao transcendentes (demonstracao em [3]).

O problema de como achar as constantes k1, k2,, kn e as funcoes t(x), u1(x), ...,

un(x) foi resolvido em 1968 pelo matematico estadunidense Robert Risch (1939-) em sua tese de doutorado The problem of integration in finite terms.

O objetivo deste texto e mostrar que∫ P(x)

e elementar.

2 Fracoes elementares

Definicao 2 Uma funcao racional e uma funcao r : U ⊂ R → R cuja lei de formacao e a fracao entre dois polinomios

Neste texto consideraremos apenas polinomios de coeficientes reais. Definicao 3 Chamam-se fracoes elementares as fracoes do tipo

2.1 Integracao de fracoes elementares Vamos relembrar as tecnicas de integracao.

Integracao por partes:∫

escrito de outra forma: ∫

Decorre mediatamente da regra da substituicao, fazendo u = x − a, du = dx:∫ A

∫ du

Seja calcular ∫ Ax+B

Note que

Fazendo a mudanca de variaveis u = x + p/2, du = dx e notando que x = u − p/2

)du

∫ udu

∫ dv udu

No 2o integral: ∫ du k arctan u arctan

∫ du

∫ udu

∫ dv udu

Pra calcular o 2o integral fazemos o seguinte:

∫ du

∫ du vk dv

Integrando por partes:∫ u

Substituindo os resultados obtidos em (17) teremos

Ik = u

termos de Ik−2, que eem termos de I1.

Com esta formula recursiva calculamos Ik em termos de Ik−1, que e calculado em

∫ du m arctan u

Substituindo u e m pelas suas respectivas expressoes en funcao de x, obtem-se a expressao do integral do tipo 4 em termos de x, A, B, p e q.

3 Decomposicao de funcoes racionais em fracoes elementares

Demonstracao: Veja [2].

Demonstracao: Do teorema acima

De fato, fazendo a divisao entre P(x) e x − a obtemos

Teorema 3 (Teorema da decomposicao) Todo polinomio P(x) com ∂(P(x)) = n ≥ 1 pode ser decomposto em n fatores do 1o grau, isto e,

Demonstracao: Veja [2].

Teorema 4 (raızes complexas) Se z = α + βi e raiz de P(x) de coeficientes reais, entao z = α − βi e raiz de P(x).

Demonstracao: Veja [2].

i = 1,, l, de multiplicidades n1, . . . , nl, respectivamente.1

irredutıveis e R, isto e, nao podem ser decompostos como produto de dois polinomios de grau ≥ 1. A igualdade (20) e a decomposicao de P(x) em polinomios irredutıveis.

Lema 1 Seja x = a uma raiz de multiplicidade k do denominador da fracao regular

Demonstracao: Escrevamos a identidade

e determinemos A de modo que P(x) − AQ1(x) e divisıvel por x − a. Para isto basta, pelo teorema de D’Alembert, que

Para este valor de A temos

Demonstracao: Escrevamos a identidade

Determinemos M e N de modo que P(x)−(Mx+N)Q1(x) seja divisıvel por x2+px+q. Para isto basta que a equacao

Q1(α + βi) e um numero complexo bem determinado (pode ser calculado):

Obtemos desta forma o sistema{ Mα+N =K que resolvido

β e N = Kβ −Lα

Escolhendo M e N dessa maneira o polinomio P(x) − (Mx + N)Q1(x) tera raiz α + βi. Como ele tem coeficientes reais, α − βi tambem e raiz desse polinomio. Assim,

Teorema 5 (Laplace, 1812) Toda fracao de polinomios pode ser decomposta numa soma finita de um polinomio por fracoes elementares dos tipos 1, 2, 3 e 4.

Demonstracao:

Seja P(x)/Q(x) uma fracao de polinomios. Suponha sem perda de generalidade que Q(x) seja monico (o coeficiente do termo de maior grau e 1). Assim a decomposicao de Q(x) em polinomios irredutıveis.

em que r(x)/Q(x) e regular. Aplicando o lema 1 a esta fracao temos:

o lema1 a fracao da direita temos

Aplicando sucessivamente o lema 1 obtemos:

x−xk

2O ındice sobrescrito e igual ao ındice da raiz.

x−xk

Em notacao de somatorio:

4 Integracao de funcoes racionais

Corolario 2 (do teorema 5) Toda fracao P(x)/Q(x) possui primitiva elementar e esta pode ser escrita como soma finita de funcoes elementares.

De fato, aplicando os resultados da secao 2.1:∫ P(x)

onde os somatorios possuem finitas parcelas.

Observacao: Para calcular a primitiva de uma funcao racional e necessario saber a decomposicao do denominador em polinomios irredutıveis.

4.1 Exemplo

Para determinar os outros coeficientes desenvolvemos os produtos acima e simplificamos, obtendo:

Resolvendo encontramos

∫ dx

O 2o integral e do tipo 1, logo:∫ dx

∫ udu

∫ du

Usando a formula (18) para calcular o 2o integral temos:∫ du

∫ du

Os Sistemas de Computacao Algebrica (SAC ou CAS – Computer Algebra System) podem calcular rapidamente primitivas de varios tipos de funcoes. O programa Geogebra 5.0 e um exemplo deles. Inserindo a entrada

(x4+4x3+11x2+12x+8)/((x2+2x+3)^2*(x+1)) na janela CAS e clicando no botao Integral, ele nos da

que e o resultado o qual chegamos.

5 Metodo de Ostrogradsky

O um outro metodo para resolver integrais de funcoes racionais foi desenvolvido pelo matematico russo M. Ostrogradsky (1801-1861). O metodo consiste em dividir o integral∫ P(x)/Q(x)dx como soma de uma fracao polinomial e um integral cujo integrando pode ser decomposto em fracoes elementares dos tipos 1 e 3, que sao mais faceis de integrar. Seja integrar a fracao regular P(x)/Q(x), em que

1. O integral duma fracao do tipo A

(x − a)k e uma fracao do tipo A′

2. O integral duma fracao do tipo Mx+N

(x2 + px + q)l e uma soma de fracoes do tipo

Focamos nas integracoes das fracoes dos tipos 2 e 4. Somando esses integrais obtemos uma fracao do tipo Y (x)/R(x), onde

Somando os integrais de todas as fracoes dos tipos 1 e 3 (aquelas que deixamos de lado) obtemos um integral de uma fracao X(x)/S(x), onde

Obtemos assim uma expressao da forma∫ P(x)

Derivando ambos os membros de (35) teremos:

S ou

Mostremos que o 2o membro de (36) e um polinomio. Como Q = RS:

Mostremos que SY ′R/R2 e um polinomio. Vamos mostrar que SR′ e divisıvel por R. Notemos que

x−xk

O polinomio S e o denominador comum de todas as fracoes acima. O numerador tem grau inferior ao de S. Designemo-lo por T. Assim,

e entao SR′

Desta forma SY R′

Igualando os coeficientes de ambos os membros de (37) obtemos um sistema de equacoes de onde determinamos os polinomios X(x) e Y (x). Roteiro:

1. Encontramos os polinomios R e S e escrevemos o integral como em (35);

2. Em seguida derivamos ambos os membros dessa expressao e calculamos os polinomios X e Y ;

3. Por fim integramos a fracao X/S.

5.1 Exemplo

que vamos designar por I.

Derivando ambos os membros temos:

Resolvendo encontramos

Assim:

Para o integral do 2o membro dividimos em fracoes parciais.

Montando o sistema e resolvendo encontramos

∫ dx

5.2 Vantagens e desvantagens Vantagens:

• Nao necessita decompor a fracao em fracoes elementares;

• Facilita o calculo de integrais quando os denominadores possuem raızes multiplas (experimente).

Desvantagens:

• E necessario resolver 2 sistemas de equacoes: um para calcular os polinomios X e

Y – que e um calculo tedioso – e o outro (se houver) para decompor X(x)/S(x) em fracoes elementares – que e um calculo relativamente facil;

• So pode ser aplicado em fracoes cujo denominador possui raızes multiplas.

Referencias

[1] FILHO, Daniel C. de Morais. O problema da integracao em termos finitos.

Matematica Universitaria, Rio de Janeiro, n. 31, p. 143-161, dez. 2001. Disponıvel em: http://rmu.sbm.org.br/Conteudo/n31/n31_Artigo05.pdf. Acesso em: 15 abr. 2016.

[2] IEZZI, Gelson. Fundamentos de matematica elementar: complexos, polinomios, equacoes. 2 ed. Sao Paulo, Atual, 1977. v. 6.

[3] MAMEDE, Ricardo. Funcoes sem primitiva elementar. Disponıvel em:

http://www.mat.uc.pt/~mamede/Artigos/integracao.pdf Acesso em: 15 abr. 2016.

[4] PISKOUNOV, N. Calculo diferencial e integral. Traducao de Antonio Eduardo

Pereira Teixeira e Maria Jose Pereira Teixeira. 18 ed. Porto: Edicoes Lopes da Silva, 2000. v. 1.

[5] RAMPANELLI, Debora. O Teorema de Liouville sobre Integrais

Elementares. 2009. 16f. Dissertacao (Mestrado em Matematica) – Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada. Rio de Janeiro, 2009. Disponıvel em: http://preprint.impa.br/FullText/Rampanelli__Tue_Dec_15_15_27_56_ BRDT_2009/tese10.pdf. Acesso em: 16 abr. 2016.

[6] WIKIPEDIA. Joseph Liouville. Disponıvel em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville. Acesso em: 15 abr. 2016.

[7] WIKIPEDIA. Robert Risch. Disponıvel em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Risch. Acesso em: 15 abr. 2016.

[8] WIKIPEDIA. Sistema algebrico computacional. Disponıvel em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_alg%C3%A9brico_computacional. Acesso em: 18 abr. 2016.

Comentários