Números complexos

Números complexos

(Parte 1 de 2)

Numeros complexos

Sumario 1 Introducao 3

2.1 Operacoes8
2.1.1 Adicao e multiplicacao8
2.1.2 Subtracao e divisao10
3.1 R como subconjunto de C1
3.2 Unidade imaginaria12
3.3 Conjugado de z13
3.4 Divisao14
3.5 Modulo de um numero complexo14
4.1.1 Multiplcacao18
4.1.2 Divisao18
4.1.3 Potenciacao19
4.1.4 Radiciacao20

4 A forma trigonometrica ou polar 17 4.1 Operacoes com numeros complexos na forma trigonometrica . 18

5.1 Geometria24
5.1.1 Rotacao em torno de um ponto24
5.1.2 Equacao da circunferencia26
5.1.3 Elipse e hiperbole27
5.2 Engenharia Eletrica27

5 Algumas aplicacoes 24 1

7.1 Relacao com a funcao exponencial (relacao de Euler)3

1 Introducao

Quando encontramos o valor ∆ = b2 − 4ac < 0 da equacao ax2 + bx + c = 0 dizemos que a equacao nao possui solucao (real). E foi assim por muito tempo, pois os matematicos nao admitiam a existencia de numeros negativos tampouco as suas raızes quadradas (pois nao existe numero real que multiplicado por ele mesmo resulte num numero negativo1).

Apesar de encontrarmos mencoes a uma raiz quadrada de numero negativo em autores da Antiguidade, como √81 − 144, que aparece numa obra de Heron de Alexandria, ou √1849 − 2016, que aparece na tentativa de Diofanto de resolver a equacao 336x2 + 24 = 172x, foi na Italia, durante o Renascimento, que tais raızes comecaram a aparecer sistematicamente.

Scipione Del Ferro foi o primeiro matematico a encontrar um metodo para resolver equacoes do 3o grau das formas x3 + px = q e x3 = px + q.

Sem saber do trabalho de Ferro, Tartaglia descobriu um metodo geral para resolver equacoes cubicas. Isto consistia no seguinte processo: A equacao do 3o grau e equivalente a a x+ d

Fazendo a mudanca de variaveis x = y − b 3a , temos:

Desenvolvendo a expressao e fazendo A = b a e C = d a encontra- mos:

e a equacao completa se reduz a uma do tipo

Portanto, se conseguirmos achar numeros u e v tais que{ u3 +v3 = −q

, ou seja,

entao y = u + v sera raiz da equacao y3 + py + q = 0. A ideia e encontrar dois numeros u3 e v3 sendo conhecidas sua soma −q e seu produto −p3

27 . Isto equivale a resolver a equacao

Resolvendo encontramos

Assim:

e usando a mudanca de variaveis x = y − b 3a obtemos a primeira raiz da

A formula obtida anteriormente (chamada de formula de Tartaglia ou formula de Tartaglia-Cardano) possui algumas inconveniencias. Destaquemos duas:

• As vezes fornece raızes racionais “escondidas”;

enquanto que as outras duas raızes correspondem a quantidades “impossıveis”.

Mas 4 e raiz da equacao acima. Logo3 √

• Os casos irredutıveis. Na equacao x3 − 6x − 4 = 0 encontramos

“impossıvel” tem que ser igual a uma das raızes reais da equacao. Para Cardano isso “e tao sutil quanto inutil”. Pode-se provar que a

Rafael Bombelli estudou profundamente o trabalho de Cardano (a formula de Tartaglia foi publicada por Cardano no livro Ars Magna), principalmente os casos irredutıveis das equacoes cubicas. Foi o primeiro matematico a defi- nir as regras de adicao e multiplicacao, escrevendo que (√−n )2 = −n. Com suas regras a formula de Tartaglia-Cardano funcionava perfeitamente em qualquer caso. Foi o primeiro a dar alguma importancia a essas quantidades.

Coube ao matematico suıco Leonhard Euler definir √−1 como sendo i, de forma que i2 = −1. Essa notacao foi depois usada pelo alemao Gauss, e, dada sua autoridade, essa notacao acabou tornando-se padrao.

A grande obra a favor dos “numeros complexos” (termo criado por Gauss) apareceu em 1831. Nesse trabalho, Gauss apresentou uma detalhada explicacao de como os numeros complexos poderiam ser desenvolvidos segundo uma teoria exata, baseada na representacao geometrica deles.

Finalmente, em 1837, Hamilton galgou o ultimo degrau dessas descobertas reconhecendo os numeros complexos como um par de numeros reais (a,b) e reescrevendo as definicoes geometricas de Gauss na forma algebrica.

Escrevendo os numeros complexos na forma a+b√−1 (como, por exemplo, Euler escrevia) e usando as regras de Bombelli temos:

• Igualdade:

• Adicao: (

• Multiplicacao:(

Bombelli postulou que no conjunto dos numeros complexos sao validas as propriedades comutativa, associativa e distributiva.

Teorema 1 O conjunto dos numeros complexos nao e ordenado.

Demonstracao:

Se √−1 nao pertence a reta real, entao esta fora dela. Logo √−1 esta em algum lugar num plano que contem a reta real. Assim a cada complexo z = a + b√−1 associamos um ponto P(a,b) no plano R2.

Figura 2: Plano de Argand-Gauss

O plano cartesiano no qual estao representados os numeros complexos e denominado plano complexo ou plano de Argand-Gauss.

Desse modo podemos associar a cada complexo um vetor. Por exemplo, na adicao podemos usar a regra do paralelogramo ou a regra do polıgono.

Figura 3: Somando numeros complexos por meio da regra do paralelogramo O eixo das abscissas e o eixo real (a reta R) e e representado por Re(z) ou por x e o eixo das ordenadas e o eixo imaginario e e representado por Im(z) ou por y.

Baseado na representacao geometrica dos numeros complexos, Hamilton, em 1837, definiu esses numeros como sendo um par ordenado de numeros reais, isto e, C = R2, em que estao definidas:

2.1 Operacoes 2.1.1 Adicao e multiplicacao

As propriedades da adicao e da multiplicacao sao apresentadas no teorema seguinte.

Teorema 2 O conjunto C e um corpo.

Demonstracao: Propriedades da adicao:

• Comutativa

• Associativa

• Elemento neutro O numero (0,0) (e indicado por 0) e o elemento neutro da adicao, pois

Propriedades da multiplicacao • Comutativa

• Associativa

• Elemento neutro O elemento neutro da multiplicacao e (1,0) (e indicado por 1), pois

que resolvendo encontramos x = a

Suponhamos que b 6= 0 e que d 6= 0 (os outros casos sao tratados de forma analoga). Entao ac = bd ⇒ a b = c

2.1.2 Subtracao e divisao

Definicao 1 (Subtracao) Dados dois numeros complexos z = (a,b) e w = (c,d), a diferenca entre z e w e definida por

( ac + bd

Como C e um corpo (teorema 2), estas operacoes estao bem definidas.

3 A forma algebrica

3.1 R como subconjunto de C

Consideremos agora a funcao f : R → R que leva cada x ∈ R ao par (x,0) ∈ R. Primeiramente notemos que f e bijetora, pois:

1. Todo par (x,0) ∈ R e o correspondente, segundo f, de x em R (isto quer dizer que f e sobrejetora);

Em segundo lugar, notemos que f conserva as operacoes de adicao e multiplicacao e elemento neutro da multiplicacao, pois:

Devido ao fato de existir uma funcao bijetora f : R → R que conserva as operacoes de adicao e multiplicacao, dizemos que R e R sao isomorfos, isto e, possuem estruturas algebricas iguais e escrevemos R ' R.

Devido ao isomorfismo, operar com (x,0) leva a resultados analogos aos obtidos operando com x; temos assim a identidade que usaremos daqui por diante.

Aceita esta identidade, temos em particular que 0 ≡ (0,0) e 1 ≡ (1,0) e como R e R possuem a mesma estrutura algebrica, podemos considera-los iguais. Assim, R passa a ser um subcorpo de C. Em suma:

3.2 Unidade imaginaria

Definicao 3 Chamamos unidade imaginaria e indicamos por i o numero complexo (0,1).

Um numero complexo qualquer z = (a,b) pode ser escrito da seguinte maneira:

Essa e a forma algebrica de um numero complexo. Observamos que um numero complexo e composto de duas partes:

z = a︸︷︷︸ parte real + bi︸︷︷︸ parte imaginaria

A parte real e indicada como Re(z) = a e a parte imaginaria e indicada como Im(z) = b.

A forma algebrica a+bi e muito mais pratica que o par ordenado (a,b) na representacao dos numeros complexos, uma vez que ela facilita as operacoes. Observe:

• Multiplicacao:

3.3 Conjugado de z

Demonstracao:

Demonstracao:

3.4 Divisao

( ac + bd

= ac + bd

ac + adi − bci − bdi2 z · z Assim para fazer a divisao entre w e z multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Desse modo obtemos um numero complexo na forma algebrica.

3.5 Modulo de um numero complexo

Geometricamente, o modulo de um numero complexo e definido como a distancia do afixo de z (afixo e o ponto do plano complexo associado ao numero z) a origem do sistema de coordenadas.

Figura 4: Modulo de um numero complexo

Usando o teorema de Pitagoras encontramos:

Demonstracao: Para z = a + bi:

4 A forma trigonometrica ou polar

Sabemos que um numero complexo z = a + bi e representado por um ponto do plano, de coordenadas (a,b). Essas sao as coordenadas cartesianas do ponto z. Veremos agora esse mesmo ponto em coordenadas polares.

Figura 5: Coordenadas polares de z

1. O modulo do vetor −→ Oz, indicado por |z| ou por ρ, representando a distancia do ponto z a origem do plano;

Re(z). Esse angulo θ e chamado de argumento de z e indicado por arg(z).

Observando a figura anterior vemos que cosθ = a

Essas igualdades levam a b = |z|senθ Substituindo esses valores em z = a + bi temos:

4.1 Operacoes com numeros complexos na forma trigonometrica

4.1.1 Multiplcacao Consideremos os numeros complexos

4.1.2 Divisao

A razao entre z1 e z2 e:

temos portanto

Definicao 5 Dados z ∈ C e n ∈ Z, a potencia de base z e expoente n e o numero zn tal que

Demonstracao:

Provemos que a propriedade e valida para n ∈ N, usando o princıpio da inducao finita.

• Se n = 0, entao

• Admitamos a validade da formula para n − 1 e provemos para n:

Provemos agora a propriedade para n < 0.

Definicao 6 A raiz n-esima de z ∈ C e indicado por n√ z e o numero com- plexo w tal que wn = z.

Para demonstrar o teorema seguinte precisamos do seguinte resultado da teoria dos numeros.

Demonstracao: Veja (4).

Teorema 9 (2a formula de De Moivre) Dados o numero complexo z = |z|(cosθ + isenθ) e o numero inteiro n > 0, existem n raızes n-esimas distintas de z da forma

Demonstracao:

Determinemos os complexos zk tais que znk = z. Se zk = r(cosφ + isenφ), entao:

Portanto e necessario:

e cos(nφ) = cosθ

Dois angulos sao ditos congruentes se a diferenca entre eles e um multiplo de 2pi. Dada uma raiz zk, se zk = zk′, entao

que φ ≡ φ′. Ou seja, para determinar uma raiz n-esima zk de z e suficiente tomar k entre 0 e n − 1. Dessa forma z tem no maximo n raızes n-esimas.

assim φ1 nao e congruente a φ2, o que implica zk1 6= zk2, uma contradicao.

Interpretacao geometrica: os afixos dos zk sao vertices do polıgono regular de n (n ≥ 3) lados inscrito na circunferencia de centro na origem e raio n√|z|.

em 3 partes iguais. Esses afixos sao os vertices de um triangulo equilatero.

Exemplo: Dado a ∈ R, fatore o polinomio x4 + a4 como produto de polinomios com coeficientes reais.

Solucao: Para resolvermos este problema precisamos dos seguintes teoremas e notacoes:

Teorema 10 (Teorema fundamental da algebra) Seja p(x) um polinomio de coeficientes complexos, com grau(p(x)) ≥ 1. Entao existe α ∈ C tal que p(α) = 0.

Corolario 3 (Teorema da decomposicao) Todo polinomio p(x) com grau(p(x)) = n ≥ 1 pode ser decomposto em n fatores do 1o grau, isto e,

Demonstracao:

Assim:

Poderıamos ter calculado as raızes usando a geometria. Vemos que os afixos de ωk sao os vertices de um quadrado inscrito na circunferencia de raio 1 (veja a figura 7).

De acordo com o teorema da decomposicao temos que

Notemos que se z = a + bi, entao

Outra maneira (muuuuuuuuito mais simples) de resolver o problema consiste em observar que

5 Algumas aplicacoes

5.1 Geometria 5.1.1 Rotacao em torno de um ponto

Para rotacionar um ponto (a,b) em torno da origem um angulo α no sentido anti-horario, basta multiplicar o complexo a+bi pelo numero cosα+ isenα, pois a distancia do novo ponto a origem (modulo) sera a mesma e o angulo entre o segmento OP′ e o eixo x medido no sentido anti-horario sera θ + α (figura 8). De fato

Para rotacionar o ponto B(xB,yB) em torno do ponto A(xA,yA) no sentido anti-horario um angulo α, devemos primeiro fazer uma transformacao de coordenadas de forma que as coordenadas de A sejam (0,0) (ver figura 9). Assim x′B = xB − xA e y′B = yB − yA Logo, as coordenadas de B no sistema x′Ay′ serao:

Figura 8: Rotacao do ponto P em torno da origem um angulo α

Figura 9: Rotacao do ponto B em torno do ponto A um angulo α

Teremos que rotacionar o ponto (x′B,y′B) α graus (ou radianos) em torno da origem A.

Voltando ao sistema xOy obtemos:

5.1.2 Equacao da circunferencia

Figura 10: Circunferencia no plano cartesiano

Chamando de z0 o complexo cujo afixo e o ponto C, a equacao da circunferencia no plano de Argand-Gauss sera:

5.1.3 Elipse e hiperbole Usando as definicoes de elipse e de hiperbole obtemos:

onde k e uma constante.

5.2 Engenharia Eletrica

Em estudos de corrente alternada, grandezas como tensao, corrente eletrica e impedancia sao representados por numeros complexos. Os valores de tensao e corrente, por exemplo, variam de forma senoidal:

onde VP e IP sao os valores de pico da tensao e da corrente, respectivamente, t e o tempo, ω e a frequencia angular e φ0 e a fase (inicial). Estas grandezas podem ser representadas por fasores, que sao vetores que representam essa variacao senoidal.

Figura 1: Diagrama fasorial 27

Na figura 1, VRMS e o valor eficaz de tensao e e definido por

Na Engenharia Eletrica e usada a notacao

V = VRMS∠φ0 Escrevendo como numero complexo:

A impedancia e um numero complexo que representa a resistencia eletrica de um dispositivo quando ocorre a passagem de corrente alternada. Ela e a razao entre a tensao e a corrente.

Se V = VRMS∠φV e I = IRMS∠φI, entao

6 Forma matricial

Consideremos o conjunto M2×2 das matrizes quadradas de ordem 2. Consideremos agora o subconjunto M′ ⊂ M2×2 definido por

Consideremos agora a aplicacao

E facil verificar que f e bijetora. 28

Observe que f conserva as operacoes de adicao e multiplicacao e elemento neutro para a multiplicacao, pois:

Devido ao fato de existir uma aplicacao bijetora f : R → M′ que conserva as operacoes de adicao e multiplicacao e elemento neutro da multiplicacao, dizemos que R e M′ sao isomorfos.

Devido ao isomorfismo, operar com

) leva a resultados analogos aos obtidos operando com x; isto justifica a identidade

A unidade imaginaria passa a ser definida por ( 0 −1

Feito isto teremos:

b a

Esta definicao satisfaz a proposta por Hamilton. O modulo de z e definido por

b a

Com a forma matricial, para fazer a rotacao de um ponto B em torno de ponto A um angulo α no sentido anti-horario usamos a formula

em que R = senα cosα

) e a matriz de rotacao.

Para fazermos a translacao de B para B′ usamos a matriz T =

Ty Tx

Para escalar (em relacao a origem) usamos a matriz B′ =

( Exx −Eyy

Eyy Exx

Ex e o fator de escala na direcao x e Ey e o fator de escala na direcao y.

b a

) , a propriedade comutativa da multiplicacao continua valida, assim nao importa a ordem das operacoes de rotacao, escala e translacao.

Normalmente sao utilizadas coordenadas homogeneas para fazer essas transformacoes, pois so utilizam multiplicacoes de matrizes. Assim, por exemplo, para rotacionar, escalar e transladar, nessa ordem, um ponto P, obtem-se o ponto P′ fazendo as seguintes multiplicacoes:

. Para escalar e transladar P, nessa ordem, temos que

P′ = TEP. Resumindo: basta multiplicar o ponto pela sequencia inversa das transformacoes que afetarao o ponto.

7 Funcao de Euler

Figura 12: Funcao de Euler comprimento t, sempre percorrendo C no sentido positivo (anti-horario). A extremidade final deste arco e o ponto E(t). Se for t < 0, E(t) sera a extremidade final de um arco de comprimento −t, medido a partir do ponto U(1,0), no sentido negativo (horario) de C.

Observe que, como o comprimento de C e igual a 2pi, se tivermos t > 2pi ou t < −2pi, para descrevermos um arco de comprimento |t| a partir do ponto U teremos de dar mais de uma volta ao longo de C. Em particular, se t = 2kpi, com k ∈ Z, temos E(2kpi) = U. Mais geralmente, para qualquer t ∈ R, vale E(t + 2kpi) = E(t), com k ∈ Z.

Observe que E(t) = (cosα,senα). Dado um angulo α, se descrevermos uma circunferencia de raio 1 tendo como centro o vertice de α e chamarmos de t o comprimento do arco que os lados de α subentendem nessa circunferencia, o numero t chama-se a medida de α em radianos.

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