Fundamentos de Matematica Elementar Vol 10 Geometria Espacial

Fundamentos de Matematica Elementar Vol 10 Geometria Espacial

(Parte 1 de 4)

Fundamentos de Matematica Elementar

Osvaldo Dolce Jose Nicolau 'Pompeo

· geometria espacial ,. pOSI~ao e metrlca .

MATEMATICA 10

116 exercfcios resolvidos 1128 exercfcios propostos com resposta

273 testes de vestibulares com resposta edi9ao 6reimpressao

AAru\l. ~EDrrORA

CAPiTULO I -INTRODU{:AO
I. Conceitos primitivos e postulados1
I. de plano4
I. das retas8
IV. de pIanosI
CAPiTULO n -P ARALELISMO17
I. Paralelismo de retas17
I. Paralelismo entre retas e pIanos19
I. relativas de uma reta e urn plano21
IV. Duas retas reversas23
V. Paralelismo entre pIanos25
VI. relativas de dois pianos27
VII. Tres retas revers as duas a duas29
VIII. Angulo de duas retas -Retas ortogonais31
CAPiTULO I -PERPENDICULARIDADE35
I. Reta e plano perpencliculares35
I. PIanos perpendiculares48
CAPiTULO IV -APLlCA{:OES52
I. ortogonal sobre urn plano52
urn ponto56
I. DisHincias geometricas59
IV. Angulo de uma reta com urn plano68
V. Reta de maior. d:cliye de urn plano em a outro69
VI. Lugares geometncos71

SUDlario I. Segmento perpenclicular e segmentos obliquos a urn plano por Leitura: Tales, Pitagoras e a geometria demonstrativa ............. 78

I. Definicoes80
I. Seccoes82
I. Diedros congruentes -Bissetor -Medida84

CAPITULO V -DIEDROS ............................................. 80 IV. Sec90es igualmente inclinadas -Congruencia de diedros. 93

CAPITULO VI -TRIEDROS101
I. Conceitos e elementos101
I. ReIacoes entre as faces102
I. Congruencia de triedros106
IV. Triedros pol ares ou suplementares107
V. Criterios ou casos de congruencia entre triedros113
VI. Angulos poliedricos convexos119
CAPiTULO VII -POLIEDROS CONVEXOS123
I. Poliedros convexos123
I. Poliedros de Platiio130
I. Poliedros regulares132
CAPiTULO VIII -PRISMA137
I. Prisma ilimitado137
I. Prisma139
I. ParaleIepipedos e romboedros143
IV. Diagonal e area do cuba145
V. Diagonal e area do paralelepipedo retangulo146
VI. Raziio entre paraleIepipedos retangulos151
VII. Volume de urn solido153
VIII. Volume do paralelepipedo retangulo e do cuba153
IX. Area lateral e area total do prisma162
X. Principio de Cavalieri164
XI. Volume do prism a166
XII. Sec90es planas do cuba176
XIII. Problemas gerais sobre prismas180
Leitura: Cavalieri e os indivisiveis183
CAPiTULO IX -PlKAMmE185
I. Piramide ilimitada185
I. Piramide186
I. Volume da piramide189

IV. Area lateral e area total da piramide ........................... 194

CAPiTULO X -CILINDRO ........................................... 215

cilindricas215
I. Cilindro217
I. Areas lateral e total220
IV. Volume do cilindro220
CAPITULO XI -CONE233

I. Preliminar: nocoes intuitivas de geracao de superficies

I. Cone236
I. Areas lateral e total238
IV. Volume do cone239
CAPiTULO XII -ESFERA250
I. Definic,:oes250
I. Area e volume252
I. Fuso e cunha254
esfera263
Leitura: Lobachevski' e as geometrias nao euclidianas266

I. Preliminar: noc,:oes intuitivas de gerac,:iio de superficies conicas 233 IV. Deducao das formulas das areas do cilindro, do cone e da

I. Secc,:ao de uma piramide por urn plano paralelo a base268
I. Tronco de pirarnide de bases paralelas277
I. Tronco de cone de bases paralelas284
IV. Problemas gerais sobre solidos semelhantes e troncos289
V. Tronco de prisma triangular294
VI. Tronco de cilindro296

CAPITULO xm -S6UDOS SEMELHANTES -TRONCOS 268

S6LIDOS300
I. Esfera e cuba300
I. Esfera e octaedro regular302
I. Esfera e tetraedro regular304
V. Prisma e cilindro310
VI. Piriirnide e cone312
VII. Prisma e piramide313

CAPiTULO XIV INSCRIC;AO E CIRCUNSCRI{:AO DE IV. Inscric,:ao e circunscric,:ao envolvendo poliedros regulares. 307 VIII. Cilindro e cone ....................................................... 316

X. Esfera e cone reto: .......................................... 321
XI. Esfera, cilindro equihitero e cone equihitero327
XII. Esfera e tronco de cone329

IX. Cilindro e esfera ...................................................... 318 XIII. Exercicios gerais sobre inscric;ao e circunscric;ao de s6lidos 331

I. Superficies de revoluc;ao3
I. S6lidos de revoluc;ao335

CAPITULO XV -SUPERFICIES E SOLIDOS DE REVOLUC;::AO 3

I. Superficies -Definic;6es348
I. Areas das superficies esfericas349
I. S61idos esfericos: definic;6es e volumes354
Leitura: Riemann, 0 grande fil6sofo da geometria370
RES POST AS DOS EXERciCIOS372
TESTES DE VESTIBULARES395

CAPITULO XVI -SUPERFICIES E SOLIDOS ESFERICOS 348 IV. Deduc;6es das f6rmulas de volumes dos s61idos esfericos. 364 RES POST AS DOS TESTES .............................................. 440

Introdu{:ao

I. Conceitos primitivos e postulados

1. As nOf6es (conceitos, term os, entes) geometricas sao estabelecidas por meio de deJinif6es. Em particular, as primeiras nor;:6es, os conceitos primitivos (nor;:6es primitivas) da Geometria, sao adotadas sem definir;:ao.

Adotaremos sem definir os conceitos de:

o ponto A.

PONTO, RETA e PLANO.

Areta r. o plano cx.

Do ponto, da reta e do plano temos urn conhecimento intuitivo decorrente da experiencia e da observar;:ao.

o espafO e 0 conjunto de todos os pontos. Nesse conjunto desenvolveremos a Geometria Espacial.

2. As proposiroes (propriedades) geometricas sao aceitas mediante demonstraroes. Em particular, as primeiras as proposiroes primitivas ou postulados sao aceitos sem

Assim, iniciamos a Geometria com alguns postulados, relacionando 0 ponto, a reta e 0 plano.

3. Postulado da existencia a) Existe reta e numa reta, bern como fora dela, M infinitos pontos. b) Existe plano e num plano, bern como fora dele, ha infinitos pontos.

4. Postulado da determinar;;ao a) Dois pontos distintos determinam uma tinica reta que passa por eles.

b) Tres pontos niio colineares determinam urn tinico plano que passa por eles.

5. Postulado da inclusao

Se uma reta tern dois pontos dis- tintos num plano, entao ela esta contida no plano.

A r = AB ex = (A, B, C)

(A # B, r = As, A E ex, B E ) r C ex.

6. Retas concorrentes -definir;;ao

Duas retas sao concorrentes se, e somente se, elas tern urn tinico ponto comum.

7. Retas paralelas -definir;;ao

Duas ret as sao paralelas se, e somente se, ou sao coincidentes ou sao coplanares e nao tern ponto comum.

~ r _ 5 r n 5 = [PJ a b a=b=>a#b

(a C ex, b C e an b = 0) a#b

INTRODUc;:i\O

EXERCicIOS

1. Demonstre que num plano existem infinitas retas.

Solul,!iio

Consideremos urn plano ct e nele dois pontos distintos A e B. Estes pontos determinam uma reta r, que esta contida em ct, pois tern dois pontos distintos em ct. Con sid eremos em ct e fora de r urn ponto C. Os pontos A e C deterrninam uma reta S, que esta em ct. Os pont os B e C deterrninam uma reta t que esta em ct.

Desse modo podemos construir em ct "tantas retas quantas quisermos", isto e, "infinitas" retas.

/2\)

2. Quantas retas ha no espa<;o? Demonstre.

3. Quantas e quais sao as retas determinadas por pares de pontos A, B, C e D, dois a dois distintos, se:

a) A, B e C sao colineares. b) A, B, C e D nao sao coplanares.

4. Quantos sao os pIanos determinados por quatro pontos distintos dois a dois?

5. Tres retas, duas a duas concorrentes, nao passando por urn mesmo ponto, estao contidas no mesmo plano.

Solul,!iio

Sejam r, set as retas tais que r U s = [e], rUt = [Bj, s U t = [Aj e A, Be C nao colineares.

Pelo postulado da determina<;ao existe 0 plano ct = (A, B, C). Pelo postulado da incIusao, temos: (A ,c B; A, B E ct) => t C ct.

Analogamente temos: A C ct ere ct.

6. E comum encontrarrnos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas em urn piso plano, balan<;am enos obrigam a colocar urn cal<;o em uma das pernas se a quiser- mos firme. Explique, usando argumentos de geometria, por que is so nao acontece com uma mesa de 3 pernas.

lNTRODU<;:AO

I. Determina~ao de plano 8. Existem quatro modos de determinar pIanos.

I? modo: por tres pontos nao colineares. 2? modo: por uma reta e urn ponto fora dela. 3? modo: por duas retas concorrentes. 4? modo: par duas retas paralelas distintas.

o primeiro modo e postulado e os demais sao os tres teoremas que seguem. 9. Teorema 1

Se uma reta e urn ponto sao tais que 0 ponto nao pertence areta, entao eles deterrninam urn tinico plano que os contem.

Hipotese (P $. r) =-

Tese (3 I a I PEa ere a)

Sendo urn problema de existencia e unicidade, dividimos a demonstra9aO nest as duas partes.

1 parte: Existencia a) Constru9aO:

Tomamos em r dois pontos distintos, A e B.

Os pontos A, Be P, nao sendo coline ares (A, B Ere P $. r), determinam urn plano a.

b) Prova de que a e 0 plano de reP.

a = (A, B, P) =-PEa a = (A, B, P) J == rea A ,e B; A, B E r

Logo, existe pelo menos 0 plano a construido por reP. Indicaremos por a (r, P). (1)

INTRODUC;:AO parte: Unicidade

Provemos que a e 0 unico plano deterrninado reP.

Se existissem a e a' por reP, teriamos:

(a, = (r, P); A, B E r) = a, = (A, B, P)] = a a' (a = (r, P); A, B E r) = a = (A, B, P)

Logo, nao existe mais que urn plano (r, P). (2) Conclusao: «1) e (2» = 3 I a I PEa ere a. 10. Teorema 2

Se duas retas sao concorrentes, entao elas determinam urn unico plano que as contem.

Hipotese (r n s = [PJ) =

Demonstrariio

1 parte: Existencia a)

Tese (3 I a Ire a esC a)

Tomamos urn ponto A em r e urn ponto B em s, ambos distintos de P.

Os pontos A, Be P, nao sendo colineares (A, PEr e B $. r), determinam urn plano a.

b) Prova de que a e 0 plano de res.

(a = (A, B, P); A, PEr; A ¢ P) = rea (a = (A, B, P); B, PEs; B ¢ P) = sea

Logo, existe pelo menos 0 plano a construido, passando por res. Indicaremos por a = (r, s). (1)

INTRODU<;:AO parte: Unicidade

Se existissem a e a', por res concorrentes, teriamos:

(a = (r, s); A, PEr; B E s) ==>

(a' = (r, s); A, PEr; B E s) ==> a = (A, B, P) J a' = (A', B', P)

Logo, nao existe mais que urn plano (r, s). (2) Conclusao: «1) e (2» ==> 31 air Cae sea.

1. Teorema 3

Se duas ret as sao paralelas entre si e distintas, entao elas determinam urn linico plano que as contem.

Hipotese Tese (t # s, r .,e s) ==> (3 1 air Cae sea)

Demonstrariio 1 parte: Existencia

A existencia do plano a = (r, s) e conseqi.iencia da definic;ao de retas paralelas (ou da existencia dessas retas), pois:

(r # s, r .,e s) ==> (3 air C a, sea e r () s = 0).

Logo, existe pelo menos 0 plano a (da definic;ao), passando por res. (1) parte: Unicidade

Vamos supor que por res passam dois pIanos a e a' e provemos que eles coincidem.

Se existissem a e a', por res paralelas e distintas, tomando-se A e B distintos em reP em s, teriamos:

(a = (r, s); A, B E r; PEs) ==> a, =_ (A, B, P) J ==> a a' (a' = (r, s); A, B E r; PEs) ==> a -(A, B, P)

Logo, nao existe mais que urn plano (r, s). (2) Conclusao: ((1) e (2» ==> 31 air Cae sea.

EXERCiclOS 7. Quantos sao os pianos que pass am par uma reta?

Infinitos. a) Construc;:ao:

Seja r a reta. Tomamos urn ponto A fora de r. Areta reo ponto A determinam urn plano ct. Fora de ct, tomamos urn ponto B. Areta reo ponto B determinam urn plano (3.

Fora de ct e (3, tomamos urn ponto C. Areta reo ponto C determinam urn plano 'Y.

Desse modo podemos construir, por r, tantos pIanos quantos quisermos, isto e, construfmos infinitos pIanos.

b) Prova:

Todos os pIanos assim construfdos passam por r, que com os pontos correspondentes os esta determinando.

8. Quantos pIanos passam por dois pontos distintos?

9. Prove que duas retas paralelas distintas e uma concorrente com as duas sao coplanares.

10. Se duas retas sao paralelas e distintas, todo plano que contem uma delas e urn ponto da outra, contem a outra.

Sejarn res as duas retas, P urn ponto de sect 0 plano (r, P). As ret as res deterrninam urn plano ct'. Te- mos, entao:

(a' = (r, s), PEs) =--ct' = (r, P) =--ct' = ct. Se ct = ct' contem s, entao 0 plano ct contem a reta s.

1. Num plano ct ha uma ret a r e urn ponto P nao pertencente a r. Prove que: se conduzimos por Puma ret a s, paralela a r, en tao s esta contida em ct.

12. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a) Tres pontos distintos determinam urn plano. b) Urn ponto e uma ret a determinam urn unico plano.

c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos. d) Tres retas distintas, duas a duas paralelas, determinam urn ou tres planos. e) Tres retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam urn ou tres planos.

I. Posi~oes das retas 12. Retas reversas - Duas retas sao charnadas retas reversas se, e sornente se, nao existe plano que as contenha. ~ b

a e b reversas nao existe plano (a, b) e an b = 0

13. Quadrilatero reverso - r reversa com s nao existe plano (r, s) e r n s = 0

Urn quadrilatero e charnado quadrildtero reverso se, e so mente se, nao existe plano contendo seus quatro vertices.

Se ct (A, B, D) e C ft ct, entao ABCD e quadrilatero reverso. 8

14. Obserua~ao

Chamamosjigura a todo conjunto de pontos. Umajigura e plana quando seus pontos pertencem a urn mesmo plano, e os pontos sao ditos cop/ana- res; caso contrario, a figura e chamada figura reversa e os pontos, niio cop/an ares.

15. Posi(:oes relatiuas de duas retas

Em vista de defini<;:6es anteriores, dadas duas retas distintas res, ou elas sao concorrentes, ou para/etas ou reversas. Essas posi6es podem ser sintetizadas da seguinte forma:

res distintas

res distintas r estern ponto comum ---res concorrentes res ou coplanares res nao tern ponto comum ---res paraieias ou res reversas res tern ponto comum ---res sao concorrentes ou res nao _ [r e s coplanares ---res sao paraieias ou tern ponto comum res nao coplanares _ res sao reversas

Se as retas res sao coincidentes (ou iguais), elas sao para/etas.

EXERCicIOS 13. Prove a existencia de retas reversas.

Consideremos uma reta r e urn ponto P fora de r. Areta reo ponto P determinam urn plano ex = (r, P).

Tomemos fora de 0' urn ponto X. Os pontos distintos ~ X determi- nam uma reta 5 =.P X.

b) Prova de que r e 5 sao reversas:

Se existe urn plano {3 = (r, 5), temos:

(r C (3 e P E (3) =-{3 = (r, P) =-{3 = 0' ({3 = 0', S C (3, XEs) =-X E 0' (0 que e absurdo, pois tomamos X ft. 0').

Logo, nao existe urn plano contendo res. Assim, obtivemos -duas retas res, reversas.

14. Prove que urn quadrilatero reverse nao e paralelogramo.

15. As diagonais de urn quadrilatero reverse sao reversas. 16. Duas ret as distintas r e 5, reversas a uma terceira reta t, sao revers as entre si? 17. Duas retas reversas e uma concorrente com as duas determinam dois pianos distintos.

SolUl,:ao

Sejam res duas retas revers as e t uma ret a concorrente com r e concorrente com 5.

As retas concorrentes res determinam urn plano 0'.

As retas concorrentes set determinam urn plano {3.

Os pianos 0' e {3 sao distintos pois, se 0' = {3, as retas r (de 0') e 5 (de (3) estariam neste plano 0' = {3, 0 que e absurdo, pois contraria a hipotese de serem reversas.

INTRODUC;:i.O

18. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a) Duas ret as ou sao coincidentes ou sao b) Duas retas ou sao coplanares ou sao reversas. c) Duas retas distintas deterrninarn urn plano. d) Duas retas concorrentes tern urn ponto cornurn. e) Duas retas concorrentes tern urn unico ponto comum. f) Duas ret as que tern urn ponto comum sao concorrentes. g) Duas retas concorrentes sao coplanares. h) Duas retas coplan ares sao concorrentes. i) Duas retas distintas nao paralelas sao reversas.

j) Duas ret as que nao tern ponto comum sao paralelas. k) Duas retas que nao tern ponto comum sao reversas.

I) Duas retas coplanares ou sao paralelas ou sao concorrentes. rn) Duas retas nao coplan ares sao reversas.

Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a) r n s = (2) == res sao reversas. b) res sao reversas == r n s = (2).

c) r n s = (2) == res sao paralelas. d)rij's,r;es == rns=(2). e) A condiC;ao r n s = (2) e necessaria para que res sejarn reversas. f) A condiC;ao r n s = (2) e suficiente para que res sejam reversas.

g) A condiC;ao r n s = (2) e necessaria para que duas retas distintas res sejarn paralelas.

h) A condiC;ao r n s = (2) e suficiente para que duas retas res sejarn paralelas.

IV. Interse~ao de pIanos

16. Postulado da intersec;;ao

Se dois pIanos distintos tern urn ponto com urn, entao eles tern pelo rnenos urn outro ponto cornurn.

(ex "c. {3, P E ex e P E {3 => (3 Q I Q "c. P, Q E ex e Q E (3)

17. Teorema da intersec;;ao

Se dois pIanos distintos tern urn ponto cornurn, entao a intersec;ao desses pIanos e urna unica reta que passa por aquele ponto.

Hipotese Tese (ex "c. (3, P E ex, P E (3) => (3 I i I ex n (3 = i e P E i)

Demonstrariio

1 parte: Existencia (ex ~ (3, P E ex, P E (3) => (3 Q ~ P, Q E ex e Q E (3) ex ~ (3, P E ex, P E (3] => (3 i = PQ, i C ex e i C (3) Q ~ P, Q E ex, Q E (3

Areta i determinada pelos pontos

P e Q e comum aos pianos ex e (3. parte: Unicidade

Da 1 parte concluimos que todos os pontos de i estao em ex e em (3. Para provarmos que i e a de ex e (3, basta provarmos que todos os pontos que estao em ex e em (3 estao em i. E 0 que segue:

Se existe urn ponto X tal que X E ex, X E (3 e X f$. i, temos:

X f$. i => 3 I 'Y I 'Y = (i, X)

(i C ex, X E ex, 'Y = (i, X» => 'Y = ex] => ex = (3 (i c (3, X E (3, 'Y = (i, X» => 'Y = (3

Os pIanos ex e (3 coincidem com 0 plano 'Y contraria a hipotese de que ex ~ (3.

Logo, i e a de ex e (3.

18. Planas secantes -dejini<;;Qo

(i, X), 0 que e absurdo, pois

Dois pianos distintos que se interceptam (ou se cortam) sao chamados pianos secantes (ou concorrentes). Areta comum e a interseriio desses pianos ou o traro de urn deles no outro.

19. Obserua<;;6es Para se obter a de dois pIanos distintos, basta obter do is pontos distintos comuns a esses pIanos. Para se provar que tres ou mais pontos do sao colineares, basta provar que eles pertencem a dois pIanos distintos.

EXERCicIOS

20. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

a) Se do is pianos distintos tern urn ponto comum, entao eles tern uma reta comum que passa pelo ponto. b) Dois pianos distintos que tern uma ret a comum, sao secantes. c) Se dois pianos tern uma reta comum, eles sao secantes. d) Se dois, pianos tern uma unica reta comum, eles sao secantes. e) Dois pianos secantes tern intersec;ao vazia. f) Dois pianos secantes tern infinitos pontos comuns. g) Dois pianos secantes tern infinitos pontos comuns. h) Se dois pianos tern urn ponto comum, eles tern uma reta comum.

--21. Num plano a hi duas retas AB e CD concorrentes num ponto O. Fora de a hi urn ponto P. Qual e a intersec;ao dos pianos {3 (P, A, B) e -y = (P, C, D)?

(Parte 1 de 4)

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