Introdução à Mecânica dos Fluídos - Fox - McDonald - Pritchard - 8ª Edição, Notas de estudo de Mecânica dos fluidos

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OITAVA EDIÇ ÃO Introdução à Mecânica dos Fluidos FOX | McDONALD | PRITCHARD +H EM bio  INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS Sumário CAPÍTULO 1    INTRODUÇÃO 1.1   Nota aos Estudantes 1.2   Escopo da Mecânica dos Fluidos 1.3   Definição de um Fluido 1.4   Equações Básicas 1.5   Métodos de Análise Sistema e Volume de Controle Formulação Diferencial versus Formulação Integral Métodos de Descrição 1.6   Dimensões e Unidades Sistemas de Dimensões Sistemas de Unidades Sistemas de Unidades Preferenciais Consistência Dimensional e Equações de “Engenharia” 1.7   Análise de Erro Experimental 1.8   Resumo Problemas CAPÍTULO 2    CONCEITOS FUNDAMENTAIS 2.1   Fluido como um Contínuo 2.2   Campo de Velocidade Escoamentos Uni, Bi e Tridimensionais Linhas de Tempo, Trajetórias, Linhas de Emissão e Linhas de Corrente 2.3   Campo de Tensão 2.4   Viscosidade Fluido Newtoniano Fluidos Não Newtonianos 2.5   Tensão Superficial 2.6   Descrição e Classificação dos Movimentos de Fluido Escoamentos Viscosos e Não Viscosos Escoamentos Laminar e Turbulento Escoamentos Compressível e Incompressível Escoamentos Interno e Externo 2.7   Resumo e Equações Úteis Referências Problemas CAPÍTULO 3    ESTÁTICA DOS FLUIDOS 3.1   A Equação Básica da Estática dos Fluidos 3.2   A Atmosfera­Padrão 3.3   Variação de Pressão em um Fluido Estático Líquidos Incompressíveis: Manômetros Gases 3.4   Sistemas Hidráulicos 3.5   Forças Hidrostáticas sobre Superfícies Submersas Força Hidrostática sobre uma Superfície Plana Submersa Força Hidrostática sobre uma Superfície Curva Submersa 3.6   Empuxo e Estabilidade 3.7   Fluidos em Movimento de Corpo Rígido (no Site da LTC Editora) 3.8   Resumo e Equações Úteis Referências Problemas CAPÍTULO 4    EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL PARA UM VOLUME DE CONTROLE 4.1   Leis Básicas para um Sistema Conservação de Massa Segunda Lei de Newton O Princípio da Quantidade de Movimento Angular A Primeira Lei da Termodinâmica A Segunda Lei da Termodinâmica 4.2   Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle Derivação Interpretação Física 4.3   Conservação de Massa Casos Especiais 4.4   Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle Inercial Análise de Volume de Controle Diferencial Volume de Controle Movendo com Velocidade Constante 4.5   Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle com Aceleração Retilínea 4.6   Equação da Quantidade de Movimento para Volume de Controle com Aceleração Arbitrária (no Site da LTC Editora) 4.7   O Princípio da Quantidade de Movimento Angular Equação para Volume de Controle Fixo Equação para um Volume de Controle Rotativo (no Site da LTC Editora) 4.8   A Primeira Lei da Termodinâmica Taxa de Trabalho Realizado por um Volume de Controle Equação do Volume de Controle 4.9   A Segunda Lei da Termodinâmica 4.10   Resumo e Equações Úteis Problemas CAPÍTULO 5    INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS 5.1   Conservação da Massa Sistema de Coordenadas Retangulares Sistema de Coordenadas Cilíndricas 5.2   Função de Corrente para Escoamento Incompressível Bidimensional 5.3   Movimento de uma Partícula Fluida (Cinemática) Translação de um Fluido: Aceleração de uma Partícula Fluida em um Campo de Velocidade Rotação de Fluido Deformação de Fluido 5.4   Equação da Quantidade de Movimento Forças Atuando sobre uma Partícula Fluida Equação Diferencial da Quantidade de Movimento Fluidos Newtonianos: As Equações de Navier­Stokes 5.5   Introdução à Dinâmica de Fluidos Computacional Por que a DFC É Necessária Aplicações de DFC Alguns Métodos Numéricos/DFC Básicos Usando uma Planilha A Estratégia de DFC Discretização Usando o Método das Diferenças Finitas Montagem do Sistema Discreto e Aplicação de Condições de Contorno Solução do Sistema Discreto Malha de Convergência Lidando com a Não Linearidade Solucionadores Diretos e Iterativos Convergência Iterativa Considerações Finais 5.6   Resumo e Equações Úteis Referências Problemas CAPÍTULO 6    ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE FLUIDOS NÃO VISCOSOS 6.1   Equação da Quantidade de Movimento para Escoamento sem Atrito: a Equação de Euler 6.2   As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente 6.3   A Equação de Bernoulli – Integração da Equação de Euler ao Longo de uma Linha de Corrente para Escoamento Permanente Dedução Usando Coordenadas de Linha de Corrente Dedução Usando Coordenadas Retangulares Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica Aplicações Precauções no Emprego da Equação de Bernoulli 6.4   A Equação de Bernoulli Interpretada como uma Equação de Energia 6.5   Linha de Energia e Linha Piezométrica 6.6   Equação de Bernoulli para Escoamento Transiente – Integração da Equação de Euler ao Longo de uma Linha de Corrente (no Site da LTC Editora) 6.7   Escoamento Irrotacional A Equação de Bernoulli Aplicada a um Escoamento Irrotacional Potencial de Velocidade Função de Corrente e Potencial de Velocidade para Escoamento Bidimensional, Irrotacional e Incompressível: Equação de Laplace Escoamentos Planos Elementares Superposição de Escoamentos Planos Elementares 6.8   Resumo e Equações Úteis Referências Problemas CAPÍTULO 7    ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA 7.1   As Equações Diferenciais Básicas Adimensionais 7.2   A Natureza da Análise Dimensional 7.3   O Teorema Pi de Buckingham 7.4   Determinação dos Grupos Π 7.5   Grupos Adimensionais Importantes na Mecânica dos Fluidos 7.6   Semelhança de Escoamentos e Estudos de Modelos Semelhança Incompleta Transporte por Escala com Múltiplos Parâmetros Dependentes Comentários sobre Testes com Modelos 7.7   Resumo e Equações Úteis Referências Problemas CAPÍTULO 8    ESCOAMENTO INTERNO VISCOSO E INCOMPRESSÍVEL 8.1   Introdução Escoamento Laminar versus Turbulento A Região de Entrada PARTE A ESCOAMENTO LAMINAR COMPLETAMENTE DESENVOLVIDO 8.2   Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido entre Placas Paralelas Infinitas Ambas as Placas Estacionárias Placa Superior Movendo­se com Velocidade Constante, U 8.3   Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido em um Tubo PARTE B ESCOAMENTO EM TUBOS E DUTOS 8.4   Distribuição de Tensão de Cisalhamento no Escoamento Completamente Desenvolvido em Tubos Escoamento Subsônico, M < 1 Escoamento Supersônico, M > 1 Escoamento Sônico, M = 1 Condições Críticas e de Estagnação de Referência para Escoamento Isentrópico de um Gás Ideal Escoamento Isentrópico em um Bocal Convergente Escoamento Isentrópico em um Bocal Convergente­Divergente 13.3 Choques Normais Equações Básicas para um Choque Normal Interpretação de Fanno e Rayleigh do Choque Normal Funções de Escoamento de Choque Normal para Escoamento Unidimensional de um Gás Ideal 13.4 Escoamento Supersônico em Canais, com Choque Escoamento em um Bocal Convergente­Divergente Difusor Supersônico (no site da LTC Editora) Operação de Túnel de Vento Supersônico (no site da LTC Editora) Escoamento Supersônico com Atrito em um Canal de Área Constante (no site da LTC Editora) Escoamento Supersônico com Adição de Calor em um Canal de Área Constante (no site da LTC Editora) 13.5 Escoamento em um Duto de Área Constante, com Atrito Equações Básicas para o Escoamento Adiabático Escoamento Adiabático: a Linha de Fanno Funções de Escoamento de Linha de Fanno para o Escoamento Unidimensional de um Gás Ideal Escoamento Isotérmico (no site da LTC Editora) 13.6 Escoamento sem Atrito em um Duto de Área Constante, com Transferência de Calor Equações Básicas para Escoamento com Transferência de Calor A Linha de Rayleigh Funções de Escoamento de Linha de Rayleigh para Escoamento Unidimensional de um Gás Ideal 13.7 Choques Oblíquos e Ondas de Expansão Choques Oblíquos Ondas de Expansão Isentrópicas 13.8 Resumo e Equações Úteis Referências Problemas APÊNDICE A   DADOS DE PROPRIEDADES DE FLUIDOS APÊNDICE B   EQUAÇÕES DO MOVIMENTO EM COORDENADAS CILÍNDRICAS APÊNDICE C   FILMES PARA MECÂNICA DOS FLUIDOS APÊNDICE D   CURVAS DE DESEMPENHO SELECIONADAS PARA BOMBAS E VENTILADORES APÊNDICE E   FUNÇÕES DE ESCOAMENTO PARA O CÁLCULO DE ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL APÊNDICE F   ANÁLISE DE INCERTEZA EXPERIMENTAL APÊNDICE G   UNIDADES SI, PREFIXOS E FATORES DE CONVERSÃO APÊNDICE H   UMA REVISÃO RESUMIDA SOBRE O EXCEL DA MICROSOFT (NO SITE DA LTC EDITORA) Respostas de Problemas Selecionados Índice Prefácio Introdução Este  texto  foi  escrito  para  um  curso  de  introdução  em mecânica  dos  fluidos. A  nossa  abordagem  do  assunto,  assim como  nas  edições  anteriores,  enfatiza  os  conceitos  físicos  da  mecânica  dos  fluidos  e  os  métodos  de  análise  que  se iniciam  a  partir  dos  princípios  básicos.  O  objetivo  principal  deste  livro  é  auxiliar  os  usuários  a  desenvolver  uma metodologia  ordenada  para  a  solução  de  problemas.  Para  isto,  partimos  sempre  das  equações  básicas,  estabelecemos com  clareza  as  considerações  ou  hipóteses  adotadas,  e  tentamos  relacionar  os  resultados  matemáticos  com  o comportamento  físico  correspondente.  Mantivemos  a  ênfase  no  uso  de  volumes  de  controle  como  suporte  de  uma metodologia prática para resolver problemas, bem como incluímos uma abordagem teórica. Metodologia de Solução de Problemas A metodologia  de  solução  Fox­McDonald­Pritchard  usada  neste  texto  é  ilustrada  em  numerosos  Exemplos  em  cada capítulo.  As  soluções  para  os  Exemplos  foram  preparadas  de modo  a  ilustrar  a  boa  técnica  de  solução  e  a  explicar pontos difíceis da teoria. Os Exemplos aparecem em formato destacado na sequência do texto e, por isso, são de fácil identificação e acompanhamento. As  informações adicionais  importantes sobre o  texto e os nossos procedimentos são apresentados na “Nota aos Estudantes” existente na Seção 1.1 do livro­texto. Aconselhamos que você analise essa seção com  bastante  atenção  e  que  incorpore  os  procedimentos  sugeridos  à  sua metodologia  de  solução  de  problemas  e  de representação de resultados. Objetivos e Vantagens de Utilizar Este Texto As explicações completas apresentadas no texto, juntamente com os numerosos Exemplos detalhados, tornam este livro bem compreensível para estudantes. Isso permite ao professor deixar de lado os métodos tradicionais de ensino que se baseiam  em  aulas  expositivas.  O  tempo  em  sala  de  aula  pode  ser  utilizado,  então,  para  apresentar  material complementar,  aprofundar  tópicos  especiais  (tais  como  escoamento  não  newtoniano,  escoamento  de  camada­limite, sustentação  e  arrasto,  ou  métodos  experimentais),  resolver  exemplos  de  problemas,  ou  explicar  pontos  difíceis  dos problemas extraclasse propostos. Além disso, os 51 Exemplos com planilhas do Excel  são úteis  para  apresentar  uma variedade de fenômenos da mecânica dos fluidos, especialmente os efeitos produzidos quando os parâmetros de entrada variam. Desse modo, cada período de aula pode ser utilizado da maneira mais apropriada para atender às necessidades dos estudantes. Quando  os  estudantes  terminarem  o  curso  de  mecânica  dos  fluidos,  esperamos  que  estejam  aptos  a  aplicar  as equações  básicas  em  uma  variedade  de  problemas,  incluindo  aqueles  com  os  quais  eles  não  tenham  tido  contato previamente.  Enfatizamos  em  particular  os  conceitos  físicos  em  todo  o  texto  para  ajudar  os  estudantes  a  modelar  a variedade  de  fenômenos  que  ocorrem  nas  situações  reais  de  escoamento  fluido.  Embora  nesta  edição  incluamos,  por conveniência,  um  resumo  das  equações  úteis  no  final  da  maioria  dos  capítulos,  salientamos  que  nossa  filosofia  é minimizar o uso de “fórmulas mágicas” e enfatizar  a  abordagem sistemática e  fundamental para  resolver o problema. Seguindo esse formato, acreditamos que os estudantes adquiram segurança em suas habilidades para aplicar o conteúdo e para descobrir que podem pensar em soluções para problemas um tanto desafiadores. O  livro  é  bem  adequado  para  o  estudo  independente  de  estudantes  ou  engenheiros  profissionais.  Sua  leitura agradável e os exemplos claros ajudam a adquirir segurança. As Respostas de Problemas Selecionados estão incluídas, de forma que os estudantes podem conferir os resultados obtidos. Cobertura do Texto O conteúdo deste livro foi selecionado cuidadosamente, de modo a incluir uma ampla faixa de tópicos adequados para um curso de um ou dois semestres em mecânica dos fluidos de nível introdutório ou mais avançado. Consideramos ser necessário um conhecimento prévio em dinâmica de corpo rígido e em equações diferenciais. É desejável uma base em termodinâmica para o estudo de escoamento compressível. Os conteúdos mais avançados, que geralmente não são cobertos em um curso introdutório, foram transferidos para o  site  da  LTC  Editora  (essas  seções  estão  identificadas  no  Sumário  e  nos  capítulos).  Esse  conteúdo  avançado  está disponível online para os usuários do  livro  interessados em aprofundar seus estudos, o que não prejudica a sequência textual no livro­texto. Os assuntos no livro­texto foram organizados em áreas de tópicos abrangentes: •   Conceitos introdutórios, abrangência da mecânica dos fluidos e estática dos fluidos (Capítulos 1, 2 e 3). •   Desenvolvimento e aplicação de formas de volume de controle das equações básicas (Capítulo 4). •   Desenvolvimento e aplicação de formas diferenciais das equações básicas (Capítulos 5 e 6). •   Análise dimensional e correlação de dados experimentais (Capítulo 7). •   Aplicações para escoamentos internos viscosos e incompressíveis (Capítulo 8). •   Aplicações para escoamentos externos viscosos e incompressíveis (Capítulo 9). •   Análise e aplicações de máquinas de fluxo (Capítulo 10). •   Análise e aplicações de escoamentos em canais abertos (Capítulo 11). •   Análise e aplicações do escoamento compressível em uma e duas dimensões (Capítulos 12 e 13). O Capítulo 4 trata de análises usando tanto volumes de controles finitos quanto diferenciais. A equação de Bernoulli é deduzida (em uma subseção opcional na Seção 4­4) como um exemplo de aplicação das equações básicas a um volume de  controle diferencial. Estando  aptos  a  usar  a  equação de Bernoulli  no Capítulo 4,  podemos  incluir  problemas mais desafiadores, lidando com a equação da quantidade de movimento para volumes de controle finitos. Outra dedução da equação de Bernoulli é apresentada no Capítulo 6, onde ela é obtida da integração das equações de Euler ao longo de uma linha de corrente. Caso um professor prefira postergar a introdução da equação de Bernoulli, os problemas desafiadores do Capítulo 4 podem ser resolvidos durante o estudo do Capítulo 6. Características do Texto Esta edição incorpora diversas características úteis: •   Exemplos: Cinquenta e um dos Exemplos incluem planilhas do Excel, disponíveis online no site da LTC Editora, tornando­as úteis para as discussões e análises pelos estudantes ou pelo professor durante as aulas. •   Estudos de Caso: Cada capítulo começa com um Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente que descreve uma aplicação interessante em mecânica dos fluidos na área de energia renovável ou na melhoria dos rendimentos de máquinas. Também mantivemos os Estudos de Caso dos capítulos específicos da edição anterior, que agora estão localizados no final de cada capítulo. Eles exploram aplicações não usuais ou intrigantes de mecânica dos fluidos em diversas áreas. •   Resumo do Capítulo e Equações Úteis: No final da maior parte dos capítulos, para a conveniência dos estudantes, reunimos as equações mais usadas ou mais significativas do capítulo. Embora isto seja conveniente, não há como enfatizarmos suficientemente a necessidade de os estudantes se certificarem de que obtiveram uma compreensão da dedução e das limitações de cada equação antes de utilizá­las! •   Problemas de Projeto: Onde apropriado, usamos problemas de projeto de resposta aberta no lugar dos experimentos de laboratório tradicionais. Nos cursos que não dispõem de um laboratório completo, os estudantes podem formar grupos de trabalho para resolver esses problemas. Os problemas de projeto encorajam os estudantes a despender mais tempo explorando aplicações dos princípios de mecânica dos fluidos em projetos de dispositivos e sistemas. Como na edição anterior, os problemas de projeto estão juntos com os problemas de fim de capítulo. •   Problemas de Resposta Aberta: Incluímos muitos problemas de resposta aberta. Alguns são questões instigantes para testar a compreensão dos conceitos fundamentais, outros requerem pensamento criativo, síntese e/ou respostas discursivas. Esperamos que esses problemas ajudem os professores a incentivar seus alunos no que se refere ao raciocínio e ao trabalho de forma mais dinâmica; da mesma forma, que eles estimulem os professores a desenvolver e usar mais problemas de resposta aberta. •   Problemas de Final de Capítulo: Em cada capítulo, os problemas são agrupados por tópico, nos quais o grau de complexidade ou de dificuldade aumenta à medida que eles se sucedem. Esse recurso facilita a solicitação de Agradecemos previamente as sugestões ou críticas recebidas dos usuários deste livro. Philip J. Pritchard Agosto de 2010 *Recurso disponível apenas para a edição original em língua inglesa. (N.E.) Material Suplementar Este livro conta com os seguintes materiais suplementares: •   Apêndice H arquivo em formato (.pdf) que contém uma revisão sintética do Microsoft Excel (acesso livre); •   Classic Videos coletânea de vídeos clássicos em inglês sobre mecânicas dos fluidos em preto e branco (acesso livre). Disponível no site do Massachusetts Institute of Technology (MIT – Instituto de Tecnologia de Massachusetts): <http://web.mit.edu/hml/ncfmf.html>. Acesse o vídeo clássico Boundary layer control (controle de camada­limite) pelo link: <http://www.youtube.com/watch?v=w1Q6­NJPpkk>.* •   Conteúdo online dos capítulos arquivos em formato (.pdf) que disponibiliza conteúdo das seções online indicadas no livro­texto (acesso livre); •   Ilustrações da obra em formato de apresentação (acesso restrito a docentes); •   Lecture PowerPoint Slides arquivos em formato (.ppt) com apresentações em inglês para uso em sala de aula (acesso restrito a docentes); •   Modelos em Excel arquivos em formato (.xls) com planilhas de dados (acesso livre); •   Solutions Manual arquivos em formato (.pdf) que apresentam as soluções de todos os problemas do livro­texto em inglês (acesso restrito a docentes); •   Vídeos coletânea de vídeos temáticos em inglês coloridos ou em preto e branco, indicados no livro­texto. Disponível no site: •   <http://bcs.wiley.com/he­bcs/Books? action=mininav&bcsId=6187&itemId=0470547553&assetId=233351&resourceId=22858&newwindow=true>.* O acesso ao material suplementar é gratuito, bastando que o leitor se cadastre em: http://gen­io.grupogen.com.br de 40 vezes maior do que o consumo atual total de energia; estudos anteriores haviam posto esse valor em torno de 7 vezes maior! Nos 48 estados mais baixos dos EUA, o potencial de energia eólica é 16 vezes maior do que a demanda total de energia elétrica nos EUA, sugeriram os pesquisadores, novamente muito além do que um estudo de 2008 do Departamento de Energia dos EUA, que projetou que a energia eólica poderia suprir 1/5 de toda a energia elétrica no país até 2030. Os resultados indicam a validade da alegação muitas vezes feita de que “os Estados Unidos são a Arábia Saudita da Energia Eólica”. A nova estimativa é baseada na ideia de implantação de turbinas eólicas de 2,5 a 3,0 megawatts (MW) em áreas rurais que não são congeladas e nem de florestas, além de estarem longe de locais de mar raso. Esta é uma estimativa conservativa de 20% para o fator de capacidade, que é uma medida de quanta energia uma dada turbina realmente produz. Tem sido estimado que a energia eólica total que concebivelmente poderia ser extraída está em torno de 72 terawatts (TW, 72 × 1012 watts). Tendo em conta que o consumo total de energia de todos os seres humanos foi cerca de 16 TW (como em 2006), fica claro que a energia eólica poderia suprir toda a necessidade mundial em um futuro previsível! Pipas KiteGen poderiam voar a uma altitude de aproximadamente 1.000 m e girar um carrossel sobre o solo. (Figura cortesia de Ben Shepard e Archer & Caldeira.) Uma razão para a nova estimativa é decorrente da utilização cada vez mais comum de turbinas muito grandes, que se elevam a quase 100 m de altura, onde as velocidades do vento são maiores. Estudos anteriores do vento foram baseados no uso de turbinas de 50 a 80 m. Adicionalmente, para chegar ainda a elevações mais altas (e, consequentemente, maiores velocidades do vento), duas abordagens foram propostas. Em um artigo recente, o Professor Archer da California  State  University e o Professor Caldeira da Carnegie  Institution  of Washington, Stanford, discutiram algumas possibilidades. Uma delas é um projeto de uma pipa chamada KiteGen (mostrada na figura), que consiste em aerofólios amarrados (pipas), que são manipulados por uma unidade de controle conectada a uma base no solo, um gerador em forma de carrossel; as pipas são manobráveis, de modo que elas dirigem o carrossel, gerando energia, possivelmente tanto quanto 100 MW. Esta abordagem seria melhor para os primeiros quilômetros da atmosfera. Uma abordagem usando maiores elevações teria que gerar energia elétrica e, em seguida, transmitila da parte superior para a superfície por meio de um cabo. No projeto proposto por Sky Windpower, quatro rotores são montados sobre uma estrutura aérea; os rotores fornecem sustentação para o dispositivo e geração de energia elétrica. A aeronave poderia se levantar do local com a energia elétrica fornecida para atingir a altitude desejada, mas geraria até 40 MW de energia elétrica. Conjuntos múltiplos poderiam ser usados para geração de energia elétrica em grande escala. (Os aerofólios são discutidos no Capítulo 9.) Os geradores de energia elétrica voadores Sky Windpower poderiam voar a altitudes de aproximadamente 10.000 m. (Figura cortesia de Ben Shepard e Archer & Caldeira.) Vamos examinar alguns desenvolvimentos interessantes em energia eólica nos Estudos de Caso em Energia e Meio Ambiente nos capítulos subsequentes. Decidimos dar o  título “Introdução à  ...” para este  livro­texto pela seguinte razão: Depois de estudar o  livro, você não  estará  apto  para  projetar  a  aerodinâmica  de  um  novo  carro  ou  avião,  ou  projetar  uma  nova  válvula  cardíaca,  ou selecionar  corretamente  os  extratores  e  dutos  de  ar  para  um  edifício  de  100 milhões  de  dólares;  contudo,  você  terá desenvolvido uma boa compreensão dos conceitos que estão atrás de  tudo  isso,  e muitas outras aplicações. Você  terá feito  significativo progresso na direção de estar pronto para  trabalhar em projetos de ponta em mecânica dos  fluidos, tais como esses. Para  iniciar  na  direção  desse  objetivo,  abordamos  alguns  tópicos  básicos  neste  capítulo:  um  estudo  de  caso,  a abrangência  da mecânica  dos  fluidos,  a  definição­padrão  do  ponto  de  vista  da  engenharia  para  um  fluido  e  equações básicas e métodos de análises. Finalmente, nós discutimos algumas confusões frequentes que o estudante de engenharia faz em temas como sistemas da unidade e a análise experimental. 1.1 Nota aos Estudantes Este é um livro orientado para o estudante: Nós acreditamos que ele seja bastante detalhado para um texto introdutório, e  que  um  estudante  possa  aprender  por  si  através  dele.  Contudo,  muitos  estudantes  usarão  o  texto  em  um  ou mais cursos de graduação. Em um caso ou no outro,  recomendamos uma  leitura apurada dos capítulos  relevantes. De  fato, uma boa estratégia é  ler rapidamente cada capítulo uma vez, e então reler cuidadosamente uma segunda e mesmo uma terceira vez, de modo que os conceitos formem um contexto e adquiram significado. Tendo em vista que os estudantes frequentemente  acham  a  mecânica  dos  fluidos  bastante  desafiadora,  nós  acreditamos  que  essa  técnica,  associada  às informações dadas por seu professor, que aumentarão e expandirão o material do texto (isso se você estiver fazendo um curso), revelarão que a mecânica dos fluidos é um fascinante e variado campo de estudo. Outras fontes de informações sobre mecânica dos fluidos são facilmente encontradas. Além daqueles fornecidos por seu professor, há muitos outros textos e revistas de mecânica dos fluidos, bem como a Internet (uma busca recente feita no  Google  para  “fluid  mechanics”  indicou  26,4  milhões  de  links,  incluindo  muitos  com  cálculos  e  animações  de mecânica dos fluidos!). Há  alguns  pré­requisitos  para  ler  este  livro­texto.  Consideramos  que  você  já  tenha  estudado  introdutoriamente termodinâmica, assim como estática, dinâmica e cálculo; em todo caso, na medida da necessidade, revisaremos alguns pontos desse conteúdo. Acreditamos firmemente que se aprende melhor fazendo. Isto é uma verdade, seja o assunto estudado mecânica dos fluidos,  termodinâmica  ou  futebol. Os  fundamentos  em  qualquer  um  desses  assuntos  são  poucos,  e  o  domínio  deles vem com a prática. Então, é extremamente  importante que você resolva problemas. Os  inúmeros problemas  incluídos ao final de cada capítulo oferece a você a oportunidade de praticar aplicação de fundamentos na resolução de problemas. Mesmo que tenhamos providenciado para a sua comodidade um resumo de equações úteis no final de cada capítulo (a exceção  deste),  você  deve  evitar  a  tentação  de  adotar métodos  do  tipo  “receita  de  bolo”  na  resolução  de  problemas. Muitos  dos  problemas  propostos  são  tais  que  essa  técnica  simplesmente  não  funciona.  Para  resolver  problemas,  nós recomendamos fortemente que você desenvolva os seguintes passos lógicos: 1. Estabeleça de forma breve e concisa (com suas próprias palavras) a informação dada. 2. Identifique a informação que deve ser encontrada. 3. Faça um desenho esquemático do sistema ou do volume de controle a ser usado na análise. Certifique­se de assinalar as fronteiras do sistema ou do volume de controle e as direções e sentidos apropriados das coordenadas. 4. Apresente a formulação matemática das leis básicas que você considera necessárias para resolver o problema. 5. Relacione as considerações simplificadoras que você considera apropriadas para o problema. 6. Complete a análise algebricamente, antes de introduzir valores numéricos. 7. Introduza os valores numéricos dados (usando um sistema consistente de unidades) para obter a resposta numérica desejada. a. Referencie a fonte de valores para as propriedades físicas. b. Certifique­se de que os algarismos significativos da resposta são compatíveis com aqueles dos dados fornecidos. 8. Verifique a resposta e reveja as considerações feitas na solução a fim de assegurar que elas são razoáveis. 9. Destaque a resposta. Nos primeiros exercícios, esta formatação do problema pode parecer longa e mesmo desnecessária. Contudo, da nossa experiência,  sabemos  que  essa  técnica  para  resolver  problemas  é,  em  último  caso,  a mais  eficiente;  ela  o  preparará, também, para a comunicação clara e precisa dos seus métodos de solução e dos seus resultados a terceiros, como será frequentemente necessário na sua carreira como um profissional de sucesso. Esse formato de solução é empregado em todos  os  Exemplos  apresentados  neste  texto;  as  respostas  desses  Exemplos  são  arredondadas  para  três  algarismos significativos. Finalmente,  nós  o  estimulamos  firmemente  a  fazer  um  exame  da  vantagem  das  muitas  ferramentas  Excel disponíveis no site da LTC Editora, para serem usadas na resolução de problemas. Muitos deles podem ser resolvidos muito  mais  rapidamente  usando  essas  ferramentas;  ocasionalmente,  certos  problemas  poderão  ser  resolvidos  apenas com tais ferramentas ou com um programa computacional equivalente. 1.2 Escopo da Mecânica dos Fluidos Como  o  nome  indica,  a  mecânica  dos  fluidos  é  o  estudo  de  fluidos  em  repouso  ou  em  movimento.  Ela  tem  sido tradicionalmente  aplicada  em  áreas  tais  como  o  projeto  sistemas  de  canal,  dique  e  represa;  o  projeto  de  bombas, compressores,  tubulações  e  dutos  usados  nos  sistemas  de  água  e  condicionamento  de  ar  de  casas  e  edifícios,  assim como  sistemas  de  bombeamento  necessários  na  indústria  química;  as  aerodinâmicas  de  automóveis  e  aviões  sub  e supersônicos; e o desenvolvimento de muitos diferentes medidores de vazão, tais como os medidores de bombas de gás. Como as áreas citadas anteriormente ainda são extremamente importantes (veja, por exemplo, a ênfase atual dada à aerodinâmica dos carros e as falhas dos diques em Nova Orleans*), a mecânica dos fluidos é realmente uma disciplina de  “alta  tecnologia” ou  “de  tope”. Ela permitiu o desenvolvimento de muitos  campos  instigantes no último quarto de século. Alguns exemplos incluem questões sobre meio ambiente e energia (por exemplo, contenção de derramamento de óleos,  turbinas  eólicas  de  grande  escala,  geração  de  energia  a  partir  de  ondas  do  oceano,  aspectos  aerodinâmicos  de grandes  edificações,  mecânica  dos  fluidos  da  atmosfera  e  do  oceano  e  de  fenômenos  atmosféricos  como  tornados, furacões  e  tsunamis);  biomecânica  (por  exemplo,  corações  e  válvulas  artificiais  e  outros  órgãos  como  o  fígado; compreensão  da mecânica  dos  fluidos  do  sangue,  líquido  sinovial  das  juntas,  os  sistemas  respiratório,  circulatório  e urinário);  esportes  (projeto  de  bicicletas  e  capacetes  de  bicicleta,  esquis,  vestimentas  para  corrida  e  natação,  a aerodinâmica  de  bolas  de  golfe,  tênis  e  futebol);  “fluidos  inteligentes”  (por  exemplo,  em  sistemas  de  suspensão automotiva para otimizar o movimento sobre todas as condições do terreno, uniformes militares contendo uma camada de  fluido que  é  “mole”  até o  combate,  quando então  ela pode  tornar­se  firme para dar  força  e proteção  ao  soldado,  e líquidos de  lentes com propriedades parecidas às humanas para uso em câmaras e  telefones celulares); e microfluidos (por exemplo, para aplicações extremamente precisas de medicações). Esta é apenas uma pequena amostragem de novos campos de aplicação da mecânica dos fluidos. Eles ilustram como esta  disciplina  ainda  é  altamente  relevante,  e  como  os  seus  horizontes  estão  se  ampliando,  ainda  que  ela  exista  há milhares de anos. VÍDEO CLÁSSICO Deformação de um Meio Contínuo. (em inglês) 1.3 Definição de um Fluido Nós temos um sentimento comum quando trabalhamos com um fluido que é oposto àquele do trabalho com um sólido: fluidos  tendem  a  escoar  quando  interagimos  com  eles  (por  exemplo,  quando  você  agita  seu  café  da manhã);  sólidos tendem  a  se  deformar  ou  dobrar  (por  exemplo,  quando  você  bate  sobre  um  teclado,  as  molas  sob  as  teclas  se comprimem).  Os  engenheiros  necessitam  de  uma  definição  mais  formal  e  precisa  de  um  fluido:  Um  fluido  é  uma É óbvio que as leis básicas com as quais lidaremos são as mesmas usadas na mecânica e na termodinâmica. A nossa tarefa será formular essas leis de modo adequado para resolver problemas de escoamento de fluidos e então aplicá­las a uma grande variedade de situações. Devemos  enfatizar  que,  conforme  veremos,  existem  muitos  problemas  aparentemente  simples  na  mecânica  dos fluidos que não podem ser resolvidos de forma analítica. Em tais casos, devemos recorrer a soluções numéricas mais complicadas e/ou a resultados de testes experimentais. 1.5 Métodos de Análise O primeiro passo na resolução de um problema é definir o sistema que você está tentando analisar. Na mecânica básica, fizemos  uso  intenso  do  diagrama  de  corpo  livre.  Agora,  nós  utilizaremos  um  sistema  ou  um  volume  de  controle, dependendo  do  problema  que  estiver  sendo  resolvido.  Esses  conceitos  são  idênticos  àqueles  utilizados  na termodinâmica (exceto que você pode  tê­los chamados de sistema fechado e de sistema aberto,  respectivamente). Nós podemos  utilizar  um ou  outro  para  obter  expressões matemáticas  para  cada  uma das  leis  básicas. Na  termodinâmica, esses conceitos foram utilizados basicamente na obtenção de expressões para a conservação da massa, da primeira e da segunda leis da termodinâmica; em nosso estudo de mecânica dos fluidos, estaremos mais interessados na conservação da massa e na segunda lei do movimento de Newton. Na termodinâmica, o nosso foco era a energia; na mecânica dos fluidos,  a  ênfase  será,  principalmente,  em  forças  e  movimento.  Devemos  estar  sempre  atentos  ao  conceito  que estaremos utilizando, sistema ou volume de controle, pois cada um conduz a diferentes expressões matemáticas das leis básicas. A seguir, vamos rever as definições de sistema e de volume de controle. Sistema e Volume de Controle Um sistema é definido como uma quantidade de massa fixa e identificável; o sistema é separado do ambiente pelas suas fronteiras. As fronteiras do sistema podem ser fixas ou móveis; contudo, nenhuma massa cruza essas fronteiras. No  clássico  conjunto  cilindro­pistão  da  termodinâmica,  Fig.  1.2,  o  gás  no  cilindro  é  o  sistema.  Se  o  gás  for aquecido, o pistão levantará o peso; a fronteira do sistema move­se então. Calor e trabalho poderão cruzar as fronteiras do  sistema, mas  a  quantidade  de matéria  dentro  delas  permanecerá  constante. Nenhuma massa  cruza  as  fronteiras  do sistema. Nos  cursos  de mecânica,  empregamos  bastante  o  diagrama  de  corpo  livre  (enfoque  de  sistema).  Isso  era  lógico, porque  lidávamos  com  um  corpo  rígido  facilmente  identificável.  Entretanto,  na  mecânica  dos  fluidos,  normalmente estamos  interessados  em  escoamentos  de  fluidos  através  de  dispositivos  como  compressores,  turbinas,  tubulações, bocais,  entre  outros. Nesses  casos,  é  difícil  focar  a  atenção  em uma quantidade  de massa  fixa  identificável. É muito mais  conveniente,  para  análise,  concentrar  a  atenção  sobre  um volume no  espaço  através  do qual  o  fluido  escoa. Por isso, usamos o enfoque do volume de controle. Fig. 1.2 Conjunto cilindro­pistão. Um volume de controle é um volume arbitrário no espaço através do qual o fluido escoa. A fronteira geométrica do volume de controle é denominada superfície de controle. A superfície de controle pode ser real ou imaginária; ela pode estar em repouso ou em movimento. A Fig. 1.3 mostra um escoamento em uma junção de tubos com uma superfície de controle delimitada pela  linha  tracejada. Note que algumas regiões dessa superfície correspondem a  limites físicos (as paredes  dos  tubos)  e  outras  (regiões  ,    e  )  são  imaginárias  (entradas  ou  saídas).  Para  o  volume  de  controle definido pela superfície de controle, poderíamos escrever equações para as leis básicas e obter resultados como a vazão na  saída    dadas  as  vazões  na  entrada    e  na  saída    (de  modo  semelhante  ao  problema  que  analisaremos  no Exemplo 4.1 no Capítulo 4), a força requerida para manter a junção no lugar, e assim por diante. É sempre importante tomar  cuidado  na  seleção  de  um  volume  de  controle,  pois  a  escolha  tem  um  grande  efeito  sobre  a  formulação matemática das leis básicas. A seguir, ilustraremos o uso de um volume de controle com um exemplo. Fig. 1.3 Escoamento de um fluido através de uma junção de tubos. Exemplo 1.2 CONSERVAÇÃO DA MASSA APLICADA A VOLUME DE CONTROLE Um trecho de redução em um tubo de água tem um diâmetro de entrada de 50 mm e diâmetro de saída de 30 mm. Se a velocidade na entrada (média através da área de entrada) é 2,5 m / s, encontre a velocidade de saída. Dados: Tubo, entrada De = 50 mm e saída Ds = 30 mm. Velocidade de entrada, Ve = 2,5 m/s. Determinar: Velocidade de saída, Vs. Solução: Consideração: A água é incompressível (massa específica ρ = constante). A lei física que usamos aqui é a conservação da massa, que você aprendeu na termodinâmica quando estudou turbinas, caldeiras, entre outros dispositivos. Você deve ter visto a vazão mássica na entrada e na saída expressas pelas fórmulas = VA/υ ou = ρVA, em que V, A, υ e ρ são a velocidade, área, volume específico e massa específica, respectivamente. Usaremos a equação na forma de massa específica. Assim, a vazão mássica é: = ρVA Aplicando a conservação da massa, do nosso estudo de termodinâmica, ρViAi = ρVeAe (Nota: ρi = ρe = ρ de acordo com a primeira consideração feita.) (Nota: mesmo que nós já estejamos familiarizados com essa equação da termodinâmica, nós a deduziremos no Capítulo 4.) Resolvendo para Ve, Este problema: ✔ Foi resolvido usando as nove etapas lógicas. ✔ Demonstrou o uso de volume de controle e a lei da conservação de massa. Formulação Diferencial versus Formulação Integral As leis básicas que aplicamos em nosso estudo da mecânica dos fluidos podem ser formuladas em termos de sistemas e volumes de controle infinitesimais ou finitos. Como você pode supor, as equações parecerão diferentes nos dois casos. Ambas as formulações são importantes no estudo da mecânica dos fluidos, e as duas serão desenvolvidas no decorrer do nosso trabalho. No  primeiro  caso,  as  equações  resultantes  são  equações  diferenciais.  A  solução  das  equações  diferenciais  do movimento  fornece  uma maneira  de  determinar  o  comportamento  detalhado  do  escoamento. Um  exemplo  pode  ser  a distribuição de pressão sobre a superfície de uma asa. Frequentemente,  a  informação  procurada  não  requer  um  conhecimento  detalhado  do  escoamento.  Muitas  vezes estamos interessados no comportamento de um dispositivo como um todo; nestes casos, é mais apropriado empregar a formulação  integral  das  leis  básicas. Um  exemplo  pode  ser  a  sustentação  total  que  uma  asa  produz. As  formulações integrais, usando sistemas ou volumes de controle finitos, em geral têm tratamento analítico mais fácil. As leis básicas da mecânica e da termodinâmica, formuladas em termos de sistemas finitos, são a base para a dedução das equações do volume de controle no Capítulo 4. Métodos de Descrição A mecânica  lida  quase  que  exclusivamente  com  sistemas;  você  já  deve  ter  usado  intensivamente  as  equações  básicas aplicadas  a  uma  quantidade  de  massa  identificável  e  fixa.  Por  outro  lado,  ao  tentar  analisar  dispositivos termodinâmicos, muitas vezes você considerou necessário utilizar um volume de controle (sistema aberto). Claramente, o tipo de análise depende do problema em questão. Quando é  fácil acompanhar elementos de massa  identificáveis  (por exemplo, em mecânica de partícula),  lançamos mão de um método de descrição que acompanha a partícula. Referimos a isso, usualmente, como o método de descrição lagrangiano. Considere,  por  exemplo,  a  aplicação da  segunda  lei  de Newton  a  uma partícula  de massa  fixa. Matematicamente, podemos escrever a segunda lei de Newton para um sistema de massa m como Na Eq. 1.2,    é  a  soma  de  todas  as  forças  externas  atuantes  sobre  o  sistema,    e    são,  respectivamente,  a aceleração  e  a  velocidade  do  centro  de massa  do  sistema,  e    é  o  vetor  posição  do  centro  de massa  do  sistema  em relação a um sistema fixo de coordenadas. Exemplo 1.3 QUEDA LIVRE DE UMA BOLA NO AR A resistência do ar (força de arrasto) sobre uma bola de 200 g em queda livre é dada por FD = 2 × 10–4 V2, em que FD é dada em newtons e V em metros por segundo. Se a bola for largada do repouso a 500 m acima do solo, determine a velocidade com que ela atinge o solo. Que porcentagem da velocidade terminal esse valor representa? (A velocidade  terminal é a velocidade de regime permanente que um corpo em queda livre eventualmente atinge.) adimensional. No sistema b, a massa [M] é uma dimensão secundária, e mais uma vez a constante de proporcionalidade na segunda  lei de Newton não  tem dimensão. No sistema c,  tanto a força [F] quanto a massa [M]  foram selecionadas como  dimensões  primárias.  Nesse  caso,  a  constante  de  proporcionalidade  gc  (não  confundi­la  com  g,  aceleração  da gravidade!) na segunda lei de Newton (escrita como   = m /gc) possui dimensões. As dimensões de gc devem, de fato, ser  [ML/Ft2]  para  que  a  equação  seja  dimensionalmente  homogênea.  O  valor  numérico  da  constante  de proporcionalidade depende das unidades de medida escolhidas para cada uma das quantidades primárias. Tabela 1.1 Sistemas de Unidades Mais Comuns Sistemas de Dimensões Sistema de Unidades Força F Massa M Comprimento L Tempo t Temperatura T a. MLtT Sistema Internacional de Unidades (SI) (N) kg m s K b. FLtT Gravitacional Britânico (GB) lbf (slug) ft s °R c. FMLtT Inglês de Engenharia (EE) lbf lbm ft s °R Sistemas de Unidades Há mais de uma maneira de  selecionar  a unidade de medida para  cada dimensão primária. Apresentaremos apenas os sistemas  de  unidades  mais  comuns  na  engenharia  para  cada  um  dos  sistemas  básicos  de  dimensões.  A  Tabela  1.1 mostra as unidades básicas assinaladas para as dimensões primárias para esses sistemas. As unidades entre parênteses são  aquelas destinadas  à dimensão  secundária para  aquele  sistema de unidades. Seguindo a  tabela,  apresentamos uma breve descrição de cada um dos sistemas de unidades. a. MLtT O  SI,  que  é  a  abreviatura  oficial  em  todas  as  línguas  do  Sistema  Internacional  de Unidades,1  é  uma  extensão  e  um refinamento do tradicional sistema métrico. Mais de 30 países declararam o SI como o único sistema legalmente aceito. No sistema de unidades SI, a unidade de massa é o quilograma (kg), a unidade de comprimento é o metro  (m), a unidade de tempo é o segundo (s) e a unidade de temperatura é o kelvin (K). A força é uma dimensão secundária e a sua unidade, o newton (N), é definida da segunda lei de Newton como 1 N ≡ 1kg · m/s2 No sistema de unidades Métrico Absoluto, a unidade de massa é o grama, a unidade de comprimento é o centímetro, a unidade de tempo é o segundo e a unidade de temperatura é o Kelvin. Posto que a força é uma dimensão secundária, a sua unidade, o dina, é definida em termos da segunda lei de Newton como 1 dina ≡ 1g · cm/s2 b. FLtT No sistema de unidades Gravitacional Britânico, a unidade de força é a libra­força (lbf), a unidade de comprimento é o pé (ft), a unidade de tempo é o segundo e a unidade de temperatura é o Rankine (ºR). Como a massa é uma dimensão secundária, a sua unidade, o slug, é definida em termos da segunda lei de Newton como 1 slug ≡ 1lbf · s2/ft VÍDEO CLÁSSICO Quantidade de Fluido e Escoamento. (em inglês) c. FMLtT No sistema de unidades Inglês Técnico ou de Engenharia, a unidade de força é a libraforça (lbf), a unidade de massa é a libra­massa (lbm), a unidade de comprimento é o pé, a unidade de  tempo é o segundo e a unidade de  temperatura é o grau Rankine.  Posto  que  ambas,  força  e massa,  são  escolhidas  como unidades  primárias,  a  segunda  lei  de Newton  é escrita como Uma  libra­força  (1  lbf)  é  a  força  que  dá  à massa  de  uma  libra­massa  (1  lbm)  uma  aceleração  igual  à  aceleração­ padrão da gravidade na Terra, 32,2 ft/s2. Da segunda lei de Newton concluímos que ou gc ≡ 32,2 ft · lbm/(lbf · s2) A  constante  de  proporcionalidade,  gc,  tem  dimensões  e  unidades.  As  dimensões  surgiram  porque  escolhemos ambas,  força e massa, como dimensões primárias; as unidades  (e o valor numérico)  são uma consequência de nossas escolhas para os padrões de medidas. Como uma força de 1 lbf acelera 1 lbm a 32,2 ft/s2, ela aceleraria 32,2 lbm a 1 ft/s2. Um slug também é acelerado a 1 ft/s2 por uma força de 1 lbf. Portanto, 1 slug ≡ 32,2 lbm Muitos  livros­textos e referências utilizam lb em vez de  lbf ou lbm, deixando para o  leitor determinar, segundo o contexto, se é a força ou a massa que está sendo referenciada. Sistemas de Unidades Preferenciais Neste texto, usaremos tanto o SI quanto o sistema Gravitacional Britânico. Em qualquer um dos casos, a constante de proporcionalidade na segunda lei de Newton é sem dimensões e tem o valor da unidade. Consequentemente, a segunda lei de Newton é escrita como   = m . Nesses sistemas, resulta que a força gravitacional (o “peso”2) sobre um objeto de massa m é dada por W = mg. As unidades e prefixos do SI, assim como outras unidades e fatores de conversão úteis, encontram­se resumidos no Apêndice G. Exemplo 1.4 USO DE UNIDADES A etiqueta em um pote de pasta de amendoim indica que o seu peso líquido é 510 g. Expresse sua massa e peso em unidades SI, GB e EE. Dados: “Peso” da pasta de amendoim, m = 510 g. Determinar: Massa e peso em unidades SI, GB e EE. Solução: Este problema envolve conversões de unidades e uso da equação relacionando peso e massa: W = mg O “peso” dado, de fato, é a massa, pois o valor está expresso em unidades de massa: Usando os fatores de conversões da Tabela G.2 (Apêndice G), Usando o fato de que 1 slug = 32,2 lbm, Para achar o peso, usamos W = mg Em unidades SI, e usando a definição de um newton, Em unidades GB, e usando a definição de um slug, Em unidades EE, usamos a fórmula W = mg/gc, e usando a definição de gc, Este problema ilustrou: Este problema: ✔ Conversões do SI para os sistemas GB e EE. ✔ O uso de gc no sistema EE. Notas: O estudante deve perceber que este exemplo apresenta muitos detalhes desnecessários de cálculos (por exemplo, um fator de 32,2 aparece, e logo depois desaparece). Apesar disso, é importante ver que esses passos minimizam os erros. Se você não escrever todos os passos e unidades, pode acontecer, por exemplo, de você multiplicar um número por um fator de conversão, quando, de fato, você deveria dividir por ele. Para os pesos em unidades SI, GB e EE, poderíamos ter realizado, alternativamente, a conversão de newton para lbf. Consistência Dimensional e Equações de “Engenharia” Em engenharia, nos esforçamos para que as equações e fórmulas tenham dimensões consistentes. Isto é, cada termo em uma equação e obviamente ambos os membros da equação, devem ser reduzíveis às mesmas dimensões. Por exemplo, uma equação muito importante, que deduziremos mais tarde, é a equação de Bernoulli que relaciona a pressão p, a velocidade V e a elevação z  entre pontos 1  e 2  ao  longo de uma  linha de corrente de um escoamento incompressível, sem atrito e em regime permanente (massa específica ρ). Essa equação é dimensionalmente consistente porque cada termo na equação pode ser reduzido às dimensões de L2/t2 (as dimensões do termo de pressão são FL/M, mas da segunda lei de Newton encontramos F = ML/t2, de forma que FL/M = ML2/Mt2 = L2/t2). Provavelmente,  quase  todas  as  equações  que  você  encontrar  serão  dimensionalmente  consistentes.  Contudo,  você deve  ficar  alerta  para  algumas,  ainda  comumente  usadas,  que  não  são;  em geral,  essas  são  equações  de  “engenharia” deduzidas muitos  anos  atrás,  ou  obtidas  de modo  empírico  (baseadas mais  na  experiência  do  que  na  teoria),  ou  são equações  usadas  em  uma  indústria  ou  companhia  particular.  Por  exemplo,  engenheiros  civis  usam  com  frequência  a equação semiempírica de Manning Cera Creme de barbear Alguns desses materiais apresentam características de ambos os comportamentos, de  sólido e de  fluido,  sob condições diferentes. Explique e dê exemplos. 1.2 Enuncie, com suas palavras, cada uma das cinco leis básicas de conservação apresentadas na Seção 1.4 aplicadas a um sistema. Métodos de Análise 1.3 O cilindro de uma bomba de pneu de bicicleta fica quente durante o uso. Explique os mecanismos responsáveis pelo aumento de temperatura. 1.4 Discuta a  física do  ricochete de uma pedra na  superfície de um  lago. Compare esses mecanismos com aqueles de uma pedra quicando após ser atirada ao longo de uma rodovia. 1.5 Faça uma estimativa da ordem de grandeza da massa de arpadrão contida em uma sala de 3 m por 3 m por 2,4 m (por exemplo, 0,01; 0,1; 1,0; 10; 100 ou 1000 kg). Em seguida, calcule essa massa em kg para verificar como foi a sua estimativa. 1.6 Um tanque esférico de diâmetro interno igual a 500 cm contém oxigênio comprimido a 7 MPa e 25°C. Qual é a massa de oxigênio? 1.7 Partículas muito pequenas movendo­se em fluidos são conhecidas por sofrerem uma força de arrasto proporcional à velocidade. Considere uma partícula de peso W abandonada em um fluido. A partícula sofre uma força de arrasto, FD = kV, em que V  é  a  sua velocidade. Determine o tempo necessário para a partícula acelerar do repouso até 95% de sua velocidade terminal, Vt, em função de k, W e g. 1.8 Considere novamente a partícula do Problema 1.7. Expresse a distância percorrida para ela atingir 95% de sua velocidade terminal em função de g, k e W. 1.9 Um tanque cilíndrico deve ser projetado para conter 5 kg de nitrogênio comprimido a pressão de 200 atm (manométrica) e 20°C deve ser projetado. As restrições do projeto são que o comprimento do tanque deve ser o dobro do diâmetro e a espessura das paredes deve ser igual a 0,5 cm. Quais são as dimensões externas do tanque? 1.10 Em um processo de combustão, partículas de gasolina são soltas no ar a 93°C. As partículas devem cair pelo menos 25 cm em 1 s. Encontre o diâmetro d das gotinhas necessário para  isso.  (O arrasto sobre essas partículas é dado por FD = 3 πμVd,  na qual V  é  a velocidade da partícula e μ é a viscosidade do ar. Para resolver esse problema, use uma planilha Excel.) 1.11 Para uma pequena partícula de isopor (16 kg/m3) (esférica, com diâmetro d = 0,3 mm) caindo em ar­padrão a uma velocidade V, a força de arrasto é dada por FD = 3πμVd, em que μ é a viscosidade do ar. Partindo do repouso, determine a velocidade máxima e o tempo que a partícula leva para atingir 95% dessa velocidade. Trace um gráfico da velocidade em função do tempo. 1.12 Em um experimento para controle de poluição, diminutas partículas sólidas (massa típica 5 × 10–11 kg) são abandonadas no ar. A velocidade  terminal das partículas de 5 cm é medida. O arrasto sobre as partículas é dado por FD = kV, em que V  é  a velocidade instantânea da partícula. Encontre o valor da constante k. Encontre o tempo necessário para se atingir 99% da velocidade terminal. 1.13 Para o Problema 1.12, encontre a distância que as partículas viajam antes de atingirem 99% da velocidade terminal. Trace o gráfico da distância viajada em função do tempo. 1.14 Uma praticante de voo livre, com uma massa de 70 kg, pula de um avião. Sabe­se que a força de arrasto aerodinâmico agindo sobre ela é dada por FD = kV2, em que k = 0,25 N · s2/m2. Determine a velocidade máxima de queda livre da esportista e a velocidade atingida depois de 100 m de queda. Trace um gráfico da velocidade em função do  tempo da esportista, assim como em função da distância de queda. 1.15 Para o Problema 1.14, considere que a velocidade horizontal da esportista seja 70 m/s. Como ela cai, o valor de k para a vertical permanece como antes, mas o valor para o movimento horizontal é k = 0,05 N · s/m2. Faça cálculos e desenhe a  trajetória 2D da esportista. 1.16 Os  ingleses  aperfeiçoaram o arco e  flecha como arma após o período Medieval. Nas mãos de um arqueiro hábil,  a  arma era considerada precisa a distâncias de 100 metros ou mais. Considerando que a altitude máxima de uma flecha seja h = 10 m no trajeto para um alvo a 100 m de distância do arqueiro, e desprezando a resistência do ar, estime a velocidade e o ângulo com os quais a flecha deve deixar o arco. Trace os gráficos da velocidade e do ângulo de disparo como funções da altura h. Dimensões e Unidades 1.17 Para cada grandeza física listada, indique as dimensões usando a massa como a dimensão primária, e dê as unidades SI e Inglesas típicas: (a) Potência (b) Pressão (c) Módulo de elasticidade (d) Velocidade angular (e) Energia (f)  Momento de uma força (g) Quantidade de movimento (h) Tensão de cisalhamento (i)  Deformação (j)  Quantidade de movimento angular 1.18 Para cada grandeza física listada indique as dimensões usando a força como a dimensão primária, e dê as unidades SI e Inglesas típicas: (a) Potência (b) Pressão (c) Módulo de elasticidade (d) Velocidade angular (e) Energia (f)  Quantidade de movimento (g) Tensão de cisalhamento (h) Calor específico (i)  Coeficiente de dilatação térmica (j)  Quantidade de movimento angular 1.19 Deduza os seguintes fatores de conversão: (a) Converta uma viscosidade de 1 m2/s para ft2/s. (b) Converta uma potência de 100 W para horsepower. (c) Converta uma energia específica de 1 kJ/kg para Btu/kg. 1.20 Deduza os seguintes fatores de conversão: (a) Converta uma pressão de 1 psi para kPa. (b) Converta um volume de 1 litro para galões. (c) Converta uma viscosidade de 1 lbf·s/ft2 para N·s/m2. 1.21 Deduza os seguintes fatores de conversão: (a) Converta um calor específico de 4,18 kJ/kg·K para Btu/lbm·ºR. (b) Converta uma velocidade de 30 m/s para mph. (c) Converta um volume de 5,0 L para in3. 1.22 Expresse os seguintes valores em unidades SI: (a) 5 acre · ft (b) 150 in3/s (c) 3 gpm (d) 3 mph/s 1.23 Expresse os seguintes valores em unidades SI: (a) 100 cfm (ft3/min) (b) 5 gal (c) 65 mph (d) 5,4 acres 1.24 Expresse os seguintes valores em unidades GB: (a) 50 m2 (b) 250 cc (c) 100 kW (d) 5 kg/m2 1.25 Expresse os seguintes valores em unidades GB: (a) 180 cc/min (b) 300 kW · h (c) 50 N · s/m2 (d) 40 m2 · h 1.26 Enquanto você está esperando pelas costelas para cozinhar, você medita sobre o botijão com propano ligado ao fogão. Você está curioso sobre o volume de gás versus o volume total do botijão. Encontre o volume de propano líquido quando o botijão está cheio (o peso do propano está especificado sobre o botijão). Compare esse valor com o volume do botijão (faça algumas medidas, e considere a forma do botijão como cilíndrica com um hemisfério em cada extremidade). Explique as discrepâncias. 1.27 Um fazendeiro necessita de 4 cm de chuva por semana em sua fazenda, que tem 10 hectares de área plantada. Se há uma seca, quantos galões por minuto (L/min) deverão ser bombeados para irrigar a colheita? 1.28 Deduza os seguintes fatores de conversão: (a) Converta uma vazão volumétrica em in3/min para mm3/s. (b) Converta uma vazão volumétrica em metros cúbicos por segundo para galões por minuto (gpm). (c) Converta uma vazão volumétrica em litros por minuto para gpm (galões por minuto). (d) Converta uma vazão volumétrica de ar­padrão de pés cúbicos por minuto (SCFM – standard cubic feet per minute) para metros cúbicos por hora. Um pé cúbico­padrão de gás ocupa um pé cúbico na condição­padrão (T = 15°C e p = 101,3 kPa absoluta). 1.29 A massa específica do mercúrio é dada como 13,550 kg/m3. Calcule a densidade relativa e o volume específico do mercúrio em m3/kg. Calcule o seu peso específico em N/m3 na Terra e na Lua. A aceleração da gravidade na Lua é 1,67 m/s2. 1.30 O quilograma­força é comumente usado na Europa como unidade de força. (1 kgf é a força exercida por uma massa de 1 kg na gravidade­padrão.)  Pressões moderadas,  tais  como  aquelas  aplicadas  em  pneus  de  automóveis  e  de  caminhões,  são  expressas  em kgf/cm2. Converta 220 kPa para essas unidades. 1.31 Na Seção 1.6, aprendemos que a equação de Manning nos permite calcular a velocidade de escoamento V (m/s) em um canal feito de  concreto mal  acabado,  dados o  raio hidráulico Rh  (m),  a  inclinação S0  do  canal  e  o  valor  da  constante  do  coeficiente  de resistência n ≈ 0,014. Determine a velocidade de escoamento para um canal com Rh = 7,5 m e uma inclinação de 1/10. Compare esse resultado com aquele obtido usando o mesmo valor de n, mas com Rh primeiro convertido para m, considerando que a resposta seja em m/s. Finalmente, encontre o valor de n se desejarmos usar corretamente a equação em unidades GB (e calcule V para verificar)! 1.32 Da termodinâmica, sabemos que o coeficiente de performance de um condicionador de ar ideal (COPideal) é dado por em que TL e TH são as temperaturas absolutas do recinto condicionado e do exterior. Se um condicionador de ar é ajustado para uma temperatura do recinto de 20°C quando a temperatura externa é de 40°C, encontre o COPideal. Converta para um valor EER, e compare­ o com um valor típico de EER para um condicionador real. 1.33 A máxima vazão mássica teórica (kg/s) através de um bocal supersônico é em que At (m2) é a área da garganta do bocal, p0 (Pa) é a pressão de estagnação e T0 (K) é a temperatura de estagnação. Esta equação é dimensionalmente correta? Se não, encontre as unidades do termo 2,38. 1.34 O livre caminho médio λ de uma molécula de gás é a distância média que ela percorre antes de colidir com outra molécula. Ele é dado por em que m e d são a massa da molécula e o diâmetro, respectivamente, e ρ é a massa específica do gás. Qual são as dimensões da constante C para uma equação dimensionalmente correta? 1.35 No Capítulo 9, estudaremos a aerodinâmica e aprenderemos que a força de arrasto FD sobre um corpo é dada por Assim, o arrasto depende da velocidade V, da massa específica ρ do fluido e do tamanho do corpo (indicado pela área frontal A) e sua forma (indicado pelo coeficiente de arrasto CD). Qual são as dimensões de CD? 1.36 Um recipiente pesa 15,5 N quando vazio. Quando cheio com água a 32°C, a massa do recipiente e do seu conteúdo é de 36,5 kg. Determine o peso da água no recipiente, e o seu volume em pés cúbicos, usando dados do Apêndice A. 1.37 Uma importante equação na teoria de vibrações é em que m (kg) é a massa e x (m) é a posição no instante de tempo t (s). Para uma equação dimensionalmente consistente, quais são as dimensões de c, k e f ? Quais seriam as unidades convenientes para c, k e f nos sistemas SI e GB? 1.38 Um parâmetro que é frequentemente usado para descrever o desempenho de bombas é a velocidade específica, NScu, dada por Quais  são  as unidades da velocidade  específica? Uma bomba em particular  tem uma velocidade  específica de 2000. Qual  será  a velocidade específica em unidades SI (velocidade angular em rad/s)? Conceitos Fundamentais 2.1 O Fluido como um Contínuo 2.2 Campo de Velocidade 2.3 Campo de Tensão 2.4 Viscosidade 2.5 Tensão Superficial 2.6 Descrição e Classificação dos Movimentos de Fluidos 2.7 Resumo e Equações Úteis Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Potência do Oceano Nós não estamos acostumados a pensar nisso, mas os oceanos são enormes reservatórios de energia solar (e de energia das marés). O estoque de energia solar se dá inicialmente na forma de energia térmica, uma vez que a água da superfície é aquecida durante o dia. Quando a água esfria durante a noite, gradientes de temperatura são estabelecidos, que, em última análise, levam às correntes marinhas (assim como os ventos) contendo enormes quantidades de energia. Segundo estudo de 2009 do Departamento de Energia dos Estados Unidos, intitulado “Tecnologia de Energia do Oceano”, há quatro tipos de conversão de energia do oceano: energia das ondas, energia das marés, energia das correntes marinhas e conversão de energia térmica do oceano. Acredita-se que a potência total disponível das ondas seja aproximadamente 2,7 TW, dos quais 500 GW (500 × 109 W) são atualmente aproveitados. Tenha em mente, como mencionado no Capítulo 1, que a potência total consumida pela humanidade é cerca de 16 TW (como a de 2006), de modo que, na melhor das hipóteses, a energia das ondas poderia suprir apenas cerca de 3% das necessidades humanas usando a tecnologia atual, que trabalha tanto com dispositivos flutuantes na superfície da água quanto atracados no fundo dos oceanos. Muitos desses dispositivos baseiam-se nas forças de empuxo, que serão discutidas no Capítulo 3. Por exemplo, um dispositivo pode possuir um conjunto de juntas articuladas que se dobram com as ondas; esse movimento pode bombear fluido para uma turbina, gerando energia elétrica. Alternativamente, dispositivos estacionários usam flutuações de pressão produzidas ao longo de tubos de ondas que se dilatam e se contraem; esse movimento pode acionar uma turbina. A energia das ondas já está atingindo níveis bastante avançados, com várias companhias sendo envolvidas. A energia das marés usa as 12 horas do ciclo causada pela força gravitacional da Lua; a diferença de altura da água da maré baixa para a alta é uma forma extraível de energia potencial. Por exemplo, a água pode ser capturada com a ajuda de uma barreira colocada em um estuário durante a maré alta e, durante a maré baixa, ser forçada a passar por uma turbina. Alternativamente, como mostrado na figura, sistemas de turbinas podem ser montados de tal forma que eles balancem com as marés, extraindo energia quando a maré vem e vai. Há apenas 20 localizações na Terra com marés suficientemente altas para tornar prática o uso da energia das marés. A Baía de Fundy, entre Maine e a Nova Escócia, caracteriza-se pelas maiores marés no mundo, atingindo alturas de 17 m. Esta área sozinha pode produzir até 15 GW de potência. Acredita-se que a potência total disponível das ondas seja cerca de 2,5 TW, dos quais, com a atual tecnologia, é possível extrair apenas cerca de 65 GW. A energia da corrente marinha é aquela decorrente das correntes do oceano (que, por sua vez, são geradas pelo aquecimento do sol e pelos ventos — em última análise, de origem solar — bem como pela rotação da Terra). Acredita-se que cerca de 5 TW de energia estejam disponíveis, dos quais, na prática, são extraídos 450 GW; na melhor das hipóteses, esta fonte de energia supre algo menor do que 5% da atual necessidade total. Nos Estados Unidos, esta energia é muito abundante ao largo da costa da Flórida no fluxo conhecido como a Corrente do Golfo. Energia cinética pode ser capturada da Corrente do Golfo e de outras correntes com turbinas submersas que são muito similares em aparência às turbinas eólicas. Da mesma forma que nas turbinas eólicas, o movimento contínuo das correntes marinhas move as pás do rotor para gerar energia elétrica. As turbinas serão discutidas com alguns detalhes no Capítulo 10. A Conversão de energia térmica do oceano (OTEC) usa a diferença de temperatura entre a água da superfície e aquela em profundidades menores que 1.000 m para extrair energia. A temperatura da água do oceano a profundidades de 1.000 m é um pouco acima da temperatura de congelamento; uma diferença de temperatura de apenas 20°C (293K) pode render energia utilizável. (Você pode descobrir a temperatura mínima da superfície exigida!) A água morna da superfície pode ser usada como fonte de calor para evaporar um fluido, tal como amônia, que pode acionar uma turbina, e a água no fundo atua como o reservatório que recebe calor. Por causa das temperaturas envolvidas, tais dispositivos terão um rendimento teórico muito baixo, mas a quantidade de energia térmica estocada é enorme, cerca de 200 TW de potência! Proposta de turbinas de marés. Ainda outra forma de energia do oceano (em última análise, obtida à base da energia solar) é aquela decorrente da variação de salinidade causada pela evaporação da água. Quando a água salgada do oceano (salmoura) está separada da água pura por uma membrana semipermeável, um gradiente de pressão se forma através da membrana (pressão osmótica). Vamos aprender neste texto que um gradiente de pressão pode ser usado como uma força motriz para gerar energia. A exploração dessa energia é chamada de conversão  de energia por gradiente de salinidade. Essa é uma tecnologia futura com enorme potencial. Há cerca de 1.000 TW de energia disponível, aproximadamente 60 vezes de toda a demanda mundial de energia. Discutiremos alguns desenvolvimentos interessantes em vários desses métodos de conversão de energia nos Estudos de Casos em Energia e Meio Ambiente nos próximos capítulos. No Capítulo l, discutimos, em termos gerais, o que é a mecânica dos fluidos e desenvolvemos algumas abordagens que  serão  utilizadas  na  análise  de  problemas  nesta  área.  Neste  capítulo,  seremos  mais  específicos  na  definição  de algumas  propriedades  importantes  dos  fluidos  e  das  formas  pelas  quais  os  escoamentos  podem  ser  descritos  e caracterizados. VÍDEO Fluido como um Contínuo (em inglês) 2.1 Fluido como um Contínuo Todos nós estamos familiarizados com os fluidos — sendo os mais comuns a água e o ar — e os tratamos como “lisos e suaves”, isto é, como um meio contínuo. Não podemos estar seguros da natureza molecular dos fluidos, a menos que utilizemos  equipamentos  especializados  para  identificá­la.  Essa  estrutura  molecular  é  tal  que  a  massa  não  está distribuída  de  forma  contínua  no  espaço,  mas  está  concentrada  em  moléculas  que  estão  separadas  por  regiões relativamente grandes de espaço vazio. O esboço na Fig. 2.1a mostra uma representação esquemática disso. Uma região do  espaço  “preenchida”  por  um  fluido  estacionário  (por  exemplo,  o  ar,  tratado  como  um único  gás)  parece  um meio contínuo, mas  se  ampliarmos  um pequeno  cubo  da  região,  poderemos  ver  que  a maior  parte  do  espaço  é  vazia,  com moléculas  de  gás  espalhadas  ao  redor, movendo­se  a  alta  velocidade  (indicada  pela  temperatura  do  gás). Note  que  o tamanho das moléculas de gás está muito exagerado (elas seriam quase invisíveis mesmo nesta escala) e que colocamos vetores de velocidade  somente  sobre uma pequena amostra. Gostaríamos de perguntar: qual  é o mínimo volume,  que um ponto C deve ter, de modo a podermos falar sobre propriedades de fluido contínuo tal como a massa específica em um ponto? Em outras palavras, sob que circunstâncias um fluido pode ser  tratado como um meio contínuo, para o qual,  por  definição,  as  propriedades  variam  suavemente  de  ponto  a  ponto?  Essa  é  uma  questão  importante  porque  o conceito de um meio contínuo é a base da mecânica dos fluidos clássica. Considere  a  forma  como  determinamos  a massa  específica  em  um  ponto. A massa  específica  é  definida  como  a massa por unidade de volume; na Fig. 2.1a a massa δm  será dada pelo número  instantâneo de moléculas em    (e  a massa  de  cada molécula),  de modo  que  a  massa  específica  média  no  volume    é  dada  por  ρ  =  δm/ .  Dizemos “média” porque o número de moléculas em  , e consequentemente a massa específica, flutua. Por exemplo, se o ar na Figura 2.1a estivesse nas condições­padrão de temperatura e pressão (CPPT)1 e o volume fosse uma esfera de diâmetro 0,01 μm, poderá haver 15 moléculas em   (como mostrado), mas um instante mais tarde poderá haver 17 (três podem entrar enquanto uma sai). Consequentemente, a massa específica em um “ponto” C flutua aleatoriamente com o tempo, como mostrado na Figura 2.1b. Nesta figura, cada linha pontilhada vertical representa um volume específico escolhido,  , e cada ponto dado representa a massa específica medida em um instante. Para volumes muito pequenos, a massa específica varia grandemente, mas acima de certo volume  , a massa específica  torna­se estável — o volume agora anexa um enorme número de moléculas. Por exemplo, se   = 0,001 mm3 (em torno do tamanho de um grão de areia), existirão em média 2,5 × 1013 moléculas presentes. Consequentemente, podemos concluir que o ar nas CPPTs (e outros gases e líquidos) pode ser tratado como um meio contínuo enquanto considerarmos que um “ponto” não é maior do que aproximadamente este tamanho; isto é suficientemente preciso para a maior parte das aplicações em engenharia. quantidade menor  de  dimensões  é,  com  frequência,  significativa.  Considere,  por  exemplo,  o  escoamento  permanente através  de  um  longo  tubo  retilíneo  que  tem  uma  seção  divergente,  conforme  mostrado  na  Fig.  2.2.  Neste  exemplo, usaremos  coordenadas  cilíndricas  (r,  θ,  x).  Vamos  aprender  (no  Capítulo  8)  que,  sob  certas  circunstâncias  (por exemplo,  longe  da  entrada  do  tubo  e  da  seção  divergente,  onde  o  escoamento  pode  ser  bastante  complicado),  a distribuição de velocidades pode ser descrita por Isso  é  mostrado  à  esquerda  na  Fig.  2.2.  O  campo  de  velocidade  u(r)  é  uma  função  de  uma  coordenada  apenas  e, portanto, o escoamento é unidimensional. Por outro lado, na seção divergente, a velocidade decresce no sentido positivo de x e o escoamento torna­se bidimensional: u = u(r, x). Como você pode imaginar, a complexidade da análise aumenta consideravelmente com o número de dimensões do campo de escoamento. Para muitos problemas encontrados na engenharia, uma análise unidimensional é adequada para fornecer soluções aproximadas, com a precisão requerida na prática da engenharia. Como todos os fluidos que satisfazem a hipótese do contínuo devem ter velocidade relativa zero em uma superfície sólida  (para  atender  à  condição  de  não  deslizamento),  a  maioria  dos  escoamentos  é  intrinsecamente  bi­  ou tridimensional. Para simplificar a análise, muitas vezes é conveniente introduzir a consideração de escoamento uniforme em  uma  dada  seção  transversal.  Em  um  escoamento  que  é  uniforme  em  uma  dada  seção  transversal,  a  velocidade  é constante  através  de  qualquer  seção  normal  ao  escoamento.  Com  esta  consideração,Fig.  2.2  é  modelado  como  o escoamento mostrado na Fig.  2.3,  onde o  campo de velocidade  é uma  função de x  somente  e,  portanto,  o modelo  do escoamento  é  unidimensional.  (Outras  propriedades,  tais  como  massa  específica  ou  pressão,  também  podem  ser consideradas como uniformes em uma seção, se for apropriado.) O  termo campo  de  escoamento  uniforme  (em  contraposição  a  escoamento  uniforme  em  uma  seção  transversal)  é empregado para descrever um escoamento no qual o módulo  e o  sentido do vetor velocidade  são  constantes,  ou  seja, independentes de todas as coordenadas espaciais através de todo o campo de escoamento. Fig. 2.3 Exemplo de escoamento uniforme em uma seção. VÍDEO CLÁSSICO Visualização de Escoamento. (em inglês) Linhas de Tempo, Trajetórias, Linhas de Emissão e Linhas de Corrente As empresas de aeronaves e automóveis e laboratórios de faculdades de engenharia, entre outros, usam frequentemente túneis de vento para visualizar os campos de escoamento [2]. Por exemplo, a Fig. 2.4 mostra um modelo de escoamento para o escoamento em torno de um carro montado em um túnel de vento, gerado por  fumaça solta no escoamento em cinco pontos a montante. Modelos de escoamentos podem ser visualizados usando  linhas de  tempo,  trajetórias,  linhas de emissão ou linhas de corrente. Se,  em  um  campo  de  escoamento,  várias  partículas  fluidas  adjacentes  forem  marcadas  em  um  dado  instante, formarão uma linha no fluido naquele instante; esta linha é chamada linha de tempo. Observações subsequentes da linha podem fornecer informações a respeito do campo de escoamento. Por exemplo, ao discutirmos o comportamento de um fluido  sob  a  ação  de  uma  força  de  cisalhamento  constante  (Seção  1.2),  foram  introduzidas  linhas  de  tempo  para demonstrar a deformação do fluido em instantes sucessivos. VÍDEO Linhas de Emissão. (em inglês) Uma  trajetória  é  o  caminho  traçado  por  uma  partícula  fluida  em  movimento.  Para  torná­la  visível,  temos  que identificar  uma  partícula  fluida  em  um  dado  instante,  por  exemplo,  pelo  emprego  de  um  corante  ou  fumaça  e,  em seguida, tiramos uma fotografia de exposição prolongada do seu movimento subsequente. A linha traçada pela partícula é uma trajetória. Essa metodologia pode ser usada para estudar, por exemplo, a  trajetória de um poluente  liberado em uma chaminé. Por outro lado, poderíamos preferir concentrar a atenção em um local fixo do espaço e identificar, novamente pelo emprego de corante ou fumaça, todas as partículas fluidas passando por aquele ponto. Após um curto período, teríamos certo  número  de  partículas  fluidas  identificáveis  no  escoamento,  e  todas  elas,  em  algum  momento,  passaram  pelo mesmo local fixo no espaço. A linha unindo estas partículas fluidas é definida como uma linha de emissão. Linhas  de  corrente  são  aquelas  desenhadas  no  campo  de  escoamento  de  modo  que,  em  um  dado  instante,  são tangentes  à  direção  do  escoamento  em  cada  ponto  do  campo.  Como  as  linhas  de  corrente  são  tangentes  ao  vetor velocidade  em  cada  ponto  do  campo  de  escoamento,  não  pode  haver  fluxo  de  matéria  através  delas.  As  linhas  de corrente é uma das técnicas de visualização mais comumente utilizada. Elas são utilizadas, por exemplo, para estudar o escoamento  sobre um automóvel  em uma  simulação  computacional. O procedimento  adotado para  obter  a  equação de uma linha de corrente em um escoamento bidimensional é ilustrado no Exemplo 2.1. VÍDEO Linhas de Corrente. (em inglês) No  escoamento  permanente,  a  velocidade  em  cada  ponto  do  campo  permanece  constante  com  o  tempo  e,  por conseguinte, as linhas de corrente não variam de um instante a outro. Isso implica que uma partícula localizada em uma determinada linha de corrente permanecerá sobre a mesma. Além disso, partículas consecutivas passando através de um ponto fixo do espaço estarão sobre a mesma linha de corrente e, subsequentemente, permanecerão nela. Então, em um escoamento permanente, trajetórias, linhas de emissão e linhas de corrente são idênticas no campo de escoamento. A Fig. 2.4 mostra uma fotografia de cinco linhas de emissão para o escoamento sobre um automóvel em um túnel de vento. Uma linha de emissão é a  linha produzida em um escoamento quando todas as partículas movendo­se sobre um ponto  fixo  são marcadas  de  alguma  forma  (por  exemplo,  usando  fumaça).  Podemos  também definir  as  linhas  de corrente. Estas são as linhas traçadas no campo de escoamento de modo que em um dado instante elas são tangentes à direção do  escoamento  em cada ponto no  campo de  escoamento. Uma vez que  as  linhas de  corrente  são  tangentes  ao vetor velocidade em cada ponto no campo de escoamento, não existe escoamento através de uma linha de corrente. As trajetórias  são  o  que  está  subentendido  em  seu nome:  elas mostram,  ao  longo do  tempo,  as  trajetórias  que  partículas individuais tomam (se você já viu fotos com lapsos de tempo do tráfego noturno, essa é a ideia). Finalmente, as linhas de tempo são criadas marcando uma linha em um escoamento e observando como ela evolui ao longo do tempo. Mencionamos  que  a  Fig.  2.4  mostra  linhas  de  emissão,  mas  na  verdade  o  modelo  mostrado  também  representa linhas  de  corrente  e  trajetórias! O modelo  em  regime  permanente mostrado  existirá  enquanto  a  fumaça  for  solta  dos cinco pontos fixados. Se tivéssemos que medir de alguma forma a velocidade em todos os pontos em um instante, para gerar linhas de corrente, gostaríamos de ter o mesmo padrão; se tivéssemos que soltar apenas uma partícula de fumaça em  cada  local,  ou  assistir  seu  movimento  ao  longo  do  tempo,  veríamos  as  partículas  seguirem  as  mesmas  curvas. Concluímos que para o  escoamento  em  regime permanente,  as  linhas de  emissão,  linhas de  corrente  e  trajetórias  são idênticas. Fig. 2.4 Linhas de emissão sobre um automóvel em um túnel de vento. (Cortesia da Audi AG.) As coisas são completamente diferentes para o escoamento em regime transiente. Nesse caso, as linhas de emissão, linhas  de  corrente  e  trajetórias  terão  geralmente  formas  diferentes.  Por  exemplo,  considere  que  uma  mangueira  de jardim seja segura pelas mãos e balançada para os lados enquanto a água sai com alta velocidade, como está mostrado na  Figura  2.5.  Obteremos  um  lençol  de  água.  Se  considerarmos  partículas  individuais  de  água,  veremos  que  cada partícula,  uma  vez  ejetada,  segue  uma  trajetória  em  linha  reta  (aqui,  para  simplificar,  desprezamos  a  gravidade):  as trajetórias são linhas retas, conforme está mostrado. Por outro lado, se começarmos a injetar corante na água enquanto ela  sai  da  mangueira,  geraremos  uma  linha  de  emissão,  e  essa  toma  a  forma  de  uma  onda  senoidal  em  expansão, conforme mostrado. Claramente, as trajetórias e linhas de emissão não coincidem para este escoamento em regime transiente (deixamos a determinação das linhas de corrente como um exercício). Podemos usar o campo de velocidade para deduzir as formas das linhas de emissão, trajetórias e linhas de corrente. Iniciemos com as  linhas de corrente:  como as  linhas de corrente  são paralelas ao vetor velocidade, podemos escrever (para 2D) x = x0eAt e y = y0e–At e eliminamos t. Resolvendo para eAt nas duas equações Portanto, xy = x0y0 = 16 m2 Notas: ✔ Este problema ilustra o método de cálculo de linhas de corrente e trajetórias. ✔ Posto que o escoamento é em regime permanente, as linhas de correntes e as trajetórias têm a mesma forma — isso não é verdade para um escoamento transiente. ✔ Quando se acompanha uma partícula (a formulação lagrangiana), sua posição (x, y) e velocidade (up = dx/dt e νp = dy/dt) são funções do tempo, mesmo se o escoamento for permanente. 2.3 Campo de Tensão Em nosso  estudo  de mecânica  dos  fluidos,  precisamos  entender  que  tipos  de  força  agem  sobre  as  partículas  fluidas. Cada  partícula  fluida  pode  sofrer  a  ação  de  forças  de  superfície  (pressão,  atrito)  que  são  geradas  pelo  contato  com outras partículas ou com superfícies sólidas; e forças de campo  (tais como forças de gravidade e eletromagnética) que agem através das partículas. A força de campo gravitacional atuando sobre um elemento de volume,  , é dada por  , no qual ρ é a massa específica  (massa  por  unidade  de  volume)  e    é  a  aceleração  local  da  gravidade.  Portanto,  a  força  de  campo gravitacional por unidade de volume é   e por unidade de massa é  . Forças  de  superfície  agindo  sobre  uma partícula  fluida  geram  tensões. O  conceito  de  tensão  é  útil  para  descrever como é que forças, agindo sobre as fronteiras de um meio (fluido ou sólido), são  transmitidas através do meio. Você provavelmente estudou  tensões em mecânica dos sólidos. Por exemplo, quando você fica de pé sobre uma prancha de esqui,  tensões  são  geradas  na  prancha.  Por  outro  lado,  quando  um  corpo  se move  através  de  um  fluido,  tensões  são desenvolvidas no fluido. A diferença entre um fluido e um sólido, como já vimos, é que as tensões em um fluido são majoritariamente geradas por movimento e não por deflexão. Imagine a superfície de uma partícula fluida em contato com outras partículas fluidas e considere a força de contato sendo gerada entre as partículas. Considere uma porção,  , da superfície em um ponto qualquer C. A orientação de   é dada pelo vetor unitário,  , mostrado na Fig. 2.6. O vetor    é normal à  superfície da partícula apontando para fora dela. A força,  , agindo sobre  , pode ser decomposta em duas componentes, uma normal e a outra tangente à área. Uma tensão normal σn e uma tensão de cisalhamento τn são então definidas como e O  subscrito n  na  tensão  foi  incluído  para  lembrar  que  as  tensões  estão  associadas  à  superfície    que  passa  por C, tendo uma normal com a direção e sentido de  . O fluido é realmente um contínuo, de modo que podemos imaginá­lo ao  redor  do  ponto C  como  composto  por  um  determinado  número  de  partículas  delimitadas  de  diferentes  maneiras, obtendo assim um número qualquer de diferentes tensões no ponto C. Ao lidar com quantidades vetoriais, tais como a força, é usual considerar as componentes em um sistema ortogonal de  coordenadas  cartesianas.  Em  coordenadas  retangulares,  podemos  considerar  as  tensões  atuando  em  planos  cujas normais orientadas para fora (novamente em relação ao elemento fluido considerado) estão nas direções dos eixos x, y ou z. Na Fig. 2.7, consideramos a tensão no elemento δAx, cuja normal orientada para fora está na direção do eixo x. A força,  ,  foi  decomposta  em  componentes  ao  longo  de  cada  eixo  de  coordenadas.  Dividindo  o  módulo  de  cada componente da força pela área, δAx, e tomando o limite quando δAx se aproxima de zero, definimos as três componentes da tensão mostradas na Fig. 2.7b: Fig. 2.6 O conceito de tensão em um meio contínuo. Fig. 2.7 Componentes da força e tensão sobre o elemento de área δAx. Usamos uma notação com índice duplo para designar as tensões. O primeiro índice (neste caso, x) indica o plano no qual a tensão atua (neste caso, a superfície perpendicular ao eixo x). O segundo índice indica a direção na qual a tensão atua. Considerando  agora  a  área  elementar δAy,  definiremos  as  tensões σyy, τyx  e  τyz;  a  utilização  da  área  elementar  δAz levaria, de modo semelhante, à definição de σzz, τzx e τzy. Embora  tenhamos  focalizado apenas  três planos ortogonais, um  infinito número de planos pode passar através do ponto C, resultando em um número infinito de tensões associadas a esses planos. Felizmente, o estado de tensão em um ponto  pode  ser  completamente  descrito  pela  especificação  das  tensões  atuantes  em  três  planos  quaisquer  ortogonais entre si que passam pelo ponto. A tensão em um ponto é especificada então pelas nove componentes em que σ  foi usado para denotar uma  tensão normal, e τ para denotar uma  tensão cisalhante. A notação para designar tensão é mostrada na Fig. 2.8. Referindo­nos ao elemento infinitesimal mostrado na Fig. 2.8, vemos que há seis planos (dois planos x, dois planos y e dois planos z), nos quais as tensões podem atuar. Para designar o plano de interesse, poderíamos usar termos como frontal e posterior, superior e inferior, ou esquerdo e direito. Contudo, é mais lógico nomear os planos em termos dos eixos de coordenadas. Os planos são nomeados e denotados como positivos ou negativos de acordo com o sentido da sua normal. Dessa forma, o plano superior, por exemplo, é um plano y positivo, o posterior é um plano z negativo. Também é necessário adotar uma convenção de sinais para a tensão. Uma componente da tensão é positiva quando o seu sentido e o do plano no qual atua são ambos positivos ou ambos negativos. Assim, τyx = 3,5 N/cm2  representa uma tensão de cisalhamento em um plano y positivo no sentido de x positivo, ou uma tensão de cisalhamento em um plano y negativo  no  sentido  de x  negativo. Na Fig.  2.8,  todas  as  tensões  foram  traçadas  como positivas. As  componentes  da tensão são negativas quando seu sentido tem sinal oposto ao sinal do plano no qual atuam. Fig. 2.8 Notação para tensão. 2.4 Viscosidade Qual a origem das tensões? Para um sólido, as tensões são desenvolvidas quando um material é deformado ou cisalhado elasticamente;  para  um  fluido,  as  tensões  de  cisalhamento  aparecem  devido  ao  escoamento  viscoso  (discutiremos sucintamente  as  tensões  normais  de  um  fluido). Desse modo,  dizemos  que  os  sólidos  são  elásticos  e  os  fluidos  são viscosos  (e  é  interessante  notar  que  muitos  tecidos  biológicos  são  viscoelásticos,  significando  que  eles  combinam características de um sólido e de um fluido). Para um fluido em repouso, não existirá tensão de cisalhamento. Veremos a  seguir  que  o  exame  da  relação  entre  a  tensão  de  cisalhamento  aplicada  e  o  escoamento  (especialmente  a  taxa  de deformação) do fluido pode ser usado para definir categorias de classificação de cada fluido. Considere o comportamento de um elemento fluido entre duas placas infinitas conforme mostrado na Fig. 2.9a. O elemento fluido retangular está inicialmente em repouso no tempo t. Consideremos agora que uma força constante para a direita δFx  seja aplicada à placa de modo que ela é arrastada através do fluido a velocidade constante δu. A ação de cisalhamento relativo da placa infinita produz uma tensão de cisalhamento, τyx, aplicada ao elemento fluido que é dada por em  que  δAy  é  a  área  de  contato  do  elemento  fluido  com  a  placa  e  δFx  é  a  força  exercida  pela  placa  sobre  aquele elemento.  Imagens  instantâneas  do  elemento  fluido,  mostradas  nas  Fig.  2.9a­c,  ilustram  a  deformação  do  elemento fluido da posição MNOP no tempo t, para a posição M′NOP′ no tempo t + δt, e para M″NOP″ no tempo t + 2δt, devido à tensão de cisalhamento imposta. Como mencionado na Seção 1.2, o fato de que o fluido se deforma continuamente em resposta a uma tensão de cisalhamento aplicada é que o torna diferente dos sólidos. Durante o intervalo de tempo δt (Fig. 2.9b), a deformação do fluido é dada por Desejamos expressar dα/dt  em função de quantidades prontamente mensuráveis.  Isso pode ser  feito  facilmente. A distância δl, entre os pontos M e M′, é dada por A parte (c) mostra que a tensão de cisalhamento é: ✔ Constante através da folga para um perfil de velocidade linear. ✔ Diretamente proporcional à velocidade da placa superior (por causa da linearidade dos fluidos newtonianos). ✔ Inversamente proporcional ao espaçamento entre as placas. Note que, em problemas como este, a força requerida para manter o movimento é obtida pela multiplicação da tensão pela área da placa. Como u varia linearmente com y, (e) Sentido das tensões de cisalhamento nas placas superior e inferior. Fluidos Não Newtonianos Fluidos  para  os  quais  a  tensão  de  cisalhamento  não  é  diretamente  proporcional  à  taxa  de  deformação  são  não newtonianos.  Embora  esse  assunto  não  seja  discutido  profundamente  neste  texto, muitos  fluidos  comuns  apresentam comportamento não newtoniano. Dois exemplos familiares são pasta dental e tinta Lucite.Fig. 2.10. Inúmeras equações empíricas  têm sido propostas [3, 4] para modelar as relações observadas entre τyx e du/dy para fluidos com comportamento independente do tempo. Para muitas aplicações da engenharia, essas relações podem ser adequadamente representadas pelo modelo exponencial que, para o escoamento unidimensional, torna­se em  que  o  expoente,  n,  é  chamado  de  índice  de  comportamento  do  escoamento  e  o  coeficiente,  k,  o  índice  de consistência. Esta equação reduz­se à lei da viscosidade de Newton para n = 1 com k = μ. Fig. 2.10 (a) Tensão de cisalhamento, τ, (b) viscosidade aparente, η, como uma função da taxa de deformação para o escoamento unidimensional de vários fluidos não newtonianos. Para assegurar que τyx tenha o mesmo sinal de du/dy, a Eq. 2.16 é reescrita na forma O termo η = k|du/dy|n−1 é referenciado como a viscosidade aparente do fluido. A ideia por trás da Eq. 2.17 é usar uma viscosidade η em uma equação cujo formato seja idêntico ao da Eq. 2.15, em que a viscosidade newtoniana μ é aplicada. A  grande  diferença  é  que  enquanto  μ  é  constante  (exceto  para  efeitos  de  temperatura),  η  depende  da  taxa  de cisalhamento.  A  maioria  dos  fluidos  não  newtonianos  tem  viscosidade  aparente  relativamente  elevada  quando comparada com a viscosidade da água. Os fluidos em que a viscosidade aparente decresce conforme a taxa de deformação cresce (n < 1) são chamados de fluidos  pseudoplásticos  (tornam­se  mais  finos  quando  sujeitos  a  tensões  cisalhantes).  A  maioria  dos  fluidos  não newtonianos enquadra­se nesse grupo; exemplos  incluem as soluções de polímeros, as suspensões coloidais e a polpa de papel em água. Se a viscosidade aparente cresce conforme a taxa de deformação cresce (n > 1), o fluido é chamado dilatante. Você pode ter uma ideia disso na praia — se você andar lentamente (e, portanto, gerando uma baixa taxa de cisalhamento) sobre uma areia muito úmida, você afunda nela, mas se você corre sobre ela  (gerando uma alta  taxa de cisalhamento), a areia é firme. Um “fluido” que se comporta como um sólido até que uma tensão limítrofe, τy, seja excedida e, subsequentemente, exibe  uma  relação  linear  entre  tensão  de  cisalhamento  e  taxa  de  deformação  é  denominado  plástico  de  Bingham  ou plástico ideal. O modelo correspondente para a tensão de cisalhamento é Suspensões de argila, lama de perfuração e pasta dental são exemplos de substâncias que exibem esse comportamento. O estudo dos  fluidos não newtonianos  é  ainda mais  complicado pelo  fato de que  a  viscosidade  aparente  pode  ser dependente  do  tempo.  Fluidos  tixotrópicos  mostram  um  decréscimo  em  η  com  o  tempo  sob  uma  tensão  cisalhante constante;  muitas  tintas  são  tixotrópicas.  Fluidos  reopéticos  mostram  um  aumento  em  η  com  o  tempo.  Após  a deformação, alguns fluidos retornam parcialmente à sua forma original quando livres da tensão aplicada; esses fluidos são denominados viscoelásticos (muitos fluidos biológicos funcionam desse jeito). VÍDEO CLÁSSICO Comportamento Reológico de Fluidos. (em inglês) 2.5 Tensão Superficial Você pode dizer quando o seu carro precisa ser lavado: as gotas de água tendem a parecer um pouco achatadas. Após a lavagem, as gotas de água sobre a superfície  teriam contornos mais esféricos. Esses dois casos são ilustrados na Fig. 2.11.  Dizemos  que  um  líquido  “molha”  uma  superfície  quando  o  ângulo  de  contato  θ  é  menor  que  90°.  Por  essa definição, a superfície do carro estava molhada antes da  lavagem, e não molhada após a  lavagem. Este é um exemplo dos efeitos da  tensão superficial. Sempre que um líquido está em contato com outros  líquidos ou gases, ou com uma superfície  gás/sólido,  como  neste  caso,  uma  interface  se  desenvolve  agindo  como  uma membrana  elástica  esticada  e criando  tensão  superficial.  Esta  membrana  exibe  duas  características:  o  ângulo  de  contato  θ  e  o  módulo  da  tensão superficial σ (N/m). Ambas dependem do tipo de líquido e do tipo da superfície sólida (ou do outro líquido ou gás) com a qual ele compartilha uma interface. No exemplo da lavagem de carro, o ângulo de contato mudou de um valor menor que  90°  para  um valor maior  que  90°  porque  a  lavagem mudou  a  natureza  da  superfície  sólida. Entre  os  fatores  que afetam o ângulo de contato estão a limpeza da superfície e a pureza do líquido. Outros  exemplos  de  efeitos  de  tensão  superficial  aparecem quando  você  consegue  colocar  uma  agulha  sobre  uma superfície de água e,  similarmente, quando pequenos  insetos aquáticos  são capazes de caminhar  sobre a  superfície da água. O Apêndice A contém dados de tensão superficial e ângulo de contato para líquidos comuns na presença de ar e de água. Um balanço de força em um segmento de interface mostra que há um salto de pressão através da suposta membrana elástica sempre que a interface é curva. Para uma gota de água no ar, a pressão na água é maior que a pressão ambiente; o mesmo é verdade para uma bolha de gás em um líquido. Para uma bolha de sabão no ar, a tensão superficial age em ambas as interfaces, interna e externa, entre a película de sabão e o ar ao longo da superfície curva da bolha. A tensão superficial  também conduz  aos  fenômenos  de  ondas  capilares  (isto  é,  de  comprimentos  de  onda muito  pequenos)  em uma superfície líquida [5] e de ascensão ou depressão capilar discutidos a seguir. Em engenharia, o efeito provavelmente mais importante da tensão superficial é a criação de um menisco curvo nos tubos de leitura de manômetros ou barômetros, causando a (normalmente indesejável) ascensão (ou depressão) capilar, conforme mostrado na Fig. 2.12. A ascensão capilar pode ser pronunciada se o líquido estiver em um tubo de diâmetro pequeno ou em uma fenda estreita, conforme mostrado no Exemplo 2.3. Fig. 2.11 Efeitos da tensão superficial sobre gotas de água. Fig. 2.12 Ascensão capilar e depressão capilar no interior e no exterior de um tubo circular. Para a água, σ = 72,8 mN/m e θ ≈ 0º e, para o mercúrio, σ = 484 mN/m e θ = 140º (Tabela A.4). Traçando o gráfico, Notas: ✔ Este problema reviu o uso do método do diagrama de corpo livre. ✔ Verificou-se que só é válido desprezar o volume na região do menisco quando Δh é grande em comparação com D. Entretanto, neste problema, Δh é cerca de 1 mm quando D é 11,2 mm (ou 30 mm); portanto, os resultados são apenas razoavelmente bons. O gráfico e os resultados foram gerados com o auxílio da planilha Excel. Utilizando a equação anterior para calcular Dmín, obtivemos para o mercúrio e para a água, e para ydh = 1 mm, Folsom [6] mostra que a análise simples do Exemplo 2.3 superestima o efeito da capilaridade e fornece resultados razoáveis  somente  para  diâmetros menores  do  que  2,54 mm.  Para  diâmetros  na  faixa  2,54  < D  <  27,94 mm,  dados experimentais para a ascensão capilar em uma interface água­ar estão correlacionados por meio da expressão empírica Δh = 0,400/e4,37D. As leituras em barômetros e manômetros devem ser feitas no nível médio do menisco. Esse local está afastado dos efeitos máximos da tensão superficial e, portanto, mais próximo do nível correto de líquido. Todos os dados de  tensão superficial do Apêndice A correspondem a medidas em  líquidos puros em contato com superfícies verticais limpas. Impurezas no líquido, sujeiras sobre a superfície ou inclinação na superfície podem causar meniscos indistintos; nessas condições, torna­se difícil determinar o nível de líquido com precisão. O nível de líquido é mais distinto em um tubo vertical. Quando tubos inclinados são utilizados para aumentar a sensibilidade de manômetros (veja Seção 3.3),  é  importante  fazer  cada  leitura no mesmo ponto  sobre o menisco e evitar  a utilização de  tubos com inclinações maiores que 15º em relação à horizontal. Compostos surfactantes reduzem significativamente a tensão superficial (em mais de 40% com pequenas variações em outras propriedades  [7]) quando adicionados à  água. Essas  substâncias  têm grande aplicação comercial:  a maioria dos detergentes  contém surfactantes para  ajudar  a  água a penetrar  e  retirar  sujeira de  superfícies. Os  surfactantes  são também bastante utilizados industrialmente na catálise, em aerossóis e na recuperação de óleos minerais e vegetais. VÍDEO Aumento Capilar. (em inglês) VÍDEO CLÁSSICO Tensão Superficial em Mecânica dos Fluidos. (em inglês) 2.6 Descrição e Classificação dos Movimentos de Fluido No Capítulo 1  e  neste  capítulo,  praticamente  finalizamos  nossa  breve  introdução  a  alguns  conceitos  e  ideias  que  são frequentemente  necessários  para  o  estudo  da mecânica  dos  fluidos. Antes  de  prosseguirmos  com  a  análise  detalhada desta  disciplina  no  restante  do  texto,  descreveremos  alguns  exemplos  interessantes  que  ilustram  uma  classificação ampla da mecânica dos fluidos com base em características importantes do escoamento. A mecânica dos fluidos é uma disciplina muito vasta: cobre tudo, desde a aerodinâmica de um veículo de transporte supersônico até a lubrificação das juntas  do  corpo  humano  pelo  fluido  sinuvial.  Por  isso,  necessitamos  delimitar  a mecânica  dos  fluidos  a  proporções aceitáveis  para  um  curso  introdutório.  Os  dois  aspectos  da  mecânica  dos  fluidos  mais  difíceis  de  tratar  são:  (1)  a natureza viscosa dos fluidos e, (2) sua compressibilidade. De fato, a primeira área da teoria da mecânica dos fluidos a se tornar altamente desenvolvida (em torno de 250 anos atrás!) foi aquela que trata do escoamento incompressível e sem atrito. Conforme veremos logo a seguir (e com mais detalhes mais adiante), esta teoria, embora extremamente elegante, leva  ao  famoso  resultado  denominado  paradoxo  de  d’Alembert:  nenhum  corpo  experimenta  arrasto  quando  se movimenta  em um  fluido  sem atrito — um  resultado que não é  exatamente  consistente  com qualquer  comportamento real! Embora não seja a única forma de fazê­lo, a maioria dos engenheiros subdivide a mecânica dos fluidos em termos da  presença  ou  não  dos  efeitos  viscosos  e  de  compressibilidade,  conforme mostrado  na  Fig.  2.13. Nesta  figura,  são mostradas  também classificações em termos do  tipo de escoamento, se  laminar ou  turbulento e se  interno ou externo. Vamos agora discutir cada um desses casos. VÍDEO Exemplos de Escoamento sobre uma Esfera. (em inglês) Escoamentos Viscosos e Não Viscosos Quando se joga uma bola para o ar (como no jogo de beisebol, futebol ou em qualquer outro esporte), além do efeito da gravidade, a bola experimenta também o arrasto aerodinâmico do ar. A questão que surge é: qual é a natureza da força de arrasto do ar sobre a bola? Em um primeiro momento, poderemos concluir que o arrasto é decorrente do atrito do ar escoando  sobre  a  bola;  com  um  pouco  mais  de  reflexão,  poderemos  chegar  à  conclusão  de  que  o  atrito  não  deve contribuir  muito  para  o  arrasto,  pois  a  viscosidade  do  ar  é  muito  pequena  e,  assim,  o  arrasto  seria  decorrente principalmente do aumento da pressão do ar na região frontal da bola à medida que ela empurra o ar para fora de seu caminho. A  questão  que  surge:  podemos  predizer,  em qualquer  instante,  a  importância  relativa  da  força  viscosa  e  da força de pressão na  frente da bola? Podemos  fazer previsões  similares para qualquer  objeto,  como,  por  exemplo,  um automóvel, um submarino ou um glóbulo vermelho do sangue movendo­se através de um fluido qualquer,  como,  por exemplo,  ar,  água  ou  plasma  sanguíneo?  A  resposta  (que  discutiremos  com  mais  detalhes  no  Capítulo  7)  é  que podemos! Podemos estimar se as forças viscosas são ou não desprezíveis em comparação com as forças de pressão pelo simples cálculo do número de Reynolds Fig. 2.13 Possível classificação da mecânica dos fluidos de meios contínuos. VÍDEO Escoamento Laminar Interno em um Tubo. (em inglês) Re =  em  que  ρ  e  μ  são,  respectivamente,  a  massa  específica  e  a  viscosidade  do  fluido  e  V  e  L  são  a  velocidade  e  o comprimento  típicos  ou  “característicos”  do  escoamento  (nesse  exemplo,  a  velocidade  e  o  diâmetro  da  bola), respectivamente.  Se  o  número  de  Reynolds  for  “grande”,  os  efeitos  viscosos  serão  desprezíveis  (porém  ainda  terão importantes  consequências  conforme  veremos  em  breve)  pelo menos  na maior  parte  do  escoamento;  se  o  número  de Reynolds  for  pequeno,  os  efeitos  viscosos  serão  dominantes.  Finalmente,  se  o  número  de  Reynolds  não  for  nem desprezível! Podemos,  agora,  começar  a  ver  também  como  funciona  a  carenagem  de  um  corpo.  Em  aerodinâmica,  a  força  de arrasto  é  decorrente,  em geral,  da  esteira  de  baixa  pressão:  se  pudermos  reduzir  ou  eliminar  a  esteira,  o  arrasto  será bastante  reduzido.  Se  considerarmos  mais  uma  vez  o  porquê  da  separação  da  camada­limite,  recairemos  sobre  dois fatos: o atrito na camada­limite reduz a velocidade das partículas, mas também cria o gradiente de pressão adverso. A pressão aumenta muito rapidamente na metade posterior da esfera na Fig. 2.14a, porque as linhas de corrente se abrem também muito rapidamente. Se fizermos com que a esfera ganhe o formato de uma gota de lágrima, conforme mostrado na  Fig.  2.16,  as  linhas  de  corrente  vão  se  abrir  gradualmente  e,  desse  modo,  o  gradiente  de  pressão  aumentará lentamente por uma extensão em que as partículas não serão forçadas a se separar do objeto até quase atingirem o seu final. A  esteira  será muito menor  (e  isso  faz  com que  a  pressão  não  seja  tão  baixa  quanto  antes),  resultando  em um arrasto de pressão também bem menor. O único aspecto negativo dessa carenagem é que a área total da superfície sobre a qual ocorre atrito aumenta e, com isso, o arrasto decorrente do atrito aumenta um pouco. Devemos salientar que esta discussão não se aplica ao exemplo de uma partícula de pó caindo: este escoamento com baixo número de Reynolds é viscoso – não existe região invíscida. Finalmente,  esta  discussão  ilustra  a  diferença  bastante  significativa  entre  escoamento  não  viscoso  (μ  =  0)  e escoamento no qual a viscosidade é desprezível, porém superior a zero (μ → 0). Figura 2.16 Escoamento sobre um objeto carenado. VÍDEO Escoamento de Linhas de Corrente sobre um Aerofólio (em inglês) VÍDEO Linhas de Corrente em torno de um Carro. (em inglês) Escoamentos Laminar e Turbulento Se você abrir uma  torneira  (que não  tem dispositivo de aeração ou outra derivação) com uma vazão muito pequena, a água  escoará  para  fora  suavemente — quase  “vitrificada”.  Se  você  aumentar  a  vazão,  a  água  sairá  de  forma  agitada, caótica.  Estes  são  exemplos  de  como  um  escoamento  viscoso  pode  ser  laminar  ou  turbulento,  respectivamente.  Um escoamento  laminar  é  aquele  em  que  as  partículas  fluidas movem­se  em  camadas  lisas,  ou  lâminas;  um  escoamento turbulento  é  aquele  em  que  as  partículas  fluidas  rapidamente  se  misturam  enquanto  se  movimentam  ao  longo  do escoamento devido a  flutuações aleatórias no campo  tridimensional de velocidades. Exemplos  típicos de  trajetórias de cada um desses escoamentos são  ilustrados na Fig. 2.17, que mostra um escoamento unidimensional. Na maioria dos problemas de mecânica dos  fluidos – por exemplo, escoamento de água em um tubo — a  turbulência é um fenômeno quase sempre indesejável, porém inevitável, porque cria maior resistência ao escoamento; em outros problemas — por exemplo,  o  escoamento  de  sangue  através  de  vasos  sanguíneos  —  a  turbulência  é  desejável  porque  o  movimento aleatório  permite  o  contato  de  todas  as  células  de  sangue  com  as  paredes  dos  vasos  para  trocar  oxigênio  e  outros nutrientes. Fig. 2.17 Trajetórias de partículas em escoamentos unidimensionais, laminar e turbulento. A  velocidade  do  escoamento  laminar  é  simplesmente  u;  a  velocidade  do  escoamento  turbulento  é  composta  pela velocidade média ū mais as três componentes das flutuações aleatórias de velocidade u′, υ′ e w′. Embora muitos escoamentos turbulentos de interesse sejam permanentes na média (ū não é uma função do tempo), a  presença  de  flutuações  aleatórias  de  velocidade  e  de  alta  frequência  torna  a  análise  do  escoamento  turbulento extremamente  difícil.  Em  um  escoamento  laminar,  unidimensional,  a  tensão  de  cisalhamento  está  relacionada  com  o gradiente de velocidade pela relação simples VÍDEO CLÁSSICO Dinâmica de Fluido de Arrasto, I–IV. (em inglês) Para um escoamento turbulento, no qual o campo de velocidade média é unidimensional, nenhuma relação simples como essa é válida. Flutuações tridimensionais e aleatórias de velocidade (u′, υ′ e w′)  transportam quantidade de movimento através  das  linhas  de  corrente  do  escoamento  médio,  aumentando  a  tensão  de  cisalhamento  efetiva.  (Essa  tensão aparente é discutida com mais detalhes no Capítulo 8.) Consequentemente, para um escoamento turbulento, não existem relações universais entre o campo de tensões e o campo de velocidade média. Portanto, para a análise de escoamentos turbulentos, temos que nos apoiar fortemente em teorias semiempíricas e em dados experimentais. VÍDEO Escoamento Laminar e Turbulento. (em inglês) Escoamentos Compressível e Incompressível Escoamentos  nos  quais  as  variações  na massa  específica  são  desprezíveis  denominamse  incompressíveis;  quando  as variações de massa específica não são desprezíveis, o escoamento é denominado compressível. O exemplo mais comum de escoamento compressível é o escoamento de gases, enquanto o escoamento de líquidos pode, geralmente, ser tratado como incompressível. Para muitos  líquidos,  a  temperatura  tem  pouca  influência  sobre  a massa  específica.  Sob  pressões moderadas,  os líquidos podem  ser  considerados  incompressíveis. Entretanto,  em altas  pressões,  os  efeitos  de  compressibilidade nos líquidos podem ser importantes. Mudanças de pressão e de massa específica em líquidos são relacionadas pelo módulo de compressibilidade, ou módulo de elasticidade, Se  o módulo  de  compressibilidade  for  independente  da  temperatura,  a massa  específica  será  uma  função  da  pressão apenas (o fluido é barotrópico). Valores de módulos de compressibilidade para alguns  líquidos comuns são dados no Apêndice A. O golpe de aríete e a cavitação são exemplos da  importância dos efeitos de compressibilidade nos escoamentos de líquidos.  O  golpe  de  aríete  ou  martelo  hidráulico  é  causado  pela  propagação  e  reflexão  de  ondas  acústicas  em  um líquido confinado, por exemplo, quando uma válvula é bruscamente fechada em uma tubulação. O ruído resultante pode ser similar ao da “batida de um martelo” em um tubo, daí a origem do termo. VÍDEO CLÁSSICO Cavitação. (em inglês) A cavitação ocorre quando bolhas ou bolsas de vapor se formam em um escoamento líquido como consequência de reduções  locais  na  pressão  (por  exemplo,  nas  extremidades  das  pás  da  hélice  de  um barco  a motor). Dependendo  do número  e  da  distribuição  de  partículas  no  líquido  às  quais  pequenas  bolhas  de  gás  ou  ar  não  dissolvido  podem  se agregar, a pressão no local de início da cavitação pode ser igual ou menor do que a pressão de vapor do líquido. Essas partículas agem como locais de nucleação para iniciar a vaporização. A pressão  de  vapor  de  um  líquido  é  a  pressão  parcial  do  vapor  em  contato  com  o  líquido  saturado  a  uma  dada temperatura.  Quando  a  pressão  em  um  líquido  é  reduzida  abaixo  da  pressão  de  vapor,  o  líquido  pode  passar abruptamente para a fase vapor, em um fenômeno que lembra o espocar do “flash” de uma máquina fotográfica. As  bolhas  de  vapor  em  um  escoamento  de  líquido  podem  alterar  substancialmente  a  geometria  do  campo  de escoamento. O  crescimento  e  o  colapso  ou  implosão  de  bolhas  de  vapor  em  regiões  adjacentes  a  superfícies  sólidas podem causar sérios danos por erosão das superfícies do material. Líquidos muito puros podem suportar grandes pressões negativas (tanto quanto –6 MPa para a água destilada) antes que  as  “rupturas”  e  a  vaporização  do  líquido  ocorram.  Ar  não  dissolvido  está  invariavelmente  presente  próximo  à superfície livre da água doce ou da água do mar, de modo que a cavitação ocorre onde a pressão total local está bastante próxima da pressão de vapor. Escoamentos  de  gases  com  transferência  de  calor  desprezível  também  podem  ser  considerados  incompressíveis, desde que as velocidades do escoamento sejam pequenas em relação à velocidade do som; a razão entre a velocidade do escoamento, V, e a velocidade local do som, c, no gás, é definida como o número de Mach, Para M < 0,3, a variação máxima da massa específica é  inferior a 5%. Assim, os escoamentos de gases com M < 0,3 podem  ser  tratados  como  incompressíveis;  um  valor  de  M  =  0,3  no  ar,  na  condição­padrão,  corresponde  a  uma velocidade de aproximadamente 100 m/s. Por exemplo, quando você dirige o seu carro a 105 km/h, o ar escoando em torno dele apresenta pequena variação na massa específica,  embora  isso possa parecer um pouco contrário à  intuição. Como veremos no Capítulo 12, a velocidade do som em um gás ideal é dada por c =  , na qual k é a razão dos calores específicos, R é a constante do gás e T é a temperatura absoluta. Para o ar nas condições­padrão de temperatura e pressão, k = 1,40 e R = 286,9 J/kg · K. Os valores para k e R são fornecidos no Apêndice A nas condições­padrão de temperatura e pressão para diversos gases selecionados entre os mais comuns. Adicionalmente, o Apêndice A contém alguns dados úteis sobre propriedades atmosféricas, tais como temperatura para várias elevações. Escoamentos  compressíveis  ocorrem  com  frequência  nas  aplicações  de  engenharia.  Exemplos  comuns  incluem sistemas de ar comprimido empregados no acionamento de ferramentas e equipamentos pneumáticos e brocas dentárias, a condução de gases em  tubulações a altas pressões, os controles pneumático e hidráulico e os sistemas sensores. Os Aparelho de MP3 de um dos autores Algumas pessoas têm a impressão de que a mecânica dos fluidos é de tecnologia velha ou ultrapassada: o escoamento de água em uma tubulação residencial, as forças fluidas agindo sobre uma represa, e assim por diante. Embora seja verdade que muitos conceitos em mecânica dos fluidos possuam centenas de anos, existem ainda muitas novas e excitantes áreas de pesquisa e desenvolvimento. Todos já ouviram falar da área de mecânica dos fluidos de tecnologia relativamente de ponta chamada carenagem (de carros, aeronaves, bicicletas de corrida e roupas para competição em natação, para mencionar somente algumas), mas existem muitas outras. Se você é um estudante de engenharia típico, existe uma boa chance de que enquanto estiver lendo este capítulo você esteja ouvindo música em seu aparelho de MP3; você pode agradecer à mecânica dos fluidos por sua capacidade de fazer isso! O minúsculo disco rígido em um desses aparelhos guarda tipicamente em torno de 250 GB de dados, portanto a superfície do disco deve ter uma enorme densidade (maior do que 40.000 faixas por cm); adicionalmente, o cabeçote leitor/gravador deve ficar muito perto do disco enquanto ele transfere os dados (tipicamente o cabeçote está 0,05 μm acima da superfície do disco — um cabelo humano possui cerca de 100 μm). O disco também gira a uma velocidade maior do que 500 rotações por segundo! Consequentemente, os rolamentos em que o eixo do disco gira devem ter pouquíssimo atrito e também não possuir balanços ou folgas — caso contrário, na pior das hipóteses, o cabeçote vai colidir com o disco ou, na melhor das hipóteses, você não será capaz de ler os dados (eles estarão guardados demasiadamente perto). Projetar tal rolamento representa um grande desafio. Até poucos anos atrás, a maioria dos discos rígidos utilizava rolamentos de esferas, que são essencialmente parecidos com aqueles na roda de uma bicicleta; eles trabalham segundo o princípio de que um eixo pode rodar se ele está seguro por um anel de pequenas esferas que são suportadas em uma armação. Os problemas com os rolamentos de esferas são que eles possuem muitos componentes; são muito difíceis de construir com a precisão necessária ao disco rígido; são vulneráveis ao choque (se você soltar um disco rígido com uma unidade dessas é provável que uma das esferas se quebre assim que atingir o eixo, destruindo o rolamento); e esses rolamentos são relativamente ruidosos. Os construtores de discos rígidos estão crescentemente adotando os rolamentos fluidodinâmicos. Estes são mecanicamente mais simples do que os rolamentos de esferas; eles consistem basicamente em um eixo montado diretamente sobre a abertura do rolamento, somente com um lubrificante viscoso formulado especialmente (tal como óleo ester) na fenda de somente uns poucos mícrons. O eixo e/ou superfícies do rolamento possuem o modelo de uma espinha para manter o óleo no lugar. Esses rolamentos são extremamente duráveis (eles podem frequentemente resistir a um impacto de 500 g!) e pouco ruidosos; no futuro eles permitirão também velocidades de rotação acima de 15.000 rpm, tornando o acesso aos dados ainda mais rápido do que nos aparelhos atuais. Os rolamentos fluidodinâmicos foram usados anteriormente, em aparelhos tais como giroscópios, mas a fabricação deles em tamanho tão pequeno é novidade. Alguns rolamentos fluidodinâmicos usam o ar como fluido lubrificante, mas um dos problemas é que eles algumas vezes param de trabalhar quando você tenta acioná-los durante o voo em uma aeronave — a pressão na cabine é insuficiente para manter a pressão que o rolamento necessita! Recentemente, os preços e a capacidade de memória flash têm melhorado tanto que muitos aparelhos de MP3 estão migrando da tecnologia de HD para a tecnologia de memória flash. Eventualmente, computadores do tipo notebook e desktop também usarão memória flash, mas, pelo menos para os próximos anos, o meio primário de armazenagem de dados será o HD. O seu computador ainda terá componentes vitais baseados na mecânica dos fluidos. Referências 1. Vincenti, W. G., and C. H. Kruger Jr., Introduction to Physical Gas Dynamics. New York: Wiley, 1965. 2. Merzkirch, W., Flow Visualization, 2nd ed. New York: Academic Press, 1987. 3. Tanner, R. I., Engineering Rheology. Oxford: Clarendon Press, 1985. 4. Macosko, C. W., Rheology: Principles, Measurements, and Applications. New York: VCH Publishers, 1994. 5.  Loh, W. H.  T.,  “Theory  of  the Hydraulic Analogy  for  Steady  and Unsteady Gas Dynamics,”  in Modern  Developments  in  Gas Dynamics, W. H. T. Loh, ed. New York: Plenum, 1969. 6. Folsom, R. G., “Manometer Errors Due to Capillarity,” Instruments, 9, 1, 1937, pp. 36­37. 7. Waugh, J. G., and G. W. Stubstad, Hydroballistics Modeling. San Diego: Naval Undersea Center, ca. 1972. Problemas Campo de velocidade 2.1 Para os campos de velocidade dados abaixo, determine: a. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê. b. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê. (As quantidades a e b são constantes.) 2.2 Para os campos de velocidade dados abaixo, determine: a. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê. b. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê. (As quantidades a e b são constantes.) 2.3 Um líquido viscoso é cisalhado entre dois discos paralelos; o disco superior gira e o inferior é fixo. O campo de velocidade entre os discos é dado por   = êθωz/h. (A origem das coordenadas está localizada no centro do disco inferior; o disco superior está em z = h.) Quais são as dimensões desse campo de velocidade? Ele satisfaz as condições físicas de fronteira apropriadas? Quais são elas? 2.4 Para o campo de velocidade em que   = Ax2y  + Bxy2 , em que A= 2 m−2 s−1 e B = 1 m−2 s−1, e as coordenadas são medidas em metros, obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente para valores no primeiro quadrante. 2.5 O campo de velocidade em que   Ax  − Ay , em que A = 2 s−1, pode ser interpretado para representar o escoamento em um canto. Determine uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (x, y) = (0, 0). 2.6 Um campo de velocidade é especificado como em que   = axy  + by2 , em que a = 2 m−1s−1, b = −6 m−1s−1 e as coordenadas são medidas em metros. O campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional? Por quê? Calcule as componentes da velocidade no ponto (2, ½). Deduza uma equação para a linha de corrente que passa por esse ponto. Trace algumas linhas de corrente no primeiro quadrante incluindo aquela que passa pelo ponto (2, ½). 2.7 O campo de velocidade é dado por   = ax  − bty , em que a = 1 s−1, b = 1 s−2. Determine a equação das linhas de corrente para qualquer tempo t. Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante para t = 0, t = 1 s e t = 20 s. 2.8 Um campo de velocidade é dado por   = ax3  + bxy3  em que a = 1 m−2s−1 e b = 1 m−3s−1. Determine a equação das linhas de corrente. Trace algumas linhas de corrente no primeiro quadrante. 2.9 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade   = (Ax + B)  + (−Ay) , em que A = 3 m/s/m e B = 6 m/s. Trace algumas linhas de corrente no plano xy, incluindo aquela que passa pelo ponto (x, y) = (0,3;0,6). 2.10 A velocidade para um escoamento permanente incompressível no plano xy é dada por   =  A/x +  A/x2, em que A = 2 m2/s e as coordenadas são medidas em metros. Obtenha uma equação para a linha de corrente que passa pelo ponto (x, y) = (1, 3). Calcule o tempo necessário para que uma partícula fluida se mova de x = 1 m até x = 2 m neste campo de escoamento. 2.11 O campo de escoamento para um escoamento atmosférico é dado por em que M = 1 s−1 e as coordenadas x e y são paralelas à latitude e longitude locais. Trace um gráfico com o módulo da velocidade ao longo do eixo x, ao longo do eixo y e ao longo da linha y = x, e discuta o sentido da velocidade em relação a esses três eixos. Para cada gráfico use a faixa 0 ≤ x ou y ≤ 1 km. Determine a equação para as linhas de corrente e esboce diversas dessas linhas. O que esse campo de escoamento modela? 2.12 O campo de escoamento para um escoamento atmosférico é dado por em que K = 105 m2/s e as coordenadas x e y são paralelas à latitude e longitude locais. Trace um gráfico com o módulo da velocidade ao longo do eixo x, ao longo do eixo y e ao longo da linha y = x, e discuta o sentido da velocidade em relação a esses três eixos. Para cada gráfico use a faixa −1 km ≤ x ou y ≤ 1 km, excluindo |x| ou |y| < 100 m. Determine a equação para as linhas de corrente e esboce diversas dessas linhas. O que esse campo de escoamento modela? 2.13 Um campo de escoamento é dado por Obtenha a linha de corrente que passa pelo ponto (6, 6). No instante t = 1 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (1, 4) no instante t = 0? Em t = 3 s, quais são as coordenadas da partícula que passou dois segundos antes pelo ponto (−3, 0)? Mostre que as trajetórias, as linhas de corrente e as linhas de emissão para este escoamento são coincidentes. 2.32 Pequenas bolhas de hidrogênio estão sendo utilizadas na visualização de um escoamento. Todas as bolhas são geradas na origem (x = 0, y = 0). O campo de velocidade é transiente e obedece às equações: u = 1 m/s ν = 2 m/s 0 ≤ t < 2 s u = 0 ν = −1 m/s 0 ≤ t ≤ 4 s Trace as trajetórias das bolhas que deixam a origem em t = 0, 1, 2, 3 e 4 s. Marque as localizações dessas cinco bolhas em t = 4 s. Use uma linha tracejada para indicar a posição de uma linha de emissão em t = 4 s. 2.33 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade   = ax  + b , em que a = 1/5 s−1 b = 1 m/s. As coordenadas são medidas em metros. Obtenha uma equação para a linha de corrente que passa através do ponto (1, 1). Em t = 5 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (1, 1) em t = 0? Quais são suas coordenadas em t = 10 s? Trace a linha de corrente e as posições da partícula no  início, em 5 s e 10 s. Que conclusões você pode  tirar  sobre  trajetória,  linha de corrente e  linha de emissão para este escoamento? 2.34 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade   = a  + bx , em que a = 2 m/s e b = 1 s−1. As coordenadas são medidas em metros. Obtenha a equação para a linha de corrente que passa pelo ponto (2, 5). Em t = 2 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (0, 4) em t = 0? Em t = 3 s, quais são as coordenadas da partícula que passou dois segundos antes pelo ponto (x, y) = (1, 4, 25)? Que conclusões você pode tirar a respeito da trajetória, linha de corrente e de emissão para esse escoamento? 2.35 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade   = ay  + bt , em que a = 0,2 sª1e b = 0,4 m/s2. Em t = 2 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (1, 2) em t = 0. Em t = 3 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (1, 2) em t = 2 s? Trace a trajetória e linha de emissão através do ponto (1, 2), e compare com as linhas de corrente através do mesmo ponto nos instantes t = 0, 1, 2 e 3 s. 2.36 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade   = at  + b , em que a = 0,4 m/s2e b = 2 m/s. Em t = 2 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (2, 1) em t = 0? Em t = 3 s, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (2, 1) em t = 2 s. Trace a linha de emissão e a trajetória pelo ponto (2, 1) e compare com as linhas de corrente passando pelo mesmo ponto nos instantes t = 0, 1 e 2 s. Viscosidade 2.37 A variação da viscosidade do ar com a temperatura é bem correlacionada pela equação empírica de Sutherland Os valores de b e S que melhor ajustam esta equação são dados no Apêndice A. Use esses valores para desenvolver uma equação para calcular  a  viscosidade  cinemática  do  ar  em  unidades  do  Sistema  Internacional  de Unidades  como  uma  função  da  temperatura  a pressão atmosférica. Considere o comportamento de gás ideal. Cheque a equação calculando a viscosidade cinemática do ar a 0°C e a 100°C, e compare com os dados no Apêndice A (Tabela A.10); trace o gráfico da viscosidade cinemática para a faixa de temperatura de 0°C a 100°C, usando a equação e dados na Tabela A.10. 2.38 A variação da viscosidade do ar com a temperatura é bem correlacionada pela equação empírica de Sutherland Os  valores  de  b  e  S  que  melhor  ajustam  essa  equação  são  dados  no  Apêndice  A  para  serem  usados  em  unidades  do  Sistema Internacional.  Use  esses  valores  para  desenvolver  uma  equação  para  calcular  a  viscosidade  do  ar  em  unidades  do  Sistema Gravitacional  Britânico  como  uma  função  da  temperatura  absoluta  em  graus  Rankine.  Verifique  a  exatidão  dos  seus  resultados comparando­os com os dados do Apêndice A. 2.39 Alguns dados experimentais para a viscosidade do hélio a 1 atm são T, °C 0 100 200 300 400 μ N · s/m2(× 105 1,86 2,31 2,72 3,11 3,46 Utilizando a metodologia descrita no Apêndice A.3, correlacione estes dados com a equação empírica de Sutherland (em que T é dado em kelvin) e obtenha valores para as constantes b e S. 2.40 A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por em que h é a distância separando as placas e a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 15ºC, com umáx = 0,10 m/s e h = 0,1 mm. Calcule a  tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento em uma seção transversal do canal. 2.41 A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por em que h é a distância separando as duas placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a 15ºC com velocidade máxima de 0,05 m/s e h = 0,1 mm. Calcule a força sobre uma seção de 1 m2 da placa inferior e dê o seu sentido. 2.42 Explique como um patim interage com a superfície de gelo. Que mecanismos agem no sentido de reduzir o atrito de deslizamento entre o patim e o gelo? 2.43 Petróleo bruto, com densidade relativa SG = 0,85 e viscosidade μ = 0,1 N · s/m2, escoa de forma permanente sobre uma superfície inclinada de θ = 45 graus para baixo em relação à horizontal, em uma película de espessura h = 0,1 in. O perfil de velocidade é dado por (A coordenada x está ao longo da superfície e y é normal a ela.) Trace o perfil da velocidade. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície. 2.44 Uma patinadora de estilo livre no gelo desliza sobre patins à velocidade V = 6 m/s. O seu peso, 450 N, é suportado por uma fina película de água fundida do gelo pela pressão da lâmina do patim. Considere que a lâmina tem comprimento L = 0,3 m e largura w = 3 mm,  e que  a película de  água  tem espessura h  =  0,0015 mm. Estime  a  desaceleração  da  patinadora  que  resulta  do  cisalhamento viscoso na película de água, desprezando efeitos das extremidades do patim. 2.45 Um bloco cúbico pesando 45 N e com arestas de 250 mm é puxado para cima sobre uma superfície inclinada sobre a qual há uma fina película de óleo SAE 10W a 37ºC. Se  a velocidade do bloco é de 0,6 m/s  e  a película de óleo  tem 0,025 mm de espessura, determine a força requerida para puxar o bloco. Suponha que a distribuição de velocidade na película de óleo seja linear. A superfície está inclinada de 25º a partir da horizontal. 2.46 Um bloco cúbico de massa 10 kg e de aresta de 250 mm é puxado para cima em uma superfície inclinada, sobre o qual há um filme de óleo SAE 10W­30 a –1,1°C de espessura 0,025 mm. Determine a velocidade constante do bloco se ele for liberado. Se uma força de 75 N for aplicada para puxar o bloco para cima da superfície inclinada, determine a velocidade constante de subida do bloco. Se agora a força for aplicada para puxar o bloco para baixo, determine a velocidade constante do bloco. Considere que a distribuição de velocidade do bloco no filme seja linear. A superfície está inclinada de 30° a partir da horizontal. 2.47 Uma fita adesiva, de espessura 0,38 mm e  largura de 25 mm, deve ser  revestida em ambos os  lados com cola. Para  isso, ela puxada em posição centrada através de uma ranhura  retangular estreita,  sobrando um espaço de 0,3 mm em cada  lado. A cola, de viscosidade μ = 1 N · s /m2, preenche completamente os espaços entre a fita e a ranhura. Se a fita pode suportar uma força máxima de tração de 110 N, determine o máximo comprimento através da ranhura que ela pode ser puxada a uma velocidade de 1 m/s. 2.48 Um pistão de alumínio (SG = 2,64) com 73 mm de diâmetro e 100 mm de comprimento, está em tubo de aço estacionário com 75 mm de  diâmetro  interno. Óleo  SAE  10 W  a  25ºC  ocupa  o  espaço  anular  entre  os  tubos. Uma massa m  =  2  kg  está  suspensa  na extremidade inferior do pistão, como mostrado na figura. O pistão é colocado em movimento cortando­se uma corda suporte. Qual é a velocidade terminal da massa m? Considere um perfil de velocidade linear dentro do óleo. 2.49 O pistão no Problema 2.48 está viajando a velocidade terminal, mas, agora, com a massa m desconectada do pistão. Trace um gráfico  com  a  velocidade  do  pistão  em  função  do  tempo.  Quanto  tempo  o  pistão  leva  para  alcançar  1%  dessa  nova  velocidade terminal? 2.50 Um bloco de massa M  desliza  sobre uma  fina película de óleo. A espessura da película  é h  e  a  área  do  bloco  é A. Quando liberada,  a  massa m  exerce  tração  na  corda,  causando  a  aceleração  do  bloco.  Despreze  o  atrito  na  polia  e  a  resistência  do  ar. Desenvolva uma expressão algébrica para a força viscosa que atua sobre o bloco quando ele se move à velocidade V. Deduza uma equação diferencial para a velocidade do bloco como uma função do tempo. Obtenha uma expressão algébrica para a velocidade do bloco em função do tempo. A massa M = 5 kg, m = 1 kg, A = 25 cm2 e h = 0,5 mm. Se o bloco leva 1 segundo para atingir a velocidade de 1 m/s, determine a viscosidade, μ, do óleo. Esboce a curva V(t). 2.51  Um  bloco  cúbico,  com  arestas  de  0,1 metro  e massa  de  5  kg,  desliza  em  um  plano  inclinado  30º  para  baixo  em  relação  à horizontal, sobre um filme de óleo SAE 30 a 20ºC com 0,20 mm de espessura. Se o bloco for liberado do repouso em t = 0, qual a sua aceleração  inicial?  Deduza  uma  expressão  para  a  velocidade  do  bloco  em  função  do  tempo.  Trace  a  curva  V(t).  Determine  a velocidade do bloco após 0,1 s. Se desejássemos que o bloco atingisse uma velocidade de 0,3 m/s nesse tempo, qual deveria ser a viscosidade µ do óleo? 2.52 Um bloco cúbico, com arestas de dimensão a mm, desliza sobre uma fina película de óleo em uma placa plana. O óleo  tem viscosidade μ e a película tem espessura h mm. O bloco de massa M move­se com velocidade constante U sob a ação de uma força constante F. Indique o módulo e o sentido das tensões de cisalhamento atuando no fundo do bloco e na placa. Esboce uma curva para a 2.64 Um acoplamento imune a choques, para acionamento mecânico de baixa potência, deve ser fabricado com um par de cilindros concêntricos. O espaço anular entre os cilindros será preenchido com óleo. O dispositivo deve transmitir uma potência   = 10 W. Outras dimensões e propriedades estão indicadas na figura do exercício. Despreze qualquer atrito de mancal e efeitos de extremidade. Considere que a folga mínima, prática, para o dispositivo seja δ = 0,25 mm. A indústria Dow fabrica fluidos à base de silicone com viscosidades tão altas quanto 106 centipoises. Determine a viscosidade que deverá ser especificada de modo a satisfazer os requisitos desse dispositivo. 2.65 Um eixo circular de alumínio montado sobre um mancal de sustentação estacionário é mostrado. A folga simétrica entre o eixo e o mancal  está  preenchida  com  óleo  SAE  10W­30  a T  =  30ºC. O  eixo  é  posto  em  rotação  pela massa  e  corda  a  ele  conectadas. Desenvolva e resolva uma equação diferencial para a velocidade angular do eixo como função do tempo. Calcule a velocidade angular máxima do eixo e o tempo requerido para ele atingir 95% dessa velocidade. 2.66 Foi proposto empregar um par de discos paralelos para medir a viscosidade de uma amostra líquida. O disco superior gira a uma altura h acima do disco inferior. A viscosidade do líquido na folga deve ser calculada a partir de medições do torque necessário para girar o disco superior continuamente em regime permanente. Obtenha uma expressão algébrica para o torque necessário para girar o disco superior. Esse dispositivo poderia ser utilizado para medir a viscosidade de um fluido não newtoniano? Explique. 2.67 O viscosímetro de cone e placa mostrado é um instrumento frequentemente usado para caracterizar fluidos não newtonianos. Ele consiste em uma placa plana e em um cone giratório, com ângulo muito obtuso (θ é, tipicamente, inferior a 0,5°). Apenas o ápice do cone toca a superfície da placa, e o líquido a ser testado preenche a estreita fenda formada pelas duas peças. Deduza uma expressão para a taxa de cisalhamento no líquido que preenche a fenda em termos da geometria do sistema. Avalie o torque de acionamento do cone em termos da tensão de cisalhamento e da geometria do sistema. 2.68 O viscosímetro do Problema 2.67 foi usado para medir a viscosidade aparente de um fluido. Os dados abaixo foram obtidos. Que tipo de fluido não newtoniano é este? Determine os valores para k e n usados nas Eqs. 2.16 e 2.17 de definição da viscosidade aparente de um fluido. (Considere θ igual a 0,5º.) Avalie a viscosidade a 90 e a 100 rpm. Velocidade (rpm) 10 20 30 40 50 60 70 80 μ (N ·s/m2) 0,121 0,139 0,153 0,159 0,172 0,172 0,183 0,185 2.69  Uma  empresa  de  isolamento  está  examinando  um  novo  material  para  extrusão  em  cavidades.  Os  dados  experimentais  são fornecidos a seguir para a velocidade U da placa superior, que é separada de uma placa fixa inferior por uma amostra do material com 1 mm de espessura, quando uma dada tensão de cisalhamento é aplicada. Determine o tipo de material. Se um material substituto com um  limite  de  escoamento  mínimo  de  250  Pa  for  necessário,  que  viscosidade  o  material  deverá  ter  para  apresentar  o  mesmo comportamento a uma tensão de cisalhamento de 450 Pa? τ(Pa) 50 100 150 163 171 170 202 246 349 444 U(m/s) 0 0 0 0,005 0,01 0,025 0,05 0,1 0,2 0,3 2.70 Um viscosímetro é usado para medir a viscosidade do sangue de um paciente. A taxa de deformação (taxa de cisalhamento) em função da tensão de cisalhamento é apresentada a seguir. Trace um gráfico da viscosidade aparente em função da taxa de deformação. Determine o valor de k e n na Eq. 2.17, e a partir desse valor examine o aforismo “o sangue é mais grosso do que a água”. duldy (s−1) 5 10 25 50 100 200 300 400 τ (Pa) 0,0457 0,119 0,241 0,375 0,634 1,06 1,46 1,78 2.71 Uma embreagem viscosa deve ser feita de um par de discos paralelos muito próximos, com uma fina camada de líquido viscoso entre eles. Desenvolva expressões algébricas para o torque e a potência transmitida pelo par de discos, em termos da viscosidade do líquido, μ, do raio dos discos, R, do afastamento entre eles, a, e das velocidades angulares: ωi do disco interno e ω0 do disco externo. Desenvolva  também expressões para  a  razão de deslizamento,  s = Δω/ωi,  em  termos de ωi  e  do  torque  transmitido. Determine  a eficiência, η, em termos da razão de deslizamento. 2.72 Um viscosímetro  de  cilindros  concêntricos  é mostrado. O  torque  viscoso  é  produzido  pela  folga  anular  em  torno  do  cilindro interno. Um torque viscoso adicional é produzido pelo  fundo plano do cilindro  interno à medida que gira acima do fundo plano do cilindro externo estacionário. Obtenha expressões algébricas para o torque viscoso devido ao escoamento na folga anular de largura a e para o torque viscoso devido ao escoamento na folga do fundo de altura b. Faça um gráfico mostrando a razão, b/a, necessária para manter  o  torque  do  fundo  a  1%,  ou  menos,  do  torque  do  espaço  anular,  versus  as  outras  variáveis  geométricas.  Quais  são  as implicações do projeto? Que modificações no projeto você recomendaria? 2.73 Um viscosímetro é construído de um eixo de ponta cônica que gira em um mancal cônico, como mostrado. A folga entre o eixo e o mancal é preenchida com uma amostra do óleo de teste. Obtenha uma expressão algébrica para a viscosidade μ do óleo como função da geometria do viscosímetro (H, a e θ), da velocidade de rotação ω e do torque T aplicado. Para os dados fornecidos, determine, com base na Figura A.2 no Apêndice A, o tipo de óleo para o qual o torque aplicado vale 0,325 N.m. O óleo está a 20°C. Dica: Primeiro obtenha uma expressão para a tensão de cisalhamento sobre a superfície do eixo cônico como função de z. 2.74 Projete um viscosímetro de cilindros concêntricos para medir a viscosidade de um líquido similar à água. O objetivo é alcançar uma precisão de medida de ± 1%. Especifique a configuração e dimensões do viscosímetro. Indique quais os parâmetros medidos que serão utilizados para inferir a viscosidade da amostra de líquido. 2.75 Um mancal de escora esférico é mostrado. A folga entre o membro esférico e seu alojamento tem largura constante h. Obtenha e faça o gráfico de uma expressão algébrica para o torque adimensional no membro esférico como uma função do ângulo α. ____________ 1A STP (Standard Temperature and Pressure) ou CPPT (Condição­Padrão de Temperatura e Pressão) para o ar corresponde a 15ºC (288K) e 101,3 kPa absolutos. 2Aproximadamente 6 × 10–8 m, na CPPT, para moléculas de gás que se comportam como gás ideal [1]. *Muitos autores usam apenas o termo densidade, com a notação d, no lugar de densidade relativa ou gravidade específica. (N.T.) 3Alguns autores preferem classificar um escoamento como uni, bi ou tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar todas as propriedades do fluido. Neste texto, a classificação dos campos de escoamento terá como base o número de coordenadas espaciais necessárias para especificar apenas o campo de velocidade. 4Isto  pode  parecer  uma  simplificação  não  realista,  mas,  na  verdade,  muitas  vezes  conduz  a  resultados  de  precisão  aceitável. Considerações amplas, como essa de escoamento uniforme em uma seção transversal, devem ser aplicadas sempre com cautela a fim de assegurar que o modelo analítico do escoamento real seja razoável. 5 Marca registrada, E. I. du Pont de Nemours & Company. Estática dos Fluidos 3.1 A Equação Básica da Estática dos Fluidos 3.2 A Atmosfera­Padrão 3.3 Variação de Pressão em um Fluido Estático 3.4 Sistemas Hidráulicos 3.5 Forças Hidrostáticas sobre Superfícies Submersas 3.6 Empuxo e Estabilidade 3.7 Fluidos em Movimento de Corpo Rígido (no site da LTC Editora) 3.8 Resumo e Equações Úteis Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente Energia das Ondas: Wavebob Os seres humanos têm se interessado por séculos em tomar a imensa energia do oceano, mas com os combustíveis fósseis (óleo e gás) se esgotando, o desenvolvimento de tecnologias para aproveitar a energia do oceano está se tornando importante. Em particular, a energia das ondas é atrativa para diversos países com acesso a fontes convenientes. Acredita-se que do ponto de vista geográfico e comercial os mais ricos recursos atualmente conhecidos de energia das ondas estão na costa da Europa banhada pelo oceano Atlântico (em particular perto da Irlanda, do Reino Unido e de Portugal), na costa oeste da América do Norte (de São Francisco até Colúmbia Britânica), Havaí e Nova Zelândia. Uma família de dispositivos chamados absorvedores pontuais está sendo desenvolvida por diversas empresas. Esses dispositivos são normalmente simétricos em relação a um eixo vertical e, por definição, são pequenos em comparação com o comprimento de onda das ondas que eles são projetados para explorar. Os dispositivos normalmente operam em um modo de oscilação vertical, frequentemente referido como heave; um flutuador penetrante na superfície sobe e desce conforme as ondas passam e reage contra o fundo do mar ou algo ligado a ele. Em última análise, estes dispositivos dependem de uma força de empuxo, um dos tópicos deste capítulo. Uma empresa chamada Wavebob  Ltd. desenvolveu um dos modelos mais simples desses dispositivos. Inovador e epônimo, conforme mostra a figura, o dispositivo está provando ser um sucesso para extrair a energia das ondas. Embora a figura não indique o tamanho do dispositivo, ele é bastante grande; a câmara superior possui um diâmetro de 20 m. Ela parece apenas uma boia qualquer flutuando sobre a superfície, mas embaixo dela existe constante captação de energia. O componente inferior do Wavebob é amarrado ao fundo do oceano e assim permanece em sua posição vertical, enquanto a seção na superfície oscila em consequência das ondas que passam sobre ela. Por isso, a distância entre os dois componentes varia constantemente, com uma força significativa entre eles; assim, trabalho pode ser realizado sobre um gerador elétrico. Os dois componentes do mecanismo contêm sistemas eletrônicos que podem ser controlados remotamente ou autorregulados, e estes fazem o mecanismo interno reagir automaticamente a variações nas condições do oceano e das ondas, retornando conforme necessário, para que em todos os momentos a máxima quantidade de energia seja captada. Esse dispositivo já foi testado na costa do oceano Atlântico da Irlanda e é projetado para ter uma vida útil de 25 anos e ser capaz de sobreviver às piores tempestades. Espera-se que cada Wavebob produza em torno de 500 kW de potência ou mais, eletricidade suficiente para mais de mil casas; pretende-se que ele seja parte de um grande conjunto de tais dispositivos. Parece provável que esse dispositivo se tornará onipresente porque é relativamente barato, demanda pouca manutenção, é durável e necessita de uma pequena área. Desenho esquemático de um Wavebob (figura cortesia da Gráinne Byrne, Wavebob Ltd.) No Capítulo 1,  definimos  um  fluido  como  qualquer  substância  que  escoa  (deforma  continuamente)  quando  sofre uma tensão de cisalhamento; portanto, em um fluido em repouso (ou em movimento de “corpo rígido”), apenas tensão normal  está  presente  —  ou,  em  outras  palavras,  pressão.  Neste  capítulo,  estudaremos  a  estática  dos  fluidos (frequentemente chamada de hidrostática, apesar de ela não ser restrita ao estudo da água). Embora os problemas de estática dos fluidos sejam do tipo mais simples da mecânica dos fluidos, esta não é a única razão  pela  qual  vamos  estudá­los. A  pressão  gerada  no  interior  de  um  fluido  estático  é  um  fenômeno  importante  em muitas situações práticas. Usando os princípios da hidrostática, nós podemos calcular forças sobre objetos submersos, desenvolver  instrumentos  para medir  pressões  e  deduzir  propriedades  da  atmosfera  e  dos  oceanos.  Os  princípios  da hidrostática também podem ser usados para determinar as forças desenvolvidas por sistemas hidráulicos em aplicações como prensas industriais ou freios de automóveis. Em um fluido homogêneo e estático, ou em movimento de corpo rígido, uma partícula fluida mantém sua identidade por  todo  o  tempo,  e  os  elementos  do  fluido  não  se  deformam.  Nós  podemos  aplicar  a  segunda  lei  de  Newton  do movimento para avaliar as forças agindo sobre a partícula do fluido. Substituindo d /d∇ na Eq. 3.2, obtemos Façamos uma breve revisão dessa equação. O significado físico de cada termo é Essa  é  uma  equação  vetorial,  o  que  significa  que  ela  é  equivalente  a  três  equações  de  componentes  que  devem  ser satisfeitas individualmente. As equações de componentes são: As Eqs. 3.4 descrevem a variação de pressão em cada uma das três direções dos eixos coordenados em um fluido estático. É conveniente escolher um sistema de coordenadas no qual o vetor gravidade esteja alinhado com um dos eixos de  coordenadas.  Se  o  sistema  de  coordenadas  for  escolhido  com  o  eixo  z  apontando  verticalmente  para  cima,  como mostrado na Fig. 3.1, então gx = 0, gy = 0, gz = −g. Sob tais condições, as equações das componentes tornam­se As Eqs. 3.5 indicam que, com as considerações feitas, a pressão é independente das coordenadas x e y; ela depende de z apenas. Portanto, como p é uma função de uma só variável, a derivada total pode ser usada no lugar da derivada parcial. Com essas simplificações, as Eqs. 3.5 reduzem­se finalmente a Restrições: (1) Fluido estático. (2) A gravidade é a única força de campo. (3) O eixo z é vertical e voltado para cima. Na Eq. 3.6, γ é o peso específico do fluido. Essa equação é a relação básica pressãoaltura da estática dos fluidos. Ela está sujeita às  restrições mencionadas. Portanto, essa equação deve ser aplicada somente quando  tais  restrições  forem razoáveis  para  a  situação  física.  Para  determinar  a  distribuição  de  pressão  em um  fluido  estático,  a Eq.  3.6  pode  ser integrada, aplicando­se em seguida as condições de contorno apropriadas. Antes  de  considerarmos  aplicações  específicas  dessa  equação,  é  importante  relembrar  que  os  valores  de  pressão devem  ser  estabelecidos  em  relação  a  um  nível  de  referência.  Se  o  nível  de  referência  for  o  vácuo,  as  pressões  são denominadas absolutas, como mostrado na Fig. 3.2. A maioria dos medidores de pressão indica uma diferença de pressão — a diferença entre a pressão medida e aquela do ambiente  (usualmente a pressão atmosférica). Os níveis de pressão medidos em  relação à pressão atmosférica  são denominados pressões manométricas. Assim, pmanométrica = pabsoluta − patmosférica Por  exemplo,  uma  medida  manométrica  poderia  indicar  207  kPa;  a  pressão  absoluta  seria  próxima  de  308  kPa. Pressões absolutas devem ser empregadas em todos os cálculos com a equação de gás ideal ou com outras equações de estado. Fig. 3.2 Pressões absoluta e manométrica mostrando os níveis de referência. 3.2 A Atmosfera­Padrão Às vezes, os cientistas e engenheiros precisam de um modelo numérico ou analítico da atmosfera da Terra para simular variações climáticas para estudar, por exemplo, efeitos do aquecimento global. Não existe um modelo­padrão simples. Uma  Atmosfera­Padrão  Internacional  (API)  foi  definida  pela  Organização  da  Aviação  Civil  Internacional  (OACI); existe também uma Atmosfera­Padrão similar dos Estados Unidos. O perfil  de  temperatura da Atmosfera­Padrão nos EUA é mostrado na Fig. 3.3. Valores para outras propriedades estão tabelados como funções da altitude no Apêndice A. As condições da Atmosfera­Padrão nos EUA ao nível do mar estão resumidas na Tabela 3.1. Fig. 3.3 Variação da temperatura com a altitude na Atmosfera­Padrão nos Estados Unidos. Tabela 3.1 Condições da Atmosfera­Padrão nos EUA ao nível do mar Propriedade Símbolo SI Temperatura T 15°C Pressão p 101,3 kPa (abs) Massa específica ρ 1,225 kg/m3 Peso específico γ — Viscosidade μ 1,789 × 10−5 kg/(m · s) (Pa · s) 3.3 Variação de Pressão em um Fluido Estático Vimos que a variação de pressão em qualquer fluido em repouso é descrita pela relação básica pressão­altura Embora ρg possa ser definido como o peso específico, υ, ele foi escrito como ρg na Eq. 3.6 para enfatizar que ambos, ρ e g,  devem  ser  considerados variáveis. Na  integração da Eq.  3.6  para  achar  a  distribuição de pressão,  devemos  fazer considerações sobre as variações em ambos, ρ e g. Para  a maioria  das  situações  práticas  da  engenharia,  a  variação  em g  é  desprezível. A  variação  em g  precisa  ser considerada apenas em situações de cálculo muito preciso da variação de pressão para grandes diferenças de elevação. A menos que seja especificado de outra forma, iremos supor que g é constante com a altitude em qualquer local dado. Líquidos Incompressíveis: Manômetros Para um fluido incompressível, ρ = constante. Então, considerando aceleração da gravidade constante, Para determinar a variação de pressão, devemos integrar e aplicar condições de contorno apropriadas. Se a pressão no nível de referência, z0, for designada como p0, então a pressão p no nível z é encontrada por integração: ou p − p0 = − ρg(z − z0 = ρg(z0 − z) Para  líquidos,  em  geral,  é  conveniente  colocar  a  origem  do  sistema  de  coordenadas  na  superfície  livre  (nível  de referência) e medir distâncias para baixo a partir dessa superfície como positivas, como mostrado na Fig. 3.4. Com h medido positivo para baixo, temos z0 − z = h e obtemos Dados: Manômetro de reservatório e tubo inclinado. Determinar: Expressão para L em termos de Δp. Expressão geral para a sensibilidade do manômetro. Efeito de valores dos parâmetros sobre a sensibilidade. Solução: Use o nível do líquido em equilíbrio como referência. Equações básicas: Considerações: (1) Fluido estático. (2) Fluido incompressível. Aplicando as equações governantes entre os pontos 1 e 2, obtemos Para eliminar h1, usamos a condição de que o volume do líquido no manômetro permanece constante; o volume deslocado do reservatório deve ser igual ao volume que sobe na coluna do tubo, e então Além disso, a partir da geometria do manômetro, h2 = L senθ. Substituindo na Eq. 1, resulta Então Para obter a sensibilidade do manômetro, nós precisamos comparar a deflexão acima com a deflexão h de um manômetro comum de tubo em U, usando água (massa específica ρ), e que é dada por Então, a sensibilidade s é em que SGl = ρl/ρ. Essa fórmula mostra que, para aumentar a sensibilidade, os parâmetros SGl, senθ e d/D devem ser tão pequenos quanto possível. Portanto, o projetista do aparelho deve escolher um líquido manométrico e de dois parâmetros geométricos conforme discutido a seguir. Líquido Manométrico O líquido manométrico deve ter a menor densidade relativa possível de modo a aumentar a sensibilidade do aparelho. Além disso, o líquido manométrico deve ser seguro (não tóxico e não inflamável), ser imiscível com o fluido cuja pressão se deseja medir, sofrer perda mínima por evaporação e desenvolver um menisco satisfatório. Portanto, o líquido manométrico deve apresentar tensão superficial relativamente baixa e aceitar coloração para melhorar sua visibilidade. As Tabelas A.1, A.2 e A.4 mostram que hidrocarbonetos líquidos satisfazem muitos desses critérios. A menor densidade relativa tabelada é cerca de 0,8, valor que aumenta a sensibilidade do manômetro em 25% em relação a água. Razão de Diâmetros Os gráficos mostram o efeito da razão de diâmetros sobre a sensibilidade para um manômetro de reservatório vertical com um líquido manométrico de densidade relativa unitária. Note que d/D = 1 corresponde a um manômetro de tubo em U ordinário; a sua sensibilidade vale 0,5 porque, para esse caso, a deflexão total será h, e para cada lado ela será h/2, de modo que L = h/2. A sensibilidade dobra para 1,0 quando d/D se aproxima de zero, pois a maior parte da variação no nível do líquido ocorre no tubo de medição. O diâmetro d mínimo do tubo deve ser maior que 6 mm para evitar efeito capilar excessivo. O diâmetro D máximo do reservatório é limitado pelo tamanho do manômetro. Se D for fixado em 60 mm, de modo que d/D seja 0,1, então (d/D)2 será 0,01, e a sensibilidade aumentará para 0,99, bem perto do máximo valor atingível de 1,0. Ângulo de Inclinação O último gráfico mostra o efeito do ângulo de inclinação sobre a sensibilidade para d/D = 0. A sensibilidade aumenta abruptamente quando o ângulo de inclinação é reduzido para valores abaixo de 30°. Um limite prático é estabelecido em torno de 10°: o menisco torna-se indistinto e a leitura do nível torna-se difícil para ângulos menores. Resumo Combinando os melhores valores (SG = 0,8, d/D = 0,1 e θ = 10°) obtém-se uma sensibilidade de 6,81 para o manômetro. Fisicamente, essa é a razão entre a deflexão observada no líquido e a altura de coluna de água equivalente. Portanto, a deflexão no tubo inclinado é ampliada 6,81 vezes em relação àquela de uma coluna de água vertical. Com a sensibilidade melhorada, uma pequena diferença de pressão pode ser lida com maior precisão que em um manômetro de água, ou uma menor diferença de pressão pode ser lida com a mesma precisão. Neste Exemplo, os gráficos foram gerados com o auxílio da planilha Excel. Este aplicativo pode gerar gráficos mais detalhados, mostrando curvas de sensibilidade para uma faixa de valores de d/D e θ. Às vezes, os estudantes têm dificuldades em analisar situações de manômetros de múltiplos líquidos. As seguintes regras são úteis nessas análises: 1. Quaisquer dois pontos na mesma elevação em um volume contínuo do mesmo líquido estão à mesma pressão. 2. A pressão cresce à medida que se desce na coluna de líquido (lembre­se da mudança de pressão quando se mergulha em uma piscina). Para  se  determinar  a  diferença  de  pressão  Δp  entre  dois  pontos  separados  por  uma  série  de  fluidos,  a  seguinte modificação da Eq. 3.7 pode ser utilizada: em que ρi e hi representam as massas específicas e as profundidades dos vários fluidos, respectivamente. Tenha cuidado na aplicação dos sinais para as alturas hi; elas serão positivas para baixo e negativas para cima. O Exemplo 3.3 ilustra o uso de um manômetro de múltiplos líquidos para medição de uma diferença de pressão. Exemplo 3.3 MANÔMETRO DE MÚLTIPLOS LÍQUIDOS Água escoa no interior dos tubos A e B. Óleo lubrificante está na parte superior do tubo em U invertido. Mercúrio está na parte inferior dos dois tubos em U. Determine a diferença de pressão, pA − pB, nas unidades kPa. Dados: Manômetro de múltiplos líquidos conforme mostrado. Determinar: A diferença de pressão, pA − pB, em kPa. Solução: Equações básicas: Considerações: (1) Fluidos estáticos. (2) Fluidos incompressíveis. Trabalhando do ponto B para o ponto A com a aplicação das equações básicas, obtemos: Essa equação também pode ser deduzida pelo uso repetido da Eq. 3.7 na seguinte forma: p2 − p1 = ρg(h2 − h1) Iniciando no ponto A e aplicando a equação entre os pontos sucessivos ao longo do manômetro, obtemos: pC − pA = + ρH2Ogd1 pD − pC = − ρHggd2 pE − pD = + ρô;leogd3 pF − pE = − ρHggd4 pB − pF = − ρH2Ogd5