Baixe Matemática - Compreenção e Prática 8 e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity! ESET a CLÁUDIO MARQUES a TALOS COMPREENSÃO E PRÁTICA Caro aluno, Siga as instruções abaixo para ter acesso ao livro digital: o Acesse o portal http:/moderna,com.br e clique em CADASTRO ou, caso já seja cadastrado, entre com seus dados de LOGIN é SENHA e procure pela seção MINHAS INFORMAÇÕES o Escolha seu perfil e preencha o cadastro com os dados solicitados. o Guarde com cuidado o seu fogin e sua senha. São eles que garantem o seu acesso ao livro digital. O Acesse a opção MEUS CÓDIGOS DE ACESSO e digite o seu na área reservada, respeitando os espaços e as letras maiúsculas. Casa tenha outros códigos, repita esse procedimento com todos. BamenioiA 00066 AUTMATEF2 8 94124 a Matemática - Enio - F2 Vol. 8 o Pronto! O seu acesso foi liberado. Após ativar o código de acesso confira a validade do seu livro digital. Para saber mais informações sobre o download de seu material, visite o site http:/moderna.com.br/tablet REQUISITOS MÍNIMOS PARA ACESSO AO PORTAL: Acrobat 9 RAM de 268. | ou superior superior Navegadores, de internet emversões Et aa to Caro aluno, Ideias, por mais brilhantes e elaboradas que sejam, só adquirem um sentido maior quando encontram aplicação no dia a dia. A Matemática jamais deve ser vista como problema, mas sim como solução. Ela nos conduz por caminhos aparentemente tortuosos ou inacessíveis, abrindo atalhos, encurtando distâncias e superando obstáculos. Ela está para você, estudante, assim como a bússola está parao navegante. Este livro pretende instigá-lo, caro leitor, a buscar novas respostas para antigas indagações, a simplificar o complexo, a trazer o pensamento abstrato para o universo real, Enfim, ele o convida a projetar o mundo futuro, a partir de experiências do passado. Em cada página estudada, tarefa resolvida ou exercício solucionado, você perceberá que a Matemática é uma ferramenta poderosa que nos ajuda a desvendar os enigmas que a vida propõe. Na educação, as informações são o meio, e a formação, o fim. Nosso objetivo ao escrever Matemática: compreensão e prática foi contribuir com o desenvolvimento das suas potencialidades, e não, simplesmente, inundar sua mente com fórmulas matemáticas. Desse modo, acreditamos que chegaremos juntos ao saber científico, que não se esgota em si mesmo, mas nos impulsiona para novas descobertas. Os autores Aos nossos pais, Isaías, Maria Amélia (in memoriam) (Ênio) José Maria (in memoriam), Juranita (Cláudio) UM POUCO DE Contextualização APRESENTAÇÃO DOS CONTEÚDOS O conteúdo é apresentado de forma clara e direta. BIOGRAFIA Traz dados sobre a vida de um matemático importante e relaciona sua obra ao conteúdo do capítulo. Uma linha do tempo ajuda o aluno a localizar o momento histórico em que esse matemático viveu. PÁGINAS DE ABERTURA O conteúdo da capítulo é explorado inicialmente em duas páginas de abertura, compostas de: * Uumaimagem motivadora; * questões do “É hora de observar e discutir”; * uma situação no “Trocando ideias”. TROCANDO IDEIAS Situação introdutória sobre o conteúdo abordado no capítulo. É HORA DE OBSERVAR E DISCUTIR Questões que exploram a imagem da abertura e resgatam o conteúdo já visto em capítulos ou anos anteriores. HISTÓRIA do conteúdo na história da Matemática. CURIOSIDADE Informações que ilustram o o conteúdo abordado % no capítulo. EXERCÍCIOS — Essaseção segue aapresentação do conteúdo e traz - atividades em nível de dificuldade crescente. Alguns exercícios abordam cálculo mental, o raciocínio lógico e Otrabalho com a calculadora, LENDO E APRENDENDO Texto que enriquece eexplicao conteúdo principal. RE ge Ae ss TRABALHANDO OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS Seção de exercícios que, no final de cada capítulo, aborda todo o conteúdo apresentado. Cada ficha explora uma parte do * conteúdo com exercícios em nível de dificuldade crescente, incluindo um exercício "desafio"; algumas apresentam questões do nem, Trabalhamn os conhecimentos adquiridos. TRABALHANDO COM A CALCULADORA Ensina a manusear e a trabalhar com a calculadora. Apresenta atividades simples, relacionadas ao conteúdo. Ícone com indicação de conteúdo digital, como animações, vídeos e atividades interativas. CONTEÚDO DIGITAL ?, TRABALHANDO EM EQUIPE Fecha cada capítulo, convidando a uma atividade integradora, para ser feita em duplas. MOPICISHUTTERSTOCK U.S. NAVVIMASS COMMUNICANON SPECIALIST SRD CLASS TREVOR WELSH JONAS LINOSTRONWTRALUT DEXOR re sia VARA estatistica e Probabilidade 156 1, 2 3. 4. 5. Trabalhando os conhecimentos adquiridos Estatística... Gráficos de barras, de segmentos e de colunas . Gráfico de setores ..... Cartograma e pictograma Probabilidade... o 158 161 NA É É Retase dies. 172 2. 10. Ângulos alternos e ângulos colaterais. 11. Outras propriedades das retas paralelas Trabalhando os conhecimentos adquiridos ....... Trabalhando os conhecimentos adquiridos Reta e semirreta.... Segmento de reta Posições relativas de duas retas em um plano Ângulo. Posições relativas de dois ângulos ...... Ângulos complementares e ângulos suplementares Postulados e teoremas Ângulos farmados por duas retas paralelas eumatransversal..... Propriedade fundamental do paralelism Polígonos ...... Elementos e classificação dos polígonos. Diagonais de um polígono ... Ângulos internos e ângulos externos de um polígon Ângulo central de um polígono regula Simetria axial e central...... NANA ray, = NÉ 0. Triângulos 234 Triângulo ...... Classificação dos triângulo: Cevianas notáveis... Congruência de triângulos Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo. Propriedades dos triângulos isósceles Propriedades dos triângulos retângulos . Relações de desigualdade entre lados e ângulos. Trabalhando os conhecimentos adquiridos... nona win 1. Quadriláteros...... 2. Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo 3. Paralelogramo: 4. Trapézios..... Trabalhando os conhecimentos adquiridos... E ia A NA E F ] Circunferência e círculo 282 Circunferência e círculo ..... 1 2. Posições de um ponto em relação a uma circunferência 3. Posições de uma reta em relação a uma circunferência 4. Posições relativas de duas circunferências. 5. 6. Segmentos tangentes... . Arco de circunferência e ângulo central 7. Ânguloinscrito e arco capaz 8. Ângulode segmento... 9. Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência Trabalhando os conhecimentos adquiridos... Testes, vestibulares e concursos Hespostas..... Sugestões de leitura Bibliografia... Lista de sigla BMX ou Bicicross é um esporte praticado com bicicletas especiais, uma espécie de corrida em pistas de terra, A medida do comprimento da cir- cunferência do pneu de uma bicicleta dessa modalidade é 159,51 cm ou 50,87 cm. Você sabe o que é o x (pi)? Qual é seu valor? O x (pi) pertence a algum conjunto numérico que já conhecemos, ou seja, o conjunto dos números naturais, dos inteiros ou dos racionais? Fasprodução price Ar 184 do Cóctgo Panai é Ls 8.840 e 19 e tevevro de 1968. SS Exemplos or * —BºC, temperatura abaixo de zero grau Celsius. g * +15ºC, temperatura acima de zero grau Celsius. â * +50 m, altitude acima do nível do mar. : * —76m, altitude abaixo do nível do mar, É Otermômetroé ã um instrumento O conjunto dos números inteiros pode ser representado assim: ô usado para medir a temperatura B= fun, =e, 10, +1;+2 43500) com base na " dilataçãode Vale lembrar que: E líquidos, gases + Háuma simetria em relação ao zero. Por exemplo, o oposto ou Da A simétrico de 2 é —2, bem como o oposto de —2 é 2, Observe que:2 + (-2)= 0 -5 4 -3 2 4 o nm +20 43 040 45 + As operações de adição, subtração e multiplicação são sempre possíveis no conjunto dos números inteiros. Assim, se a e b são números inteiros, temos: «(a+b)ez e(a-b)ez e(a-bez » No conjunto dos números inteiros, qualquer subtração é possível, o que não ocorre com algumas divisões. Observe: 2€eZe3€EZ, porém(2:3)$Z Para tornar possível qualquer divisão por um número diferente de zero devemos trabalhar com o conjunto dos números racionais, + Subconjuntos especiais de Z: eZ8=[,-3,-2,-1,1,2,3,0) < sonuniatos números inteiros *Z,=[0,1,2,3,..) < Plata inteiros eZ.=[.,-3,-2,-L0) -———— AE * 25=(1,2,3,,) >>> gras positivos *Zt=[u 32.1) + rats O conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos núme- ros naturais; logo, podemos dizer que todo número natural é um número inteiro. ZDIN Ea VE VA A CA ALAN EEB» Utilizando os simbolos E ou &, estabe- leça a relação que existe entre: ==> Represente o conjunto dos: a) números naturais não nulos; b) números inteiros; a) 7elN e) -8eZ o) números inteiros negativos; b) 2eN 9 om..eZ d) números inteiros não negativos; 4 e) números naturais impares. c) 0,5 e IN g) 0eZ =» Escreva, no caderno, V ou F, conforme a d) QleZ É h) 5 ez afirmação seja verdadeira ou falsa. a) O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números in- teiros. E3> Represente, em cada item, o conjunto for- mado pelos valores possiveis de x. b) Há sempre um número inteiro entre dois números inteiros. c) O simétrico ou oposto de —5 é +5. d) A diferença de dois números inteiros é sempre um número inteiro. a) xe N|x<5) b) XE N|x=6) o) (xe N|x<o) d (xe Z|x=>—3) e) xeZ|x<-—2 9) XEZ|-3<x=4) e) Existe número inteiro que não é núme- ro natural. Números racionais O conjunto dos números racionais (Q) é formado por todos os números que podem ser escri- tos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero, Q=[gloezebez: Um número racional também pode ter representação decimal finita ou infinita e periódica. Exemplos * Representação decimal finita: 3. 3. A 19-03 4075 35 — 2.16 » Representação decimal infinita e periódica: 5 e AS 90,555. 15 — 0,1333... a3 — 1363636... » Oconjunto dos números racionais pode ser representado assim: a: = e. 1 3 O (us 3 cur Sue Des gu ese Oo um um Fem + Asoperações de adição, subtração, multiplicação e divisão (divisor diferente de zero) são sempre possíveis no conjunto dos números racionais. Assim, se qe b são números racio- nais, temos: «(a+b EQ «(a-beQ «(abeo es (a:beQ,comb+ 0 + Subconjuntos de O: *Q*=(xeQ|x+0) *Q,=(xeQ]x=0) *Q =(xeQ|x<=0) * Oj=(xeQ|x>0) * Q!=[xeQ|x<0) A conjunto dos números racionais não nulos A conjunto dos números racionais não negativos A conjunto dos números racionais não positivos 4 conjunto dos números racionais positivos A conjunto dos números racionais negativos | Observação | O conjunto dos números racionais contém o conjunto dos números inteiros. Então, todo número inteiro é um número racional. Exemplos Matemática e música O objetivo da música é produzir e estudar o som. Na Grécia antiga, Pitágoras, ao estudar os sons das escalas musicais, realizou o seguinte experimento: ele esticou e dividiu uma corda em partes iguais e estabeleceu as relações matemáticas presentes nas escalas musicais. Assim, Pitágoras concluiu que leis matemáticas regem a música. Escolhendo sons que sé harmonizam, as pessoas das mais diferentes culturas criaram as escalas musicais. Observe a divisão das notas dó, ré, mi, fá, sol, lá e si, que formam a escala diatônica pitagórica: GLOW IMAGES o VA MEDIA ASZALAMAY! | Dó Ré Mi Fá Sol Lá Si Dó o BR usa omni Bs no BR (BBB en 2 8 64 3 2 16 128 pr Representação de um número decimal na forma fracionária Agora, vamos estudar a transformação de números decimais em números fracionários. Observe os exemplos de cada caso. » 1ºcaso: o número é decimal exato = 8 “08 = 10 Y v umacasa um zero decimal 065 - & 100 Y duas casas dois zeros decimais - 236 “5,36 = 100 v Y duas casas dois | decimais zeros | a: = AT 0.047 = Too Y V três casas três zeros decimais + 2ºcaso: o número decimal é uma dízima periódica simples * Vamos transformar a dízima 0,777... em fração. Solução Indicamos a dízima periódica 0,777... por x. x=0,777.. O Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 10. TOA, 9 Multiplicamos por 10, pois o período tem um algarismo. Subtraímos, membro a membro, a equação €3 da equação O. 10x=7,777.. O - x=0,777..0 9x=7 Assim: x= 2 | É 9 Logo:0,777...= 3 CEEEES A palavra gerar significa “dar origem”. Denominamos geratriz da dízima periódica a fração que deu origem a essa dízima. o nação rs A 14 6 Cn eat Cs e o te * Vamos determinar a geratriz da dízima 4,151515... Solução Indicamos a dízima periódica 4,151515... por x. x=4,151515... O Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100. 100x = 415,151515... e > Multiplicamos por 100, pois o período tem dois algarismos. Subtraímos, membro a membro, a equação €3 da equação &. 100x = 415,151515... O = x= 4,151515..0 99x=411 Y imx=4 = 137 Assimix="99 = 3 4 Logo: 4,151515... = 33) + 3º caso: o número decimal é uma dízima periódica composta * Vamos transformar a dízima 0,04777... em fração. E Solução Indicamos a dízima periódica 0,04777... por x. x= 0,04777... O Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100, obtendo, no segundo mem- bro, uma dizima periódica simples. Ê E Multiplicamos por 100, pois a parte 100x = 4,777... O « não periódica tem dois algarismos. Multiplicamos os dois membros da igualdade & por 10. E Multiplicamos por 10, pois o 1000x= 47,777... o ç período tem um algarismo. Subtraímos, membro a membro, a equação & da equação €. 1000x = 47,777... O - 100x= 4,777... O 900x = 43 iii dS Assim: x = 300 ) pt Logo: 0,04777... = 00 bx E: Transforme os números decimais em fra- | EX Determine as frações irredutíveis corres- ções irredutiveis. | pondentes a cada uma das dizimas. a) 0,16 f) —100,5 | a) 5,444... b) 2,16 g) 0,25 | b) 1102102... c) 0,125 h) 0,123 | 0) 0181818... d) 70 » -0015 | d) 10,3828282... ú 4 : | e) 0,045 e) —0,001 j) 0,3125 h 20502 E: Determine as geratrizes das dizimas perió- dicas abaixo. - EZP Calcule e escreva a resposta, no caderno, a) 3,151515 f) —0,02333 na forma de fração irredutível. b) 0,05222... g) 044... a) 0,5 + 0,555... ) 7. h) 1428 Ba 72008 EO toa ú c) 32555... — 0,333... d) 24777... ) 2,7525252... 4. e) 08 j) 0133... Gio “EltoA FF, WA 2| Números irracionais Considere estes números: * 0,323223222... e 2=1,4142135... * 0,020020002... * 3=1,7320508... * 0,123456... «e n= 314159265... Observe que todos têm representação decimal infinita e não periódica. Números com essas características são chamados de números irracionais. O conjunto desses números é re- presentado por ll. 3 Os números irracionais não podem ser escritos na forma de fração com numerador e denominador inteiros. 2 As raízes quadradas de números inteiros positivos que não são quadrados perfeitos são números irracionais. Exemplos * 5 = 2,2360679... * 10 = 3,1622776... 3 Alguns números irracionais são identificados por símbolos especiais. Exemplos * 3,14159265. * 2,71828182. » Lê-se:"número e”, NA 3| Números reais Somente com os números racionais não é possível representar as medidas de todos os com- primentos, por isso estendemos o conjunto dos números racionais para o conjunto dos núme- ros reais, indicado por'R (que inclui o conjunto dos números irracionais). R=QUI=(x|xeQouxel) R QUI=ReQnNIi=9 Q 1 Os conjuntos O e I são disjuntos, ou seja, não têm elementos comuns. Como podemos observar, os conjuntos IN, Z, Q e I são subconjuntos de IR. Assim: “SER * 0€EIR R *-17€R * 36€IR 5 Os números naturais, os = = números inteiros, os números 6 Es 1,555, ER racionais e os números «JS ER + =RER irracionais são números reais. * -J3ER « 5010010001... ER Ne E oa ER = George Cantor (1845-1918) foi um matemático russo de origem alemã. Cantor criou a teoria dos conjuntos, Destacamos alguns subconjuntos especiais de R: *R$=[xER|x+ 0) <— conjunto dos números reais não nulos “R,=([xXER|x=0) <-— conjunto dos números reais não negativos “IR =(XEIR|x=0) <= conjunto dos números reais não positivos * R$j=(xER|x>0) <« conjunto dos números reais positivos uma das mais notáveis inovações , . , matemáticas dos últimos séculos, “Rº=(xeR|x<0) « conjunto dos números reais negativos Foi ele que utilizou pela primeira vez o símbolo IR para representar o conjunto dos números reais, EE sidade | Não são reais as raízes de índice par e radi- cando negativo, pois não existe nenhum nú- O número imaginário | é definido — mero real que, elevado a um expoente par, como a raiz quadrada de 1. dêcomo resultado um número real negativo. Assim: J=1 =i Essesnúmerossão chamados de imaginários. + | «J-SER *-16 &R | *J-100 &R EPE E Indique as sentenças verdadeiras. a) =077.. €0 bre Q Joel d) 2111... ET e) 2,151551555... E Il f) JM EQ 8) J-25 ER h) 5,25 EIN v VEZ j) 0,010010001... E R we, y N-8E IR E 3» Utilizando os simbolos E ou fé, estabele- ça a relação que existe entre: a) 0e0 g) 0,444... e O b)0eZ. h) -15e R* o) 0,03e1 ) J-144 e R a Dez pBez e) -J9eZ k) J5 eIR f) —J25 eR D N5elR Aretareal E Indique a única sentença falsa. a) RNnQ*=Q* O NUZ. =Z QUO =R DO NZ=Z, E» Em cada item, escreva três números: a) inteiros maiores do que —15 e menores do que —1l; b) racionais maiores do que -2 e meno- res do que =2 c) irracionais maiores do que 1,3010010001. | EB Identifique as sentenças verdadeiras. a) Todo número inteiro é racional. b) Todo número real é racional. c) Toda dizima periódica é número ra- cional. d) Todo número irracional é real. e) Todo número decimal não exato é irra- cional. f) Todo número real é irracional. g) O número zero é real, inteiro e racional. * EZB Determine o valor de 20 e 43 em uma (5) calculadora. Os números encontrados são &) irracionais? São reais? (m) Q, Conteúdo digital « Atividade interativa 1 Podemos representar em uma reta todos os números racionais e irracionais, ou seja, os números reais. Chamamos essa reta de reta real. -3) -2 tm -2,666... =1,4 Observe; é +0,333... 42 +2 | +3 » Acada número real corresponde um único ponto da reta. » Cada ponto da reta corresponde a um, e somente um, número real, CEEE Entre dois números reais existem infinitos números reais; por isso, dizemos que o conjunto IR é denso ou completo, úmeros reais opostos ou simétricos Os números reais situados à mesma distância da origem, em sentidos opostos ou simétricos, “são chamados de opostos ou simétricos. Observe a reta real: +42 143 ="7 -0,777.. +0,777.. +N7 Note que: + osnúmeros —0,777...e +0,777.. são opostos ou simétricos; + osnúmeros 7 e +7 são opostos ou simétricos. : [SA IEL) * Podemos representar na reta real um subconjunto de IR. Por exemplo: |x CIR | -1< x= à i / bolinha vazia: indica que o bolinha cheia: indica que o | número não pertence ao intervalo número pertence ao intervalo | dO 3 1 EEN SIARDAS AVAST 4 NÉ NY aa, 2 x EI Desenhe, no caderno, uma reta numérica | E73» Indique a alternativa em que encontra- e localize a posição aproximada dos pon- mos um número compreendido entre 7 tos abaixo. elo. Fes a) a(-3 a) 85 Sê 10 J7 + Jio b) Bl-m) by 12 ay = io o) clv2) EF» Determine o oposto ou simétrico dos nú- d) D(2e) meros abaixo. e) E(2,333..) a) -0,575757.. | d) —2,02002... D F(y5) b 5 e) 3 ; a 3 3x E» Identifique, no caderno, a única sentença os 5 read; assar Irei e EI» Represente, na reta real, cada um dos sub- a) Entre dois números inteiros distintos conjuntos de IR. existe sempre um número inteiro. Rs RE aA-xER|Isx<4) b) Entre dois números Tacionais distintos bd) B=(xeR|-2<x<2) existe sempre um número racional. Ea a a o) C=(xeR|x>2) c) Entre dois números inteiros distintos d D=ER| ) existe um único número inteiro. PE RO) d) Entre dois números racionais distintos e E=(xeR] 1 Rm existe apenas um número racional. i f) F= ix ER lã <x=< 3) Has E Indique as sentenças verdadeiras. | E > Por meio de um diagrama, represente esta - ': EB Dê um exemplo de dois números irracio- 2 a) 46E IR njel db) 2 ER ) 0ER, o) Qni=DL% j) 4€ R d) -DER$ é k JZ2E1 JICR U Y-272 ER f) 2484848... ER m) (3 ER g) 0,666... ER. n J4€I afirmação: QQ e || são conjuntos disjuntos. Justifique sua resposta. são todos números racionais. a) a 35,442) b [-1,2,0,J2, 43] o (-3,-2, —V2,0) d) (0, 9,48, 5,7) E > Identifique as sentenças verdadeiras. a NNZ=IN 8 NUR=N DIR UR. =R* gg ZNR=Z oO R6UR=IR h ZUN=Z dZzNQ=4 dv QUI=OQ SINNQ=Z ) RUQ=I E» Utilizando a propriedade distributiva da | multiplicação, desenvolva cada produto. a) 2: (b+3) b) =4 (x + 4) o) Melc—2) d) =2(a — b) E=3> Desenhe uma reta no caderno. Determine sobre ela um segmento de 20 cm cujas ex- tremidades correspondam aos números O e 2. Em seguida, localize nesse segmento de reta os seguintes números racionais: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;1,0;1,2:1,4;1,6 e 1,8 : EEZ> Trace, no caderno, uma reta numérica e : EB Qual é a correspondência entre os pontos Indique o único conjunto cujos elementos * EZD (OBM) Na expressão localize os pontos correspondentes aos se- guintes números reais: a) A(v2) d) Din) b) B(-3,5) e) E(-0,4) é o c(8) oel-d de uma reta e os números reais? Justifique sua resposta. nais cuja soma seja um número racional, EU Os números reais abaixo representam valo» res aproximados de 7. Determine o númei que mais se aproxima do valor real. a) 2199 . 700 Bt b) 88 355 1B co) Vai — J2 d) (9,9 e À ui Y Mx A x 7 x EX A x T XIxCxA letras diferentes representam digitos di rentes e letras iguais representam digil iguais. Qual é o maior valor possível di expressão? a) 38 (. ad b) 96 , c) 108 d) 576 e) 648 O produto ou o quociente de dois números irracionais pode ser um número racional? Justifique. Q = Conteúdo digital * Atividade interatival ED» Indique os números racionais. a) 12,3456... e) 0,07 Ch b) 2,81818L... f) 014589. — c) 6,125125125... e) 531517. + d) 5131313... h) 0,153238... E» Identifique o valor correspondente a: o o Ile5)- [= DR ) 1-2,338..1 Identifique a dizima periódica composta. a É d Fido da og c) É 8 à Determine as geratrizes das dizimas perió- dicas. a) 0,4282828... c) 5,454545... b) 3,4076 d) 0,016 1 | . / ED Calcute: G88.t0.2 (A — = ou mm ç AD 4 E» Transforme em números cas 3 a) 20 d) E f b) 5 e) E 6 o) 9 I E» Calcule o valor da expressão: Oda. E» Indique, no caderno, o número ftacional a) J144 0 BIC b) Y27 STO c) 37 DA, nl ! EB» Determine o oposto de cada um dos núme- ros abaixo. 1 4 a 4 b)= e) 1,444... ) -45 ns EU Responda às questões abaixo. a) Em que situação um número decimal não exato é um número irracional? b) Um número irracional pode ser escrito na forma de fração de inteiros? Justifique sua resposta. Ep» (OBM) Um número é chamado de bacana se ele é um número inteiro ou é a metade de um número inteiro. Por exemplo, 3,5 e 7 são bacanas. Quantos números bacanas existem entre 2,1 e 33,3? a) 61 c) 60 d) 66 e) a b) 62 Verifique as medidas do (o ira abaixo e comprove que as conchas de náutilo seguem o padrão áureo. Justifique seu procedimento. O náutilo é um dos seres à vivosque apresentama razão áurea em sua estrutura, É chamado de Espiral de Ouro, Efe AP-51 é uma plataforma semissubmersível de produção de petróleo e gás natural. Foia primeira plataforma construída totalmente no Brasil, no estaleiro Brasfels, em Angra dos Reis (RJ). Tem capacidade para produzir até 5 400000 barris de petróleo pormês. Escreva o número 5400000, citado acima, como o produto do número 54 por uma potência de 10. Existe alguma operação que seja inversa à potenciação usada por você na ativi- dade anterior? Se sim, que operação é? Vamos começar pela potenciação. Todas as regras para o cálculo de potências, estudadas nos anos anteriores, também são vá- idas para as potências cujas bases são números reais quaisquer. Vamos relembrar algumas situações básicas com a potência a”, em que a é um número real ualquer (base) e n, um número inteiro (expoente). poente zero Sendo a um número real não nulo. qU= mplos * (0,65 =1 « (0,232323..,) =1 3 o . (-11,6)º =1 . (3) =1 poente 1 q! = Exemplos ' Rss a [EDS (0,25) = 0,25 | ê ê *(-16)'=-1,6 - (0,666...)' = 0,666... Expoente inteiro maior que 1 "=q:0"0:.º0 nfatores Exemplos ú 3= = ef odP A ad joias Cica - 3] E] 5 | a) al-s>s + (= (7) :(-7)=:49 « (0,1) = (0,1)-(0,1)- (0,1) = 0,001 +» Quando a base é negativa, o sinal da potência pode ser: * positivo, se o expoente é par: (=3)=(-3)«(-3)=9 * negativo, se o expoente é ímpar: (-2)'=(-2)-(-2)*(-2)=-B Es Expoente inteiro negativo Sendo a um número real não nulo e num número inteiro, temos: Exemplos .22= s=1 e(-3)/*= NH Calculando potências Registre as sequências abaixo em uma calculadora e tire suas conclusões. nem e a ED CO BODE OBS E E EB vz ed 1 1 (8) -L-d-s a 8 3 (E) 4 4 3 9 f Trabalhando coma calculadora CONES) que ER ouzº => Calcule as potências dos números abaixo. a)? e) (01) * » (E) m[-5 qo? v 10º 1 a [af a 5] » 6] e) (4) k) 0º 9 10º 1) (o 81818...) E73» Calcule as potências a seguir. a) (2,333...) e (-2)* [E 2 »[-3) 9 (000) e) (0,777. g) (2,5) * d 5º h) (=1,2)* =E5> Calcule o valor de: a)3x— 2x — x+5, parax= —1 pout= 0" = gr (=) + (18 Je == PA mea RED => Resolva as pr a) (0,002)! + som b)io! = (10)! 0,001 di Em» Um corpo em queda livre percorre, no vácuo, uma distância d (em metro) que gt ft corresponde a =—, 7 em que g é a acelera-, ção da gravidade (10 m/s”). Desprezando a resistência do ar, que distância percorre um paraquedista em queda livre, durante 12 segundos? EB» Calcule, de forma rápida, o valor de 5º, utilizando uma calculadora. Propriedades da potência Todas as propriedades da potência estudadas nos anos anteriores também são válidas para as potências de base real e expoente inteiro, desde que as condições para que existam as po- tências sejam obedecidas. Observe abaixo essas propriedades. Produto de potências de mesma base men q".d'=q Exemplos * (0,15)- (0,15) = (0,15)? "= (0,15) E (0777) 2:(0,77710)"= (0,7770028 =(0,77200)º Divisão de potências de mesma base mn o":a"=a “Exemplos - (0,19): (0,19) = (0,19)º * = (0,19)! * (0,333..)':(0,333...)? = (0,333...) 1? = (0,333...)º Potência de potência (a"P = am” Exemplos » [10,327 = (0,32)"* = (0,32 «(HP - "= (4 Distributiva da potenciação em relação à multiplicação Observe atentamente (ab) =a”-b” . estas desigualdades: «2º+2' 42º", pois: DO ada S rear e À RAIO etespezssa Bra Seo pos -B + 1 Distributiva da potenciação em relação à divisão (5) + 5”, pois: sas «br gr bm e(5+3345"+3º, (a: bi = ob pois: 64 4 34 Exemplos , , E e(s-3345º-3, «(era 83 «[8:8) =) dh) et Es. E7> Obtenha o valor das expressões empre- gando as propriedades das potências. => Calcule: 34 -P+rg3ogta a) guard q) 636 b)(-ats +? b) (29) ea O Ges2+4— 4 P t 3 º Ene -2 q (6:3) » [[-3)7 a E ses” ajio-10-10 dj) PET? O ad a 1 3f eJBt.g.g':s a np: 7 [ES + [os 2421 a Leanta dn 5 õ o (5:5 1 10!-10-10 3 2 sa Em» Calcule, usando as propriedades das po- [E!5» Escreva o valor de: (1,666...) "+ Es tências. rep d a) (Aj 3» Transforme em uma só potência de base 7, ez 4 Dar arm” ox ur? bd) (7-4y o [[-3]) rt a(reny o (PT)? 9 (+ | EB» Sendo: .A=38.3+93':3 -B=8'+(8'-8):8º qo Psi Determine o valor de 3A + 4B + C. E» Verifique se cada sentença é falsa ou ver: dadeira. a) (2-5) =2.5º bile+sj=2+8 dtu-P=m"-" alHj-e Conteúdo digital + Atividade interativa 1 Q, Trabalhando com bytes Bit é a menor unidade de armazenamento de da- dos que existe. Um bit pode assumir apenas dois valores: O ou 1, Em geral, o bit está relacionado à capacidade do computador de armazenar dados, ou seja, à sua memória. Um conjunto de 8 bits for- ma um byte. Porém, o byte ainda é uma unidade muito pequena; por isso as memórias usadas em computadores são medidas em múltiplos de byte. Exemplos * 1 kilobyte = 1 kB = 2” bytes * 1 megabyte = 1 MB = 2º kilobytes = 2ºº bytes = I gigabyte = 1 GB = 2º megabytes = 2” bytes FEDOROU OLENSav SHUTTERSTOCK ts . . Pen drive é um dispositivo de > dá armazenamento portátil. Sua capacidade de armazenamento pode ser de 1GB,2GB, 4GB,8GB, 16GB, 32 GB, 64 GB etc, O hard disk (HD) externo funciona como um periférico, como se fosse um pen drive, só que com uma capacidade infinitamente maior, RE LA Radiciação Radiciação é a operação inversa da potenciação. Dados ae |Re ne IN*, define-se: va =besb'=a No radical “/9 o número a é chamado de radicando, o número bé chamado de raiz e o número n “échamado de índice. Lê-se: "raiz enésima de a”, Exemplos +016-04,pois:(0,4/=016 e Jd=-Lpoisi[-1)=[-1).[-1).[-D)= 1 Quando se trata de raiz quadrada, 0 índice não é necessário. Por exemplo: 49 = J9 = 3, Vale lembrar que: » Araiz de índice ímpar de um número positivo é um número positivo. Veja os exemplos. *YB=2,pois:2'=8 - “82 =2, pois: 2º = 32 » Araiz de índice ímpar de um número negativo é um número negativo. Veja os exemplos. « Y-8=-2,pois:(-2)'= —-8 «Y-243= 3, pois:(-3)' = —243 + Araiz de índice par de um número positivo é um número positivo. Veja os exemplos. * J64 =8, pois: Bº = 64 - JBi=3,pois:3º=81 » Araiz de índice par de um número negativo não tem valor real. Veja os exemplos. + *“J-16R * J-64 ER ra raiz enésima de zero é igual a zero, com ne IN*, Veja: * NO=0,pois:0"=0 Raiz quadrada exata Considere os produtos: e 1.1=1?=1 - 5.5=5'-25 - 9:9-9'-81 *2.2-2=4 - 6:6-6"-36 « 10-10= 10º = 100 * 3.3=32=9 e 7:7=7=49 “» 11-11=11?=121 - 4.4=4º-16 - B-8-8'-64 * 12-:12=122=144 Os números 1, 4,9,16, 25, 36, 49, 64, 81,100,121e 144 foram obtidos de um produto de dois fatores iguais. Chamados de quadrados perfeitos, eles têm como raiz quadrada o fator que os originou. Assim: eJl=1 o Jo5=5 - J81=9 e J4=2 - J36=6 * 100 =10 * J9=3 * J49=7 * Ji2zl=11 * J16=4 - J64-8 « J144=12 à sa RE Para determinar a raiz quadrada de outros núme- ros que são quadrados perfeitos, podemos utilizar a decomposição em fatores primos. sidade Dur) Observe o exemplo a seguir. Aorigem da palavra raiz * Vamos determinar a raiz quadrada de 1296. Por volta do século X, os ma- Solução temáticos árabes já diziam que os quadrados perfeitos eram Inicialmente, decompomos 1296 emfatores primos. números que “vinham” de al- 1296|2 - gum lugar. Assim, 9 vinha de 3, 648|2 pois 3 é a raiz quadrada de 9; 324|2 16 vinha de 4; 25 vinha de 5 1622 etc. Eracomo uma árvore vindo Logo: 1296 =2*-3! de uma raiz; daí a palavra raiz, 81/3 em Matemática. O sinal d, 2e7/3 que usamos hoje, foi utilizado 93 inicialmente no século XVI, na 313 Alemanha, passando aos pou- 1 cos a ser empregado em todo o mundo. Depois, dividimos o expoente de cada fator por 2. j Assim: J1296 = 2!.3! =2?.3º = 36 vY Dividimos os expoentes por 2. Logo, a raiz quadrada de 1 296 é 36. Essa prática justifica-se pelos seguintes fatos: * Aradiciação é a operação inversa da potenciação. “radix” ("raiz"). | - Para elevar um produto ao quadrado, multiplica- aennaatinicra ma mos os expoentes de todos os fatores por 2. Assim, para extrair a raiz quadrada de um produto, dividimos os expoentes de todos o fatores por 2. Observe outro exemplo. * Vamos determinar a raiz quadrada de 10,89. f a | Esse símbolo provavelmente tem Ê origem na palavra latina é Solução Transformamos o número decimal 10,89 na fração decimal o. Decompomos em fatores primos o seu numerador e o seu denominador, Assim; 1089 3º-11º 100 2.5? Em seguida, dividimos o expoente de cada fator por 2. 1089 a 3:11 33 vio,89 - [1085 o = 2.5 =10=33 Logo, a raiz quadrada de 10,89 É: 33: Observação Um número é quadrado perfeito quando, decomposto em fatores primos, apresenta todos os fatores com expoentes pares, E» Calcule o valor das expressões abaixo utili- | E=7» Em cada item, coloque os números em or- zando as an de potência. i dem decrescente. até p- (+ a) J31, 7, J16, 19, 4 air if b) J35, 43, 8, 9, V18 E» Calcule o valor aproximado de 70, por ay E falta, com duas casas decimais. teme cooper | | ml 7 7 * E A terça parte da raiz quadrada de um nú- q E é Í mero x é igual a 12. Determine o número x. EE» Responda às questões abaixo. . . E aros . ! i Qual é a raiz quadrada do número 11236? a) 2"** é quantas vezes maior que 2"? Og EE Ai : EEB» Calcule, com aproximação de centésimos b) Por quanto devemos dividir 10” para ob- | (erro menor que 0,01): dy m e 0,01): é an e a) JT b)NTO O J357 a) (500 | ED» (Enem) ência Espacial Norte-Americana Ne (NASA) informou que o asteroide YU 55 cru: eo, ado E Ren zou o espaço entre a Terra e a Lua no mês J16 + E + J +7-128º de novembro de 2011. A ilustração a seguir ER Determine n sabendo que: 13 — 12º = 25 sugere que o asteroide percorreu sua traje- tória no mesmo plano que contém a órbita EE Encontre o menor número inteiro positivo, que deve ser subtraído de 3140 para que o descrita pela Lua em torno da Terra. Na figu- ra, está indicada a proximidade do asteroide resto seja um quadrado perfeito. (E) Calcule: a em relação à Terra, ou seja, a menor distân- | cia que ele passou da superficie terrestre, dá 225 1024 4225 a) JE o ] 100 e) oo 10000 dlrdo DJ n 565 gt gel o) ER O asteroide se aproximará o suficiente para que cientistas. observar detalhes de sua superfície Terra lua e s PÁ Proximidade N EX Determine x sabendo que Jx = 20,3. ferra É e dm Sa mille | IN EEB» Determine o menor número inteiro positivo ye pelo qual devemos multiplicar o número Asteroide YU 55 i A Ape | 240 para obter um cubo perfeito. Sedmetro, | Asteróide YU SAP EU» Com o auxílio de uma calculadora, determi- equivalente ao tamanho de um porta-aviões Passagem * Bde novembro: TÁ à$ 21h28 min (horário de Brasília) ne o valor de: (14 + 4:3):(7 — 2-8 — 3) EZ» Determine o maior número inteiro quadra- do perfeito de quatro algarismos. E Utilize uma calculadora para determinar o N Fonte: NASA. Disponível em: <http://noticias.terra.com.br>. (adaptado) Com base nessas informações, a menor | distância que o asteroide YU 55 passou da : superfície da Terra é igual a: a) 3,25 X 10º km d) 3,25 x 10º km b) 3,25 x 10º km e) 3,25 x 10º km c) 3,25 x 10º km Determine o valor da expressão: Jlai + 1,44 + 0,49 + J016 + J0,36 valor de: aos di ez! gs" bs dos De” hn-2' Qual é o menor inteiro E postão que de- vemos multiplicar por 360 para obter um inteiro quadrado perfeito? . ma, Albert Einstein (1879-1955) ganhou o Prêmio Nobel de Fisicaem 1921 E HORA DE 0B: Com a teoria da relatividade, Einstein desenvolveu a ideia revolucionária de que a velocidade da luz no espaço vazio é sempre a mesma, qualquer que seja a posição do observador. As descobertas de Einstein impulsionaram várias áreas da Física, Ainda hoje se fala que ele não era bom aluno (tirava notas baixas e foi reprovado no vestibular!), mas sabemos que, na realidade, desde pequeno ele demonstrou muito talento para as áreas de Ciências e de Matemática. Sua dificuldade era decorar matérias, o que afetou seu desempenho em línguas no curso ginasial (atual Ensino Fundamental Il), mas isso não o fez gostar menos de aprender, Einstein continuou a estudar Matemática sozinho. Sua dedicação foi tanta que, mesmo não tendo idade suficiente e sem ter terminado o Ensino Médio, ele prestou um vestibular. Resultado: não passou em diversas matérias, mas deu um show em Matemática e Física. Os professores ficaram tão impressio- nados que ele foi convidado a assistir às aulas dessas disciplinas. Em uma expressão famosa de Einstein, ele relaciona energia Ee massa m de um corpo: E = mcº (cé o valor da velocidade da luz no vácuo) Outros teóricos também usaram expressões como a que Einstein criou para expressar uma relação. Na expressão acima, Einstein usou somente letras ou misturou letras e números? Você conhece outras expressões? Quais? ENTAO Na Antiguidade, não havia símbolos para indicar números desconhecidos, por isso utilizavam-se palavras e dese- nhos. Isso tornava as representações dos cálculos bastante extensas. Foi somente a partir do século XVI que os matemáticos começaram a usar sistematicamente símbolos e letras para representar números. O uso de letras na resolução de diversos problemas de Matemática inaugurou um novo segmento dessa importante disciplina: a Álgebra. Neste capítulo, vamos estudar operações com expressões algébricas. Denominamos esse estudo cáléulo algébrico. Observe a figura abaixo e responda às questões. » Que expressão matemática representa o perímetro do quarto? » Que expressão matemática representa a área da sala? EF 3» Escreva, no caderno, a expressão algébri- ca que representa o perimetro de cada fi- gura abaixo. a) é d) ) AS / 4 +2 Es ( E! e dia FE! b) => Responda, com uma expressão algébrica, às perguntas abaixo. a) Quantos meses há em; x anos? b) Quantos anos há em y dias? (Considere o ano comercial = 360 dias.) => Escreva, no caderno, a expressão algébri- ca que representa a área de cada figura abaixo. . a) 0) D b b => Escreva, no caderno, a expressão algébrica que representa a medida do volume de cada figura abaixo. E:5> Escreva, no caderno, uma expressão algé- brica que represente: a) a soma de dois números; b) a soma do triplo de um número com seu quadrado; c) a terça parte de um número; d) o cubo de um número; e) o produto de dois números; 1) a raiz quadrada de um número; £) a soma de um número com sua metade; h) a raiz cúbica de um número. =» Escreva, no caderno, uma expressão algé- brica que represente: a) a soma dos quadrados dos números xeyi b) o quádruplo do número y menos a sua terça parte; c) o quadrado da soma dos números xey; d) a raiz quadrada da soma dos inversos dos números x e y; e) a raiz quadrada da soma dos números xey; f) asoma de um número x com seu oposto; £) o número x menos seu inverso; h) 25% de um número x. 3» Classifique cada expressão algébrica em racional inteira, racional fracionária ou irracional, Dix = y 9 N5ex—N2ºy mi hat Res: à my j) 5x +2 Valor numérico Considere um terreno com a forma da figura abaixo, cujas medidas são a, b, ce d. A área desse terreno pode ser representada pela expressão algébrica: a-b+c:d ou ab+cd Sendoo=5,b=2,c=3ed=6,a área do terreno corresponde a: 5.2+3-6=10+18=28 O número 28 é o valor numérico da expressão ab +cd,paraa=5,b=2,c-=3ed-6. Valor numérico é o resultado das operações efetuadas em uma expressão algébrica, após a substituição das variáveis por números reais. Observe outros exemplos. » Determine o valor numérico da expressão 5a + 3b, para a = -3eb=1. Solução altos À=- 3..30,3..27 5:(-3)+3-5 15+5 215 3 ' aca so XD XY o Bt * Determine o valor numérico da expressão 3XFy «parax=-ley= = Solução ay-(y:|-L 21 1 ntotn-d) E SB L(B= s-1 2 2147 7 2a 2 e Uma expressão algébrica pode apresentar valores numéricos diferentes, de acordo com os valores atribuídos às variáveis. Veja o exemplo a seguir. 2x+ « Dada a expressão So. determine seu valor para: a)x=1ey=-1 b)x=3ey=-1 Solução Solução e1+(-=1) 2-1 1-1 1+1 Cuidado! Às vezes não é possível determinar o valor numérico de uma expressão algébrica racional fracionária. Sempre que o denominador for igual a zero, a expressão algébrica não terá valor real, pois a divisão por zero não tem significado. Exemplos * A expressão E 2 não tem valor numérico real para b = 2, x-5x+6 * A expressão e não tem valor numérico real para x= 30uU x = —3, 9 Nos exemplos acima, a substituição de b por 2 e de xpor 3 ou —3 implicaria a determinação de denominadores iguais a zero. Lendo e aprendendo Densidade de um corpo Estudamos em Ciências que a densidade (d) de um corpo é indicada por um número obtido pela fórmula: dado = massa emg DO mt medida do volume em cm? A expressão algébrica tr é utilizada como fórmula para calcular a densidade de um corpo. Assim, conhecendo a massa correspondente à medida do volume de um corpo, podemos calcular sua densidade. Por exemplo: Corpo m(g) Vem?) d(g/em') Alumínio 540 * 200 540/200 = 2,7 Aço 1560 200 1560/200 = 7,8 Mercúrio 2720 200 2720/200 = 13,6 A água tem densidade igual a 1 g/cm”, por isso os corpos que têm densidade menor que 1 g/cmº flutuam. Os navios modernos são gigantes feitos de aço. O aço (d = 7,8 q/cm') afunda rapidamente na água, quando está em um bloco maciço. Porém, a flutuação é possível por causa das grandes partes ocas no interior do casco que fazem os navios apre- sentarem densidade menor que a da água, O Auriga Leader é um navio comercial que utiliza energia solar para fornecer 0,05% da propulsão da embarcação e 1% da eletricidade utilizada tanto nas bombas quanto na iluminação. O navio está equipado com 328 painéis solares. Em um monômio, distinguimos: + ocoeficiente numérico, que corresponde a um número real; + aparte literal, que corresponde a uma variável ou a uma multiplicação de variáveis. Exemplos 5 ig coeficiente numérico: —13 1 4,3 |Coeficiente numérico: 5 XY parte literal: x*y? 2* parte literal: xy” 4,5 | Coeficiente numérico: —1 Sisriê | coeficiente numérico: 2,5 . * 2.5m “90 | parte literal: a?b” ? | parteliteral: m?n DESEN “1 Omonômio que tem coeficiente zero representa o número real zero e é chamado de monô- mio nulo. Veja os exemplos: -0x=0 * 00ºb” =0 « Omên*=0 '2 Todo número real é um monômio sem a parte literal. Veja os exemplos: | 3 «12 .-5 “Z E «-0,6 j Determine o coeficiente numérico e a par- | E» Escreva, no caderno, o monômio corres- Á te literal dos monômios abaixo. pondente: 2. per! de a E à) dotb! g) a b e a) à área do retângulo; b) —a?be? h) xyz 3 : b o) xr d -sxy 3 0) -5Bm q SE Ea ab'c ias k) —9%w'yº e 8 ) : y b) ao perímetro do hexágono regular, y xy f Z y ee “EB Identifique, entre as expressões abaixo, as que são monômios. a) —8 8) —ay E ; b)a+2b h) -a+ a? Y co) Ê v xy c) à área azul da figura. + d) Gabe 5 e) x k) 1000 ál np 3 D —0,06b ã vet ma Monâômios semelhantes Observe os monômios a seguir, * Osmonômios50'b” e ob apresentam a mesma parte literal: q'b? * Osmonômios J2aºb? e -3 ab? apresentam a mesma parte literal: qb? 7 * Os monômios 3míne -8 mn apresentam a mesma parte literal: m?n Dois ou mais monômios são semelhantes quando apresentam a mesma parte literal ou quando não possuem parte literal. Assim, são monômios semelhantes: «sobe -Loib? . Voe Sob? . 3mine “min Observe outros exemplos. « 200ºbº e -s qºbº são monômios semelhantes. . 2,2 e —7xº são monômios semelhantes. “12,13e -Ssão monômios semelhantes, LU ETEtS Os monômios semelhantes são também chamados de termos semelhantes. EE» Assinale os itens que apresentam monô- > Escreva, no caderno, um monômio seme: mios semelhantes, lhante a: a) 6x/e —5xº f) 8míne Gm 2 b) 15xy e 30x g) 15e23 =g0'b'c* co) -8,10e-15 h)5ae5b d) 5b? e —7a i) ze 6x | E: Escreva, no caderno, dois monômios se: 30% oi a sta d melhantes cujos coeficientes sejam nú e) a aa » res meros inversos. Grau de um monômio O grau de um monômio com coeficiente não nulo é indicado pela soma dos expoentes da su parte literal, Exemplos * 6xºy' é um monômio do 5º grau. . ixiyre um monômio do 6º grau. T Ã l 2+3=5). / t ([+2+3=6) hj * 20 é um monômio de grau zero. REI PETESRE 1 Podemos definir o grau de um monômio em relação ao expoente de uma de suas variáveis. á Exemplos E ; É um monômio do 1º grau em relação à variável a. É balbi y | t É um monômio do 3º grau em relação à variável b. y É um monômio do 2º grau em relação à variável x. i y Pe lyy | 5 É um monômio do 5º grau em relação à variável y. aa E» Determine o grau de cada monômio. Era» Determine o grau de cada monômio em a) 7x g) x'y “ relação a x. db) 9x! h) 28 a) 4 o xyz” 3 o) xy? id e by po d) 12x a s ver a Ditos SE Er» Determine o grau dos monômios abaixo e) =15xy k) —2xy'z em relação a x, y e 2. 9) 2xy' y “e a) isxiytz” db) -5xtz” cd) ixo « Aárea do retângulo € é expressa pelo monômio 4ab. « Aárea do retângulo O éexpressa pelo monômio 3ab. o « Aárea da figura é expressa por 4ab + 3abou 7ab. D' Logo:4ab + 3ab=7ab Dbserve esta outra figura: « Aárea do retângulo ACDFé expressa pelo monômio 9xy. « Aárea do retângulo ABEF é expressa pelo monômio 5xy « A área do retângulo BCDE é expressa por 9xy — E CD ou4xy E : SP R E. si dy JC Logo: 9xy — 5xy = 4xy tu Ev» Calcule os produtos abaixo. | v> Efetue as multiplicações. a xx o) (2x) (+) | Da tg b) (+3%) (=83) d) (+4ab?-(=2abo) | i o | b) [ro] * ox: 14 EI Escreva, no caderno, o monômio que re- | presenta a área de cada figura, a) [ha o [-Zab)-[+ghe)-[-70c) 3 | É d) (=15xºy) |-bo')- (+3x'y') 2k 6y = b) /> o A” e) (=0,4a'b) * (+0,01b) * (=0,02aºb') f Â / i3ab / aee, o AE 10 3 21 b abc D (ato): [ga] [ad EI» Observe a figura e responda às questões B) x AX oy no caderno. 3 6 hn) (-3mnp) - [+8 mp] -(-18mn) | E Sabendo que A+ B= C+ D, determine ( monômio D, sendo A = 2x'y', B= —4x ec=-Ix'y'. 3xy a) Qual é o monômio que representa a medida do seu volume? b) Qual é o valor numérico da medida do -2 bter 3xºy%? volume quando x=3,y=2ez=4? Gaxipor:=2%y pata, obier o =>» Qual é o monômio que devemos multipli NATEI Divisão de monômios Inicialmente, vamos recordar que: ag":g"=0" " comae Rtemnez Observe estes exemplos: - (20xº):(4xº) = (20:4) + (xº:xº) = 5x? * [-dob):(go'b)=[-1:3) (0º:0)-(b*:b) = —Lo'b * (-30xºyº2%):(-6xyº2) = [(-30):(-6)]-(x*:x) + (yº:y?) (272) = 5xºz O quociente de dois monômios pode ser obtido dividindo-se os coeficientes numéricos e as partes literais entre si. [SCI Emalguns casos de divisões de monômios, os quocientes obtidos não são monômios, e sim frações algébricas, que serão estudadas posteriormente. Exemplos i «-Byibey=|[- 3: B ]- (ex) (iiy)= Sex ey "ea «202bc: Galbo' = (2:6)-(gê: Am bg ça 2o'bc: ba'bc' = (2:6)-(aº:0')-(b:b)-(c:c*) ad 300 Eua =» Calcule os quocientes a seguir. E» Por qual penbro devemos dividir êx yr a) (16x): (4x) para obter “a b) (=-604'b') : (—15a?b) o) (=125aºb'c!) : (= 25aºb'c?) 10ab”, tem como resultado 15qºb a) (18x'y') 2 (-9xºy?) E» Qual é o monômio que, Epa por E» Simplifique as expressões abaixo. e) (e5x'y'z') (o 5x'y'a) a) (30a'b') : (2ab — Sab) EU» Calcule: b) [-3mn . (2mn + afim” 3 o a), [-502') : (0,272) co) (3x'y' + 2x) - 5y 9: (2xºy”) b) (0,2x*y') : (0,25xy") E Efetue as divisões a seguir. (c) (100ab'c') : (0,01abo) a) (-30a'b') : (-6ab”) d) (b'm') : (-5bm) b) (Geytz) 3 (e y'z!) “e) (-250x): (50x) o) (6x): (-3x) VN 6 Potenciação de monômios Inicialmente, vamos recordar que: «(o”"P=a”",comoe Rem nez e(a:b"=a"-b" coma, be R*eneZz Observe estes exemplos: . (- 30ºb%º = (— 3) (aº)*- (Db) = 90" bº . (mn) =[-3) (mn)? = -Eimn's A potência de um monômio pode ser obtida elevando-se o coeficiente nu- mérico e a parte literal à potência indicada. e sr EP Calcule as potências a seguir. EF» Determine: ni ca | a) o quadrado de —1,20ºb'c'; 8) be) o |] b) o cubo de 0,2b0º; b) (am o 8) (0a?b*c)* | c) a quarta potência de =. salto | o) |-28] 8) (ox'y9º 73» Calcule as potências abaixo. a) (=a'b'P h) (xy)! a) (=5aºbo'* Dr E b) (=3ab')? + (=24ºb)* + (a !b EB» Simplifique as expressões abaixo. AR ao a) (203): (10x) + Enio qe a) (ey)? b) [-5a?b!) s(za!b)? tys [70º] q [EE o (=2mn): (mn)? o a a) (01p93: (29º? » [-Gab| VN 7 Raiz quadrada de um monômio Observe estes exemplos: - J360'bº = 6aºb' 5 Ee -2wy Araiz quadrada de um monômio, cujos fatores literais têm expoentes pares, pode ser obtida extraindo-se a raiz quadrada do coeficiente numérico e dividindo-se por 2 0 expoente de cada variável da parte literal. EE Calcule: [EE Calcule: RREi FT = a) qe d) 0,36! a Josy a) Siaaaid' b) J5gx" e) J100m'nº — 25 a sc Entat 36a* o apê b) J8im'n'p* ) (E c) J640b' » [+ J 169d” 10 mb En iú E» Determine o monômio que, elevado ao qua- c) | Ea 9 E E E drado, tem como resultado 0,444...m?n”. 100 xy Grau de um polinômio O grau de um polinômio não nulo é determinado pelo termo de maior grau não nulo. Exemplos * Opolinômio xºy — xºy? + 3xºyzé do Bº grau. vo 4 y s Bº q grau | grau grau * O polinômio 20º + 5aºb* - Gabé do 4º grau. Y Y Y E = Ê grau grau I sedia : 1 * Podemos estabelecer o grau de um polinômio em relação a uma determinada variável, Nesse | taso, o grau do polinômio corresponde ao maior expoente com que a variável figura em um dos termos não nulos do polinômio. Exemplos * Opolinômio x* - 3xºyº + 5xºy é do 4º grau em relação a xe do 3º grau em relação a y. * O polinômio aºb* + 10bcé do 6º grau em relação a a, do 4º grau em relação a be do 1º grau em relação a c. [53» Determine o grau de cada um dos polinô- | 47» Determine o grau de cada polinômio abai- mios a seguir, xo em relação à variável x e à variável y, a) 5aº + b” respectivamente. a) 2x + 5xy” b) ax + 2x'y' + By! aa bd) x'y = xy? c) 5m* + 6mn + 4nº o 2x'y — 5x'y d) 16abº + 7a” + 5b” d) ax' — bx” + Zabxy” e) =Ix'y + xy — 2x'y! e 3xy + xy — y! D xy y Dx+ay+y Polinômio reduzido em termos semelhantes Considere o polinômio: a? + 2ab+ 6a” + 15ab — 5a? + 7b? Esse polinômio possui termos semelhantes que podem ser adicionados algebricamente. Observe: a + 2ab + 60º + 15ab — 59º + 7b' = = 0 + 6º - 50? + 20b + 150b + 7b' = = 20º “ 17ab + 7b? RE Veja outros exemplos. « Escreva o polinômio 5x — 3y — 8x + 10y — 10xna forma reduzida, Solução 5x — 3y — Bx + 10y — 10x = = 5x = 8x - 10x — 3y + 10y = = -13x A 7y Solução Determine a forma reduzida do polinômio 7a” (150º — 6h”) + (6a — 7b) - (=aº + 2b?). Inicialmente, devemos nos lembrar de que, para eliminar parênteses precedidos do si- nal (=), trocamos os sinais dos termos que estão dentro dos parênteses. Assim: zo? — (150º — 6b) + (60 — 7b) = 7a” — 150º + 6b? + 6a - 7b = 709º —- 150º + 0º + 5b — ab? = - 70 + ab EEB» Escreva, no caderno, cada um dos polinô- “ mios abaixo na forma reduzida. a) Tx Byitly— 5x +y mae gry+5-5 À o SE tab a! + Bab+S ab d) 7a — 6b — ab + 5a — 3b + 2ab e) 5a? +7b! = 34º — q? + 8b' + 2a? Da +5y+8-6y-5 + —3 Ez» Escreva, no caderno, cada um dos polinô- mios abaixo na forma reduzida. a) 1º — (6x) + 9x— 2) + (-9x+ 4º — 3) b) a—(=2b+ a) + (a+ 2b+ 6) — (6 — 3b) co) 2m+(2n-3m-—2)-(Im+2n-4) d) 2x— [3x— (2x + 49) + (3y— 55] — 6y [EE Reduza os termos semelhantes, ordene e | dê o grau dos polinômios a seguir. a 3xt4— 5x + Ix— 4x + 8x — 9 + + 12x + 8x b) xtrar 2 +2x=1+4-3r-37+ + — x + 5x — 2x deparar ++ +2x-2y-3 + dar-x+ax-l-x+x—3x—1 - (-0? + 2b?) = + q - eb” = + 60 -— 7b = + 60 - 2b E7»> Observe a figura abaixo e responda às questões. a 2x a) Qual é o polinômio que representa a área da figura? b) Qual é a forma reduzida do polinômio? | E Calcule as diferenças, eliminando os parên- teses e reduzindo os termos semelhantes. 5 a) (6x —9xy—3y)—| 5x? + b) (=*— 9x + 4) — (xº + 5x — 3) o) (6x* — 9º + 5x + 4x — 1) — — (9x! + 2x + 2xº — 3x + 4) EXP Escreva os polinômios reduzidos que re- presentam o perimetro e a área da figura abaixo. sy linômios com uma só variável Considere os polinômios: ex+2x+1 cbx +2x)+4 ex*-9x Eles são chamados de polinômios com uma variável ou polinômios na variável x. Vale lembrar que: + Écomum ordenar um polinômio segundo a ordem decrescente das potências da variável. Por exemplo, o polinômio 6x? — 1 + 5x! + x* pode ser escrito na forma x + 5x" + 6xº — 1, + Dizemos que é completo em relação à variável o polinômio que possui todas as potências dessa variável, desde a de maior grau até a de grau zero. Veja o exemplo: 6x) — 4xº + 2x + 5 é um polinômio completo. + Podemos completar um polinômio incompleto em relação a uma variável acrescentando as variáveis ausentes com coeficientes nulos. Veja o exemplo: O polinômio 5x* + 2x” + 3 pode ser escrito na forma 5xº + 0x” + 2x” + Ox + 3 (forma geral). É comum representar um polinômio não nulo por uma letra maiúscula do alfabeto. Observe: «A=2x)+5x+1 «B=6x'-x)+2x-1 eC=40 + 2 Dois polinômios quaisquer são idênticos se seus coeficientes são ordenadamente iguais. | Observe: cA=2x)+5-7x+x? »B=x]-7x+2x7+5 A=2x)+x]-7x+5 B=2x)+x]-7x+5 forma ordenada forma ordenada Os polinômios A e Bsão idênticos. PAPA E» Escreva, no caderno, os polinômios abai- 7)» Escreva, no caderno, cada um dos polinô- xo na forma ordenada, segundo as potên- mios abaixo na forma geral. cias decrescentes da variável x. adx+sx-l a) 3x—- 4 + 6x + x b) x* + 16 b)—2x + x*— 3x e) x*— 27+8 5 o) —12+ 6x — 5x + 2x + 3x! dx=-1 a)8— 2x4 37º = Dx! E Os polinômios 2x — 3x) + x — 4 bg ud a 4+3x' + 2x + xsão idênticos? Justifique SUR am go A sua resposta. . tas to NA EIS Multiplicação de polinômios Vamos considerar esta situação: 2a b * Na casa de Pedrinho, o escritório fica ao lado do É | quarto, conforme a figura ao lado. Que expressão algébrica pode representar a área total desses 3a] quarto escritório dois espaços? Solução Podemos determinar essa expressão algébrica de dois modos: 1) Adicionando a área dos dois espaços. 2) Multiplicando as medidas das dimensi do espaço total, 2a b ea l É | É 3a| quarto + escritório. |3a 3a quarto escritório 30:20 +30-b=6aº + 3ab 3a - (20+b)=60º+3ab T a T = áreado | áreado medidada medida do quarto escritório largura — comprimento Observe que, no segundo caso, determinamos a igualdade aplicando a proprieda distributiva: / voy 3a-(20+b)=30-20+30-b=60º + 30b Assim, temos a multiplicação de um monômio (30) por um polinômio (2a + b). Na multiplicação de um monômio por um polinômio, devemos utilizar a proprie- dade distributiva, multiplicando o monômio por todos os termos do polinômio e adicionando, em seguida, os resultados. Observe os exemplos abaixo. fe y Y º 5x(2x— 3) =5x:2x+5x:(-3) = 10x? — 15x r voy f Y exte(x 2x + 1)=(-x2:x3)-x2.(-2x) —x2.1 = —xS 4 2x! x? multiplicação de polinômios, também podemos utilizar um dispositivo prático semelhante tilizado na multiplicação de números naturais. bserve: e 3 q 2 cl DR x ER x =x? 10x) — 15x é -6 + 2x* —- x ora, vamos considerar esta situação: Aplanta da figura abaixo mostra as dimensões do apartamento de Luís. Que expressão algébrica pode representar a área total do apartamento? Solução Podemos determinar essa expressão algébrica de dois modos: 1) Adicionando as áreas dos quatro espaços. x y a| cozinha banheiro) a ax + ay E bx + by E [o E me E áreada áreado área da área do cozinha banheiro sala quarto b sala x y 2) Multiplicando as medidas das dimensões do espaço total. , ty 4 a cozinha (a + b) . (x+y)=ax+ay+bx+ by E il a+b medida da medida do largura comprimento sala . Observe que, no segundo caso, determinamos a igualdade aplicando a propriedade distributiv (d+ D)(x+Y=0:x+ oy+bx+b:y=ax+ay+bx+ by + A Assim, temos a multiplicação de um polinômio (a + b) por um polinômio (x + y). Na multiplicação de um polinômio por um polinômio, devemos multiplicar cada termo de um deles por todos os termos do outro e, em seguida, adicionar os resultados. Observe os exemplos abaixo. Y Y e (5x+2)3x—1) H 5x:3x+5x:(-1)+2:3x+2:(-1)= 15x]-5x+6x-2 = 15x +x-2/ Utilizando o dispositivo prático, temos: + o ga SM JR Sxu= e x 4% = 1 x 3x= $ x Byx=. 1 d 15x) + 6x 15x) + 6x 15xº + 6x bosliebo - 5x —& dE = spo ce 15% + go = 2 um embaixo A y y do outro. . pê-3nxt-2x+1) = ex+x(-2)+x-1-3:x-3-(-2x)-3:1= LA A = Birx-3x+6x—3= = xº-2%)-2x+6x-3 Utilizando o dispositivo prático, temos: RE = ext nd xó= ex4/1 xX- 2x+ 1 x 5 -3 xx =3 x XE -3 x*- 203 + x? x*— 20º + x? x -20+ x | -3x + 6x — 3 + — 3x2 + 6x -— 3 x*— 2x — 2x2 + 6x — Observações 1 Ograu do polinômio produto é igual à soma dos graus dos polinômios multiplicando e mul- tiplicador. Veja o exemplo: O polinômio produto dos polinômios 12x? + 5x (3º grau) e 4xº + 3x? + 3 (5º grau) é um polinômio do 8º grau (3 + 5 = 8). 2 Em uma multiplicação de três polinômios, multiplicamos inicialmente dois polinômios quaisquer e, depois, multiplicamos o resultado obtido pelo terceiro. | 3º) Multiplique o quociente obtido (x?) pelo divisor (x — 1), obtendo o produto x? — x*, que | será subtraído do dividendo. $-32+3x+3 |X=1 | Trocamos E ossinaisdo > — 36 de 96 X roduto. e O | E -2X2+3x+3 Continue o processo, dividindo —2xº + 3x + 3 por x— 1. | $-3$+3x+ 3 |x=1 | -X0+% x] — 2x -20+3x+ 3 Trocamos é ossinaisdo —-» + 2X] — 2X roduto. Ê x+3 Conclua o processo, dividindo x + 3 por x — 1. | *-32+3x+ 3,|x=1 -08 + x? x -2x+ 1 -22+3x+ 3 +2x — 2x | Trocamos Asa ossinais do >> x +1 produto. 4 | | A divisão termina quando se obtém como resto um polinômio de grau menor que o grau | do divisor. | Logo, o quociente da divisão de xº — 3x +3x+3porx-1éx'-2x+1,eorestoé4. Observe que: (x=1)-(x-2x+1)+4=xX]—3x"+3x+3 divisor quociente resto dividendo + Vamos determinar o quociente de 6x* — 5x? — 14 por xº — 2. Solução Observe que o dividendo é um polinômio incompleto. Portanto, devemos completá-lo antes de iniciar a divisão e, em seguida, efetuar a sequência usada no exemplo anterior. 6x!- 5x2-14= 6x! + 0x) —- 5x? + 0x— 14 Assim: 6X +0x)- 5xº +0x—- 14 |xº — 2 — 6% + 12x 6x + 7 | Ada = 14 - wé +14 À O <— Adivisão é exata. as” 4 | “mM Logo, o quociente da divisão de 6x*-5xº-14porxº-266xº+7e0 resto é zero. Observe que: (x —-2)-(6x]+7)+0=6x* -5xº- 14 divisor quociente resto dividendo [ao 73 Calcule os quocientes abaixo. a) (10xº + 12x) 3 (2x") b) (30º + 60ab + 90h?) : (30) c) (-6ab + 9a*b + 12ab?) : (3ab) 5 Bu d) êx! = gx):(-2x) e) (m' + mY:(=m? O (min? + mn* + mn): (-mn) EEB O produto de um monômio por um poli- nômio é 204ºb” + 30a'b”. Sendo o monô- mio 5a*b', determine o polinômio. E A área de um retângulo é representada por b'x* + 2bx. Sendo a medida da largu- | ra bx, determine a medida do comprimen- | to do retângulo. E» Determine o quociente de 10x'y* — 20x'y* + 30x*y" pelos monô- mios: a) 10xy b) —20xy" c) 5x!y” a) —10xºy EB» Calcule: a) (xº + 2x — 15): (x + 5) b) (x + 2x — 3 + 5x— 5): (x—1) co) (5y' + 5yº — 609): (5yº — 15y) d) (3º — 2xº — 16) : (x — 2) e) (8y' — 307º + 207º — 18y) : (2yº — 6y) Forme dupla com um colega e, em seguida, dividam o polinômio A = 2xº + 9x) + x—5 RE VA A ATA E AE PA CAÇAU Trabalhando em equipe PNR RISS 1 Devemos sempre colocar os termos dividendo e do divisor em ordem de tências decrescentes, em relação à var vel, antes de iniciar a divisão. 2 Ograu do dividendo, em relação à variá deve ser maior ou igual ao grau do divisol | EB Determine o polinômio P, que, multipl cado por 3x + 5, tem como resultad 6x + 13x + 14x + 15. EL Determine o polinômio P, que, dividid por 2a” — a + 3, tem como quocient exato o polinômio 5a” + a — 1. | ELY> Determine o quociente e o resto. | a) (30º + 7aº + 6a! — 4a): (a? + 2a —1) b) (x* — 10): (x — 1) o (m' = D:(m' + m+1) d) Ge + 4 — e + Mile + ax +) e) (15xº + 13x — 18x + 8): (3x? + 5x) n té - 4x + — 5X + 7x + 6) Ge +x—1) ENE> Divida o polinômio 4x* + 12xº — 2x — 6 por 2x* — 1 e determine o valor numérico | do resultado para x = + ENE» Ao dividir um polinômio P por x” + x! obtém-se quociente xº — 1 e resto 2x + 5, Qual é o quociente e o resto da divisão de Pporx' + 3x? pelo polinômio B = 2xº +.x. Efetuem a operação cuidadosamente, determinando o quo- | ciente e o resto da divisão. Entreguem ao professor, em uma folha de papel, a sequência dos cálculos, circulando o quociente e o resto encontrados. screva, no caderno, a expressão algébrica que representa: a) a soma da terça parte de k com o triplo da metade de p; b) araiz cúbica da soma dos números a e b; c) a soma do sêxtuplo de x com a terça parte de y; d) a soma do cubo de x com a raiz cúbica de y; e) o produto da soma pela diferença de x e y; 1) 150% de x; g) a soma dos quadrados dos inversos de xey; h) o produto do cubo do número a pela metade do número b. Classifique cada expressão em racional teira, racional fracionária ou irracional. 2 3x) + 5 a) 3ab”Jx da E 2 E +51 d 3x É f) Wx + 6 E» Determine, na figura ao lado, a expressão 4 algébrica que repre- ta senta a medida do à seu volume. endo A = =-1eC=ãa3, deter mine o Mi ad da expressão AB & 7º 1613 Determine o valor da expressão a! — 3aºx'y', paraa = 10,x=2ey=1, a) O 0) =a bj1 d) 1 AF [75 ara quais valores das variáveis as expres- “é 4 sões abaixo não representam números reais? x+y x+2y dar = x+2 dr = a ( rRyA o valor numérico de SE 3x = 5 ea si = ze parax=2 Ba x+ Jy ey=4. Um chuveiro elétrico transforma energia elétrica em energia térmica (calor). A potên- «cia (P), medida em watts, desenvolvida por um aparelho é dada pela expressão algébri- caP= Ri”, em que R, medida em ohms, é a resistência elétrica do chuveiro e i, medida em ampéres, é a corrente elétrica. Calcule a potência do chuveiro para R = 20 e i = 5. entrada de água fria resistência elétrica (R) saída de agua quente i E» Determine o grau de cada monômio abaixo. a) —3a'b'c' d) —5x'yz » By e) 206 o) 8m'n” f -3x EE» Efetue as adições algébricas a seguir, redu- zindo os termos semelhantes. a) 6aº -3b'4+ 5a — 7a" + b* —- 2a 3xy xy 3xy RD Pas AD be : arax=1e ado 97 P y" | Q; Conteúdo digital + Atividade interativa 2 | BETA PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO O tatame é o lugar onde se pratica o judô. Nele, podemos observar a zona de perigo e a área de combate, Observe a ilustração e determine o monômio ou polinômio que repre- senta a área: » daregião de combate; » dazona de perigo. » TROCANDO IDEIAS Neste capítulo, vamos estudar os produtos notáveis e sua impor- ] tância no cálculo algébrico. Observe, na figura abaixo, a planta de um pavimento da casa de João Paulo. cozinha . As áreas dos cômodos podem ser assim representadas: * áreadoquartol:a-b « área do quarto 2: aa = à” * área do banheiro: b: b = b” * área da cozinha: a b + Determine, deduas maneiras diferentes, aáreatotaldafigura. » Aque conclusão podemos chegar? 2 Oo NATE! Produtos notáveis Observe a situação a seguir. Daniel e Júlia queriam descobrir qual era o número de pedras coloridas que formam a praça central do condomínio onde moram. Daniel fez algumas contas em uma folha de papel: Júlia, rapidamente, afirmou: — São 64 pedras; basta determinar o quadrado de (5 + 3), ou seja, o quadrado de 8. Os dois, logicamente, acertaram. Veja: (5+3)=(5+3):(5+3) (5+32=5:5+5:3+3:5+3:3 (5+3)=52+2-(5:3)+3º 8º=25+30+9-64 O produto (5 + 3) (5 + 3), ou (5 + 3)º, é chamado de quadrado da soma de dois termos e constitui um dos produtos notáveis conhecidos. Os produtos notáveis são produtos de expressões algébricas utilizados com frequência por serem de fácil memorização. | Observe alguns dos produtos notáveis: ] » (a+ by UT + quadrado da soma de dois termos » (a- by? === — quadrado da diferença de dois termos » (a+b)-(a-b) produto da soma pela diferença de dois termos » (a+b) « -— cubo da soma de dois termos . + (0—b) «— —— cubo da diferença de dois termos A E ep US A Álgebra Geométrica grega é apresentada de forma mui- to interessante na obra Os elementos, de Euclides. No livro Il, encontramos oconceito de produtos notáveis e, na proposição 4, podemos observar este texto: Se uma reta é dividida em duas partes quaisquer, o qua- “ drado sobre a linha toda (1) 1 as duas partes (2), junto as vezes o retângulo Euclides (325-265 a. autor da obra Os element Essa proposição mostra a forma como os problemas que 4 envolviam Álgebra eram concebidos e apresentados. O uso de fi- guras era extremamente importante para o melhor entendimento dos textos. Veja como representar as figuras (1), (2) e (3): (1) 0 quadrado ABCD. (2) Os quadrados de áreas 0º e bº. (3) Os dois retângulos de áreas ob. * Quadrado da diferença de dois termos O quadrado da diferença de dois termos, a e b, é indicado por (a — b)*. Desenvolvendo esse produto, obtemos: (0-b) = (a-by-(0-) (o-b)? = a -ab-ab+b? (a-b) aº —- 2ab+ b? Ouseja: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto dos termos mais o quadrado do segundo termo. » a Método prático (a - by? = a = 2ab + bé 4 4 À 4 A | I l 1º termo 2º" termo quadrado do duas vezes o quadrado do 1º termo produto dos termos 2º termo Exemplos e(x-yi=x-2xy+y? «(84-20 =(9) -2-2.2h+ (267 =D - 49 + ap? Demonstração geométrica Considere os quadrados abaixo: b? b a d T+ Sobrepondo esses quadrados, obtemos: “a-b b Podemos observar que: (a-b)=aº-[b(a-b)+b(a-b)+ bb] (a- bj? = 0º — [2b(a — b) + b?] (a-b)=a'-2b(a-b)-b? (a-b?=aº-2ba+2b? — b? (0-b)=aº- 2ab+ b? A expressão a” — 2ab + bº é um trinômio quadrado perfeito. eesqueça de que (a — b)º é diferente de a” — b”, Observe: (5-2) SE ns 9 Lie do pas | C=afes Sa EEB Calcule: (x + y)? — (x — h (ex y? Er Resolva: o (gx — 27 we (ex— 1! — (x— 3 + 5(2— (go 0" E vy d) (=P D [£ a Ex%» Considerando o modelo, desenvolva os E apr demais itens. Etoe — 1) do [x a) (EM Meto trt De-» y pe-af x (4-1 X-2x+1 a 2 2 Simplifique as expressões abaixo. a) (=3f b) = 7 | c) [= 4 a) (=2a — 3b)' — (2a — 3h b) (x — 2) (e + 2) EXP» Antes de resolver esta questão, leia aten- o (=x +17 + (-x— 1) tamente a “Demonstração geométrica” do d) 3xle — 1) + 3x0 — x) quadrado da diferença de dois termos. Observe as figuras abaixo e escreva a ex- pressão correspondente a (3a — 2)º. Observe o modelo e, aplicando a fórmula do quadrado da diferença de dois termos, calcule; — 3a a (20 - 4) =20º-2:20+4 + 4º = 256 | E ] ad(z-7" b)(8-5) o) (20 — 10) Calcule: [lx + y)) — GÊ + y)] 3a ED Se (a — b) = 16 e a* + b” = 106, calcule o valor de a | 7 2 Produto da soma pela diferença de dois termos O produto da soma pela diferença de dois termos, a e b, é indicado por (o + b)- (a — b). Desenvolvendo esse produto, obtemos: A “x (o+b)-(a-b) = 0º -ab+ ba-b” (AA q? — b? " (a+b)-(a- b) % Exemplos (e y=0+30y+ 3 + y «(0º +2b)=(0)/+3- (aº)-2b+3-aº-(2b) + (2b) = 0º + 6a'b + 120ºb? + Bb” 3 EMOS E Demonstração geométrica Considere o cubo de lado a + b. Determinando a medida do volume da figura: « pela medida do volume do cubo de lado a + b: V=(a+b)-(a+b-(a+b=(0+b" O * pela soma das medidas dos volumes: v=c'+eib+rab+oib+b?+ ab? + a'b+ ab” a v=0'+30'b+3ab' + b' O Como € éiguala €, pois ambos representam a medida do volume da figura, temos: (a+b)=0'+30ºb+3ab? + b AB E diferença de dois termos p da diferença de dois termos, a e b, é indicado por (a — b)”. Desenvolvendo esse pro- os: (0-b)=(a-— b)'-(a — b) s (a-bP=(0º-2ab+ b?)-(a E (a-bP=0'-a'b-2a'b+ 2ab” + ab” — b? (a-b)= 0º - 30º%b+ 3ab? — b? cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo menos três zes o quadrado do primeiro pelo segundo termo mais três vezes o primeiro pelo jadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo. (o = = do - 3d + 3abl -b t t A A A A 1ºtermo 2º termo cubo do 1º três vezes o três vezes o 1º cubo do termo quadrado do1º peloquadradodo 2ºtermo pelo 2º termo 2º termo W'=0-3xy+3xy—y (o*-3b)' = (0º) -3-(aº)-3b+3-aº-(3b) — (3b) = dº —- 9a'b+ 270'b' - 27bº Ed -097->(8/-8)+>(8/08]-B-5-2 4-5 E> Calcule: o ext) a) (x+ 1) bd) (e + 3) bx) (er 2 dra 9 (3x+27 Ez Sendo (e + 4) =3, calcule x" + = dx h) (3x — 2) E73> No cubo ao lado, a medida da aresta é representada é Calcule os cubos. rd sai e A 2n). ER enha um potmomio E fax + o o) (1 =— 2x que represente a medida Dix-2y d) (e — 3x)? do volume desse cubo. Outros produtos notáveis Produto do tipo (x + a) (x + b) | ou produto de Ste: | O produto do binômio (x + 0) pelo binômio (x+ b) x ax resulta em um trinômio do 2º grau. Veja: | (xr a-(x+ b)=xº+ xb+ xa + ab y bx ab b (x+ a)-(x+ b) =x] +(0+ b)x+ ab “e E - E Também podemos escrever: (x+a)(x+b)=x+Sx+P 14 Péoproduto (a: b) Séasoma(o + b) Observe os exemplos a seguir. * Vamos calcular o produto (x + 5) «(x — 2). Temoso=5eb= 2; então: S=a+b=5+(-2)=3 P=o:b=5-(-2) = -10 Assim: (x+5)(x-2)= XxX +Sx+P Simon Stevin (1548-1620) era z físico, engenheiro e matemático. (x+5)-(x—2)=xº+3x— 10 Stevin criou uma notação para a escrita dos números decimais e(x-1)(x+5)=52+(-1+5)x+(-1):5=xº+4x—5 fracionários que posteriormente deu origem ao uso da virgula. Quadrado da soma de três números (a+b+o'=(a+b+o-(a+b+o) ! Z (a+b+c)=a"+ab+ac+ba+b'+bc+ca+cb+c | bl| ab bro be (o+rb+c)=0"+b'+cº+2ab+ 20c+ 2bc é alpha ab | ac Exemplos » e(xr2y+27=x+(2y)+27+2ºx:(29)+2:x0z+2-(29)02= =x +4y' +27 +4xy+2xz+4yz e(x-2y-3/=xº+(-2yf + (-3) + 2x:(-29) + 2x:(-3)+2:(-29)-(-3) = =x +47" +9-4xy- 6x+ 12y ses Na forma fatorada, os fatores são: * ofator comum; “ED Decomponha em fatores primos os núme- ros abaixo. a) 36 b) 100 c) 450 d) 2500 e) 120 f) 500 g) 5400 — h3080 Colocando os fatores comuns em evidên- cia, fatore; a) ax + ay b) 16x + 20yº c) 5x + 15y — 10z d) 4x — 16 e) lx + k D -5xy + 200y "EP Sendo ab = 8e a* + 5b = 24, fatore o polinômio a”b + Sab” — 4ab e determine seu valor numérico. E (ta er * oquociente da divisão da expressão pelo fator comum. Observe os exemplos. «cê+2= oc (do + 2) 4 t t | fatorcomum o'ig 2aia ckm+2kn+k= ko dm + 2n + k 4 t t E fatorcomum — km:k 2kn:k é:k *120'bº -200ºb" + Bo'b?= 40'b” - (3ab! — Sob! + 2) E A 4 A fatorcomum — 120ºb*:40'b” 200'b":40'b” Ba'b':40'b «(a+b)+(a+ b)x= E . q + x) fator comum (a+b):(a+b) (a+b)x:i(a+b) EF» Colocando os fatores comuns em evidên- cia, fatore: a x+x bx" + o xy + 4x'y'z d 15x = 107º +257º — 5x* e) 3x + 12x D Ax+y)-— dx+ y) * EI Fatore as expressões. a) ax + be — cx b) iza'x + 6a'x — Bax' o Sb, &b ab! gas ao E» Decomponha em produto. adx+x- a b) 6x + 3xy + I2xyz c) 6x'y — 18xy y d) 27º — 15x! + 36x e) 4x + 6x + 2x £ 15x — 3yxt x Agrupamento Utilizamos o processo de agrupamento quando a expressão a ser fatorada apresenta grupos de termos com fatores comuns. Observe a figura abaixo. ” a que: b: . ————+— A área dessa figura pode ser indicada por: by ax + bx+ ay + byou(a + b)-(x+ y) Verifique a sequência utilizada na fatoração de ax + bx + ay + by. 1º) Agrupamos os termos com fatores comuns » ox+bx+ay+ by 2º) Colocamos o fator comum de cada grupo em evidência » xXo+b)+y(a+b) 3º) Colocamos o polinômio comum (a + b) em evidência - (a+bx+y) Assim: ax+ bx+ ay+by=(a+b)-(x+y) Veja os exemplos. «30-6y+ab-2by = 3a+ab-6y-2by = = o(3+b)-2y(3+b) = = (3+b)(o-2y) exrrrex = x(x+D+xx+1) = = (x+1):(X +») ax(x— b) + b(b — x) = ox(x- b) — b(x— Db) = (x—b)-(0x— b) VE NV VA A A CA UA H H «ax - abx+ bº- bx 1 EP Fatore por agrupamento. * EY3> Decomponha em produtos. a x+x-2y-2 a) 3(x— 1) + alx— 1) + ax — 1) b) 6x + 6y + ax + ay b)ax+bx+ay+ by + az+ bz d2—-l+yx—y o (x+y — 2x + y) d) 2a + 2b + ax + bx | a) ax — as Em EEB Fatore as expressões. EEB Agrupe os termos e fatore. , a) Ix+7y+ bx+ by ajax-ay+x—y b) ax— ay — bx + by b) abx + aby' + cx + cy” co) 6x) + 15x — 4xy — 10y o) x! + 9x — 6x — 54 d) 2ax — 2ay — 3bx + 3by d) ax — 2ay + 5bx — 10by + lex — 220y ca de dois quadrados je a figura abaixo. a da figura é a? — b?, que corresponde a uma diferença de dois quadrados. tando a figura pelo pontilhado e juntando as duas partes, conforme o desenho, obtemos: a-b v a-b a-b figura 2 ique que a área da figura 1, expressa por q? — b”, é igual à área da figura 2, que pode ser pressa por (a + b)- (a — b). Assim: a -b=(a+b)-(a-b) a 2 2 g'-25=(0+5)J0 5). S-E-(E-28-3) a iu “a (gr (8 E E id = (ab + 4xºy')(3b — 4xºy) di Gob (ay E petreços sra (mp q (me ay ú