4726 Introdução a Mecanica Quantica Aula 06 Vol1

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o b j e t i v o s

Pré-requisitos

Meta da aula

O caso estacionário em uma dimensão

Aplicar o formalismo quântico no caso de o potencial ser independente do tempo.

• verificar que, no caso de o potencial ser independente do tempo, a equação de Schrödinger tem uma forma mais simples;

• calcular o valor esperado de operadores quânticos, em particular da energia;

• definir os conceitos de autovalor e autofunção de operadores quânticos;

Para uma melhor compreensão desta aula, é importante que você revise a Aula 5 desta disciplina, o conceito de equações diferenciais ordinárias (visto no curso de Cálculo), o conceito de hamiltoniano (Aula 7 de Mecânica) e o oscilador harmônico simples (Aula 3 de Mecânica).

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Note, porém, que há muitos outros casos, igualmente importantes, em que o potencial depende do tempo. Por exemplo, no caso de um campo elétrico oscilante devido a uma onda eletromagnética. Entretanto, como é usual, vamos iniciar nossos estudos com o caso mais simples.

Nas próximas aulas, vamos estudar alguns exemplos simples de sistemas quânticos unidimensionais sob o efeito de potenciais independentes do tempo. Esses sistemas são chamados de estacionários. Este é um caso muito comum em Física: por exemplo, um campo gravitacional e um campo elétrico estáticos produzem uma energia potencial que não depende do tempo, ou seja, em lugar da energia potencial V(x, t), devemos usar, na equação de Schrödinger, a forma mais simples V(x).

Nosso objetivo imediato será o de adquirir familiaridade com a resolução da equação de Schrödinger. No entanto, ao mesmo tempo, vamos analisar vários fenômenos interessantes que aparecem na teoria quântica. O interesse no caso estacionário unidimensional se deve não apenas porque, em muitas ocasiões, o fenômeno físico ocorre, efetivamente, em uma dimensão, mas também porque muitos outros problemas mais complexos podem ser reduzidos à solução de equações análogas à equação de Schrödinger em uma dimensão.

Mas antes de entrar em cada um desses problemas, vamos analisar a teoria quântica para o caso específico de o potencial ser independente do tempo. Se considerarmos uma partícula de massa m que se movimenta sobre o eixo x sob a influência de um potencial V(x), a equação de Schrödinger terá esta forma:

(6.1)

Nesse caso, em que o potencial é independente do tempo, podemos procurar soluções da Equação (6.1) que separam as partes dependentes de x e de t. Trata-se da conhecida técnica de separação de variáveis, muito comum no estudo de equações diferenciais parciais. Assim, propomos uma solução que tem a seguinte forma:

i x,t t m x,t

V x x,th

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Substituindo esta expressão parana equação de Schrödinger,

obtemos:

(6.3)
e chegarmos, assim, ao seguinte resultado:
(6.4)

Podemos, agora, dividir ambos os lados da equação por

Note que o lado esquerdo dessa equação depende apenas da variável tempo (t), enquanto o lado direito depende apenas da variável posição (x). Obviamente, uma igualdade como essa só pode ser verdadeira, para todo tempo t e valor da coordenada espacial x, se ambos os lados forem iguais a uma constante, que chamaremos de E. Assim, nossa equação a derivadas parciais se torna duas equações diferenciais ordinárias, com as variáveis t e x separadas:

A primeira equação é simples de ser resolvida, tendo como solução

, (6.6) em que A é uma constante arbitrária. Assim, mostramos que a solução geral para Ψ(x, t) tem esta forma:

,(6.7)

em que a constante A foi incorporada à função ψ(x).

i t d t dt m x d x

V x h hφ φ ψ ψ ( ) i t x t m x x t V x x t i x h dt m t x i d t dt E t m d x dx V x x E x h h φ φ

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Vejamos o que ocorre com a densidade de probabilidade no caso estacionário. Usando a Equação (4.3) da Aula 4 desta disciplina e substituindo a função de onda dada pela Equação (6.7), obtemos o seguinte:

, (6.8)
ou seja,se torna independente do tempo. Portanto,
(6.9)

a probabilidade de encontrarmos a partícula em uma região [a, b], com a < b, é dada por:

(6.10)

Do mesmo modo, se Ψ(x, t) estiver normalizada, ψ(x) o estará automaticamente:

Qual é a interpretação física da constante E? Até agora, parece que ela surgiu apenas como um artifício matemático. Mas, na verdade, veremos a seguir que E é nada menos que a energia total da partícula!

(6.7), na expressão para o valor esperado da energia,

1. Substituindo a função de onda Ψ(x, t), dada pela Equação , verifi que que a constante E efe- tivamente corresponde ao valor esperado da energia do sistema.

RESPOSTA COMENTADA Fazendo a substituição sugerida, obtemos:

No último passo, usamos a condição de normalização para ψ(x).

P a,b x dx a

E i x,t x,t

E i x,t x,t dx i x e x d e e dx E x x dx EiEt iEt h

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Vamos agora olhar com mais atenção para a segunda das equações (6.5), que deve ser satisfeita pela função de onda ψ(x):

(6.1)

Essa é uma equação diferencial ordinária conhecida como equação de Schrödinger independente do tempo. A função de onda ψ(x) é sempre uma função contínua e, sempre que o potencial V(x) for finito, com derivada também contínua. A equação de Schrödinger independente do tempo tem um papel de grande importância prática na Física Quântica: ela aparece com muito mais freqüência no dia-a-dia dos físicos do que a própria equação de Schrödinger dependente do tempo. Isso porque, como dissemos antes, as situações em que a energia potencial é independente do tempo são muito freqüentes. A grande maioria dos exemplos tratados nesta disciplina envolvem resolver essa equação.

A equação de Schrödinger independente do tempo (6.1) pode ser escrita da seguinte forma:

,, (6.12)
(6.13)

onde é o operador hamiltoniano. Note que, em analogia com a

Mecânica Clássica, o operador hamiltoniano é dado pela soma dos operadores energia cinética e energia potencial (lembre-se da Aula 7 da disciplina Mecânica). Utilizando a Equação (5.4) da Aula 5, verificamos que o primeiro termo da Equação (6.13) pode ser associado à energia cinética p2/ 2m.

geral, uma equação de autovalores tem a forma, em que O é

A Equação (6.12) é um exemplo de equação de autovalores. Em um operador e λ é um número, conhecido como autovalor do operador. A função ψ que satisfaz à equação de autovalores é conhecida como autofunção do operador. No nosso caso específico, dizemos que a

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Introdução à Mecânica Quântica | O caso estacionário em uma dimensão função de onda que é solução da Equação (6.12) é uma autofunção do hamiltoniano e a energia total E é seu autovalor, também conhecida como auto-energia.

Você aprendeu o que são autovalores e autovetores de uma matriz na disciplina de Álgebra Linear I. Aquela situação é completamente análoga à que estamos descrevendo; basta fazer a correspondência matriz↔operador e autovetor↔autofunção. De fato, na mesma época em que Schrödinger desenvolveu sua equação, Heisenberg também formulou uma teoria quântica baseada em álgebra de matrizes. No início, pensava-se que as duas teorias eram distintas, mas logo se percebeu que são formulações equivalentes da mesma teoria. Nesta disciplina, trataremos apenas da teoria de Schrödinger. Porém, a formulação de Heisenberg é também bastante interessante e útil, podendo ser aprendida em cursos mais avançados de Física Quântica.

Quando um sistema quântico está em um estado correspondente a uma autofunção da energia, diz-se que ele está em um estado estacionário. Um estado estacionário se caracteriza pelo fato de que toda e qualquer medida da energia do sistema dará sempre o mesmo valor E, a autoenergia do sistema. Ou seja, não há incerteza na medida da energia neste caso. Você lembra que vimos um exemplo disso na Atividade Final 1 da aula passada?

2. O que acabamos de dizer vale não apenas para o operador hamiltoniano, mas também para qualquer operador. Ou seja, se ψ é uma autofunção do operador O com autovalor λ, todas as medidas da grandeza física associada ao operador O darão sempre o mesmo resultado λ. Nesta atividade, você irá demonstrar este resultado.

a. Mostre que, se ψ é uma autofunção do operador O com autovalor λ, o valor esperado do operador (calculado pela Equação (4.9) da Aula 4) é igual a λ.

b. Mostre que, nesse caso, a incerteza ∆O é nula.

torna-seUsando o resultado ,
obtemos, em que utiliza-
mos novamente o fato de que a função de onda ψ(x) é normalizada

a. A expressão (4.9) para o valor esperado, no caso estacionário,

O x x dx x x dx= = =

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probabilidade transportada pela onda quântica. Isso parece interessante

Como vimos na Aula 3 de Física 4A, ondas clássicas transportam energia. Para essas ondas, podemos definir, por exemplo, o fluxo ou densidade de corrente de energia, ou seja, a energia transportada por unidade de tempo e por unidade de área. Será que podemos definir uma quantidade análoga a essa para as ondas quânticas? Bem, lembre-se de que as ondas quânticas são ondas de matéria. Mais precisamente, são ondas que dão a probabilidade de encontrar uma partícula de matéria no espaço. Se essa probabilidade flui como uma onda, então podemos usar a matemática das ondas para calcular a densidade de corrente de Vamos obter este resultado?

Para isso, vamos antes relembrar uma equação muito importante em Física, a equação de continuidade. A equação de continuidade aparece em vários contextos na Física. De fato, sempre que há uma lei de conservação de alguma quantidade que flui no espaço (matéria, carga etc.), essa lei é regida por uma equação de continuidade. Vimos uma versão simplificada dessa equação na Aula 3 de Física 2A, você se lembra? Na ocasião, o contexto era a hidrodinâmica. Nesse contexto, obtivemos uma equação de continuidade que expressava a conservação da massa: a variação da massa em um certo volume é dada pela diferença entre a massa que entra e a massa que sai. Para entender isso melhor, veja a Figura 6.1. Ela mostra uma certa quantidade de massa ∆M em um trecho da reta entre x e x + ∆x. Essa massa pode aumentar ou diminuir,

b. A incerteza é calculada da maneira usual:

Já calculamos 〈o〉 no item anterior, basta agora calcularmos 〈o2〉. Isto é feito da seguinte maneira:

Assim,, isto é, a incerteza é nula.

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Introdução à Mecânica Quântica | O caso estacionário em uma dimensão dependendo do fluxo ou corrente de massa j(x,t), definida como a quantidade de massa por unidade de tempo que passa pelo ponto x, no instante de tempo t que estamos considerando. De forma precisa,

(6.14)
Definindo agora a densidade linear de massa como,
temos, que no limite ∆x → 0 torna-se:
(6.15)

Essa é a equação de continuidade da massa em uma dimensão.

Ela expressa uma física bem simples: o aumento ou diminuição da densidade de massa em um certo ponto depende da derivada espacial da corrente naquele mesmo ponto. Se essa derivada é não-nula, quer dizer que entra mais massa do que sai (ou vice-versa) naquela posição, fazendo com que a densidade de massa varie.

Em três dimensões, a equação de continuidade se escreve como , em que ρ é, neste caso, a densidade volumétrica de massa.

Figura 6.1: Conservação da massa em uma dimensão. A massa ∆M aumenta ou diminui, dependendo se a corrente de massa que entra, j(x), é maior ou menor t j x,t j x x t x + ∆x

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continuidade paraDerivando com relação ao tempo:
(6.16)

Muito bem, vamos aplicar agora esse conceito ao caso no qual estamos interessados. Ou seja, vamos tentar obter uma equação de

Usando a equação de Schrödinger e sua complexa conjugada, a saber:

,(6.17)
(6.18)

podemos escrever

,(6.19)

Note que essa equação pode ser escrita da seguinte forma:

(6.20)

em que

dadeSendo assim, a quantidade j(x, t), definida pela Equação

Compare agora a Equação (6.19) com a Equação (6.15). Veja que interessante: a Equação (6.19) é também uma equação de continuidade! No lugar da densidade de massa, temos agora a densidade de probabili- (6.20), faz o papel de densidade de corrente de probabilidade. O gradiente dessa densidade de corrente, em um certo ponto do espaço e instante de tempo, informa-nos se a probabilidade de encontrarmos a partícula ali aumenta ou diminui.

t t x,t x,t t t

Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ( ) * * * *x,t i m x x i m x x h h j x,t i i t m x V i t m x V h h h h

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ATIVIDADES FINAIS 1. No caso estacionário, em que Ψ(x,t) é dada pela Equação (6.7): a. Mostre que a densidade de corrente de probabilidade fica na forma:

b. Derivando essa expressão em relação a x, e utilizando a equação de Schrödinger independente do tempo, mostre que a densidade de corrente é uma constante, independente de x.

RESPOSTA COMENTADA a. Se substituirmos a Equação (6.7) na Equação (6.20), obteremos:

Esse é precisamente o resultado que queríamos demonstrar. Perceba que, nesse caso, j(x, t) = j(x), ou seja, a densidade de corrente de probabilidade não depende do tempo.

Usando agora a equação de Schrödinger independente do tempo e sua complexa conjugada, a saber, dx im d dx d dx d dx d dx d dx d dx i m d dx m V x E d dx m V x E j x i x d x x d x j x,t i h h h2 ψ ψ ψ ψ t x d x x d x dx h

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6 MÓDULO 1 chegamos ao resultado final:

Dessa forma, como j(x) tem derivada nula, ela é uma constante, como queríamos demonstrar.

análogo clássico:Veremos, nas próximas aulas, que uma função
gaussianaé a autofunção de menor energia (estado fundamental)

2. Considere um oscilador harmônico quântico com freqüência angular ω, em uma dimensão. A energia potencial desse sistema é exatamente igual à do seu do oscilador. Encontre o valor de b para que essa função seja solução da equação de Schrödinger e obtenha a energia deste estado.

dj dx i

Vamos substituir a funçãona equação de Schrödinger:

Veja que chegamos em uma igualdade em que o lado esquerdo depende de x e o lado direito, não. Isso não pode acontecer, a menos que os dois termos sejam nulos! Impondo que o lado esquerdo seja nulo, obtemos o valor de b:

Agora, impondo que o lado direito seja nulo, encontramos o valor da energia:

Esse é um resultado bastante conhecido. Note que a energia do estado fundamental do oscilador harmônico quântico não é nula. Isso contrasta com o resultado clássico, no qual a situação de menor energia para o oscilador corresponde à situação em que ele está parado na origem, com energia

E b m x E m d dx

Ce m xbxψ ψ ψω ω

Ce E Ce m 4b x b e m x bx bx

12 h ω e E e m b x b m x E m b h ω m x E

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Introdução à Mecânica Quântica | O caso estacionário em uma dimensão cinética e energia potencial nulas, e, portanto, com energia total também nula. Perceba que o Princípio da Incerteza impede que isso ocorra no sistema quântico: é impossível ter uma partícula parada em uma certa posição, pois ela teria, ao mesmo tempo, posição e momento bem definidos. Em outras palavras, para localizar a partícula em uma certa região, paga-se o preço de se aumentar seu momento (e, conseqüentemente, sua energia). A energia do estado fundamental do oscilador harmônico, que encontramos nesta atividade, é também conhecida como “energia de ponto zero”.

estacionário, no qual a solução da equação de Schrödinger tem a forma

Se a energia potencial de um sistema não depende do tempo, temos um sistema , em que E é a energia total e a função ψ(x) é obtida por meio da equação de Schrödinger independente do tempo. Essa equação é um exemplo de equação de autovalores, em que ψ(x) é a autofunção e E é o autovalor ou autoenergia. A variação da densidade de probabilidade em um certo ponto do espaço é descrita por uma equação de continuidade, na qual a densidade de corrente de probabilidade j(x,t) desempenha um papel crucial.

Na próxima aula, vamos resolver a equação de Schrödinger para o caso mais simples possível: quando o potencial é nulo em todo o espaço. Isso corresponde a uma partícula que não sofre os efeitos de forças externas, também chamada partícula livre.

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