Geometria Analitica - Reis e Silva

Geometria Analitica - Reis e Silva

(Parte 1 de 4)

Geometria Analítica

NOTA À 2.A EDIÇÃO

Nesta edição mantivemos o propósito que norteou a l.a edição tanto no sentido de que o texto seja adequado a estudantes de 1.° ano dos cursos da área de Ciências Exatas como no sentido de nos restringir apenas às idéias fundamentais de Geometria Analítica, sem a preocupação de esgotar o assunto. Desta forma, como na 1 .a edição, a leitura dos quatro capítulos iniciais requer apenas conhecimentos básicos de Álgebra e.Geometria Elementar, em nível de 2.° grau. Somente no Capítulo 5, onde se explorou o conceito de tangência para curvas e superfícies no espaço, são necessários alguns conhecimentos de Cálculo Diferencial.

Novas questões, na forma de exercícios propostos, foram introduzidas nos Capítulos 3 e 5. O objetivo destas questões é oferecer ao estudante um material que, se devidamente trabalhado, proporcione uma melhor compreensão dos conceitos apresentados no texto e, em alguns casos, explorar fatos que não foram explicitados.

Agradecemos a todos os colegas e estudantes que, desde o aparecimento da 1 ,a edição, têm nos passado suas críticas e impressões sobre o livro, contribuindo, assim, para que ele se aproxime da experiência de todos que o utilizamos.

Goiânia, agosto de 1995 Os autores.

A idéia de se escrever este livro ocorreu por volta de 1972. A proposta era a de obter um texto de Geometria Analítica adequado aos estudantes dos cursos de Matemática, Física e Engenharia, recém-ingressados na Universidade, isto é, cuja leitura pressupusesse apenas conhecimentos básicos de Álgebra e Geometria Elementar, em nível colegial.

De maneira intuitiva e geométrica introduzimos a reta real no Capítulo 1. Em linguagem vetorial, apresentamos a Geometria Analítica no plano nos Capítulos 2 e 3, e no espaço, nos Capítulos 4 e 5. No plano, iniciamos com sistemas de coordenadas e concluímos com cónicas. Além das aplicações geométricas, apresentamos várias aplicações à Física, especialmente as relacionadas com movimento de partícula e resultante de forças. Para o estudante que esteja cursando Cálculo Diferencial, indicamos também as soluções com o emprego de derivadas, para o cálculo de velocidade e de tangentes. Na obtenção das formas canónicas, utilizamos rotação e translação de eixos. No espaço tridimensional (Capítulos 4 e 5), estudamos a reta, o plano e as superfícies quádricas na forma canónica. No Capítulo 6, introduzimos a Geometria Analítica no plano complexo. As várias formas de equações de curvas (cartesianas, paramétricas, complexas e polares) são aqui reunidas para destacar as vantagens de umas ou de outras, conforme a curva que se esteja estudando. No Capítulo 7 apresentamos o espaço de dimensão quatro. Este capítulo faz sentir a necessidade de uma teoria mais sólida para o estudo de espaços de dimensões superiores e serve como uma transição natural para um curso de Álgebra Linear. Aliás, frisamos que, ao introduzir o Cálculo Vetorial neste livro, o fizemos com o propósito de enriquecer as técnicas usadas em Geometria Analítica, sem preocupações diretas com a Álgebra Linear. Finalmente, o Capítulo 8, além de sugestões e respostas, contém comentários das questões propostas.

Em nenhum momento tivemos a pretensão de esgotar o assunto. Pelo contrário, propositadamente, procuramos nos restringir às idéias fundamentais e evitar excessos de nomenclatura que poderiam desviar a atenção dos alunos. Acreditamos, assim, que todo o conteúdo do livro pode ser abordado num curso semestral de quatro aulas semanais.

Por fim, não poderíamos deixar de agradecer a todos os colegas e estudantes que direta ou indiretamente contribuíram para a elaboração deste livro. Antecipadamente, agradecemos também àqueles que nos enviarem críticas construtivas.

Goiânia, novembro de 1993 Os autores.

1. A RETA, 1

2. O PLANO, 15

2.1. Sistema de Coordenadas, 15 2.2. Distância entre Dois Pontos, 16 2.3. Vetores no Plano, 17 2.4. Operações com Vetores, 20

2.5. Aplicações, 2 2.5.1. Vetor Deslocamento, 2 2.5.2. Resultante, 24 2.5.3. Ponto Médio, 26 2.5.4. Vetor Unitário, 27 2.6. Produto Escalar e Ângulo entre Vetores, 30 2.7. Projeção de Vetores, 34 2.8. Equações Paramétricas da Reta, 40 2.9. Equação Cartesiana da Reta, 42 2.10. Ângulos entre Retas, 46 2.1. Distância de um Ponto a uma Reta, 47 2.12. Equações da Circunferência, 48

3. CÓNICAS, 56

3.1. Elipse, 56 3.2. Hipérbole, 63 3.3. Parábola, 69 3.4. Rotação e Translação de Eixos, 72 3.5. Equação Geral do Segundo Grau, 81 3.6. Definição Unificada das Cónicas, 87

4. O ESPAÇO, 90

4.1. Sistema de Coordenadas, 90 4.2. Distância entre Dois Pontos, 94 4.3. Esfera, 95

X Sumário

4.4. Vetores no Espaço. 96 4.5. Produto Vetorial. 9 4.6. Produto Misto. 104 4.7. Equação do Plano, 107 4.8. Equações Paramétricas do Plano, 112 4.9. Equações Paramétricas da Reta, 113 4.10. Interseção de Planos, 117 4.1. Interseção de Retas e Planos, 18 4.12. Interseção de Retas, 118 4.13. Distância de um Ponto a um Plano, 119 4.14. Distância de um Ponto a uma Reta, 121 4.15. Distância entre Retas Reservas, 122

5. QUÁDRICAS, 127

5.1. Superfícies de Revolução, 127 5.2. Formas Canónicas, 135 5.3. Curvas no Espaço, 153

6. NÚMEROS COMPLEXOS E COORDENADAS POLARES, 172

6.1. Números Complexos, 172 6.2. Geometria Analítica no Plano Complexo, 175 6.3. Coordenadas Polares, 180 6.4. Curvas em Coordenadas Polares, 185

7. O ESPAÇO DE QUATRO DIMENSÕES, 193

7.1. O Espaço R4, 193 7.2. A Reta em R\ 195 7.3. O Plano em R4, 197 7.4. O Híperplano em R3, 198 7.5. Interseções de Variedades Lineares, 199 7.6. Como Retirar um Ponto de uma Caixa Tridimensional Fechada, 199 7.7. Por Que o Esquema da Seção Anterior Funciona, 201 7.8. A Respeito do Produto Vetorial, 201

8. SUGESTÕES E RESPOSTAS, 205

BIBLIOGRAFIA, 239 ÍNDICE ALFABÉTICO, 241

Geometria Analítica

1.1 NÚMEROS INTEIROS

0,1,2,3,

Os números são chamados números naturais. O símbolo N será usado para denotar o conjunto dos números naturais. Com o símbolo Z indicaremos o conjunto dos números inteiros, que são:

,-3 ,-2,-1 ,0, 1,2 , 3 ,. . .

Os números inteiros podem ser convenientemente representados por pontos de uma reta, como mostra a Figura 1.1.

0 A - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

Fig. 1.1

Nesta figura o ponto O, chamado origem, foi escolhido arbitrariamente. O segmento OA, de comprimento arbitrário, foi tomado como unidade de comprimento e convencionamos representar os números positivos por pontos à direita de O e os números negativos, por pontos à esquerda de O. Sempre que usarmos a reta com estas características, isto é, com uma origem, uma unidade de comprimento e um sentido (todos arbitrários), a indicaremos por R.

1.2 NÚMEROS RACIONAIS Os números que podem ser escritos na forma

£ q'

2 Geometria Analítica onde p e q são inteiros eql= 0, são chamados números racionais. Como

4 = —, 3,141 = ——-, 0,3= — ,
concluímos que 4,3,141,0,3são todos números racionais. Em particular, os números intei-

ros são números racionais.

Usando o símbolo Q para indicar o conjunto dos números racionais, podemos escrever:

Q=\x:x=—,p,qeZeq^o\.

Os números racionais também podem ser representados por pontos de uma reta. A seguir representaremos, na reta R da Figura 1.2, o número racional p/q.

0 plq A

Fig. 1.2

O processo consiste em traçar uma semi-reta qualquer, com origem em O, formando com O A um ângulo agudo, e nela marcarp e q, utilizando-se uma unidade de comprimento qualquer. Traçando, pelo ponto correspondente a p, uma reta paralela à reta determinada pelo ponto A e o ponto correspondente a q, onde esta reta intercepta a reta R, temos o ponto correspondente ao número plq. Se o número p/q for negativo, —p/q será positivo e, usando o processo anterior, podemos marcar sobre a reta R o número — p/q\ tomando seu simétrico em relação à origem O, temos o ponto sobre R correspondente a p/q.

A Figura 1.3 mostra os números

3 9 __3 5 ' 7 ' 5 representados por pontos na reta.

-3/5 A 3/5 9/7 V °W 1\ \ 2 3 ' ' ' R

Fig. 2.16

A Reta 3

1.3 NÚMEROS IRRACIONAIS

O comprimento da diagonal de um quadrado, cujo lado mede uma unidade, é um número que pode ser marcado na reta R, como mostra a Figura 1.4. Pelo teorema de Pitágoras, este número é A/2 . A seguir, vamos mostrar que V 2 não é um número racional. A prova consiste em supor que A/2 seja racional e a partir daí obter uma contradição.

R - 1 0 1 -J~l 2 .

Fig. 1.4

Se v 2 c racional, então existe uma fração p/q, com p&q inteiros, tal que

V2 sendo p e q primos entre si. Temos, então,

2 = — ou 2q2=p2. q2

Logo, p2 é par e, portanto, p também é par (veja o Exercício 1.3). Conseqüentemente, podemos escrever p = 2k, sendo k inteiro. Temos, então,

(2k)2 = 2q2 ou q2 = 2k2

Assim, vemos que q2 também é par e, por conseguinte, q é par. Resulta que p e q são ambos pares, o que contradiz a hipótese de que p e são primos entre si. Esta contradição surgiu por se supor V2 racional. Logo, A/2 não é racional.

Números como A/2 , não-racionais, são chamados irracionais. A partir do número irracional A/2 , podemos construir uma infinidade de números irracionais.

Com efeito, qualquer que seja o número inteiro n, não-nulo, n A/2 e A 2 In são números irracionais, como facilmente podemos mostrar. Realmente, se para algum n, n A/2 ou In fosse racional, deveríamos ter:

/T" P -I2 p «A/2=— OU — = — q n q sendo peq inteiros. Se a primeira igualdade acima for verdadeira, também o é:

V2=A nq

4 Geometria Analítica mas esta igualdade diz que V2 é um número racional, o que é falso. Igualmente,

V2 =£ n q também não pode ser, pois teríamos

42=. q Assim, já dispomos de seqüências infinitas de números irracionais, a saber,

..., - 3 A/2 , - 2 V2, - V2,2 V2,3A/2 ,

V2 V2 A/2 A/2

Na primeira seqüência figuram números irracionais arbitrariamente grandes, enquanto que na segunda temos números irracionais arbitrariamente pequenos. Outros exemplos clássicos de números irracionais são: o tr da Geometria Elementar; o número e, base dos logaritmos neperianos; A/3. A/6 . A[2 etc- Em geral, se um número natural não é um quadrado perfeito, suas raízes quadradas são números irracionais. O mesmo argumento usado para mostrar que n A/2 é irracional prova a seguinte afirmação:

O produto de um número racional não-nulo por um irracional é um número irracional (veja o Exercício 1.4).

1.4 NÚMEROS REAIS

O conjunto de todos os números, racionais e irracionais, é chamado conjunto dos números reais e indicado por R.

Vimos que a cada número racional podemos fazer corresponder um ponto sobre a reta. Esta correspondência pode ser feita usando-se apenas a régua e o compasso, pelo processo descrito anteriormente, na Figura 1.2. Vimos também como marcar um ponto na reta correspondente ao número irracional A/2 . A Figura 1.5 mostra como marcar na reta R o ponto correspondente ao número irracional A/3 .

Fig. 2.16

Pontos sobre a reta R, correspondentes aos números da seqüência 2A/2,3A/2,4A/2ou da

A Reta 5 seqüência -J2 / 2, A/2 / 3, A/2 / 4,..., podem facilmente ser marcados a partir do ponto correspondente a . Todavia, não dispomos de uma construção geométrica que nos permita marcar sobre R pontos correspondentes aos números irracionais e, n e outros e nem de argumentos que nos possibilitem provar que tais pontos existem. Isto se dá porque, a rigor, não definimos número irracional. A definição de número irracional, bem como sua construção, em geral, é apresentada nos livros de Análise Matemática. Para os propósitos da Geometria Analítica, é suficiente o seguinte resultado, que admitiremos como postulado.

A cada ponto da reta R corresponde um único número (racional ou irracional). Os números cuja existência é garantida por este postulado são chamados números reais. Dizemos que a é um número menor que b se na reta R a estiver à esquerda de b. Indicamos isto assim a<b

R 0 1 a b

Fig. 1.6

A notação a < b significa que a é um número que está à esquerda de b ou é o próprio b. Utiliza-se também a notação b > a, significando o mesmo que a < b.

Com respeito à relação <, dois fatos merecem ser destacados. O primeiro é a compatibilidade dessa relação com a operação de adição, a qual pode ser dita assim:

se a <b, então a + x < b + x, Vx e R.

Em particular, para x = —b, obtemos a<bé equivalente a — b< 0.

O segundo fato diz que, em relação à operação de multiplicação, < não se comporta tão bem como em relação à adição. De fato, se a<b, temos:

ax<bx se x > 0 e ax>bx se x < 0.

Exercícios

1.1. Justifique a construção feita na Figura l.Z _ 1.2. Represente na reta R os números VÍ, A/6, — 3A/2, 0,6 e 4A 3/7. 1.3. Demonstre que, sep é um número inteiro, então ptp1 são ambos pares ou ambos ímpares. 1.4. Se ae b são números racionais e J irracional, prove que: a) a + b e ab são racionais; b) a + s e as são irracionais, se a #0.

6 Geometria Analítica \ 1.6. Considere a figura abaixo

Fig. 1.7 a) Demonstre que, sc M, é o ponto médio de AR, então m, é a média aritmética de a e b. b) Seja m2 o ponto médio de MtB, m3 o ponto médio de M2 B e assim por diante. Calcule a soma:

(m, — a) + ( m2 — m] ) + (m3 — m2) +
1.7. Construa uma seqüência de números irracionais x, ,x2,,xl0 satisfazendo 2 < JC, < ... <x10 < 3. 1.8. Se a e b são números reais positivos, mostre que

a+b. 4ab

1.9. Usando o Exercício 1.8, mostre que a altura de um triângulo retângulo, relativamente à hipotenusa, é menor ou igual à metade da hipotenusa. 1.10. A Figura 1.8 mostra como estabelecer uma correspondência biunívoca entre os pontos X do segmento AB e os pontos Y do segmento A 'B'. Expresse o comprimento de OK em termos de OX, ABeA'B'.

1.5 VALOR ABSOLUTO Se x é um número real, o módulo de x (ou valor absoluto de x) é o número I x | definido por

I x I = x se x > 0 I JC I = — x sex<0.

A Reta 7

Exemplo.

151 = 5 e |-5| = -(-5) = 5

Geometricamente | x | pode ser interpretado como sendo a distância do ponto P, correspondente a x, à origem O, isto é, o comprimento do segmento OP. Decorrem imediatamente, da definição de valor absoluto, as seguintes propriedades

| x | > 0, | x j=0<-jc=0,

Na proposição seguinte estão reunidas outras propriedades importantes do valor absoluto de um número real. Proposição 1.1. Quaisquer que sejam os números reais a, bex, tem-se

Y)\ab\ = \a\\b\, 2)\a + b\ <\a\+\b\, 3) Sea>Ç),\x\<ci<^-a<x<a,

4) | x | = Vx2.

Prova. Inicialmente, vamos mostrar que

|x|2=|x2| = x2,VxeR.

Sendo x2 >0, Vx e R, temos que

M=x2, pela definição de valor absoluto. Resta mostrar que

|x|2=x2. Se x > 0, temos

8 Geometria Analítica \ e, portanto,

I I2 2 \x\ = x, se x < 0,

I X | = — X e, portanto,

I I2 / 2 \x\ =(— X) =XL.

Usando estas propriedades, podemos provar a parte (1) da proposição assim:

\ab\2 = (abf = a2b2=\a\2\b\2 =>\ab\ = |«(\b\.

Parte (2). \ a + b\<\a\ + \b \ é chamada desigualdade triangular. Na sua prova, dada a seguir, faremos uso do fato x < | x |, Vx e R.

Temos

| a+b\2 = (a+b)2 = a2+b2+2ab<\a\2 + \b\2+2\a\-\b\=(\a\ + \b\)2. Ou seja,

\a + b\2 <(\a\+\b\)\ donde obtemos

\a + b\<\a\+\b\.

Parte (3). Suponhamos que | x | < a. Se x > 0, temos x=|x| <a.

Sendox> 0, é claro quex> —a, de modo que, neste caso,

~a<x<a.

Se x < 0, então x < a e —x = [ x I < a.

A Reta 9

Mas —x < a é equivalente a x > —a, de modo que —a<x <a. Portanto, provamos que

\x\<a=>—a<x<a.

Para provarmos a recíproca, também distinguiremos os casos x > 0 e x < 0. Suponhamos que —a < x < a.

Esta dupla desigualdade pode ser desdobrada em x < a e x > —a.

Se x > 0, j x j = x ea primeira desigualdade nos dá

| x | <a.

Se x < 0, | x | = —x e, da segunda desigualdade, temos

| x |<a. Logo,

—a<x<a=$\x\<a. O segmento destacado na Figura 1.9 representa o intervalo de variação de x.

(Parte 1 de 4)

Comentários